二次函数知识点归纳及相关习题(含答案)
二次函数知识点归纳及相关习题
第一部分 二次函数基础知识
? 相关概念及定义
二次函数的概念：一般地，形如2y ax bx c =++（a b c ，
，是常数，0a ≠）的函数，叫做二次函数。这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0a ≠，而b c ，
可以为零．二次函数的定义域是全体实数．
二次函数2y ax bx c =++的结构特征：
⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式，x 的最高次数是2．
⑵ a b c ，
，是常数，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项． ? 二次函数各种形式之间的变换
二次函数c bx ax y ++=2
用配方法可化成：()k h x a y +-=2
的形式，其中
a
b a
c k a b h 4422
-=-=，.
二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：①2ax y =；②k ax y +=2
；③()2
h x a y -=；④()k h x a y +-=2
；⑤c bx ax y ++=2
.
? 二次函数解析式的表示方法
一般式：2y ax bx c =++（a ，b ，c 为常数，0a ≠）；
顶点式：2()y a x h k =-+（a ，h ，k 为常数，0a ≠）；
两根式：12()()y a x x x x =--（0a ≠，1x ，2x 是抛物线与x 轴两交点的横坐标）.
注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成
交点式，只有抛物线与x 轴有交点，即240b ac -≥时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化. 二次函数2
ax y =的性质
? 二次函数2y ax c =+的性质
? 二次函数()2
y a x h =-的性质：
? 二次函数()2
y a x h k =-+的性质
? 抛物线2
y ax bx c =++的三要素：开口方向、对称轴、顶点.
a 的符号决定抛物线的开口方向：当0>a 时，开口向上；当0 a 相等，抛物线的开口大小、形状相同. 对称轴：平行于y 轴（或重合）的直线记作2b x a =- .特别地，y 轴记作直线0=x . 顶点坐标坐标：），（a b a c a b 4422 -- 顶点决定抛物线的位置.几个不同的二次函数，如果二次项系数a 相同，那么抛物线的开口 方向、开口大小完全相同，只是顶点的位置不同. ? 抛物线c bx ax y ++=2中，c b a ,,与函数图像的关系 二次项系数a 二次函数2y ax bx c =++中，a 作为二次项系数，显然0a ≠． ⑴ 当0a >时，抛物线开口向上，a 越大，开口越小，反之a 的值越小，开口越大； ⑵ 当0a <时，抛物线开口向下，a 越小，开口越小，反之a 的值越大，开口越大． 总结起来，a 决定了抛物线开口的大小和方向，a 的正负决定开口方向，a 的大小决定开口的大 小． 一次项系数b 在二次项系数a 确定的前提下，b 决定了抛物线的对称轴． ⑴ 在0a >的前提下， 当0b >时，02b a -<，即抛物线的对称轴在y 轴左侧； 当0b =时，02b a -=，即抛物线的对称轴就是y 轴； 当0b <时，02b a - >，即抛物线对称轴在y 轴的右侧． ⑵ 在0a <的前提下，结论刚好与上述相反，即 当0b >时，02b a ->，即抛物线的对称轴在y 轴右侧； 当0b =时，02b a -=，即抛物线的对称轴就是y 轴； 当0b <时，02b a -<，即抛物线对称轴在y 轴的左侧． 总结起来，在a 确定的前提下，b 决定了抛物线对称轴的位置． 总结： 常数项c ⑴ 当0c >时，抛物线与y 轴的交点在x 轴上方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为正； ⑵ 当0c =时，抛物线与y 轴的交点为坐标原点，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为0； ⑶ 当0c <时，抛物线与y 轴的交点在x 轴下方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为负． 总结起来，c 决定了抛物线与y 轴交点的位置． 总之，只要a b c ，，都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的． ? 求抛物线的顶点、对称轴的方法 公式法：a b ac a b x a c bx ax y 44222 2 -+??? ?? + =++=，∴顶点是），（a b ac a b 4422 --，对称轴是直线a b x 2- =. 配方法：运用配方的方法，将抛物线的解析式化为()k h x a y +-=2 的形式，得到顶点为 (h ,k )，对称轴是直线h x =. 