微积分(经济类)考研真题
1.
.使得试补充定义设)1()
1,2
1
[,)1(1sin 11)(f x x x x x f ∈--+=πππ6.._____)1ln 1[lim 20
=++→x x x 极限](/03数四考研题
5.3.设常数a ≠
1
2
,则∞n lim →ln
[
]
n na n a 21
12()
-+-n
=( ).
02数三、四考研题
1.设对任意的总有且则(A)(B)(C)(D)存在且等于零.存在但不一定等于零.一定不存在.
不一定存在.
)()(x x ?≤≤x ,g x f )(,x lim ∞
→x g )(=-)(x ?[]0,
x lim ∞
→x f )(( ).
00数三考研题
.
______2
lim
,0,02.3
0=+>>→x
x
x x b a b a 则均为常数若00数四考研题
(D)(C)(B)(A)x
x f x g f x f ( ).
)()()0()('有可去间断点在有跳跃间断点在存在且为不恒等于零的奇函数设=则函数,,;;
;.
4.03数三考研题
处左极限不存在处右极限不存在x =0x =0x =0x =0)
(考研真题一
上连续在
]
1,21[)(x f .03数三考研题
上连续在使
试补充定义设]
0,
2
1
[
)()0(0,2
1,)1(1
)(x f f x x x f ∈---=π.7.03数四考研题1x πsin 1x π](.__________,,5)(cos sin lim
8.0
===--→b a b x a
e x
x x 则若04数三、四考研题
得( ).
)2)(1()2sin(||)(9.2
x x x x x x f ---=在下列哪个区间内有界函数);1,0((B));0,1((A)-);
2,1((C)).
3,2((D)04数三、四考研题
2.
.,),()(10.且
内有定义在设x f +∞-∞04数三、四考研题
.0)((D);
)(0(C);)(0(B);)(0(A)( ).
,0,
0,
0,1)(,
)(lim 的取值有关处的连续性与在点的连续点必是的第二类间断点必是的第一类间断点必是则a x x g x g x x g x x g x x x x f x g a x f x ====????
?=≠==∞
→)
(11.极限.________1
2sin
lim 2=+∞
→x x
x x 05数三、四考研题
12.________.
1lim )1(=??
?
??+-∞
→n
n n n 06数三、四考研题
13.当+→0x 时,与
x 等价的无穷小量是( ).
(A)x
e -1; )1ln x +;
11-+x ; x cos 1-.(B)(C)
(D)(07数三、四考研题
=-
+-11lim x e e _____________.32cos 0x
x 17.
18.当0→x 时,ax x x f sin )(-=与)1ln()(2bx x x g -=为等价无穷小,14.设函数???
?
?>≤+=c
x c x x x f ,2,1)(2在),(+∞-∞则.
_____=c x
内连续,设,0b a <<则n n n
n b a 1)
(lim --∞
→+(A) ;
a (B);
1-a (C) ;
b (D) .
1-b 15.( ).等于16.设某企业生产线上产品合格率为0.96, 不合格产品中只有
4
3
进行再加工且再加工的合格率为0.8,其余均为废品80元20元2万元, 每件合格品获利, 每件废品亏损, , 问企业每天至少生产多少产品,
?
为保证该企业每天平均利润不低于产品可08四考研题
08数三、四考研题
08四考研题09数三考研题
3..则( ).
(A)61,1-
==b a (B)61,1==b a (C)6
1,1-=-=b a (D)61
,1=-=b a ;;;.
19.函数x
x x x f πsin )(3
-=的可去间断点的个数,则( ).
(A)3无穷多个(B)(C)21(D) ;;;.09数一、三考研题
09数二、三考研题若111lim
=--x
x e a x x , 则a 等于( ).(A)0
(B)1
(C) 2
(D)3→?
? ???]
[
20.;;;.
10数三考研题
4.
.考研真题二
设函数在点处可导则函数在点的充分条件是)(x f a =x ,)(x f a =x (A)(B)(C)(D))(a f =且0)(a f =0';)(a f >且0)(a f >0';)(a f <且0)(a f <0'.
)(a f =且0)(a f 0';≠处不可导).
(
1.00数三、四考研题
,00
,00
,
1cos )(则处连续其导数在若若设λλ=????
?=≠=x x x x x x f ,2.的取
1)(0)1(1)()(|1|)(3既非充分也非必要条件充分但非必要条件必要但非充分条件充分必要条件处可导的在是处连续在其中设函数(D)(C)(B)(A)x x f x x x x x f ===-=???则,).
(
,;;;
.
4.03数四考研题
.0)(),,((D);0)(),,((C));()(),,((B));()(),,((A)( ).
,0)(,0)(,],[)(5.00000000=∈='∈>∈>∈<'>''x f b a x x f b a x b f x f b a x a f x f b a x b f a f b a x f 使得至少存在一点使得至少存在一点使得至少存在一点使得至少存在一点误的是则下列结论中错且上连续在设04数三、四考研题
.
_______|
,1
ln
arctan 6.1
22=+-==x x x x d x d y
e e e y 则
设04数四考研题
.
____322=+-=b a b x b a x y 表示为可以通过轴相切与已知曲线则,x 3.03数三考研题
.
____值范围是03数三考研题
327.设函数3
21
+=
x y ,则=)0()(n y ____________.07数三、四考研题
8.设函数)(x f 在0=x 处连续,下列命题错误的是( ).
(A)若x
x f x )
(lim
→存在,则0)0(=f ;
07数三、四考研题
5.
.若x x f x f x )
()(lim 0
-+→存在,则0)0(=f ;
若x x f x )
(lim
→存在,则
)0(f '存在;
若x
x f x f x )
()(lim 0--→存在,则)0(f '存在.
(B)(D)(C)9.设某产品的需求函数为)(P Q Q =其对应的价格P 的弹性2.0=P ξ,则当10 000件时,价格增加1_________元.
元会使产品收益增加需求为09数三考研题
6.
.考研真题三
-=+arctan 2
.
,)1(π
e x y x
渐近线的单调区间和极值求函数并求该函数图形的
00数三、四考研题
1.设)(x f 的导数在a x =处连续则(A)a x =是)(x f 的极小值点(B)a x =是)(x f 的极大值点(C)))(,(a f a 是曲线)(x f y =的拐点(D)a x =不是)(x f 的极值点))(,(a f a 也不是曲线;;;
又,,1)
(lim
-=-→a
x x f a
x ',).
(01数三、四考研题
的拐点.)(x f y =2.已知)(x f 在),(+∞-∞内可导且
e x
f x =∞
→)(lim )]1()([lim )
(
lim
--=-+∞
→∞
→x f x f c
x c x x x
x 求c 的值.
',
,,01数三、四考研题
3.某商品进价为a (元/件)根据以往经验b (元/件)时当销售价为,,,销
4.售量为c 件(
c b a ,,均为正常数且a b 3
4
≥
)
市场调查表明销售价每下降,,10%销售量可增加40%现决定一次性降价试问当销售价定为多少时并求出最大利润.
?,,,,获得最大利润可01数四考研题
存在),(b a ∈ξ使))(()()(a b f a f b f -=-ξ(D),.
'.
0)('),3,0(.1)3(,3)2()1()0(,)3,0(,]3,0[)(=∈==++ξξf f f f f x f 使试证必存在且内可导在上连续在设函数.
)(,).(),()(,1最小？并求出最小值为何值时问内的驻点为在设a t a a t at a t f a t +∞-∞-=>6.03数三考研题
7.03数四考研题
设函数)(x f 在],[b a 上有定义),(b a 内可导则当0)()(
f x f x (A)(B)在存在,,,,;;
,( ).02数三、四考研题
5.当)()(b f a f =时),(b a ∈ξ使0)(=ξf (C)存在,;',
7.
.;)()0,0(,)(0(A)( ).
|,)1(|)(8.的拐点不是曲线但的极值点是则设x f y x f x x x x f ==-=04数三、四考研题
.)()0,0(,)(0(D);)()0,0(,)(0(C);)()0,0(,)(0(B)的拐点也不是曲线的极值点不是的拐点是曲线且的极值点是的拐点是曲线但的极值点不是x f y x f x x f y x f x x f y x f x ======.cos sin 1lim
9.
2
220
-→x x
x x 求)
(
04数三、四考研题
.
,),)(1()();
0()(.),20,0(,510010.降低价格反而使收益增加围内变化时说明价格在何范并用弹性为收益其中推导求需求量对价格的弹性为需求量其中价格设某商品的需求函数d d d d E R E Q d P d R
E E Q P P Q -=II >I ∈-=04数三、四考研题
11.当a 取下列哪个值时, 函数a x x x x f -+-=1292)(2
3
(A) 2; (B) 4; (C) 6; (D) 8.恰有两个不同的
零点.( )
05数三、四考研题
12.设,cos sin )(x x x x f +=下列命题中正确的是( ).
(A))0(f 是极大值,)
2(π
f 是极小值;
)0(f 是极小值,)
2(π
f 是极大值;
(B)(C))0(f 是极大值,)
2(π
f 也是极大值;
)0(f 是极小值,)
2
(π
f 也是极小值.
