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八年级数学上册期末试卷培优测试卷

一、八年级数学全等三角形解答题压轴题（难）

1．（1）已知△ABC是等腰三角形，其底边是BC,点D在线段AB上，E是直线BC上一点，且∠DEC=∠DCE,若∠A等于60°（如图①）.求证：EB=AD；

（2）若将（1）中的“点D在线段AB上”改为“点D在线段AB的延长线上”，其他条件不变（如图②），（1）的结论是否成立，并说明理由．

【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析

【解析】

试题分析：（1）作DF∥BC交AC于F，由平行线的性质得出∠ADF=∠ABC，∠AFD=∠ACB，∠FDC=∠DCE，证明△ABC是等边三角形，得出∠ABC=∠ACB=60°，证出△ADF是等边三角形，∠DFC=120°，得出AD=DF，由已知条件得出∠FDC=∠DEC，ED=CD，由AAS证明

△DBE≌△CFD，得出EB=DF，即可得出结论；

（2）作DF∥BC交AC的延长线于F，同（1）证出△DBE≌△CFD，得出EB=DF，即可得出结论.

试题解析：（1）证明：如图，作DF∥BC交AC于F，

则△ADF为等边三角形

∴AD=DF，又∵∠DEC=∠DCB，

∠DEC+∠EDB=60°，

∠DCB+∠DCF=60°，

∴

∠EDB=∠DCA ，DE=CD，

在△DEB和△CDF中，

120

EBD DFC

EDB DCF

DE CD

，

∠=∠=?

∠=∠

∴△DEB≌△CDF，

∴BD=DF，

∴BE=AD .

(2).EB=AD成立；

理由如下：作DF ∥BC 交AC 的延长线于F ，如图所示：同（1）得：AD=DF ，∠FDC=∠ECD ，∠FDC=∠DEC ，ED=CD ，又∵∠DBE=∠DFC=60°， ∴△DBE ≌△CFD （AAS ）， ∴EB=DF ， ∴EB=AD.

点睛：此题主要考查了三角形的综合，考查等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，平行线的性质等知识，综合性强，有一定的难度，证明三角形全等是解决问题的关键.

2．如图①，在ABC 中，90BAC ∠=?，AB AC =，AE 是过A 点的一条直线，且

B 、

C 在AE 的异侧，B

D A

E ⊥于D ，CE AE ⊥于E .

（1）求证：BD DE CE =+.

（2）若将直线AE 绕点A 旋转到图②的位置时（BD CE <），其余条件不变，问BD 与

DE 、CE 的关系如何？请予以证明.

【答案】（1）见解析；（2）BD=DE-CE ，理由见解析. 【解析】【分析】

（1）根据已知利用AAS 判定△ABD ≌△CAE 从而得到BD=AE ，AD=CE ，因为AE=AD+DE ，所以BD=DE+CE ；

（2）根据已知利用AAS 判定△ABD ≌△CAE 从而得到BD=AE ，AD=CE ，因为AD+AE=BD+CE ，所以BD=DE-CE ．【详解】

解：（1）∵∠BAC=90°，BD ⊥AE ，CE ⊥AE ， ∴∠BDA=∠AEC=90°，

∵∠ABD+∠BAE=90°，∠CAE+∠BAE=90° ∴∠ABD=∠CAE ，

∵AB=AC ，

在△ABD 和△CAE 中，

BDA AEC ABD CAE AB AC ∠=∠??

∠=∠??=?

∴△ABD ≌△CAE （AAS ）， ∴BD=AE ，AD=CE ， ∵AE=AD+DE ， ∴BD=DE+CE ；

（2）BD 与DE 、CE 的数量关系是BD=DE-CE ，理由如下： ∵∠BAC=90°，BD ⊥AE ，CE ⊥AE ， ∴∠BDA=∠AEC=90°，

∴∠ABD+∠DAB=∠DAB+∠CAE ， ∴∠ABD=∠CAE ， ∵AB=AC ，

在△ABD 和△CAE 中，

BDA AEC ABD CAE AB AC ∠=∠??

∠=∠??=?

