点到直线的距离教案公开课

《点到直线的距离》教案

教学目标

（1）知识与技能：让学生至少掌握一种点到直线距离公式的推导方法，掌握点到直线的距离公式及其应用。

（2）过程与方法：培养学生观察、思考、分析、归纳等数学能力；数形结合、综合应用知识分析问题解决问题的能力；探究能力和由特殊到一般的研究问题的能力。

（3）情感态度与价值观：培养学生勤奋思考、勇于探索解决问题的能力。引导学生用联系与转化的观点看问题，在团队合作探索解决问题的过程中获得成功的体验。 教学重点：点到直线的距离公式的推导及公式的应用 教学难点：点到直线的距离公式的推导 教学方法：启发引导法、讨论法 学习方法：任务驱动下的研究性学习 教学工具：计算机多媒体、三角板 教学过程：

一、 创设情境、提出问题 多媒体显示实际的例子：

如图,在铁路的附近,有一大型仓库，现要修建一公路与之连接起来，那么怎样设计能使公路最短？

这个实际问题要解决，要转化成什么样的数学问题？学生得出就是求点到直线的距离。教师提出这堂课我们就来学习点到直线的距离，并板书写课题：点到直线的距离。 二、师生互动 、探究新知

教师：假定在直角坐标系上，已知一个定点P （x 0 ,y 0）和一条定直线l ： Ax+By+C=0，那么如何求点P 到直线l 的距离d ？请学生思考并回答。

学生：先过点P 作直线l 的垂线，垂足为Q ，则|PQ|的长度就是点P 到直线l 的距离d ，将点线距离转化为定点到垂足的距离。

接着，多媒体显示下列2道题(尝试性题组)，请2位学生上黑板练习（其余学生在下面自己练习，每做完一题立即讲评）

(1)求P （x 0 ,y 0）到直线l ：By+C=0（B ≠0）的距离d ；（答案：0C

d y B

=+

）

仓库

(2) 求P （x 0 ,y 0）到直线l ：Ax+C=0（A ≠0）的距离d ；（答案：0C

d x A

=+

） 第（1）、（2）题虽然含有字母参数，但由于直线的位置比较特殊，学生不难得出正确结论。

教师：根据以上2题的运算结果，你能得到什么启示？

学生：当直线的位置比较特殊（水平或竖直）时，点到直线的距离容易求得，多媒体显示并板书：

B C By B C

y y y PQ C By l A Q +=

+

=-==+=000,0:0时，当 A

C Ax A C

x x x PQ C Ax l B Q +=

+

=-==+=000,0:0时，当 教师：当0≠AB 时，那么，而当直线是倾斜位置时，0:=++C By Ax l ，此时直线含有多个字母则较难；,虽然有一些思路，但具体操作起来因计算量很大难以得出结果。点

到直线的距离有没有运算量小一点的推导方法呢？我们能不能根据刚才的第（1）、（2）的启示或者是以前学过的方法的启示，借助水平、竖直情形和平面几何知识来解决倾斜即一般情况呢？请同学们分小组讨论

学生们积极探讨；教师来回巡视，回答各研究小组的询问……

教师根据学生提出的方案，收集思路。

思路一：利用定义

①求垂线PQ 的方程（由PQ ⊥l 以及直线l 的斜率可知垂线PQ

②求交点Q 坐标（联立方程组求解）

③两点间距离公式

上述方法虽然思路自然，但是会遇到一只拦路虎——运算较为繁琐。

l l )

（思路一）解：直线PQ ：()()000,x x x x A

B

y y ≠-=

-，即00Ay Bx Ay Bx -=- 由?

??=++-=-000C By Ax Ay Bx Ay Bx ，2

2002B A AC ABy x B x Q +--=

()()2

02

0y y x x

d Q Q

-+-=

∴

教师评价：此方法思路自然，但运算繁琐。如果没有小组想到另外一种思路，教师继续提出问题：根据以往求两点间距离公式的图形构造方法，求线段长度可以构造图形吗？什么图形？如何构造？

思路二： 利用直角三角形等面积法 如图，设A ≠0，B ≠0。 引导过程：

①点P 的坐标的意义。

②过P 分别作x 轴、y 轴的垂线。

③构成三角形，转化为求直角三角形高的问题。 ④如果知道面积和底边，就可以求出高。现在 要求RP 、PS 、SR 的长度。

⑤两点间距离公式，转化问求R 、P 、S 的坐标。

多媒体显示、师生一起推导：

（思路二）解：设()00,y x P ，()

Q Q y x Q ,，()0,y x R R ，()S y x S ,0 00=++C By Ax R ，A

C

By x R +-

=0；00=++C By Ax S ，B C Ax y S +-=0

A

C

By Ax x x RP R ++=

-=000

()0022

A Ax By C A

B -++=

+2220000022Q B x ABy AC A x B x x x A B -----=+()00Q B y y x x A -=-0022

Ax By C

B A B ++=-

+=

00Ax By

C =

++

B

C

By Ax y y PS S ++=

-=000

由PS PR RS PQ ?=?， RS

PS PR PQ ?=

而2

2PS

RP RS +=2

22

200B

A B A C

By Ax +++= 2200B A AB

C

By Ax +++=

2

2

00B

A C

By Ax PQ +++=

∴

思路三：将来可以为利用三角函数、不等式、向量等方法求解。

各小组同学都运用了不同的解法， 此类题解法灵活多样，同学们要注意选择适当、最优的方法来解题，以便取得最佳效果。

说明：学生只初略学习了三角函数、不等式、向量等未学。如果学生没有想到思路三，教师提示做课后思考作业题目。

教师提问：①上式是由条件下时当0≠AB 得出，对时，或当00==B A 成立吗？（成立） 1.当A=0，B ≠0时，0:=+C By l 此时，直线为：B

C

y -

=,直线为平行于x 轴（或重合于x 轴）的直线 则：2200000)(B A C By Ax B C By B C

y B C y PS PQ +++=+=+=--==

2.当A ≠0，B=0时，0:=+C Ax l

此时，直线为：A

C

x -=，直线为平行于y 轴（或重合于y 轴）的直线

则：2200000)(B

A C By Ax A C Ax A C

x A C x PR PQ +++=+=+=-

-==

②点P 在直线l 上成立吗？（成立）

③公式结构特点是什么？用公式时直线方程是什么形式？

由此推导出点P(x 0，y 0)到直线l ：Ax+By+C=0距离公式：

2

2

00B

A C

By Ax d +++=

∴适用于任意点、任意直线。

三、变式训练 、学会应用 练习1 (学生上台展示)

