解析几何高考名题选萃(1)
解析几何2高考名题选萃
一、选择题
1．以极坐标系中的点(1，1)为圆心，1为半径的圆的方程是
[ ]
A =2cos()
B =2sin()
C =2cos(1)
D =2sin(1)
．ρθ－
π．ρθ－
π．ρθ－．ρθ－4
4
2．过原点的直线与圆x 2＋y 2＋4x ＋3＝0相切，若切点在第三象限，则该直线的方程是
[ ]
A y x
B y x
C y x
D y =33
x
．＝．＝－．＝
．－
3333 3．过抛物线y=ax 2(a ＞0)的焦点F 作一直线交抛物线于P 、Q 两点，
若线段与的长分别是、，则等于PF FQ p q 1p
1q
[ ]
A 2a
B 12a
C 4a
D 4a
．．
．．
4 =2sin(+
4
．极坐标方程ρθπ的图形是
[
]
5．若右图中的直线l 1，l 2，l 3的斜率分别为k 1，k 2，k 3，则
[ ]
A ．k 1＜k 2＜k 3
B ．k 3＜k 1＜k 2
C ．k 3＜k 2＜k 1
D ．k 1＜k 3＜k 2
6．下列四个命题中的真命题是
[ ]
A ．经过定点P 0(x 0，y 0)的直线都可以用方程y －y 0＝k(x －x 0)表示
B ．经过任意两个不同的点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)的直线都可以用方程(y －y 1)(x 2－x 1)=(x －x 1)(y 2－y 1)表示
C x a +y b
=1．不经过原点的直线都可以用方程：
表示
D ．经过定点A(0，b)的直线都可以用方程y=kx ＋b 表示
7．已知集合M=｛(x ，y)|x ＋y=2}，N={(x ，y)|x －y=4} ，那么集合M ∩N 为
[ ]
A ．x=3，y ＝－1
B ．(3，－1)
C ．{3，－1}
D ．{(3，－1)}
8．如果直线ax ＋2y ＋2＝0与直线3x －y －2＝0平行，那么系数a ＝
[ ]
A 3
B 6
C
D ．－．－．－
．
3223
9．设a ，b ，c 分别是△ABC 中∠A ，∠B ，∠C 所对边的边长，则直线sinA 2x+ay+c ＝0与bx －sinB 2y ＋sinC ＝0的位置关系是
[ ]
A ．平行
B ．重合
C ．垂直
D ．相交但不垂直
10．如果方程x 2+ky=2表示焦点在y 轴上的椭圆，那么实数k 的取值范围是
[ ]
A ．(0，＋∞)
B ．(0，2)
C ．(1，＋∞)
D ．(0，1)
11F F x
4
y 1P 122
2
．设和为双曲线
＝的两个焦点，点在双曲线上且满
足∠F 1DF 2＝90°，则△F 1DF 2的面积是
[ ]
A 1
B C 2
D ．．
．．
525
12．在直角坐标系xOy 中，曲线C 的方程是y ＝cosx ，现平移坐标 系，把原点移到点′π，π，则在坐标系′′′中，曲线O (
22
)x O y C -
的方程是
[ ]
A y sinx
B y =sinx +
C y sinx
D y sinx
．′＝′＋π．′－′π．′＝′－
π．′＝－′－
π2222
13．双曲线3x 2－y 2＝3的渐近线方程是
[ ]
A y =3x
B y =x
C y =x
D y =x ．±．±
．±
．±
13333
14x a
y b
=(0a b)c (a 0)22
22
．设双曲线
＜＜的半焦距为，直线过，，-
l
(0b)，两点，已知原点到直线的距离为
，则双曲线的离心率为l 34
c
[ ]
A 2
B C D ．．
．
．
3
2
233
15x
25
+
y
9
=1902
2
．将椭圆
绕其左焦点按逆时针方向旋转°后所得的
椭圆方程是
[ ]
A (x 4)25+(y 4)
9=1
B (x 4)25
+
(y +4)
9
=1
C (x 4)
9
+
(y 4)25
=1
D (x 4)
9
+
(y +4)25
=1
2
2
2
2
22
2
2
．．
．
．
+-++-+ 16C (x 3)
9
+
(y 2)
4
=1x y 02
2
．椭圆与椭圆
关于直线＋＝对称，椭圆--
的方程是
[ ]
A (x 2)
4+
(y +3)
9=1
B (x 2)
9
+
(y 3)
4
=1
C (x 2)
9
+
(y +3)
4
=1
D (x 2)
9
+
(y 3)
4
=1
2
2
2
2
2
2
2
2
．．．
．
+--+-- 17(34
)x y x csc y sec =12
2
．设θ∈π，π，则关于、的方程θ－θ
所表示的曲线是
[ ]
A ．实轴在y 轴上的双曲线
B ．实轴在x 轴上的双曲线
C ．长轴在y 轴上的椭圆
D ．长轴在x 轴上的椭圆 18x
12
+
y
3
=1F F P PE 2
2
121．椭圆
的焦点为和，点在椭圆上，如果线段
的中点在y 轴上，那么|PF 1|是|PF 2|的
[ ]
A ．7倍
B ．5倍
C ．4倍
D ．3倍
19x y 0x y 42
2
．直线
＋－＝截圆＋＝得的劣弧所对的圆心角为323
[ ]
A B
C D ．
π．
π．π．
π6
43
2
20M (1)N (4)4x 2y 1=0x y =3x
2
y
=1x
2
y
=12
3
2
2
2
2
．已知两点，、－，－
，给出下列曲线方程：
①＋－；②＋；③
＋；
④
－．
54
54
在曲线上存在点P 满足|MP|=|NP|的所有曲线方程是
[ ]
A ．①③
B ．②④
C ．①②③
D ．②③④
21y =
3x 30．直线绕原点按逆时针方向旋转°后所得直线与圆3
(x －2)2＋y 2＝3的位置关系是
[ ]
A ．直线过圆心
B ．直线与圆相交，但不过圆心
C ．直线与圆相切
D ．直线与圆没有公共点
22．若椭圆经过原点，且焦点为F 1(1，0)，F 2(3，0)，则其离心率为
[ ]
A B C D ．
．
．
．
34
23
12
14
23x =11t y =1t (t t 0)2．曲线的参数方程是－，
－是参数，≠，它的普通方程是?
