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2018北京西城初三一模数学及答案(最新Word版本)

北京市西城区2018年九年级统一测试

数学试卷

一、选择题（本题共16分，每小题2分）

第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．

1．在国家大数据战略的引领下，我国在人工智能领域取得显著成就，自主研发的人工智能“绝艺”获得全球最前沿的人工智能赛事冠军，这得益于所建立的大数据中心的规模和数据存储量，它们决定着人工智能深度学习的质量和速度，其中的一个大数据中心能存储58000000000本书籍，将58000000000用科学记数法表示应为（）． A ．105.810? B ．115.810?

C ．95810?

D ．110.5810?

【答案】A

【解析】用科学记数法表示为105.810?．

2．在中国集邮总公司设计的2017年纪特邮票首日纪念戳图案中，可以看作中心对称图形的是（）．

A ．

B ．

C ．

D ．

【答案】C

【解析】中心对称绕中心转180?与自身重合．

千里江山图

京津冀协同发展

内蒙古自治区成立七十周年

河北雄安新区建立纪念

3．将34b b -分解因式，所得结果正确的是（）． A ．2(4)b b - B ．2(4)b b -

C ．2(2)b b -

D ．(2)(2)b b b +-

【答案】D

【解析】324(4)(2)(2)b b b b b b b -=-=+-．

4．如图是某个几何体的三视图，该几何体是（）． A ．三棱柱 B ．圆柱 C ．六棱柱 D ．圆锥

【答案】C

【解析】由俯视图可知有六个棱，再由主视图即左视图分析可知为六棱柱．

5．若实数a ，b ，c ，d 在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结论是（）． A ．5a <- B ．0b d +< C ．0a c -< D ．c d <

【答案】D

【解析】①5a >-，故A 错． ②0b d +>，故B 错． ③0a c ->，故C 错．

④01c <<，42d ==，故选D ．

6．如果一个正多边形的内角和等于720?，那么该正多边形的一个外角等于（）． A ．45? B ．60?

C ．72?

D ．90?

【答案】B

【解析】多边形内角和(2)180720n -??=?，∴6n =．正多边形的一个外角360360606

n ??

==?．

俯视图

左视图

主视图

d c b

a 0

-1-2-3-4-512

345

7．空气质量指数（简称为AQI ）是定量描述空气质量状况的指数，它的类别如下表所示．

AQI 数据 0~50 51~100 101~150 151~200 201~300 301以上

AQI 类别

优良轻度污染中度污染重度污染严重污染

某同学查阅资料，制作了近五年1月份北京市AQI 各类别天数的统计图如下图所示．

根据以上信息，下列推断不合理的是

A ．AQI 类别为“优”的天数最多的是2018年1月

B ．AQI 数据在0~100之间的天数最少的是2014年1月

C ．这五年的1月里，6个AQI 类别中，类别“优”的天数波动最大

D ．2018年1月的AQI 数据的月均值会达到“中度污染”类别

【答案】D

【解析】①AQI 为“优”最多的天数是14天，对应为2018年1月，故A 对． ②

AQI

2014 2015 2016 2017 2018

0~50

14 51~100 7 10

9 12

100

14 22

AQI 在0~100之间天数最少的为2014年1月，故B 对．

③观察折线图，类别为“优”的波动最大，故①对．

④2018年1月的AQI 在“中度污染”的天数为1天，其他天AQI 均在“中度污染”之上，因此D 推断不合理．

8．将A ，B 两位篮球运动员在一段时间内的投篮情况记录如下：

246810121416优良轻度污染中度污染重度污染严重污染

2014年1月2015年1月2016年1月2017年1月2018年1月

时间天数123

44678961012103

46911412

投篮次数 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 A 投中次数 7 15 23 30 38 45 53 60 68 75 投中频率

0.700

0.750

0.767

0.750

0.760

0.750

0.757

0.750

0.756

0.750

B 投中次数 8 14

23 32 35 43 52 61 70 80 投中频率

0.800

0.700

0.767

0.800

0.700

0.717

0.743

0.763

0.778

0.800

下面有三个推断：

①投篮30次时，两位运动员都投中23次，所以他们投中的概率都是0.767．

②随着投篮次数的增加，A 运动员投中频率总在0.750附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计A 运动员投中的概率是0.750．