1.求点A （-2，3）到直线3x+4y+3=0的距离。

2.求点C （1，-2）到直线4x+3y=0的距离。

3.点P(-1,2)到直线3x=2的距离。

4.点P(-1,2)到直线3y=2的距离。

5.点A(a,6)到直线x+y+1=0的距离为4，求a 的值。

练习选择：平行坐标轴的特殊直线，直线方程的非一般形式。 练习目的：熟悉公式结构，记忆并简单应用公式。

教师强调：直线方程的一般形式，点到直线的距离公式熟练掌握才能在解题时游刃有余。 四、拓展延伸、升华提高

例1:已知点A(1,3),B(3,1),C(-1,0),求 三角形ＡＢＣ的面积。

解：设AB 边上的高为h ，则h AB S ABC ?=?||2

1

， 22)31()13(||22=-+-=

AB ,

AB 边上的高为h 就是点C 到AB 的距离， AB 边所在直线方程为:04=-+y x . 点)0,1(-C 到直线04=-+y x 的距离

2

51

1|041|2

2

=

+-+-=

h .

因此，52

52221=??=?ABC S .

五、当堂检测

2

.6

.2

2.10

.04),(.23

3

3.33.3

.3

.)

(10433.1D C B A OP O y x y x P D C B A m y x l m ）的最小值是（是原点，则上，在直线若点或等于，则的距离等于：）到直线，点（||=-+-

-

-=-+ 六、学生小结 、教师点评

1.知识：点到直线的距离公式的推导及其运用。

2.思想方法

转化：将点线距离转化为定点到垂足的距离；等积法将其转化为直角三角形中三顶点的距。离数形结合、特殊到一般的思想方法。 七、课外练习 巩固提高

① 课本习题3.3A 组第8,9题；

② 总结写出点到直线距离公式的多种方法。 八、板书设计

《两点间的距离》教学设计(优质课)

两点间的距离 （一）教学目标 1．知识与技能：掌握直角坐标系两点间的距离，用坐标证明简单的几何问题。2．过程与方法：通过两点间距离公式的推导，能更充分体会数形结合的优越性。；3．情态和价值：体会事物之间的内在联系，能用代数方法解决几何问题。 （二）教学重点、难点 重点，两点间距离公式的推导；难点，应用两点间距离公式证明几何问题。（三）教学方法 启发引导式 识解决以下问题：

2

备选例题 例1 已知点A (3，6)，在x 轴上的点P 与点A 的距离等于10，求点P 的坐标 【解析】设点P 的坐标为 (x ，0)，由|PA | = 10，得： 10 解得：x = 11 或x = –5. 所以点P 的坐标为(–5，0)或(11，0). 例2 在直线l ：3x – y – 1 = 0上求一点P ，使得： （1）P 到A (4，1)和B (0，4)的距离之差最大； （2）P 到A (4，1)和C (3，4)的距离之和最小. 【解析】（1）如图，B 关于l 的对称点B ′(3，3). AB ′：2x + y – 9 = 0 由290310x y x y +-=?? --=? 解2 5x y =??=? 得 P (2，5). （2）C 关于l 对称点324 (, )55 C '

由图象可知：|PA | + |PC |≥|AC ′| 当P 是AC ′与l 的交点1126 (,)77 P 时“=”成立， ∴1126 (, )77 P . 例3 如图，一束光线经过P (2，1)射到直线l ：x + y + 1 = 0，反射后穿过点Q (0，2)求：（1）入射光线所在直线的方程； （2）沿这条光线从P 到Q 的长度. 【解析】（1）设点Q ′(a ，b )是Q 关于直线l 的对称点 因为QQ ′⊥l ，k 1 = –1，所以2 1, 10 QQ b k a '-==- 又因为Q ′Q 的中点在直线l 上，所以 02 1022 a b ++++= 所以2 10 210 22 b a a b -?=??-?+?++=??得31a b =-??=-?，所以 Q ′(–3，–1) 因为Q ′在入射光线所在直线l 1上，设其斜率为k ， 所以1(1)2 2(3)5 k --= =-- l 1：21(2)5 y x -=-即2x – 5y + 1 = 0 （2）设PQ ′与l 的交点M ，由（1）知|QM | = |Q ′M | 所以|PM | + |MQ | = |PM | + |MQ ′| = |PQ ′ 所以沿这光线从P 到Q 入射光所在直线方程为2x – 5y + 1 = 0.

点到直线的距离公式教案

点到直线的距离公式教案 江苏省无锡市惠山区长安中学徐忠 一、教案背景 1.教材。 本课时选自江苏教育出版社的中等职业学校国家审定教材《数学》第7章解析几何第2节两直线的位置关系中的一节，是直线形解析几何内容的最后一个知识点。点到直线的距离公式是解析几何中计算距离的两个重要的基础公式之一。相对于另一个距离公式也就是两点间的距离公式，它需要有更强的综合知识的能力和计算能力，它既是学习曲线形解析几何内容的必备条件，也是直线形解析几何内容的难点。同时，本公式也体现了解析几何中的数学美，以及解析几何在解决数学问题中所展现的逻辑美。 2.学生。 本课时的教学对象是职业高中学生。作为中考成绩最差的一部分，这些学生学习能力弱，对基础知识的掌握和数学能力的运用方面都有很大的缺陷。他们的学习意志也不坚定，遇到困难很容易放弃。但他们对于能够理解和掌握的知识会表现出很大的兴趣。 二、课时分析 针对以上分析，对本课时作如下定位。 1.教学目标： （1）掌握点到直线的距离公式，初步使用公式解相关习题。 （2）锻炼学生的计算能力，培养良好的学习习惯。 （3）体会公式中的数学美；培养学生“数形结合”的数学思想。 2.重点：点到直线的距离公式。 3.难点：点到直线的距离公式的初步应用。 三、教学方法 1.教法。本课教法以讲授为主。采用“提出问题——解决问题”的过程来设计教学。通过 从简单到复杂，从特殊到一般，循序渐进，逐步深入地使学生理解本课主题。对基础比较薄弱的学生来说，这也是最容易接受的教学方式。 2.学法。本课学法以练习为主。在学生取得初步印象后，随时通过学生练习来加深理解， 巩固知识。学生练习是职高学生理解、掌握知识的重要途径，也是锻炼能力、培养良好学习习惯的有效方法。 四、教学过程 （一）知识准备 1.两点间的距离公式。 2.直线方程的一般形式。 3.两直线平行，则____；两直线垂直，则____。 4.点与直线的位置关系；两相交直线的交点坐标。 设计目标：复习已有知识，为新课作准备。 （二）问题提出 什么是点到直线的距离？ 设计目标：理解点到直线的距离的几何意义，使学生重温“垂线段”这个名词。 （三）问题解决 1.当直线平行于坐标轴时的情况。例：求点A(2,-3)到下列直线的距离d： (1) y=7；(2) x +1=0． =7