???
?
[ ]
A (x 1) (y 1)=1
B y x(x 2)(1x)
C y 1(1x)
1
D y x 1x
+1
2
2
2
2．－－．＝．＝
－．＝
---- 244sin()．在极坐标系中，曲线ρ＝θ－
π关于3
[ ]
A B =
56
C (2)
D ．直线θ＝π轴对称
．直线θπ轴对称
．点，
π中心对称．极点中心对称
3
3
25．下列以t 为参数的参数方程所表示的曲线中，与方程xy ＝1所表示的曲线完全一致的是
[ ]
A x =t y =t
B x =|t|y =1|t|
C x =cost y =sect
D x =tant y =cott 1
21
2．，．，．，．，-????
???????????? 二．填空题 26x
9
+
y
4
=1F F P 2
2
12．椭圆
的焦点为、，点为其上的动点．当∠
F 1PF 2为钝角时，点P 横坐标的取值范围________．
27x
9
y
16
=1F F P 2
2
12．双曲线
的两个焦点为、，点在双曲线上．若-
PF 1⊥PF 2，则点P 到x 轴的距离为________．
28．已知O(0，0)和A(6，3)两点，若点P 在直线OA 上，且
O P P A
1
2
P O B B
＝，又是线段的中点，则点的坐标是．
29．抛物线y2＝8－4x的准线方程是________，圆心在该抛物线的顶点且与其准线相切的圆的方程是________．
30
y
2
x1
2
2
．双曲线－＝的两个焦点的坐标是．
31．直线l过抛物线y2＝a(x＋1)(a＞0)的焦点，并且与x轴垂直．若l被抛物线截得的线段长为4，则a＝________．
32．到点A(－1，0)和直线x＝3距离相等的点的轨迹方程是________．
33．已知圆x2＋y2－6x－7＝0与抛物线y2＝2px(p＞0)的准线相切，则p=________．
34．平移坐标轴将抛物线4x2－8x＋y＋5＝0化为标准方程x′2＝ay′(a≠0)，则新坐标系的原点在原坐标系中的坐标是________．
35．设圆x2＋y2－4x－5=0的弦AB的中点为P(3，1)，则直线AB的方程是________．
36
x
9
y
16
=1
22
．设圆过双曲线的一个顶点和一个焦点，圆心在此双
-
曲线上，则圆心到双曲线中心的距离是________．
37
x
a
+
y
b
=1(a b0)F
2
2
2
211
．设椭圆＞＞的右焦点为，右准线为，若过
l
F1且垂直于x轴的弦的长等于点F1到l1的距离，则椭圆的离心率是________．38．若平移坐标系，将曲线方程y2＋4x－4y－4=0化为标准方程，
则坐标原点应移到点′．
O()
39
x=sin
y=cos+1
()
．把参数方程
α
α
α是参数化为普通方程，结果是?
?
?
_______．
40．极坐标方程分别是ρ=cosθ和ρ=sinθ的两个圆的圆心距是________．
41sin(+
4=
2
．已知直线的极坐标方程为ρθπ
，则极点到该直
2
线的距离是_________．
42x =5cos y =3sin ()．二次曲线θ，
θθ是参数的左焦点坐标是
．???
