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北师大初中数学中考总复习：圆的有关概念、性质与圆有关的位置关系--知识讲解(基础).doc

中考总复习：圆的有关概念、性质与圆有关的位置关系

—知识讲解（基础）

【考纲要求】

1. 圆的基本性质和位置关系是中考考查的重点，但圆中复杂证明及两圆位置关系中证明会有下降趋势，不会有太复杂的大题出现；

2.中考试题中将更侧重于具体问题中考查圆的定义及点与圆的位置关系，对应用、创新、开放探究型题目，会根据当前的政治形势、新闻背景和实际生活去命题，进一步体现数学来源于生活，又应用于生活．

【知识网络】

【考点梳理】

考点一、圆的有关概念及性质

1．圆的有关概念

圆、圆心、半径、等圆；

弦、直径、弦心距、弧、半圆、优弧、劣弧、等弧；

三角形的外接圆、三角形的内切圆、三角形的外心、三角形的内心、圆心角、圆周角．要点诠释：等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧．

2．圆的对称性

圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴，圆有无数条对称轴；圆是以圆心为对称中心的中心对称图形；

圆具有旋转不变性．

3．圆的确定

不在同一直线上的三个点确定一个圆．

要点诠释：圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小．

4．垂直于弦的直径

垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．

推论平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．

要点诠释：在图中(1)直径CD ，(2)CD ⊥AB ，(3)AM ＝MB ，(4)C C A B =，(5)AD BD =．若上述5个

条件有2个成立，则另外3个也成立．因此，垂径定理也称“五二三定理”．即知二推三．注意：(1)(3)作条件时，应限制AB不能为直径．

5．圆心角、弧、弦之间的关系

定理在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．

推论在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量也相等．

6．圆周角

圆周角定理在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．

推论1 在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等．

推论2 半圆(或直径)所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径．

要点诠释：圆周角性质的前提是在同圆或等圆中．

考点二、与圆有关的位置关系

1．点和圆的位置关系

设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP＝d，则有：

点P在圆外?d＞r；

点P在圆上?d＝r；

点P在圆内?d＜r．

要点诠释：圆的确定：

①过一点的圆有无数个，如图所示．

②过两点A、B的圆有无数个，如图所示．

③经过在同一直线上的三点不能作圆．

④不在同一直线上的三点确定一个圆．如图所示．

2．直线和圆的位置关系

（1）切线的判定

切线的判定定理经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．

(会过圆上一点画圆的切线)

（2）切线的性质

切线的性质定理圆的切线垂直于过切点的半径．

（3）切线长和切线长定理

切线长经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长．切线长定理从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角．

要点诠释：直线l是⊙O的切线，必须符合两个条件：①直线l经过⊙O上的一点A；②OA⊥l．

3．圆和圆的位置关系

(1)基本概念

两圆相离、相切、外离、外切、相交、内切、内含的定义．

(2)请看下表：

要点诠释：

①相切包括内切和外切，相离包括外离和内含．其中相切和相交是重点．

②同心圆是内含的特殊情况．

③圆与圆的位置关系可以从两个圆的相对运动来理解．

④“R-r ”时，要特别注意，R ＞r ．

【典型例题】

类型一、圆的性质及垂径定理的应用

1．已知：如图所示，在⊙O 中，弦AB 的中点为C ，过点C 的半径为OD ．

(1)若AB ＝OC ＝1，求CD 的长；

(2)若半径OD ＝R ，∠AOB ＝120°，求CD 的长.

【思路点拨】

如图所示，一般的，若∠AOB ＝2n °，OD ⊥AB 于C ，OA ＝R ，OC ＝h ，

则AB ＝2R ·sin n °＝2n ·tan n °＝CD ＝R －h ；AD 的长180n R π=

．【答案与解析】

解：∵半径OD 经过弦AB 的中点C ，

∴半径OD ⊥AB ．

(1)∵AB ＝AC ＝BC ．

∵OC ＝1，由勾股定理得OA ＝2．

∴CD ＝OD －OC ＝OA －OC ＝1，

即CD ＝1.

(2)∵OD ⊥AB ，OA ＝OB ，

∴∠AOD ＝∠BOD ．

∴∠AOB ＝120°，∴∠AOC ＝60°．

∵OC ＝OA ·cos ∠AOC ＝OA ·cos60°＝

12R ， ∴1122

CD OD OC R R R =-=-=．【总结升华】

圆的半径、弦长的一半、弦心距三条线段组成一个直角三角形，其中一个锐角为弦所对圆心角的一半，可充分利用它们的关系解决有关垂径定理的计算问题．

举一反三：

【变式】在足球比赛场上，甲、乙两名队员互相配合向对方球门进攻，当甲带球冲到A 点时，乙已跟随冲到B 点(如图所示)，此时甲是自己直接射门好还是迅速将球回传给乙，让乙射门好呢?(不考虑其他因素)

【答案】

解：过M、N、B三点作圆，显然A点在圆外，

设MA交圆于C，则∠MAN＜∠MCN．

而∠MCN＝∠MBN，∴∠MAN＜∠MBN．

因此在B点射门较好．

即甲应迅速将球回传给乙，让乙射门．

2．（2015?大庆模拟）已知AB是⊙O的直径，C是圆周上的动点，P是弧AC的中点．

（1）如图1，求证：OP∥BC；

（2）如图2，PC交AB于D，当△ODC是等腰三角形时，求∠A的度数．

【思路点拨】

（1）连结AC，延长PO交AC于H，如图1，由P是弧AC的中点，根据垂径定理得PH⊥AC，再根据圆周角定理，由AB是⊙O的直径得∠ACB=90°，然后根据OP∥BC；

（2）如图2，根据圆心角、弧、弦的关系，以及三角形内角和等推论证来求得∠A的度数.

