2017湖南省株洲市中考数学试卷及答案

第2题图

3

2

A -1

-3

O

1

-2

第3题图

α49°?

第5题图

A B

C

D

2017年株洲中考试卷

一、选择题(每小题有且只有一个正确答案，本题共10小题，每小题3分，共计30分) 1、计算42a a 的结果是( )

A 、2a

B 、4a

C 、6a

D 、8a 解答：同底数幂的乘法：答案选C

2、如图，数轴上A 所表示的数的绝对值是 A 、 2 B 、-2 C 、±2 D 、以上都不对

解答：数轴上的点表示的数与绝对值的意义，或者直接看这个点到原点的距离 3、如图，直线1l 、2l 被直线3l 所截，且12l l ，则α的度数是 A 、41° B 、49° C 、51° D 、59°

解答：平行线的性质，内错角相等；答案选B

4、已知实数a 、b 满足1+1a b +>，则下列选项可能错误．．．．的是 A 、a b > B 、2+2a b +> C 、a b -<- D 、23a b > 解答： 不等式的性质；答案选D

5、如图，在△ABC 中，BAC x ∠=，2B x ∠=，3C x ∠=，则BAD ∠的度数为 A 、145° B、150° C、155° D、160°

解答：三角形的内角和，外角性质，邻补角的性质，答案选B 6、下列圆的内接正多边中，一条边所对的圆心角最大的图形是( ) A 、正三角形 B 、正方形 C 、正五边形 D 、正六边形

解答：正多边形平分弧平分圆心角，故分的份数越多圆心角越小，答案先A

7、株洲市展览馆某天四个时间段进出馆人数统计如下表，则馆内人数变化最大的时间段是 9：00—10：00 10：00—11：00 14：00—15：00 15：00—16：00

进馆人数

50 24 55 32 出馆人数

30 65 28 45 A 、9：00—10：00 B 、10：00—11：00 C 、14：00—15：00 D 、15：00—16：00 解答：观察进出人数的变化过程，答案选B

∨∨

∨

1

2C C 21B

B 13

C C 3

12C 3C 32B 32

1

A

第9题图G

F

E H A D C

B 第10题图A C

B P 3

2

1F

D E

Q

8、三名学生坐在仅有的三个座位上，起身后重新就座，恰好有两名同学没有坐回原来的座位的概率是

A 、19

B 、16

C 、14

D 、12

解答：频率的概念及运用； 假设三名学生为A 、B 、C ，他们首先对应的座位为1,2，3 故：答案为D

9、如图，点E 、F 、G 、H 分别为四边形ABCD 的四条边AB 、BC 、CD 、DA 的中点，则关于四边形GEGH ，下列说法正确的是 A 、一定．．不是．．平行四边形 B 、一定不是．．．．中心对称图形 C 、可能是．．．

轴对称图形 D 、当AC=BD 时，它为矩形

解答：三角形中位线的性质，可以确定四边形EFGH 为平行四边形，故A 、B 错误，当AC=BD 时，它是菱形，故D 也错误。 故：答案为 C

10、如图，若△ABC 内一点满足PAC PBA PCB ∠=∠=∠，则点P 为△ABC 的布洛卡点，三角形的布洛卡点(Brocard)由法国数学家和数学教育家克洛尔(A.L.Crelle, 1780—

1855)gf 1816年首次发现，但他的发现并未被当时人们所注意，1875年，布洛卡点被一个数学爱好才法国军官布洛卡(Brocard,1845—1922)重新发现，并用他的名字命名，问题：已知在等腰直角三角形DEF 中，090EDF ∠=，若Q 为△DEF 的布洛卡点，DQ=1，则EQ+FQ 的值为