05数三、四考研题
(D)13.以下四个命题中, 正确的是( ).
(A)若)(x f '在(0,1)内连续, 则)(x f 在(0,1)内有界;(B)若)(x f 在(0,1)内连续, 则)(x f 在(0,1)内有界;(C)若)(x f '在(0,1)内有界, 则)(x f 在(0,1)内有界;(D)若)(x f 在(0,1)内有界, 则)(x f '在(0,1)内有界.05数三、四考研题
14.求.
1
11lim 0??
? ??--+-→x e x x x 05数三、四考研题
8.
.15.设函数)(x f 在2=x 的某邻域内可导, 且1)2(,)()(=='f e x f x f , 则_______)2(='''f .
16.设函数)(x f 在0=x 处连续1)
(lim
2
20
=→x x f x 则(A)0)0(=f 且)0(f '存在(B)1)0(=f 且)0(f '存在(C)0)0(=f 且)0(+'f 存在(D)1)0(=f 且)0(+'f 存在(且).
17.设0,0,arctan sin 11),(>>--+=y x x y x
y xy y
y x f π,求
(1)),(lim )(y x f x g y +∞
→=;
(2))(lim 0
x g x +→,,.
;;
;.
06数三、四考研题
06数三、四考研题
06数三、四考研题
18.=+++++∞→)cos (sin 21
lim
3
23x x x x x x x ____________.
07数三、四考研题
19.曲线)1ln 1
x e x y ++=渐近线的条数为( ).(A)0;
1;
2;3.
(B)(C)(D)(07数三、四考研题
20.设函数)(x y y =由方程0ln =+-y x y y 确定,试判断曲线)(x y y =在)1,1(附近的凹凸性.
,点07数三、四考研题
21.设函数)(),(x g x f 在],[b a 上连续,在),(b a 内二阶可导且存在相等,又).()(),()(b g b f a g a f ==证明:
(Ⅰ
)存在),,(b a ∈η使得)()(ηηg f =; (Ⅱ)存在),,(b a ∈ξ使得)()(ξξg f ''=''.
的最大值07数三、四考研题22. 设函数)(x f 在区间[-1是连续0=x 是函数
的(A)跳跃间断点;(B)可去间断点(C)无穷间断点;(D)振荡间断点则,1],
x g =
)(( ).
;.
08数三、四考研题
23.求极限.
sin ln 1
lim 2
x x x x →08数三、四考研题
9.
.25.设,)()(10
d t x t t x f -=,10< . ||区间24.已知函数)(x f 连续且,2) (lim 0 =→x x f x 则曲线)(x f y =0=x 处切线方程为_______. 上对应08数四考研题 08数四考研题 26.(1)证明拉格朗日中值定理:若函数)(x f 在[]b a ,上连续,在()b a ,导,则存在()b a ,∈ξ使得 ()()a b f a f b f -'=-ξ)()(. 证明:若函数)(x f 在0=x 处连续,在()()0,0>δδ内可导,且 ()A x f x ='+ →0lim 则()0+'f 存在,且()A f ='+0. (2), 可 09数一、三考研题 若曲线123+++=bx ax x y 有拐点)0,1(-,则=b ________. 27.28.设函数)(x f ,)(x g 具有二阶导数,且,0)( (A)0)(a f (C)0)(a f ''''''''29.设x x f 10ln )(=,x x g =)(,10)(x e x h =,则当x 充分大时有( ). (A))()()(x f x h x g <<(B))()()(x f x g x h <<(C))()()(x h x g x f <<(D))()()(x h x f x g <<求极限x x x x ln 11)1(lim -. →+∞ 30.10数三考研题 ;;;.10数三考研题 /;;. ;10数三考研题10数三考研题 10. .设x x x f )(sin =,求 d x . 2sin 7.02数三、四考研题 考研真题四 .______)(,1)(ln =+='x f x x f 则设95数三考研题.________ ,arcsin )(=+=x C x d x x xf 则设96数三考研题 ._____=x 98数三考研题 1.3.4. .)(arcsin 2d x x 求不定积分95数四考研题 2.). (,0)(,1)0(x f x F F 试求已知>=6.填空 d x x x arcsin = 00数四考研题 . _____0,)()(x x f x F 时 且当的原函数为设≥5., )1(2)()(2 x xe x F x f x +=99数四考研题 )(x f 8.计算不定积分).0(11ln >??? ? ??++x d x x x 09数二、三考研题 11. .考研真题五 00数三考研题 .__________1 2=++∞-x x e e d x 1. . 131+∞-++= x x e e d x I 计算00数四考研题 2.). ()1()((0,1),1ξξξξf f --='∈使得试证明至少存在一点已知抛物线qx px y +=2 (其中0 q )在第一象限内与直线5=+y x 相切,且此抛物线与x 轴所围成的平面图形的面积为S . (1)问p 和q 为何值时,S 达到最大值?(2)求出此最大值5.. 01数三考研题 ). ()()()(),,0(,,2 5 )1(,),0()(1 1 1 x f d u u f x d u u f t d u u f t x f x f t x xt 求足条件 且对所有内连续在设函数+=+∞∈=+∞01数四考研题 6.满). (2)(),1,0()(3 )1(,)1,0(,]1,0[)(310 12ξξξξf f d x x f e f x f x ='∈=-使得证明存在且满足 内可导在上连续在区间设01数四考研题 7.. _____)|(11 ||=+--d x e x x x 03数四考研题 8. |)(,21),1(3 1 10),1(21)(.)()(3.2 则若若其中设x g x x x x x f d u u f x g x ??? ? ?? ?≤≤-<≤+==,)1,0(,]1,0[)(x f 且满足 内可导在上连续在设01数三考研题 4.. ;;; )2,0(连续不连续递减无界内在区间(D)(C)(B)(A)01数三考研题 )( . ) 1()()1(10 1k d x x f xe k f k x ->=12. .,)0,1(),1,0()(的一段连续曲线是第一象限内连接点设B A x f y =9.. )(,3 1 6,,,3的表达求的面积之和为的面积与曲边三角形梯形为坐标原点轴上的投影在为点为该曲线上任意一点x f x CBM OCMA O x M C +),(y x M 若 03数四考研题 . 0],,0[,)(0的销售量为到时刻设某商品从时刻k T t kt t x t >∈=10.式. ______)1(,2 1,1,212 1,)(12. 2=-?????? ?≥-<≤-=d x x f x x xe x f x 设04数三、四考研题 ). ()(,)((D)); ()(,)((C);0,),()((B); 0)((A)( ). ,)()(, 0, 1,0, 0,0,1)(13.0 x f x F x F x f x F x F x x F x x F d t t f x F x x x x f x ='='=+∞-∞== ??? ??<-=>=但不一定满足内可导在且满足内可导在点不可导在内连续在点不连续在则设),(+∞-∞),(+∞-∞04数四考研题 . )((2);)()((1).)(0,)(,0.)(,0,, 0,)(14.1122的最小值的表达式求 的面积表示矩形对任何之间的面 轴与曲线表示夹在设t S t S S t S t F y t x t t S t x F y x S x e x e x F x x -=≤≤≤≤->=???>≤=-04数四考研题 (1)的值并确定时的商品剩余量k t ,.的该商品销售完时将数量为A T 试求 ,03数四考研题 . ],0[(2)上的平均剩余量在时间段T ,],[)(),(11.b a x g x f 且满足 上连续在设04数三考研题 , )()(),,[,)()(= ∈≥b a b a x a x a d t t g d t t f b a x d t t g d t t f . )()(≤b a b a d x x xg d x x xf 证明欲在积 13..15.设)(),(x g x f 在[0,1]上的导数连续, 且.0)(,0)(,0)0(≥'≥'=x g x f f (1). )()()()()(1 g a f d x x g x f d x x f x g a ≥'+'? ?证明: 对任何],1,0[∈a 有 05数三、四考研题 16.下列结论中正确的是( ).(A)?+∞ +1)1(x x d x 与 ?+1 )1(x x d x 都收敛; ?+∞ +1) 1(x x d x 与 ? +1 ) 1(x x d x 都发散; (C)?+∞ +1)1(x x d x 发散, ? +1 )1(x x d x 收敛; ? +∞ +1 ) 1(x x d x 收敛, ? +1 ) 1(x x d x 发散. (B)(D) 05数四考研题 06数四考研题 17.设函数)(x f 与)(x g 在]1,0[上连续)()(x g x f ≤则对任何)1,0(∈ C (A)??≥c c d t t g d t t f 2 121)()((B)??≤c c d t t g d t t f 212 1 )()((C) ??≥1 1 )()(c c d t t g d t t f (D) ??≤1 1 )()(c c d t t g d t t f 且,,). ( ; ; ; . 18.如图,连续函数)(x f y =在区间]2,3[--,]3,2[上的图形分别是半1的上、,在区间]2,0[],0,2[-上的图形分别是直径为2的下、.设=x dt t f x F 0 )()(,则下列结论正确的是( ). (A))2(4 3 )3(--=F F ; )2(4 5 )3(F F = ;(C))2(4 3 )3(F F = -; (D))2(4 5 )3(--=-F F . (B)下半圆周径为上半圆周?1231-2-3-O x y 设函数),(y x f 连续,则二次积分 等于( ). 