【答案与解析】

（1）证明：连结AC，延长PO交AC于H，如图1，

∵P是弧AB的中点，

∴PH⊥AC，

∵AB是⊙O的直径，

∴∠ACB=90°，

∴BC⊥AC，

∴OP∥BC；

（2）解：如图2，

∵P是弧AC的中点，

∴PA=PC，

∴∠PAC=∠PCA，

∵OA=OC，

∴∠OAC=∠OCA，

∴∠PAO=∠PCO，

当DO=DC，设∠DCO=x，则∠DOC=x，∠PAO=x，

∴∠OPC=∠OCP=x，∠PDO=2x，

∵∠OPA=∠PAO=x，

∴∠POD=2x，

在△POD中，x+2x+2x=180°，解得x=36°，

即∠PAO=36°，

当CO=CD，设∠DCO=x，则∠OPC=x，∠PAO=x，

∴∠POD=2x，

∴∠ODC=∠POD+∠OPC=3x，

∵CD=CO，

∴∠DOC=∠ODC=3x，

在△POC中，x+x+5x=180°，解得x=（）°，

即∠PAO=（）°．

综上所述，∠A的度数为36°或（）°．

【总结升华】本题考查了圆周角定理及其推论同时考查了等腰三角形的性质、垂径定理和三角形内角和定理．

举一反三：

【变式】（2015?温州模拟）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=5，CB=12，AD是△ABC的角平分线，过A、C、D三点的圆与斜边AB交于点E，连接DE．

（1）求BE的长；

（2）求△ACD外接圆的半径．

【答案】

解：（1）∵∠ACB=90°，且∠ACB为圆O的圆周角（已知），

∴AD为圆O的直径（90°的圆周角所对的弦为圆的直径），

∴∠AED=90°（直径所对的圆周角为直角），

又AD是△ABC的角平分线（已知），

∴∠CAD=∠EAD（角平分线定义），

∴CD=DE（在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弦相等），

在Rt△ACD和Rt△AED中，

，

∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL），

∴AC=AE（全等三角形的对应边相等）；

∵△ABC为直角三角形，且AC=5，CB=12，

∴根据勾股定理得：AB==13，

∴BE=13﹣AC=13﹣5=8；

（2）由（1）得到∠AED=90°，则有∠BED=90°，

设CD=DE=x，则DB=BC﹣CD=12﹣x，EB=AB﹣AE=AB﹣AC=13﹣5=8，

在Rt△BED中，根据勾股定理得：BD2=BE2+ED2，

即（12﹣x）2=x2+82，

解得：x=，

∴CD=，又AC=5，△ACD为直角三角形，

∴根据勾股定理得：AD==，

根据AD是△ACD外接圆直径，

∴△ACD外接圆的半径为：×=．

类型二、圆的切线判定与性质的应用

3．如图所示，AB＝AC，O是BC的中点，⊙O与AB相切于点D，求证：AC与⊙O相切．

【思路点拨】AC与⊙O有无公共点在已知条件中没有说明，因此只能过点O向AC作垂线段OE，长等于⊙O的半径，则垂足E必在⊙O上，从而AC与⊙O相切．

【答案与解析】

证明：连接OD，作OE⊥AC，垂足为E，连结OA．

∵AB与⊙O相切于点D，∴OD⊥AB．

∵AB＝AC，OB＝OC，∴∠1＝∠2，

∴OE＝OD．

∵OD为⊙O半径，

∴AC与⊙O相切．

【总结升华】如果已知直线经过圆上一点，那么连半径，证垂直；如果已知直线与圆是否有公共点在条件中并没有给出，那么作垂直，证半径．

举一反三：

【变式】如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝a，AC＝b，AB＝c．求△ABC的内切圆的半径．

【答案】

解：设△ABC 的内切圆与三边的切点分别为D 、E 、F ，根据切线长定理可得：

AE ＝AF ，BF ＝BD ，CD ＝CE ，

而AE+CE ＝b ，CD+BD ＝a ，AF+BF ＝c ，

可求2

a b c CE +-=．连接OE 、OD ，易证OE ＝CE ．即直角三角形的内切圆半径2

a b c r +-=．

4．如图所示，已知：△ABC 内接于⊙O ，点D 在OC 的延长线上，1sin 2

B =

，∠D ＝30°． (1)求证：AD 是⊙O 的切线；

(2)若AC ＝6，求AD 的长．

【思路点拨】（1）连接OA ，根据圆周角定理求出∠O 的度数，根据三角形的内角和定理求出∠OAD ，根据切线

的判定推出即可；（2）得出等边三角形AOC ，求出OA ，根据勾股定理求出AD 的长即可．

【答案与解析】

(1)证明：连接OA ，

∵1sin 2

B =，∴∠B ＝30°． ∵∠AO

C ＝2∠B ，∴∠AOC ＝60°．

∵∠D ＝30°，

∴∠OAD ＝180°－∠D －∠AOD ＝90°．

∴AD 是⊙O 的切线．

(2)解：∵OA＝OC，∠AOC＝60°，

∴△AOC是等边三角形，∴OA＝AC＝6．

∵∠OAD＝90°，∠D＝30°，

∴AD AO＝

【总结升华】

证明直线是圆的切线的方法：①有半径，证垂直；②有垂直，证半径．

举一反三：

【变式】如图所示，半径OA⊥OB，P是OB延长线上一点，PA交⊙O于D，过D作⊙O的切线交PO于C 点，求证：PC＝CD．

【答案】

证明：连接OD．

∵CE切⊙O于D，∴OD⊥CE．

∴∠2+∠3＝90°．

∵OA⊥OB，∴∠P+∠A＝90°．

∵OD＝OA，∴∠3＝∠A．．∴∠P＝∠2．

又∵∠1＝∠2，∴∠P＝∠1．

∴PC＝CD．

类型三、切线的性质与等腰三角形、勾股定理综合运用

5．已知AB是⊙O的直径，点P是AB延长线上的一个动点，过P作⊙O的切线，切点为C，∠APC 的平分线交AC于点D，求∠CDP的度数.

【思路点拨】

连接OC，根据题意，可知OC⊥PC，∠CPD+∠DPA+∠A+∠ACO=90°，可推出∠DPA+∠A=45°，

即∠CDP=45°．

【答案与解析】

解：连接OC，

∵OC=OA，，PD平分∠APC，

∴∠CPD=∠DPA，∠A=∠ACO，

∵PC为⊙O的切线，

∴OC⊥PC，

∵∠CPD+∠DPA+∠A+∠ACO=90°，

∴∠DPA+∠A=45°，

即∠CDP=45°．

【总结升华】

本题主要考查切线的性质、等边三角形的性质、角平分线的性质、外角的性质，解题的关键在于做好辅助线构建直角三角形，求证∠CPD+∠DPA+∠A+∠ACO=90°，即可求出∠CDP=45°．

6．如图所示，AB是⊙O的直径，AF是⊙O的弦，AE平分∠BAF，交⊙O于点E，过点E作直线ED⊥AF于点D，交AB的延长线于点C．

(1)求证：CD是⊙O的切线；

(2)若DE＝4，sinC＝3

，求AE的长．

【思路点拨】

构造半径、半弦、弦心距的直角三角形．【答案与解析】

解：(1)证明：连接OE，BF，交于点G，则BF⊥AF，BF∥CD．

∵OA＝OE，∴∠OAE＝∠OEA．

∵∠OAE＝∠FAE，∴∠OEA＝∠FAE．

∴OE∥AF，

∵AF⊥DE，∴OE⊥CD．

∴CD为⊙O的切线．

(2)解：∵ BF∥DE，OE∥AF，∠D＝90°，

∴四边形DEGF为矩形．

∴BF＝2GF＝2DE＝8．

∵BF∥CD，∴∠C＝∠ABF．

可求得OA＝OB＝5，OG＝3．

∴DF＝EG＝2，AF＝AB·sinC＝6．

∴AD＝8，AE=．【总结升华】

(1)通过挖掘图形的性质，将分散的条件sinC＝3

，DE＝4，集中到一个直角三角形中，使问题

最终得到解决；

(2)本题第(2)问还可以适当改变后进行变式训练，如改为：若DF＝2，sinC＝3

，求AE的长；

(3)第(2)问还可以过O作OM⊥AF于M后得OM＝DE＝4，sin∠AOM＝sinC＝3

加以解决.

