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线性代数课后答案++戴立辉版稀有!

新编线性代数习题解答

习题1

1.求下列各排列的逆序数：

（1）1 2 3 4；（2）4 1 3 2；

（3）4 1 5 3 2；（4）3 7 1 2 4 5 6；（5）1 3 … (21)n - 2 4 … (2)n ；（6）1 3 … (21)n - (2)n (22)n - … 2. 2.利用对角线法则计算下列二阶、三阶行列式：

（1）

---；（2）201

141183

---；

（3）a b c b c a c a b ；（4）x y x y y

x y x x y

+++.

3.在六阶行列式中，下列两项各应带什么符号： (1)233142561465a a a a a a ；

(2)334214516625a a a a a a . 4.计算下列各行列式：

（1）0

0010

00200

10000

000n n -

；（2）1234

2143

3412

4321

------；

（3）

2100

1210

0121

；（4）04512

50201

203431150

23013

-------；（5）ab

ac ae

cd de bf

---；（6）1111

1111

1111x x y y

+-+-.

5.证明:

(1)11

121314152122232425

3241425152000000000

a a a a a a a a a a a a a a a a =；（2）2

22211

1a ab b a

a b b +=3()a b -；

(3)11

111122

22b c

c a a b b c c a a b b c c a a b +++++++++=1112

2a b c

a b c a b c ； (4)2

2224444

111a b c d a b c d a b c d ； ()()()()()a b a c a d b c b d =-----()()-+++c d a b c d ；

(5)1

10000

100000

1n n n x x x

a a a a x a -----+

111n n n n x a x a x a --=++++ .

6.计算下列各n 阶行列式：

(1)

11a

,其中对角线上元素都是a ，未写出的元素都是0；

(2)111

x a a a x a a a x --- ；

（3）1231111

001

a a a a

，230≠其中n a a a ；

(4)

21111111

a a a +++

,120n a a a ≠ 其中；

(5)

1112

22(1)(2)()(1)(2)()121

n n n n n n a a a n a a a n a a a n ---------------

；

(6)det(),n ij ij D a a i j ==-其中. 7.利用拉普拉斯定理计算下列各行列式：

（1）

320000430000

002100003200000032000054

；

（2）

3002034040030560

； (3)1121

00n

n n

a b a b D c d c d =

解答习题1

1.（1）0；（2）4；（3）6；（4）7；（5）

(1)

-n n ；（6）(1)-n n . 2.（1）-14；（2）-4；（3）3

3---ab a b c ；（4）33

2()-+x y .

3.（1）正号；（2）负号.

4.（1）(1)(2)

(1)

!---n n n ；

（2）900；（3）5；（4）－799；（5）4abcdef ；（6）22

x y .

5.提示：（1）用行列式定义证明；（2）、（3）、（4）用行列式性质证明；（5）用数学归纳法证明.

6.（1）2

2(1)--n a

a ；

（2）1

[1(1)](1)--+---n x n a x a ；（3）23121

()()n

n i i

a a a a a =-

∑ ；（4）1211

()(1)=+

∑n

n i i a a a a ；（5）1

()≥>≥-∏n i j i j ；（6）12(1)(1)2----n n n . 7.（1）2；（2）2；（3）

()=-∏n

i i i a d

b c .

习题2

1.有6名选手参加乒乓球比赛，成绩如下：选手1胜选手2，4，5，6负于选手3；选

手2胜选手4，5，6负于选手1，3；选手3胜选手1，2，4负于选手5，6；选手4胜选手5，6负于选手1，2，3；选手5胜选手3，6负于选手1，2，4；若胜一场得1分，负一场得零分试用矩阵表示输赢状况，并排序.

2.某种物资以3个产地运往4个销地，两次调运方案分别为矩阵A 与矩阵B .且

357220430123A ?? ?= ? ???，132021570648B ?? ?= ? ???

试用矩阵表示各产地运往各销地两次的物资调运量.

3.设111123111124111051A B ????

? ?=-=-- ? ? ? ?-????

，，求32AB A -与T

A B .

4.某厂研究三种生产方法，生产甲、乙、丙三种产品，每种生产方法的每种产品数量用

如下矩阵表示：

234123241A ?? ?

= ? ???

甲乙丙方法一

方法二

方法三若甲、乙、丙各种产品每单位的利润分别为10元，8元，7元，试用矩阵的乘法求出以何种

方法获利最多.

5.设12101312A B ????

? ?????

，，问（1）AB BA =吗？

（2）()2

2A B A AB B +=++吗？

（3）()()22A B A B A B +-=-吗？ 6.举反例说明下列命题是错误的：（1）若2

A O =，则A O =；

（2）若2

A A =，则A O =或A E =；

（3）若AX AY =，且A O ≠，则X Y =. 7.设101A λ??=

???

，求23

k A A A ，，

，. 8.设A B 、都是n 阶对称矩阵，证明AB 是对称矩阵的充分必要条件是AB BA =. 9.用伴随矩阵法求下列矩阵的逆阵：（1）1225??

???；（2）cos sin sin cos θ

θθθ-??

???

；（3）121342541-?? ?

- ? ?

-??

；（4）1

234012300120

1??

? ? ???

. 10.解下列矩阵方程：（1）25465321X -????

? ?????

；

（2）211113210432111X -??-?? ?= ? ??

? ?-??；

（3）010100143100001201001010120X -?????? ? ? ?=- ? ? ? ? ? ?-??????

11.设方阵A 满足2

25A A E O +-=，证明3A E +可逆，并求其逆矩阵.

12.已知对给定方阵A ，存在正整数k ，成立k

A O =，试证E A -可逆，并指出

()

E A --的表达式.

13.设A 为3阶方阵，12

A =

，求()125A A -*-. 14.设方阵A 可逆，证明其伴随矩阵A *

也可逆，且()

()

*-=.

15.设131020101A ?? ?= ? ???

，2

AB E A B +=+，求B .

16.设三阶矩阵A B ，满足关系：1

6A BA A BA -=+，且

00210

04100

7A ?? ? ? ?= ? ? ? ??

, 求B .

17.设033110123A ?? ?

= ? ?-??

，2AX A X =+，求X .

18已知AP P =Λ，其中100100210000211001P ????

? ?=-Λ ? ? ? ?-????

，=，求A 及5

A .

19.设A B ,和A B +均可逆，证明1

A B --+也可逆，并求其逆矩阵.

20.将矩阵2131425442622140A -??

?= ?--- ?-??

化为行阶梯形矩阵，并求矩阵A 的一个最高阶非零子式.

21.用初等变换法求下列矩阵的逆：

（1）111211120?? ?

- ? ?

??；（2）321315323??

? ? ???；

（3）3201022112320121--??

? ?

--- ?

；（4）1357012300120001-??

22.下列矩阵的秩.：

（1）1234124511012?? ?- ? ???；（2）32131213

1370518---?? ?

-- ? ?--??

；（3）

1001310312011457??

- ? ?-

???

；（4）24131121023636a -?? ?

- ? ?

??.

23.设A 为n 阶矩阵，且2

A A =,证明()()R A R A E n +-=.

24.设34432022O A O ??

- ?= ? ?

，求84A A ，. 25.设矩阵A 和B 均可逆，求分块矩阵O A B O ??

???

的逆矩阵，并利用所得结果求矩阵

0052002183005

0?? ? ?

? ???

的逆矩阵.

解答习题2

1.12345611011120011131

110040001150010160

0100??