④投篮达到200次时，B 运动员投中次数一定为160次．其中合理的是（）． A ．① B ．② C ．①③ D ．②③

【答案】B

【解析】①在大量重复试验时，随着试验次数的增加，可以用一个事件出现的概率估计它的概率，投篮30次，次数太少，不可用于估计概率，故①推断不合理．

②随着投篮次数增加，A 运动员投中的概率显示出稳定性，因此可以用于估计概率，故②推断合理． ③频率用于估计概率，但并不是准确的概率，因此投篮次时，只能估计投中200次数，而不能确定一定是160次，故③不合理．

二、填空题(本题共16分，每小题2分) 9．若代数式1

x x -+的值为0，则实数x 的值为__________．

【答案】1x = 【解析】1

x x -=+，10x -=，1x =．

10．化简：()()42(1)a a a a +--+=__________．

【答案】8a -

【解析】22421288()()()a a a a a a a a a +--+=+---=-．

11．如图，在ABC △中，DE AB ∥，DE 分别与AC ，BC 交于D ，E 两点．若

DEC ABC S S =△△，3AC =，则DC =

__________．

【答案】2

【解析】∵DE AB ∥， ∴2

DEC ABC S CD S AC ??== ???△△， ∴

CD AC =． ∵3AC =， ∴2CD =．

12．从杭州东站到北京南站，原来最快的一趟高铁G20次约用5h 到达．从2018年4月10日起，全国铁路开始实施新的列车运行图，并启用了“杭京高铁复兴号”，它的运行速度比原来的G20次的运行速度快

35km/h ，约用4.5h 到达。如果在相同的路线上，杭州东站到北京南站的距离不变，设“杭京高铁复兴号”

的运行速度．设“杭京高铁复兴号”的运行速度为km/h x ，依题意，可列方程为__________．

【答案】4.55(35)x x =-

【解析】依题意可列方程：4.55(35)x x =-．

13．如图，AB 为⊙O 的直径，C 为AB 上一点，50BOC ∠=?，AD OC ∥，AD 交⊙O 于点D ，连接AC ，

CD ，那么ACD ∠=__________．

【答案】40?

E D

A O

B A

【解析】∵AD OC ∥， ∴DAC OCA ∠=∠． ∵OA OC =， ∴OAC OCA ∠=∠，

∴1

OAC DAC BOC ∠=∠=∠．

∵50BOC ∠=?，

∴25BAC ∠=?，50DAO ∠=?， ∴80AOD ∠=?，

∴1

402

ACD AOD ∠=∠=?．

14．在平面直角坐标系xOy 中，如果当0x >时，函数1y kx =-（0k ≠）图象上的点都在直线1y =-上方，请写出一个符合条件的函数1y kx =-（0k ≠）的表达式：__________．

【答案】1y x =-（答案不唯一）【解析】答案不唯一，0k >即可．

15．如图，在平面直角坐标系xOy 中，点A 的坐标为(1,0)A ，等腰直角三角形ABC 的边AB 在x 轴的正半轴上，90ABC ∠=?，点B 在点A 的右侧，点C 在第一象限。将ABC △绕点A 逆时针旋转75?，如果点C 的对应点E 恰好落在y 轴的正半轴上，那么边AB 的长为__________．

【答案】2

【解析】依题可知，45BAC ∠=?，75CAE ∠=?，AC AE =，60OAE ∠=?，在Rt AOE △中，1OA =，90EOA ∠=?，60OAE ∠=?，∴2AE =， ∴2AC =．

在Rt ABC △中，2AB BC ==．

y x

B A

16．阅读下面材料：

在复习课上，围绕一道作图题，老师让同学们尝试应用学过的知识设计多种不同的作图方法，并交流其中蕴含的数学原理．

已知：直线和直线外的一点P ．

求作：过点P 且与直线l 垂直的直线PQ ，垂足为点Q P 某同学的作图步骤如下：步骤作法

推断

第一步

以点P 为圆心，适当长度为半径作弧，交直线l 于A ，B 两点．

PA PB =

第二步

连接PA ，PB ，作APB ∠的平分线，交直线l 于点Q ．

APQ ∠=∠__________ 直线PQ 即为所求作． PQ l ⊥

请你根据该同学的作图方法完成以下推理: ∵PA PB =，APQ ∠=∠__________， ∴PQ l ⊥．（依据：__________）．

【答案】BPQ ，等腰三角形三线合一【解析】BPQ ，等腰三角形三线合一．

三、解答题（本题共68分，第17~19题每小题5分，第20题6分，第21、22题每小题5分，第23题6分，第24题5分，第25、26题每小题6分，第27、28题每小题7分） 17．计算：1

1184sin 30215-??