北师大版初中数学教材分析

北师大版初中数学教材分析七年级上册教材分析一、教材总体思路分析 1.本学期学习的主要内容有:有理数及其运算、字母表示数、一元一次方程;丰富的图形世界、平面图形及其位置关系;生活中的数据、可能性。在数与代数领域中,通过数系的拓展形成“有理数”的概念。由于负数的引入,自然地将有理数的“运算”及“运算律”提升为关注和学习的对象。字母表示数是“代数”的重要特征,方程是数学的核心概念之一。通过学习,使学生意识到对数学问题的讨论是在有理数范围内进行的,为后面无理数的发现及实数系统的建立埋下伏笔。初中阶段的几何知识学习以平面几何为主。在《丰富的图形世界》中,从对三维空间实物的观察开始,充分利用学生丰富的背景经验,在实物、几何体、直观图与平面图形的相互表示与转换中提高对几何图形的知觉水平,发展空间观念。通过观察、操作、思考、交流积累数学经验,感受到学习平面图形的必要性和简单图形的基础性,体会基本图形是刻画现实世界的重要工具,学习用数学眼光观察世界,现实生活可以带来无穷无尽的直觉源泉。在《平面图形及其位置关系》中,突出对几何基本概念的理解及突出合情推理的作用。《生活中的数据》通过实际问题的讨论,使学生体会数据的重要作用,理解数据的处理及其所表达的信息,发展数感和统计观念。在《可能性》一章中,初步认识不确定现象的特点,通过试验体会随机现象中隐含着规律性,初步形成随机观念。 2.教材设计与内容的组织有如下考虑。 (1借助生活中的实例,不难体会到引入负数的必要性和形成有理数概念的合理性。数轴的建立给出了有理数的一种直观解释和表示形式,可以作为工具配合现实情境加深对有理数运算意义的理解。绝对值概念将有理数与非负数之间建立起对应关系,便于对正负数运算的规则作出清晰的表述,它的几何意义是有理数对应的点到原点的距离。有理数的运算,特别是乘、除法的规定,不属于因果性的解释,而是希望“正数的性质负数也有,……这是在因袭数性”(付种孙,是一种合乎理性的选择。教材中作了细致的处理,反映了认识的连续性和继承性。运算的训练还采用了游戏的方式(24点,并注意在后继学习中不断巩固与强化。 (2在《丰富的图形世界中》中,学习几何对象不是从几何学的逻辑起点开始,而是顺应数学历史的进程,经历从具体到抽象,再由抽象上升到具体的过程。从现实世界实物的考察开始,舍弃次要因素,分解出简单几何体或基本图形,在分解与整合的过程中发展几何直觉和空间观念。不是提前学习立体几何,而是通过活动学习“数学化”。在第四章中,自然地陆续引入几何概念,通过操作发现简单平面图形的位置关系及基本性质,并采用符号语言进行表示。教材提供了大量动手的机会,再现由直观动作思维到直观表象思维的过程,为进一步向抽象(逻辑思维阶段的发展作好必要的准备。 (3统计学习的最终目标是发展学生的统计观念,而统计观念的形成不是自发的,也不是说教能解决的,需要让学生亲身参与到这样的活动过程中,在活动中感受到解决问题需要收集数据,需要表示数据、分析数据,并利用数据分析的结果做出恰当的

初中数学圆的全部详细公式

1过两点有且只有一条直线 2 两点之间线段最短 3 同角或等角的补角相等 4 同角或等角的余角相等 5 过一点有且只有一条直线和已知直线垂直 6 直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短 7 平行公理经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行 8 如果两条直线都和第三条直线平行，这两条直线也互相平行 9 同位角相等，两直线平行 10 内错角相等，两直线平行 11 同旁内角互补，两直线平行 12两直线平行，同位角相等 13 两直线平行，内错角相等 14 两直线平行，同旁内角互补 15 定理三角形两边的和大于第三边 16 推论三角形两边的差小于第三边 17 三角形内角和定理三角形三个内角的和等于180° 18 推论1 直角三角形的两个锐角互余 19 推论2 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和 20 推论3 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角 21 全等三角形的对应边、对应角相等 22边角边公理有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等 23 角边角公理有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等 24 推论有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等 25 边边边公理有三边对应相等的两个三角形全等 26 斜边、直角边公理有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等 27 定理1 在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等 28 定理2 到一个角的两边的距离相同的点，在这个角的平分线上 29 角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合

30 等腰三角形的性质定理等腰三角形的两个底角相等 31 推论1 等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边 32 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和高互相重合 33 推论3 等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60° 34 等腰三角形的判定定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（等角对等边） 35 推论1 三个角都相等的三角形是等边三角形 36 推论2 有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形 37 在直角三角形中，如果一个锐角等于30°那么它所对的直角边等于斜边的一半 38 直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半 39 定理线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等 40 逆定理和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上 41 线段的垂直平分线可看作和线段两端点距离相等的所有点的集合 42 定理1 关于某条直线对称的两个图形是全等形 43 定理2 如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是对应点连线的垂直平分线 44定理3 两个图形关于某直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么交点在对称轴上 45逆定理如果两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称 46勾股定理直角三角形两直角边a、b的平方和、等于斜边c的平方，即a+b=c 47勾股定理的逆定理如果三角形的三边长a、b、c有关系a+b=c，那么这个三角形是直角三角形 48定理四边形的内角和等于360° 49四边形的外角和等于360° 50多边形内角和定理n边形的内角的和等于（n-2）×180° 51推论任意多边的外角和等于360° 52平行四边形性质定理1 平行四边形的对角相等 53平行四边形性质定理2 平行四边形的对边相等 54推论夹在两条平行线间的平行线段相等

