人教版高中数学必修5全册导学案

§1.1.1 正弦定理

1. 掌握正弦定理的内容；

2. 掌握正弦定理的证明方法；

3. 会运用正弦定理解斜三角形的两类基本问题．

CB 及∠B ，使边AC 绕着

顶点C 转动．

思考：∠C 的大小与它的对边AB 的长度之间有怎样的数量关系？

显然，边AB 的长度随着其对角∠C 的大小的增大而 ．能否用一个等式把这种关系精确地表示出来？

二、新课导学

※ 学习探究 探究1：在初中，我们已学过如何解直角三角形，下面就首先来探讨直角三角形中，角与边的等式关系. 如图，在Rt ?ABC 中，设BC =a ，AC =b ，AB =c ， 根据锐角三角函数中正弦函数的定义， 有sin a A c =，sin b B c =，又sin 1c C c ==，

从而在直角三角形ABC 中，sin sin sin a b c

A B C ==

． (

探究2：那么对于任意的三角形，以上关系式是否仍然成立？

可分为锐角三角形和钝角三角形两种情况：

当?ABC 是锐角三角形时，设边AB 上的高是

CD ，根据任意角三角函数的定义， 有CD =sin sin a B b A =，则sin sin a b A B

=

， 同理可得sin sin c b

C B

=

， 从而sin sin a b

A B =sin c C

=． 类似可推出，当?ABC 是钝角三角形时，以上关系式仍然成立．请你试试导.

新知：正弦定理

在一个三角形中，各边和它所对角的 的比相等，即 sin sin a b A B =

sin c C =． 试试： （1）在ABC ?中，一定成立的等式是（ ）

． A ．sin sin a A b B = B .cos cos a A b B = C . sin sin a B b A = D .cos cos a B b A = （2）已知△ABC 中，a ＝4，b ＝8，∠A ＝30°，则∠B 等于 ． [理解定理] （1）正弦定理说明同一三角形中，边与其对角的正弦成正比，且比例系数为同一正数，即存在正数k 使sin a k A =， ，sin c k C =； （2）sin sin a b

A B =sin c C

=等价于 ，sin sin c b C B =，sin a A =sin c C

． （3）正弦定理的基本作用为： ①已知三角形的任意两角及其一边可以求其他边，如sin sin b A

a B =；

b = ．

②已知三角形的任意两边与其中一边的对角可以求其他角的正弦值， 如sin sin a

A B b =；sin C = ． （4）一般地，已知三角形的某些边和角，求其它

的边和角的过程叫作解三角形．

※ 典型例题

例1. 在ABC ?中，

已知45A =，60B =，42a =cm ，解三角形．

变式：在ABC ?中，已知45B =，60C =，12a =cm ，解三角形．

例2.

在45,2,,ABC c A a b B C ?===中，求和．

变式

：在60,1,,ABC b B c a A C ?===中，求和．

三、总结提升

※ 学习小结

1. 正弦定理：

sin sin a b

A B =

sin c C

= 2. 正弦定理的证明方法：①三角函数的定义， 还有 ②等积法，③外接圆法，④向量法. 3．应用正弦定理解三角形： ①已知两角和一边；

②已知两边和其中一边的对角．

※ 知识拓展 sin sin a b A B =2sin c

R C

==，其中2R 为外接圆直径.

※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）. A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差

※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：

1. 在ABC ?中，若cos cos A b

B a

=，则ABC ?是（ ）

. A ．等腰三角形 B ．等腰三角形或直角三角形 C ．直角三角形 D ．等边三角形 2. 已知△ABC 中，A ∶B ∶C ＝1∶1∶4， 则a ∶b ∶c 等于（ ）.

A ．1∶1∶4

B ．1∶1∶2

C ．1∶1

D ．2∶

23. 在△ABC 中，若sin sin A B >，则A 与B 的大小关系为（ ）.

A. A B >

B. A B <

C. A ≥B

D. A 、B 的大小关系不能确定 4. 已知?ABC 中，sin :sin :sin 1:2:3A B C =，则::a b c = ．

5. 已知?ABC 中，∠A 60=

?，a =

sin sin sin a b c

A B C ++++= ．

1. 已知△ABC 中，AB ＝6，∠A ＝30°，∠B ＝120?，解此三角形．

2. 已知△ABC 中，sin A ∶sin B ∶sin C ＝k ∶(k ＋1)∶2k (k ≠0)，求实数k 的取值范围为．

§1.1.2 余弦定理

1. 掌握余弦定理的两种表示形式；

2. 证明余弦定理的向量方法；

3. 运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题．

：在一个三角形中，各 和它所对角的 的 相等，即 = = ．

复习2：在△ABC 中，已知10c =，A =45?，C =30?，解此三角形．

思考：已知两边及夹角，如何解此三角形呢？

二、新课导学

※ 探究新知

问题：在ABC ?中，AB 、BC 、CA 的长分别为c 、a 、b .

∵AC = ， ∴AC AC ?=

同理可得： 2222c o s a b c b c A =+-，

2222cos c a b ab C =+-． 新知：余弦定理：三角形中任何一边的 等于其他两边的 的和减去这两边与它们的夹角的 的积的两倍．

思考：这个式子中有几个量？

从方程的角度看已知其中三个量，可以求出第四个量，能否由三边求出一角？ 从余弦定理，又可得到以下推论： 222

cos 2b c a

A bc

+-=， ， ．

[理解定理]

（1）若C =90?，则cos C = ，这时222c a b =+

由此可知余弦定理是勾股定理的推广，勾股定理是余弦定理的特例．

（2）余弦定理及其推论的基本作用为：

①已知三角形的任意两边及它们的夹角就可以求出第三边；

②已知三角形的三条边就可以求出其它角．

试试：

（1）△ABC 中，a =2c =，150B =

，求b ．

（2）△ABC 中，2a =，b =，1c

，求A ．

※ 典型例题

例 1. 在△ABC 中，已知a =b =，45B =，求,A C 和c ．

变式：在△ABC 中，若AB ，AC ＝5，且cos C ＝9

10

，则BC ＝________．

例 2. 在△ABC中，已知三边长3

a=，4

b=

，

c=，求三角形的最大内角．

变式：在?ABC中，若222

a b c bc

=++，求角A．

三、总结提升

※学习小结

1. 余弦定理是任何三角形中边角之间存在的共同规律，勾股定理是余弦定理的特例；

2. 余弦定理的应用范围：

①已知三边，求三角；

②已知两边及它们的夹角，求第三边．

※知识拓展

在△ABC中，

若222

a b c

+=，则角C是直角；

若222

a b c

+<，则角C是钝角；

若222

a b c

+>，则角C是锐角．

※自我评价你完成本节导学案的情况为（）.

A. 很好

B. 较好

C. 一般

D. 较差

※当堂检测（时量：5分钟满分：10分）计分：1. 已知a

c＝2，B＝150°，则边b的长为（）.

A.

B.

C.

2

D.

2. 已知三角形的三边长分别为3、5、7，则最大角为（）.

A．60B．75

C．120

D．150 3. 已知锐角三角形的边长分别为2、3、x，则x的取值范围是（）.

A

x<

B＜x＜5 C．2＜x

D ．5＜x＜5

4. 在△ABC中，|AB|＝3，|AC|＝2，AB与AC的夹角为60°，则|AB－AC|＝________．

5. 在△ABC中，已知三边a、b、c满足

222

b a

c ab

+-=，则∠C等于．

1. 在△ABC中，已知a＝7，b＝8，cos C＝

13

14

，求最大角的余弦值．

2. 在△ABC 中，AB＝5，BC＝7，AC＝8，求A B B C?

的值.

§1.1 正弦定理和余弦定理（练习）

1. 进一步熟悉正、余弦定理内容；

2. 掌握在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，有两解或一解或无解等情形．

已知三边求角，用 定理；

已知两边和夹角，求第三边，用 定理； 已知两角和一边，用 定理．

复习2：在△ABC 中，已知 A ＝6

π

，a ＝

b ＝

二、新课导学

※ 学习探究

探究：在△ABC 中，已知下列条件，解三角形.