43．极坐标方程5ρ2cos2θ＋ρ2－24＝0所表示的曲线焦点的极坐标为_________．
三、解答题
44ABCD |AB|2|CD |E A C ．如图，已知梯形中＝，点分有向线段所
成的比为λ，双曲线过、、三点，且以、为焦点．当≤λ
≤
时，求双曲线离心率的取值范围．
C D E A B e 23
34
45．已知直线l 过坐标原点，抛物线C 的顶点在原点，焦点在x 轴正半轴上，若点A(－1，0)和点B(0，8)关于l 的对称点都在C 上，求直线l 和抛物线C 的方程．
46．设椭圆的中心在原点O ，一个焦点为F(0，1)，长轴和短轴的长度之比为t ．
①求椭圆的方程；
②设经过原点且斜率为t 的直线与椭圆在y 轴右边部分的交点为Q ， 点在该直线上．且
＝，当变化时，求点的轨迹方程，并P t P |OP||OQ|
t t 12
-
说明轨迹是什么图形．
47．如右图，给出定点A(a ，0)(a ＞0)和直线l ：x ＝－1．B 是直线l 上的动点，∠BOA 的角平分线交AB 于C ．求点C 的轨迹方程，并讨论方程表示的曲线类型与a 值的关系．
48x m
+
y n
=1(m n 0)22
22
．设椭圆的方程为
，＞，过原点且倾角为θ和
π－θ＜θ＜
π的两条直线分别交椭圆于、和、四点．(0A C B D 2
①用θ、m 、n 表示四边形ABCD 的面积S ．
②若、为定值，当θ在，π上变化时，求的最大值μ．
③如果μ＞，求
的取值范围．
m n (0]S mn m n
4
49P(0)121．已知、是过点－
，的两条相互垂直的直线，且、l l l 2
l 2与双曲线y 2－x 2=1各有两个交点，分别为A 1、B 1和A 2、B 2． ①求l 1的斜率k 1的取值范围；
②若，求、的方程．|A B |=
5|A B |112212l l
50．已知A(－1，2)为抛物线C ∶y ＝2x 2上的点，直线l 1过点A ，且与抛物线C 相切，直线l 2∶x ＝a(a ≠1)交抛物线C 于点B ，交直线l 1于点D ．
①求直线l 1的方程；
②设△ABD 的面积为S 1，求|BD|及S 1的值；
③设由抛物线C 、直线l 1、l 2所围成的图形的面积为S 2．求证：S 1：S 2的值为与a 无关的常数．
51S A(2．如右图，已知双曲线的两条渐近线过坐标原点，且与以点，
0)为圆心、1为半径的圆相切，双曲线S 的一个顶点A ′与点A 关于直线y ＝x 对称．设直线l 过点A ，斜率为k ．
①求双曲线S 的方程；
②当k ＝1时，在双曲线S 的上支上求点B ，使其与直线l 的距离
为
；2
③当0≤k ＜1时，若双曲线S 的上支上有且只有一个点B 到直线l
的距离为
，求斜率值及相应的点的坐标．2k B
52．设圆满足：①截y 轴所得弦长为2；②被x 轴分成两段圆弧，其弧长的比为3∶1．在满足①、②的所有圆中，求圆心到直线l ：x －2y=0的距离最小的圆的
方程．
53．如右图，抛物线方程为y 2＝p(x ＋1)(p ＞0)，直线x ＋y ＝m 与x 轴的交点在抛物线的准线的右边．
①求证：直线与抛物线总有两个交点．
②设直线与抛物线的交点为Q 、R ，OQ ⊥OR ，求p 关于m 的函数f(m)的表达式；
③在②的条件下，若m 变化，使得原点O 到直线QR 的距离不大于
22
，求的取值范围．p
54．如右图，直线l 1和l 2相交于点M ，l 1⊥l 2，点N ∈l 1，以A 、B 为端点的曲线段C 上的任一点到l 2的距离与到点N 的距离相等．若△AMN 为锐角三角形，|AM|=17，|AN|=3，且|BN|＝6，建立适当的坐标系，求曲线段C 的方程．
55．设曲线C 的方程是y ＝x 3－x ，将C 沿x 轴，y 轴正向分别平行移动t 、s 单位长度后得曲线C 1．
①写出曲线C 1的方程；
②证明曲线与关于点，
对称；
③如果曲线与有且仅有一个公共点，证明－且≠．
C C A(
t 2)C C s =
t
t t 0113
s 2
4
56y =a y =
12
(x 2)A B 2
．①动直线与抛物线－相交于点，动点的坐
标是(0，3a)，求线段AB 的中点M 的轨迹C 的方程．
②过点D(2，0)的直线l 交上述轨迹C 于P 、Q 两点，E 点坐标是(1，0)，若△EPQ 的面积为4，求直线l 的倾斜角α的值．
参考答案提示
一、选择题
1．C 2．C 3．C 4．C 5．D 6．B 7．D 8．B 9．C 10．D 11．A 12．B 13．C 14．A 15．C 16．A 17．C 18．A 19．C 20．D 21．C 22．C 23．B 24．B 25．D
提示：．圆心到直线的距离＝
．圆半径为，所以19d =
|23|2
2-3
所截弦长为＝，弦长等于半径，所以劣弧所对圆心角为
π2233
22
-()2
20．本小题考查直线方程，以及直线与直线，直线与圆，直线与椭圆，双曲线的位置关系．由于P 满足|MP|＝|NP|，所以点P 在线段MN 的
垂直平分线上．直线的斜率为，的中点坐标为－
，，得l M N M N (0)12
32
l
的方程为－．曲线①为直线，其斜率为－，且与不重合，y =2(x +
32
)2l
所以曲线①与l 平行，故点P 不能在曲线①上．曲线③为椭圆，将l 方程
代入曲线③方程，化简，得方程＋＋＝，得＝－，得与曲9x 24x 160x 2
43
l
线③只有一组公共解－，＝－
，与曲线③有一公共点－
，x =y (43
