2011年北京高考数学理科试题及答案
2011年北京高考数学理科试题及答案
D
4．执行如图所示的程序框图，输出的s 值为
A ．-3
B ．-12
C ．1
3
D ．2
5．如图，AD ，AE ，BC 分别与圆O 切于点D ，E ，F ，
延长AF 与圆O 交于另一点G 。给出下列三个结论：①AD+AE=AB+BC+CA ； ②AF·AG=AD·AE ③△AFB ～△ADG 其中正确结论的序号是 A ．①② B ．②③ C ．①③ D ．①②③
6．根据统计，一名工作组装第x 件某产品所用的时间（单位：分钟）为
???
???
?
≥<=A
x A c A x x c x f ,,,)(（A ，C 为常数）。已知工人
组装第4件产品用时30分钟，组装第A 件产品用时15分钟，那么C 和A 的值分别是 A ．75，25
B ．75，16
C ．60，
25 D ．60，16 7．某四面体的三视图如图所
示，该四面体四个面的面积中，最大的是
A ．8
B ．62
C ．10
D ．82
8．设()0,0A ,()4,0B ，()4,4C t +,()(),4D t t R ∈.
记()N t 为平行四边形ABCD 内部（不含边界）的整 点的个数，其中整点是指横、纵坐标都是整数的点， 则函数()N t 的值域为
A ．{}9,10,11
B ．{}9,10,12
C ．{}9,11,12
D ．{}10,11,12
第二部分
（非选择题 共110分）
二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。
9．在
ABC
?中。若b=5，
4
B π
∠=
，tanA=2，则
sinA=____________；a=______________。
10．已知向量a=3，1），b=（0，-1），c=（k 3）。
若a-2b 与c 共线，则k=_________________。
11．在等比数列{a n }中，a 1=
12
，a 4=-4，则公比q=_____________；1
2...n a
a a +++=
___________。
12．用数字2,3组成四位数，且数字2,3至少都出现一次，
这样的四位数共有_________个。（用数字作答）
13．已知函数
32
,
2()(1),2x f x x
x x ?≥?=??-
若关于x 的方程f(x)=k 有两
个不同的实根，则数k 的取值范围是____
14．曲线C 是平面内与两个定点F1（-1，0）和F?2（1，0）的距离的积等于常数)
1(2
>a a
的点的轨迹.给出下列三个
结论：① 曲线C 过坐标原点；② 曲线C 关于坐标原点对称；③若点P 在曲线C 上，则△F 1
PF 2
的面积大于2
1a 2
。其中，所有正确结论的序号是____________。
三、解答题共6小题，共80分，解答应写出文字说明，
演算步骤或证明过程。
15．（本小题共13分）已知函数()4cos sin()16
f x x x π=+-。 （Ⅰ）求()f x 的最小正周期：（Ⅱ）求()f x 在区间,64ππ??
-???
?
上
的最大值和最小值。
16．（本小题共14分）如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是菱形，2,60AB BAD =∠=.(Ⅰ)求证：BD ⊥平面;PAC （Ⅱ）若,PA AB =求PB 与AC 所成角的余弦值； （Ⅲ）当平面PBC 与平面PDC 垂直时，求PA 的长.
17．（本小题共13分）以下茎叶图记录了甲、乙两组个四名同学的植树棵树。乙组记录中有一个数据模糊，
无法确认，在图中以X 表示。
（Ⅰ）如果X=8,求乙组同学植树棵树的平均数和方差；（Ⅱ）如果X=9，分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，求这两名同学的植树总棵树Y 的分布列和数学期望。 （注：方差
()()
(
)222
2
121n s x x x x x x n ?
?
=-+-+
+-????
，
其中x 为1
x ，2
x ，…… n
x 的平均数）
18．（本小题共13分）已知函数2
()()x
k
f x x k e =-。（Ⅰ）求()
f x 的单调区间；
（Ⅱ）若对于任意的(0,)x ∈+∞，都有()f x ≤1e
，求k 的取值范围。
19．（本小题共14分）椭圆
2
2:1
4
x G y +=.过点（m ,0）作圆2
21
x
y +=的切线I 交椭圆G 于A ，B 两点.
（I ）求椭圆G 的焦点坐标和离心率；（II ）将AB 表示为
m 的函数，并求AB 的最大值.