∴△ABD ≌△CAE （AAS ）， ∴BD=AE ，AD=CE ， ∴AD+AE=BD+CE ， ∵DE=BD+CE ， ∴BD=DE-CE ．【点睛】

此题主要考查全等三角形的判定和性质，常用的判定方法有SSS ，SAS ，AAS ，HL 等．这种类型的题目经常考到，要注意掌握．

3．如图（1），在ABC 中，90A ∠=?，AB AC =，点D 是斜边BC 的中点，点E ，

F 分别在线段AB ，AC 上，且90EDF ∠=?．（1）求证：DEF 为等腰直角三角形；

（2）若ABC 的面积为7，求四边形AEDF 的面积；

（3）如图（2），如果点E 运动到AB 的延长线上时，点F 在射线CA 上且保持

90EDF ∠=?，DEF 还是等腰直角三角形吗．请说明理由．

【答案】（1）证明见解析；（2）3.5；（3）是，理由见解析．

【解析】

【分析】

（1）由题意连接AD，并利用全等三角形的判定判定△BDE≌△ADF(ASA)，进而分析证得DEF为等腰直角三角形；

（2）由题意分析可得S四边形AEDF=S?ADF+S?ADE=S?BDE+S?CDF，以此进行分析计算求出四边形AEDF的面积即可；

（3）根据题意连接AD，运用全等三角形的判定判定△BDE≌△ADF(ASA)，进而分析证得DEF为等腰直角三角形.

【详解】

解：（1）证明：如图①，连接AD.

∵∠BAC=90?,AB=AC,点D是斜边BC的中点，

∴AD⊥BC，AD=BD，

∴∠1=∠B=45°，

∵∠EDF=90°，∠2+∠3=90°，

又∵∠3+∠4=90°，

∴∠2=∠4，

在△BDE 和△ADF中，∠1=∠B，AD=BD,∠2=∠4，

∴△BDE≌△ADF(ASA),

∴DE=DF,

又∵∠EDF=90°，

∴ΔDEF为等腰直角三角形.

（2）由（1）可知DE=DF，∠C=∠6=45°，

又∵∠2+∠3=90°，∠2+∠5=90°，

∴∠3=∠5，

∴△ADE≌△CDF，

∴S四边形AEDF=S?ADF+S?ADE=S?BDE+S?CDF，

∴ S?ABC=2 S四边形AEDF,

∴S 四边形AEDF =3.5 .

（3）是.如图②，连接AD.

∵∠BAC=90°，AB=AC ，D 是斜边BC 的中点， ∴AD ⊥BC,AD=BD ， ∴∠1=45°，

∵∠DAF=180°-∠1=180°—45°=135°，∠DBE=180°-∠ABC=180°-45°=135°， ∴∠DAF=∠DBE ， ∵∠EDF=90°， ∴∠3+∠4=90°，又∵∠2+∠3=90°， ∴∠2=∠4,

在△BDE 和△ADF 中，∠DAF=∠DBE ，AD=BD,∠2=∠4, ∴△BDE ≌△ADF(ASA), ∴DE=DF, 又∵∠EDF=90°， ∴△DEF 为等腰直角三角形. 【点睛】

本题考查等腰直角三角形的性质以及全等三角形的判定与性质，根据题意作辅助线构造出全等三角形是解题的关键．

4．在ABC 中，AB AC =，点D 在BC 边上，且60,ADB E ∠=?是射线DA 上一动点(不与点D 重合，且DA DB ≠)，在射线DB 上截取DF DE =，连接EF ．