? ? ?

? ?

? ???

，选手按胜多负少排序为1 2 3 4 5 6.

2. 357213202043215701230648A B ????

? ?

+=+ ? ? ? ?????

48924191007611?? ?= ? ???

. 3. 1111231113331111242111111051111AB A ??????

??? ?

-=----- ??? ? ??? ?--??????

21322217204292-?? ?=-- ? ?-??

058123056124290051T

T A B ???? ? ?=--- ? ? ? ?????

002123058559124056860051290??????

??? ?=---=- ??? ? ??? ???????. 4.1072844759A ???? ? ?

= ? ? ? ?????

，方法一获利最多.

（１）AB BA ≠，

因为34124638AB BA ????

== ? ?????

，，所以AB BA ≠．

（２）()2

2A B A AB B +≠++

因为 2225A B ??

???

()

222281425251429A B ??????+== ??? ???????

但 2

38681010162411812341527A AB B ????????

++=++= ? ? ? ?????????

所以

()

222A B A AB B +≠++

（３）()()2

A B A B A B +-≠-

因为 2

202250

1A B A B ????

+=-=

? ?????

，，

()()220206250109A B A B ??????

+-==

??? ???????

，而 2

3810284113417A B ??????

-=-= ? ? ???????

，

故

()()22A B A B A B +-≠-

6.（1）取1111A O ??=≠

?--??

，而2

A O =；

（2）取1000A ??=

，有A O A E ≠≠，，而2

A A =；（3）取101010000001A X Y ??????

===

? ? ???????，，，有X Y ≠，而AX AY =. 7. 21010101121A AA λλλ??????

===

??? ???????

；

3210101021131A A A λλλ??????

=== ??? ???????；

由此推出 ()10231k

A k k λ??

== ???

，

，下面利用数学归纳法证明这个结论．

当12k k ==，时，结论显然成立．假设1k -时结论成立，即有 ()1

1011k A

k λ-??=

?-??

则对于k 时，有 ()11

010101111k k A A A k k λλλ-?

?????

===

? ? ?

-??????，故结论成立． 8. 证明由已知：T

A A = T

B B =

充分性：由AB BA =，得T T

AB B A =，所以()T

AB AB =

即 AB 是对称矩阵. 必要性：由()T

AB AB =得，

T T B A AB =所以BA AB =.

9. (1) 公式法：

1225A ??= ???

1A =

112112225,2(1),2(1),1A A A A ==?-=?-=

2112225221A A A A A *-????== ? ?-???? 1

1A A A -*= 故 15221A --??=

?-??

初等行变换法：

()12102501AE ??

???

212100121r r -??

???→ ?-??

210520121r r --?????→ ?-??

所以 1

5221A --??

= ?-??

．

(2) 10A =≠ 故1

A -存在

11211222cos sin sin cos A A A A θθ

θθ===-=

从而 1

c o s

s i n s i n c o s A θθθθ-??

?-??

(3) 公式法;2A =, 故1

A -存在 112131420A A A =-== 而 1222321361A A A =-==- 13233332

2A A A =-==-

故 1

1A A A -*=2101313221671-??

? ?=-- ?

?--??

初等行变换法：

()121100342010541001AE -??

=- ? ?-?? 21

351211000213100146501r r r r ---?? ?

???→-- ? ?--??

71211000213100011671r r --?? ????→-- ? ?--??

120157102013610011671r r r r +---?? ?

???→-- ? ?--??

10021002013610011671r r +-?? ????→-- ? ?--??

2101001310103220011671r --?? ? ????→-- ?- ?-??

所以 1

2101313221671A --??

? ?=-- ? ?--??

．

（４）由对角矩阵的性质知 12

0101n a a A a -?? ? ? ?=

? ? ? ??

10. (1) 1

5461321X --????

? ???

35461221--????= ???-????22308-??

= ???

(2) 1

211113210432111X --??

-?? ?

= ? ??? ?-??

10111312324323330??

-?? ?=-- ? ??? ?

-??

2218253

3-?? ?= ?-- ??? (3) 1

143120120111X --??????

= ? ???---??????

243110111011212-??????=

?????-??????

66101301212????= ???????

111

04??

?= ???

11. 由2

2A A E O --=得2

2A A E -= 两端同时取行列式: 2

2A A -=

即 2A A E -=,故 0A ≠ 所以A 可逆,而2

2A E A +=

220A E A A +==≠ 故2A E +也可逆.

由2

2A A E O --=得

()2A A E E -=

所以 1

()2A A A E A E ---=，则1

()2

A E -=

又由2

2A A E O --=(2)3(2)4A E A A E E +-+=-

(2)(3)4A E A E E +-=-

所以 11(2)(2)(3)4(2)A E A E A E A E --++-=-+

则 1

1(2)(3)

A E E A -+=-. 12.()1

1k E A E A A ---=+++ .

13. 因为1

A A

，所以 ()

111111

255522

A A A A A A A -*-----=

-=- ()3

1112288216A A A ---=-=-=-=-?=-.

14. 由1

A A

，得1A A A *-=，所以当A 可逆时，有1

10n

n A A A A

-==≠，

从而A *

也可逆.

因为1

A A A *

-=，所以

()

A A

A --*=

又()()1111A A A A A

---=

=，所以 ()()()11

11A A

A A

A A A -*

--*--===

15. 由2

AB E A B +=+得

()2A E B A E -=-

即

()()()A E B A E A E -=-+

因为 001

1010100

A E -==-≠，所以()A E -可逆，则

201030102B A E ?? ?

=+= ? ???.

16.600020001??

? ? ???.

17.033123110?? ?- ? ???

18. 因为AP P =Λ，所以1

A P P -=Λ；

又 1P =-， 1

100210411P --?? ?=- ? ?-??，55115??

?Λ ? ???= 所以 1

100110021012102115411A P P ---??????

?????=Λ=-- ??

??? ?????-??????

100200611?? ?= ? ?--??

5100200611A ??

?= ? ?--??

19. 因为()

1111

A B A E CA B B B A ----+=+=+，由()()

A B A B E -++=得

()()()()1

111A

B A A B B A B A B B ------++=++=

则

()()1

11A B A A B B B B E ----++==

所以11

A B --+可逆，其逆为()1

A B A B -+.

20. 213241221312131425400124262001221400011r r r r r r A -+---???? ? ?-- ? ?=???→ ? ?---- ? ?--????

3442

2131213100120012000000010001000

0r r r r r r B -?+--????

?--

? ?

???→???→= ? ?

? ?????

B 的秩为3，其一个3阶非零子式为13

120

--，对应于A 的3阶非零子式为131

----. 故21310012000100

00-??

???

即为矩阵A 的行阶梯形矩阵，矩阵A 的一个最高阶非零子式为

13125

----. 21.(1)1112221

114445134

4??

- ? ?

- ? ? ?-- ???

,(2)7

23632

11211022??

- ? ?

-- ? ?- ?

，

(3)11240101113621610--?? ?-

? ?-- ?--??，(4)131120012100120001--?? ?- ? ?- ???

. 22.(1)2,(2)3，(3)4，(4)当4a =-时，秩为2；当4a ≠-时，秩为3.

24.34432022O A O ??

- ?= ? ?

?，令13443A ??= ?-?? 22022A ??= ??? 则1

2A O A O A ??=

???

故8

2A O A O A ??=

???8

182A O O

A ??

= ???

