本文主要对数学归纳法的教学进行较为完整的研究

本文主要对数学归纳法的教学进行较为完整的研究。

数学归纳法是一种证明与正整数有关的命题的极为有效的科学方法。了解数学归纳法的发现和发展的历史，明确数学归纳法与归纳法的区别与联系，是教师教授和学生掌握数学归纳法的基础。对数学归纳法逻辑基础即原理的准确理解，是教师进行数学归纳法教学的前提，也是学生能否掌握这种证明方法的关键。

数学归纳法的教学首先是一种程序性教学。为了让学生能够正确应用数学归纳法，还要进行形式化教学。在形式化现象下的本质规律的教学，即内涵教学，则是数学归纳法教学的内在精髓。数学归纳法通过有限的程序，完成了验证无限的结论，它的灵魂就是递归思想。

归纳法是发现问题的一种有效方法。在数学归纳法的教学过程中，恰到好处地进行数学归纳法的教学，既可帮助学生区分这两种方法，又可引领学生了解发现问题的途径，可谓一举两得。培养学生“观察一归纳一猜想一证明”的链条式思维模式，开发学生的创造性思维能力，将会对未来数学的发展起到推波助澜的作用。数学归纳法的应用是数学归纳法教学中很重要的一个环节。数学归纳法可以用来证明与正整数有关的恒等式、不等式、整除性问题和几何问题等。

本文针对数学归纳法应用过程中，学生常见错误出现的心理因素进行了问卷调查。在应用数学归纳法证题时，导致学生犯错误的主要原因是对数学归纳法的原理没有真正理解;另一个原因是数学归纳法应用中的思维定势。要克服学生使用数学归纳法的心理障碍，一个有效的方法就是要了解数学归纳法应用的局限性。能运用非数学归纳法证明另外一些与正整数有关的命题，也是学生学习和使用数学归纳法时所要克服的心理依赖和必经过程。

1. 2数学归纳法的研究现状

对“数学归纳法”的研究国内己有不少论文，这些论文在某些具体方面作出了详尽的论述。例如，赵龙山在《有关数学归纳法教学中的逻辑问题》一文中，对数学归纳法的逻辑基础问题进行了论述和研究，形象地引入“递推机”，从而加深了对数学归纳法本质的理解，有助于学生更好地、合逻辑地运用数学归纳法证题，也有助于学生克服对于数学归纳法的模糊甚至是错误认识。文中还指出了数学归纳法与归纳法、完全归纳法是完全不同的证题方法，只是没有对一三者的内在关系进行系统详细地阐述。罗增儒在《关于数学归纳法的逻辑基础》一文中指出:历史上数学归纳法曾被称为“逐次归纳法”、“完全归纳法”，后来被称为“数学归纳法”，既区别于逻辑上的“完全归纳法”，又比“逐次归纳法”更能表明它论证的可靠性。在此文中还引述了一些学者的观点，就数学归纳法的本质进行了表述。

刘世泽在《数学归纳法的另外两种形式》一文中，介绍了除数学归纳法第I型和第II 型以外的另两种形式:跳跃归纳法和二元有限归纳法;朱孝建在《数学归纳法的构造》一文中，给出了数学归纳法的一个一般性定理，由此可推导出数学归纳法的各种常见形式，还可根据具体问题的需要构造出其它数学归纳法的形式，进一步开拓了数学归纳法的应用范围，从而对数学归纳法的本质有了一个较为全面深入地了解;李淑文、孙德菊在《累积数学归纳法》一文中，比较了数学归纳法的第一种形式和第二种形式，并就第二种形式，即累积数学归纳法作了举例说明。以上三篇论文都是针对数学归纳法的形式或构造的论述。