19.1sin 2 ),(x dy y x f dx ππ? ? 07数三、四考研题 07数三、四考研题 14. .(A)+π πy d x y x f dy arcsin 1 ),(; -π πy d x y x f dy arcsin 10 ),(;(C) +y d x y x f dy arcsin 2 1 ),(ππ ; -y d x y x f dy arcsin 2 10 ),(ππ . (B)(D)?? ?? ????20.设某商品的需求函数为,2160p Q -=其中p Q ,分别表示需求量和价,如果该商品需求弹性的绝对值等于1,则商品的价格是( ). (A)(B)(C) (D)10; 20; 30;40. 格07数三、四考研题 08数三考研题 21.函数,1143x x x x x f ++=??? ? ?+求积分 ? =222 . _____)(d x x f 22.曲线方程为)(x f y =函数在区间],0[a 上有连续导数'a d x x f x 0 )(( ).(A)曲边梯形ABOD 面积(B)梯形ABOD 面积(C)曲边三角形ACD 面积(D)三角形ACD 面积. 则定积分 表示;;;,? 08数三、四考研题 23. )(x f 是周期为2的的连续函数,(1)证明对任意实数+= 22 )()(t t d x x f d x x f ; (2)证明d t d s s f t f x g x t t -=+0 2)()(2)(是周期为2的周期函数.?? ????都有t ?? ? ? 08数三、四考研题 24.使不等式x d t t t x ln sin 1 >成立的x 的范围是(0,1)1,2 π)ππ ,2) +∞,π)(D)(C)(B)(A); (((;;. ( ). 25.设函数)(x f y =在区间[]31-图形如右图所示则函数? =x d t t f x F 0 )()(为 ( ). ,) (x f O 1-2-1 2 3 x ,) (x F O 1-2-123x 1 -(A)) (x F O 1-2-123 x 1 -(B) 上的09数三考研题 ? 09数三考研题 15. .设曲线)(x f y =,其中)(x f 是可导函数,且0)(>x f ,)(x f y =与直线y 及)1(>=t t x 所围成的曲边梯形,绕x 体体积值是该曲边梯形面积值的t π倍,求该曲线方程. 26.=0,x =1已知曲线) (x F O 1-2-1 2 3 x 1 -1 (C) ) (x F O 1-2-1 2 3 x 1 -1 (D) 09数三考研题 轴旋转一周所得的立27.设可导函数)(x y y =由方程=+-x y x x t d x x d x e 0 20 sin 2 确定,则 . __________0 ==x d x d y ? ?28.设位于曲线)() ln 1(1 2<+= x e x x y 下方,x 轴上方的无界区域为 G ,则G 绕x 轴旋转一周所得空间区域的体积是 __________. ≤+∞29.比较+1 0)]1[ln(|ln |d t t t n 与1 |ln |d t t t n ),2,1(=n 的大小,说明理 . 设+=1 )]1[ln(|ln |d t t t u n n ),2,1(=n ,求极限n n M lim . ??ΛΛ?→∞ (1)(2)设函数)(x f 在]3,0[上连续,在)3,0(内存在二阶导数,且 ), 3()2()()0(22 0f f d x x f f +==(1)证明:存在),2,0(η使)0()(f f =η;(2))3,0(ξ,使0)(=ξf . ?∈∈''30.10数三考研题 10数三考研题 由证明:存在10数三考研题 10数三考研题 16. .考研真题六 . )0(22围成的区域和直线x y a x a a y -=>-+- =,是由曲线 其中D σ2.00数三考研题 .__________,,,,=????? ??+???? ? ?=x z g f x y g y x xy f z 则均可微其中设1.00数三考研题 ,两个市场的需求假设某企业在两个相互分割的市场上出售同一种产品3.00数三/四考研题 函数分别是 ; 12,2182211Q P Q P -=-=),:,(),/:(2121Q Q P P 并且该企业生产吨单位即需求量分别表示该产品在两个市场的销售量和吨万元单位分别表示该产品在两个市场的价格和其中. ,.5221Q Q Q Q Q C +=+=即表示该产品在两个市场的销售总其中这种产品的总成本函数是,(1)试确定两个市场上该产品的销售量和价如果企业实行价格差别策略量2=-xy e xy 和求 d x d u ,.= -z x x d t t t e 0 sin .,arctan ,ln ,22d z x y v y x u u z v 求已知=+==5.00数四考研题 设),,(z y x f u =有连续的一阶偏导数又函数)(x y y =及)(x z z =别由下列两式确定： 6.,01数三考研题 . ;,,(2). ,并比较两种价格策略下的总利润大使该企业的总利润最大化其统一的价格试确定两个市场上该产品的销售量及如果企业实行价格无差别策略使该企业获得最大利润}. 2|),{(,),(,0, 0,21),(222x y x y x D d x d y y x f x y x y x y x f ≥+=???≤≤≤≤=其中 求 其它设4.00数四考研题 D 格小分 17. .求二重积分 的值,其中D 是由直线 x y =, 1-=y 及1=x 围成的平面区域. 7.+d x d y xe y ]1[+y x ) (222 01数三考研题 D 设函数),,(z y x f u =有连续偏导数),(y x z z =由方程 所确定d u 9.且求,,. z y x ze ye xe =-02数三考研题 10.设闭区域0,:22≥≤+x y y x D .),(y x f 为D 上的连续函数,且 - =d u d v v u f y x f ),(8),(π 求). ,(y x f --y x 122, 02数四考研题 D 设)2(y x f e z x --=-,且当0=y 时,2x z =,则 =8.01数四考研题 ________. ??x z 11.}. |),{,)sin 2 2 22) (22 ππ≤+ =+= -+-y x y x D d y x e I y x 其中积分区域计算二重积分(x d y (D 03数三、数四考研题12.求 又且满足 具有二阶连续偏导数设2 22 222 2 2 2 2 )(2 1, [ ),(,1),(y g x g y x x f v u g v f u f v u f ??+??-==??+ ??,y ,] .03数三、数四考研题 13.=-= ???≤≤==>d x y g x f D x a x g x f a . _______)()(,01 0,)()(,0表示全平面而其它 设则 d ,x y ,I D 03数三、数四考研题 14.y y y x f D y y y x f C y y y x f B y y y x f A y x y x f ),()(;),()(;),()(; ),()(),(),(0000000000处的导数不存在在处的导数小于零在处的导数大于零在处的导数等于零在取得极小值在点设可微函数====. ,则下列结论正确的 ( ). 是03数三考研题18. .22.设函数)(u f 可微且2 1 )0(='f , 则)4(22y x f z -=在点(1, 2)处的全微分_______) 2,1(=d z , . 06数三、四考研题 19.设)(u f 具有二阶连续导数, 且,),(??? ? ??+??? ??=y x yf x y f y x g 求.2 22222 y g y x g x ??-??05数三、四考研题 20.计算二重积分 ,|1|22-+d y x σ其中 }. 10,10|),{(≤≤≤≤=y x y x D D 05数三、四考研题 21.求2),(2 2 +-=y x y x f 在椭圆域} 14 | ),{ 22 ≤+=y x y x D 和最小值. (上的最大值05数四考研题 处的 .__________,0)(,)(,)(]),([),(15.2=???≠+=v u f y g y g y g x y y xg f v u f 则 且其中函数确定由关系式函数可微04数三考研题 ). (1)1(4 ,)(16.222222如右图所围成的平面区域和是由圆其中求 =++=+++y x y x D d y y x σD O x y D 04数三、四考研题 其中18.设, )cos(,)cos(,cos 2223222221+= += += d y x I d y x I d y x I σσσ(A)123I I I >>;321I I I >>;312I I I >>; 213I I I >>. (C)(D)(B)D D D },1|),{(22≤+=y x y x D 则( ). 05数三、四考研题 17.设二元函数),1ln()1(y x xe z y x +++=+则. _________|)0,1(=d z 05数三、四考研题 19..24. x d y ,其中D 是由直线0,1,===x y x y , 所围成的平面区域. (D)若0),(00≠'y x f x 则0),(00≠'y x f y .,(C)若0),(00≠'y x f x 则0),(00='y x f y ;,(B)若0),(00='y x f x 则0),(00≠'y x f y ;,(A)若0),(00='y x f x 则0),(00='y x f x ;,下列选项正确的是( ). ,),(00y x 是),(y x f 在约束条件0),(=y x ?下的一个极值点23.设),(y x f 与),(y x ?均为可微函数0),(≠'y x y ?. 已知且,06数三、四考研题 06数三、四考研题 25.设),(v u f 是二元可微函数,,,? ???=y x x y f z 则=??-??y z y x z x _______. 07数三、四考研题 26.设二元函数 ?? ? ? ? ≤+<+≤+=2 ||||1,11||||,),(2 22y x y x y x x y x f 计算二重积分 ,),(D d y x f σ其中}. 