-+?-

- ???

．

【解析】原式1

3254(21)3252212222

=-+?--=-+-+=-．

18．解不等式组3(2)4112x x x ++??

【解析】解①得，364x x ++≥，22x -≥，1x -≥，解②得，12x -<，3x <，

∴原不等式解集为13x -<≤，

∴原不等式的非负整数解为0，1，2．

19．如图，AD 平分BAC ∠，BD AD ⊥于点D ，AB 的中点为E ，AE AC <．（1）求证：DE AC ∥．

（2）点F 在线段AC 上运动，当AF AE =时，图中与ADF △全等的三角形是__________．

【解析】（1）证明：∵AD 平分BAC ∠， ∴12∠=∠， ∵BD AD ⊥于点D ， ∴90ADB ∠=?， ∴ABD △为直角三角形． ∵AB 的中点为E ， ∴2AB AE =

，2

DE =， ∴DE AE =， ∴13∠=∠， ∴23∠=∠， ∴DE AC ∥．（2）ADE △．

20．已知关于x 的方程2(3)30mx m x +--=（m 为实数，0m ≠）．（1）求证：此方程总有两个实数根．

（2）如果此方程的两个实数根都为正整数，求整数m 的值．

【解析】（1）2222(3)4(3)691269(3)0m m m m m m m m ?=--?-=-++=++=+≥ ∴此方程总有两个不相等的实数根．（2）由求根公式，得(3)(3)

2m m x m

--±+=，

∴11x =，23

x m

（0m ≠）． ∵此方程的两个实数根都为正整数， ∴整数m 的值为1-或3-．

21．如图，在ABD △中，ABD ADB ∠=∠，分别以点B ，D 为圆心，AB 长为半径在BD 的右侧作弧，两弧交于点C ，分别连接BC ，DC ，AC ，记AC 与BD 的交点为O ．（1）补全图形，求AOB ∠的度数并说明理由;

（2）若5AB =，3

cos 5

ABD ∠=，求BD 的长．

21E

A B

【解析】（1）补全的图形如图所示．90AOB ∠=?．证明：由题意可知BC AB =，DC AB =， ∵在ABD △中，ABD ADB ∠=∠， ∴AB AD =，

∴BC DC AD AB ===， ∴四边形ABCD 为菱形， ∴AC BD ⊥， ∴90AOB ∠=?．

（2）∵四边形ABCD 为菱形， ∴OB OD =．

在Rt ABO △中，90AOB ∠=?，5AB =，3cos 5

ABD ∠=，

∴cos 3OB AB ABD =?∠=， ∴26BD OB ==．

22．如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线y x m =+与x 轴的交点为0()4,A -，与y 轴的交点为B ，线段AB 的中点M 在函数k

y x

=（0k ≠）的图象上（1）求m ，k 的值;

（2）将线段AB 向左平移n 个单位长度（0n >）得到线段CD ，A ，MB 的对应点分别为C ，N ，D ． ①当点D 落在函数k

y x

（0x <）的图象上时，求n 的值． ②当MD MN ≤时，结合函数的图象，直接写出n 的取值范围．

【解析】（1）如图．

∵直线y x m =+与x 轴的交点为0()4,A -， ∴4m =．

∵直线y x m =+与y 轴的交点为B ， ∴点B 的坐标为(0,4)B ． ∵线段AB 的中点为M ， ∴可得点M 的坐标为(2,2)M -． ∵点M 在函数k

y x

=（0k ≠）的图象上， ∴4k =-．

（2）①由题意得点D 的坐标为(,4)D n -， ∵点D 落在函数k

y x

=（0k ≠）的图象上， ∴44n -=-，解得1n =．

②n 的取值范围是2n ≥．

O -1-1

N C

23．某同学所在年级的500名学生参加“志愿北京”活动，现有以下5个志愿服务项目：A ．纪念馆志愿讲解员．B ．书香社区图书整理．C ．学编中国结及义卖．D ．家风讲解员．E ．校内志愿服务．要求：每位学生都从中选择一个项目参加，为了了解同学们选择这个5个项目的情况，该同学随机对年级中的40名同学选择的志愿服务项目进行了调查，过程如下：