① A ＝6

π

，a ＝

25，b ＝

② A ＝6

π

，a

，b ＝；

③ A ＝6

π

，a ＝

50，b ＝

思考：解的个数情况为何会发生变化？

新知：用如下图示分析解的情况（A 为锐角时）．

已知边a,b 和∠A

有两个解

仅有一个解

无解

CH=bsinA

试试：

1. 用图示分析（A 为直角时）解的情况？

2．用图示分析（A 为钝角时）解的情况？

※ 典型例题

例1. 在?ABC 中，已知80a =，100b =，45A ∠=?，试判断此三角形的解的情况．

变式：在?ABC 中，若1a =，1

2

c =，40C ∠=?，

则符合题意的b 的值有_____个．

例 2. 在?ABC 中，60A =?，1b =，2c =，求

sin sin sin a b c

A B C ++++的值．

变式：在?ABC 中，若55a =，16b =，

且1

s i n 23

2a b C =C ．

三、总结提升

※ 学习小结 1. 已知三角形两边及其夹角（用余弦定理解决）； 2. 已知三角形三边问题（用余弦定理解决）；

3. 已知三角形两角和一边问题（用正弦定理解决）；

4. 已知三角形两边和其中一边的对角问题（既可用正弦定理，也可用余弦定理，可能有一解、两解和无解三种情况）．

※ 知识拓展

在?ABC 中，已知,,a b A ，讨论三角形解的情况 ：①当A 为钝角或直角时，必须a b >才能有且只有一解；否则无解；

②当A 为锐角时，

如果a ≥b ，那么只有一解；

如果a b <，那么可以分下面三种情况来讨论：

（1）若sin a b A >，则有两解； （2）若sin a b A =，则只有一解； （3）若sin a b A <，则无解．

※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）. A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差 ※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分： 1. 已知a 、b 为△ABC 的边，A 、B 分别是a 、b 的

对角，且sin 2sin 3A B =，则

a b

b

+的值=（ ）. A. 13 B. 23 C. 43 D. 5

3

2. 已知在△ABC 中，sin A ∶sin B ∶sin C ＝3∶5∶7，那么这个三角形的最大角是（ ）.

A ．135°

B ．90°

C ．120°

D ．150° 3. 如果将直角三角形三边增加同样的长度，则新三角形形状为（ ）.

A ．锐角三角形

B ．直角三角形

C ．钝角三角形

D ．由增加长度决定

4. 在△ABC 中，sin A :sin B :sin C ＝4:5:6，则cos B ＝ ．

5. 已知△ABC 中，cos cos b C c B =，试判断△ABC 的形状 ．

1. 在?ABC 中，a xcm =，2b cm =，45B ∠=?，如果利用正弦定理解三角形有两解，求x 的取值范围．

2. 在?ABC 中，其三边分别为a 、b 、c ，且满足

2221sin 24a b c ab C +-=，求角C ．

§1.2应用举例—①测量距离

能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关测量距离的实际问题

一、课前准备

复习1：在△ABC中，∠C＝60°，a

＋b＝2，

c＝A为.

复习2：在△ABC中，sin A＝sin sin

cos cos

B C

B C

+

+

，判断三

角形的形状.

二、新课导学

※典型例题

例1. 如图，设A、B两点在河的两岸，要测量两点之间的距离，测量者在A的同侧，在所在的河岸边选定一点C，测出AC的距离是55m，∠BAC=51?，∠ACB=75?. 求A、B两点的距离(精确到0.1m).

提问1：?ABC中，根据已知的边和对应角，运用哪个定理比较适当？

提问2：运用该定理解题还需要那些边和角呢？

分析：这是一道关于测量从一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离的问题

题目条件告诉了边AB的对角，AC为已知边，再根据三角形的内角和定理很容易根据两个已知角算出AC的对角，

应用正弦定理算出AB边.

新知1：基线

在测量上，根据测量需要适当确定的叫基线.

例2. 如图，A、B两点都在河的对岸（不可到达），设计一种测量A、B两点间距离的方法.

分析：这是例1的变式题，研究的

是两个的点之间的距离

测量问题.

首先需要构造三角形，所以需要

确定C、D两点.

根据正弦定理中已知三角形的任意两个内角与一边既可求出另两边的方法，分别求出AC和BC，再利用余弦定理可以计算出AB的距离.

变式：若在河岸选取相距40米的C、D两点，测得∠BCA=60°，∠ACD=30°，∠CDB=45°，∠BDA =60°

.

练：两灯塔A、B与海洋观察站C的距离都等于a km，灯塔A在观察站C的北偏东30°，灯塔B在观察站C南偏东60°，则A、B之间的距离为多少？

三、总结提升

※学习小结

1. 解斜三角形应用题的一般步骤：

（1）分析：理解题意，分清已知与未知，画出示意图

（2）建模：根据已知条件与求解目标，把已知量与求解量尽量集中在有关的三角形中，建立一个解斜三角形的数学模型；

（3）求解：利用正弦定理或余弦定理有序地解出三角形，求得数学模型的解

（4）检验：检验上述所求的解是否符合实际意义，从而得出实际问题的解.

2．基线的选取：

测量过程中，要根据需要选取合适的基线长度，使测量具有较高的精确度.

※自我评价你完成本节导学案的情况为（）.

A. 很好

B. 较好

C. 一般

D. 较差

※当堂检测（时量：5分钟满分：10分）计分：1. 水平地面上有一个球，现用如下方法测量球的大

小，用锐角45?的等腰直角三角板的斜边紧靠球面，P为切点，一条直角边AC紧靠地面，并使三角板与地面垂直，如果测得P A=5cm，则球的半径等于（）.

A．5cm

B．

C．1)cm

D．6cm

2. 台风中心从A地以每小时20千米的速度向东北方向移动，离台风中心30千米内的地区为危险区，城市B在A的正东40千米处，B城市处于危险区内的时间为（）.

A．0.5小时B．1小时

C．1.5小时D．2小时

3. 在ABC

?中，已知

2222

()sin()()sin()

a b A B a b A B

+-=-+，

则ABC

?的形状（）.

A.等腰三角形

B.直角三角形

C.等腰直角三角形

D.等腰三角形或直角三角形

4.在ABC

?中，已知4

a=，6

b=，120

C=，则s i n A 的值是．

5. 一船以每小时15km的速度向东航行，船在A处看到一个灯塔B在北偏东60，行驶４h后，船到达C处，看到这个灯塔在北偏东15，这时船与灯塔的距离为km．

1. 隔河可以看到两个目标，但不能到达，

在岸边选

的C、D两点，并测得∠ACB＝75°，∠BCD＝45°，∠ADC＝30°，∠ADB＝45°，A、B、C、D在同一个平面，求两目标A、B间的距离.

2. 某船在海面A处测得灯塔C与

A相距海里，且在北偏东30?方向；测得灯塔B

与A相距海里，且在北偏西75?方向. 船由A向正北方向航行到D处，测得灯塔B在南偏西60?方向. 这时灯塔C与D相距多少海里？

§1.2应用举例—②测量高度

1. 能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关底部不可到达的物体高度测量的问题；

2. 测量中的有关名称.

复习1：在?ABC中，cos5

cos3

A b

B a

==，则?ABC的

形状是怎样？

复习2：在?ABC中，a、b、c分别为∠A、∠B、

∠C的对边，若:

:

a b c，求A:B:C的值.

二、新课导学

※学习探究

新知：坡度、仰角、俯角、方位角

方位角---从指北方向顺时针转到目标方向线的水平转角；

坡度---沿余坡向上的方向与水平方向的夹角；

仰角与俯角---视线与水平线的夹角当视线在水平线之上时，称为仰角；当视线在水平线之下时，称为俯角.

探究：AB是底部B不可到达的一个建筑物，A为建筑物的最高点，设计一种测量建筑物高度AB的方法.

分析：选择基线HG，使H、G、B三点共线，要求AB，先求AE

在ACE

?中，可测得角，关键求AC

在ACD

?中，可测得角，线段，又有α故可求得AC

※典型例题

例1. 如图，在山顶铁塔上B处测得地面上一点A 的俯角α=5440'

?，在塔底C处测得A处的俯角β=501'?. 已知铁塔BC部分的高为27.3 m，求出山高CD(精确到1 m)

例 2. 如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正东行驶，到A处时测得公路南侧远处一山顶D在东偏南15?的方向上，行驶5km后到达B处，测得此山顶在东偏南25?的方向上，仰角为8?，求此山的高度CD.

问题1：

欲求出CD，思考在哪

个三角形中研究比较

适合呢？

问题2：

在?BCD中，已知BD或BC都可求出CD，根据条件，易计算出哪条边的长？

变式：某人在山顶观察到地面上有相距2500米的A、B两个目标，测得目标A在南偏西57°，俯角是60°，测得目标B在南偏东78°，俯角是45°，试求山高.

三、总结提升

※学习小结

利用正弦定理和余弦定理来解题时，要学会审题及根据题意画方位图，要懂得从所给的背景资料中进行加工、抽取主要因素，进行适当的简化.

※知识拓展

在湖面上高h处，测得云之仰角为α，湖中云之影的俯角为β，则云高为

sin()

sin()

h

αβ

αβ

+

-

.

