数学分析第四章函数的连续性
第四章函数的连续性
§1 连续性概念
连续函数是数学分析中着重讨论的一类函数.
从几何形象上粗略地说, 连续函数在坐标平面上的图象是一条连绵不断的曲线.当然我们不能满足于这种直观的认识, 而应给出函数连续性的精确定义, 并由此出发研究连续函数的性质.本节中先定义函数在一点的连续性和在区间上的连续性.
一函数在一点的连续性
定义1 设函数f 在某U( x0 ) 内有定义.若
lim x → x f ( x ) = f ( x0 ) , ( 1)
则称f 在点x0 连续.
例如, 函数 f ( x ) = 2 x + 1 在点x = 2 连续, 因为
又如,函数lim
x →2
f ( x) = lim
x →2
( 2 x + 1 ) = 5 = f (2 ) .
f ( x) =
x sin
1
x
, x ≠ 0 ,
0 , x = 0
在点x = 0 连续, 因为
lim x →0 f ( x) = lim
x →0
x sin
1
x
= 0 = f ( 0) .
为引入函数y = f ( x ) 在点x0 连续的另一种表述, 记Δx = x - x0 , 称为自变量x( 在点x0 ) 的增量或改变量.设y0 = f ( x0 ) , 相应的函数y ( 在点x0 ) 的增量记为
Δy = f ( x ) - f ( x0 ) = f ( x0 + Δx) - f ( x0 ) = y - y0 .
注自变量的增量Δx 或函数的增量Δy 可以是正数, 也可以是0 或负数.
引进了增量的概念之后, 易见“函数y = f ( x ) 在点x0 连续”等价于
lim Δy = 0 .
Δx →0
70
第四章 函数的连续性
由于函数在一点的连续性 是通 过 极限 来定 义的 , 因 而 也可 直接 用 ε- δ方 式来叙述 , 即 : 若对任给的 ε> 0 , 存在 δ> 0 , 使得当 | x - x 0 | < δ时有
| f ( x) - f ( x 0 ) | < ε,
( 2)
则称函数 f 在点 x 0 连续 .
由上述定义 , 我们可得出函数 f 在点 x 0 有 极限 与 f 在 x 0 连 续这两 个概 念 之间的联系 .首先 , f 在点 x 0 有极限是 f 在 x 0 连续的必要条件 ; 进一步说“, f 在 点 x 0 连续”不仅要求 f 在点 x 0 有极限 , 而且其 极限值应 等于 f 在 x 0 的 函数 值 f ( x 0 ) .其次 , 在讨论极限 时 , 我们假 定 f 在 点 x 0 的某 空心 邻域 U °( x 0 ) 内有 定 义 ( f 在点 x 0 可以没有定义 ) , 而“ f 在点 x 0 连续”则要求 f 在某 U( x 0 ) 内 ( 包 括 点 x 0 ) 有定义 , 此时由于 (2 ) 式当 x = x 0 时总是成 立的 , 所以在 极限定义 中的“0 < | x - x 0 | < δ”换成了在连续定义中的“ | x - x 0 | < δ”.最后 , (1 ) 式又可表示为
lim x → x
f ( x) = f lim x ,
x → x
可见“ f 在点 x 0 连续”意味着极限运算 lim x → x
与对应法则 f 的可交换性 .
例 1 证明函数 f ( x ) = x D( x ) 在 点 x = 0 连续 , 其 中 D ( x ) 为 狄 利 克 雷 函数 .
证 由 f (0 ) = 0 及 | D( x ) | ≤ 1 , 对任给的 ε> 0 , 为使
| f ( x ) - f ( 0) | = | xD( x ) | ≤ | x | < ε, 只要取 δ= ε, 即可按 ε- δ定义推得 f 在 x = 0 连续 . □
相应于 f 在点 x 0 的左、右极限的概念 , 我们给出左、右连续的定义如下 : 定义 2 设函数 f 在某 U + ( x 0 ) ( U - ( x 0 ) ) 内有定义 .若
lim x → x +
f ( x) = f ( x 0 ) lim -
x → x
f ( x) = f ( x 0 ) , 则称 f 在点 x 0 右 ( 左 ) 连续 .
根据上述定义 1 与定义 2 , 不难推出如下定理 .
定理 4.1 函数 f 在点 x 0 连续的充 要条 件是 : f 在 点 x 0 既是 右连续 , 又 是 左连续 .
例 2 讨论函数
在点 x = 0 的连续性 .