13
43l
－，这就是点．综上，曲线①不满足条件，曲线③满足条件，四个13
)P
选项只有选项D 成立
21．本小题考查直线的斜率和倾斜角以及直线与圆的位置关系．直 线的倾斜角为°，旋转后倾斜角为°，直线方程为．
圆心，到直线的距离＝
2，等于圆的半径，所以直线与圆相切
y =
33
x 3060y =
3x (20)y =3x d |32|
2
24．本小题考查极坐标和圆的知识．解法一：将曲线的极坐标方程 化为直角坐标方程，ρ＝θ－θ，ρ＝ρθ－ρθ，得＋＋－＝，即＋－＝，是以－
，为圆心，为半径的圆．圆关于过原点与圆心的直线对称，
2sin 23cos 2sin 23cos
x y 23x 2y 0(x +
3)(y 1)4(31)2y =33
x 2
2
2
2
2
-
将＝－
化为极坐标方程，得直线θπ．解法二：令θ－
πθ′，ρ＝ρ′，则已知曲线在新坐标系的极坐标方程为ρ′＝θ′，其圆心在新坐标系的方程为π，，圆心的极角θ′π，在
y x =
56
=
4sin (
2
2)=
2
33
3
原坐标系θππ＝π．在原坐标系圆心为π，．显然该圆
关于过圆心的直线θπ
对称．
=3
2
6(6
2)=
6
+55
25．本小题考查参数方程化普通方程．A 与B 中x ＞0，C 中－1≤x ≤1，与xy=1中x 的范围x ∈R 且x ≠0不符，故选D ．
二、填空题
2635 x 35
27165
28(42)
29x =3(x 2)y 1 30(03)(03)
2
2
．＜＜
．
．，．，－＋＝．，
和，－
-
31．4 32．y 2=－8x ＋8 33．2 34．(1，－1) 35．x ＋y －4=0 36．16/3
37F (c 0)1．
．提示：本小题考查椭圆的几何性质．把右焦点－，12
的横坐标代入椭圆方程
，得－
，±．
所以过垂直轴的弦长为
．又右焦点到右准线的距离为
－．
x a
+y b
=1y =b (1c a
)=
b a
y =b
a F x 2
b a a
c
c =
b
c
22
22
22
22
42
2
12
2
2
由题意＝
，得＝＝
2b a
b
c
e c a
12
2
2
38．(2，2)．提示：本小题考查坐标轴的平移．将y 2＋4x －4y －4=0配方，得(y －2)2=－4(x －2)．令y ′＝y －2，x ′＝x －2，得y ′2＝－4x ′．故h=2，k=2，新原点的坐标为(2，2)．
39x (y 1)=1
40 41 42(40)
43(100)(10)2
2
．＋－．
．
．－，．，，，π．本小题考查极坐标直角坐标的互化与双
22
22
曲线的几何性质．5ρ2cos2θ＋ρ2－24＝0，变形为5ρ2(cos 2θ
－θ＋ρ
，化直角坐标为－＋＋＝，即
，其焦点为，，，．将焦点坐标化为极坐标，得，，，πsin )=245(x y )(x y )24x
4
y
6
)
=1(100)(100)(100)(10)
22
2222
2
2
-
- 三、解答题
44．本小题主要考查坐标法、定比分点坐标公式、双曲线的概念和性质，推理、运算能力和综合应用数学知识解决问题的能力．
如图，以AB 的垂直平分线为y 轴，直线AB 为x 轴，建立直角坐标系xOy ，则CD ⊥y 轴．因为双曲线经过点C 、D ，且以A ，B 为焦点，由双曲线的对称性知C 、D 关于y 轴对称．
依题意，记－，，，，，，其中A(c 0)C (
c 2
h)E (x y )c =
12|AB |00
为双曲线的半焦距，h 是梯形的高． 由定比分点坐标公式得
x =c c 21(2)c 2(1)
y =
h 100-++-++λ
λ
＝
λλ
，
λλ
．
设双曲线的方程为
，则离心率．由点、在双曲线上，将点、的坐标和代入双曲线方程得
x a
y b
=1e =
c a
C E C E e =
c a
22
22
-
e 4
h b
=1 e
4
(
21
)(1)
c b
=1h b
e
4
l
2
22
2
2
2
22
222
--+-+，①λλλλ．
②由①式得＝
－，③
将③式代入②式，整理得
e
4
(44)=1+2=13e 2
2
2
－λλ，故λ
－
．
+
由题设≤λ≤
得，
≤≤
．
解得
≤≤．
23
34
23
13e 2
34
7e 102
-
+
所以双曲线的离心率的取值范围为，．．直线方程为，抛物线方程为[7]45y =
1+5
x y =
45x
2
1025
46．①椭圆的方程为t 2(t 2－1)x 2＋(t 2－1)y 2＝t 2； ②点P 的轨迹方程为
x
=
2y(x 2x
=2y(x 22
2
2
2
2
2
＞
和－
＜，-
轨迹为抛物线在直线右侧的部分和抛物线－
x =
22
y x =
22
x =22
2
2
y x =在直线－
左侧的部分．22
47．本小题主要考查曲线与方程，直线和圆锥曲线等基础知识，以及求动点轨迹的基本技能和综合运用数学知识解决问题的能力．
依题意，记B(－1，b)(b ∈R)，则直线OA 和OB 的方程分别为y=0和y=－bx ．设点C(x ，y)，则有0≤x ＜a ，由OC 平分∠AOB ，知点C 到OA 、OB 距离相等．根据点到直线的距离公式得
|y||y bx|1b
2
＝
．①++
依题设，点C 在直线AB 上，故有
y =b 1a
(x a)x a 0 b (1a)y x a
－
－．
由－≠得＝－
．
②
++-
将②式代入①式得 y [1+
(1+a)y (x a)