2|||),({≤=y x y x D , |+07数三、四考研题 27.设,),(4 2y x e y x f +=则函数在原点偏导数目字存在的情况是)0,0(x f (A)'存在,)0,0(y f '存在; (B))0,0(x f (C)'存在,(D)都不存在. ( ). )0,0(y f '不存在;)0,0(x f '不存在,)0,0( y f '存在;)0,0(x f ')0,0(y f ',08数三考研题 28.设函数连续其中区域则 为图中阴影部分 f , ),(x d y v u F = =??u F ( )., (x )D uv ,20. .);(2u vf ); ((B)u vf ); ((C)2u f u v ). ((D)u f u v (A)29. ??=-D d x d y y x . _____)(2其中1:22≤+y x D . ??08数三考研题 求二重积分D d x d y xy ,)1,max(其中}. 20,20|),{(≤≤≤≤=y x y x D 30.08数三考研题 31.设),(y x z z =是由方程)(22z y x z y x ++=-+?其?具有2阶导数且1-≠'?时(1)d z ; (2)记,1),(??? ????-??-= y z x z y x y x u 求.x u ??所确定的函数,求 ,中08数三、数四考研题 . 32.求函数222z y x u ++=在约束条件22y x z +=和4=++z y x 大和最小值下的最08数三、数四考研题 33.设)(x f 是连续奇函数)(x g 是连续偶函数{}, x y x x y x D ≤ ≤-≤≤=,10|),(则正确的=D d x d y x g y f ;0)()((A) =+D d x d y y g x f ; 0)]()([(C) ,区域 ,( ). =D d x d y y g x f ;0)()((B) =+D d x d y x g y f ; 0)]()([(D) 08数四考研题34.. ________ln 21 10 =x d y x d x y 08数四考研题 35.设e x Z )(+=,则 =??x z _____________. x y ) 0,1(36.求二元函数()y y y x y x f ln 2),(22++=的极值.09数一、三考研题 37.求二重积分 -D d x d y y x )(,其中 {}. x y y x y x D ≥≤-+-=,2)1()1(),(2209数二、三考研题 09数三考研题 计算二重积分d x d y y x D +3)(,其中D 由曲线21y x +=与直线0 2=+y x 及02=-y x 围成. ??求函数yz xy M 2+=在约束条件10222=++z y x 下的最大值和最小值. 38.39.10数三考研题 10数三考研题 21. .. ,,2,1,0,cos sin 40 ==n n n I n x d x x I 求 设Λπ00数三考研题 1.q p a (A)n a a q a a p n n n n n n n n n ,,2,1,2 | |,2||2.的敛散性都不定都收敛与条件收敛若 则下列命题正确的是设=-=+=Λ;(). 则,q p a (B)n n n 都收敛与绝对收敛若; 则 ,q p a (C)n n n 与条件收敛若; 则,03数三考研题 ∑∞ =n 1∑∞ =n 1∑ ∞ =n 1∑∞ =n 1∑∞ =n 1∑ ∞ =n 1∑∞ =n 1∑∞ =n 1 ∑ ∞ =n 1∑∞ =n . )()1|(2)1(12及其极值的和函数求幂级数x f x n x n n <-+|3.03数三考研题 的敛散性都不定q p a (D)n n n 与 绝对收敛若 ; 则 ,1 ∑∞ =n 1∑ ∞ =n 1 ∑∞ =n 1∑∞ =n 4.设有以下命题: ①; ,)(212收敛则 收敛若-+n n n u u u ②; ,1000收敛则 收敛若 +n n u u 1∑∞ =n 1 ∑∞ =n 1 ∑ ∞=n 1 ∑∞ =n 04数三考研题 考研真题七 ④. ,,)(都收敛则 收敛若+n n n n v u v u 则以上命题中正确的是( ). (A)①②; ②③; ③④; ①④.1 ∑∞ =n 1 ∑∞ =n 1 ∑∞ =n (B)(C)(D)③; ,1lim 1 发散则 若+∞→>n n n n u u u 1 ∑∞ =n 5.设,,2,1,0Λ=>n a n 若n a 发散,--1 ) 1(n n a 收敛, (A) -12n a 收敛,2n a 发散; 收敛, -12n a 发散; (B) ∑∞=1 n ∑∞ =1 n 则下列结论正 确的是( ). ∑∞=1 n ∑∞ =1 n 2n a ∑∞ =1 n ∑∞ =1 n 22. . 6.求幂级数?? ? ??-+21121n x n 在区间)1,1(-内的和函数). (x S ∑∞=1n 05数三考研题 8. 求幂级数∑∞ -+---11 21 )12()1(n n n n n x 的收敛域及和函数)(x S . 7.若级数n a 收敛( ). 则级数, ∞ =1 n ∑(A)收敛; (B) 收敛;n ∞ =1 n ∑n a ∞ =1 n ∑-)1(n a (C) 收敛; (D)++1 2 n n a a 收敛.n a ∞=1 n ∑1+n a ∞=1n ∑ (C) -+212)(n n a a 收敛; (D) --212)(n n a a 收敛. ∑∞ =1 n ∑∞ =1 n 05数三考研题06数三考研题 06数三、数四考研题 9.将函数4 31 )(2--= x x x f 展开成1-x 的幂级数,并指出其收敛区间. 07数三考研题 10.设银行存款的年利率0.05,并依年复利计算A 万元实现第一年取出19万元28元n 年取出 10+9n 万元A 至少为多少万元第二年取出…第问并能按此规律一直提取下去,,,,?r =.某基金会希望通过存 ()款万,08数三考研题 11.幂级数n n n n x n e ∑ ∞ =--1 2)1(的收敛半径为_____________.09数三考研题 23..考研真题八 x y y e y y 2. 1)0(,1)0(02='==-'-''的解满足条件求微分方程00数三考研题 1.2.已知满足+= (n 为正整数),且n e f n =)1(, 求函数项级数 之和)(x f n )(x f n e x ∑ ∞ =1 n )(x f n n x )(f 'n x 1-. 01数三考研题 3. (1)验证函数 )()3(!9!6!31)(3963+∞<<-∞++++++ =x n x x x x x y n 满足微分方程y =++(2)利用(1)的结果求幂级数 的和函数! ......y 'y ''e x .∑ ∞ =0 n ; )3(3n x n ! 02数三考研题 ),()(),(),()()(内满足以下条件在其中函数设x g x f x g x f x F +∞-∞=4.. 2)()(,0)0()()('),()('且e x g x f f x f x g x g x f x =+===:. )((2))((1)的表达式求出;所满足的一阶微分方程求x F x F 03数三考研题 ,1),(2 222v f u f v u f =??+??又 且满足具有二阶连续偏导数设,6..)(2 1 ,[),(2 22222y g x g y x xy f v u g ??+??-=求 ] , 03数三、四考研题 . )()(;)()(). ()(8642642425.8 64的表达式所满足的一阶微分方程求 的和函数为设级数x S x S x S x x x x II I +∞<<-∞+???+??+?Λ 04数三考研题 7.微分方程0=+'y y x 满足初始条件2(1)=y 的特解为_______. 05数三、四考研题 24. .9.在xOy 坐标平面上, 连续曲线L 过点)0,1(M 其上任意点)0),(≠x y x P 处的切线斜率与直线OP 的斜率之差等于ax (常数0>a ) (1)求L 的方程; (2)当L 与直线ax y =所围成平面图形的面积为 3 8 时, 确定a 的值.8. 设非齐次线性微分方程)()(x Q y x P y =+'有两个的解C x y x y ),(),(21为任意常数, 则该方程通解是(A)[];)()(21x y x y C - (B)[];)()()(211x y x y C x y -+(C)[]; )()(21x y x y C +(D)[]. )()()(211x y x y C x y ++: 06数三、四考研题 06数三、四考研题 (10.微分方程 3 21? ???-=x y x y d x d y 满足1|1==x y 的特解为=y ___________.07数三、四考研题 11.设函数)(x f 具有连续的一阶导数,且满足 , )()()(0 222+'-=x x dt t f t x x f 求)(x f 的表达式. ?07数四考研题微分方程0=+'y y x 满足条件1)1(=y 的解是=y ______.08数三考研题13.微分方程0)(2=-+-x d y d x e x y x 的通解是. _______=y 08数四考研题 14.设某商品的收益函数为),(P R 收益弹性为,13P +其中P 为价格,且,1)1(=R 则. __________(=P R 设21,y y 是一阶线性非齐次微分方程)()(x q y x p y =+的两个特解, 常数μλ,使21y y μλ+是该方程的解,21y y μλ-是该方程对应的齐次方程的解,则( ). (A)21=λ,21 =μ(B)2 1-=λ,21 -=μ(C)32=λ,3 1 =μ(D)3 2=λ,32 =μ'12.10数三考研题 )15.若; ; ; . 10数三考研题 2012年考研数学一高等数学考试大纲 一、函数、极限、连续 考试内容 函数的概念及表示法函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性复合函数、反函数、分段函数和隐函数基本初等函数的性质及其图形初等函数函数关系的建立 数列极限与函数极限的定义及其性质函数的左极限与右极限无穷小量和无穷大量的概念及其关系无穷小量的性质及无穷小量的比较极限的四则运算极限存在的两个准则：单调有界准则和夹逼准则两个重要极限: 函数连续的概念函数间断点的类型初等函数的连续性闭区间上连续函数的性质 考试要求 1．