初中数学：不等式的基本性质

不等式的基本性质教学目的掌握不等式的基本性质，会用不等式的基本性质进行不等式的变形。教学过程师：我们已学过等式，不等式，现在我们来看两组式子（教师出示小黑板中的两组式子）请同学们观察，哪些是等式？哪些是不等式？第一组：1+2=3; a+b=b+a; S = ab; 4+x = 7. 第二组：-7 < -5; 3+4 > 1+4; 2x w 6, a+2 > 0; 3 丰 4. 生：第一组都是等式，第二组都是不等式。师：那么，什么叫做等式？什么叫做不等式？生：表示相等关系的式子叫做等式；表示不等式的式子叫做不等式。师：在数学炽，我们用等号“=”来表示相等关系，用不等式号“〈”、“〉”或“工” 表示不等关系，其中“〉”和“v”表示大小关系。表示大小关系的不等式是我们中学教学所要研究的。前面我们学过了等式，同学们还记得等式的性质吗？生：等式有这样的性质：等式两边都加上，或都减去，或都乘以，或都除以（除数不为零）同一个数，所得到的仍是等式。师：很好！当我们开始研究不等式的时候，自然会联想到，是否有与等式相类似的性质，也就是说，如果在不等式的两边都加上，或都减去，或都乘以，或都除经（除数不为零）同一个数，结果将会如何呢？让我们先做一些试验练习。练习 1 （回答）用小于号“ <”或大于号“ >”填空。（1）7 ___ 4; （2）- 2 ___ 6; （3）- 3 _____ -2；（4）- 4 ____ -6 练习2（口答）分别从练习 1 中四个不等式出发，进行下面的运算。 1）两边都加上（或都减去）5，结果怎样？不等号的方向改变了吗？（2）两边都乘以（或都除以）5，结果怎样？不等号的方向改变了吗？

北师大版初中数学知识点总结

初中数学知识点总结第一章实数考点一、实数的概念及分类 1、实数的分类正有理数有理数零有限小数和无限循环小数实数负有理数正无理数无理数无限不循环小数负无理数 2、无理数在理解无理数时，要抓住“无限不循环”这一时之，归纳起来有四类：（1）开方开不尽的数，如 32,7等；（2）有特定意义的数，如圆周率π，或化简后含有π的数，如3 π +8等； …等；（4）某些三角函数，如sin60o 等考点二、实数的倒数、相反数和绝对值 1、相反数：实数与它的相反数时一对数（只有符号不同的两个数叫做互为相反数，零的相反数是零），从数轴上看，互为相反数的两个数所对应的点关于原点对称，如果a 与b 互为相反数，则有a+b=0，a=—b ，反之亦成立。 2、绝对值：一个数的绝对值就是表示这个数的点与原点的距离，|a|≥0。零的绝对值时它本身，也可看成它的相反数，若|a|=a ，则a ≥0；若|a|=-a ，则a ≤0。正数大于零，负数小于零，正数大于一切负数，两个负数，绝对值大的反而小。 3、倒数：如果a 与b 互为倒数，则有ab=1，反之亦成立。倒数等于本身的数是1和-1。零没有倒数。考点三、平方根、算数平方根和立方根 1、平方根：如果一个数的平方等于a ，那么这个数就叫做a 的平方根（或二次方跟）。一个数有两个平方根，他们互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根。正数a 的平方根记做“a ± ”。 2、算术平方根：正数a 的正的平方根叫做a 的算术平方根，记作“a ”。 0≥a 正数和零的算术平方根都只有一个，零的算术平方根是零。 ==a a 2 a （a ≥0） ==a a 2 -a （a <0）；注意a 的双重非负性：

初中数学帮你学习圆的性质

帮你学习圆的性质山东于化平一、圆的基本概念 ⑴圆的概念： ①在一个平面内，线段OA 绕它的一个端点O 旋转一周，另一端点A 随之旋转而形成的图形叫做圆，固定的端点O 叫做圆心，线段OA 叫做半径．如图1： ②圆可以看作是平面内到定点的距离等于定长的点的集合．定点是圆心，定长是半径．说明：圆的位置由圆心确定，圆的大小由半径确定，半径相等的两个圆叫做等圆，等圆一定能互相重合；圆是由圆心和半径确定的． ⑵圆的有关概念： ①弦：连接圆上任一两点的线段（如图2中的CD 和AB ） ②直径：过圆心的弦（如图2中的AB ） ③弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧（如图2中的）说明：直径是弦，但弦不一定是直径，只有经过圆心才是直径；如图2所示，线段AB 、AC 、BC 都是弦，其中BC 是直径；曲线AC 、BC 、ABC 都是弧，其中小于半圆是劣弧，如：；大于半圆是优弧，如：；两条能够重合的弧是等弧，但长度相等的弧不一定是等弧．学习圆的基本概念时，重点要放在图形的识别上，即能结合具体的图形识别哪些是弦，哪些是弧等．二、圆的有关性质 ⑴圆的对称性 ①圆是中心对称图形，圆心是它的对称中心． ②圆也是轴对称图形，经过圆心的任意一条直线都是它的对称轴．要注意：“直径是对称轴”是不对的；对称轴是直线，可以说“直经所在的直线是圆的对称轴”．、CAB CD CD CAB 图2

③圆具有旋转不变性，圆的中心对称是其旋转不变性的特例，也是其它中心对称图形所没有的性质． ⑵垂径定理及应用： ①垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分这条弦所对的弧． ②推论：垂直于弦的直径的性质通过实验可以验证：如果一条直线：a ．垂直于弦；b ．经过圆心；c ．平分弦；d ．平分弦所对的优弧；e ．平分弦所对的劣弧．只要具备其中的任意两个条件，那么它也具备其它的三个结论． ③应用：常做出圆心到弦的距离（即弦心距），构造直角三角形，这样圆中的弦长、弦心距、半径、弓高四者之间可应用方程和勾股定理，解决其应用的问题．例1．（2008福建永春）如图，将半径为2cm 的圆形纸片折叠后，圆弧恰好经过圆心O ，则折痕AB 的长为（）Ａ．2cm Ｂ．3cm Ｃ．23cm Ｄ．25cm 解析：折痕AB 实际就是圆的一条弦，做出弦心距，根据垂径定理可构造出直角三角形，再由对称性可知OC 等于半径的一半．解：如图(3－b)过点O 作OC AB ⊥,垂足为点C ，连接OA ,在Rt OAC ?中OA ＝2，112 OC r ==，由勾股定理可得：223AC OA OC =+=，则折痕AB 的长为2AC ＝23，答案：C 三、与圆相关的角： ⑴定义：①圆心角：定点在圆心的角叫做圆心角；②圆周角：定点圆上，两边都与圆相交的角叫做圆周角． ⑵定理：①在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，弦所对的弦心距相等；②在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对圆心角的一半． ⑶规律：①圆心角、弧、弦之间的关系可以概括为：在同圆或等圆中，如果两个圆心