高中数学点到直线的距离公开课教案

《点到直线的距离》教学设计 教材：人教A版高中《数学》必修2第三章第3.3.3节 【教学内容解析】 《点到直线的距离》是人教A版高中《数学》必修2中第三章第3.3.3节的内容. 它既是两点间距离公式的延续，又为导出两平行线间距离公式作了铺垫，具有承上启下的重要作用. 这一节课的任务是：给出已知点的坐标与已知直线的方程，求点到直线的距离，建立点到直线的距离公式.从课型来说，应该属于“问题教学”.以一个问题为载体，学生在教师的引导与帮助下，分析、研究问题，制定解决问题的策略，选择解决问题的方法. 本节课的教学重点是点到直线距离公式的探索与应用；难点是点到直线距离公式的推导. 本节课蕴含特殊到一般，转化与化归，数形结合，函数与方程等丰富的数学思想方法. 【教学目标设置】 1.探索并掌握点到直线的距离公式；学会点到直线距离公式的应用. 2.通过经历公式多种推导方案的设计及比较，领会特殊到一般，转化与化归，数形结合，函数与方程等丰富的数学思想方法. 3.在探索问题的过程中，在运算的比较与优化思考的过程中，感受数学的严谨与统一，感受数学的形式美与简洁美. 【学生学情分析】 学生已经学习了直线的倾斜角和斜率，两点间的距离公式，且具备了相关的几何知识和三角函数知识，如：交点、垂直、三角函数等. 学生对坐标法解决几何问题有初步的认识. 【教学策略分析】 本节课采用以引导发现为主的教学方法，以归纳启发式作为教学模式，结合多媒体辅助教学.通过合作交流，类比联想，归纳化归，总结提升，让学生在学习中学会怎样发现问题、分析问题、解决问题.

【教学过程】 一、回顾旧知 引出课题 回顾两点间的距离公式，同时，引出课题——点到直线的距离. 【设计意图】平面图形最基本的要素是点和线.在研究了两点间距离公式后，很自然地会去研究点线间的距离，当然还可以更深入地去探究两平行线间的距离.这三个距离公式是一脉相承的，因此，这样引入自然、贴切，符合学生的认知规律. 二、特例探路 巧作铺垫 引例：已知点(2,1)P ，直线l 的方程为290x y +-=，求点P 到直线l 的距离。 【教学方式】自主探究，引导发现，归纳启发. 【设计意图】从具体的例子出发求距离，相对来说，计算量更小，学生有更充裕的时间去发现解法的多样性，为后续求抽象的点线距离做好准备. 预计会出现以下几种解法. 方法1：直接法 如图1，过P 作PQ l ⊥于Q . Step1. 求出直线PQ 的方程：230x y --=； Step2. 联立直线,PQ l 的方程，求出交点Q 的坐标(3,3)； Step3. 求出距离||5PQ =. 方法2：解三角形法 过P 点作x 轴的平行线与直线l 的交点为R ，如图2，在Rt PQR ?中， Step1. 求出点P 到直线l 的水平距离||5PR =； Step2. 在Rt PQR ?中，1tan ||2l PRQ k ∠== ，5sin PRQ ∴∠=； Step3.故||sin 5PQ PR PRQ =∠=.

空间点到直线的距离公式

空间点到直线的距离公式 y0, z0)，平面：A*x+B*y+C*z+D=0，距离d。 d=|A*x0+B*y0+C*z0+D|/√(A*A+B*B+C*C)空间点到直线距离点(x0, y0, z0)，直线L（点向式参数方程）：(x-xl)/m=(y-yl)/n=(z- zl)/p=t。 (1)式(1)的注释：点(xl, yl, zl)是直线上已知的一点，向 量(m, n, p)为直线的方向向量，t为参数方程的参数。空间直线 的一般式方程（两个平面方程联立）转换为点向式方程的方法， 请参考《高等数学》空间几何部分。设点(x0, y0, z0)到直线L 的垂点坐标为(xc, yc, zc)。因为垂点在直线上，所以有：(xc-xl)/m=(yc-yl)/n=(zc-zl)/p=t (2)式(2)可变形为：xc=m*t+xl, yc=n*t+yl, zc=p*t+zl、 (3)且有垂线方向向量(x0-xc, y0-yc, z0-zc)和直线方向向量(m, n, p)的数量积等于0，即：m*(x0- xc)+n*(y0-yc)+p*(z0-zc)=0 (4)把式(3)代入式(4)，可消去未知 数“xc, yc, zc”，得到t的表达式：t=[m*(x0-xl)+n*(y0- yl)+p*(z0-zl)]/(m*m+n*n+p*p) (5)点(x0, y0, z0)到直线的距离d就是该点和垂点(xc, yc, zc)的距离：d=√[(x0-xc)^2+(y0-yc)^2+(z0-zc)^2] (6)其中xc, yc, zc可以用式(3)和式(5)代入消去。 第 1 页共 1 页

垂线教案设计(全国优质课一等奖)

人教版初中数学七年级《5.1.2 垂线》 教案 ［教学目标］ 1、知识与技能 （1）了解垂线的概念和垂线段最短的性质，体会点到直线距离的意义。 （2）知道过一点有且仅有一条直线垂直于已知直线，并会用三角尺或量角器过一点画一条直线的垂线。 2、过程与方法 经历操作、探索、归纳、总结的过程，初步形成几何概念的认识方式和几何结论的归纳方法。 3、情感态度价值观 体会探究的乐趣，体会数学与现实生活的联系，能对感性认识到理性认识有初步的体验。［教学重点与教学难点］ 1、教学重点： （1）通过动手操作了解垂线的概念。 （2）通过动手操作进行垂线的两个性质的归纳。 2、教学难点： 垂线的两个性质归纳的语言表述。 ［教具准备］ 相交线模型、绳子、多媒体课件。 ［教学课时］ 1课时 ［教学过程］ 一、创设情景揭示课题 1、提问：某人在下雨时想要跑进屋檐下躲雨。此人会以怎样的路线跑到屋檐下？ 2、板书课题：5.1.2 垂线