运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以对称轴的连线的垂直 平分线是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点. 用配方法求得的顶点，再用公式法或对称性进行验证，才能做到万无一失. ? 用待定系数法求二次函数的解析式 一般式：c bx ax y ++=2 .已知图像上三点或三对x 、y 的值，通常选择一般式. 顶点式：()k h x a y +-=2 .已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式. 交点式：已知图像与x 轴的交点坐标1x 、2x ，通常选用交点式：()()21x x x x a y --=. ? 直线与抛物线的交点 y 轴与抛物线c bx ax y ++=2 得交点为(0, c ). 与y 轴平行的直线h x =与抛物线c bx ax y ++=2有且只有一个交点(h ,c bh ah ++2 ). 抛物线与x 轴的交点:二次函数c bx ax y ++=2 的图像与x 轴的两个交点的横坐标1x 、2x ， 是对应一元二次方程02 =++c bx ax 的两个实数根.抛物线与x 轴的交点情况可以由对应的 一元二次方程的根的判别式判定： ①有两个交点?0>??抛物线与x 轴相交； ②有一个交点（顶点在x 轴上）?0=??抛物线与x 轴相切； ③没有交点?0 平行于x 轴的直线与抛物线的交点 可能有0个交点、1个交点、2个交点.当有2个交点时，两交点的纵坐标相等，设纵坐标为k ， 则横坐标是k c bx ax =++2的两个实数根. 一次函数()0≠+=k n kx y 的图像l 与二次函数()02 ≠++=a c bx ax y 的图像G 的交点， 由方程组 2 y kx n y ax bx c =+??=++?的解的数目来确定：①方程组有两组不同的解时?l 与G 有两个交点; ②方程组只有一组解时?l 与G 只有一个交点；③方程组无解时?l 与G 没有交 点. 抛物线与x 轴两交点之间的距离：若抛物线c bx ax y ++=2 与x 轴两交点为 ()()0021，，，x B x A ，由于1x 、2x 是方程02=++c bx ax 的两个根，故 a c x x a b x x = ?-=+2121,() () a a ac b a c a b x x x x x x x x AB ?=-=-?? ? ??-=--= -= -=44422 212 212 2121 ? 二次函数图象的对称:二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达 关于x 轴对称 2 y a x b x c =++关于x 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =---； ()2 y a x h k =-+关于x 轴对称后，得到的解析式是()2 y a x h k =---； 关于y 轴对称 2 y a x b x c =++关于y 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+； ()2y a x h k =-+关于y 轴对称后，得到的解析式是()2 y a x h k =++； 关于原点对称 2 y a x b x c =++关于原点对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+-； ()2 y a x h k =-+关于原点对称后，得到的解析式是 ()2 y a x h k =-+-； 关于顶点对称 2 y a x b x c =++关于顶点对称后，得到的解析式是2 2 2b y ax bx c a =--+-； ()2y a x h k =-+关于顶点对称后，得到的解析式是()2 y a x h k =--+． 关于点()m n ， 对称 ()2 y a x h k =-+关于点()m n ，对称后，得到的解析式是()2 22y a x h m n k =-+-+- 总结：根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此a 永远不变．求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适 的形式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式． ? 二次函数图象的平移 平移步骤： ⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2 y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ， ； ⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ， 处，具体平移方法如下： 【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位 平移规律 在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”． 概括成八个字“左加右减，上加下减”． ? 根据条件确定二次函数表达式的几种基本思路。 三点式。 