邵光华所作的论文《对中学“数学归纳法”教材教法的几点思考》，主要针对教材教法中对数学归纳法内容的安排和教学，提出了值得思考的五个具体问题，并简单地说明了数学归纳法和归纳法的区别。文中提到了不完全归纳法，但未作深入论述。唐以荣在《中学数学综合题解题规律讲义》中指出:“早在五十年代的苏联的教学法书籍中，己明确指出数学归纳法是演绎法的特殊形式;八十年代的中国中学数学课本和教学法书籍却没有做到这一点不能不令人遗憾。”①即使是现在的中学教材也还是没有改进这些。

齐智华在《“数学猜测”的教学构想与实践》一文中，介绍了“数学猜测”的教学纲目，

给出了作者编选猜测习题的原则，并进行了实例说明。文中讲述了“教猜测”和“教证明”的同等重要性，用作者自身的实践说明:教猜测对所有层次的学生都具有普遍意义。此文以教学纲目的形式，给出了先由归纳猜测结论，再由数学归纳法进行证明的思维方法，但没有展开论述。

除以上这些论文以外，还有数量不少的文章从数学归纳法教学的细微处着眼，举例说明了学生在学习数学归纳法过程中常见的错误，并进行了剖析。一些论著也提到了数学归纳法，把它作为一种证明方法进行了简洁的阐述。例如，徐利治先生著的《徐利治论数学方法学》中，收集了以下几篇文章，从归纳与猜想的角度说明了数学归纳法教学的重要性，它们是《数学家是怎样思考和解决问题的》、《流与源—不容忽视的创作源泉》、《浅谈数学方法学》、《漫谈学数学》等。李文林著的《数学史概论》中，也阐述了数学归纳法的理论。此外，华罗庚著的《数学归纳法》、洪波著的《怎样应用数学归纳法》、G·波利亚的《怎样解题》、《数学与猜想》、《数学中的归纳法与类比法》等著作，大多从理论方面论述了数学归纳法和归纳法在数学教学中的重要性和价值。

我国的数学期刊或数理杂志，如《数学教育学报》、《数学通于};,《数学通讯》、《中学数学教学参考》、《数学教学》等，刊载的相关文章大都从各个角度具体阐述了数学归纳法教学中常见的问题，但少有从整体上进行系统论述的。本文将对数学归纳法进行较为完整的系统论述。

2. 1数学归纳法的历史

对于数学归纳法历史的叙述，在此做几点说明。其一，现有教材中，自然数集的范围扩大，增加了“0”这个元素。自然数集的新定义:0与正整数的全体构成的集合称为自然数集。而原有文献中依然运用“自然数(集)”，有鉴于此，本文都将一一修正为正整数(集)。其二，关于数学归纳法的历史，各种参考资料的叙述都大同小异，本文采用了1999年《中学数学教学参考》第Z1期刊登的、孙宏安著的《数学归纳法的历史》，并将此文中的自然数(集)修正为正整数(集)。

正整数(即以前的自然数)可以说是人们最先认识的数学概念之一。关于正整数，人们最初处理的只是关于较小的并且是关于有限个正整数的问题。但是正整数集是一个无限集，人们研究正整数，很快就会遇到涉及全体正整数，即涉及到无限集的问题。人们不可能写出所有的正整数，也无法对正整数作无限次的操作，因而人们只有通过某种方法沟通有限和无限，使人们能以有限掌握无限、以有限次的操作来把握关于无限集的某些性质，来研究涉及到全体正整数，即涉及到无限集的问题。人们找到了这种方法，那就是数学归纳法。

数学归纳法是证明关于正整数n的命题爪n)的一种方法，其作法是:

1、.证明p(1)为真;

2.假设p(k)真，证明p(k +1)为真。

若1、2都得证，则p(n)对所有正整数都真。

二.归纳基础步骤中有关“。N0”的理解错误

受思维定势影响，常认为n。就是1

必须注意:(1)数学归纳法原理中“no”是要证明命题成立的最小正整数。例如，命题“多边形的内角和为((n一2)180.”中，n>_3时，原命题成立，所以，用数学归纳法证明此命题的基础应该是no =3;命题“边数为偶数的圆内接凸多边形，相间诸角的和等于其余诸角的和”中，n<4时，原命题无意义，所以，用数学归纳法证明此命题的基础应该是n。=4，再对一切偶数进行数学归纳法。