※自我评价你完成本节导学案的情况为（）.

A. 很好

B. 较好

C. 一般

D. 较差

※当堂检测（时量：5分钟满分：10分）计分：1. 在?ABC中，下列关系中一定成立的是（）. A．sin

a b A

>B．sin

a b A

=

C．sin

a b A

a b A

≥

2. 在?

ABC中，AB=3，BC AC=4，则边AC 上的高为（

）.

A．

2

B C．

3

2

D．

3. D、C、B 在地面同一直线上，DC=100米，从D、C两地测得A的仰角分别为30和45，则A点离地面的高AB等于（）米．

A．100

B

．

C．501)

D．501)

4. 在地面上C点，测得一塔塔顶A和塔基B的仰角分别是60?和30?，已知塔基B高出地面20m，则塔身AB的高为_________

m．

5. 在?ABC中，b=2

a=，且三角形有两解，则A的取值范围是．

1. 为测某塔AB的高度，在一幢与塔AB相距20m 的楼的楼顶处测得塔顶A的仰角为30°，测得塔基B的俯角为45°，则塔AB的高度为多少m？

2. 在平地上有A、B两点，A在山的正东，B在山的东南，且在A的南25°西300米的地方，在A 侧山顶的仰角是30

°，求山高.

§1.2应用举例—③测量角度

能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关计算角度的实际问题.

一、课前准备 复习1：在ABC △中，已知2c =，3

C π

=

，且1

sin 2

ab C =a b ，.

复习2：设ABC ?的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，

b ，

c ，且A =60，3c =，求a

c 的值.

二、新课导学 ※ 典型例题

例1. 如图，一艘海轮从A 出发，沿北偏东75?的方向航行67.5 n mile 后到达海岛B ，然后从B 出发，沿北偏东32?的方向航行54.0 n mile 后达到海岛C.如果下次航行直接从A 出发到达C ，此船应该沿怎样的方向航行，需要航行多少距离

?(角度精确到0.1?，距离精确到0.01n mile)

分析：

首先由三角形的内角和定理求出角∠ABC ，

然后用余弦定理算出AC 边，

再根据正弦定理算出AC 边和AB 边的夹角∠CAB .

例2. 某巡逻艇在A 处发现北偏东45?相距9海里的C 处有一艘走私船，正沿南偏东75?的方向以10海里/小时的速度向我海岸行驶，巡逻艇立即以14海里/小时的速度沿着直线方向追去，问巡逻艇应该沿什么方向去追？需要多少时间才追赶上该走私

船？

※动手试试

练1. 甲、乙两船同时从B点出发，甲船以每小时

＋1)km的速度向正东航行，乙船以每小时20km的速度沿南60°东的方向航行，1小时后甲、乙两船分别到达A、C两点，求A、C两点的距离，以及在A点观察C点的方向角.

练2. 某渔轮在A处测得在北45°的C处有一鱼群，离渔轮9海里，并发现鱼群正沿南75°东的方向以每小时10海里的速度游去，渔轮立即以每小时14海里的速度沿着直线方向追捕，问渔轮应沿什么方向，需几小时才能追上鱼群？

三、总结提升

※学习小结

1. 已知量与未知量全部集中在一个三角形中，依次利用正弦定理或余弦定理解之.；

2．已知量与未知量涉及两个或几个三角形，这时需要选择条件足够的三角形优先研究，再逐步在其余的三角形中求出问题的解.

※知识拓展

已知?ABC的三边长均为有理数，A=3θ，B=2θ，则cos5θ是有理数，还是无理数？

因为5

Cπθ

=-，由余弦定理知

222

cos

2

a b c

C

ab

+-

=为有理数，

所以cos5cos(5)cos C

θπθ

=--=-为有理数.

※自我评价你完成本节导学案的情况为（）.

A. 很好

B. 较好

C. 一般

D. 较差

※当堂检测（时量：5分钟满分：10分）计分：1. 从A处望B处的仰角为α，从B处望A处的俯角为β，则α，β的关系为（）.

A．α>βB．α=β

C ．α+β=90D

．α+β=180

2. 已知两线段2

a

=，b=a、b为边作三角形，则边a所对的角A的取值范围是（）. A．(,)

63

ππ

B．(0,]

6

π

C．(0,)

2

π

D．(0,]

4

π

3. 关于x的方程2

sin2sin sin0

A x

B x C

++=有相等实根，且A、B、C是?的三个内角，则三角形的三边a b c

、、满足（）.

A．b ac

=B．a bc

=

C．c ab

=D．2b ac

=

4. △ABC中，已知a:b:

c

则此三角形中最大角的度数为.

5. 在三角形中，已知:A，a，b给出下列说法:

(1)若A≥90°，且a≤b，则此三角形不存在

(2)若A≥90°，则此三角形最多有一解

(3)若A＜90°，且a=b sin A，则此三角形为直角三角形，且B=90°

(4)当A＜90°，a

(5)当A＜90°，且b sin A

1. 我舰在敌岛A南偏西50?相距12海里的B处，发现敌舰正由岛沿北偏西10?的方向以10海里/小时的速度航行.问我舰需以多大速度、沿什么方向航行才能用2小时追上敌舰？

2.

§1.2应用举例—④解三角形

1. 能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法进一步解决有关三角形的问题；

2. 掌握三角形的面积公式的简单推导和应用；

3. 能证明三角形中的简单的恒等式．

一、课前准备

复习1：在?ABC 中

（1）若1,120a b B ===?，则A 等于 ．

（

2）若a =2b =，150C =?，则c = _____． 复习2：

在ABC

?中，a =，2b =，150C =?，则高BD = ，三角形面积= ．

二、新课导学

※ 学习探究

探究：在?ABC 中，边BC 上的高分别记为h a ，那么它如何用已知边和角表示？

h a =b sin C =c sin B

根据以前学过的三角形面积公式S =1

2ah ，

代入可以推导出下面的三角形面积公式，S =1

2

ab sin C ，

或S = ，

同理S = ． 新知：三角形的面积等于三角形的任意两边以及它

们夹角的正弦之积的一半．

※ 典型例题

例1. 在?ABC 中，根据下列条件，求三角形的面

积S （精确到0.1cm 2）： （1）已知a =14.8cm ，c =23.5cm ，B =148.5?

；

（2）已知B =62.7?，C =65.8?，b =3.16cm ； （3）已知三边的长分别为a =41.4cm ，b =27.3cm ， c =38.7cm ．

变式：在某市进行城市环境建设中，要把一个三角

形的区域改造成室内公园，经过测量得到这个三角形区域的三条边长分别为68m ，88m ，127m ，这个区域的面积是多少？（精确到0.1cm 2）

例2. 在?ABC中，求证：

（1）

2222

22

sin sin

sin

a b A B

c C

++

=；

（2）2a+2b+2c=2（bc cos A+ca cos B+ab cos C）．

小结：证明三角形中恒等式方法：应用正弦定理或余弦定理，“边”化“角”或“角”化“边”．

※动手试试

练 1. 在?ABC中，已知28

a cm

=，33

c cm

=，45

B =，则?ABC的面积是．

练2. 在?ABC中，求证：

22

(cos cos)

c a B b A a b

-=-．

三、总结提升

※学习小结

1. 三角形面积公式：

S=1

2

ab sin C= = ．

2. 证明三角形中的简单的恒等式方法：应用正弦定理或余弦定理，“边”化“角”或“角”化“边”．※知识拓展

三角形面积S=

这里

1

()

p a b c

=++，这就是著名的海伦公式．※自我评价你完成本节导学案的情况为（）.

A. 很好

B. 较好

C. 一般

D. 较差

※当堂检测（时量：5分钟满分：10分）

计分：1. 在ABC

?中，2,

60

a b C?

==，则

ABC

S

?

=（）.

A. B. C. D.

3

2

2. 三角形两边之差为2，夹角的正弦值为

3

5

，面积为

9

2

，那么这个三角形的两边长分别是（）.

A. 3和5

B. 4和6

C. 6和8

D. 5和7

3. 在ABC

?中，若2cos sin sin

B A C

?=，则ABC

?一定是（）三角形．

A. 等腰

B. 直角

C. 等边

D. 等腰直角

4. ABC

?三边长分别为3,4,6，它的较大锐角的平分线分三角形的面积比是．

5. 已知三角形的三边的长分别为54

a cm

=，61

b cm

=，71

c cm

=，则?ABC的面积是

．

2.已知在?ABC中，∠B=30?，b=6，c

a及?ABC的面积S．

2. 在△ABC中，若

sin sin sin(cos cos)

A B C A B

+=?+，试判断△ABC 的形状.