A 、5

B 、4

C 、32+

D 、22+ 答案为D ，解答如下：方法一：

3

21F

D E

Q 3

2

1

F

D E

Q

A

B

图2

00901

2

314531

,321

21

2,2

DEF EDF DF EF DFQ QEF DFQ QEF

DFQ QEF DQF FQE DQ FQ DF FQ QE EF DQ FQ QE ∠=∴

=∠+∠=∠+∠=∠=∠∴∠=∠∠=∠∠=∠∴∴

====∴==等腰直角三角形中，∽

方法二：(等腰直角三角形，利用旋转90°，可得全等) 如图2 将DQ 绕点D ，分别逆时针旋转90° 顺时针旋转90°至DA 、DB

连接AQ 、AF 、BQ 、BE 易证：090DQE ∠=，利用01290EDF ∠=∠∠=， 易证：△ADF ≌△QDE ，△DBE ≌△DQF

故可得：1AFD ∠=∠，BED DFQ ∠=∠，090DAF ∠= 由已知可知：31∠=∠，03+45DFQ ∠∠=

故可知：0+45AFD DFQ ∠∠=，01+45BED ∠∠=即: 045DEQ AFQ ∠=∠= 在Rt△ADF 与Rt△BDQ 中，DQ=DB=DA ，090BDQ BDA ∠=∠=，DQ=1

故：BQ=AQ=2

∵090DQE DAF ∠=∠=，DB=DA=DQ ；∴045BQD QAD ∠=∠=，∵090DQE DAF ∠=∠= ∴045BQE QAF ∠=∠=；∵045DEQ AFQ ∠=∠=，∴090EBQ AQF ∠=∠= ∵045BQE QAF ∠=∠=，090EBQ AQF ∠=∠=，BQ=AQ=2 ∴FQ=AQ=2，EQ=2；∴答案选D

二、填空题：(本题共8小题，每小题3分，共24分) 11、如图，在Rt△ABC 中，B ∠的度数是 。 解答：直角三角形的性质，两锐角互余。答案：25°

12、分解因式：3

2

m mn -= 。 解答：因式分解，提公因式及平方差公式的运用。答案：32()()m mn m m n m n -=+-

第11题图

65°

C

A

B

第15题图E D C

M O

A

B 第16题图

B

A

O 第16题图

C

B

A O C

A

O

13、分式方程41

02

x x -

=+的解是 。

解答：去分母两边同乘以

经检验8

3

x =-是原方程的解

14、x 的3倍大于5，且x 的一半与1的差小于或等于2，则x 的取值范围是 。

解答：3 5 1 2 2

x x >???-≤??①②解：由①得：53x > ，由②得6x ≤，故解集 为：563x <≤

15、如图，已知AM 是⊙O 的直径，直线BC 经过点M ，且AB=AC ，BAM CAM ∠=∠，线段AB 和AC 分别交⊙O 于点D 、E ， 040BMD ∠=，则EOM ∠= 。

解答：∵AB=AC ，BAM CAM ∠=∠∴AM ⊥BC ∵AM 是⊙O 的直径，∴DM ⊥AB

∵040BMD ∠=， ∴050B ∠=

∵AM ⊥BC ∴040BAM ∠=

∴040CAM ∠= ∴080EOM ∠=

16、如图，直线33y x =+与x 轴、y 轴分别交于点A 、B ，当直线绕点A 顺时针方向旋

转到与x 轴首次重合时，点B 运动的路径的长度是 解答：求点B 运动的路径就是求BC 长度 需要知道半径与圆心角

半径就是AB 的长，可利用勾股定理求得AB=2 由直角三角形的三边关系

AB=2，AO=1，BO=3，可知060BAC ∠=

故：BC =2

3

π

17、如图，一块30°、60°、90°的直角三角形板，直角顶点O 位于坐标原点，斜边AB 垂直

于x 轴，顶点A 在函数11(0)k y x x =

>的图像上，顶点B 在函数22(0)k

y x x

=>的图像上，030ABO ∠=，则12

k k =

解答：在Rt△ACO 与Rt△BCO 中

006030A B ∠=∠=，，设AC=a 则：OC=3a ，BC=3a

则可知A(3a ，a )，B(3a ，3a -)

(2)

4(2)04803883x x x x x x x x ++-=+-==-=-

第18题图

C

B

A O

故213k a =

，2233k a =-，故1

213

k k =-

18、如图，二次函数2y ax bx c =++的对称轴在y 轴的右侧，其图像与x 轴交于点 A(-1,0)，点C 2(,0)x ，且与y 轴将于点B(0，-2)，小强得到以下结论：

①02;a <<②10;b -<<③1c =-④2,51a b x =>-当时以上结论中，正确的结论序号是 。

解答：由图像可知抛物线开口向上，0a >

经过A(-1,0)，B(0，-2)，对称轴在y 轴的右侧可得：

0202a b c c b a

?