理解函数的概念，掌握函数的表示法，会建立应用问题的函数关系. 2．了解函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性． 3．理解复合函数及分段函数的概念，了解反函数及隐函数的概念．4．掌握基本初等函数的性质及其图形，了解初等函数的概念. 5．理解极限的概念，理解函数左极限与右极限的概念以及函数极限存在与左、右极限之间的关系． 6．掌握极限的性质及四则运算法则. 7．掌握极限存在的两个准则，并会利用它们求极限，掌握利用两个重要极限求极限的方法． 8．理解无穷小量、无穷大量的概念，掌握无穷小量的比较方法，会用等价无穷小量求极限． 9．理解函数连续性的概念（含左连续与右连续），会判别函数间断点的类型． 10．了解连续函数的性质和初等函数的连续性，理解闭区间上连续函数的性质（有界性、最大值和最小值定理、介值定理），并会应用这些性质． 二、一元函数微分学 考试内容 导数和微分的概念导数的几何意义和物理意义函数的可导性与连续性之间的关系平面曲线的切线和法线导数和微分的四则运算基本初等函数的导数复合函数、反函数、隐函数以及参数方程所确定的函数的微分法高阶导数一阶微分形式的不变性微分中值定理洛必达（L’Hospital）法则函数单调性的判别函数的极值函数图形的凹凸性、拐点及渐近线函数图形的描绘函数的最大值和最小值弧微分曲率的概念曲率圆与曲率半径 考试要求 1.理解导数和微分的概念，理解导数与微分的关系，理解导数的几何意义，会求平面曲线的切线方程和法线方程，了解导数的物理意义，会用导数描述一些物理量，理解函数的可导性与连续性之间的关系． 考研数学：无穷级数考点和常考题型分 析 在研究生入学考试中，高等数学是数一、数二、数三考试的公共内容。数一、数三均占56%(总分150分)，考察4个选择题(每题4分，共16分)、4个填空题(每题4分，共16分)、5个解答题(总分50分)。数二不考概率论，高数占78%，考察6个选择题(每题4分，共24分)、4个填空题(每题5分，共20分)、7个解答题(总分72分)。由高数所占比例易知，高数是考研数学的重头戏，因此一直流传着“得高数者得数学。”高等数学包含函数、极限与连续、一元函数微分学、一元函数积分学、多元函数微分学、多元函数积分学、常微分方程和无穷级数等七个模块，在梳理分析函数、极限与连续、一元函数微分学、一元函数积分学、多元函数微分学和积分学的基础上，梳理分析无穷级数，希望对学员有所帮助。 无穷级数内容数二考生不要求掌握。 1、考试内容 (1)常数项级数的收敛与发散的概念;(2)收敛级数的和的概念;(2)级数的基本性质与收敛的必要条件;(3)几何级数与级数及其收敛性;(4)正项级数收敛性的判别法;(5)交错级数与莱布尼茨定理;(6)任意项级数的绝对收敛与条件收敛;(7)函数项级数的收敛域与和函数的概念;(8)幂级数及其收敛半径、收敛区间(指开区间)和收敛域;(9)幂级数的和函数;(10)幂级数在其收敛区间内的基本性质;(11)简单幂级数的和函数的求法;(12)初等函数的幂级数展开式;(13)函数的傅里叶(Fourier)系数与傅里叶级数;(14)狄利克雷(Dirichlet)定理;(15)函数的傅里叶级数;(16)函数的正弦级数和余弦级数。(其中13-16只要求数一考生掌握，数三考试不要求掌握)。 2、考试要求 (1)理解常数项级数收敛、发散以及收敛级数的和的概念，掌握级数的基本性质及收敛的必要条件;(2)掌握几何级数与级数的收敛与发散的条件;(3)掌握正项级数收敛性的比较判别法和比值判别法，会用根值判别法;(4)掌握交错级数的莱布尼茨判别法;(5)了解任意项级数绝对收敛与条件收敛的概念以及绝对收敛与收敛的关系;(6)了解函数项级数的收敛域及和函数的概念;(7) 理解幂级数收敛半径的概念、并掌握幂级数的收敛半径、收敛区间及收敛域的求法;(8)了解幂级数在其收敛区间内的基本性质(和函数的连续性、逐项求导和逐项积分)，会求一些幂级数在收敛区间内的和函数，并会由此求出某些数项级数的和;(9) 考研数学公式(全) ·平方关系： sin^2(α)+cos^2(α)=1 tan^2(α)+1=sec^2(α) cot^2(α)+1=csc^2(α) ·积的关系： sinα=tanα*cosα cosα=cotα*sinα tanα=sinα*secα cotα=cosα*cscα secα=tanα*cscα cscα=secα*cotα ·倒数关系： tanα·cotα=1 sinα·cscα=1 cosα·secα=1 直角三角形ABC中, 角A的正弦值就等于角A的对边比斜边, 余弦等于角A的邻边比斜边 正切等于对边比邻边, ·三角函数恒等变形公式 ·两角和与差的三角函数： cos(α+β)=cosα·cosβ-sinα·sinβ cos(α-β)=cosα·cosβ+sinα·sinβ sin(α±β)=sinα·cosβ±cosα·sinβ tan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanα·tanβ) tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanα·tanβ) ·三角和的三角函数： sin(α+β+γ)=sinα·cosβ·cosγ+cosα·sinβ·cosγ+cosα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·sinγ cos(α+β+γ)=cosα·cosβ·cosγ-cosα·sinβ·sinγ-sinα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·cosγ tan(α+β+γ)=(tanα+tanβ+tanγ-tanα·tanβ·tanγ)/(1-tanα·tanβ-tanβ·tanγ-tanγ·tanα) ·辅助角公式： Asinα+Bcosα=(A^2+B^2)^(1/2)sin(α+t)，其中 sint=B/(A^2+B^2)^(1/2) cost=A/(A^2+B^2)^(1/2) tant=B/A 考研数学之微积分在经济学中的应用 来源：文都教育 这一部分内容，数一和数二都不考，只有数三考试，考试内容比较简单。这一部分和常微分方程联系紧密，只要常微分法方程学的好，这一部分都不会困难，主要是计算量比较大一些。一下是文都数学老师总结的这一部分的主要内容，希望对数三考生有所帮助。 一、 差分方程 1、定义 设函数).(t y y t = 称改变量t t y y -+1为函数t y 的差分, 也称为函数t y 的一阶差分, 记为t y ?, 即t t t y y y -=?+1 或 )()1()(t y t y t y -+=?. 一阶差分的差分称为二阶差分t y 2?, 即 t t t t y y y y ?-?=??=?+12)(.2)()(12112t t t t t t t y y y y y y y +-=---=+++++ 类似可定义三阶差分, 四阶差分,…… ),(),(3423t t t t y y y y ??=???=? 2、差分方程的概念 一般形式：0),,,,,(2=???t n t t t y y y y t F 或.0),,,,,(21=+++n t t t t y y y y t G 差分方程中所含未知函数差分的最高阶数称为该差分方程的阶. 特别的，称1(x)y (x)x x y P f ++=为一阶差分方程，同样的，(x)0f ≠为非齐次的，反之为其次的；若为常数，我们称之为一阶常系数差分方程. 3、一阶常系数线性差分方程的解法 一阶常系数线性差分方程的一般形式为：)(1t f ay y t t =++， 其中常数0≠a ，)(t f 为t 的已知函数，当)(t f 不恒为零时，称为一阶非齐次差分方程； 当0)(≡t f 时，差分方程：01=++t t ay y 称为与一阶非次线性差分方程对应的一阶齐 考研数学：微分方程考点和常考题型分析 在研究生入学考试中，高等数学是数一、数二、数三考试的公共内容。数一、数三均占56%(总分150分)，考察4个选择题(每题4分，共16分)、4个填空题(每题4分，共16分)、5个解答题(总分50分)。数二不考概率论，高数占78%，考察6个选择题(每题4分，共24分)、4个填空题(每题5分，共20分)、7个解答题(总分72分)。由高数所占比例易知，高数是考研数学的重头戏，因此一直流传着“得高数者得数学。”高等数学包含函数、极限与连续、一元函数微分学、一元函数积分学、多元函数微分学、多元函数积分学、常微分方程和无穷级数等七个模块，老师继续梳理分析最后一个模块微分方程，希望对学员有所帮助。 1、考试内容 (1)常微分方程的基本概念;(2)变量可分离的微分方程;(3)齐次微分方程;(4)一阶线性微分方程;(5)伯努利(Bernoulli)方程和全微分方程;(6)可用简单的变量代换求解的某些微分方程;(7)可降阶的高阶微分方程;(8)线性微分方程解的性质及解的结构定理;(9)二阶常系数齐次线性微分方程;(10)高于二阶的某些常系数齐次线性微分方程;(11)简单的二阶常系数非齐次线性微分方程;(12)欧拉(Euler)方程;(13)微分方程的简单应用(其中5、7、12只要求数一考生掌握，数二、数三考生不要求掌握)。 2、考试要求 (1)了解微分方程及其阶、解、通解、初始条件和特解等概念;(2)掌握变量可分离的微分方程及一阶线性微分方程的解法;(3)会解齐次微分方程、伯努利方程和全微分方程，会用简单的变量代换解某些微分方程;(4)会用降阶法解下列形式的微分方程;(5)理解线性微分方程解的性质及解的结构;(6)掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法，并会解某些高于二阶的常系数齐次线性微分方程;(7)会解自由项为多项式、指数函数、正弦函数、余弦函数以及它们的和与积的二阶常系数非齐次线性微分方程;(8)会解欧拉方程;(9)会用微分方程解决一些简单的应用问题. 3、常考题型 (1)变量可分离、齐次微分方程、一阶线性齐次与非齐次微分方程的求解;(2)可降阶的高阶微分方程的求解(数一、数二要求掌握，数三不要求掌握);(3)全微分方程和欧拉方程的求解(数一要求掌握，数二、数三不要求掌握);(4)线性微分方程解得结构;(5)微分方程相关的综合问题。 