()1当点E 在线段AD 上时，

①若点E 与点A 重合时，请说明线段BF DC =； ②如图2，若点E 不与点A 重合，请说明BF DC AE =+；

()2当点E 在线段DA 的延长线上()DE DB >时，用等式表示线段,,AE BF CD 之间的数

量关系(直接写出结果，不需要证明)．

【答案】（1）①证明见解析；②证明见解析；（2）BF ＝AE-CD 【解析】【分析】

（1）①根据等边对等角，求到B C ∠=∠，再由含有60°角的等腰三角形是等边三角形得到ADF ?是等边三角形，之后根据等边三角形的性质以及邻补角的性质得到

120AFB ADC ∠=∠=?，推出ABF ACD ??≌，根据全等三角形的性质即可得出结论；

②过点A 做AG ∥EF 交BC 于点G ，由△DEF 为等边三角形得到DA ＝DG ，再推出AE ＝GF ，根据线段的和差即可整理出结论；

（2）根据题意画出图形，作出AG ，由（1）可知，AE=GF ，DC=BG ，再由线段的和差和等量代换即可得到结论．【详解】（1）①证明：

AB AC =

B C ∴∠=∠

,60DF DE ADB =∠=?，且E 与A 重合，

ADF ∴?是等边三角形 60ADF AFD ∴∠=∠=? 120AFB ADC ∴∠=∠=? 在ABF ?和ACD ?中

AFB ADC B C

AB AC ∠=∠??

∠=∠??=?

ABF ACD ∴??≌ BF DC ∴=

②如图2，过点A 做AG ∥EF 交BC 于点

G ，

∵∠ADB ＝60° DE ＝DF ∴△DEF 为等边三角形 ∵AG ∥EF

∴∠DAG ＝∠DEF ＝60°，∠AGD ＝∠EFD ＝60° ∴∠DAG ＝∠AGD ∴DA ＝DG

∴DA －DE ＝DG －DF ，即AE ＝GF 由①易证△AGB ≌△ADC ∴BG ＝CD

∴BF ＝BG ＋GF ＝CD ＋AE

（2）如图3，和（1）中②相同，过点A 做AG ∥EF 交BC 于点G ，

由（1）可知，AE=GF ，DC=BG ，

BF CD BF BG GF AE ∴+=+==

故BF AE CD =-．【点睛】

本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．

5．如图1，在ABC ?中，90ACB ∠=，AC BC =，直线MN 经过点C ，且AD MN ⊥于点D ，BE MN ⊥于点E ．易得DE AD BE =+（不需要证明）．

（1）当直线MN 绕点C 旋转到图2的位置时，其余条件不变，你认为上述结论是否成立？若成立，写出证明过程；若不成立，请写出此时DE AD BE 、、之间的数量关系，并说明理由；

（2）当直线MN 绕点C 旋转到图3的位置时，其余条件不变，请直接写出此时

DE AD BE 、、之间的数量关系（不需要证明）．

【答案】(1) 不成立，DE=AD-BE ，理由见解析；(2) DE=BE-AD

【解析】

【分析】

(1)DE、AD、BE之间的数量关系是DE=AD-BE．由垂直的性质可得到∠CAD=∠BCE，证得△ACD≌△CBE，得到AD=CE，CD=BE，即有DE=AD-BE；

(2)DE、AD、BE之间的关系是DE=BE-AD．证明的方法与(1)一样．

【详解】

(1)不成立．

DE、AD、BE之间的数量关系是DE=AD-BE，

理由如下：如图，

∵∠ACB=90°，BE⊥CE，AD⊥CE，AC CB

=，

∴∠ACD+∠CAD=90°，

又∠ACD+∠BCE=90°，

∴∠CAD=∠BCE，

在△ACD和△CBE中，

ADC CEB

CAD BCE

AC CB

∠=∠=?

∠=∠

，

∴△ACD≌△CBE(AAS)，

∴AD=CE，CD=BE，

∴DE=CE-CD=AD-BE；

(2)结论：DE=BE-AD．

∵∠ACB=90°，BE⊥CE，AD⊥CE，AC CB

=，

∴∠ACD+∠CAD=90°，

又∠ACD+∠BCE=90°，

∴∠CAD=∠BCE，

在△ACD和△CBE中，

ADC CEB

CAD BCE

AC CB

∠=∠=?