§1.2应用举例（练习）

1．能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关测量的实际问题；

2．三角形的面积及有关恒等式．

为解三角形问题来解决．

复习2：基本解题思路是：

①分析此题属于哪种类型（距离、高度、角度）；

②依题意画出示意图，把已知量和未知量标在图中；

③确定用哪个定理转化，哪个定理求解；

④进行作答，并注意近似计算的要求．

二、新课导学

※典型例题

例1. 某观测站C在目标A 的南偏西25方向，从A 出发有一条南偏东35走向的公路，在C处测得与C相距31km的公路上有一人正沿着此公路向A走去，走20km到达D，此时测得CD距离为21km，求此人在D处距A还有多远？例2. 在某点B处测得建筑物AE的顶端A的仰角

为θ，沿BE方向前进30m，至点C处测得顶端A

的仰角为2θ，再继续前进至D点，测得

顶端A的仰角为4θ，求θ的大小和建筑物AE的高．

例3. 如图，在四边形ABCD中，AC平分∠DAB，∠ABC=60°，AC=7，AD=6，

S△ADC，求AB

的长．

B C

※动手试试

练1. 为测某塔AB的高度，在一幢与塔AB相距20m 的楼的楼顶处测得塔顶A的仰角为30°，测得塔基B的俯角为45°，则塔AB的高度为多少m？

练2. 两灯塔A、B与海洋观察站C的距离都等于a km，灯塔A在观察站C的北偏东30°，灯塔B在观察站C南偏东60°，则A、B之间的距离为多少？

三、总结提升

※学习小结

1. 解三角形应用题的基本思路，方法；

2．应用举例中测量问题的强化.

※知识拓展

秦九韶“三斜求积”公式：

※自我评价你完成本节导学案的情况为（）.

A. 很好

B. 较好

C. 一般

D.

较差

※当堂检测（时量：5分钟满分：10分）

计分：1. 某人向正东方向走x km

后，向右转150，然后朝新方向走3km，km，则x等于（）.

A B

．C

D．3 2.在200米的山上顶，测得山下一塔顶与塔底的俯角分别为30,60，则塔高为（

）米．

A．

200

3

B C．

400

3

D

3. 在?ABC中，60

A

∠=?，16

AC=，面积为

BC的长度为（）.

A．25B．51C．D．49

4. 从200米高的山顶A处测得地面上某两个景点

B、C的俯角分别是30o和45o，且∠BAC＝45o，则这两个景点B、C之间的距离

．

5. 一货轮航行到M处，测得灯塔S在货轮的北偏东15°相距20里处，随后货轮按北偏西30°的方向航行，半小时后，又测得灯塔在货轮的北偏东45?，则货轮的速度．

1. 3.5米长的棒斜靠在石堤旁，棒的一端在离堤足1.2米地面上，另一端在沿堤上

2.8米的地方，求堤对地面的倾斜角.

2. 已知a，b，c为△ABC的三个内角A，B，C的对边，向量m1-），n＝（cos A，sin A）. 若m⊥n，且a cos B+b cos A=c sin C，求角B.

第一章 解三角形（复习）

能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关测量距离的实际问题．

（1）用正弦定理：

①知两角及一边解三角形；

②知两边及其中一边所对的角解三角形（要讨论解的个数）． （2）用余弦定理：

①知三边求三角；

②知道两边及这两边的夹角解三角形．

复习2：应用举例

① 距离问题，②高度问题， ③ 角度问题，④计算问题．

练：有一长为2公里的斜坡，它的倾斜角为30°，现要将倾斜角改为45°，且高度不变. 则斜坡长变为___ ．

二、新课导学

※ 典型例题

例 1. 在ABC ?中tan()1A B +=，且最长边为1，

tan tan A B >，1

tan 2

B =，求角

C 的大小及△ABC

最短边的长．

例2. 如图，当甲船位于A 处时获悉，在其正东方向相距20海里的B 处有一艘渔船遇险等待营救．甲船立即前往救援，同时把消息告知在甲船的南偏西30，相距10海里C 处的乙船，试问乙船应朝北偏东多少度的方向沿直线前往B 处救援（角度精确到

1）？

例3. 在?ABC 中，设tan 2,tan A c b

B b

-= 求A 的值．

北 20

10 A B ? ?C

※动手试试

练1. 如图，某海轮以60 n mile/h 的速度航行，在A点测得海面上油井P在南偏东60°，向北航行40 min后到达B点，测得油井P在南偏东30°，海轮改为北偏东60°的航向再行驶80 min到达C 点，求P、C间的距离．

练2. 在△ABC中，b＝10，A＝30°，问a取何值时，此三角形有一个解？两个解？无解？

三、总结提升

※学习小结

1. 应用正、余弦定理解三角形；

2. 利用正、余弦定理解决实际问题（测量距离、高度、角度等）；

3．在现实生活中灵活运用正、余弦定理解决问题. （边角转化）．

※知识拓展

设在ABC

?中，已知三边a，b，c，那么用已知边表示外接圆半径R的公式是

※自我评价你完成本节导学案的情况为（）.

A. 很好

B. 较好

C. 一般

D. 较差

※当堂检测（时量：5分钟满分：10分）计分：1. 已知△

ABC中，AB＝6，∠A＝30°，∠B＝120?，则△ABC的面积为（）.

A．9 B．18 C．9D．

2.在△ABC中，若222

c a b ab

=++，则∠C=（）. A．60°B．90°C．150°D．120°3. 在?ABC中，80

a=，

100

b=，A=30°，则B 的解的个数是（

）.

A．0个B．1个C．2个D．不确定的4. 在△ABC中，a=b=

1

cos

3

C=，

则

ABC

S=

△

_______

5. 在?ABC中，a、b、c分别为∠A、∠B、∠C

的对边，若

2222sin

a b c bc A

=+-，则A=___ ____.

1. 已知A、B、C为ABC

?的三内角，且其对边分别为a、b、c，若

1

cos cos sin sin

2

B C B C

-=．（1）求A；

（2）若4

a b c

=+=，求ABC

?的面积．

2. 在△ABC中，,,

a b c分别为角A、B、C的对边，

222

8

5

bc

a c b

-=-，a=3，△ABC的面积为6

，（1）求角A的正弦值；（2）求边b、c.

§2.1数列的概念与简单表示法(1)

1. 理解数列及其有关概念，了解数列和函数之间的关系；

2. 了解数列的通项公式，并会用通项公式写出数列的任意一项；

3. 对于比较简单的数列，会根据其前几项写出它的个通项公式.

2830 ，找出疑惑之处）

复习1：函数3x y =，当x 依次取1，2，3，…时，其函数值有什么特点？

复习2：函数y =7x +9，当x 依次取1，2，3，…时，其函数值有什么特点？

二、新课导学

※ 学习探究

探究任务：数列的概念 ⒈ 数列的定义： 的一列数叫做数列.

⒉ 数列的项：数列中的 都叫做这个数列的项. 反思： ⑴ 如果组成两个数列的数相同而排列次序不同，那么它们是相同的数列？ ⑵ 同一个数在数列中可以重复出现吗？

3. 数列的一般形式：123,,,,,n a a a a ，或简记为{}n a ，其中n a 是数列的第 项.

4. 数列的通项公式：如果数列{}n a 的第n 项n a 与n 之间的关系可以用 来表示，那么

就叫做这个数列的通项公式.

反思：

⑴所有数列都能写出其通项公式？

⑵一个数列的通项公式是唯一？

⑶数列与函数有关系吗？如果有关，是什么关系？

5．数列的分类：

1）根据数列项数的多少分 数列和 数列；

2）根据数列中项的大小变化情况分为 数列， 数列， 数列和 数列.

※ 典型例题

例1写出下面数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数：

⑴ 1，－12，1

3

，－14；

⑵ 1， 0， 1， 0.

变式：写出下面数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数：

⑴ 12，45，910，16

17

；

⑵ 1， －1， 1， －1；

小结：要由数列的若干项写出数列的一个通项公

式，只需观察分析数列中的项的构成规律，将项表示为项数的函数关系.

例2已知数列2，

7

4

，2，…的通项公式为2n an b

a cn

+=

，求这个数列的第四项和第五项.

变式：

…，则

是它的第 项.

小结：已知数列的通项公式，只要将数列中的项代入通项公式，就可以求出项数和项.

※ 动手试试

练 1. 写出下面数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数：

⑴ 1， 13，1

5

， 17；

⑵ 1

2 .

练2. 写出数列2{}n n -的第20项，第n ＋1项.