解 因为
f ( x ) =
x + 2 , x ≥ 0 , x - 2 , x < 0
lim x → 0 +
lim x → 0 -
f ( x ) = lim x → 0 + f ( x) = lim x → 0 -
( x + 2 ) = 2 ,
( x - 2) = - 2 , 而 f (0 ) = 2 , 所以 f 在点 x = 0 右连 续 , 但 不左 连续 , 从 而 它在 x = 0 不 连续 ( 见
●
§1 连续性概念 71
图 4 - 1 ) .
□
二 间断点及其分类
定义 3 设函数 f 在某 U °( x 0 ) 内有定义 .若 f 在 点 x 0 无定义 , 或 f 在点 x 0 有 定 义而 不 连续 , 则称 点 x 0 为 函数 f 的间断点或不连续点 .
按此定义以及上一段中关于极限与连续性之间联系的 讨论 , 若 x 0 为函数 f 的间断点 , 则必出现下列情形之一:
图 4 - 1
( i ) f 在点 x 0 无定义或极限 l im x → x
f ( x ) 不存在 ; 0 ( ii ) f 在点 x 0 有定义且极限 lim x → x
f ( x ) 存在 ① , 但 lim x → x
f ( x) ≠ f ( x 0 ) .
据此 , 我们对函数的间断点作如下分类 : 1. 可去间断点 若
lim x → x
f ( x ) = A ,
而 f 在点 x 0 无定义 , 或有定义但 f ( x 0 ) ≠ A , 则称 x 0 为 f 的可去间断点 .
例如 , 对于函数 f ( x ) = | sgn x | , 因 f ( 0) = 0 , 而
lim x → 0
f ( x) = 1 ≠ f (0 ) ,
故 x = 0 为 f ( x ) = | sgn x | 的 可 去 间 断 点 . 又 如 函 数 g ( x ) =
sin x
, 由 于 x
lim x → 0
g ( x ) = 1 , 而 g 在 x = 0 无定义 , 所以 x = 0 是函数 g 的可去间断点 .
设 x 0 为函数 f 的可去间断点 , 且 lim x → x
f ( x ) = A .我们按
如下 方法定 义一 个 0
函数 f ^: 当 x ≠ x 0 时 , f ^( x ) = f ( x) ; 当 x = x 0 时 , f ^( x 0 ) = A .易 见 , 对 于函 数
f ^, x 0 是它的连续点 .例如 , 对上述的 g( x) = sin x , 我们定义
x
则 g
^在 x = 0 连续 .
g ^( x ) = sin x x
, x ≠ 0 , 1 , x = 0 ,
2. 跳跃间断点 若函数 f 在点 x 0 的左、右极限都存在 , 但
lim x → x +
f ( x) ≠ lim x → x -
f ( x) , 则称点 x 0 为函数 f 的跳跃间断点 .
例如 , 对函数 f ( x ) = [ x ] ( 图 1 - 8) , 当 x = n ( n 为整数 ) 时有
①
这里所说的极限存在是指存在有限极限 , 即不包括非正常极限 .
72
第四章 函数的连续性
lim x → n -
[ x] = n - 1 , lim x → n +
[ x] = n , 所以在整数点上函数 f 的左、右极限不相 等 , 从而 整数 点都是 函数 f ( x ) = [ x ] 的跳跃间断点 .又如符号函数 s gn x 在点 x = 0 处的左、右 极限 分别 为 - 1 和 1 , 故 x = 0 是 sgn x 的跳跃间断点 ( 图 1 - 3) .
可去间断点和跳跃间断点统称 为第 一类 间断 点 .第一类 间断 点的特 点是 函 数在该点处的左、右极限都存在 .
3. 函数的所有其他形式的间断点 , 即使得函数至少有 一侧极限 不存在的 那 些点 , 称为第二类间断点 .
例如 , 函数 y = 1 当 x → 0 时不存在有限的极限 , 故 x = 0 是 y = 1
的第二类
x x 间断点 .函数 s in 1 在点 x = 0 处左、右极限都不存在 , 故 x = 0 是 s in 1
的第二类
x x
间断点 .又如 , 对于狄利克雷函数 D( x ) , 其定义域 R 上 每一点 x 都 是第二类 间 断点 .
三 区间上的连续函数
若函数 f 在区间 I 上的每一点都连续 , 则称 f 为 I 上的连续函数 .对于闭区 间或半开半闭区间的端点 , 函数在这些点上连续是指左连续或右连续 .
例如 , 函数 y = c, y = x , y = sin x 和 y = cos x 都是 R 上 的连 续 函数 .又 如 函数 y =
1 - x 2
在 ( - 1 , 1 ) 每 一点处都 连续 , 在 x = 1 为 左连续 , 在 x = - 1 为
右连续 , 因而它在 [ - 1 , 1] 上连续 .