888

16121210A A A A A ===

14426

450052022O A O A O

A O ??

??? ?==

? ??? ? ??

25. n

n s n

s s A O E O C B O

E ???

??? 11

1n n

A r n

s n

s s E O A O C B O

E --??????→

???

()

211

r Cr n

s n n

s E

A O O

B C A E ---????????→ ?-??

左乘 ()

12111

1s s B r n

s n n

A O E

O B C A B O E -----???????→ ? ?-?

左乘 1

111s

s n s n n A O A O B C A B C B -----???

= ? ? ?-????

利用这个结果取103021121412A B C ??????

=== ? ? ???????

，，，

则由1

1111s

s n s n n

A O A O

C A B C B -----???

= ? ? ?-????

得 11

2040111113212A B --????== ? ?--????，，

114021201241111312113512224B CA ----????????

?= ??? ? ?---????????

-，则 1

24080111212262424A B --????=

= ? ?--????

，

故

1000

000120012120

0121301248

2412143

526-????

? ?

- ? ?=

? ?-

? ?

--??

习题3

1.设

α＝(1，1，0，-1)T ，β＝(-2，1，0，0)T ，γ

＝(-1，-2，0，1)T ，

求35αβγ-+．

2.设

34αβ+＝(2，1，1，2)T 23αβ+＝(-1，2，3，1)T

求,αβ．

3.解向量方程

325X αβ-=

其中，α＝(3，5，7，9)T ，β＝(-1，5，2，0)T ．

4.判断向量β能否由其余向量线性表示？若能，写出表示式.

（1）β＝(0，10，8，7)T ，1α＝(-1，2，3，9)T ，2α＝(1，3，1，0)T ，3α＝(1，8，5，-2)T .

（2）β＝(1，2，1，1)T ，1α＝(1，1，1，1)T ，2α＝(1，1，-1，-1)T ，3α＝(1，-1，1，-1)T ，4α＝(1，-1，-1，1)T ．

5.设1α＝(1＋k ，1，1，1)T ，2α＝(1，1＋k ，1，1)T ，3α＝(1，1，1＋k ，1)T ，β＝(1，3，2，1)T ，试问k 取何值时，β可由123,

,ααα线性表示？并写出表示式．

6.设1α＝(1，0，2，3)T ，2α＝(1，1，3，5)T ，3α＝(1，-1，a +2，1)T ，4α＝(1，2，4，a ＋8)T ，β＝(1，1，b ＋3，5)T ，试问当,a b 为何值时．

（1）β不能由1234,,,αααα线性表示；

（2）β能由1234,,,αααα线性表示，且表示法唯一，并写出该表示式；（3）β能由1234,

,,αααα线性表示，且表示法不唯一，并写出两个表示式．

7．设向量β可由向量组12,,,m ααα 线性表示，但不能由121,,,m ααα- 线性

表示，则向量组12,

,,m ααα 与向量组121,,,,m αααβ- 等价．

8.判断下列向量组是否线性相关？

（1）1α＝(2，2，7，-1)T ，2α＝(3，-1，2，4)T ，3α＝(1，1，3，1)T .

（2）1α＝(1，4，2，7)T ，2α＝(3，2，4，5)T ，3α＝(1，-1，2，2)T ，4α＝(1，4，2，7)T ．

9．问k 取何值时下列向量组线性相关？线性无关？

1α＝(k ，2，1)T ，2α＝(2，k ，0)T ，3α＝(1，-1，1)T

10．设向量组123,

,ααα线性无关，112323βααα=--，21232βααα=++，

3123βααα=-+，讨论向量组123,,βββ的线性相关性．

11．已知向量组12,

,,m ααα 线性无关，设112βαα=+，223βαα=+，…，

11m m m βαα--=+，1m m βαα=+，讨论向量组12,,,m βββ 的线性相关性．

12．设向量组12,

,,m ααα 不含零向量，且αk (k =2，3，…，m)不能由

121

,,,k ααα- 线性表示，则向量组12,,,m ααα 线性无关． 13．求下列向量组的秩及一个极大线性无关组，并用极大线性无关组线性表示其余向量．

（1）1α＝(2，1，3，-1)T ，2α＝(3，-1，2，0)T ，3α＝(1，3，4，-2)T ，4α＝(4，-3，1，1)T .

（2）1α＝(1，2，3，-1)T ，2α＝(3，2，1，-1)T ，3α＝(2，3，1，1)T ，4α＝(2，2，2，-1)T ，5α＝(5，5，2，0)T ．

（3）1α＝(1，2，-1，1)T ，2α＝(2，0，k ，0)T ，3α＝(0，-4，5，-2)T ，4α＝(2，2，

2，-1)．

（4）1α＝(1，0，1，2)T ，2α＝(0，1，1，2)T ，3α＝(-1，1，0，k )T ，4α＝(1，2，

k ，6)T ，5α＝(1，1，2，4)T ．

14．设12{,

,,}m R ααα =12{,,,}t R βββ ，且12,,,m ααα 可由

12,,,t βββ 线性表示，则向量组12,,,m ααα 与向量组12,,,t βββ 等价．

15．设有两个向量组1α＝(1，2，-1，3)T ，2α＝(2，5，a ，8)T ，3α＝(-1，0，3，1)T ；1β＝(1，a ，2a -5，

7)T ，2β＝(3，3＋a ，3，11)T ，3β＝(0，1，6，2)T ，若1β可由123,,ααα线性表示，试判断这两个向量组是否等价？

16．已知向量组1β＝(0，1，-1)T ，2β＝(a ，3，1)T ，3β＝(b ，1，0)T 与向量组1α＝(1，2，-3)T ，2α＝(2，1，-1)T ，3α＝(3，0，1)T 具有相同的秩，且3β可由123,,ααα线

性表示，求,a b ．

17．判断下列集合是否是向量空间？为什么？若是向量空间，求出其维数及一个基．（1）V 1＝{(x 1，x 2，…，x n )T ∈R n |a 1x 1+a 2x 2 + … +a n x n ＝0}，其中a i （i = 1，2，…，n ）为R 中固定的数．

（2）V 2＝{(x 1，x 2，…，x n )T ∈R n |a 1x 1+a 2x 2 + … +a n x n ＝1}，其中a i （i = 1，2，…，n ）为R 中固定的数．

18．设123,,n R ααα∈．证明，若1122330k k k ααα++=且k 1k 2 ≠ 0，则L(α1，α3)

＝L(α2，α3)．

19．求下列向量生成子空间的维数与一个基．

（1）1α＝(-1，3，4，7)T ，2α＝(2，1，-1，0)T ，3α＝(1，2，1，3)T ，4α＝(-4，1，5，6)T .

（2）1α＝(2，1，3，-1)T ，2α＝(1，-1，3，-1)T ，3α＝(4，5，3，-1)T ，4α＝(1，5，3，-1)T ．

20．设1α＝(1，0，-1)T ，2α＝(2，1，1)T ，3α＝(1，1，1)T ；1β＝(3，1，4)T ，2β＝(5，2，1)T ，3β＝(1，1，-6)T ．

（1）证明123,,ααα与123,,βββ都是R 3的基；（2）求由基123,

,ααα到基123,,βββ的过渡矩阵；

（3）求坐标变换公式；

（4）求α＝(8，3，0)分别在基123,

,ααα与基123,,βββ下的坐标．

21．设α＝(1，0，-1，0，1)T ，β＝(0，1，0，2，0)T ．（1）求αβ与的内积 [αβ，]；（2）求αβ与的长度||α||，||β||；（3）求αβ与的夹角θ．

22．用施密特正交化方法将下列向量组标准正交化．

（1）1α＝(1，1，1，1)T ，2α＝(3，3，-1，-1)T ，3α＝(-2，0，6，8)T ；（2）1α＝(1，1，1，0)T ，2α＝(1，0，1，0)T ，3α＝(-1，2，3，0)T ． 23．求与向量1α＝(1，0，-1，2)T ，2α＝(0，1，1，0)T 都正交的向量． 24．判别下列矩阵是否为正交矩阵？并说明理由．

（1

）0

0001111222211112

22??