北师大版初中数学七年级上册全册教案

北师大版七年级数学上册精品教案全集（共140页）第一章丰富的图形世界第一课时介绍单元整体说明本章在小学数学和中学数学的联系中起着承上启下的作用。编写本章的目的在于：（1）帮助学生梳理小学的数学知识和数学方法。（2）为学生学习中学数学作必要的准备。本章较充分地体现了课程标准的基本理论，学习本章将为其他各章的学习提供了一个示范。本章体现的数学思想方法、数学人文精神、数学应用意识、数学价值观等都应该在其他各章的学习中得到贯彻。本章按照如下线索展开内容：数学伴我成长——人类离不开数学——人人都能学会数学——让我们来做数学贯穿于内容的始终。课程内容标准使学生初步认识到数学与现实世界的密切联系，懂得数学的价值，形成用数学的意识。使学生初步体验到数学是一个充满着观察、实验、归纳、类比和猜测的探索过程。使学生对数学产生一定的兴趣，获得学好数学的自信心。使学生学会与他人合作，养成独立思考与合作交流的习惯。使学生在数学活动中获得对数学良好的感性认识，初步体验到什么是“做数学”。结构体系单元教学建议鉴于本章承上启下的特点，故教材内容只是给教师提供一个教学思路，教师可根据教学目标，结合学生的具体情况，补充适当的素材，灵活安排教学内容，调节课时数。教学的总要求是以学生为主体，使学生在活动中主动构建对数学的认识，具体应注意以下几点： 1．适当补充一些能引起学生学习兴趣的素材。 2．注意引导学生通过实验得出结论。如第3页的练习第2题、第5页的练习第2题、习题1.1的第3题与第4题、第11页的练习第1题以及习题1.2的第6题都应该让学生通过实验，主动探索得出结论。 3．通过多媒体演示，帮助学生理解。如第3页的练习第2题、第5页的练习第2题、习题1.1的第3题与第4题以及第11页的练习第1题等都可以通过多媒体的演示来帮助学生理解。 4．给学生提供实地考察、调查的机会。有条件的话，应给让学生实地考察一些生产、生活中应用数学的例子。

初中数学.圆的概念及性质.教师版

中考内容中考要求 A B C 圆的有关概念理解圆及其有关概念会过不在同一直线上的三点作圆；能利用圆的有关概念解决简单问题圆的性质知道圆的对称性，了解弧、弦、圆心角的关系能用弧、弦、圆心角的关系解决简单问题能运用圆的性质解决有关问题圆周角了解圆周角与圆心角的关系；知道直径所对的圆周角是直角会求圆周角的度数，能用圆周角的知识解决与角有关的简单问题能综合运用几何知识解决与圆周角有关的问题垂径定理会在相应的图形中确定垂径定理的条件和结论能用垂径定理解决有关问题点与圆的位置关系了解点与圆的位置关系直线与圆的位置关系了解直线与圆的位置关系；了解切线的概念，理解切线与过切点的半径之间的关系；会过圆上一点画圆的切线；了解切线长的概念能判定直线和圆的位置关系；会根据切线长的知识解决简单的问题；能利用直线和圆的位置关系解决简单问题能解决与切线有关的问题圆与圆的位置关系了解圆与圆的位置关系能利用圆与圆的位置关系解决简单问题中考内容与要求圆的概念及性质

弧长会计算弧长能利用弧长解决有关问题扇形会计算扇形面积能利用扇形面积解决有关问题圆锥的侧面积和全面积会求圆锥的侧面积和全面积能解决与圆锥有关的简单实际问题圆是北京中考的必考内容，主要考查圆的有关性质与圆的有关计算，每年的第20题都会考查，第1小题一般是切线的证明，第2小题运用圆与三角形相似、解直角三角形等知识求线段长度问题，有时也以阅读理解、条件开放、结论开放探索题作为新的题型。要求同学们重点掌握圆的有关性质，掌握求线段、角的方法，理解概念之间的相互联系和知识之间的相互转化，理解直线和圆的三种位置关系，掌握切线的性质和判定方法，会根据条件解决圆中的动态问题。年份2010年2011年2012年题号11，20 20，25 8，20，25 分值9分13分17分考点垂径定理的应用；切线判定、圆与解直角三角形综合圆的有关证明，计算（圆周角定理、切线、等腰三角形、相似、解直角三角形）；直线与圆的位置关系圆的基本性质，圆的切线证明，圆同相似和三角函数的结合；直线与圆的位置关系中考考点分析

(完整word版)初中数学基本性质和定理

基本性质和定理

直角三角形性质判定 1、直角三角形的两个锐角互余 2、在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半 3、直角三角形斜边的中线等于斜边的一半 4、直角三角形两直角边a，b的平方和等于斜边c的平方，即（勾股定理） 1、如果三角形的三边长a，b，c有关系，那么这个三角形是直角三角形（勾股定理的逆定理） 2、如果三角形一边的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形四边形定理：四边形的内角和等于360°，四边形的外角和等于360°多边形内角和定理：n边形的内角和等于（n-2）180° 推论：任意多边形的外角和等于360° 平行四边形性质判定性质定理1：平行四边形的对角相等性质定理2：平行四边形的对边相等推论：夹在两条平行线间的平行线段相等性质定理3：平行四边形的对角线互相平分判定定理1：两组对角分别相等的四边形是平行四边形判定定理2：两组对边分别相等的四边形是平行四边形判定定理3：对角线互相平分的四边形是平行四边形判定定理4：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形矩形性质判定性质定理1：矩形的四个角都是直角性质定理2：矩形的对角线相等判定定理1：有三个角是直角的四边形是矩形判定定理2：对角线相等的平行四边形是矩形菱形性质判定性质定理1：菱形的四条边都相等性质定理2：菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角菱形面积=对角线乘积的一半，即（a，b为菱形的两条对角线）判定定理1：四边都相等的四边形是菱形判定定理2：对角线互相垂直的平行四边形是菱形正方形性质判定性质定理1：正方形的四个角都是直角，四条边都相等性质定理2：正方形的对角线相等并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角既是矩形又是菱形的四边形是正方形等腰梯形性质判定

北师大版初中数学教材的问题和解决方案

北师大版初中数学教材的问题和解决方案背景为了深化教育改革，全面推进素质教育，构建一个充满生机的有中国特色社会主义教育体系，为实施科教兴国战略奠定坚实的人才和知识基础。教育部决定，大力推进基础教育课程改革，调整和改革基础教育的课程体系、结构、内容，构建符合素质教育要求的新的基础教育课程体系。北师大版数学教材就是在课程改革理论指导下编写的教材。它注重创设情境和探究发现，注重联系实际应用和创新，注重学生兴趣和实际操作，注重学习方式和教学方式的改革。教材贯穿了“数学源于生活、服务于生活”、“学有用的数学”的思想，从而使学生潜移默化中感受到数学的价值。认真研究、领会，悉心钻研新教材，及时转变角色，真正融入到新课程中去，发现与旧的版本及其他出版社的教材相比，有其自己可取的地方，当然教材也存在着缺点和不足，需要不断地修饰和完善。新教材的特色北京师范大学出版社出版的《义务教育新课程标准实验教科书·初中数学》（以下简称《教材》），和其他初中数学教材