=[y (1a)xy x a
2
22
2
2
-+-－
，
整理得 y 2[(1－a)x 2－2ax ＋(1＋a)y 2]＝0， 若y ≠0，则(1－a)x 2－2ax ＋(1＋a)y 2=0(0＜x ＜a)；
若y ＝0，则b=0，∠AOB ＝π，点C 的坐标为(0，0)，满足上式． 综上得点C 的轨迹方程为
(1－a)x 2－2ax ＋(1＋a)y 2=0(0≤x ＜a)．
(i)当a ＝1时，轨迹方程化为 y 2＝x(0≤x ＜1)．③ 此时，方程③表示抛物线弧段； (ii)当a ≠1时，轨迹方程为 (x a 1a (a 1a
+
y a
1a
=1(0x a)2
2222
-
---≤＜．④
所以，当0＜a ＜1时，方程④表示椭圆弧段；
当a ＞1时，方程④表示双曲线一支的弧段． 48．略
49k (31)(133
)(
33
1)(13)k =2k =
2111．①∈－，－∪－，－
∪，∪，．
②±．取时，
l l l l 12112y =2(x +
2)y =22(x +
2)k 2y =2(x +
2)y =
22(x +
2)
∶，∶－
；
取＝－时，∶－
，∶
50．①l 1 的方程为4x ＋y ＋2=0；②S 1＝|a ＋1|3；
③
＝
，即∶的值为与无关的常数
．①双曲线的方程为
；②点的坐标是，；
S S 32
S S a 51S y
2
x
2
=1B (22)12
122
2
-
③∵当0≤k ＜1时，双曲线S 的上支在直线l 的上方， ∴点B 在直线l 的上方．
设直线′与直线∶－
平行，两直线间的距离为
，且直l l y =k(x )22
线l ′在直线l 的上方．双曲线S 的上支上有且只有一个点B 到直线l 的
距离为
，等价于直线′与双曲线的上支有且只有一个公共点．2l S
设′的方程是＝＋，由上的点到′的距离为
可知：
＝．
l y kx m l A l |2k m|k 1
22
2++
解得±－．
直线′在直线的上方，∴－．
m =2(k
1k) m =
2(k
1k)2
2
++l l
由方程 y 2－x 2＝2及 y ＝kx ＋m ，消去y ，得 (k 2－1)x 2＋2mkx ＋m 2－2=0． ∵ k 2≠1
∴Δ－＋＝－，令△， =4(m 22k )8k(3k 2k +1) =0222
∵ 0≤k ＜1， 解得＝，．当＝时，，解得＝，，
∴点的坐标是，
． k 0k =
255
k 0m =2x 0y =
2 B (02)
当时，，解得，＝，
点的坐标是，k =255
m =105
x =22y 10B (2210)
52．设圆的圆心为P(a ，b)，半径为r ，则P 到x 轴、y 轴的距离分别为|b|，|a|．由题设知圆P 截x 轴所得劣弧对的圆心角为90°，知圆
P x 2r r
=2b 2
2
截轴所得的弦长为
，故．
又圆P 截y 轴所得的弦长为2，所以有r 2＝a 2＋1． 从而有2b 2－a 2＝1．
又点，到直线－的距离为，P(a b)x 2y =0d =
|a 2b|
5
-
所以 5d 2=|a －2b|2＝a 2＋4b 2－4ab ≥a 2＋4b 2－2(a 2＋b 2) ＝2b 2－a 2=1．
当且仅当a ＝b 时上式等号成立，此时5d 2＝1，从而d 取得最小值．
由此有，－．
解之，得，，或－－．由于知．
a =b
2b a =1a =1b =1a = 1
b =1r
=2b r =
22
2
2
2
????????
? 于是，所求圆的方程是
(x －1)2＋(y －1)2＝2，或(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝2
53p f(m)=
m
m 2
m 2m 0O x y m 22
|00m|
2
22
|m|12
．①略；②＝，＞－，≠；
③由于原点到直线＋＝的距离不大于，于是≤
，∴≤．
++-
由②知m ＞－2且m ≠0，故m ∈〔－1，0)∪(0，1〕． 由②知＝＋＋
－，f(m)=
m
m 2
(m 2)4m 2
22
++
当m ∈［－1，0)时，任取m 1、m 2，0＞m 1＞m 2≥－1，
则－－＋－－
．
f(m )f(m )=(m m )(
4m +2
4m +2)
=(m m )+[14
(m +2)(m +2)
1212121212-
由＞＞≥－，知＜＜，－
0m m 10(m +)(m +2)414
(m 2)(m 2)
1212212++
＜0，又由m 1－m 2＞0，知f(m 1)＜f(m 2)，因而f(m)为减函数，可见，当m ∈〔－1，0)时，P ∈(0，1〕．同样可证，当m ∈〔1，0)时，
f(m)p (0为增函数，从而∈，
〕13
54．如图，建立坐标系，以l 1为x 轴，MN 的垂直平分线为y 轴，点O 为坐标原点．
依题意知：曲线段C 是以点N 为焦点，以l 2为准线的抛物线的一段，其中A 、B 分别为C 的端点．
设曲线段C 的方程为
y 2=2px(p ＞0)(x A ≤x ≤x B ，y ＞0)，
其中x A 、x B 分别为A 、B 的横坐标，p ＝|MN|． 所以－
，，，．
由＝，＝得＋＋＝①
M (p 2
0)N (
p 20) |AM |17|AN |3(x p 2)2px 17 A 2
A (x p 2
)2px 9
x 4p
p 0p =4x =1 p =2x =2A 2
A A A A －
＋＝②
由①、②两式联立解得＝
．再将其代入①式并由＞解得，，或，
．
??