研究背景

证明对于数学的重要性被越来越多的人意识到。首先，证明对于深入学习数学是不可或缺的(Hanna, 2000)。其次，学生对于证明的精通可以更广泛地提高他们在数学上的精通，因为“在所有需要作出结论或作出决定的情境中都涉及到证明”(Fawcett, 1938, p.120) o 大量的研究都是着眼于学生对证明的理解以及从不同角度对证明的教学(Harel &Sowder, 2007; Healy & Hoyles, 2000; Lin, Hsieh, Hanna & de Villiers, 2009;郑仲义，2004;颜景红，2008;陈慧，2010) o Hanna & Barbeau俘008)认为证明就像是数学知识的纽带，并提出证明的教学在中学数学中扮演着传递数学原理的重要角色。

由于学生对数学归纳法的理解能够促进他们对证明和归纳推理的理解，国际上已经提出应该把数学归纳法放在中学的高年级学习(National Council of Teachers ofMathematics, 2000) o

数学归纳法是高中数学教学的难点之一。它作为数学的一种常用方法，集归纳、猜想、证明于一体，内容既抽象又具体，蕴涵着非常深刻的数学思想。全日制普通高级中学教科书《数学》(以下简称旧教材)，以及普通高中课程标准实验教科书《数学((A)})(以下简称新教材)都把数学归纳法列为学生必须选修的重要内容之一。

新旧教材对于数学归纳法的编排有所不同，旧教材把数学归纳法放在“极限”的章节下，新教材则把它放在“推理与证明”章节下。尽管在数学归纳法中蕴含着无限的思想，但它的本质是一种数学证明方法，与极限没有多大联系。新教材是让学生在学习了“合情推理与演绎证明”以及“直接证明与间接证明”之后才学习“数学归纳法”。这样的安排体现了数学归纳法的基本属性—它是一种数学证明方法，同时也注重了知识的内在联系。因此，在数学归纳法内容的编排上，新教材显得更得当、更符合知识的特点。

其次，新旧教材关于数学归纳法的产生也很不相同。新教材是先从多米诺骨牌谈起，从游戏中发现规律，找出游戏原理与数学问题的求解过程的相似性，从而给出数学归纳法的定义;而旧教材则是直接从一个数学问题求解的过程中提炼出数学归纳法，然后再用多米诺骨牌对其进行解释。新教材中体现了数学归纳法来源于生活，而旧教材中则体现出数学归纳法产生于数学本身。那么，数学归纳法到底是来源于生活还是来源于数学本身呢?追寻数学归纳法的产生过程，我们可以发现，数学归纳法并不是通过对某些生活问题(比如多米诺骨牌或者火车车厢等)的研究而发现的规律，再将它运用于数学问题的求解之后形成的一种数

学思想方法，而是数学家们通过对一些数学问题求解方法的探索研究，逐步提炼出来的一种特殊的数学思想方法。因此，数学归纳法产生于数学本身，而不是生活中的规律在数学科学中的应用。新旧教材在关于数学归纳法的产生方面的阐述，旧教材显得更加得体，它正确地处理了“数学与生活”的关系，体现了正确的数学观，能够帮助学生形成正确的数学观。

旧教材的编写意图是正确的，它注重数学知识的产生背景，让学生在己有的知识经验的基础上，经过逐步探索，最后总结出方法，能够让学生经历数学知识的产生和发展的过程。但是好的编写意图，在这种呆板的编写方式下却具有很强的隐蔽性。在通常情况下，教师，尤其是新教师很难吃透教材并弄清其意图，教师对于数学归纳法的教学往往是重结果轻过程，从而导致教材的编写意图难以实现(王跃辉，2011)’。