二、动手操作得出新知 学生操作：学生拿出相交线模型旋转，引导学生从角的变化过程中体会垂直与角大小的关系。 教师指出：四个角有一个是直角时，两直线就垂直了，此时四个角都是直角。 垂直：两条直线相交，有一个角是直角，这两条直线互相垂直。 垂线：两条直线互相垂直，其中一条叫作另一条的的垂线。 三、提问升华举例感知 1、问题1：垂直的两条直线其夹角的大小有什么关系？ 2、问题2．怎样判定两条直线是否垂直？ 3、请列举生活中具有垂直形象的事物。 学生回答好以上三个问题后，教师指出：垂直定义即可以作为垂直的性质又可以作为垂直的判定。 四、探究思考讨论归纳 （一）性质1 师：生活中我们常用垂线知识解决问题，画已知直线的垂线是必不可少的基本技能 1、问题1：与一条已知直线垂直的直线一共有几条？请同学们动手画一画。 2、问题2：如图（1），过P点可以作几条直线与直线L垂直？请同学们动手画一画。 3、问题3：如图（2），过P点可以作几条直线与直线L垂直？请同学们动手画一画。 这3个问题要求学生独立画图再小组内交流。 4、讨论归纳：过一点有且仅有一条直线与已知直线垂直。 （二）性质2 1．出示图（3），过点P与直线r上各点有无数条连线，如PA、PB、PC（PC⊥a）、PD……哪条最短？（测量）

人教版初中七年级数学下册《点到直线的距离》教案

点到直线的距离 教学目标：1、掌握点到直线的距离的有关概念。2、会作出直线外一点到一条直线的距离。3、理解垂线段最短的性质。 教学重点：点到直线的距离的概念及垂线段最短的性质。 教学难点：垂线段最短的性质及从直线外一点作直线的垂线的画法 教学过程： 一、准备知识 1、垂直的概念 2、经过直线外一点作这条直线的平行线，可以作几条？ 3、如何从直线外一点作已知直线的垂线？ 二、探究新知 1、经过一点作一条已知直线的垂线。 （1）点P在直线AB上（2）点P在直线AB 外 2、讨论思考题：过一点P作已知直线的 垂线，可以作几条？是不是一定可以作一条？ 如果有两条直线PC、PD与直线AB垂直，那么PC、PD的关系怎样呢？（重合） 3、归纳：在平面内，通过一点有一条并且只有一条直线与已知直线垂直。 4、垂线段的概念：

如图，设PO垂直于AB于O，线段 PO叫作点P到直线AB的距垂线段。 PA、PB、PC、PD叫作斜线段。 5、垂线段PO的长度叫作点P到直 线AB的距离。 6、做一做 （1）请同学们测量一下，PO与PA、PB、PD、PC的长度，然后猜测一下它们之间的关系如何。 （2）按教材P73的做一做操作。 7、归纳结论：直线外一点与直线上各点连续的所有线段中，垂线段最短。简单说成：垂线段最短。 8、垂线段的应用 P74的动脑筋 三、练习与小结 1、练习P74的练习题 2、课堂小结 四、布置作业 1、已知：经过直线m外一点P 。求作：PO，使PO垂直于直线m，O点是垂足。 2、画一个5厘米的正方形ABCD，在正方形内部任取一点P，作经过点作正方形各边的垂线，垂足分别M、N、R、Q，测量PM、PN、PR、PQ的长度。

点到直线的距离公式应用

点与直线问题 (1)点P （x 0，y 0）到直线Ax ＋By ＋C=0 的距离 (运用本公式要把直线方程变为一般 式) （2）两条平行线 之 间的距离 (运用此公式时要注意把两平行线方程 x 、y 前面的系数变为相同的) (3)点 P （x ，y ）关于Q （a ，b ）的对称点为P'（2a －x ，2b －y ） (4)直线关于点对称:在已知直线上任取两点A 、B,再分别求出A 、B 关于P 点的对称点A′、B′,然后由两点式可得所求直线方程. (5)点关于直线的对称点，要抓住“垂直”和“平分” 设 P （x 0，y 0），l ：Ax ＋By ＋C=0（A 2＋B 2≠0），若P 关于l 的对称点的坐标Q 为（x ，y ），则l 是PQ 的垂直平分线，即①PQ ⊥l ；②PQ 的中点在l 上， 解方程组可得 Q 点的坐标 例1 求点P = (–1，2 )到直线3x = 2的距离 解：22 |3(1)2|5330d ?--= =+ 例2 已知点A (1，3)，B (3，1)，C (–1， 0)，求三角形ABC 的面积. 解：设AB 边上的高为h ，则 221 ||2||(31)(13)22 ABC S AB h AB =?=-+-=V AB 边上的高h 就是点C 到AB 的距离. AB 边所在直线方程为31 1331 y x --= -- 即x + y – 4 = 0. 点C 到x + y – 4 = 0的距离为h 2|104|5112 h -+-==+， 因此，15225 22S ABC =??= 例3 求两平行线 l 1：2x + 3y – 8 = 0 l 2：2x + 3y – 10 =0的距离. 解法一：在直线l 1上取一点P (4,0)，因为l 1∥l 2，所以P 到l 2的距离等于l 1与l 2的距离，于是 22|243010|21313 23 d ?+?-==+ 解法二： 直接由公式22 |8(10)|21313 23d ---= =+ 例 4、求直线3x －y －4=0关于点P （2，－1）对称的直线l 的方程

点到直线的距离 优秀教案

点到直线的距离 教学目标： （1）理解点到直线距离公式的推导过程. （2）会求点到直线的距离. （3）在探索点到直线距离公式推导思路的过程中，培养学生发散思维、积极探索的精神. 教学用具：计算机 教学方法：启发引导法，讨论法 教学过程： 一、引入 点到直线的距离是指过点P 作l 的垂线，P 与垂足Q 之间的长度 【问题1】已知点P （-1，2）和直线l ：0102=-+y x ，求P 点到直线l 的距离． （由学生分析、解答） 分析：先求出过P 点和l 垂直的直线：PQ ：052=+-y x ，再求出l 和PQ 的交点 ()43，Q ∴ 52=PQ 如果把问题1一般化就有如下问题： 【问题2】已知：()00y x P ，和直线l ：0 =++C By Ax （P 不在直线l 上，且0≠A ，0≠B ），试求P 点到直线l 的距离． 二、点到直线距离 分析1：要求PQ 的长度可以象问题1的解法一样，利用两点的距离公式可以求PQ 的长度．∵ P 点坐标已知，∴只要求出Q 点 坐标就可以了． 又∵Q 点是直线PQ 和直线L 的交点 又∵直线L 的方程已知∴只要求出直线 PQ 的方程就可以了. 即：PQ ←Q 点坐标←直线PQ 与直线l 的交点←直线PQ 的方程←直线PQ 的斜率←直线l 的斜率 （这一解法在课前由学生自学完成，课上进行评价总结） 问：这种解法好不好，为什么? 根据学生讨论，教师适时启发、引导，得出