- ? ? ?-- ?

?，（2

）0 ? 25．设,

n R αβ∈，A 是n 阶正交矩阵，证明：

（1）[,A A αβ]＝[,αβ]；（2）||A α||＝||α||；

（3）A α与A β的夹角等于α与β的夹角． 26．证明，若12,

,,n ααα 是R n 的一组标准正交基，A 是n 阶正交矩阵，则

线性代数(李建平)习题答案详解__复旦大学出版社

线性代数课后习题答案习题一 1.2.3（答案略） 4. (1) ∵ (127435689)415τ=+= (奇数) ∴ (127485639)τ为偶数故所求为127485639 (2) ∵(397281564)25119τ=+++= （奇数） ∴所求为397281564 5.(1)∵(532416)421106τ=++++= (偶数) ∴项前的符号位()6 11-=+ （正号）（2）∵325326114465112632445365a a a a a a a a a a a a = (162435)415τ=+= ∴ 项前的符号位5(1)1-=- （负号） 6. (1) (2341)(1)12n n τ-?L L 原式=(1)(1)!n n -=- （2）()((1)(2)21) 1(1)(2)21n n n n n n τ--??---??L L 原式=(1)(2) 2 (1) !n n n --=- （3）原式=((1)21) 12(1)1(1) n n n n n a a a τ-?--L L (1) 2 12(1)1(1)n n n n n a a a --=-L 7.8（答案略） 9. ∵162019(42)0D x =?-?+?--?= ∴7x = 10. （1）从第2列开始，以后各列加到第一列的对应元素之上，得 []11(1)1110 01(1)1110 (1)1 1 (1)1 1 1 x x n x x x n x x x n x x n x x +-+--==+-+--L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L []1(1)(1)n x n x -=+-- （2）按第一列展开： 11100000 (1)(1)0 0n n n n n y x y D x x y x y x y -++=?+-=+-L L L L L L L L

《线性代数》习题集(含答案)

《线性代数》习题集（含答案）第一章【1】填空题（1）二阶行列式 2a ab b b =___________。（2）二阶行列式 cos sin sin cos αα α α -=___________。（3）二阶行列式 2a bi b a a bi +-=___________。（4）三阶行列式x y z z x y y z x =___________。（5）三阶行列式 a b c c a b c a b b c a +++=___________。答案：1.ab(a-b)；2.1；3.()2 a b -；4.3 3 3 3x y z xyz ++-；5.4abc 。【2】选择题（1）若行列式12 5 1 3225x -=0，则x=（）。 A -3； B -2； C 2； D 3。（2）若行列式11 1 1011x x x =，则x=（）。 A -1 ， B 0 ， C 1 ， D 2 ，

（3）三阶行列式2 31 503 2012985 23 -=（）。 A -70； B -63； C 70； D 82。（4）行列式 000 000 a b a b b a b a =()。 A 4 4 a b -；B () 2 2 2a b -；C 4 4 b a -；D 44 a b 。（5）n 阶行列式0100 0020 0001000 n n - =（）。 A 0； B n ！； C （-1）·n ！； D () 1 1!n n +-?。答案：1.D ；2.C ；3.A ；4.B ；5.D 。【3】证明 33()by az bz ax bx ay x y z bx ay by az bz ax a b z x y bz ax bx ay by az y z x ++++++=++++ 答案：提示利用行列式性质将左边行列式“拆项”成八个三阶行列式之和，即得结果。【4】计算下列9级排列的逆序数，从而确定他们的奇偶性：（1）134782695；（2）217986354；（3）987654321。答案：（1）τ（134782695）=10，此排列为偶排列。（2）τ（217986354）=18，此排列为偶排列。（3）τ（987654321）=36，此排列为偶排列。【5】计算下列的逆序数：（1）135 （2n-1）246 （2n ）；（2）246 （2n ）135 （2n-1）。答案：（1） 12n （n-1）；（2）1 2 n （n+1）【6】确定六阶行列式中，下列各项的符号：

北大版线性代数第一章部分课后答案详解

习题1.2： 1 .写出四阶行列式中 11121314212223243132333441 42 43 44 a a a a a a a a a a a a a a a a 含有因子1123a a 的项解：由行列式的定义可知，第三行只能从32a 、34a 中选，第四行只能从42a 、44a 中选，所以所有的组合只有() () 13241τ-11233244a a a a 或() () 13421τ-11233442a a a a ，即含有因子1123a a 的项为11233244a a a a 和11233442a a a a 2. 用行列式的定义证明111213141521 22232425 31 3241425152 000000000 a a a a a a a a a a a a a a a a =0 证明：第五行只有取51a 、52a 整个因式才能有可能不为0，同理，第四行取41a 、42a ，第三行取31a 、32a ，由于每一列只能取一个，则在第三第四第五行中，必有一行只能取0.以第五行为参考，含有51a 的因式必含有0，同理，含有52a 的因式也必含有0。故所有因式都为0.原命题得证.。 3.求下列行列式的值：（1）01000020;0001000 n n -L L M M M O M L L （2）00100200100000 n n -L L M O M O M L L ；解：（1）0100 0020 0001 000 n n -L L M M M O M L L =()()23411n τ-L 123n ????L =()1 1!n n --

线性代数课后习题答案-复旦大学出版社-熊维玲

第一章 3.如果排列n x x x 2 1是奇排列,则排列1 1 x x x n n 的奇偶性如何？解：排列 1 1x x x n n 可以通过对排列 n x x x 21经过 (1)(1)(2)212 n n n n L 次邻换得到，每一次邻换都改变排列的奇偶性，故当2)1( n n 为偶数时，排列 1 1x x x n n 为奇排列，当2)1( n n 为奇数时，排列1 1 x x x n n 为偶排列。 4. 写出4阶行列式的展开式中含元素13 a 且带负号的项. 解：含元素13a 的乘积项共有13223144 (1)t a a a a ，13223441 (1)t a a a a ， 13213244 (1)t a a a a ，13213442 (1)t a a a a ，13243241 (1)t a a a a ，13243142 (1)t a a a a 六项，各项列标排列的逆序数分别为(3214)3t ， (3241)4t ， (3124)2 t ， (3142)3 t ， (3421)5t ，(3412)4 t ，故所求为13223144 1a a a a ， 132134421a a a a ， 13243241 1a a a a 。 5.按照行列式的定义,求行列式 n n 0 000100200100 的

值. 解：根据行列式的定义，非零的乘积项只有 1,12,21,1(1)t n n n nn a a a a L ，其中(1)(2) [(1)(2)21]2 n n t n n n L ，故行列式的值等于： (1)(2) 2 (1) ! n n n 6. 根据行列式定义,分别写出行列式x x x x x 1 11 1231112 1 2 的展开式中含4 x 的项和含3 x 的项. 解：展开式含4 x 的乘积项为 4 11223344 (1)(1)22t a a a a x x x x x 含3 x 的乘积项为13 12213344 (1)(1)1t a a a a x x x x 8. 利用行列式的性质计算下列行列式：解： (1) 41 131123421 1234 1111 1 1 1 1 410234123410121 10310 ()341234120121 2412341230321 r r r r r r r r r r r

线性代数试题及答案.