若函数 f 在区间 [ a , b] 上仅有 有限 个第 一类间 断点 , 则称 f 在 [ a, b] 上 分 段连续 .例如 , 函数 y = [ x ] 和 y = x - [ x] 在区间 [ - 3 , 3 ] 上是分段连续的 .
在§3 中我们将证明任何初等函数在其定义区 间上为 连续函数 .同 时 , 也 存 在着在其定义区间上每一点处都不连续的函数 , 如前面已提到的狄利克雷函数 .
例 3 证明 : 黎曼函数
R ( x) =
1 , 当 x = p q q
p 、q 为正整数 , p 6q / 为既约真分数 , 0 , 当 x = 0 , 1 及 (0 , 1 ) 内无理数 在 (0 , 1 ) 内任何无理点处都连续 , 任何有理点处都不连续 .
证 设 ξ∈ ( 0 , 1) 为无 理数 .任给 ε> 0 不妨设 ε< 1
2
, 满足 1 ≥ε的正 整
q
数 q 显然只有有限个 ( 但至少有一个 , 如 q = 2) , 从而使 R( x ) ≥ε的 有理数 x ∈
(0 , 1 ) 只有有限个 至少有一个 , 如 1
2
, 设为 x 1 , , x n .取
δ = min | x 1 - ξ| , , | x n - ξ| ,ξ, 1 - ξ ,
3 §1 连续性概念
73
则对任何 x ∈ U(ξ;δ) ( ì ( 0 , 1) ) , 当 x 为有理数时有 R( x ) < ε, 当 x 为无理数 时 R ( x ) = 0 .于是 , 对任何 x ∈ U(ξ;δ) , 总有
R ( x) - R(ξ) = R ( x ) < ε .
这就证明了 R ( x ) 在无理点 ξ处连续 .
现设 p 为 (0 , 1 ) 内任一有理 数 .取 ε0 =
1 , 对任 何正 数 δ( 无 论 多么 小 ) , 在 q
2 q U
p q
;δ 内总可取到无理数 x ( ∈ ( 0 , 1) ) , 使得 R( x ) - R p
q = 1 q > ε0 . 所以 R ( x ) 在任何有理点处都不连续 .
□
习 题
1. 按定义证明下列函数在其定义域内连续 :
( 1) f ( x ) = 1
; ( 2) f ( x ) = | x | .
x
2. 指出下列函数的间断点并说明其类型 :
( 1) f ( x ) = x + 1 ; ( 2) f ( x) = sin x
;
x | x |
( 3) f ( x ) = [ | cos x | ] ; (4) f ( x) = sgn | x | ;
( 5) f ( x ) = sgn ( cos x ) ;
x , x 为有理数 ,
( 6) f ( x ) =
( 7) f ( x ) = - x , x 为无理数 ; 1
x + 7
, - ∞ < x < - 7 , x , - 7≤ x ≤1
( x - 1 )sin 1
, 1 < x < + ∞ .
x - 1
3. 延拓下列函数 , 使其在 R 上连续 :
( 1) f ( x ) = x - 8 ; ( 2) f ( x) = 1 - cos x
;
x - 2 x 2
( 3) f ( x ) = x cos 1
.
x
2 2
4. 证明: 若 f 在点 x 0 连续 , 则 | f | 与 f 也在 点 x 0 连 续 .又问 : 若 | f | 或 f 那么 f 在 I 上是否必连续 ?
在 I 上连续 , 5. 设当 x ≠0 时 f ( x) ≡ g( x ) , 而 f ( 0) ≠ g (0 ) .证明 : f 与 g 两者中 至多有 一个在 x = 0 连续 .
6. 设 f 为区间 I 上的单调函数 .证明: 若 x 0 ∈ I 为 f 的间断点 , 则 x 0 必是 f 的第一类间 断点 .
n n - 1
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第四章 函数的连续性
7. 设函数 f 只有可去间断点 , 定义
g( x ) = lim y → x
f ( y) .
证明 g 为连续函数 .
8. 设 f 为 R 上的单调函数 , 定义
g( x) = f ( x + 0 ) .
证明 g 在 R 上每一点都右连续 .
9. 举出定义在 [0 , 1 ]上分别符合下述要求的函数 :
( 1) 只在 1 , 1 和 1
三点不连续的函数 ;
2 3 4 ( 2) 只在 1 , 1 和 1
三点连续的函数 ;
2 3 4 ( 3) 只在 1
( n = 1 , 2 , 3 , )上间断的函数 ;
n
( 4) 只在 x = 0 右连续 , 而在其他点都不连续的函数 .
§2 连续函数的性质
一 连续函数的局部性质
若函数 f 在点 x 0 连续 , 则 f 在点 x 0 有极 限 , 且极 限值 等于函 数值 f ( x 0 ) . 从而 , 根据函数极限的性质能推断出函数 f 在 U ( x 0 ) 的性态 .