1，已知抛物线y=ax 2 +bx+c 经过A （3，0），B （32，0），C （0，-3）三点，求抛物线的解析式。 2，已知抛物线y=a(x-1)２ +4 ， 经过点A （2，3），求抛物线的解析式。 顶点式。 1，已知抛物线y=x 2-2ax+a 2 +b 顶点为A （2，1），求抛物线的解析式。 2，已知抛物线 y=4(x+a)2 -2a 的顶点为（3，1），求抛物线的解析式。 交点式。 1，已知抛物线与 x 轴两个交点分别为（3，0）,(5,0),求抛物线y=(x-a)(x-b)的解析式。 2，已知抛物线线与 x 轴两个交点（4，0），（1，0）求抛物线y=2 1 a(x-2a)(x-b)的解析式。 定点式。 1，在直角坐标系中，不论a 取何值，抛物线222 5212-+-+- =a x a x y 经过x 轴上一定点Q ，直线2)2(+-=x a y 经过点Q,求抛物线的解析式。 2，抛物线y= x 2 +(2m-1)x-2m 与x 轴的一定交点经过直线y=mx+m+4，求抛物线的解析式。 3，抛物线y=ax 2 +ax-2过直线y=mx-2m+2上的定点A ，求抛物线的解析式。 平移式。 1， 把抛物线y= -2x 2 向左平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到抛物线y=a( x-h)2 +k, 求此抛物线解析式。 2， 抛物线32 -+-=x x y 向上平移,使抛物线经过点C(0,2),求抛物线的解析式. 距离式。 1，抛物线y=ax 2 +4ax+1(a ﹥0)与x 轴的两个交点间的距离为2，求抛物线的解析式。 2，已知抛物线y=m x 2 +3mx-4m(m ﹥0)与 x 轴交于A 、B 两点，与 轴交于C 点，且AB=BC,求此抛物线的解析式。 对称轴式。 1、抛物线y=x 2-2x+(m 2 -4m+4)与x 轴有两个交点，这两点间的距离等于抛物线顶点到y 轴距离的2倍，求抛物线的解析式。 2、 已知抛物线y=-x 2 +ax+4, 交x 轴于A,B （点A 在点B 左边）两点，交 y 轴于点C,且OB-OA=4 3 OC ，求此抛物线的解析式。 对称式。 1， 平行四边形ABCD 对角线AC 在x 轴上，且A （-10，0），AC=16，D （2，6）。AD 交y 轴于E ，将三角 形ABC 沿x 轴折叠，点B 到B 1的位置，求经过A,B,E 三点的抛物线的解析式。 2， 求与抛物线y=x 2 +4x+3关于y 轴（或x 轴）对称的抛物线的解析式。 切点式。 1，已知直线y=ax-a 2(a ≠0) 与抛物线y=mx 2 有唯一公共点，求抛物线的解析式。 2， 直线y=x+a 与抛物线y=ax 2 +k 的唯一公共点A （2，1）,求抛物线的解析式。 判别式式。 1、已知关于X 的一元二次方程（m+1）x 2+2(m+1)x+2=0有两个相等的实数根，求抛物线y=-x 2 +(m+1)x+3解析式。 2、 已知抛物线y=(a+2)x 2 -(a+1)x+2a 的顶点在x 轴上,求抛物线的解析式。 3、已知抛物线y=(m+1)x 2 +(m+2)x+1与x 轴有唯一公共点，求抛物线的解析式。 知识点一、二次函数的概念和图像 1、二次函数的概念 一般地，如果特)0,,(2 ≠++=a c b a c bx ax y 是常数，，特别注意 a 不为零 那么y 叫做x 的二次函数。 )0,,(2≠++=a c b a c bx ax y 是常数，叫做二次函数的一般式。 2、二次函数的图像 二次函数的图像是一条关于a b x 2- =对称的曲线，这条曲线叫抛物线。 抛物线的主要特征： ①有开口方向；②有对称轴；③有顶点。 3、二次函数图像的画法 五点法： （1）先根据函数解析式，求出顶点坐标，在平面直角坐标系中描出顶点M ，并用虚线画出对称轴 （2）求抛物线c bx ax y ++=2 与坐标轴的交点： 当抛物线与x 轴有两个交点时，描出这两个交点A,B 及抛物线与y 轴的交点C ，再找到点C 的对称点D 。将这五个点按从左到右的顺序连接起来，并向上或向下延伸，就得到二次函数的图像。 当抛物线与x 轴只有一个交点或无交点时，描出抛物线与y 轴的交点C 及对称点D 。由C 、M 、D 三点可粗略地画出二次函数的草图。如果需要画出比较精确的图像，可再描出一对对称点A 、B ，然后顺次连接五点，画出二次函数的图像。 知识点二、二次函数的解析式 二次函数的解析式有三种形式：口诀----- 一般 两根 三顶点 （1）一般 一般式：)0,,(2 ≠++=a c b a c bx ax y 是常数， （2）两根 当抛物线c bx ax y ++=2 与x 轴有交点时，即对应二次好方程02 =++c bx ax 有 实根1x 和2x 存在时，根据二次三项式的分解因式))((212 x x x x a c bx ax --=++，二次函数 c bx ax y ++=2可转化为两根式))((21x x x x a y --=。如果没有交点，则不能这样表示。 a 的绝对值越大，抛物线的开口越小,a 的绝对值越大，抛物线的开口越小. （3）三顶点 顶点式：)0,,()(2 ≠+-=a k h a k h x a y 是常数， 知识点三、二次函数的最值 如果自变量的取值范围是全体实数，那么函数在顶点处取得最大值（或最小值），即当a b x 2- =时，a b a c y 442-=最值 。 