????
因为△是锐角三角形，所以＞，故舍去，，
AM N p
2x p =2
x =2A A ??
? ∴ p ＝4，x A ＝1．
由点在曲线段上，得＝－
＝，B C x |B N |p 2
4B
所以曲线段C 的方程为y 2＝8x(1≤x ≤4，y ＞0) 55．①曲线C 1的方程为y ＝(x －t)3－(x －t)＋s ．
②在曲线C 上任取一点B 1(x 1，y 1)，设B 2(x 2，y 2)是B 1关于点A 的对称点，则有
x x 2
t 2y y 2
s 212
12
++＝
，
＝
，
∴ x 1＝t －x 2，y 1=s －y 2．
代入曲线C 的方程，得x 2和y 2满足方程：
s －y 2＝(t －x 2)3－(t －x 2)，
即 y 2=(x 2－t)3－(x 2－t)＋s ． 可知点B 2(x 2，y 2)在曲线C 1上．
反过来，同样可以证明，曲线C 1上的点关于点A 的对称点在曲线C 上．因此，曲线C 与C 1关于点A 对称．
③因为曲线C 与C 1有且仅有一个公共点，所以方程组
y =x x y =(x t)(x t)+s
33
－，－－－???
?? 有且仅有一组解．
消去y ，整理得 3tx 2－3t 2x ＋(t 3－t －s)＝0．
这个关于x 的一元二次方程有且仅有一个根，所以t ≠0并且其根的判别式
Δ=9t 4－12t(t 3－t －s)＝0，
即≠，－－，∴－且≠ t 0 t(t 4t 4s)=0 s =t
t t 0
3
3???4
56．①轨迹C 的方程为y 2＝4(x －1)(如图)；
②设直线l 的方程为y=k(x －2)，因l 与抛物线有两个交点，故k ≠
0x y k
2，得＝
＋．
代入＝－得－－＝，
Δ＞恒成立，记这个方程的两实根为，，则
y 4(x 1)y 4k
y 40=
16k
+160y y 22
2
12
|PQ |11k |y y |
=1+
1k
(y y )4y y 4(k 1)
k
2
122122
122
2＝－＝
．
+
+-+ 又点到直线的距离2＝
，E d =
|k 102k|
k 1
|k|k 1
2
2
l --++
∴ △EPQ 的面积为
S =
12
|PQ |d =
2k 1
|k|
E PQ 2
△2．+
由＝得，
∴±
，∴απ或απ
2k 1
|k|
4k =
13
k =3
3
=
6
=
562
2
+
解析几何试题库完整
解析几何题库 一、选择题 1.已知圆C 与直线x －y =0 及x －y －4=0都相切，圆心在直线x +y =0上，则圆C 的方程为 A.2 2(1)(1)2x y ++-= B. 22(1)(1)2x y -++= C.2 2(1) (1)2x y -+-= D. 22(1)(1)2x y +++= 【解析】圆心在x ＋y ＝0上,排除C 、D,再结合图象,或者验证A 、B 中圆心到两直线的距离等于半径2即可. 【答案】B 2.直线 1y x =+与圆221x y +=的位置关系为（ ） A ．相切 B ．相交但直线不过圆心 C ．直线过圆心 D ．相离 【解析】圆心(0,0)为到直线1y x =+，即10x y -+= 的距离2d = = ，而012 < <，选B 。 【答案】B 3.圆心在y 轴上，半径为1，且过点（1，2）的圆的方程为（ ） A ．2 2(2)1x y +-= B ．2 2(2)1x y ++= C ．2 2(1) (3)1x y -+-= D ．2 2(3)1x y +-= 解法1（直接法）：设圆心坐标为(0,)b 1=，解得2b =，故圆的方程为22(2)1x y +-=。 解法2（数形结合法）：由作图根据点(1,2)到圆心的距离为1易知圆心为（0，2），故圆的方程为2 2(2)1x y +-= 解法3（验证法）：将点（1，2）代入四个选择支，排除B ，D ，又由于圆心在y 轴上，排除C 。 【答案】A 4.点P （4，－2）与圆2 24x y +=上任一点连续的中点轨迹方程是 （ ） A.2 2(2)(1)1x y -++= B.2 2(2) (1)4x y -++= C.2 2(4) (2)4x y ++-= D.2 2(2) (1)1x y ++-= 【解析】设圆上任一点为Q （s ，t ），PQ 的中点为A （x ，y ），解得：? ??+=-=224 2y t x s ，代入圆方程，得（2x －4）2 ＋（2y ＋2）2 ＝4，整理，得：2 2(2) (1)1x y -++= 【答案】A 5.已知直线12:(3)(4)10,:2(3)230,l k x k y l k x y -+-+=--+=与平行，则k 得值是（ ） A. 1或3 B.1或5 C.3或5 D.1或2
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解析几何第四版吕林根期末复习课后习题(重点)详解