20．（本小题共13分）若数列
12,,...,(2)
n n A a a a n =≥满足
111(1,2, (1)
n a a k n +-==-，数列n
A 为E 数列，记()n
S A =1
2
...n
a a
a +++．（Ⅰ）
写出一个满足1
s a a ==，且()s
S A 〉0的E 数列n
A ；
（Ⅱ）若1
12
a
=，n=2000，证明：E 数列n
A 是递增数列的
充要条件是n
a =2011；
（Ⅲ）对任意给定的整数n （n≥2），是否存在首项为0的E 数列n
A ，使得()n
S A =0？如果存在，写出一个满足条
件的E 数列n
A ；如果不存在，说明理由。
参考答案
一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分） （1）C （2）A （3）B （4）D （5）A （6）
D （7）C （8）C
二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分） （9）10
255
2 （10）1 （11）—2
2
1
21-
-n （12）
14 （13）（0，1） （14）②③ 三、解答题（共6小题，共80分） （15）（共
13
分）解：（Ⅰ）因为
1)6
sin(cos 4)(-+
=π
x x x f 1)cos 2
1
sin 23(
cos 4-+=x x x
1cos 22sin 32-+=x x x x 2cos 2sin 3+=)
6
2sin(2π
+
=x
所以)(x f 的最小正周期为π
（Ⅱ）因为.3
2626,46π
ππππ≤+≤-≤≤-x x 所以 于是，当6
,262πππ==+x x 即时，)(x f 取得最大值2； 当)(,6
,662x f x x 时即πππ-=-=+取得最小值—1. （16）（共14分）证明：（Ⅰ）因为四边形ABCD 是
菱形，
所以AC ⊥BD.又因为PA ⊥平面ABCD.所以PA ⊥BD.所以BD ⊥平面PAC.
（Ⅱ）设AC∩BD=O.因为∠BAD=60°，PA=PB=2,所以BO=1，AO=CO=3.
如图，以O 为坐标原点，建立空间直角坐标系O —xyz ，则
P （0，—3，2），A （0，—3，0），B （1，0，0），C （0，3，0）. 所以).
0,32,0(),2,3,1(=-=AC PB 设PB 与AC 所成角为θ，
则
4
63
2226|
|||cos =
?=
??AC PB AC PB .
（Ⅲ）由（Ⅱ）知).
0,3,
1(-=BC 设P （0，－3，
t ）（t>0），则)
,3,1(t -
-=
设平面PBC 的法向量)
,,(z y x m =,则
0,0=?=?m BP m BC
所以
?????-+--=+-0
3,03tz y x y x 令
,
3=y 则
.
6
,3t
z x ==所以
)
6
,3,3(t
m =
同理，平面PDC 的法向量)6,3,
3(t
n -= 因为
平面PCB ⊥平面PDC,
所以n m ?=0，即03662
=+-t
解得6
=
t 所以
PA=6
（17）（共13分）解（1）当X=8时，由茎叶图可知，乙组同学的植树棵数是：8，8，9，10，
所以平均数为;435410988=+++= 方差为.16
11
])43510()4359()4358()4358[(4122222
=-+-+-+-=s
（Ⅱ）当X=9时，由茎叶图可知，甲组同学的植树棵树是：9，9，11，11；乙组同学的植树棵数是：9，8，9，10。分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，共有4×4=16种可能的结果，这两名同学植树总棵数Y 的可能取值为17，18，19，20，21事件“Y=17”等价
于“甲组选出的同学植树9棵，乙组选出的同学植树8棵”所以该事件有2种可能的结果，因此P （Y=17）=.8
1162= 同理可得;41)18(==Y P ;41)19(==Y P .8
1
)21(;41)20(====Y P Y P 所以随机变量Y 的分布列为： Y 17
18
19
20
21
P
8
1 4
1 4
1 4
1 8
1 EY=17×P （Y=17）+18×P （Y=18）+19×P （Y=19）+20×P （Y=20）+21×P （Y=21）
=17×81+18×41+19×41+20×41+21×8
1
=19 （18）（共13分）解：（Ⅰ）
.
)(1
)(122x
e k x k
x f -='令()00='f ，得
k
x ±=.