三、总结提升

※ 学习小结

1. 对于比较简单的数列，会根据其前几项写出它的一个通项公式；

2. 会用通项公式写出数列的任意一项.

※ 知识拓展

数列可以看作是定义域为正整数集的特殊函数.

思考：设()f n ＝1＋12＋1

3

＋…＋

131n -（n ∈*N ）那么(1)()f n f n +-等于（ ）

A. 132n +

B.11331n n ++

C. 113132n n +++

D. 11133132

n n n ++

++

※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）. A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差 ※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分： 1. 下列说法正确的是（ ）. A. 数列中不能重复出现同一个数

B. 1，2，3，4与4，3，2，1是同一数列

C. 1，1，1，1…不是数列

D. 两个数列的每一项相同，则数列相同

2. 下列四个数中，哪个是数列{(1)}n n +中的一项（ ）.

A. 380

B. 392

C. 321

D. 232 3. 在横线上填上适当的数：

3，8，15， ，35，48.

4.数列(1)2

{(1)

}n n --的第4项是 . 5. 写出数列121-?，122?，123-?，1

24

?的一个

通项公式 .

1. 写出数列｛2n ｝的前5项.

2. （1）写出数列2212-，2313-，2414-，251

5

-的

一个通项公式为 .

（

2）

… 那

么是这个数列的第 项.

北师大版高中数学必修五教学案

数列 1．1数列的概念 预习课本P3～6，思考并完成以下问题 (1)什么是数列？数列的项指什么？ (2)数列的一般表示形式是什么？ (3)按项数的多少，数列可分为哪两类？ (4)数列的通项公式是什么？数列的通项公式与函数解析式有什么关系？ [新知初探] 1．数列的概念 (1)定义：按一定次序排列的一列数叫作数列． (2)项：数列中的每一个数叫作这个数列的项． (3)数列的表示：数列的一般形式可以写成a1，a2，a3，…，a n…，简记为数列{a n}．数列的第1项a1，也称首项；a n是数列的第n项，也叫数列的通项． [点睛] (1)数列的定义中要把握两个关键词：“一定次序”与“一列数”．也就是说构成数列的元素是“数”，并且这些数是按照“一定次序”排列的，即确定的数在确定的位置． (2)项a n与序号n是不同的，数列的项是这个数列中的一个确定的数，而序号是指项在数列中的位次． (3){a n}与a n是不同概念：{a n}表示数列a1，a2，a3，…，a n，…；而a n表示数列{a n}中的第n 项． 2．数列的分类 项数有限的数列叫作有穷数列，项数无限的数列叫作无穷数列．

3．数列的通项公式 如果数列{a n }的第n 项a n 与n 之间的函数关系可以用一个式子表示成a n ＝f (n )，那么这个式子叫作数列{a n }的通项公式． [点睛] (1)数列的通项公式实际上是一个以正整数集N ＋或它的有限子集{1,2,3，…，n }为定义域的函数解析式． (2)同所有的函数关系不一定都有解析式一样，并不是所有的数列都有通项公式． 4．数列的表示方法 数列的表示方法一般有三种：列表法、图像法、解析法． [小试身手] 1．判断下列结论是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)同一数列的任意两项均不可能相同．( ) (2)数列－1,0,1与数列1,0，－1是同一个数列．( ) (3)数列中的每一项都与它的序号有关．( ) 答案：(1)× (2)× (3)√ 2．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝1－(－1)n ＋1 2，则该数列的前4项依次为( ) A ．1,0,1,0 B ．0,1,0,1 C.12，0，1 2 ，0 D ．2,0,2,0 解析：选B 把n ＝1,2,3,4分别代入a n ＝1－(－1)n ＋ 12中，依次得到0,1,0,1. 3．已知数列{a n }中，a n ＝2n ＋1，那么a 2n ＝( ) A ．2n ＋1 B ．4n －1 C ．4n ＋1 D ．4n 解析：选C ∵a n ＝2n ＋1，∴a 2n ＝2(2n )＋1＝4n ＋1. 4．数列1,3,6,10，x,21，…中，x 的值是( ) A ．12 B ．13 C ．15 D ．16 解析：选C ∵3－1＝2,6－3＝3,10－6＝4， ∴? ???? x －10＝5，21－x ＝6，∴x ＝15. [典例] (1){0,1,2,3,4}；(2)0,1,2,3；(3)0,1,2,3,4，…； (4)1，－1,1，－1,1，－1，…；(5)6,6,6,6,6. [解] (1)是集合，不是数列；

新人教版高中数学必修5知识点总结(详细)

高中数学必修5知识点总结 第一章 解三角形 1、三角形三角关系：A+B+C=180°；C=180°-(A+B)； 2、三角形三边关系：a+b>c; a-b，则90C <；③若 222a b c +<，则90C >． 注：正余弦定理的综合应用：如图所示：隔河看两目标

高中数学必修五知识点总结及例题学习资料

高中数学必修5知识点 1、正弦定理：在C ?AB 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，R 为C ?AB 的外接圆的半径， 则有 2sin sin sin a b c R A B C ===． 2、正弦定理的变形公式：①2sin a R =A ，2sin b R =B ，2sin c R C =；（边化角） ②sin 2a A R =，sin 2b B R =，sin 2c C R =；（角化边） ③::sin :sin :sin a b c A B C =； ④sin sin sin sin sin sin a b c a b c A B C A B C ++=== ++． 3、三角形面积公式：111 sin sin sin 222 C S bc A ab C ac B ?AB ===． 4、余弦定理：在C ?AB 中，有2 2 2 2cos a b c bc A =+-， 2222cos b a c ac B =+-， 2222cos c a b ab C =+-． 5、余弦定理的推论：222cos 2b c a bc +-A =，222cos 2a c b ac +-B =，222 cos 2a b c C ab +-=． 6、设a 、b 、c 是C ?AB 的角A 、B 、C 的对边， 则：①若222 a b c +=，则90C =；（.C A B C ?? 为直角为直角三角形） ②若2 2 2 a b c +>，则90C <；（.C A B C ??为锐角不一定是锐角三角形） ③若2 2 2 a b c +<，则90C >．（.C A B C ?? 为钝角为钝角三角形） 注：在C ?AB 中，则有 （1）A B C π++=，sin 0,sin 0,sin 0A B C >>>（正弦值都大于0） （2）,,.a b c a c b b c a +>+>+>（两边之和大于第三边） （3）sin sin A B A B a b >?>?>（大角对大边，大边对大角） 7、递增数列：从第2项起，每一项都不小于它的前一项的数列．10n n a a +-> 8、递减数列：从第2项起，每一项都不大于它的前一项的数列．10n n a a +-< 9、常数列：各项相等的数列．11,.n n a a S na == 10、数列的通项公式：表示数列{}n a 的第n 项与序号n 之间的关系的公式． 11、数列的递推公式：表示任一项n a 与它的前一项1n a -（或前几项）间的关系的公式． 12、如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，则这个数列称为等差数列，这个常数称为等差数列的公差．11()n n n n a a d a a d -+-=-= 13、由三个数a ，A ，b 组成的等差数列可以看成最简单的等差数列，则A 称为a 与b 的等差中项．若2 a c b += ，则

高中数学必修五导学案 解三角形答案

必修五解三角形测试题答案 一、选择题：共8小题，每小题5分，共计40分 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，满分30分． 9．______________14/5___________ 10．_2___ 11． __________2_ 12．_______ 90_______ 13． ___________ 120 14．__不用做___）），（），（（321_____ 三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 15.解:(1)在ABC ?中,由 cos A =,可得sin A =,又由s i n s i n a c A C =及 2a =,c =可得sin C = 由2 2 2 2 2cos 20a b c bc A b b =+-?+-=,因为0b >,故解得1b =. 所以sin 1C b = = (2)由cos 4A =- sin 4 A =, 得2 3cos 22cos 14A A =-=- ,sin 2sin cos A A A == 所以3cos(2)cos 2cos sin 2sin 3 3 3 8 A A A π π π -+ =-= 16.解:(I)由已知得:sin (sin cos cos sin )sin sin B A C A C A C +=, sin sin()sin sin B A C A C +=,则2sin sin sin B A C =, 再由正弦定理可得:2b ac =,所以,,a b c 成等比数列.