?-+=?=-???->? 可得: 2a b -=，0b <

故22a b =+<，综合可知02;a << 由2a b -=可得：2a b =+，

代入：02;a <<得022;b <+<故20b -<<

,0,0a b a b =><当时又因为，故a b =-,又2a b -=，故可知1,1a b ==-

故原函数为22y x x =--，当y =0时，即220x x --=，解之得121,2x x =-=，

2251x =>-

故正确答案为：①④

三、解答题(本大题共8小题，共66分)

19、(本题满分6分)计算：008+2017(1)4sin 45?-- 解答：原式 20、(本题满分6分)先化简，再求值：2()y y x y x x y

--+，其中2,3x y ==

解答：分式的混合运算

222()()y y x y x x y

x y y

y

x x y x y --+-=-++=

()

()

x y y

x

x y -+222y

xy y y

x

xy y xy x y x

--=---=

=-

2

2,33

2

x y y x ===-

=-

当时原式

221221

=--=-

人数(名)

109

8

7

6

完成时间(秒)

1

310b a

21、(本题满分8分)某次世界魔方大赛吸引了世界各地600名魔方爱好者参加，本次大赛首轮进行了3×3阶魔方赛，组委会随机地将爱好者平均分到20个区域，每个区域30名同时进行比赛，完成时间小于8秒的爱好者进入下一轮角逐，下图3×3阶魔方赛A 区域30名爱好者完成时间统计图，求

(1)A 区3×3阶魔方赛爱好者进入下一轮角逐的人数的比例(结果用最简分数表示)

(2)若3×3阶魔方赛各区域的情况大体一致，则根据A 区域的统计结果估计在3×3阶魔方赛后本次大赛进入下一轮角逐的人数；

(3)若3×3阶魔方赛A 区域爱好者完成时间的平均值为8.8秒，求该项目赛该区域完成时间为8秒的爱好者的频率(结果用最简分数表示)

解答：(1)由图可知小于8秒的人数为4人，总人数为30人 故进入下一轮的角逐的比例为：42

=3015

(2)进入下轮角逐的比例为2

15

，总共参赛人数有600人，

故进入下一轮角逐的人数为: 2

60015

?=80名

(其实最简单的方法是：每个区域都约有4人进入角逐 故进入下一轮角逐的人数为：20×4=80名)

(3)由平均完成时间为8.8可知：16+37+891010308.8a b ??++?=? 频数之得等于总数据个数：由总人数为30人可知：1+31030a b +++= 解之得7,9a b ==，故该区域完成时间为8秒的频率为：730

22、(本题满分8分)如图，正方形ABCD 的顶点A 在等腰直角三角形DEF 的斜边EF 上，EF

与BC 交于点G ，连接CF

(1)求证：△DAE ≌△DCF

(2)△ABG ∽△CFG

解答：(1)∵等腰直角三角形DEF ，正方形ABCD ∴DE=DF ，DC=DA ，090B EDF ADC ∠=∠=∠= 045EFD DEF ∠=∠=

∵01290ADF ADF ∠+∠=∠+∠= ∴12∠=∠

∵在△DAE 与△DCF 中

21DA DC DE DF =??

∠=∠??=?

∴△DAE ≌△DCF

∴045DFC DEF ∠=∠=

(2) ∵045EFD ∠=，045DFC ∠= ∴090EFD DFC ∠+∠= 即：090GFC ∠= ∴GFC B ∠=∠ ∵AGB CGF ∠=∠ ∴△ABG ∽△CFG

23、(本题满分8分)如图，一架水平飞行的无人机AB 的尾端点测得正前方的桥的左端点P 俯角为α，其中tan 23α=,无人机的飞行高度AH=5003米，桥的长为1225米 (1)求H 到桥的左端点P 的距离

第22题图

G F

B

C A

D

E 21

第22题图

G F

B

C

A

D E

(2)无人机前端点B 测得正前方的桥的右端点Q 的俯角为30°，求这款无人机的长度。 解答：(1)在Rt △AHP 中 ,5003

tan tan 500323

250

APH AH AH

APH HP HP HP αα

∠=∠=∴∠==∠∴=∴=

(2)过Q 作QM ⊥AB 的延长线于点M ，则可得AM=HQ=HP+PQ=1255+250=1505，QM=AH=5003

∵在Rt △QMB 中，0090,30,5003QMB QBM QM ∠=∠==；∴BM=1500 ∴AB=AM-BM=5米

24、(本题满分8分)如图，R t△PAB 的直角顶点P(3,4)在函数(0)k

y x x

=>的图像上，顶点A 、B 在函数(0,0)t

y x t k x

=><<的图像上，PB ∥x 轴，连接OP 、OA ，记△OPA 的面积为OPA S

，R t△PAB

的面积为PAB S

，设

OPA

PAB

W S

S

=-，

(1)求k 的值及W 关于t 的表达式

(2)若用max W 和min W 表示函数W 的最大值和最小值。令2max T W a a =+-，其中a 为实数，求min T 解答：

(1)(3,4)