2013高等数学公式 导数公式： 基本积分表： 三角函数的有理式积分： 2 2 2 2 122 11cos 12sin u du dx x tg u u u x u u x += =+-=+= ， ， ， 一些初等函数： 两个重要极限： 三角函数公式： ·诱导公式： a x x a a a ctgx x x tgx x x x ctgx x tgx a x x ln 1)(log ln )(csc )(csc sec )(sec csc )(sec )(2 2 = '='?-='?='-='='2 2 22 11)(11)(11)(arccos 11)(arcsin x arcctgx x arctgx x x x x +- ='+= '--='-='x x arthx x x archx x x arshx e e e e chx shx thx e e chx e e shx x x x x x x x x -+= -+±=++=+-= =+=-=----11ln 21) 1ln(1ln(:2:2:2 2）双曲正切双曲余弦双曲正弦... 590457182818284 .2)11(lim 1 sin lim ==+ =∞ →→e x x x x x x ·和差角公式： ·和差化积公式： 2 sin 2 sin 2cos cos 2 cos 2 cos 2cos cos 2 sin 2 cos 2sin sin 2 cos 2 sin 2sin sin βαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβα-+=--+=+-+=--+=+α ββαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαctg ctg ctg ctg ctg tg tg tg tg tg ±?= ±?±= ±=±±=±1)(1)(sin sin cos cos )cos(sin cos cos sin )sin( 2019考研数学完整版及参考答案 一、选择题：1－8小题，每小题4分，共32分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内. （1）设函数()y f x =具有二阶导数，且()0,()0f x f x '''>>，x ?为自变量x 在点0x 处的增量，d y y ?与分别为()f x 在点0x 处对应的增量与微分，若0x ?>，则（ ） (A) 0d y y < 考研数学三-多元函数微积分学(一) (总分：100.00，做题时间：90分钟) 一、Section Ⅰ Use of Eng(总题数：1，分数：10.00) The mass media is a big part of our culture, yet it can also be a helper, adviser and teacher to our young generation. The mass media affects the lives of our young by acting as a (an) (1) for a number of institutions and social contacts. In this way, it (2) a variety of functions in human life. The time spent in front of the television screen is usually at the (3) of leisure: there is less time for games, amusement and rest. (4) by what is happening on the screen, children not only imitate what they see but directly (5) themselves with different characters. Americans have been concerned about the (6) of violence in the media and its (7) harm to children and adolescents for at least forty years. During this period, new media (8) , such as video games, cable television, music videos, and the Internet. As they continue to gain popularity, these media, (9) television, (10) public concern and research attention. Another large societal concern on our young generation (11) by the media, is body image. (12) forces can influence body image positively or negatively. (13) one, societaland cultural norms and mass media marketing (14) our concepts of beauty. In the mass media, the images of (15) beauty fill magazines and newspapers, (16) from our televisions and entertain us (17) the movies. Even in advertising, the mass media (18) on accepted cultural values of thinness and fitness for commercial gain. Young adults are presented with a (19) defined standard of attractiveness, a(n) (20) that carries unrealistic physical expectations. （分数：10.00） (1).[A] alternative [B] preference [C] substitute [D] representative（分数：0.50） A. B. C. D. (2).[A] accomplishes [B] fulfills [C] provides [D] suffices（分数：0.50） A. B. C. D. (3).[A] risk [B] mercy [C] height [D] expense（分数：0.50） A. B. C. D. (4).[A] Absorbed [B] Attracted [C] Aroused [D] Addicted（分数：0.50） A. B. C. D. (5).[A] identify [B] recognize [C] unify [D] equate（分数：0.50） A. B. C. 高等数学公式篇·平方关系： sin^2(α)+cos^2(α)=1 tan^2(α)+1=sec^2(α) cot^2(α)+1=csc^2(α) ·积的关系： sinα=tanα*cosα cosα=cotα*sinα tanα=sinα*secα cotα=cosα*cscα secα=tanα*cscα cscα=secα*cotα ·倒数关系： tanα·cotα=1 sinα·cscα=1 cosα·secα=1 直角三角形ABC中, 角A的正弦值就等于角A的对边比斜边, 余弦等于角A的邻边比斜边 正切等于对边比邻边, ·三角函数恒等变形公式 ·两角和与差的三角函数： cos(α+β)=cosα·cosβ-sinα·sinβ cos(α-β)=cosα·cosβ+sinα·sinβ sin(α±β)=sinα·cosβ±cosα·sinβ tan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanα·tanβ) tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanα·tanβ) ·三角和的三角函数： sin(α+β+γ)=sinα·cosβ·cosγ+cosα·sinβ·cosγ+cosα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·sinγ cos(α+β+γ)=cosα·cosβ·cosγ-cosα·sinβ·sinγ-sinα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·cosγ tan(α+β+γ)=(tanα+tanβ+tanγ-tanα·tanβ·tanγ)/(1-tanα·tanβ-tanβ·tanγ-tanγ·tanα) ·辅助角公式： Asinα+Bcosα=(A^2+B^2)^(1/2)sin(α+t)，其中 sint=B/(A^2+B^2)^(1/2) cost=A/(A^2+B^2)^(1/2) 2013考研数学（一）、数学（二）考试大纲汇总 考试科目：高等数学、线性代数、概率论与数理统计 2013考研数学（一）考试大纲 考试科目：高等数学、线性代数、概率论与数理统计 考试形式和试卷结构 一、试卷满分及考试时间 试卷满分为150分，考试时间为180分钟． 二、答题方式 答题方式为闭卷、笔试． 三、试卷内容结构 高等教学 约56％ 线性代数 约22% 概率论与数理统计22％ 四、试卷题型结构 试卷题型结构为： 单选题 8小题，每题4分，共32分 填空题 6小题，每题4分，共24分 解答题（包括证明题） 9小题，共94分 高等数学 一、函数、极限、连续 考试内容 函数的概念及表示法 函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性 复合函数、反函数、分段函数和隐函数 基本初等函数的性质及其图形 初等函数 函数关系的建立 数列极限与函数极限的定义及其性质 函数的左极限与右极限 无穷小量和无穷大量的概念及其关系 无穷小量的性质及无穷小量的比较 极限的四则运算 极限存在的两个准则：单调有界准则和夹逼准则 两个重要极限: 0sin lim 1x x x →= 1lim 1x x e x →∞??+= ??? 