线性代数（试卷一) 一、填空题(本题总计2０分,每小题2分） 1. 排列76２３451的逆序数是_______。 2．若 122 21 12 11 =a a a a ,则=1 6 030322211211 a a a a 3。已知n 阶矩阵A 、B 和C 满足E ABC =,其中E 为n 阶单位矩阵，则CA B =-1。 4. 若A 为n m ?矩阵,则非齐次线性方程组AX b =有唯一解的充分要条件是＿＿＿__＿_＿_ 5. 设A 为86?的矩阵，已知它的秩为４，则以A 为系数矩阵的齐次线性方程组的解空间维数为_ ＿2__＿__＿____＿．６. 设Ａ为三阶可逆阵,??? ? ? ??=-1230120011 A ，则=*A ７。若Ａ为n m ?矩阵,则齐次线性方程组0Ax =有非零解的充分必要条件是８．已知五阶行列式1 23453 2011 11111 2 1403 54321=D ,则=++++4544434241A A A A A 9。向量α=(2,1,0,2)T -的模（范数)______________ 。 1０。若()T k 11=α与()T 121-=β正交,则=k

二、选择题（本题总计10分,每小题2分） 1。向量组r ααα,,,21 线性相关且秩为s ，则（D) Ａ.s r = B.s r ≤ C.r s ≤ ? D ．r s < 2. 若A 为三阶方阵,且043,02,02=-=+=+E A E A E A ，则=A (A) Ａ.8? B.8- Ｃ． 34?? Ｄ.3 4- 3.设向量组A 能由向量组B 线性表示，则( ｄ ) Ａ．)()(A R B R ≤ Ｂ．)()(A R B R < C.)()(A R B R = Ｄ．)()(A R B R ≥ ４. 设n 阶矩阵A 的行列式等于D ，则 () * kA 等于_____。c )(A *kA )(B *A k n )(C *-A k n 1)(D *A 5。设n 阶矩阵A ，B 和C ，则下列说法正确的是_____. )(A AC AB = 则 C B =)(B 0=AB ,则0=A 或0=B )(C T T T B A AB =)()(D 22))((B A B A B A -=-+ 三、计算题(本题总计60分.１-3每小题８分，4-7每小题９分）１。计算n 阶行列式22221 =D 22222 22322 2 12 2 2-n n 2 222 ． 2．设A 为三阶矩阵,* A 为A 的伴随矩阵，且2 1= A ，求* A A 2)3(1--. ３．求矩阵的逆 111211120A ?? ?=- ? ???

线性代数课后习题答案全)习题详解

线性代数课后习题答案全)习题详解第一章行列式 1.利用对角线法则计算下列三阶行列式：（1）381141102---；（2）b a c a c b c b a ; （3）222111c b a c b a ；（4）y x y x x y x y y x y x +++. 解（1）=---3 811411 02811)1()1(03)4(2??+-?-?+?-?)1()4(18)1(2310-?-?-?-?-??- =416824-++-=4- （2）=b a c a c b c b a cc c aaa bbb cba bac acb ---++3333c b a abc ---= （3）=2 221 11c b a c b a 222222cb ba ac ab ca bc ---++))()((a c c b b a ---= （4）y x y x x y x y y x y x +++yx y x y x yx y y x x )()()(+++++=333)(x y x y -+-- 33322333)(3x y x x y y x y y x xy ------+= )(233y x +-=

2.按自然数从小到大为标准次序，求下列各排列的逆序数：（1）1 2 3 4；（2）4 1 3 2；（3）3 4 2 1；（4）2 4 1 3；（5）1 3 … )12(-n 2 4 … )2(n ；（6）1 3 … )12(-n )2(n )22(-n … 2. 解（1）逆序数为0 （2）逆序数为4：4 1，4 3，4 2，3 2 （3）逆序数为5：3 2，3 1，4 2，4 1,2 1 （4）逆序数为3：2 1，4 1，4 3 （5）逆序数为 2 ) 1(-n n ： 3 2 1个 5 2，5 4 2个 7 2，7 4，7 6 3个 ……………… … )12(-n 2，)12(-n 4，)12(-n 6，…，)12(-n )22(-n )1(-n 个（6）逆序数为)1(-n n 3 2 1个 5 2，5 4 2个 ……………… … )12(-n 2，)12(-n 4，)12(-n 6，…，)12(-n )22(-n )1(-n 个 4 2 1个 6 2，6 4 2个 ……………… … )2(n 2，)2(n 4，)2(n 6，…，)2(n )22(-n )1(-n 个 3.写出四阶行列式中含有因子2311a a 的项.

(完整版)线性代数试题和答案(精选版)

线性代数习题和答案第一部分选择题(共28分) 一、单项选择题（本大题共14小题，每小题2分，共28分）在每小题列出の四个选项中只有一个是符合题目要求の，请将其代码填在题后の括号内。错选或未选均无分。 1.设行列式a a a a 1112 2122 =m， a a a a 1311 2321 =n，则行列式 a a a a a a 111213 212223 + + 等于（） A. m+n B. -(m+n) C. n-m D. m-n 2.设矩阵A= 100 020 003 ? ? ? ? ? ? ? ，则A-1等于（） A. 1 3 00 1 2 001 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? B. 100 1 2 00 1 3 ? ? ? ? ? ? ? ? ?? C. 1 3 00 010 00 1 2 ? ? ? ? ? ? ? ?? D. 1 2 00 1 3 001 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 3.设矩阵A= 312 101 214 - - - ? ? ? ? ? ? ? ，A*是Aの伴随矩阵，则A *中位于（1，2）の元素是（） A. –6 B. 6 C. 2 D. –2 4.设A是方阵，如有矩阵关系式AB=AC，则必有（） A. A =0 B. B≠C时A=0 C. A≠0时B=C D. |A|≠0时B=C 5.已知3×4矩阵Aの行向量组线性无关，则秩（A T）等于（） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 6.设两个向量组α1，α2，…，αs和β1，β2，…，βs均线性相关，则（） A.有不全为0の数λ1，λ2，…，λs使λ1α1+λ2α2+…+λsαs=0和λ1β1+λ2β2+…λsβs=0 B.有不全为0の数λ1，λ2，…，λs使λ1（α1+β1）+λ2（α2+β2）+…+λs（αs+βs）=0 C.有不全为0の数λ1，λ2，…，λs使λ1（α1-β1）+λ2（α2-β2）+…+λs（αs-βs）=0 D.有不全为0の数λ1，λ2，…，λs和不全为0の数μ1，μ2，…，μs使λ1α1+λ2α2+…+ λsαs=0和μ1β1+μ2β2+…+μsβs=0 7.设矩阵Aの秩为r，则A中（） A.所有r-1阶子式都不为0 B.所有r-1阶子式全为0 C.至少有一个r阶子式不等于0 D.所有r阶子式都不为0 8.设Ax=b是一非齐次线性方程组，η1，η2是其任意2个解，则下列结论错误の是（） A.η1+η2是Ax=0の一个解 B.1 2 η1+ 1 2 η2是Ax=bの一个解