收集数据：设计调查问卷，收集到如下数据（志愿服务项目的编号，用字母代号表示）．

B ，E ，B ，A ，E ，

C ，C ，C ，B ，B ，

A ，C ，E ，D ，

B ，A ，B ，E ，

C ，A ，

D ，D ，B ，B ，C ，C ，A ，A ，

E ，B ，

C ，B ，

D ，C ，A ，C ，C ，A ，C ，

E ，

整理、描述诗句：划记、整理、描述样本数据，绘制统计图如下，请补全统计表和统计图．选择各志愿服务项目的人数统计表

志愿服务项目

划记人数

A ．纪念馆志愿讲解员正 8

B ．书香社区图书整理

C ．学编中国结及义卖

正正 12 D ．家风讲解员 E ．校内志愿服务

正

合计

选择各志愿服务项目的人数比例统计图

A ．纪念馆志愿讲解员

B ．书香社区图书整理

C ．学编中国结及义卖

E ．校内志愿服务

D ．家风讲解员

分析数据、推断结论：

a ：抽样的40个样本数据（志愿服务项目的编号）的众数是__________．（填A E -的字母代号）

b ：请你任选A E -中的两个志愿服务项目，根据该同学的样本数据估计全年级大约有多少名同学选择这两

个志愿服务项目．

【解析】B 项有10人，D 项有4人．

选择各志愿服务项目的人数比例统计图中，B 占25%，D 占10%．分析数据、推断结论：

30%

20%15%E D

C B

a ．抽样的40个样本数据（志愿服务项目的编号）的众数是C ．

b ：根据学生选择情况答案分别如下（写出任意两个即可）．

A ：50020%100?=（人）．

B ：50025%125?=（人）

． C ：50030%150?=（人）．

D ：50010%50?=（人）．

E ：50015%75?=（人）．

24．如图，⊙O 的半径为r ，ABC △内接于⊙O ，15BAC ∠=?，30ACB ∠=?，D 为CB 延长线上一点，AD 与⊙O 相切，切点为A ．

（1）求点B 到半径OC 的距离（用含r 的式子表示）．（2）作DH OC ⊥于点H ，求ADH ∠的度数及

的值．

【解析】（1）如图4，作BE OC ⊥于点E ． ∵在⊙O 的内接ABC △中，15BAC ∠=?， ∴230BOC BAC ∠=∠=?．

在Rt BOE △中，90OEB ∠=?，30BOE ∠=?，OB r =， ∴22

OB r

BE =

=， ∴点B 到半径OC 的距离为2

．（2）如图4，连接OA ．

由BE OC ⊥，DH OC ⊥，可得BE DH ∥． ∵AD 于⊙O 相切，切点为A ， ∴AD OA ⊥， ∴90OAD ∠=?． ∵DH OC ⊥于点H ，

B C

∴90OHD ∠=?．

∵在OBC △中，OB OC =，30BOC ∠=?， ∴180752

BOC

OCB ?-∠∠=

=?．

∵30ACB ∠=?，

∴45OCA OCB ACB ∠=∠-∠=?． ∵OA OC =，

∴45OAC OCE ∠=∠=?， ∴180290AOC OCA ∠=?-∠=?， ∴四边形AOHD 为矩形，90ADH ∠=?， ∴DH AO r ==． ∵2r BE =， ∴2

BE =

． ∵BE DH ∥， ∴CBE CDH ∽△△， ∴

CB BE CD DH ==．

25．如图，P 为⊙O 的直径AB 上的一个动点，点C 在?AB 上，连接PC ，过点A 作PC 的垂线交⊙O 于点Q ．已知5cm AB =，3cm AC =．设A 、P 两点间的距离为cm x ，A 、Q 两点间的距离为cm y ．

图4

H E

B O

某同学根据学习函数的经验，对函数y 随自变量x 的变化而变化的规律进行探究．下面是该同学的探究过程，请补充完整：

（1）通过取点、画图、测量及分析，得到了x 与y 的几组值，如下表： (cm)x

0 1

2.5 3

3.5 4

(cm)y

4.0

4.7

5.0

4.8

4.1

3.7

（说明：补全表格对的相关数值保留一位小数）

（2）建立平面直角坐标系，描出以补全后的表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象．（3）结合画出的函数图象，解决问题：当2AQ AP 时，AP 的长度均为__________cm ．