何豪明(2010)2在研究数学概念教学设计时提到，中学数学概念教学的实践表明，部分教师对于数学概念的教学，往往是先从数学概念出发，介绍其符号表达，经过对其一些性质的讨论，便马上进入了解题环节，希望学生能够在解题过程中达到对数学概念的深入理解和掌握。这样就容易导致学生虽然学会了用这种概念解题，但是缺不理解其解题原理。尽管一些教师有时也意识到情境的重要性，但常常只是作为课题的一个引入，匆匆呈现，数学概念课往往成为了习题课。“在做中学”被异化为了反复的解题训练，这种快节奏的教学，很容易造成学生对概念运用的不灵活，迁移能力差，也容易忘记。所以在教师提问时，一些学生回答“老师，我忘了”，这种学生对数学概念就不是靠理解的，而是靠死记硬背。因为真正理解的知识是不会忘记的。

王跃辉(2011).关于新旧教材中“数学归纳法”编写的比较研究.中学版·教学参考，(1), 31-33.

何豪明((2010).基于APOS理论的数学概念教学设计—以数学归纳法的教学设计为例.上海中学数学，(10),23-24.

1.2研究目的和意义

1.2.1数学归纳法的孟要性

数学归纳法是最重要、最常用的数学思想方法之一，它贯穿于发现问题和解决问题的全过程。数学归纳法的重要性主要体现在以下几个方面的作用。

数学归纳法的重要性之一在于其作为一种证明方法的作用。数学归纳法是证明某些与自然数有关的数学命题的一种极为简便有效的科学方法。它既能避免进行无限次的验证，又能取得类似完全归纳法的效果(结论是可靠的)。

事实上，数学归纳法不仅仅只能证明与自然数有关的命题，还能证明与那些能与自然数集(或正整数集)建立一一对应的集合有关的命题。例如，它还能证明算术基本定理，辗转相除法(欧几里得算法)等等。数学归纳法在离散数学与数论中是一种非常重要的证明方法，用于证明与自然数的性质有关的定理。费马，数论的创始人，用数学归纳法证明了很多他在这个领域的重要发现((Boyer, 1968) o

数学归纳法除了在数学中作为一种证明方法的重要性，它还提供了一种情境，能够提高学生对于证明的感知。数学归纳法虽不是归纳法，但是在数学归纳法的思维模式中还是能找到归纳法的一些影子:先通过对大量个别事实的观察，归纳概括出一般性的结论，然后利用数学归纳法去证明这个结论。因此数学归纳法为我们提供了一种一般的数学思维方式，即观察*归纳*猜想*证明，这种思维方式可以有效地培养学生的理性思维。

此外，数学归纳法还能帮助学生更好地理解有限和无限的概念，促进学生从有限思维到无限思维的发展。数学归纳法还能揭示自然数集的结构，以及可以作为与自然数相关的数学定义的基本的教学手段。然而，这两个作用却很少被人提及。

2数学归纳法的原理

数学归纳法很早就被提出并广泛应用了。1686年，伯努利给出并使用了现代形式的数学归纳法，但它的逻辑基础是不明确的。1838年德·摩根给出了“数学归纳法”(mathematical Induction)的名称。直到1889年，意大利数学家皮亚诺((G. Peano)发表了《算术原理新方法》，建立了自然数公理，将“后继”作为一种基本关系，列举了自然数的五条基本性质，其中的归纳公理便是数学归纳法的逻辑基础:“给定集合S∈N，证明0∈S和k∈S ?k+l ∈S从而建立S = N

(若将只考虑正整数，则公理中的0要换成1，自然数要换成正整数。)