∠=∠

，

∴△ADC≌△CEB(AAS)，

∴AD=CE，DC=BE，

∴DE=CD-CE=BE-AD．

【点睛】

本题考查了旋转的性质、直角三角形全等的判定与性质，旋转前后两图形全等，对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心的连线段所夹的角等于旋转角．

二、八年级数学轴对称解答题压轴题（难）

6．（1）已知△ABC中，∠A＝90°，∠B＝67.5°，请画一条直线，把这个三角形分割成两个等腰三角形．（请你选用下面给出的备用图，把所有不同的分割方法都画出来．只需画图，不必说明理由，但要在图中标出相等两角的度数）

（2）已知△ABC中，∠C是其最小的内角，过顶点B的一条直线把这个三角形分割成了两个等腰三角形，请探求∠ABC与∠C之间的关系．

【答案】(1)图形见解析(2) ∠ABC与∠C之间的关系是∠ABC＝135°－

∠C或∠ABC＝3∠C 或∠ABC＝180°－3∠C或∠ABC＝90°，∠C是小于45°的任意锐角．

【解析】

试题分析：（1）已知角度，要分割成两个等腰三角形，可以运用直角三角形、等腰三角形性质结合三角形内角和定理，先计算出可能的角度，或者先从草图中确认可能的情况，及角度，然后画上．

（2）在（1）的基础上，由“特殊”到“一般”，需要把直角三角形分成两个等腰三角形的各种情形列方程，可得出角与角之间的关系．

试题解析：(1)如图①②(共有2种不同的分割法)．

(2)设∠ABC＝y，∠C＝x，过点B的直线交边AC于点D.在△DBC中，

①若∠C是顶角，如图，则∠CBD＝∠CDB＝90°－1

x，∠A＝180°－x－y.

故∠ADB＝180°－∠CDB＝90°＋1

x＞90°，此时只能有∠A＝∠ABD，

即180°－x－y＝y－

???

，

∴3x＋4y＝540°，∴∠ABC＝135°－3

∠C.

②若∠C是底角，

第一种情况：如图，当DB＝DC时，∠DB C＝x.在△ABD中，∠ADB＝2x，∠ABD＝y－x.

若AB＝AD，则2x＝y－x，此时有y＝3x，

∴∠ABC＝3∠C.

若AB＝BD，则180°－x－y＝2x，此时有3x＋y＝180°，∴∠ABC＝180°－3∠C.

若AD＝BD，则180°－x－y＝y－x，此时有y＝90°，即∠ABC＝90°，∠C为小于45°的任意锐角．

第二种情况：如图，

当BD ＝BC 时，∠BDC ＝x ，∠ADB ＝180°－x ＞90°，此时只能有AD ＝BD ，∴∠A ＝∠ABD ＝

12∠BDC ＝1

∠C ＜∠C ，这与题设∠C 是最小角矛盾． ∴当∠C 是底角时，BD ＝BC 不成立．

综上所述，∠ABC 与∠C 之间的关系是∠ABC＝135°－

∠C 或∠ABC＝3∠C 或∠ABC＝180°－3∠C 或∠ABC＝90°，∠C 是小于45°的任意锐角．

点睛：本题考查了等腰三角形的性质；第（1）问是计算与作图相结合的探索．本问对学生运用作图工具的能力，以及运用直角三角形、等腰三角形性质等基础知识解决问题的能力都有较高的要求．第（2）问在第（1）问的基础上，由“特殊”到“一般”，“分类讨论”把直角三角形分成两个等腰三角形的各种情形并结合“方程思想”探究角与角之间的关系．本题不仅趣味性强，创造性强，而且渗透了由“特殊”到“一般”、“分类讨论”、“方程思想”、“转化思想”等数学思想，是一道不可多得的好题．

7．如图，在ABC ?中，CE 为三角形的角平分线，AD CE ⊥于点F 交BC 于点D （1）若9628BAC B ??∠=∠=，，直接写出BAD ∠= 度（2）若2ACB B ∠=∠， ①求证：2AB CF =