【解析】（1） (cm)x

0 1

1.8

2.5 3

3.5 4

5 (cm)y

4.0

4.7

5.0

4.8

4.5

4.1

3.7

3.0

（2）如图5

（3）2.42．

O Q

图5

234560y x

7654321

26.在平面直角坐标系xOy 中，抛物线G ：221(0)y mx mx m m =++-≠与y 轴交于点C ，抛物线G 的顶点为

D ，直线l ：1(0)y mx m m =+-≠．

（1）当1m =时，画出直线l 和抛物线G ，并直接写出直线l 被抛物线G 截得的线段长．（2）随着m 取值的变化，判断点C ，D 是否都在直线l 上并说明理由．

（3）若直线l 被抛物线G 截得的线段长不小于2，结合函数的图象，直接写出m 的取值范围．

【解析】（1）当1m =时，抛物线G 的函数表达式为22y x x =+，直线l 的函数表达式为y x =，直线l 被抛物线G 截得的线段长为2，画出的两个函数的图象如图所示：

（2）∵抛物线G ：221(0)y mx mx m m =++-≠与y 轴交于点C ， ∴点C 的坐标为(0,1)C m -，

∵2221(1)1y mx mx m m x =++-=+-， ∴抛物线G 的顶点D 的坐标为(1,1)--，对于直线l ：1(0)y mx m m =+-≠，当0x =时，1y m =-，

当1x =-时，(1)11y m m =?-+-=-， ∴无论m 取何值，点C ，D 都在直线l 上．（3）m 的取值范围是3m ≤-或3m ≥．

y=x

y=x 2+2x O (C )x

27．正方形ABCD 的边长为2，将射线AB 绕点A 顺时针旋转α，所得射线与线段BD 交于点M ，作

CE AM ⊥于点E ，点N 与点M 关于直线CE 对称，连接CN ．

（1）如图1，当045α?<

②用等式表示NCE ∠与BAM ∠之间的数量关系：__________．

（2）当4590α?<

【解析】（1）①补全的图形如图所示：

②2NCE BAM ∠=∠．

（2）1

902

MCE BAM ∠+∠=?，

连接CM ，

图1

备用图

C D

M A

C E

DAM DCM ∠=∠，

DAQ ECQ ∠=∠，

∴2NCE MCE DAQ ∠=∠=∠，

∴1

DCM NCE ∠=∠，

∵BAM BCM ∠=∠，

90BCM DCM ∠+∠=?，

∴1

902

NCE BAM ∠+∠=?．（3）∵90CEA ∠=?， ∴点E 在以AC 为直径的圆上，

∴max 12EF FO r =+=+．

28．对于平面内的⊙C 和⊙C 外一点Q ，给出如下定义：若过点Q 的直线与⊙C 存在公共点，记为点A ，B ，设AQ BQ

k CQ

，则称点A （或点B ）是⊙C 的“k 相关依附点”，特别地，当点A 和点B 重合时，规定AQ BQ =，2AQ k CQ =

（或2BQ

）．已知在平面直角坐标系xOy 中，(1,0)Q -，(1,0)C ，⊙C 的半径为r ．（1）如图1，当2r =时，

①若1(0,1)A 是⊙C 的“k 相关依附点”，则k 的值为__________．

②2(12,0)A +是否为⊙C 的“2相关依附点”．答：__________（填“是”或“否”）．（2）若⊙C 上存在“k 相关依附点”点M ， ①当1r =，直线QM 与⊙C 相切时，求k 的值． ②当3k =时，求r 的取值范围．

（3）若存在r 的值使得直线3y x b =-+与⊙C 有公共点，且公共点时⊙C 的“3相关依附点”，直接写出

b 的取值范围．

O E

【解析】（1）①2．②是．

（2）①如图，当1r =时，不妨设直线QM 与⊙C 相切的切点M 在x 轴上方（切点M 在x 轴下方时同理），连接CM ，则QM CM ⊥，

∵(1,0)Q -，(1,0)C ，1r =， ∴2CQ =，1CM =， ∴3MQ =，此时23MQ

k CQ

=， ②如图，若直线QM 与⊙C 不相切，设直线QM 与⊙C 的另一个交点为N （不妨设QN QM <，点N ，M 在x 轴下方时同理），

作CD QM ⊥于点D ，则MD ND =，

备用图

O Q

图1

O A 1

A 2

O x

∴()222MQ NQ MN NQ NQ ND NQ DQ +=++=+=， ∵2CQ =， ∴2MQ NQ DQ

k DQ CQ CQ

==， ∴当3k =时，3DQ =，此时221CD CQ DQ =-=，假设⊙C 经过点Q ，此时2r =， ∵点Q 早⊙C 外，

∴r 的取值范围是12r <≤．（3）333b -<<．

N 2

O x

M D