比较而言，既删减了许多繁难偏旧的知识，减轻了学生的学习负担，又非常注重学生通过探究获取新知识的过程，有效地培养了学生的创新意识和创新能力，提高了学生学习数学的积极性。本套教材在编排体系，情景创设，例题设计，习题选配等方面的优点：一、螺旋式编排：本教材体系在难度方面，螺旋式编排，采用由浅入深、逐级递进、螺旋上升的方式逐步渗透重要的数学思想方法。为学生提供探索、交往的时间与空间教材在提供学习素材的基础之上，依据学生已有的知识背景和活动经验，提供了大量的操作、思考与交流的学习机会，如“做一做”、“想一想”、“议一议”等栏目。同时，要求学生通过自主探索以及与同伴交流的方式，形成新的知识，包括归纳法则、描述概念、总结学习内容等。可很好地激发学生的兴趣，挖掘学生的潜能，促使他们在自主探索与合作交流过程中理解，掌握知识，数学技能和思维方法得到锻炼，意志力得到培养，自信心得到不断发展，科学精神逐渐形成.新教材中有些内容呈螺旋状安排，它有利于不同年龄层次的学生的接受能力如统计内容分散安排在各阶段课本中，从感性到理性，从具体到抽象，角平分线、线段垂直平分线的

九年级数学圆的基本性质

一、基础知识（一）圆的有关概念：圆：在同一平面内，到定点的距离等于定长的点的集合。其中，定点为圆心，定长为半径。弦：连接圆上任意两点的线段。经过圆心的弦是直径。弧：圆上任意两点间的部分叫弧。圆上任一条直径的两个端点把圆分成的两条弧，每一条弧都叫做半圆。大于半圆的弧角做优弧，小于半圆的弧叫劣弧。（二）圆的性质： 1.同圆或等圆中：半径、直径都相等。 2.圆有无数条弦，其中最长的弦为直径。 3.圆是轴对称图形，对称轴为直径所在的直线，有无数条。圆是中心对称图形，并且无论绕圆心旋转多少度，都可以和原图形重合。二、重难点分析本课教学重点：弦和弧的概念、弧的表示方法和点与圆的位置关系．本课教学难点：点和圆的位置关系及判定。通过日常生活在生产中的实例引导学生对学习圆的兴趣。三、典例精析：例1：（2014?长春二模）如图，AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，且点C、D在AB的异侧，连结AD、OD、OC．若∠AOC=70°，且AD∥OC，则∠AOD的度数为（） A．70°Ｂ．60°Ｃ．50°Ｄ．40°

∴∠DAO=∠AOC=70° 例2．如图，以AB为直径的半圆O上有两点D、E，ED与BA的延长线交于点C，且有DC=OE，若∠C=20°，则∠EOB的度数是。四、感悟中考

１、（2013?温州）在△ABC 中，∠C 为锐角，分别以AB ，AC 为直径作半圆，过点B ，A ，C 作 BAC ，如图所示．若AB =4，AC =2，S 1-S 2=4 π，则S 3-S 4的值是（）Ａ．429π Ｂ．423π Ｃ．411π Ｄ．4 5π 2、如图，已知同心圆O ，大圆的半径AO 、BO 分别交小圆于C 、D ，试判断四边形ABDC 的形状．并说明理由．

常见的初中数学性质定理

常见的初中数学性质定理 01 过两点有且只有一条直线 02 两点之间线段最短 03 同角或等角的补角相等 04 同角或等角的余角相等 05 过一点有且只有一条直线和已知直线垂直 06 直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短 07 平行公理经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行 08 如果两条直线都和第三条直线平行，这两条直线也互相平行 09 同位角相等，两直线平行 10 内错角相等，两直线平行 11 同旁内角互补，两直线平行 12两直线平行，同位角相等 13 两直线平行，内错角相等 14 两直线平行，同旁内角互补 15 定理三角形两边的和大于第三边 16 推论三角形两边的差小于第三边 17 三角形内角和定理三角形三个内角的和等于180° 18 推论1 直角三角形的两个锐角互余 19 推论2 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和 20 推论3 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角 21 全等三角形的对应边、对应角相等 22边角边公理(SAS) 有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等 23 角边角公理( ASA)有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等 24 推论(AAS) 有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等 25 边边边公理(SSS) 有三边对应相等的两个三角形全等 26 斜边、直角边公理(HL) 有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等 27 定理1 在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等 28 定理2 到一个角的两边的距离相同的点，在这个角的平分线上 29 角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合 30 等腰三角形的性质定理等腰三角形的两个底角相等 (即等边对等角） 31 推论1 等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边 32 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合33 推论3 等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60° 34 等腰三角形的判定定理如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（等角对等边） 35 推论1 三个角都相等的三角形是等边三角形 36 推论 2 有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形 37 在直角三角形中，若一个锐角等于30°则它所对的直角边等于斜边的一半 38 直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半 39 定理线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等 40 逆定理和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上 41 线段的垂直平分线可看作和线段两端点距离相等的所有点的集合 42 定理1 关于某条直线对称的两个图形是全等形 43 定理2 若两个图形关于某直线对称，则对称轴是对应点连线的垂直平分线44定理3 已知两个图形关于某直线对称，若它们的对应线段或延长线相交，则交点在对称轴上 45逆定理如果两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称 46勾股定理直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方，即a2+b2=c2 47勾股定理的逆定理如果三角形的三边长a、b、c有关系a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形 48定理四边形的内角和等于360° 49四边形的外角和等于360° 50多边形内角和定理 n边形的内角的和等于（n-2）×180° 51推论任意多边的外角和等于360° 52平行四边形性质定理1 平行四边形的对角相等 53平行四边形性质定理2 平行四边形的对边相等 54推论夹在两条平行线间的平行线段相等 55平行四边形性质定理3 平行四边形的对角线互相平分 56平行四边形判定定理1 两组对角分别相等的四边形是平行四边形 57平行四边形判定定理2 两组对边分别相等的四边形是平行四边形 58平行四边形判定定理3 对角线互相平分的四边形是平行四边形 59平行四边形判定定理4 一组对边平行相等的四边形是平行四边形 60矩形性质定理1 矩形的四个角都是直角 61矩形性质定理2 矩形的对角线相等 62矩形判定定理1 有三个角是直角的四边形是矩形 63矩形判定定理2 对角线相等的平行四边形是矩形