②若

,CF a EF b ==，直接写出BD

= （用含

,a b 的式子表示）

【答案】（1）34；（2）①见详解；②2b

a b

- 【解析】【分析】

（1）由三角形内角和定理和角平分线定义即可得出答案；

（2）①证明B BCE ∠=∠，得出BE=CE ，过点A 作//AH BC 交CE 与点H ，则

,H BCE ACE EAH B ∠=∠=∠∠=∠，得出AH=AC ，H EAH ∠=∠，得出AE=HE ，

由等腰三角形的性质可得出HF=CF

，即可得出结论；

②证明AHF DCF ?，得出AH=DC ，求出HF=CF=a ，HE=HF-EF=a-b ，CE=a+b ，由

//AH BC 得出

AH AE a b

BC BE a b

-==+，进而得出结论．【详解】

解：（1）∵9628BAC B ??∠=∠=，， ∴180962856ACB ∠=?-?-?=?， ∵CE 为三角形的角平分线， ∴1

282

ACE ACB ∠=

∠=?， ∵AD CE ⊥，

∴902862CAF ∠=?-?=?， ∴966234BAD ∠=?-?=?．故答案为：34；

（2）①证明：∵22ACB B BCE ∠=∠=∠ ∴B BCE ∠=∠ ∴BE CE =

过点A 作//AH BC 交CE 与点H ，如图所示：

则,H BCE ACE EAH B ∠=∠=∠∠=∠ ∴AH=AC ，H EAH ∠=∠ ∴AE=HE ∵AD CE ⊥ ∴HF=CF ∴AB=HC=2CF ；

②在AHF △和DCF 中，

H DCF HF CF

AFH DFC ∠=∠??

=??∠=∠?

∴AHF DCF ? ∴AH=DC

∵

,CF a EF b == ∴ HF CF a ==，由①得 AE HE HF EF a b ==-=-， BE CE a b ==+ ∵ //AH BC ∴AH AE a b

BC BE a b -==+ ∴CD a b

BC a b

-=+ ∴

2BD b

CD a b

=-．故答案为：2b

a b

-．【点睛】

本题考查的知识点是全等三角形的判定及其性质、等腰三角形的判定及其性质、三角形的内角和定理、三角形的角平分线定理等，掌握以上知识点是解此题的关键．

8．知识背景：我们在第十一章《三角形》中学习了三角形的边与角的性质，在第十二章《全等三角形》中学习了全等三角形的性质和判定，在第十三章《轴对称》中学习了等腰三角形的性质和判定.在一些探究题中经常用以上知识转化角和边，进而解决问题. 问题：如图1，ABC 是等腰三角形，90BAC ∠=?，D 是BC 的中点，以AD 为腰作等腰ADE ，且满足90DAE ∠=?，连接CE 并延长交BA 的延长线于点F ，试探究BC 与

CF 之间的数量关系.

图1

发现：（1）BC 与CF 之间的数量关系为 .

探究：（2）如图2，当点D 是线段BC 上任意一点（除B 、C 外）时，其他条件不变，试猜想BC 与CF 之间的数量关系，并证明你的结论.

图2

拓展：（3）当点D 在线段BC 的延长线上时，在备用图中补全图形，并直接写出BCF 的形状.

备用图

【答案】（1）BC CF =；（2）BC CF =，证明见解析；（3）画图见解析，等腰直角三角形. 【解析】【分析】

（1）根据等腰三角形的性质即可得BC CF =；

（2）由等腰直角三角形的性质可得()ABD ACE SAS ∴≌，再根据全等三角形的性质及等角对等边即可证明；

（3）作出图形，根据等腰三角形性质易证()ABD ACE SAS ∴≌，进而根据角度的代换，得出结论．【详解】

解：（1）BC CF =.

∵△ABC 是等腰三角形，且90BAC ∠=?，

AB AC ∴=，45B ACB ∠=∠=?. 90DAE ∠=?， DAE BAC ∴=∠∠，

DAE DAC BAC DAC ∴∠-∠=∠-∠， BAD CAE ∴∠=∠.

ADE 是以AD 为腰的等腰三角形， AD AE ∴=.

在ABD △与ACE △中，AB AC =，BAD CAE ∠=∠，AD AE =，

()ABD ACE SAS ∴≌，

45ACE B ∴∠=∠=?. 45ACB =?∠，

90BCF ACB ACE ∴∠=∠+∠=?， 90B F ∴∠+∠=?， 45F ∴∠=?， B F ∴∠=∠， BC CF ∴=. （2）BC CF =. 证明：ABC 是等腰三角形，且90BAC ∠=?， AB AC ∴=，45B ACB ∠=∠=?. 90DAE ∠=?，

DAE BAC ∴=∠∠，

DAE DAC BAC DAC ∴∠-∠=∠-∠， BAD CAE ∴∠=∠.

ADE 是以AD 为腰的等腰三角形， AD AE ∴=.