分析2：如果PQ 垂直坐标轴，则交点和距离都容易求出，那么不妨做出与坐标轴垂直的线段PS 和PR ，如图1所示，显然相对而言PS ，和PR 好求一些， 事实上，设P 到直线的距离为d ，R 坐标为()11y x ，，S 坐标为()22y x ，，则易求： A C Bx x --= 01，B C Ax y --=02 所以：A C By Ax x x PR ++= -=0010，B C By Ax y y PS ++=-=0010 所以：C By Ax AB B A PS PR PS ++?+= +=002 22 2 根据三角形面积公式：PS PR RS d ?=? 所以：2 2 00B A C By Ax d +++= （至此问题2已经解决） 公式2 002 | |B A C By Ax d +++= 的完善.容易验证（由学生完成）： 当0=A ，即y L ⊥轴时，公式成立； 当0=B ，即x L ⊥轴时，公式成立； 当P 点在L 上时，公式成立． 公式2 002 | |B A C By Ax d +++= 结构特点 师生一起总结： （1）分子是P 点坐标代入直线方程； （2）分母是直线未知数x 、y 系数平方和的算术根． 类似于勾股定理求斜边的长 三、检测与巩固 练习1 （1）()32， -P 到直线2-=y 的距离是________． （2）()32-， P 到直线042=++y x 的距离是_______． （3）用公式解()21 ，-P 到直线0102=-+y x 的距离是______． （4）()11 ，-P 到直线23=x 的距离是_________．

小学人教四年级数学点到直线的距离教案

执教时间：年月日课题点到直线的距离执教者李子涵共 1 课时 学情分析本课是在学生学习了射线、线段和直线、垂线、平行线之后，进一步学习空间与图形知识的基础。小学四年级学生认知水平以及生活阅历相对较少，但孩子们都喜欢亲自动手试一试。所以学生的这种认知特征要善于引导，寻求科学的学习方法和适合学生年龄特点的教学方法。 教学目标1、学生经历垂直线段的性质的探索过程，知道从直线外一点到已知直线所画的线段中垂直线段最短，知道点到直线的距离。 2、认识平行线之间的距离相等。 3、在学习过程中进一步发展观察能力、实践能力，体会数与形的联系，发展空间观念。 4、进一步体会数学和现实生活的联系，进一步培养数学应用意识和学习数学的积极情感。 教学重点认识点到直线的距离，认识平行线之间的距离。 教学难点能解决一些实际的问题 教学准备多媒体课件、三角尺 教学过程 一、复习引入 1、下面各组直线，哪一组互相平？哪一组互相垂直？（课件出示） （学生判断，并说明理由） 2、复习过直线外一点（点A）画已知直线的垂线的方法。 （学生口述画垂线的方法，教师补充并在黑板上作图示范） 3、谈话导入：掌握了经过直线外一点向已知直线作垂线的方法，这 节课我们在此基础上，继续学习有关垂直的重要知识——点到直线的 距离（板书课题）。 【设计意图：通过复习平行与垂直的知识，直接引出课题，可以让学 生尽快进入数学知识的学习状态中，而平行与垂直、画垂线知识的复 习为今天的学习起到铺垫作用】 二、新知探究。 修改意见

（一）点到直线的距离 1、画一画 从直线外一点A到这条直线画几条不同的线段，要求有一条垂线。（以比赛的形式展开：在1分钟的时间内看谁从点A向直线画出的线段多，速度快） 2、量一量 学生动手量一量所画的线段的长度，并观察这些线段的长度，看看有什么发现，同桌互相说一说。 3、通过学生交流，引导学生总结从直线外一点到这条直线所画的垂 直线段最短。 教师小结并板书：从直线外一点到这条直线所画的垂直线段最短，它的长度叫做点到直线的距离 【设计意图：进行画图、测量、交流等多种活动，引导学生得出垂线 的性质，对距离的含义，让学生在交流中明确它的定义】 （二）认识平行线间垂直线段的特点 1、课件出示课本例3（2）图，直线a//b，想一想这组平行线之间可以画出多少条垂线段？ a b 引导学生：一条直线上有无数个点，因此可以画出无数条垂直线段。2、学生独立完成（在课本上画）：在直线a上任选5个点，分别向b画垂直线段。 3、小组合作测量所画垂直线段的长度，然后交流测量结果，你有什 么发现？ （生动手操作，指名汇报） 4、师根据学生汇报，总结：端点分别在两条平行线上，且与平行线 垂直的所有线段的长度都相等。 5、拓展延伸：根据平行线间的距离处处都相等的性质可以判断两条 直线是否平行。 三、巩固练习 （一）基础练习 1、填空。

点到直线的距离公式的七种推导方法

点到直线的距离公式的七种推导方法(转载) 很有用哦 已知点 00(,)P x y 直线:0(0,0)l Ax By C A B ++=≠≠求点P 到直线 l 的距离。（因为特殊直线很容易求距离，这里只讨论一般直线） 一、 定义法 证：根据定义，点P 到直线 l 的距离是点P 到直线 l 的垂线段的长，如图1， 设点P 到直线l 的垂线为 'l ，垂足为Q ，由 'l l ⊥可知 'l 的斜率为 B A 解得交点22 00002222 ( ,)B x ABy AC A y ABx BC Q A B A B ----++ 22222 000000 2222 222200002222 2222200000022222222||()()()()()()()()()B x ABy AC A y ABx BC PQ x y A B A B A x ABy AC B y ABx BC A B A B A Ax By C B Ax By C Ax By C A B A B A B ----=-+-++------=+++++++++=+= ++ +|PQ ∴= 二、 函数法 证：点P 到直线 l 上任意一点的距离的最小值就是点P 到直线l 的距离。在l 上取任意点 (,)Q x y 用两点的距离公式有，为了利用条件0Ax By C ++=上式变形一下，配凑系数处理得： 22220022222222000022 0000220000()[()()] ()B ()()B ()[()B()][()B()][()B()](B )(B 0)A B x x y y A x x y y A y y x x A x x y y A y y x x A x x y y Ax y C Ax y C +-+-=-+-+-+-=-+-+-+-≥-+-=++++= 当且仅当00()B A y y x -=-（x ） 时取等号所以最小值就是d = 三、不等式法 证：点P 到直线 l 上任意一点Q (,)x y 的距离的最小值就是点P 到直线l 的距离。由柯西不 等式：222222 000000()[()()][()B()](B )A B x x y y A x x y y Ax y C +-+-≥-+-=++ B 0,Ax y C ++=≥ 当且仅当00()B A y y x -=-（x ） 时取等号所以最小值就是d = 四、转化法 证：设直线 l 的倾斜角为 α过点P 作PM ∥ y 轴交l 于M 11(,) x y 显然 10 x x =所以 01Ax C y b +=- x