定理 4.2 ( 局部有界性 ) 若函数 f 在点 x 0 连续 , 则 f 在某 U( x 0 ) 内有界 . 定理 4 .3 ( 局部保号性 ) 若函数 f 在点 x 0 连 续 , 且 f ( x 0 ) > 0 ( 或 < 0 ) , 则 对任何正数 r < f ( x 0 ) ( 或 r < - f ( x 0 ) ) , 存 在 某 U ( x 0 ) , 使 得 对 一 切 x ∈ U( x 0 ) 有
f ( x) > r ( 或 f ( x ) < - r) .
注 在具体应用局 部保 号性 时 , 常 取 r = 1
2
f ( x 0 ) , 则 ( 当 f ( x 0 ) > 0 时 ) 存
在某 U( x 0 ) , 使在其内有 f ( x) > 1
2
f ( x 0 ) .
定理 4 .4 ( 四则运算 ) 若函数 f 和 g 在点 x 0 连续 , 则 f ± g , f ·g, 6f g( x 0 ) ≠ 0) 也都在点 x 0 连续 .
以上三个定理的证明 , 都可从函数极限的有关定理直接推得 .
g /( 这里 对常量函数 y = c 和函数 y = x 反复应用定理 4.4 , 能推出多项式函数
P( x) = a 0 x + a 1 x + + a n - 1 x + a n
和有理函数 R ( x ) = P( x)
Q( x)
( P , Q 为多项式 ) 在其定义域的每 一点都是 连续的 .
同样 , 由 sin x 和 cos x 在 R 上的连续性 , 可推出 tan x 与 cot x 在其定义域的每
0 §2 连续函数的性质
75
一点都连续 .
关于复合函数的连续性 , 有如下定理 : 定理 4.5 若函数 f 在点 x 0 连续 , g 在点 u 0 连续 , u 0 = f ( x 0 ) , 则复合函 数 g f 在点 x 0 连续 .
证 由于 g 在 u 0 连续 , 对任给的 ε> 0, 存在 δ1 > 0 , 使得当| u - u 0 | < δ1 时有
| g( u) - g( u 0 ) | < ε . ( 1) 又由 u 0 = f ( x 0 ) 及 u = f ( x ) 在点 x 0 连续 , 故 对上述 δ1 > 0 , 存在 δ> 0 , 使得 当 | x - x 0 | < δ时有 | u - u 0 | = | f ( x ) - f ( x 0 ) | < δ1 .联系 ( 1 ) 得 : 对 任给的 ε> 0 , 存在 δ> 0 , 当 | x - x 0 | < δ时有
| g ( f ( x ) ) - g( f ( x 0 ) ) | < ε . 这就证明了 g f 在点 x 0 连续 .
□ 注 根据连续性的定义 , 上述定理的结论可表为
lim x → x
g( f ( x) ) = g lim x → x
f ( x ) = g( f ( x 0 ) ) .
( 2)
例 1 求lim sin (1 - x 2
) .
x → 1
解 sin ( 1 - x 2 ) 可看作函数 g( u) = sin u 与 f ( x ) = 1 - x 2
的复合 .由 ( 2) 式 得
lim sin ( 1 - x 2 ) = sin lim
(1 - x 2
) = sin 0 = 0 .
□
x → 1
x → 1
注 若复合函数 g f 的内函 数 f 当 x → x 0 时 极限 为 a , 而 a ≠ f ( x 0 ) 或 f 在 x 0 无定义 ( 即 x 0 为 f 的可去间断点 ) , 又外函数 g 在 u = a 连续 , 则我们仍可 用上述定理来求复合函数的极限 , 即有
lim x → x
g( f ( x ) ) = g lim x → x
f ( x) .
( 3)
读者还可证明 : ( 3 ) 式 不 仅 对 于 x → x 0 这 种 类 型 的 极 限 成 立 , 而 且 对 于 x → + ∞ , x → - ∞或 x → x ±
等类型的极限也是成立的 .
例 2 求极限 :
(1 ) lim
2 - sin x
; (2 ) lim
2 - sin x .
x → 0
解 (1 ) lim
x → 0 x 2 - sin x x x → ∞
= 2 - lim x → 0 x
sin x = 2 - 1 = 1; x
(2 ) lim 2 -
sin x
= 2 - lim sin x = 2 - 0 = 2 . □
x → ∞ x x → ∞ x
二 闭区间上连续函数的基本性质
设 f 为闭区间 [ a , b] 上 的连续 函数 , 本 段中我 们讨 论 f 在 [ a , b] 上 的整 体 性质 .