在ABD △与ACE △中，AB AC =，BAD CAE ∠=∠，AD AE =， ()ABD ACE SAS ∴≌，

45ACE B ∴∠=∠=?. 45ACB =?∠，

90BCF ACB ACE ∴∠=∠+∠=?， 90B F ∴∠+∠=?， 45F ∴∠=?， B F ∴∠=∠， BC CF ∴=.

（3）BCF 是等腰直角三角形. 提示：如图，

ABC 是等腰三角形，90BAC ∠=?， AB AC ∴=，45B ACB ∠=∠=?. 90DAE ∠=?， DAE BAC ∴=∠∠，

DAE DAC BAC DAC ∴∠+∠=∠+∠， BAD CAE ∴∠=∠.

ADE 是以AD 为腰的等腰三角形， AD AE ∴=.

在ABD △与ACE △中，AB AC =，BAD CAE ∠=∠，AD AE =， ()ABD ACE SAS ∴≌，

45ACE B ∴∠=∠=?. 45ACB =?∠，

90BCF ACB ACE ∴∠=∠+∠=?， 90B BFC ∴∠+∠=?， 45BFC ∴∠=?， B BFC ∴∠=∠，

BCF ∴是等腰三角形， 90BCF ∠=?，

BCF ∴是等腰直角三角形. 【点睛】

本题考查等腰三角形及全等三角形的性质，熟练运用角度等量代换及等腰三角形的性质是解题的关键．

9．如图，已知DCE ∠与AOB ∠，OC 平分AOB ∠．

(1)如图1，DCE ∠与AOB ∠的两边分别相交于点 D 、E ，90AOB DCE ∠=∠=?，试判断线段CD 与CE 的数量关系，并说明理由. 以下是小宇同学给出如下正确的解法：解：CD CE =．

理由如下：如图1，过点 C 作 C F OC ⊥，交 O B 于点 F ，则90OCF ∠=?， …

请根据小宇同学的证明思路，写出该证明的剩余部分． (2)你有与小宇不同的思考方法吗？请写出你的证明过程． (3)若120AOB ∠=?，60DCE ∠=?．

①如图3，DCE ∠与AOB ∠的两边分别相交于点 D 、E 时，(1)中的结论成立吗？为什么？线段 O D 、OE 、OC 有什么数量关系？说明理由．

②如图4，DCE ∠的一边与 AO 的延长线相交时，请回答(1)中的结论是否成立，并请直接写出线段 O D 、OE 、OC 有什么数量关系；如图5，DCE ∠的一边与 BO 的延长线相交时，请回答(1)中的结论是否成立，并请直接写出线段 O D 、OE 、OC 有什么数量关系．

【答案】(1)见解析；(2)证明见解析；(3)①成立，理由见解析；②在图4中，(1)中的结论成立，OE OD OC -=.在图5中，(1)中的结论成立，OD OE OC -= 【解析】

【分析】

（1）通过ASA 证明CDO CEF ??≌即可得到CD=CE ；（2）过点 C 作CM OA ⊥，

CN OB ⊥，垂足分别为 M ，N ，通过AAS 证明CMD CNE ??≌同样可得到CD=CE ；（3）①方法一：过点 C 作 C M OA ⊥，CN OB ⊥垂足分别为 M ，N ，通过AAS 得到

CMD CNE ??≌，进而得到,CD CE DM EN ==，利用等量代换得到=OE OD ON OM ++，在 Rt CMO ?中，利用30°角所对的边是斜边的一半得

12OM OC =，同理得到1 2ON OC =，所以OE OD OC +=；方法二：以CO 为一边作

60FCO ∠=?，交 O B 于点 F ，通过ASA 证明CDO CEF ??≌，得到,CD CE OD EF ==，所以OE OD OE EF OF OC +=+==；②图4：以OC 为一边，

作∠OCF=60°与OB 交于F 点，利用ASA 证得△COD ≌△CFE ，即有CD=CE ，OD=EF 得到OE=OF+EF=OC+OD ；图5:以OC 为一边，作∠OCG=60°与OA 交于G 点，利用ASA 证得△CGD ≌△COE ，即有CD=CE ，OD=EF ，得到OE=OF+EF=OC+OD. 【详解】解：(1)

OC 平分AOB ∠，145∠=∠2=?∴，

390245,123??∴∠=-∠=∴∠=∠=∠

OC FC ∴=

又

456590?∠+∠=∠+∠=

在CDO ?与CEF ?中，

1346OC FC ∠=∠??