函数连续的概念 函数间断点的类型 初等函数的连续性 闭区间上连续函数的性质 考试要求 1．理解函数的概念，掌握函数的表示法，会建立应用问题的函数关系. 2．了解函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性． 3．理解复合函数及分段函数的概念，了解反函数及隐函数的概念． 4．掌握基本初等函数的性质及其图形，了解初等函数的概念. 5．理解极限的概念，理解函数左极限与右极限的概念以及函数极限存在与左、右极限之间的关系． 6．掌握极限的性质及四则运算法则. 7．掌握极限存在的两个准则，并会利用它们求极限，掌握利用两个重要极限求极限的 考研数学高数第一章常考题型七：函数的连续性 69.【01—3 3分】设函数()()0 x g x f u du =?， 其中()()()211,01211,123x x f x x x ?+≤≤??=??-≤≤??，则()g x 在区间()0,2内（ ） ()A 无界 ()B 递减 ()C 不连续 ()D 连续 70.【06—2 4分】设函数23 01sin 0(),0x t dt x f x x a x ?≠?=??=?? 在0x =处连续，则a = 71.【08—3 4分】设函数21,()2,x x c f x x c x ?+≤?=?>?? 在(,)-∞+∞内连续，则c = . 72. 【03—3 4分】 设,0,0, 0,1cos )(=≠?????=x x x x x f 若若λ 其导函数在0x =处连续，则λ的取值范围是________。 73.【04—2 4分】设2(1)()lim 1 n n x f x nx →∞-=+， 则()f x 的间断点为x = 74.【03—3 10分】设).1,2 1[,)1(1sin 11)(∈--+=x x x x x f πππ试补充定义(1)f 使得()f x 在]1,21[上连续. 【小结】： 考查函数的连续性本质上也就是考查求极限。函数()f x 在x a =处连续当且仅当li m ()()x a f x f a →=；由于lim ()x a f x →存在当且仅当(0),(0)f a f a -+存在且相等，因此该等式又可以等价地表述为(0)(0)()f a f a f a -=+=。 参考答案 69.【01—3 3分】()D ()/ x μ=1x μμ- ()/x a =ln x a a () / x e =x e ()/ log a x = 1 ln x a () / ln x = 1x () / sin x =cos x ()/ cos x =sin x - ()/ tan x =2sec x ()/ cot x =2 csc x - ()/ sec x =sec tan x x () / csc x =csc cot x x - ()/ arcsin x = () / arccos x =()/ arctan x = 2 1 1x + ()/ arccot x =211x -+ () / uv =//u v uv + / u v ??= ??? // 2 u v uv v - kdx =?kx x dx μ =?1 1x μμ++ dx x =?ln x 21dx x =+?arctan x =arcsin x cos xdx =?sin x sin xdx =?cos x - 2 sec xdx =?tan x 2 c cs xdx =?cot x - sec tan x xdx =?sec x csc cot x xdx =?csc x - x e dx =?x e x a dx =?ln x a a tan xdx =?ln cos x - cot xdx =?ln sin x sec xdx =?ln sec tan x x + csc xdx =?ln csc cot x x - 22 1dx x a =+?1arctan x a a 22 1 dx x a =-?1ln 2x a a x a -+ = ln x =arcsin x a 等价无穷小()0x → sin ~x x tan ~x x arcsin ~x x arctan ~x x ln(1)~x +x 1~x e -x 1cos ~ x -212x 1~1 2 x 1~x a -ln x a 渐近线k =() lim x f x x →∞ b =()lim x f x kx →∞-??? ? 曲率k = () // 3/22 1y y + 凯程考研集训营，为学生引路，为学员服务！ 考研数学高数公式：定积分 第五章：定积分 学习要求: 1.理解定积分的概念，掌握定积分的性质及定积分中值定理 2.理解变上限定积分定义的函数，会求它的导数，掌握牛顿莱布尼茨公式。 3.掌握定积分的换元积分法与分部积分法。 4.了解广义积分的概念，并会计算广义积分。 5.掌握反常积分运算。 定积分的基本公式和定理 1、定积分解决的典型问题(1)曲边梯形的面积(2)变速直线运动的路程 2、函数可积的充分条件定理设f(x)在区间[a，b]上连续，则f(x)在区间[a，b]上可积，即连续=>可积。 定理设f(x)在区间[a，b]上有界，且只有有限个间断点，则f(x)在区间[a，b]上可积。 3、定积分的若干重要性质性质如果在区间[a，b]上f(x)≥0则∫abf(x)dx≥0.推论如果在区间[a，b]上f(x)≤g(x)则∫abf(x)dx≤∫abg(x)dx.推论 |∫abf(x)dx|≤∫ab|f(x)|dx.性质设M及m分别是函数f(x)在区间[a，b]上的最大值和最小值，则m(b-a)≤∫abf(x)dx≤M(b-a)，该性质说明由被积函数在积分区间上的最大值及最小值可以估计积分值的大致范围。 性质(定积分中值定理)如果函数f(x)在区间[a，b]上连续，则在积分区间[a，b]上至少存在一个点ξ，使下式成立：∫abf(x)dx=f(ξ)(b-a)。 4、关于广义积分设函数f(x)在区间[a，b]上除点c(a 小提示：目前本科生就业市场竞争激烈，就业主体是研究生，在如今考研竞争日渐激烈的情况下，我们想要不在考研大军中变成分母，我们需要：早开始+好计划+正确的复习思路+好的辅导班（如果经济条件允许的情况下）。2017考研开始准备复习啦，早起的鸟儿有虫吃，一分耕耘一分收获。加油！ 考研数学三（微积分）模拟试卷209 (总分：58.00，做题时间：90分钟) 一、选择题(总题数：5，分数：10.00) 1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数： 2.00） __________________________________________________________________________________________ 2.设f(x)在x=0的某邻域连续且f(0)=0 2.00） A.不可导． B.可导且f'(0)≠0． C.有极大值． D.有极小值． 3.若xf"(x)+3x[f'(x)] 2 =1一e -x且f'(x)=0(x 0≠0)，则（分数：2.00） A.(x 0，f(x 0 ))是曲线y=f(x)的拐点． B.f(x 0 )是f(x)的极小值． C.f(x 0 )不是f(x)的极值，(x 0，f(x 0 ))也不是曲线y=f(x)的拐点． D.f(x 0 )是f(x)的极大值． 4.曲线 2.00） A.1． B.2． C.3． D.4． 5.曲线y=f(x)= 2.00） A.1个． B.2个． C.3个． D.4个． 二、填空题(总题数：6，分数：12.00) 6.曲线y=x 2 2.00） 填空项1:__________________ 7.曲线 2.00） 填空项1:__________________ 8.曲线(x一1) 3 =y 2上点(5，8)处的切线方程是 1．（分数：2.00） 填空项1:__________________ 9.曲线y=lnx上与直线x+y=1垂直的切线方程为 1．（分数：2.00） 填空项1:__________________ 10.设某商品的需求量Q与价格P的函数关系为Q=aP b，其中a和b是常数，且a＞0，则该商品需求对价 格的弹性 2.00） 填空项1:__________________ 11.设某商品的需求量Q与价格P的函数关系为Q=100—5P．若商品的需求弹性的绝对值大于1，则该商品价格P的取值范围是 1。（分数：2.00） 填空项1:__________________ 凯程考研 历史悠久，专注考研，科学应试，严格管理，成就学员！考研数学：微积分公式汇总 凯程考研 历史悠久，专注考研，科学应试，严格管理，成就学员！ 凯程考研 历史悠久，专注考研，科学应试，严格管理，成就学员！ 凯程考研 历史悠久，专注考研，科学应试，严格管理，成就学员！ 凯程考研 历史悠久，专注考研，科学应试，严格管理，成就学员！ 凯程考研 历史悠久，专注考研，科学应试，严格管理，成就学员！ 凯程考研： 凯程考研成立于2005年，具有悠久的考研辅导历史，国内首家全日制集训机构考研，一直从事高端全日制辅导，由李海洋教授、张鑫教授、卢营教授、王洋教授、杨武金教授、张释然教授、索玉柱教授、方浩教授等一批高级考研教研队伍组成，为学员全程高质量授课、答疑、测试、督导、报考指导、方法指导、联系导师、复试等全方位的考研服务。 凯程考研的宗旨：让学习成为一种习惯； 凯程考研的价值观：凯旋归来，前程万里； 信念：让每个学员都有好最好的归宿； 使命：完善全新的教育模式，做中国最专业的考研辅导机构； 激情：永不言弃，乐观向上； 敬业：以专业的态度做非凡的事业； 服务：以学员的前途为已任，为学员提供高效、专业的服务，团队合作，为学员服务，为学员引路。 特别说明：凯程学员经验谈视频在凯程官方网站有公布，同学们和家长可以查看。扎扎实实的辅导，真真实实的案例，凯程考研的价值观：凯旋归来，前程万里。 如何选择考研辅导班： 在考研准备的过程中，会遇到不少困难，尤其对于跨专业考生的专业课来说，通过报辅导班来弥补自己复习的不足，可以大大提高复习效率，节省复习时间，大家可以通过以下几个方面来考察辅导班，或许能帮你找到适合你的辅导班。 师资力量：师资力量是考察辅导班的首要因素，考生可以针对辅导名师的辅导年限、辅导经验、历年辅导效果、学员评价等因素进行综合评价，询问往届学长然后选择。判断师资力量关键在于综合实力，因为任何一门课程，都不是由一、两个教师包到底的，是一批教师配合的结果。还要深入了解教师的学术背景、资料著述成就、辅导成就等。