(II)若1,2a c ==,则2 2b ac ==,∴2223 cos 24 a c b B a c +-==, sin C == , ∴△ABC 的面积11sin 1222S ac B = =??=. 17. 【解析】(Ⅰ),,(0,)sin()sin 0A C B A B A C B ππ+=-∈?+=> 2sin cos sin cos cos sin sin()sin B A A C A C A C B =+=+= 1cos 23 A A π?= ?= (II)2 2 2 2 2 2 2cos 2 a b c bc A a b a c B π =+-?==+?= 在Rt ABD ?中,AD = == 18. 【解析】 解:(1)证明:由 sin( )sin()44 b C c B a π π +-+=及正弦定理得: sin sin()sin sin()sin 44 B C C B A ππ +-+=, 即sin )sin )B C C C B B -+= 整理得:sin cos cos sin 1B C B C -=,所以sin()1B C -=,又30,4 B C π << 所以2 B C π -= (2) 由(1)及34B C π+=可得5,88B C ππ= =,又,4 A a π ==所以sin 5sin 2sin ,2sin sin 8sin 8 a B a C b c A A ππ = ===, 所以三角形ABC 的面积 151 sin sin cos 2888842 bc A πππππ===== 19.考点分析:本题考察三角恒等变化,三角函数的图像与性质. 解析:(Ⅰ)因为22()sin cos cos f x x x x x ωωωωλ=-+?+ cos22x x ωωλ=-+π 2sin(2)6 x ωλ=-+.

人教版高中数学必修五教案1

第一章解三角形 1.1正弦定理和余弦定理 1.1.1正弦定理 知识结构梳理 几何法证明 正弦定理的证明 向量法证明 已知两角和任意一边 正弦定理正弦定理 正弦定理的两种应用 已知两边和其中一角的对角 解三角形 知识点1 正弦定理及其证明 1正弦定理： 2.正弦定理的证明： （1）向量法证明 （2）平面几何法证明 3.正弦定理的变形 知识点2 正弦定理的应用 1.利用正弦定理可以解决以下两类有关三角形的问题： （1）已知两角和任意一边，求其他两边和另一角； （2）已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角，从而进一步求出其他的边和角。 2.应用正弦定理要注意以下三点： （1） （2） （3） 知识点3 解三角形

1.1.2余弦定理 知识点1 余弦定理 1. 余弦定理的概念 2. 余弦定理的推论 3. 余弦定理能解决的一些问题： 4. 理解应用余弦定理应注意以下四点： （1） （2） （3） （4） 知识点2 余弦定理的的证明 证法1： 证法2： 知识点3 余弦定理的简单应用 利用余弦定理可以解决以下两类解三角的问题： （1）已知三边求三角； （2）已知两边和它们的夹角，可以求第三边，进而求出其他角。 例1（山东高考）在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，tanC=73. (1) 求C cos ； (2) 若 =2 5 ,且a+b=9，求c.

1.2应用举例 知识点1 有关名词、术语 （1）仰角和俯角： （2）方位角： 知识点2 解三角形应用题的一般思路 （1）读懂题意，理解问题的实际背景，明确已知和所求，准确理解应用题中的有关术语、名称，如仰角、俯角、视角、方位角等，理清量与量之间的关系； （2）根据题意画出示意图，将实际问题抽象成解三角形模型； （3）合理选择正弦定理和余弦定理求解； （4）将三角形的解还原为实际问题，注意实际问题中的单位、结果要求近似等。 1.3实习作业 实习作业的方法步骤 （1）首先要准备皮尺、测角仪器，然后选定测量的现场（或模拟现场），再收集测量数据，最后解决问题，完成实习报告。要注意测量的数据应尽量做到准确，为此可多测量几次，取平均值。要有创新意识，创造性地设计实施方案，用不同的方法收集数据，整理信息。 （2）实习作业中的选取问题，一般有：○1距离问题，如从一个可到达点到一个不可到达点之间的距离，或两个不可到达点之间的距离；②高度问题，如求有关底部不可到达的建筑物的高度问题。一般的解决方法就是运用正弦定理、余弦定理解三角形。

高中数学必修五全部学案

【高二数学学案】 §1.1 正弦定理和余弦定理 第一课时 正弦定理 一、1、基础知识 设?ABC 的三个角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，R 是?ABC 的外接圆半径。 （1）正弦定理： = = =2R 。 （2）正弦定理的三种变形形式： ①==b A R a ,sin 2 ，c= 。 ②== B R a A sin ,2sin ，=C sin 。 ③=c b a :: 。 （3）三角形中常见结论： ①A+B+C= 。②a B sin ，则有（ ） A 、a b D 、a ，b 的大小无法确定 （2）在ABC ?中，A=30°，C=105°，b=8，则a 等于（ ） A 、4 B 、24 C 、34 D 、54 （3）已知ABC ?的三边分别为c b a ,,，且a b B A :cos :cos =，则ABC ?是 三角形。 二、例题 例1、根据下列条件，解ABC ?： （1）已知 30,7,5.3===B c b ，求C 、A 、a ； （2）已知B=30°，2=b ，c=2，求C 、A 、a ； （3）已知b=6，c=9，B=45°，求C 、A 、a 。 例2、在ABC ?中，C B C B A cos cos sin sin sin ++= ，试判断ABC ?的形状。

三、练习 1、在ABC ?中，若B b A a cos cos =，求证：ABC ?是等腰三角形或直角三角形。 2、在ABC ?中，5:3:1::=c b a ，求 C B A sin sin sin 2-的值。 四、课后练习 1、在ABC ?中，下列等式总能成立的是（ ） A 、A c C a cos cos = B 、A c C b sin sin = C 、B bc C ab sin sin = D 、A c C a sin sin = 2、在ABC ?中， 120,3,5===C b a ，则B A sin :sin 的值是（ ） A 、 35 B 、53 C 、73 D 、7 5 3、在ABC ?中，已知 60,8==B a ，C=75°，则b 等于（ ） A 、24 B 、34 C 、64 D 、3 32 4、在ABC ?中，A=60°，24,34==b a ，则角B 等于（ ） A 、45°或135° B 、135° C 、45° D 、以上答案都不对 5、根据下列条件，判断三角形解的情况，其中正确的是（ ）

高中数学必修五 知识点总结【经典】

《必修五 知识点总结》 第一章：解三角形知识要点 一、正弦定理和余弦定理 1、正弦定理：在C ?AB 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，，则有 2sin sin sin a b c R C ===A B (R 为C ?AB 的外接圆的半径) 2、正弦定理的变形公式： ①2sin a R =A ，2sin b R =B ，2sin c R C =； ②sin 2a R A = ，sin 2b R B =，sin 2c C R =； ③::sin :sin :sin a b c C =A B ； 3、三角形面积公式：111 sin sin sin 222 C S bc ab C ac ?AB = A == B ． 4、余弦定理：在 C ?AB 中，有2 2 2 2cos a b c bc =+-A ，推论：bc a c b A 2cos 2 22-+= B ac c a b cos 2222-+=，推论： C ab b a c cos 22 2 2 -+=，推论：ab c b a C 2cos 2 22-+= 二、解三角形 处理三角形问题，必须结合三角形全等的判定定理理解斜三角形的四类基本可解型，特别要多角度（几何作图，三角函数定义，正、余弦定理，勾股定理等角度）去理解“边边角”型问题可能有两解、一解、无解的三种情况，根据已知条件判断解的情况，并能正确求解 1、三角形中的边角关系 （1）三角形内角和等于180°； （2）三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边； ac b c a B 2cos 2 22-+=

（3）三角形中大边对大角，小边对小角； （4）正弦定理中,a =2R ·sin A , b =2R ·sin B , c =2R ·sin C ，其中R 是△ABC 外接圆半径. （5）在余弦定理中:2bc cos A =222a c b -+. （6）三角形的面积公式有:S = 21ah , S =21ab sin C=21bc sin A=2 1 ac sinB , S =))(()(c P b P a P P --?-其中，h 是BC 边上高，P 是半周长. 2、利用正、余弦定理及三角形面积公式等解任意三角形 （1）已知两角及一边，求其它边角，常选用正弦定理. （2）已知两边及其中一边的对角，求另一边的对角，常选用正弦定理. （3）已知三边，求三个角，常选用余弦定理. （4）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角，常选用余弦定理. （5）已知两边和其中一边的对角，求第三边和其他两个角，常选用正弦定理. 3、利用正、余弦定理判断三角形的形状 常用方法是：①化边为角；②化角为边. 4、三角形中的三角变换 （1）角的变换 因为在△ABC 中，A+B+C=π，所以sin(A+B)=sinC ；cos(A+B)=－cosC ；tan(A+B)=－tanC 。 2 sin 2cos ,2cos 2sin C B A C B A =+=+； （2）三角形边、角关系定理及面积公式，正弦定理，余弦定理。 r 为三角形内切圆半径，p 为周长之半 （3）在△ABC 中，熟记并会证明：∠A ，∠B ，∠C 成等差数列的充分必要条件是∠B=60°；△ABC 是正三角形的充分必要条件是∠A ，∠B ，∠C 成等差数列且a ，b ，c 成等比数列.