第一章 矢量与坐标 §1.3 数量乘矢量 4、 设→→→+=b a AB 5，→→→+-=b a BC 82，)(3→ →→-=b a CD ，证明：A 、B 、D 三点共线． 证明 ∵→ → → → → → → → → → =+=-++-=+=AB b a b a b a CD BC BD 5)(382 ∴→ AB 与→ BD 共线，又∵B 为公共点，从而A 、B 、D 三点共线． 6、 设L 、M 、N 分别是ΔABC 的三边BC 、CA 、AB 的中点，证明：三中线矢量AL , BM , 可 以构成一个三角形. 证明： )(21 AC AB AL += Θ )(21 += )(2 1 CB CA CN += 0)(2 1 =+++++=++∴ 7.、设L 、M 、N 是△ABC 的三边的中点，O 是任意一点，证明 ++=OL +OM +ON . [证明] +=Θ MB OM OB += NC ON OC += )(OM +++++=++∴ =)(CN BM AL ON OM OL ++-++ 由上题结论知：0=++ ON OM OL OC OB OA ++=++∴ 从而三中线矢量CN BM AL ,,构成一个三角形。 8.、如图1-5，设M 是平行四边形ABCD 的中心，O 是任意一点，证明 OA +OB ++OD ＝4OM . [证明]：因为OM ＝ 21 (OA +), OM ＝2 1 (OB +), 所以 2OM ＝2 1 (OA +OB +OC +) 所以 OA +OB ++OD ＝4OM . 10、 用矢量法证明梯形两腰中点连续平行于上、下两底边且等于它们长度和的一半． 图1-5
《平面解析几何》复习试卷及答案解析
2021年新高考数学总复习第九章《平面解析几何》 复习试卷及答案解析 一、选择题 1．已知椭圆C ：16x 2＋4y 2＝1，则下列结论正确的是( ) A ．长轴长为12 B ．焦距为34 C ．短轴长为14 D ．离心率为 32 答案 D 解析 由椭圆方程16x 2＋4y 2＝1化为标准方程可得 x 2116＋y 214 ＝1，所以a ＝12，b ＝14，c ＝34 ， 长轴2a ＝1，焦距2c ＝32，短轴2b ＝12， 离心率e ＝c a ＝32 .故选D. 2．双曲线x 23－y 2 9 ＝1的渐近线方程是( ) A ．y ＝±3x B ．y ＝±13x C ．y ＝±3x D ．y ＝±33 x 答案 C 解析 因为x 23－y 2 9 ＝1， 所以a ＝3，b ＝3，渐近线方程为y ＝±b a x ， 即为y ＝±3x ，故选C. 3．已知双曲线my 2－x 2＝1(m ∈R )与抛物线x 2＝8y 有相同的焦点，则该双曲线的渐近线方程为( ) A ．y ＝±3x B ．y ＝±3x C ．y ＝±13 x D ．y ＝±33x 答案 A
解析 ∵抛物线x 2＝8y 的焦点为(0,2)， ∴双曲线的一个焦点为(0,2)，∴1m ＋1＝4，∴m ＝13 ， ∴双曲线的渐近线方程为y ＝±3x ，故选A. 4．(2019·河北衡水中学模拟)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)和直线l ：x 4＋y 3 ＝1，若过C 的左焦点和下顶点的直线与l 平行，则椭圆C 的离心率为( ) A.45 B.35 C.34 D.15 答案 A 解析 直线l 的斜率为－34，过C 的左焦点和下顶点的直线与l 平行，所以b c ＝34 ， 又b 2＋c 2＝a 2?????34c 2＋c 2＝a 2?2516c 2＝a 2， 所以e ＝c a ＝45 ，故选A. 5．(2019·洛阳、许昌质检)若双曲线x 2－y 2 b 2＝1(b >0)的一条渐近线与圆x 2＋(y －2)2＝1至多有一个交点，则双曲线离心率的取值范围是( ) A ．(1,2] B ．[2，＋∞) C ．(1，3] D ．[3，＋∞) 答案 A 解析 双曲线x 2－y 2 b 2＝1(b >0)的一条渐近线方程是bx －y ＝0，由题意圆x 2＋(y －2)2＝1的圆心(0,2)到bx －y ＝0的距离不小于1，即 2b 2＋1≥1，则b 2≤3，那么离心率e ∈(1,2]，故选A. 6．(2019·河北武邑中学调研)已知直线l ：y ＝k (x ＋2)(k >0)与抛物线C ：y 2＝8x 相交于A ，B 两点，F 为C 的焦点，若|F A |＝2|FB |，则k 等于( ) A.13 B.23 C.23 D.223 答案 D 解析 由????? y ＝k (x ＋2)，y 2＝8x ，消去y 得 k 2x 2＋(4k 2－8)x ＋4k 2＝0， Δ＝(4k 2－8)2－16k 4>0，又k >0，解得0 数学《平面解析几何》复习知识要点 一、选择题 1．已知,A B 两点均在焦点为F 的抛物线()2 20y px p =>上，若4AF BF +=，线段 AB 的中点到直线2 p x = 的距离为1，则p 的值为 （ ） A ．1 B ．1或3 C ．2 D ．2或6 【答案】B 【解析】 4AF BF +=1212442422 p p x x x x p x p ?+ ++=?+=-?=-中 因为线段AB 的中点到直线2 p x = 的距离为1，所以121132 p x p p - =∴-=?=中或 ，选B. 点睛：1.凡涉及抛物线上的点到焦点距离时，一般运用定义转化为到准线距离处理． 2．