线性代数习题集(带答案)

第一部分专项同步练习第一章行列式一、单项选择题 1．下列排列是5阶偶排列的是 ( ). (A) 24315 (B) 14325 (C) 41523 (D)24351 2．如果n 阶排列n j j j 21的逆序数是k , 则排列12j j j n 的逆序数是( ). (A)k (B)k n - (C) k n -2 ! (D)k n n --2)1( 3. n 阶行列式的展开式中含1211a a 的项共有( )项. (A) 0 (B)2-n (C) )!2(-n (D) )!1(-n 4． =0 00100100 1001 000( ). (A) 0 (B)1- (C) 1 (D) 2 5. =0 00110000 0100 100( ). (A) 0 (B)1- (C) 1 (D) 2 6．在函数1 3232 111 12)(x x x x x f ----= 中3x 项的系数是( ). (A) 0 (B)1- (C) 1 (D) 2

7. 若2 1 33 32 31 232221 131211==a a a a a a a a a D ，则=---=32 3133 31 2221232112 111311122222 2a a a a a a a a a a a a D ( ). (A) 4 (B) 4- (C) 2 (D) 2- 8．若 a a a a a =22 2112 11，则 =21 11 2212ka a ka a ( ). (A)ka (B)ka - (C)a k 2 (D)a k 2- 9．已知4阶行列式中第1行元依次是3,1,0,4-, 第3行元的余子式依次为 x ,1,5,2-, 则=x ( ). (A) 0 (B)3- (C) 3 (D) 2 10. 若5 7341111 1 326 3 478 ----= D ，则D 中第一行元的代数余子式的和为( ). (A)1- (B)2- (C)3- (D)0 11. 若2 23 5 001 01 11 10 403 --= D ，则D 中第四行元的余子式的和为( ). (A)1- (B)2- (C)3- (D)0 12. k 等于下列选项中哪个值时，齐次线性方程组??? ??=++=++=++0 00321 321321x x kx x kx x kx x x 有非零解. ( ) (A)1- (B)2- (C)3- (D)0 二、填空题

线性代数课后习题答案

线性代数课后题详解第一章行列式 1.利用对角线法则计算下列三阶行列式：相信自己加油（1） 3811411 02 ---；（2）b a c a c b c b a （3） 2 2 2 111 c b a c b a ；（4） y x y x x y x y y x y x +++. 解注意看过程解答（1）=---3 81141 1 2811)1()1(03)4(2??+-?-?+?-? )1()4(18)1(2310-?-?-?-?-??- =416824-++- =4- （2） =b a c a c b c b a cc c aaa bbb cba bac acb ---++ 3333c b a abc ---= （3） =2 2 2 1 11c b a c b a 222222cb ba ac ab ca bc ---++ ))()((a c c b b a ---= （4） y x y x x y x y y x y x +++ yx y x y x yx y y x x )()()(+++++=333)(x y x y -+-- 33322333)(3x y x x y y x y y x xy ------+= )(233y x +-= 2.按自然数从小到大为标准次序，求下列各排列的逆序数：耐心成就大业（1）1 2 3 4；（2）4 1 3 2；（3）3 4 2 1；（4）2 4 1 3；（5）1 3 … )12(-n 2 4 … )2(n ；（6）1 3 … )12(-n )2(n )22(-n … 2. 解（1）逆序数为0

（2）逆序数为4：4 1，4 3，4 2，3 2 （3）逆序数为5：3 2，3 1，4 2，4 1,2 1 （4）逆序数为3：2 1，4 1，4 3 （5）逆序数为2 ) 1(-n n ： 3 2 1个 5 2，5 4 2个 7 2，7 4，7 6 3个 ……………… … )12(-n 2，)12(-n 4，)12(-n 6，…，)12(-n )22(-n )1(-n 个（6）逆序数为)1(-n n 3 2 1个 5 2，5 4 2个 ……………… … )12(-n 2，)12(-n 4，)12(-n 6，…，)12(-n )22(-n )1(-n 个 4 2 1个 6 2，6 4 2个 ……………… … )2(n 2，)2(n 4，)2(n 6，…，)2(n )22(-n )1(-n 个 3.写出四阶行列式中含有因子 2311a a 的项. 解由定义知，四阶行列式的一般项为 43214321)1(p p p p t a a a a -，其中t 为4321p p p p 的逆序数．由于3,121==p p 已固定， 4321p p p p 只能形如13□□，即1324或1342.对应的t 分别为 10100=+++或22000=+++ ∴44322311a a a a -和42342311a a a a 为所求. 4.计算下列各行列式：多练习方能成大财（1）?? ??????? ???711 00251020214214；（2）????? ? ??? ???-26 0523******** 12；（3）???? ??????---ef cf bf de cd bd ae ac ab ；（4）?? ??? ???????---d c b a 100 110011001 解 (1) 7110025102021421434327c c c c --0 1001423102 02110214--- =34)1(14 3102211014+-?---

线性代数试题及答案。。

第一部分选择题(共28分) 一、单项选择题（本大题共14小题，每小题2分，共28分）在每小题列出的四个选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填在题后的括号内。错选或未选均无分。 1.设行列式a a a a 1112 2122 =m， a a a a 1311 2321 =n，则行列式 a a a a a a 111213 212223 + + 等于（） A. m+n B. -(m+n) C. n-m D. m-n 2.设矩阵A= 100 020 003 ? ? ? ? ? ? ? ，则A-1等于（） A. 1 3 00 1 2 001 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? B. 100 1 2 00 1 3 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? C. 1 3 00 010 00 1 2 ? ? ? ? ? ? ? ?? D. 1 2 00 1 3 001 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 3.设矩阵A= 312 101 214 - - - ? ? ? ? ? ? ? ，A*是A的伴随矩阵，则A *中位于（1，2）的元素是（） A. –6 B. 6 C. 2 D. –2 4.设A是方阵，如有矩阵关系式AB=AC，则必有（） A. A =0 B. B≠C时A=0 C. A≠0时B=C D. |A|≠0时B=C 5.已知3×4矩阵A的行向量组线性无关，则秩（A T）等于（） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 6.设两个向量组α1，α2，…，αs和β1，β2，…，βs均线性相关，则（） A.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs使λ1α1+λ2α2+…+λsαs=0和λ1β1+λ2β2+…λsβs=0 B.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs使λ1（α1+β1）+λ2（α2+β2）+…+λs（αs+βs）=0 C.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs使λ1（α1-β1）+λ2（α2-β2）+…+λs（αs-βs）=0 D.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs和不全为0的数μ1，μ2，…，μs使λ1α1+λ2α2+…+ λsαs=0和μ1β1+μ2β2+…+μsβs=0 7.设矩阵A的秩为r，则A中（） A.所有r-1阶子式都不为0 B.所有r-1阶子式全为0 C.至少有一个r阶子式不等于0 D.所有r阶子式都不为0 8.设Ax=b是一非齐次线性方程组，η1，η2是其任意2个解，则下列结论错误的是（） A.η1+η2是Ax=0的一个解 B.1 2η1+1 2 η2是Ax=b的一个解 C.η1-η2是Ax=0的一个解 D.2η1-η2是Ax=b的一个解 9.设n阶方阵A不可逆，则必有（）

线性代数课后习题1答案(谭琼华版)