点到直线的距离教案公开课

《点到直线的距离》教案 教学目标 （1）知识与技能：让学生至少掌握一种点到直线距离公式的推导方法，掌握点到直线的距离公式及其应用。 （2）过程与方法：培养学生观察、思考、分析、归纳等数学能力；数形结合、综合应用知识分析问题解决问题的能力；探究能力和由特殊到一般的研究问题的能力。 （3）情感态度与价值观：培养学生勤奋思考、勇于探索解决问题的能力。引导学生用联系与转化的观点看问题，在团队合作探索解决问题的过程中获得成功的体验。 教学重点：点到直线的距离公式的推导及公式的应用 教学难点：点到直线的距离公式的推导 教学方法：启发引导法、讨论法 学习方法：任务驱动下的研究性学习 教学工具：计算机多媒体、三角板 教学过程： 一、 创设情境、提出问题 多媒体显示实际的例子： 如图,在铁路的附近,有一大型仓库，现要修建一公路与之连接起来，那么怎样设计能使公路最短？ 这个实际问题要解决，要转化成什么样的数学问题？学生得出就是求点到直线的距离。教师提出这堂课我们就来学习点到直线的距离，并板书写课题：点到直线的距离。 二、师生互动 、探究新知 教师：假定在直角坐标系上，已知一个定点P （x 0 ,y 0）和一条定直线l ： Ax+By+C=0，那么如何求点P 到直线l 的距离d ？请学生思考并回答。 学生：先过点P 作直线l 的垂线，垂足为Q ，则|PQ|的长度就是点P 到直线l 的距离d ，将点线距离转化为定点到垂足的距离。 接着，多媒体显示下列2道题(尝试性题组)，请2位学生上黑板练习（其余学生在下面自己练习，每做完一题立即讲评） (1)求P （x 0 ,y 0）到直线l ：By+C=0（B ≠0）的距离d ；（答案：0C d y B =+ ） 仓库

点到直线的距离教案

点到直线的距离 人教版高二第二册（上）第七章第三节第4课时 山西省阳泉市荫营中学王萍 教学目标： （1）让学生理解点到直线距离公式的推导，掌握点到直线距离公式及其应用，会用点到直线距离求两平行线间的距离； （2）培养学生观察、思考、分析、归纳等数学能力，数形结合、转化（或化归）、等数学思想、特殊与一般的方法以及数学应用意识与能力； （3）引导学生用联系与转化的观点看问题，了解和感受探索问题的方式方法，在探索问题的过程中获得成功的体验． 教学重点：点到直线距离公式及其应用． 教学难点：发现点到直线距离公式的推导方法． 教学方法：问题解决法、讨论法． 教学工具：计算机多媒体、实物投影仪． 教学过程： 一、创设情景提出问题 多媒体显示实际的例子： 某电信局计划年底解决本地区最后一个小 区P的电话通信问题．离它最近的只有一条线 路通过，要完成这项任务，至少需要多长的电 缆？ 以电信局为原点），得知这个小区的坐标为P（－1 离它最近线路其方程为2x+y+10=0． 这个实际问题要解决，要转化成什么样的 数学问题？学生得出就是求点到直线的距离．教师提出这堂课我们就来学习点到直线的距离，并板书写课题：点到直线的距离． 二、自主探索推导公式 多媒体显示：已知点P(x0，y0)，直线l：Ax+By+C=0，求点P到直线l的距离．怎样求点到直线距离呢？学生思考，做垂线找垂足Q，求线段PQ的长度．怎样用点的坐标和直线方程求和表示点到直线距离呢？ 教师提示在解决问题时先可以考虑特殊情况，再考虑一般情况．学生提出平行于x 轴和y轴的特殊情况．学生解决． 板书：l l

B C By B C y y y PQ C By l A Q +=+ =-==+=000,0:0时，当 A C x x x PQ C Ax l B Q =+ =-==+=00,0:0时，当时， 当0≠AB 如何求PQ ？ 学生思考回答下列想法： 思路一：过P 作l PQ ⊥于Q 线PQ 方程，由PQ 与l 联立方程组解得Q 利用两点距离公式求得． 教师评价：此方法思路自然． 教师继续提出问题： (1)求线段长度可以构造图形吗？ (2)什么图形？如何构造？ (3)第三个顶点在什么位置？ (4)特殊情况与一般情况有联系吗？ 学生探讨得到：构造三角形，把线段放在直角三角形中．第 三个顶点在什么位置？可能在直线l 与x 轴的交点M 或与y 轴交点N ，或过P 点做x,y 轴的平行线与直线l 的交点R 、S ． 教师根据学生提出的方案，收集思路． 思路二：在直角△PQM,或直角△PQN 中,求边长与角（角与直线到直线角有关）,用余弦值． 思路三：在直角△PQR,或直角△PQS 中,求边长与角（角与直线倾斜角有关，但分情况）,用余弦值． 思路四：在直角△PRS 中，求线段PR 、PS 、RS ，利用等面积法（不涉及角和分情况），求得线段PQ 长． 学生分组练习，教师巡视，根据学生情况演示探索过程． （思路一）解：直线PQ ：()()000,x x x x A B y y ≠-=-，即00Ay Bx Ay Bx -=- 由? ??=++-=-000C By Ax Ay Bx Ay Bx ，2 2002B A AC ABy x B x Q +--= ()()2020y y x x d Q Q -+-=∴ ) () 0022 A Ax By C A B -++= +2220000022Q B x ABy AC A x B x x x A B -----=+()00Q B y y x x A -=-0022 Ax By C B A B ++=-+= 00Ax By C = ++