2017年最新高中数学必修5全册导学案及章节检测含答案

2016-2017学年高中数学必修五 全册导学案及章节检测 目 录 1．1.1 正弦定理(一) ............................................................................................................. 1 1.1.1 正弦定理(二) ................................................................................................................ 5 1．1.2 余弦定理(一) ............................................................................................................. 9 1．1.2 余弦定理(二) ........................................................................................................... 13 1.2 应用举例(一) ................................................................................................................. 18 1.2 应用举例(二) ................................................................................................................. 24 第一章 解三角形章末复习课 ............................................................................................... 30 第一章 解三角形章末检测（A ） ........................................................................................ 35 第一章 解三角形章末检测（B ） ........................................................................................ 42 2.1 数列的概念与简单表示法(一) ................................................................................... 50 2.1 数列的概念与简单表示法(二) ................................................................................... 54 2.2 等差数列(一) ............................................................................................................... 59 2.2 等差数列(二) ............................................................................................................... 63 2.3 等差数列的前n 项和(一) ........................................................................................... 67 2.4 等比数列(一) ............................................................................................................... 76 2.4 等比数列(二) ............................................................................................................... 80 2.5 等比数列的前n 项和(二) ........................................................................................... 88 数列复习课检测试题 ............................................................................................................. 93 数列习题课（1）检测试题 ................................................................................................... 98 数列习题课（2）新人教A 版必修5 .................................................................................. 102 数列章末检测（A ）新人教A 版必修5 .............................................................................. 106 数列章末检测（B ）新人教A 版必修5 .............................................................................. 112 第二章 数 列 章末检测(B) 答案 ............................................................................. 115 3.1 不等关系与不等式 ...................................................................................................... 120 3.2 一元二次不等式及其解法(一) ................................................................................... 125 3.2 一元二次不等式及其解法(二) ................................................................................... 130 3．3.1 二元一次不等式(组)与平面区域 ......................................................................... 134 3．3.2 简单的线性规划问题(一) . (140) 3．3.2 简单的线性规划问题(二) (146) 3.4 ≤a ＋b 2(二) (157) 第三章 不等式复习课 ......................................................................................................... 161 第三章 不等式章末检测（A ） .......................................................................................... 167 第三章 不等式章末检测（B ） (174)

人教版高中数学必修5期末测试题

期末测试题 考试时间：90分钟 试卷满分：100分 一、选择题：本大题共14小题，每小题4分，共56分. 在每小题的4个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．在等差数列3，7，11…中，第5项为( )． A ．15 B ．18 C ．19 D ．23 2．数列{}n a 中，如果n a ＝3n (n ＝1，2，3，…) ，那么这个数列是( )． A ．公差为2的等差数列 B ．公差为3的等差数列 C ．首项为3的等比数列 D ．首项为1的等比数列 3．等差数列{a n }中，a 2＋a 6＝8，a 3＋a 4＝3，那么它的公差是( )． A ．4 B ．5 C ．6 D ．7 4．△ABC 中，∠A ，∠B ，∠C 所对的边分别为a ，b ，c ．若a ＝3，b ＝4，∠C ＝60°， 则c 的值等于( )． A ．5 B ．13 C ．13 D ．37 5．数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝2a n ＋1(n ∈N +)，那么a 4的值为( )． A ．4 B ．8 C ．15 D ．31 6．△ABC 中，如果A a tan ＝B b tan ＝C c tan ，那么△ABC 是( )． A ．直角三角形 B ．等边三角形 C ．等腰直角三角形 D ．钝角三角形 7．如果a ＞b ＞0，t ＞0，设M ＝b a ，N ＝t b t a ++，那么( )． A ．M ＞N B ．M ＜N C ．M ＝N D ．M 与N 的大小关系随t 的变化而变化 8．如果{a n }为递增数列，则{a n }的通项公式可以为( )． A ．a n ＝－2n ＋3 B ．a n ＝－n 2－3n ＋1 C ．a n ＝ n 21 D ．a n ＝1＋log 2n

高中数学必修五基本不等式学案

高中数学必修五基本不等式：ab≤a＋b 2（学案） 学习目标：1.了解基本不等式的证明过程.2.能利用基本不等式证明简单的不等式及比较代数式的大小(重点、难点).3.熟练掌握利用基本不等式求函数的最值问题(重点)． [自主预习·探新知] 1．重要不等式 如果a，b∈R，那么a2＋b2≥2ab(当且仅当a＝b时取“＝”)． 思考：如果a>0，b>0，用a，b分别代替不等式a2＋b2≥2ab中的a，b，可得到怎样的不等式？ [提示]a＋b≥2ab. 2．基本不等式：ab≤a＋b 2 (1)基本不等式成立的条件：a，b均为正实数； (2)等号成立的条件：当且仅当a＝b时取等号． 思考：不等式a2＋b2≥2ab与ab≤a＋b 2成立的条件相同吗？如果不同各是 什么？ [提示]不同，a2＋b2≥2ab成立的条件是a，b∈R；ab≤a＋b 2成立的条件 是a，b均为正实数． 3．算术平均数与几何平均数 (1)设a>0，b>0，则a，b的算术平均数为a＋b 2，几何平均数为 (2)基本不等式可叙述为两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数． 思考：a＋b 2≥ab与? ? ? ? ? a＋b 2 2 ≥ab是等价的吗？ [提示]不等价，前者条件是a>0，b>0，后者是a，b∈R. 4．用基本不等式求最值的结论 (1)设x，y为正实数，若x＋y＝s(和s为定值)，则当x＝y＝s 2时，积xy有最

小值为2xy . (2)设x ，y 为正实数，若xy ＝p (积p 为定值)，则当x ＝y ＝p 时，和x ＋y 有最大值为(x ＋y )2 4. 5．基本不等式求最值的条件 (1)x ，y 必须是正数． (2)求积xy 的最大值时，应看和x ＋y 是否为定值；求和x ＋y 的最小值时，应看积xy 是否为定值． (3)等号成立的条件是否满足． 思考：利用基本不等式求最值时应注意哪几个条件？若求和(积)的最值时，一般要确定哪个量为定值？ [提示] 三个条件是：一正，二定，三相等．求和的最小值，要确定积为定值；求积的最大值，要确定和为定值． [基础自测] 1．思考辨析 (1)对任意a ，b ∈R ，a 2＋b 2≥2ab ，a ＋b ≥2ab 均成立．( ) (2)对任意的a ，b ∈R ，若a 与b 的和为定值，则ab 有最大值．( ) (3)若xy ＝4，则x ＋y 的最小值为4.( ) (4)函数f (x )＝x 2 ＋2 x 2＋1 的最小值为22－1.( ) [答案] (1)× (2)√ (3)× (4)√ 2．设x ，y 满足x ＋y ＝40，且x ，y 都是正数，则xy 的最大值为________. 400 [因为x ，y 都是正数， 且x ＋y ＝40，所以xy ≤? ???? x ＋y 22 ＝400，当且仅当x ＝y ＝20时取等号．] 3．把总长为16 m 的篱笆围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是________ m 2. 16 [设一边长为x m ，则另一边长可表示为(8－x )m ，则面积S ＝x (8－x )≤? ???? x ＋8－x 22 ＝16，当且仅当x ＝4时取等号，故当矩形的长与宽相等，都为4 m 时面积取到最大值16 m 2.]