12

k

y P x

k =

∴=经过点 ∵点P(3,4) ，PB ∥x 轴，090BPA ∠=

a 第23题图

H

A

P

B

Q

M

第24题图

A

O

B

P

43

2

1第25题图

M

D

F

C

B O A

E

2

2

2(3)(4)

34

(4),(3)

3411(4)(3)

2234 6

24

1

62

1 (6)(6)

2241

242

PAB OPA OPA PAB

t t A B t t

PA PB t t

S PA PB t t S t

W S S t t t t t

∴∴=-=-∴=?=--=-+=-∴=-=---+=-+，，， 2max 1

224221

12623=

2

t W t

b

t W a t W W =-+=-=?=（）当时，取最值

即时，取最大值

2min 32=

232

1

25

4

min W T a a a T T ∴=-+

∴=∴=

（）当时，取最小值

25、(本题满分10分)如图，AB 为⊙O 的一条弦，点C 是劣弧AB 的中点，E 是优弧AB 上一点，点F 在AE 的延长线上，且BE=EF ，线段CE 交弦AB 于点D (1)求证：CE ∥BF (2)若线段BD 的长为2，且::3:1:5EA EB EC =求BCD 的面积。 (注：根据圆的对称性可知OC ⊥AB) 解答：(1)

134

41318013,41C AB BE EF F F BEF BEF F F CE BF

∴∠=∠=∴∠=∠∠+∠+∠=∠+∠+∠=∠=∠∠=∠∴∠=∠∴为的中点

(2)

1,1332,:5:152

25

CBA CBA CBD CEB CB BD CE BE CB CE BD BE

BD CE BE CB CB ∠=∠∠=∠∴∠=∠∴∴=∴===∴=∴=∽ 13,225,:3:532556

8

C ADE CBE A

D A

E CB CE

CB AE CE AD AD AB AD BD ∠=∠∠=∠∴∴===∴=∴=∴=+=∽

01

4

2

,90,25,42

1

21

22

2

2

C AB OC AM

BM AB Rt CMB CMB CB BM CM S BCD BD CM

∴⊥∴==∠===∴=∴=?=??=为的中点

26、(本题满分12分)已知二次函数21y x bx c =-+++ (1)当1b =时，求这个二次函数的对称轴方程

(2)若2124

c b b =--，问：b 为何值时，二次函数的图像与x 轴相切

(3)若二次函数的图像与x 轴交于点12(,0),(,0),A x B x 且12x x <，与y 轴的正半轴交于点M ，

第26小题图

E F

O M

D

A B

第26小题图

E F

O

M D

A

B

以AB 为直径的半圆恰好经过点M ，二次函数的对称轴l 与x 轴、直线BM 、直线AM 分别

相交于点D 、E 、F 且满足

1

3DE EF =，求二次函数的表达式。 解答：(1)第一问易得：1

2

x =

(2)与x 轴相切就是与x 轴只有一个交点

221

2104

x bx b b -+--+=有相等的实数根，即

221

4(1)(21)0

4

84012

b b b b b =-?-?--+=∴-+=∴=

(3)

21212222222222

2

1

1,1(,0)(0),(,0)11,22(,0),(0,1)1

11

(,0),(0,1)1

1

211

,221211

,22AM AM BM BM E E F F y x bx x x x x b

A m m

B m

m b m b x m m y A m M y x m

y B M m

y mx m x m m m y DE m x m m m y DF m m DE E =-++∴=-+=<---===

∴=-

+-∴=+-=

++∴==

-=

++∴==设，则则对称轴经过点经过点1

314

F DE DF =∴=

222222

11

21421(0)

41

2

132

31

2m m m m m m m b m y x x +∴=+∴=<∴=--∴==∴=-++