凯程考研名师云集，李海洋、张鑫教授、方浩教授、卢营教授、孙浩教授等一大批名师在凯程授课。而有的机构只是很普通的老师授课，对知识点把握和命题方向，欠缺火候。 对该专业有辅导历史：必须对该专业深刻理解，才能深入辅导学员考取该校。在考研辅导班中，从来见过如此辉煌的成绩：凯程教育拿下2015五道口金融学院状元，考取五道口15人，清华经管金融硕士10人，人大金融硕士15个，中财和贸大金融硕士合计20人，北师 2020年考研高数微积分与极限微分要点归纳 考查内容 一、多元函数(主要是二元、三元)的偏导数和全微分概念; 二、偏导数和全微分的计算，尤其是求复合函数的二阶偏导数及 隐函数的偏导数; 三、方向导数和梯度(只对数学一要求); 四、多元函数微分在几何上的应用(只对数学一要求); 五、多元函数的极值和条件极值。 常见题型 1、求二元、三元函数的偏导数、全微分。 2、求复全函数的二阶偏导数;隐函数的一阶、二阶偏导数。 3、求二元、三元函数的方向导数和梯度。 4、求空间曲线的切线与法平面方程，求曲面的切平面和法线方程。 5、多元函数的极值在几何、物理与经济上的应用题。 第4类题型，是多元函数的微分学与向量代数与空间解析几何的 综合题，应结合起来复习。 极值应用题多要用到其他领域的知识，特别是在经济学上的应用 涉及到经济学上的一些概念和规律，读者在复习时要引起注意。 一元函数微分学有四绝大部分 1、概念部分，重点有导数和微分的定义，特别要会利用导数定义 讲座分段函数在分界点的可导性，高阶导数，可导与连续的关系; 2、运算部分，重点是基本初等函的导数、微分公式，四则运算的 导数、微分公式以及反函数、隐函数和由参数方程确定的函数的求导 公式等; 3、理论部分，重点是罗尔定理，拉格朗日中值定理，柯西中值定理; 4、应用部分，重点是利用导数研究函数的性态(包括函数的单调 性与极值，函数图形的凹凸性与拐点，渐近线)，最值应用题，利用洛 必达法则求极限，以及导数在经济领域的应用，如“弹性”、“边际”等等。 常见题型 1、求给定函数的导数或微分(包括高阶段导数)，包括隐函数和由 参数方程确定的函数求导。 2、利用罗尔定理，拉格朗定理，拉格朗日中值定理，柯西中值定 理证明相关命题和不等式，如“证明在开区间至少存有一点满足……”，或讨论方程在给定区间内的根的个数等。 此类题的证明，经常要构造辅助函数，而辅助函数的构造技巧性 较强，要求读者既能从题目所给条件实行分析推导逐步引出所需的辅 助函数，也能从所需证明的结论(或其变形)出发“递推”出所要构造 的辅函数，此外，在证明中还经常用到函数的单调性判断和连续数的 介值定理等。 3、利用洛必达法则求七种未定型的极限。 4、几何、物理、经济等方面的值、最小值应用题，解这类问题， 主要是确定目标函数和约束条件，判定所论区间。 5、利用导数研究函数性态和描绘函数图像，等等。 考研数学公式(高数- 线代-概率)40923 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN 高等数学公式 导数公式： 基本积分表： 三角函数的有理式积分： 2 22212211cos 12sin u du dx x tg u u u x u u x +==+-=+=， ， ， a x x a a a ctgx x x tgx x x x ctgx x tgx a x x ln 1)(log ln )(csc )(csc sec )(sec csc )(sec )(22 = '='?-='?='-='='2 2 22 11 )(11 )(11 )(arccos 11 )(arcsin x arcctgx x arctgx x x x x +- ='+= '-- ='-= '? ?????????+±+=±+=+=+=+-=?+=?+-==+==C a x x a x dx C shx chxdx C chx shxdx C a a dx a C x ctgxdx x C x dx tgx x C ctgx xdx x dx C tgx xdx x dx x x )ln(ln csc csc sec sec csc sin sec cos 222 22 22 2C a x x a dx C x a x a a x a dx C a x a x a a x dx C a x arctg a x a dx C ctgx x xdx C tgx x xdx C x ctgxdx C x tgxdx +=-+-+=-++-=-+=++-=++=+=+-=????????arcsin ln 21ln 211csc ln csc sec ln sec sin ln cos ln 2 2222222?????++-=-+-+--=-+++++=+-= ==-C a x a x a x dx x a C a x x a a x x dx a x C a x x a a x x dx a x I n n xdx xdx I n n n n arcsin 22ln 2 2)ln(221 cos sin 22 2222 2222222 22222 2 22 2 π π 2020考研数学二各科目复习要点 2017考研数学二怎么复习?虽然少了线性代数,但是在考察的深度上并不简单,考生要认真备考.下面新东方个在线考研具体谈谈各科目该怎么复习. 一、高等数学 同济六版高等数学中除了第七章微分方程考带*号的伯努利方程外,其余带*号的都不考;所有“近似”的问题都不考;第四章不定积分不考积分表的使用;不考第八章空间解析几何与向量代数;第九章第五节不考方程组的情形;到第十章二重积分、重积分的应用为止,后面不考了; 二、线性代数 数学二用的教材是同济五版线性代数,1-5章:行列式、矩阵及其运算、矩阵的初等变换及其方程组、向量组的线性相关性、相似矩 阵及二次型; 三、数学二不考概率与数理统计 研究典型题型 对于数二的同学来说,需要做大量的试题.即使在初始阶段,数二的很多同学都在对典型题型进行研究,问题在于你如何研究它,我认为应该对典型题型进行全方位立体式的研究.面对一道典型例题,在做这道题以前你必须考虑,它该从哪个角度切入,为什么要从这个角度切入. 做题的过程中,必须考虑为什么要用这几个定理,而不用那几个定理,为什么要这样对这个式子进行化简,而不那样化简.做完之后,必须要回过头看一下,这个解题方法适合这个题的关键是什么,为什么偏偏这个方法在这道题上出现了最好的效果,有没有更好的解法. 就这样从开始到最后,每一步都进行全方位的思考,那么这道题的价值就会得到充分的发掘.学习数学二,重在做题,熟能生巧.对于数学的基本概念、公式、结论等也只有在反复练习中才能真正理解与 巩固.数学试题虽然千变万化,其知识结构却基本相同,题型也相对固定,往往存在一定的解题套路,熟练掌握后既能提高正确率,又能提高解题速度. 训练解答综合题 此外,还要初步进行解答综合题的训练.数学二的重要特征之一就是综合性强、知识覆盖面广,近几年来较为新颖的综合题愈来愈多. 这类试题一般比较灵活,难度也要大一些,应逐步进行训练,积累解题经验.这也有利于进一步理解并彻底弄清楚知识点的纵向与横向联系,转化为自己真正掌握了的东西,能够在理解的基础上灵活运用、触类 旁通. 同时要善于思考,归纳解题思路与方法.一个题目有条件,有结论,当你看见条件和结论想起了什么?这就是思路.思路有些许偏差,解题过程便千差万别.光靠做题也是不够的,更重要的是应该通过做题,归纳总结出一些解题的方法和技巧. 考生要在做题时巩固基础,在更高层次上把握和运用知识点.对数学习题最好能形成自己熟悉的解题体系,也就是对各种题型都能找到 相应的解题思路,从而在最后的实考中面对陌生的试题时能把握主动. 做参考书上的练习题 考研试题与教科书上的习题的不同点在于,前者是在对基本概念、基本定理、基本方法充分理解的基础上的综合应用,有较大的灵活性,往往一个命题覆盖多个内容,涉及到概念、直观背景、推理和计算等 多种角度.因此一定要力争在解题思路上有所突破,要在打好基础的 同时做大量的综合性练习题,并对试题多分析多归纳多总结,力求对常见考题类型、特点、思路有一个系统的把握. 解题训练最好按题型进行分类复习,对于任何一个同学而言,都可能有自己很擅长的某些类型的题,相反的,也有一些不太熟悉或者不 会做的题型,这在复习的过程中也当有所侧重. 考研高等数学常用公式及函数图象 导数公式： 基本积分表： 三角函数的有理式积分： 2 22212211cos 12sin u du dx x tg u u u x u u x +==+-=+=， ， ， a x x a a a ctgx x x tgx x x x ctgx x tgx a x x ln 1)(log ln )(csc )(csc sec )(sec csc )(sec )(22= '='?-='?='-='='2 2 22 11 )(11 )(11 )(arccos 11 )(arcsin x arcctgx x arctgx x x x x +- ='+= '-- ='-= '? ?????????+±+=±+=+=+=+-=?+=?+-==+==C a x x a x dx C shx chxdx C chx shxdx C a a dx a C x ctgxdx x C x dx tgx x C ctgx xdx x dx C tgx xdx x dx x x )ln(ln csc csc sec sec csc sin sec cos 222 22 22 2C a x x a dx C x a x a a x a dx C a x a x a a x dx C a x arctg a x a dx C ctgx x xdx C tgx x xdx C x ctgxdx C x tgxdx +=-+-+=-++-=-+=++-=++=+=+-=????????arcsin ln 21ln 211csc ln csc sec ln sec sin ln cos ln 2 2222222? ????++-=-+-+--=-+++++=+-= ==-C a x a x a x dx x a C a x x a a x x dx a x C a x x a a x x dx a x I n n xdx xdx I n n n n arcsin 22ln 22)ln(221 cos sin 22 2222222 2222222 22 2 22 2 π π2019年考研数学一高等数学考试大纲附录10页
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