=??∠=∠?

()CDO CEF ASA ∴??≌

CD CE ∴=

(2)如图2，过点 C 作CM OA ⊥，CN OB ⊥，垂足分别为 M ，N ， ∴90CMD CNE ∠=∠=?，又∵OC 平分AOB ∠， ∴CM CN =，在四边形 O DCE 中，

12360AOB DCE ∠+∠+∠+∠=?，

又∵90

AOB DCE

∠=∠=?，

∴12180

∠+∠=?，

又∵13180

∠+∠=?

，

∴32

∠=∠，

在CMD

?与CNE

?中，

CMD CNE

CM CN

∠=∠

∴()

CMD CNE AAS

≌，

∴CD CE

(3)①(1)中的结论仍成立.OE OD OC

+=.

理由如下：

方法一：如图3(1)，过点C作C M OA

⊥，CN OB

⊥，

垂足分别为M，N，

∴90

CMD CNE

∠=∠=?，

又∵OC平分AOB

∠，

∴CM CN

=，

在四边形ODCE中，

12360

AOB DCE

∠+∠+∠+∠=?，

又∵60120180

AOB DCE

∠+∠=?+?=?，

∴12180

∠+∠=?，

又∵23180

∠+∠=?，

∴13

∠=∠，

在CMD

?与CNE

?中，

CMD CNE

CM CN

∠=∠

，

∴()

CMD CNE AAS

≌，

∴,

CD CE DM EN

==.

∴OE OD OE OM DM OE OM EN ON OM +=++=++=+.

在Rt CMO

?中，

49059030

AOB

∠=?-∠=?-∠=?，

∴

OM OC

=，同理

ON OC

=，

∴

OE OD OC OC OC

+=+=.

方法二：如图3（2），以CO为一边作60

FCO

∠=?，交O B于点F，∵OC平分AOB

∠，∴1260

∠=∠=?，

∴3180260

FCO

∠=?-∠-∠=?，

∴13

∠=∠，32FCO

∠=∠=∠，

∴COF

?是等边三角形，

∴CO CF

=，

∵4560

DCE

∠=∠+∠=?，

6560

FCO

∠=∠+∠=?，

∴46

∠=∠，

在CDO

?与CEF

?中，

CO CF

∠=∠

?∠=∠

∴()

CDO CEF ASA

≌，

∴,

CD CE OD EF

==.

∴OE OD OE EF OF OC

+=+==.

-=.

②在图4中，(1)中的结论成立，OE OD OC

如图，以OC为一边，作∠OCF=60°与OB交于F点

∵∠AOB=120°，OC为∠AOB的角平分线

∴∠COB=∠COA=60°

又∵∠OCF=60°

∴△COF为等边三角形

∴OC=OF

∵∠COF=∠OCD+∠DCF=60°，∠DCE=∠DCF+∠FCB=60°∴∠OCD=∠FCB

又∵∠COD=180°-∠COA=180°-60°=120°

∠CFE=180°-∠CFO=180°-60°=120°

∴∠COD=∠CFE

∴△COD≌△CFE（ASA）

∴CD=CE，OD=EF

∴OE=OF+EF=OC+OD

即OE-OD=OC

-=.

在图5中，(1)中的结论成立，OD OE OC

如图，以OC为一边，作∠OCG=60°与OA交于G点

∵∠AOB=120°，OC为∠AOB的角平分线

∴∠COB=∠COA=60°

又∵∠OCG=60°

∴△COG为等边三角形

∴OC=OG

∵∠COG=∠OCE+∠ECG=60°，∠DCE=∠DCG+∠GCE=60°∴∠DCG=∠OCE

又∵∠COE=180°-∠COB=180°-60°=120°

∠CGD=180°-∠CGO=180°-60°=120°

∴∠CGD=∠COE

∴△CGD≌△COE（ASA）

∴CD=CE，OE=DG