这样，皮亚诺不仅以公理的形式保证了一个数的后继的存在，而且为用数学归纳法

证明的结果对所有自然数的有效性作出了保证。皮亚诺把数学归纳法原理奠定在下述事实基础上:在任一自然数h之后接着便有下一个n+1，因此从自然数0出发，通过有限次这种步骤，定能达到任意选定的自然数n。这是自然数的一个重要性质，是其他数集，例如实数所没有的性质。

Ernest(1984)1进一步分析了这条公理的含义，揭示两个关于数学归纳法的概念领域:(1)自然数与函数的确定的性质，(2)自然数的递推性和有序性”。第一个领域是至关重要的，因为要用数学归纳法来证明首先需要认识、理解并使用自然数的性质。第二个领域是与数学归纳法的证明基础有关的。数学归纳法的原理也可以看成是自然数的一个性质，也等价于最小数原理(设M是自然数集的任一非空子集，则必存在一个自然数m∈M，使对一切n∈M.都有m≤n)。至此，数学归纳法有了严格的逻辑基础，成为了一种常用的数学方法。

1 Ernest, P. (1984). Mathematical induction: A pedagogical discussion. Educational Studies in Mathematics, 15, 173一189

数学归纳法名称的由来

如同众多的数学概念一样，“数学归纳法”这个名称不是一开始就有的，很多数学家,如毛罗利科斯、费马(Pierre de Fermat, 1601-1665 )、帕斯卡、雅各布·伯努力等，虽然用过“准数学归纳法”的证明方法，但都没有给他们的逻辑证明过程一个名称。沃利斯( John Wallis,1616-1703 )是第一个赋予这个过程名称的数学家，但他在著作《无穷算术》的15页的命题XIX中，赋予的名称却是“归纳”(Burton D.M.,1988 } P. 400 )。

1830年，英国数学家乔治·匹科克(George Peacock,1791-1858)在其((关于代数的著作》的书中首次给“数学归纳法”起了的一个特别的名字—论证性归纳。1838年，英国数学家德·摩根(De Morgan,1806-1871)在其《袖珍型百科全书》( Penny Cyclopedia)的《归纳(数学)》一文中，先是使用“连续归纳”这个名称，但在文章的结尾部分，却使用了“数学归纳法”这一词，至此，数学史上多了一个数学名词一一“数学归纳法”。

这个时期，数学归纳法和论证性归纳这两个名称是同时使用的，但随着时间的推移，论证性归纳逐渐被淘汰。1874年，美国数学家费克林(Joseph Ficklin,1833-I 908)在((完全代数》中使用了数学归纳法这个名称;1884年，温特沃斯(G.A.Wentworth,1835-1906 )在其《代数基础》里也使用了这个名称，但是直到20世纪美国教材中才开始介绍这个名词。在欧洲大陆“数学归纳法”这个词不常用，如德国常用“完全归纳法”这个词，它最早出现在戴德金(Richard Dedenkind,l831-1985 ) 1887年的《数字是什么，什么是数字》书中(Caj on F., 1918 )。

在经历一个漫长的过程之后，“数学归纳法”这个名词才被慢慢确定下来，成为一个约定俗成的名称。美国数学家、数学教育家波利亚(George Polya, 1887-19$5)曾评论“数学归纳

法”这个名词是被大家接受的术语，没有任何的具体的意义。如果囚数学归纳法是常用来证明归纳猜想，而把“数学归纳法”看作是一种简称，那么数学归纳法就可看作是归纳法在数学上的一个补充(波利亚，1984 P.121)。

数学归纳法的英文是Mathematical Induction，直译过来是数学的归纳法，而非数学归纳法，“数学的”作为形容词来修饰“归纳法”，把“数学的归纳法”说成“数学归纳法”，更符合汉语语言习惯，却因此产生了很多误解:常把数学归纳法和归纳法混淆，并认为数学归纳法是归纳的方法，而非演绎的方法。“数学归纳法”这个名词被数学界广泛使用之后，才慢慢确定下来，其经历了一个漫长的过程。