点到直线的距离公式

课 题：7.3两条直线的位置关系（四） ―点到直线的距离公式 教学目的： 1. 2. 会用点到直线距离公式求解两平行线距离王新敞 3. 认识事物之间在一定条件下的转化，用联系的观点看问题王新敞 教学重点：点到直线的距离公式王新敞 教学难点：点到直线距离公式的理解与应用. 授课类型：新授课王新敞 课时安排：1课时王新敞 教 具：多媒体、实物投影仪王新敞 内容分析： 前面几节课，我们一起研究学习了两直线的平行或垂直的充要条件，两直线的夹角公式，两直线的交点问题，逐步熟悉了利用代数方法研究几何问题的思想方法.这一节，我们将研究怎样由点的坐标和直线的方程直接求点P 到直线l 的距离. 在引入本节的研究问题：点到直线的距离公式之后，引导学生分析点到直线距离的求解思路，一起分析探讨解决问题的各种途径，通过比较选择其中一种较好的方案来具体实施，以培养学生研究问题的习惯，分析问题进而解决问题的能力. 在解决两平行线的距离问题时，注意启发学生与点到直线的距离产生联系，从而应用点到直线的距离公式求解王新敞 教学过程： 一、复习引入： 1．特殊情况下的两直线平行与垂直． 当两条直线中有一条直线没有斜率时： (1)当另一条直线的斜率也不存在时，两直线的倾斜角都为90°，互相平行； (2)当另一条直线的斜率为0时，一条直线的倾斜角为90°，另一条直线的倾斜角为0°，两直线互相垂直王新敞 2．斜率存在时两直线的平行与垂直： 两条直线有斜率且不重合，如果它们平行，那么它们的斜率相等；反之， 如果它们的斜率相等，则它们平行，即21//l l ?1k =2k 且21b b ≠ 已知直线1l 、2l 的方程为1l ：0111=++C y B x A ， 2l ：0222=++C y B x A )0,0(222111≠≠C B A C B A

《点到直线的距离》教学设计(优质课)

点到直线的距离 （一）教学目标 1．知识与技能 理解点到直线距离公式的推导，熟练掌握点到直线距离公式. 2．过程和方法 会用点到直线距离公式求解两平行线距离. 3．情感和价值 认识事物之间在一定条件下的转化，用联系的观点看问题.（二）教学重点、难点 教学重点：点到直线的距离公式. 教学难点：点到直线距离公式的理解与应用. （三）教学方法 学导式

．点到直线距离公式 推导过程 方案一： 此方法虽思路自然，但运算较繁，下面我们探讨另一种

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ABC= 2

备选例题 例1 求过点M (–2，1)且与A (–1，2)，B (3，0)两点距离相等的直线的方程. 解法一：当直线斜率不存在时，直线为x = –2，它到A 、B 两点距离不相等. 所以可设直线方程为：y – 1 = k (x + 2)即kx – y + 2k + 1 = 0. 由 = 解得k = 0或12 k =-. 故所求的直线方程为y – 1 = 0或x + 2y = 0. 解法二：由平面几何知识：l ∥AB 或l 过AB 的中点.

若l ∥AB 且1 2 AB k =-，则l 的方程为x + 2y = 0. 若l 过AB 的中点N (1，1)则直线的方程为y = 1. 所以所求直线方程为y – 1 = 0或x + 2y = 0. 例2 （1）求直线2x + 11y + 16 = 0关于点P (0，1)对称的直线方程. （2）两平行直线3x + 4y – 1 = 0与6x + 8y + 3 = 0关于直线l 对称，求l 的方程. 【解析】（1）当所求直线与直线2x + 11y + 16 = 0平行时，可设直线方程为2x + 11y + C =0 由P 点到两直线的距离相等，即 = ，所以C = –38. 所求直线的方程为2x + 11y – 38 = 0. （2）依题可知直线l 的方程为：6x + 8y + C = 0. 则它到直线6x + 8y – 2 = 0的距离 1d = 到直线6x + 8y + 3 = 0的距离为 2d =所以d 1 = d 2 =12 C =. 即l 的方程为：16802 x y ++=. 例3 等腰直角三角形ABC 的直角顶点C 和顶点B 都在直线2x + 3y – 6 = 0上，顶点 A 的坐标是(1，–2).求边A B 、A C 所在直线方程. 【解析】已知BC 的斜率为23 -，因为BC ⊥AC 所以直线AC 的斜率为32 ，从而方程32(1)2 y x +=- 即3x – 2y – 7 = 0 又点A (1，–2)到直线BC ：2x + 3y – 6 = 0的距离为|| AC = ，

向量法求空间点到平面的距离教案

学习必备 欢迎下载 向量法求空间点到面距离（教案） 新课导入： 我们在路上行走时遇到障碍物一般会想到将障碍物挪开，那还有别的方法吗？ 对！绕过去。在生活中我们都知道转弯，那么在学习上我们不妨也让思维转个弯，绕过难点 用另一种方法解决。 我们知道要想求空间一点到一个面的距离，就必须要先找到这个距离，而找这个距离恰恰是 一个比较难解决的问题，我们今天就让思维转个弯，用向量法解决这个难题。 一、复习引入： 1、 空间中如何求点到面距离？ 方法1、直接做或找距离； 方法2、；等体积 方法3、空间向量。 2、向量数量积公式 a · b =a b cos θ（θ为a 与b 的夹角） 二、向量法求点到平面的距离 教材分析 重点: 点面距离的距离公式应用及解决问题的步骤 难点: 找到所需的点坐标跟面的法向量 教学目的 1. 能借助平面的法向量求点到面、线到面、面到面、异面直线间的距离。 2. 能将求线面距离、面面距离问题转化为求点到面的距离问题。 3. 加强坐标运算能力的培养，提高坐标运算的速度和准确性。

学习必备欢迎下载

学习必备 欢迎下载 若AB 是平面α的任一条斜线段，则在BOA Rt ? ABO COS ∠? ? 如果令平面的法向量为n ，考虑到法向量的方向，可以得到点B 到平面的距离为 BO 因此要求一个点到平面的距离，可以分为以下三步：（1）找出从该点出发的平面的任一 条斜线段对应的向量（2）求出该平面的一个法向量（3）求出法向量与斜线段对应的向量的 数量积的绝对值再除以法向量的模 思考、已知不共线的三点坐标,如何求经过这三点的平面的一个法向量? 例1、在空间直角坐标系中,已知(3,0,0),(0,4,0)A B ,(0,0,2)C ,试求平面ABC 的一个法向量. 解:设平面ABC 的一个法向量为(,,)n x y z = 则n AB n AC ⊥⊥，.∵(3,4,0)AB =-,(3,0,2)AC =- ∴(,,)(3,4,0)0(,,)(3,0,2)0x y z x y z ?-=???-=?即340320x y x z -+=??-+=? ∴3432y x z x ?=????=?? 取4x =,则(4,3,6)n = ∴(4,3,6)n =是平面ABC 的一个法向量. 例2、如图，已知正方形ABCD 的边长为4，E 、F 分别是AB 、AD 的中点，GC ⊥平面ABCD ，且GC ＝2，求点B 到平面EFG 的距离. 解：如图，建立空间直角坐标系C －xyz ． 由题设C(0,0,0)，A(4,4,0)，B(0,4,0)， D(4,0,0)，E(2,4,0)， F(4,2,0)，G(0,0,2)． (2,2,0),(2,4,2),B (2,0,0)EF EG E =-=--=设平面EFG 的一个法向量 为(,,)n x y z = 2202420 11(,,1)33 n EF n EG x y x y n ⊥⊥-=?∴?--+=?∴=，