线性代数课后题详解第一章行列式 1.利用对角线法则计算下列三阶行列式： (1) ； 21-1 2 解：；5)1(1222 1-12=-?-?= (2) ；1 1 12 2 ++-x x x x 解：； 1)1)(1(11 1232222--=-++-=++-x x x x x x x x x x (3) ;22b a b a 解： ;222 2ba ab b a b a -= (4) ;5 984131 11 解： ;59415318119318415115 984131 11=??-??-??-??+??+??= (5) ;0 00 00d c b a 解： ;00000000000000 00=??-??-??-??+??+??=d c b a d b c a d c b a (6) .132213321 解： .183211322133332221111 322133 21=??-??-??-??+??+??=

2.求下列排列的逆序数：（1）34215；解：3在首位，前面没有比它大的数，逆序数为0；4的前面没有比它大的数，逆序数为0；2的前面有2个比它大的数，逆序数为2；1的前面有3个比它大的数，逆序数为3；5的前面没有比它大的数，逆序数为0.因此排列的逆序数为5. （2）4312；解：4在首位，前面没有比它大的数，逆序数为0；3的前面有1个比它大的数，逆序数为1；1的前面有2个比它大的数，逆序数为2；2的前面有2个比它大的数，逆序数为2.因此排列的逆序数为5. （3）n(n-1)…21；解：1的前面有n-1个比它大的数，逆序数为n-1；2的前面有n-2个比它大的数，逆序数为n-2；…；n-1的前面有1个比它大的数，逆序数为1；n 的前面没有比它大的数，逆序数为0.因此排列的逆序数为n(n-1)/2. (4）13…(2n-1)(2n) …42. 解：1的前面没有比它大的数，逆序数为0；3的前面没有比它大的数，逆序数为0；…；2n-1的前面没有比它大的数，逆序数为0；2的前面有2n-2个比它大的数，逆序数为2n-2；4的前面有2n-4个比它大的数，逆序数为2n-4；…；2n 的前面有2n-2n 个比它大的数，逆序数为2n-2n.因此排列的逆序数为n(n-1). 3.写出四阶行列式中含有因子2311a a 的项. 解由定义知，四阶行列式的一般项为 43214321)1(p p p p t a a a a -，其中t 为4321p p p p 的逆序数．由于3,121==p p 已固定，4321p p p p 只能形如13□□，即1324或1342.对应的t 分别为 10100=+++或22000=+++ ∴44322311a a a a -和42342311a a a a 为所求. 4.计算下列各行列式： (1) 71100 251020214214 ；解： 7110025102 021 4214343 27c c c c --0 1 14 23102021 10214 ---= 34)1(14 3 10 2211014 +-?--- =- 14 3 10 2211014 --3 2 1 132c c c c ++- 14 17172 1099 -= 0. (2) ;0111101111011 110 解： 0111101111011 1104342c c c c --0 1 1 1 1 10110111000--=14)1(1 11 101 1 1+-?-- =-1 1 1 101 01 1-- 12c c +-1 2 1111 001-=- 1 2 11-=-3.

同济大学线性代数第五版课后习题答案

第一章行列式 1 利用对角线法则计算下列三阶行列式 (1)3811 411 02--- 解 3 811411 02--- 2(4)30(1)(1)118 0 132(1)8 1( 4) (1) 248164 4 (2)b a c a c b c b a 解 b a c a c b c b a acb bac cba bbb aaa ccc 3abc a 3b 3c 3 (3)2 221 11c b a c b a

解 2 221 11c b a c b a bc 2ca 2ab 2ac 2ba 2cb 2 (a b )(b c )(c a ) (4)y x y x x y x y y x y x +++ 解 y x y x x y x y y x y x +++ x (x y )y yx (x y )(x y )yx y 3(x y )3x 3 3xy (x y )y 33x 2 y x 3y 3x 3 2(x 3 y 3) 2 按自然数从小到大为标准次序求下列各排列的逆序数 (1)1 2 3 4 解逆序数为0 (2)4 1 3 2 解逆序数为4 41 43 42 32 (3)3 4 2 1

解逆序数为5 3 2 3 1 4 2 4 1, 2 1 (4)2 4 1 3 解逆序数为3 2 1 4 1 4 3 (5)1 3 (2n1) 2 4 (2n) 解逆序数为 2)1 ( n n 3 2 (1个) 5 2 5 4(2个) 7 2 7 4 7 6(3个) (2n1)2(2n1)4(2n1)6 (2n1)(2n2) (n1个) (6)1 3 (2n1) (2n) (2n2) 2 解逆序数为n(n1) 3 2(1个) 5 2 5 4 (2个) (2n1)2(2n1)4(2n1)6

线性代数期末考试试题(含答案)

江西理工大学《线性代数》考题一、填空题（每空3分，共15分） 1. 设矩阵??????????=333222 111 c b a c b a c b a A ,??????????=333 222111d b a d b a d b a B 且4=A ,1=B 则=+B A ______ 2. 二次型233222213214),,(x x tx x x x x x f +-+=是正定的，则t 的取值范围__________ 3. A 为3阶方阵，且2 1=A ，则=--*12)3(A A ___________ 4. 设n 阶矩阵A 的元素全为1，则A 的n 个特征值是___________ 5. 设A 为n 阶方阵，n βββ ,,21为A 的n 个列向量，若方程组0=AX 只有零解，则向量组(n βββ ,,21)的秩为 _____ 二、选择题（每题3分，共15分） 6. 设线性方程组?????=+=+--=-032231 3221ax cx bc bx cx ab ax bx ，则下列结论正确的是（） (A)当c b a ,,取任意实数时，方程组均有解 (B)当a ＝0时，方程组无解 (C) 当b ＝0时，方程组无解 (D)当c ＝0时，方程组无解 7. A.B 同为n 阶方阵，则（）成立 (A) B A B A +=+ (B) BA AB = (C) BA AB = (D) 111)(---+=+B A B A 8. 设??????????=333231232221 131211 a a a a a a a a a A ，??????????+++=331332123111131211232221a a a a a a a a a a a a B ,??????????=1000010101P , ???? ??????=1010100012P 则（）成立 (A)21P AP (B) 12P AP (C) A P P 21 (D) A P P 12 9. A ,B 均为n 阶可逆方阵，则AB 的伴随矩阵=*)(AB （） (A) **B A (B) 11--B A AB (C) 11--A B (D)**A B 10. 设A 为n n ?矩阵，r A r =)(＜n ，那么A 的n 个列向量中（）（A ）任意r 个列向量线性无关

线性代数试卷及答案

《线性代数A 》试题（A 卷）试卷类别：闭卷考试时间：120分钟考试科目：线性代数考试时间：学号：姓名：题号一二三四五六七总分得分阅卷人一．单项选择题（每小题3分，共30分） 1．设A 经过初等行变换变为B ，则（）.(下面的(),()r A r B 分别表示矩阵,A B 的秩)。 () A ()()r A r B <； () B ()()r A r B =； ()C ()()r A r B >； () D 无法判定()r A 与()r B 之间的关系。 2．设A 为 (2)n n ≥阶方阵且||0A =，则（）。 () A A 中有一行元素全为零； () B A 有两行（列）元素对应成比例； () C A 中必有一行为其余行的线性组合； () D A 的任一行为其余行的线性组合。 3. 设,A B 是n 阶矩阵(2n ≥), AB O =,则下列结论一定正确的是: ( ) () ;A A O B O ==或 ()AX B B 的每个行向量都是齐次线性方程组=O 的解. ();C BA O = ()()().D R A R B n +≤ 4．下列不是n 维向量组12,,...,s ααα线性无关的充分必要条件是（） () A 存在一组不全为零的数12,,...,s k k k 使得1122...s s k k k O ααα+++≠；