北师大版初中数学知识体系知识讲解

初中数学知识体系D-1 第一章数式与平面直角坐标系 1、数：实数、数轴、相反数、倒数、绝对值、科学记数、近似数、有效数字、平方根、立方根、实数的混合运算 2、整式：列代数式、单项式、多项式、去括号、合并同类项、平方差公式、完全平方公式、因式分解、、非负的三种情况（绝对值、平方、平方根）、整式的混合运算 3、分式：分式的意义、约分和通分、分式的混合运算 4、幂：同底数幂的乘除、幂的乘方、积的乘方、零指数幂、负数指数幂、大小比较 5、二次根式：二次根式的意义、二次根式的的性质、二次根式的混合运算 6、平面直角坐标系：象限、点到坐标轴的距离第二章方程与不等式

1、一元一次方程：等量关系、解一元一次方程的步骤(去括号、去分母、移项、合并同类项) 2、二元一次方程组：解二元一次方程组的步骤、代入消元法、加减消元法、整体消元法 3、一元二次方程：根的判别式、根与系数关系、直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法 4、分式方程：解题步骤（提公因式、公式法、十字相乘、分组分解）、增根、验根 5、不等式：不等式的基本性质、不等式组的解集、不等式中字母的取值范围第三章函数 1、函数：变量关系、函数自变量的取值范围、函数表示方法、分段函数、画函数图像 2、一次函数：一般形式、正比例函数、待定系数法、图像和性质、平移 3、二次函数：一般形式、常见表达式、

顶点坐标及其意义、图像与性质、平移 4、反比例函数：一般形式、图像与性质、k的意义 5、三角函数：正弦、余弦、正切、特殊角的三角函数值、锐角三角函数的性质、等角代换法、参数法、构造法第四章平面与空间几何 1、几何基础：点、线、面、体、角、展开图、欧拉公式、平移、轴对称、中心对称、三视图、平行投影与中心投影、尺规作图、几何证明 2、三角形：四线、边角关系、等腰三角形、等边三角形、勾股定理、全等三角形的性质、全等三角形的判定条件、倍长中线法、截长补短法、比例的基本性质、合比与等比性质、平行线分线段成比例定理、相似三角形的判定 3、平行四边形：平行四边形的判定、矩形的判定、菱形的判定、正方形的判定、中点四边形

圆的有关性质

圆的有关性质本章重点 1．圆的定义： (1)线段OA绕着它的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的封闭曲线，叫做圆． (2)圆是到定点的距离等于定长的点的集合． 2．判定一个点P是否在⊙O上．设⊙O的半径为R，OP＝d，则有 d>r点P在⊙O 外； d＝r点P在⊙O 上； d

⑤圆内接四边形的对角互补；外角等于它的内对角． (3)弦切角：顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫弦切角．弦切角的性质：弦切角等于它夹的弧所对的圆周角．弦切角的度数等于它夹的弧的度数的一半． 4．圆的性质： (1)旋转不变性：圆是旋转对称图形，绕圆心旋转任一角度都和原来图形重合；圆是中心对称图形，对称中心是圆心．在同圆或等圆中，两个圆心角，两条弧，两条弦，两条弦心距，这四组量中的任意一组相等，那么它所对应的其他各组分别相等． (2)轴对称：圆是轴对称图形，经过圆心的任一直线都是它的对称轴．垂径定理及推论： (1)垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧． (2)平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧． (3)弦的垂直平分线过圆心，且平分弦对的两条弧． (4)平分一条弦所对的两条弧的直线过圆心，且垂直平分此弦． (5)平行弦夹的弧相等． 5．三角形的内心、外心、重心、垂心 (1)三角形的内心：是三角形三个角平分线的交点，它是三角形内切圆的圆心，在三角形内部，它到三角形三边的距离相等，通常用“I”表示．

初中数学等式的基本性质

初中数学等式的基本性质2019年4月9日（考试总分：120 分考试时长： 120 分钟）一、单选题（本题共计 11 小题，共计 44 分） 1、（4分）已知（a≠0，b≠0），下列变形错误的是（） A．B．2a=3b C． D．3a=2b 2、（4分）已知 1 3 a b =，则 b a b - 的值为（） A．2 3 B． 3 2 C． 1 2 D．2 3、（4分）已知：a×2 3 =b×1 3 5 =c÷ 2 3 ，且a、b、c都不等于0，则a、b、c中最小的数是（） A． a B． b C． c D． a和c 4、（4分）下列运用等式的性质进行变形，正确的是( ) A．如果，那么x＝－2 B．如果x－7＝8，那么x＝1 C．如果2x＝x－1，那么x＝－1 D．如果mx＝0，那么x＝0 5、（4分）运用等式性质进行变形，不一定正确的是（） A．如果，那么B．如果，那么 C．如果，那么D．如果，那么 6、（4分）有三种不同质量的物体“”“”“”，其中，同一种物体的质量都相等，现左右手中同样的盘子上都放着不同个数的物体，只有一组左右质量不相等，则该组是（）

A ． B ． C ． D ． 7、（4分）已知2a=3b ，则a ：b 的值是（） A ． 23 B ． 32 C ． 52 D ． 53 8、（4分）设x 、y 、c 是有理数，那么下列各式正确的是( ) A ．若，则 B ．若，则 C ．若，则 D ．若，则 9、（4分）若 2b?5a =0，则的值为（） A ． B ． C ． D ． 10、（4分）下列说法错误的是( ) A ．如果ax=bx,那么a=b B ．如果a=b,那么 C ．如果a=b,那么ac-d=bc-d D ．如果x=3,那么x 2=3x 11、（4分）若2b ?5a=0，则的值为（） A ． B ． C ． D ．二、填空题（本题共计 7 小题，共计 28 分） 12、（4分）若，是3的相反数，则的值为________． 13、（4分）若，则=_____． 14、（4分）已知236x y -=，用x 的代数式表示y ，则y =________。 15、（4分）由方程3x －2y －6＝0可得到用x 表示y 的式子是_________.