当k>0时，)()(x f x f '与的情况如下
x
(k
-∞-,) k
-
(k -,k) k )
,(+∞k )
(x f ' + 0
— 0 + )
(x f
↗
1
24-e k
↘
↗
所以，)(x f 的单调递减区间是（k -∞-,）和),(+∞k ；单高层区间是),(k k -当k<0时，)()(x f x f '与的情况如下 x
(k
-∞-,)
k
-
(k -,k)
k
)
,(+∞k
)
(x f ' — 0 + 0
— )
(x f
↘
↗
1
24-e k
↘
所以，)(x f 的单调递减区间是（k -∞-,）和),(+∞k ；单高层区间是),(k k -
（Ⅱ）当k>0时，因为e
e
k f k
1)1(11>
=++，所以不会有
.
1
)(),,0(e
x f x ≤+∞∈? 当k<0时，由（Ⅰ）知)(x f 在（0，+∞）上的最大值是.
4)(2
e
k k f =-
所以
e
x f x 1
)(),,0(≤
+∞∈?等价于
.14)(2e
e k k
f ≤=
--解得
02
1
<≤-k .
故当.1)(),,0(e x f x ≤+∞∈?时，k 的取值范围是).
0,2
1[-
（19）（共14分）解：（Ⅰ）由已知得,1,2==b a 所以
.32
2
--=b a c
所以椭圆G 的焦点坐标为)
0,3(),0,3(-
离心率为
.2
3==
a c e
（Ⅱ）由题意知，1||≥m .当1=m 时，切线l 的方程1=x ，点A 、B 的坐标分别为),2
3
,1(),23,
1(-
此时3||=AB 当m =－1时，同理可得3
||=AB
当1||>m 时，设切线l 的方程为),(m x k y -=
由
0448)41(.14
),(222222
2
=-+-+?????=+-=m k mx k x k y x m x k y 得
设A 、B 两点的坐标分别为),)(,(2
2
1
1
y x y x ，则
2
22212221414
4,418k m k x x k m
k x x +-=
+=+
又由l 与圆.
1,11
||,12222
22
+==+=+k k m k km y x 即得相切
所
以212212)()(||y y x x AB -+-=]41)44(4)41(64)[1(2
2
22242k m k k m k k +--++=2.3||342+=m m
由
于当
3
±=m 时，
,
3||=AB 所以
)
,1[]1,(,3
|
|34||2+∞--∞∈+=
m m m AB .
因为,
2|
|3
||343
|
|34||2
≤+
=
+=m m m m AB 且当3±=m 时，|AB|=2，
所以|AB|的最大值为2.
（20）（共13分）解：（Ⅰ）0，1，2，1，0是一具满足条件的E 数列A 5。
（答案不唯一，0，1，0，1，0也是一个满足条件的E 的数列A 5）
（Ⅱ）必要性：因为E 数列A 5是递增数列，所以
)
1999,,2,1(11 ==-+k a a k k .
所以A 5是首项为12，公差为1的等差数列. 所以a 2000=12+（2000—1）×1=2011.
充分性，由于a 2000—a 1000≤1，a 2000—a 1000≤1 ……
a 2—a 1≤1
所以a 2000—a≤19999，即a 2000≤a 1+1999. 又因为
a 1=12，a 2000=2011, 所以a 2000=a 1+1999. 故n
n n A k a a
即),1999,,2,1(011
=>=-+是递增数列. 综上，结论
得证。 （Ⅲ）令.
1),1,,2,1(011±=-=>=-=+A k k k
c n k a a c 则
因为2
111112
c c a a c a a
++=++= ……
,
1211+++++=n n c c c a a 所以1
3211
)3()2()1()(-++-+-+-+=n n
c c n c n c n na A S
)].1()2)(1()1)(1[(2
)
1(121--++--+----=
n c n c n c n n
因为).
1,,1(1,1-=-±=n k c c
k k
为偶数所以
所以)1()2)(1()1)(1*2
1
n
c n c n c -++--+-- 为偶数, 所以要使2)1(,0)(-=n n A S n
必须使为偶数,
即4整除*)(144),1(N m m n m n n n ∈+==-或亦即. 当,1,0,*)(1424141
4-===∈+=--+k k k n
a a a
A E N m m n 的项满足数列时1
4=k a
)
,,2,1(m k =时，有;
0)(,01
==n A S a
;0)(,0,0),,,2,1(11144=====+n k k A S a a m k a 有时
当n
A E N m m n 数列时,*)(14∈+=的项满足，,1,024331
4-===---k k k a a a
当)1(,)(3424-∈+=+=m n N m m n m n 时或不能被4整除，此时不存在E 数列A n ， 使得.
0)(,01
==n A S a