《点到直线的距离公式》示范公开课教学设计【高中数学必修4(北师大版)】

《点到直线的距离公式》教学设计 “点到直线的距离”是在学生学习直线方程的基础上，进一步研究两直线位置关系的一节内容，我们知道两条直线相交后，进一步的量化关系是角度，而两条直线平行后，进一步的量化关系是距离，而平行线间的距离是通过点到直线距离来解决的。 【知识与能力目标】 1掌握点到直线距离公式及其应用。 2.会用点到直线距离求两平行线间的距离。 【过程与方法目标】 经历公式的形成过程，体会由实例得出公式的方法，培养学生提出问题、分析问题和解决问题的能力。 【情感态度价值观目标】 通过推导公式方法的发现，培养学生观察、思考、分析、归纳等数学能力；在推导过程中，渗透数形结合、转化（或化归）等数学思想以及特殊与一般的方法；通过本节学习，引导学生用联系与转化的观点看问题，体验在探索问题的过程中获得的成功感。 【教学重点】 理解点到直线的距离公式，并能进行简单应用 【教学难点】 会用点到直线距离求两平行线间的距离 电子课件调整、相应的教具带好、熟悉学生名单、电子白板要调试好。

一、复习引入。 回顾：两点间的距离公式 平面上P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)两点间的距离公式P 1P 2＝ x 2－x 1 2 ＋y 2－y 1 2 .特别地，当x 1＝x 2＝0，即两点在y 轴上时，P 1P 2＝|y 1 －y 2|；当y 1＝y 2＝0，即两点在x 轴上时，P 1P 2＝|x 1－x 2|。 巩固练习 1．点(－2,3)到原点的距离为________。 【解析】 d ＝－2－0 2 ＋3－0 2 ＝13。 【答案】 13。 2．三角形三顶点为A (－1,0)，B (2,1)，C (0,3)，则△ABC 的三边长分别为________。 【解析】 |AB |＝2＋12 ＋ 1－0 2 ＝10， |AC |＝0＋12 ＋3－02 ＝10， |BC |＝2－0 2＋ 1－3 2 ＝22。 【答案】 10，10，22。 回顾：中点坐标公式 对于平面上的两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，线段P 1P 2的中点是M (x 0，y 0)，则 ????? x 0 ＝x 1 ＋x 2 2，y 0 ＝y 1 ＋y 2 2. 。 巩固练习 1．已知A(0,2)，B(3,0)，则AB 中点P 的坐标为________。 【解析】 设P(x ，y)，则??? ?? x ＝0＋32＝3 2， y ＝2＋02＝1，

向量法求空间点到平面的距离教案

向量法求空间点到面距离（教案） 新课导入： 我们在路上行走时遇到障碍物一般会想到将障碍物挪开，那还有别的方法吗？ 对！绕过去。在生活中我们都知道转弯，那么在学习上我们不妨也让思维转个弯，绕过难点 用另一种方法解决。 我们知道要想求空间一点到一个面的距离，就必须要先找到这个距离，而找这个距离恰恰是 一个比较难解决的问题，我们今天就让思维转个弯，用向量法解决这个难题。 一、复习引入： 1、 空间中如何求点到面距离？ 方法1、直接做或找距离； 方法2、；等体积 方法3、空间向量。 2、向量数量积公式 a · b =a b cos θ（θ为a 与b 的夹角） 二、向量法求点到平面的距离 剖析：如图， BO 平面 ，垂足为O ，则点B 到平面 的距离是线段BO 的长度。 教材分析 重点: 点面距离的距离公式应用及解决问题的步骤 难点: 找到所需的点坐标跟面的法向量 教学目的 1. 能借助平面的法向量求点到面、线到面、面到面、异面直线间的距离。 2. 能将求线面距离、面面距离问题转化为求点到面的距离问题。 3. 加强坐标运算能力的培养，提高坐标运算的速度和准确性。

若AB 是平面 的任一条斜线段，则在BOA Rt ABO COS ? 如果令平面的法向量为n ，考虑到法向量的方向，可以得到点B 到平面的距离为 BO 因此要求一个点到平面的距离，可以分为以下三步：（1）找出从该点出发的平面的任一 条斜线段对应的向量（2）求出该平面的一个法向量（3）求出法向量与斜线段对应的向量的 数量积的绝对值再除以法向量的模 思考、已知不共线的三点坐标,如何求经过这三点的平面的一个法向量? 例1、在空间直角坐标系中,已知(3,0,0),(0,4,0)A B ,(0,0,2)C ,试求平面ABC 的一个法向量. 解:设平面ABC 的一个法向量为(,,)n x y z r 则n AB n AC r u u u r r u u u r ，.∵(3,4,0)AB u u u r ,(3,0,2)AC u u u r ∴(,,)(3,4,0)0(,,)(3,0,2)0x y z x y z 即340320x y x z ∴3432y x z x 取4x ,则(4,3,6)n r ∴(4,3,6)n r 是平面ABC 的一个法向量. 例2、如图，已知正方形ABCD 的边长为4，E 、F 分别是AB 、AD 的中点，GC ⊥平面ABCD ，且GC ＝2，求点B 到平面EFG 的距离. 解：如图，建立空间直角坐标系C －xyz ． 由题设C(0,0,0)，A(4,4,0)，B(0,4,0)， D(4,0,0)，E(2,4,0)， F(4,2,0)，G(0,0,2)． (2,2,0),(2,4,2),B (2,0,0)EF EG E u u u r u u u r u u u r 设平面EFG 的一个法向量 为(,,)n x y z r 2202420 11(,,1)33 n EF n EG x y x y n r u u u r r u u u r r ，