高中数学必修5知识点总结归纳(人教版最全)

高中数学必修五知识点汇总 第一章 解三角形 一、知识点总结 正弦定理: 1．正弦定理:2sin sin sin a b c R A B C === (R 为三角形外接圆的半径). 步骤1. 证明：在锐角△ABC 中，设BC=a,AC=b,AB=c 。作CH ⊥AB 垂足为点H CH=a ·sinB CH=b ·sinA ∴a ·sinB=b ·sinA 得到b b a a s i n s i n = 同理，在△ABC 中， b b c c sin sin = 步骤2. 证明：2sin sin sin a b c R A B C === 如图，任意三角形ABC,作ABC 的外接圆O. 作直径BD 交⊙O 于D. 连接DA. 因为直径所对的圆周角是直角,所以∠DAB=90° 因为同弧所对的圆周角相等,所以∠D 等于∠C. 所以C R c D sin 2sin == 故2sin sin sin a b c R A B C === 2.正弦定理的一些变式： ()sin sin sin i a b c A B C ::=::；()sin ,sin ,sin 22a b ii A B C R R ==2c R =； ()2sin ,2sin ,2sin iii a R A b R B b R C ===； （4）R C B A c b a 2sin sin sin =++++ 3．两类正弦定理解三角形的问题： （1）已知两角和任意一边，求其他的两边及一角. （2）已知两边和其中一边的对角，求其他边角.（可能有一解，两解，无解） 4.在ABC ?中，已知a,b 及A 时，解得情况： 解法一：利用正弦定理计算 解法二：分析三角形解的情况，可用余弦定理做，已知a,b 和角A ，则由余弦定理得 即可得出关于c 的方程：0cos 2222=-+-a b Ac b c 分析该方程的解的情况即三角形解的情况 ①△=0,则三角形有一解 ②△>0则三角形有两解 ③△<0则三角形无解 余弦定理:

[高中数学必修三知识点总结]高中数学必修5知识点总结

[高中数学必修三知识点总结]高中数学必修5知识点总结 【--高中生入党申请书】 数学是高中生学习的最重要科目之一，数学的学习对于学生而言至关重要，数学成绩的好坏直接决定着你的总成绩的排名。下面就让给大家分享一些高中数学必修5知识点总结吧，希望能对你有帮助! 高中数学必修5知识点总结篇一 高中数学(文)包含5本必修、2本选修，(理)包含5本必修、3本选修，每学期学**两本书。

必修一：1、集合与函数的概念(这部分知识抽象，较难理解)2、基本的初等函数(指数函数、对数函数)3、函数的性质及应用(比较抽象，较难理解) 必修二：1、立体几何(1)、证明：垂直(多考查面面垂直)、平行(2)、求解：主要是夹角问题，包括线面角和面面角 这部分知识是高一学生的难点，比如：一个角实际上是一个锐角，但是在图中显示的钝角等等一些问题，需要学生的立体意识较强。这部分知识高考占22---27分 2、直线方程：高考时不单独命题，易和圆锥曲线结合命题 3、圆方程： 必修三：1、算法初步：高考必考内容，5分(选择或填

空)2、统计：3、概率：高考必考内容，09年理科占到15分，文科数学占到5分 必修四：1、三角函数：(图像、性质、高中重难点，)必考大题：15---20分，并且经常和其他函数混合起来考查 2、平面向量：高考不单独命题，易和三角函数、圆锥曲线结合命题。09年理科占到5分，文科占到13分 必修五：1、解三角形：(正、余弦定理、三角恒等变换)高考中理科占到22分左右，文科数学占到13分左右2、数列：高考必考，17---22分3、不等式：(线性规划，听课时易理解，但做题较复杂，应掌握技巧。高考必考5分)不等式不单独命题，一般和函数结合求最值、解集。 高中数学必修5知识点总结篇二 1.函数思想：把某变化过程中的一些相互制约的变量用

高中数学 必修五数列导学案 加课后作业及答案

必修五数列导学案 §2.1 数列的概念及简单表示（一） 【学习要求】 1．理解数列的概念，认识数列是反映自然规律的基本数学模型． 2．探索并掌握数列的几种简单表示法． 3．能根据数列的前几项写出数列的一个通项公式． 【学法指导】 1．在理解数列概念时，应区分数列与集合两个不同的概念． 2．类比函数的表示方法来理解数列的几种表示方法． 3．由数列的前几项，写出数列的一个通项公式是本节的难点之一，突破难点的方法：把序号标在项的旁边，观察项与序号的关系，从而写出通项公式． 【知识要点】 1．按照一定顺序排列的一列数称为 ，数列中的每一个数叫做这个数列的 ．数列中的每一项都和它的序号有关，排在第一位的数称为这个数列的第1项(通常也叫做___项)，排在第二位的数称为这个数列的第2项，……，排在第n 位的数称为这个数列的第 项． 2．数列的一般形式可以写成a 1,a 2,…,a n ,…,简记为 ． 3．项数有限的数列叫做 数列，项数无限的数列叫做_____数列． 4．如果数列{a n }的第n 项与序号n 之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的 公式． 【问题探究】 探究点一 数列的概念 问题 先看下面的几组例子： （1）全体自然数按从小到大排成一列数：0,1,2,3,4，…； （2）正整数1,2,3,4,5的倒数排成一列数：1，12，13，14，1 5 ； （3）π精确到1,0.1,0.01,0.001，…的不足近似值排成一列数：3,3.1,3.14,3.141，…； （4）无穷多个1排成一列数：1,1,1,1,1，…； （5）当n 分别取1,2,3,4,5，…时，(－1)n 的值排成一列数：－1,1，－1,1，－1，…. 请你根据上面的例子尝试给数列下个定义． 探究 数列中的项与数集中的元素进行对比，数列中的项具有怎样的性质？ 探究点二 数列的几种表示方法 问题 数列的一般形式是什么？回忆一下函数的表示方法，想一想除了列举法外，数列还有哪些表示方法？ 探究 下面是用列举法给出的数列，请你根据题目要求补充完整． （1）数列：1,3,5,7,9，… ①用公式法表示：a n ＝ ； ②用列表法表示： （2）数列：1，12，13，14，1 5，… ①用公式法表示：a n ＝ . ②用列表法表示： ③用图象法表示为(在下面坐标系中绘出)： 探究点三 数列的通项公式 问题 什么叫做数列的通项公式？谈谈你对数列通项公式的理解？ 探究 根据所给数列的前几项求其通项公式时，需仔细观察数列的特征，并进行联想、转化、归纳，同时要 数列 通项公式 －1,1，－1,1，… a n ＝ 1,2,3,4，… a n ＝ 1,3,5,7，… a n ＝ 2,4,6,8，… a n ＝ 1,2,4,8，… a n ＝ 1,4,9,16，… a n ＝ 1，12，13，1 4 ，… a n ＝ 【典型例题】 例1 根据数列的通项公式，分别写出数列的前5项与第2 012项． （1）a n ＝cos n π2 ； （2）b n ＝11×2＋12×3＋1 3×4＋…＋ 1 n n ＋1 . 小结 由数列的通项公式可以求出数列的指定项，要注意n ＝1,2,3，….如果数列的通项公式较为复杂，应考 虑运算化简后再求值． 跟踪训练1 根据下面数列的通项公式，写出它的前4项． （1）a n ＝2n ＋1；（2）b n ＝2 ) 1(1n -+ 例2 根据数列的前几项，写出下列各数列的一个通项公式： （1）1，－3,5，－7,9，…； （2）12，2，92，8，25 2 ，…； （3）9,99,999,9 999，…； （4）0,1,0,1，…. 小结 据所给数列的前几项求其通项公式时，需仔细观察分析，抓住其几方面的特征：①分式中分子、分母的特征；②相邻项的变化特征；③拆项后的特征；④各项的符号特征和绝对值特征．并对此进行联想、转化、归纳． 跟踪训练2 写出下列数列的一个通项公式： （1）212，414，618，81 16，…； （2）0.9,0.99,0.999,0.999 9，…； （3）－12，16，－112，1 20，….

人教版高二数学必修五学案(全套)

加油吧，少年，拼一次，无怨无悔！ 高二数学必修五全套学案 §1.1.1 正弦定理 学习目标 1. 掌握正弦定理的内容； 2. 掌握正弦定理的证明方法； 3. 会运用正弦定理解斜三角形的两类基本问题． 学习过程 一、课前准备 试验：固定?ABC的边CB及∠B，使边AC绕着顶点C转动． 思考：∠C的大小与它的对边AB的长度之间有怎样的数量关系？ 显然，边AB的长度随着其对角∠C的大小的增大而．能否用一个等式把这种关系精确地表示出来？ 二、新课导学 ※学习探究 探究1：在初中，我们已学过如何解直角三角形，下面就首先来探讨直 角三角形中，角与边的等式关系. 如图，在Rt?ABC中，设BC=a， AC=b，AB=c， 根据锐角三角函数中正弦函数的定义，

有 sin a A c =，sin b B c =，又sin 1c C c ==， 从而在直角三角形ABC 中，sin sin sin a b c A B C == ． ( 探究2：那么对于任意的三角形，以上关系式是否仍然成立？ 可分为锐角三角形和钝角三角形两种情况： 当?ABC 是锐角三角形时，设边AB 上的高是CD ，根据任意角三角函数的定义， 有CD =sin sin a B b A =，则sin sin a b A B = ， 同理可得sin sin c b C B = ， 从而sin sin a b A B = sin c C =． 类似可推出，当?ABC 是钝角三角形时，以上关系式仍然成立．请你试试导. 新知：正弦定理 在一个三角形中，各边和它所对角的 的比相等，即 sin sin a b A B = sin c C =． 试试： （1）在ABC ?中，一定成立的等式是（ ）． A ．sin sin a A b B = B .cos cos a A b B =