若 00(,)P x y 为抛物线22(0)y px p =>上一点，由定义易得02 p PF x =+ ；若过焦点的弦AB AB 的端点坐标为1122(,),(,)A x y B x y ，则弦长为1212,AB x x p x x =+++可由根与系 数的关系整体求出；若遇到其他标准方程，则焦半径或焦点弦长公式可由数形结合的方法类似地得到． 2．已知双曲线2 2x a －22y b ＝1(a >0，b >0)的左顶点与抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点的距离为4， 且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为(－2，－1)，则双曲线的焦距为( ) A ． B ． C ． D ．【答案】A 【解析】 【分析】 【详解】 解：根据题意，双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为（-2，-1）， 即点（-2，-1）在抛物线的准线上，又由抛物线y 2＝2px 的准线方程为2 p x =-，则p=4， 则抛物线的焦点为（2，0）； 则双曲线的左顶点为（-2，0），即a=2； 点（-2，-1）在双曲线的渐近线上，则其渐近线方程为1 2 y x =±， 由双曲线的性质，可得b=1； 专业资料 1. 设抛物线y2 2 px( p 0) 的焦点为F，点 A(0, 2) .若线段FA的中点B在抛物线上， 则 B 到该抛物线准线的距离为_____________ 。（3 分） 2 . 已知m＞1，直线l : x my m20 ，椭圆 C : x 2 y21， F1,F2分别为椭圆C的左、 2m2 右焦点 . （Ⅰ）当直线l过右焦点 F2时，求直线l的方程；（Ⅱ）设直线 l 与椭圆 C 交于A, B两点，V AF1F2，V BF1F2的重心分别为G, H .若原点O在以线段GH为直径的圆内，求实数m 的取值范围. （6 分） 3 已知以原点 O为中心，F5,0 为右焦点的双曲线 C 的离心率e 5 。2 （I）求双曲线C的标准方程及其渐近线方程；（I I ）如题（20）图，已知过点M x1, y1 的直线 l1 : x1 x 4 y1 y 4 与过点 N x2 , y2（其中 x2x ）的直 线 l2 : x2 x 4 y2 y 4 的交点E在 双曲线 C 上，直线MN与两条渐近 线分别交与G、H两点，求OGH 的面积。（8 分） 4. 如图，已知椭圆x2y21(a＞ b＞0) 的离心率为2 ，以该椭圆上的点和椭圆的左、右 a2b22 焦点 F1 , F2为顶点的三角形的周长为4( 2 1) .一等轴双曲线的顶点是该椭圆的焦点，设 P 为该双曲线上异于顶点的任一点，直线PF1和 PF2与椭圆的交点分别为A、B和C、D. （Ⅰ）求椭圆和双曲线的标准方程；（Ⅱ）设直线PF1、 PF2的斜率分别为 k1、 k2，证明 k1·k2 1 ；（Ⅲ）是否存在常数，使得 A B C D A·B C恒D成立？若存在，求的值；若不存在，请说明理由. （ 7 分） 5. 在平面直角坐标系 x2y2 xoy 中，如图，已知椭圆1 1. 设抛物线22(0)y px p =>的焦点为F ，点(0,2)A .若线段FA 的中点B 在抛物线上， 则B 到该抛物线准线的距离为_____________。（3分） 2 .已知m ＞1，直线2:02m l x my --=，椭圆2 22:1x C y m +=，1,2F F 分别为椭圆C 的左、 右焦点. （Ⅰ）当直线l 过右焦点2F 时，求直线l 的方程；（Ⅱ）设直线l 与椭圆C 交于,A B 两点，12AF F V ，12BF F V 的重心分别为 ,G H .若原点O 在以线段GH 为直径的圆内，求实数m 的取值范 围.（6分） 3已知以原点O 为中心，) F 为右焦点的双曲线C 的离心率2 e = 。 （I ） 求双曲线C 的标准方程及其渐近线方程； （II ） 如题（20）图，已知过点()11,M x y 的直线111:44l x x y y +=与过点 ()22,N x y （其中2x x ≠）的直 线222:44l x x y y +=的交点E 在双曲线C 上，直线MN 与两条渐近线分别交与G 、H 两点，求OGH ?的面积。（8分） 4.如图，已知椭圆 22 22 1(0)x y a b a b +=＞＞的离心率为2，以该椭圆上的点和椭圆的左、右 焦点12,F F 为顶点的三角形的周长为1).一等轴双曲线的顶点是该椭圆的焦点，设P 为该双曲线上异于顶点的任一点，直线1PF 和2PF 与椭圆的交点分别为B A 、和C D 、. （Ⅰ）求椭圆和双曲线的标准方程；（Ⅱ）设直线1PF 、 2PF 的斜率分别为1k 、2k ，证明12·1k k =；（Ⅲ）是否存在常数λ，使得 ·A B C D A B C D λ +=恒成立？若存在，求λ的值；若不存在，请说明理由.（7分） 5.在平面直角坐标系xoy 中，如图，已知椭圆15 922=+y x高考数学压轴专题最新备战高考《平面解析几何》真题汇编及答案解析
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