() B 不存在一组不全为零的数12,,...,s k k k 使得1122...s s k k k O ααα+++= 12(),,...,s C ααα的秩等于s ； 12(),,...,s D ααα中任意一个向量都不能用其余向量线性表示 5．设n 阶矩阵(3)n ≥1...1................1a a a a a a A a a a ?? ? ? ?= ? ? ???，若矩阵A 的秩为1n -，则a 必为（）。 ()A 1； () B 11n -； () C 1-； () D 11 n -. 6．四阶行列式 1 1 2 2334 4 0000 000 a b a b b a b a 的值等于（）。 ()A 12341234a a a a b b b b -； ()B 12341234a a a a b b b b +； () C 12123434()()a a b b a a b b --； () D 23231414()()a a b b a a b b --. 7．设A 为四阶矩阵且A b =，则A 的伴随矩阵* A 的行列式为（）。 ()A b ； () B 2b ； () C 3b ； () D 4b 8．设A 为n 阶矩阵满足23n A A I O ++=，n I 为n 阶单位矩阵,则1 A -=（） () n A I ； ()3n B A I +； ()3n C A I --； ()D 3n A I + 9．设A ，B 是两个相似的矩阵，则下列结论不正确的是（）。 ()A A 与B 的秩相同； ()B A 与B 的特征值相同； () C A 与B 的特征矩阵相同； () D A 与B 的行列式相同；

线性代数课后习题答案(陈维新)

第一章行列式习题1.1 1. 证明：（1）首先证明)3(Q 是数域。因为)3(Q Q ?，所以)3(Q 中至少含有两个复数。任给两个复数)3(3,32211Q b a b a ∈++，我们有 3 )()3()3)(3(3)()()3()3(3)()()3()3(2121212122112121221121212211b a a b b b a a b a b a b b a a b a b a b b a a b a b a +++=++-+-=+-++++=+++。因为Q 是数域，所以有理数的和、差、积仍然为有理数，所以 ) 3(3)()3()3)(3()3(3)()()3()3()3(3)()()3()3(2121212122112121221121212211Q b a a b b b a a b a b a Q b b a a b a b a Q b b a a b a b a ∈+++=++∈-+-=+-+∈+++=+++。如果0322≠+b a ，则必有22,b a 不同时为零，从而0322≠-b a 。又因为有理数的和、差、积、商仍为有理数，所以 )3(33) (3)3() 3)(3()3)(3(3 32 2 22212122222121222222112211Q b a b a a b b a b b a a b a b a b a b a b a b a ∈--+--= -+-+= ++。综上所述，我们有)3(Q 是数域。（2）类似可证明)(p Q 是数域，这儿p 是一个素数。（3）下面证明：若q p ,为互异素数，则)()(q Q p Q ?。（反证法）如果)()(q Q p Q ?，则q b a p Q b a +=? ∈?,，从而有 q ab qb a p p 2)()(222++==。由于上式左端是有理数，而q 是无理数，所以必有02=q ab 。所以有0=a 或0=b 。如果0=a ，则2 qb p =，这与q p ,是互异素数矛盾。如果0=b ，则有 a p =，从而有“有理数=无理数”成立，此为矛盾。所以假设不成立，从而有)()(q Q p Q ?。

线性代数第四版同济大学课后习题答案04

第四章向量组的线性相关性 1. 设v 1=(1, 1, 0)T , v 2=(0, 1, 1)T , v 3=(3, 4, 0)T , 求v 1-v 2及3v 1+2v 2-v 3. 解 v 1-v 2=(1, 1, 0)T -(0, 1, 1)T =(1-0, 1-1, 0-1)T =(1, 0, -1)T . 3v 1+2v 2-v 3=3(1, 1, 0)T +2(0, 1, 1)T -(3, 4, 0)T =(3?1+2?0-3, 3?1+2?1-4, 3?0+2?1-0)T =(0, 1, 2)T . 2. 设3(a 1-a )+2(a 2+a )=5(a 3+a ), 求a , 其中a 1=(2, 5, 1, 3)T , a 2=(10, 1, 5, 10)T , a 3=(4, 1, -1, 1)T . 解由3(a 1-a )+2(a 2+a )=5(a 3+a )整理得 )523(6 1 321a a a a -+= ])1 ,1 ,1 ,4(5)10 ,5 ,1 ,10(2)3 ,1 ,5 ,2(3[61 T T T --+= =(1, 2, 3, 4)T . 3. 已知向量组 A : a 1=(0, 1, 2, 3)T , a 2=(3, 0, 1, 2)T , a 3=(2, 3, 0, 1)T ; B : b 1=(2, 1, 1, 2)T , b 2=(0, -2, 1, 1)T , b 3=(4, 4, 1, 3)T , 证明B 组能由A 组线性表示, 但A 组不能由B 组线性表示. 证明由 ????? ??-=3121 23111012421301 402230) ,(B A ??? ? ? ??-------971820751610402230 421301 ~r ???? ? ? ?------531400251552000751610 421301 ~r ??? ? ? ? ?-----000000531400751610 421301 ~r 知R (A )=R (A , B )=3, 所以B 组能由A 组线性表示.

工程数学线性代数同济大学第六版课后习题答案

第一章行列式 1、利用对角线法则计算下列三阶行列式: (1)3 81141102---; 解 3 81141102--- =2?(-4)?3+0?(-1)?(-1)+1?1?8 -0?1?3-2?(-1)?8-1?(-4)?(-1) =-24+8+16-4=-4、

(2)b a c a c b c b a ; 解 b a c a c b c b a =acb +bac +cba -bbb -aaa -ccc =3abc -a 3-b 3-c 3、 (3)2 22111c b a c b a ; 解 2 22111c b a c b a =bc 2+ca 2+ab 2-ac 2-ba 2-cb 2 =(a -b )(b -c )(c -a )、 (4)y x y x x y x y y x y x +++、解 y x y x x y x y y x y x +++ =x (x +y )y +yx (x +y )+(x +y )yx -y 3-(x +y )3-x 3 =3xy (x +y )-y 3-3x 2 y -x 3-y 3-x 3 =-2(x 3+y 3)、 2、按自然数从小到大为标准次序, 求下列各排列的逆序数: (1)1 2 3 4;

解逆序数为0 (2)4 1 3 2; 解逆序数为4:41, 43, 42, 32、(3)3 4 2 1; 解逆序数为5: 3 2, 3 1, 4 2, 4 1, 2 1、(4)2 4 1 3; 解逆序数为3: 2 1, 4 1, 4 3、 (5)1 3 ??? (2n-1) 2 4 ??? (2n); 解逆序数为 2)1 (- n n : 3 2 (1个) 5 2, 5 4(2个) 7 2, 7 4, 7 6(3个) ?????? (2n-1)2, (2n-1)4, (2n-1)6,???, (2n-1)(2n-2) (n-1个) (6)1 3 ???(2n-1) (2n) (2n-2) ??? 2、解逆序数为n(n-1) : 3 2(1个) 5 2, 5 4 (2个) ?????? (2n-1)2, (2n-1)4, (2n-1)6,???, (2n-1)(2n-2) (n-1个) 4 2(1个) 6 2, 6 4(2个)

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