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侧面是曲面底面是圆面圆柱，:???侧面是正方形或长方形底面是多边形棱体柱体，:侧面是曲面底面是圆面圆锥，:???侧面都是三角形底面是多边形棱锥锥体，:?????????有理数?????---)3,2,1:()3,2,1:(ΛΛ如负整数如正整数整数)0(零?????----)8.4,3.2,31,21:(Λ如负分数分数)8.3,3.5,31,21:(Λ如正分数北师大版初中数学七年级上册知识点汇总第一章丰富的图形世界 ¤1. ¤2. ¤3. 球体：由球面围成的（球面是曲面） ¤4. 几何图形是由点、线、面构成的。 ①几何体与外界的接触面或我们能看到的外表就是几何体的表面。几何的表面有平面和曲面； ②面与面相交得到线； ③线与线相交得到点。 ※5. 棱：在棱柱中，任何相邻两个面的交线都叫做棱．。 ※6. 侧棱：相邻两个侧面的交线叫做侧棱．．，所有侧棱长都相等。 ¤7. 棱柱的上、下底面的形状相同，侧面的形状都是长方形。 ¤8. 根据底面图形的边数，人们将棱柱分为三棱柱、四棱柱、五棱柱、六棱柱……它们底面图形的形状分别为三边形、四边形、五边形、六边形…… ¤9. 长方体和正方体都是四棱柱。 ¤10. 圆柱的表面展开图是由两个相同的圆形和一个长方形连成。 ¤11. 圆锥的表面展开图是由一个圆形和一个扇形连成。 ※12. 设一个多边形的边数为n(n≥3，且n 为整数)，从一个顶点出发的对角线有(n-3)条；可以把n 边形成(n-2)个三角形；这个n 边形共有 2 )3(-n n 条对角线。 ◎13. 圆上两点之间的部分叫做弧．，弧是一条曲线。 ◎14. 扇形，由一条弧和经过这条弧的端点的两条半径所组成的图形。 ¤15. 凸多边形和凹多边形都属于多边形。有弧或不封闭图形都不是多边形。第二章有理数及其运算 ※ ※数轴的三要素：原点、正方向、单位长度（三者缺一不可）。 ※任何一个有理数，都可以用数轴上的一个点来表示。（反过来，不能说数轴上所有的点都表示有理数） ※如果两个数只有符号不同，那么我们称其中一个数为另一个数的相反数，也称这两个数互为相反数。（0的相反数是0）

初中数学教程圆的有关性质

24.1圆的有关性质第1课时教学内容 1．圆的有关概念． 2．垂径定理：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧及其它们的应用．教学目标了解圆的有关概念，理解垂径定理并灵活运用垂径定理及圆的概念解决一些实际问题．从感受圆在生活中大量存在到圆形及圆的形成过程，讲授圆的有关概念．利用操作几何的方法，理解圆是轴对称图形，过圆心的直线都是它的对称轴．通过复合图形的折叠方法得出猜想垂径定理，并辅以逻辑证明加予理解．重难点、关键 1．重点：垂径定理及其运用． 2．难点与关键：探索并证明垂径定理及利用垂径定理解决一些实际问题．教学过程一、复习引入（学生活动）请同学口答下面两个问题（提问一、两个同学） 1．举出生活中的圆三、四个． 2．你能讲出形成圆的方法有多少种？老师点评（口答）：（1）如车轮、杯口、时针等．（2）圆规：固定一个定点，固定一个长度，绕定点拉紧运动就形成一个圆．二、探索新知从以上圆的形成过程，我们可以得出：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点所形成的图形叫做圆．固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径．以点O为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆O”．学生四人一组讨论下面的两个问题：

问题1：图上各点到定点（圆心O ）的距离有什么规律？问题2：到定点的距离等于定长的点又有什么特点？老师提问几名学生并点评总结．（1）图上各点到定点（圆心O ）的距离都等于定长（半径r ）；（2）到定点的距离等于定长的点都在同一个圆上．因此，我们可以得到圆的新定义：圆心为O ，半径为r 的圆可以看成是所有到定点O 的距离等于定长r 的点组成的图形．同时，我们又把 ①连接圆上任意两点的线段叫做弦，如图线段AC ，AB ； ②经过圆心的弦叫做直径，如图24-1线段AB ； ③圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧，“以A 、C 为端点的弧记作”，读作“圆弧”或“弧AC ”．大于半圆的弧（如图所示叫做优弧，小于半圆的弧（如图所示）或叫做劣弧． ④圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆．（学生活动）请同学们回答下面两个问题． 1．圆是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？你能找到多少条对称轴？ 2．你是用什么方法解决上述问题的？与同伴进行交流．（老师点评）1．圆是轴对称图形，它的对称轴是直径，我能找到无数多条直径． 3．我是利用沿着圆的任意一条直径折叠的方法解决圆的对称轴问题的．（学生活动）请同学按下面要求完成下题：如图，AB 是⊙O 的一条弦，作直径CD ，使CD ⊥AB ，垂足为M ．（1）如图是轴对称图形吗？如果是，其对称轴是什么？（2）你能发现图中有哪些等量关系？说一说你理由．（老师点评）（1）是轴对称图形，其对称轴是CD ．（2）AM=BM ，，，即直径CD 平分弦AB ，并且平分及． ?AC ? AC ?ABC ?AC ?BC ??AC BC =??AD BD =? AB ?ADB

北师大版初中数学知识点总结

初中数学知识点总结第一章实数考点一、实数的概念及分类 1、实数的分类 .正有理数 - 厂有理数w 零打限小数和无限循环小数实数. ■-负有理数 - 正无理数无限不循环小数负无理数 2、无理数在理解无理数时，要抓住“无限不循环”这一时之，归纳起来有四类：（1 ）开方开不尽的数，如 ..7,12等； n （2 ）有特定意义的数，如圆周率 n,或化简后含有 n 的数，如一+8等； 3 …等；（4）某些三角函数，女口 sin60。等考点二、实数的倒数、相反数和绝对值 1、相反数：实数与它的相反数时一对数（只有符号不同的两个数叫做互为相反数，零的相反数是零），从数轴上看，互为相反数的两个数所对应的点关于原点对称，如果 a 与b 互为相反数，则有 a+b=O ，a=— b ，反之亦成立。 2、绝对值：一个数的绝对值就是表示这个数的点与原点的距离， ⑻为。零的绝对值时它本身，也可看成它的相反数，若|a|=a ,则a%；若|a|=-a ,则a 切。正数大于零，负数小于零，正数大于一切负数，两个负数，绝对值大的反而小。 3、倒数：如果a 与b 互为倒数，则有 ab=1，反之亦成立。倒数等于本身的数是 1和-1。零没有倒数。考点三、平方根、算数平方根和立方根 1、平方根：如果一个数的平方等于 a ,那么这个数就叫做 a 的平方根（或二次方跟）。一个数有两个平方根，他们互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根。正数a 的平方根记做“ V ”。 2、算术平方根：正数 a 的正的平方根叫做 a 的算术平方根，记作“ ■■ a 正数和零的算术平方根都只有一个，零的算术平方根是零。一个正数有一个正的立方根；一个负数有一个负的立方根；零的立方根是零。｛ a 2 3、立方根：如果一个数的立方等于 a ,那么这个数就叫做 a 的立方根（或 a 的三次方根）注意a 的双重非负性:

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