如果自变量的取值范围是21x x x ≤≤，那么，首先要看a b 2- 是否在自变量取值范围21x x x ≤≤内，若在此范围内，则当x=a b 2-时，a b ac y 442-=最值；若不在此范围内，则需要考虑函数在2 1x x x ≤≤范围内的增减性，如果在此范围内，y 随x 的增大而增大，则当2x x =时，c bx ax y ++=22 2最大，当 1x x =时，c bx ax y ++=121最小；如果在此范围内，y 随x 的增大而减小，则当1x x =时， c bx ax y ++=121最大，当2x x =时，c bx ax y ++=22 2最小。 ☆、几种特殊的二次函数的图像特征如下： 知识点四、二次函数的性质 2、二次函数)0,,(2 ≠++=a c b a c bx ax y 是常数，中，c b 、、a 的含义： a 表示开口方向：a >0时，抛物线开口向上 a <0时，抛物线开口向下 b 与对称轴有关：对称轴为x=a b 2- c 表示抛物线与y 轴的交点坐标： （0，c ） 3、二次函数与一元二次方程的关系 一元二次方程的解是其对应的二次函数的图像与x 轴的交点坐标。 因此一元二次方程中的ac 4b 2 -=?，在二次函数中表示图像与x 轴是否有交点。 当?>0时，图像与x 轴有两个交点； 当?=0时，图像与x 轴有一个交点； 当?<0时，图像与x 轴没有交点。 知识点五 中考二次函数压轴题常考公式（必记必会，理解记忆） 1、两点间距离公式（当遇到没有思路的题时，可用此方法拓展思路，以寻求解题方法） 如图：点A 坐标为（x 1，y 1）点B 则AB 间的距离，即线段AB 的长度为 知识点五 二次函数 2 y ax =+ 五点绘图法：利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式2()y a x h k =-+，确定其开口 方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为： 顶点、与y 轴的交点()0c ， 、以及()0c ，关于对称轴对称的点()2h c ，、与x 轴的交点()10x ，，()20x ， （若与x 轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）. 画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x 轴的交点，与y 轴的交点. ☆、已知二次函数)0(2 ≠++=a c bx ax y 的图象如图所示，则下列结论中正确的是（ ） A 、00b 0>>>c a ，， B 、00b 0<> C 、00b 0>< D 、00b 0<< ≠=-=a x a y a ax y 与在同一坐标系中的图象可能是（ ） 特别记忆--同左上加 异右下减 (必须理解记忆) 说明① 函数中ab 值同号，图像顶点在y 轴左侧同左，a b 值异号，图像顶点必在Y 轴右侧异右 ②向左向上移动为加左上加，向右向下移动为减右下减 3、直线斜率： 1 212tan x x y y k --= =α b 为直线在y 轴上的截距4、直线方程： 4、①两点 由直线上两点确定的直线的两点式方程，简称两式: )()(t a n 11 21 21x x x x x y y b x b kx y y ---= +=+=-α 此公式有多种变形 牢记 ②点斜 )(11x x kx y y -=- ③斜截 直线的斜截式方程，简称斜截式: y ＝kx ＋b (k ≠0) ④截距 由直线在x 轴和y 轴上的截距确定的直线的截距式方程，简称截距式： 1=+b y a x 牢记 口诀 ---两点斜截距--两点 点斜 斜截 截距 5、设两条直线分别为，1l ：11y k x b =+ 2l ：22y k x b =+ 若12//l l ，则有1212 //l l k k ?=且12b b ≠。 若1212 1l l k k ⊥??=- 6、点P （x 0，y 0）到直线y=kx+b(即：kx-y+b=0) 的距离: 1 ) 1(2 002 2 00++-= -++-= k b y kx k b y kx d 7、抛物线c bx ax y ++=2中， a b c,的作用 （1）a 决定开口方向及开口大小，这与2 ax y =中的a 完全一样. （2）b 和a 共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线c bx ax y ++=2 的对称轴是直线 a b x 2- =，故：①0=b 时，对称轴为y 轴；②0>a b （即a 、b 同号）时，对称轴在y 轴左 侧；③0 （即a 、b 异号）时，对称轴在y 轴右侧. 口诀 --- 同左 异右 （3）c 的大小决定抛物线c bx ax y ++=2 与y 轴交点的位置. 当0=x 时，c y =，∴抛物线c bx ax y ++=2 与y 轴有且只有一个交点（0，c ）： ①0=c ，抛物线经过原点; ②0>c ,与y 轴交于正半轴； ③0 以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立.如抛物线的对称轴在y 轴右侧，则 0 b . 二次函数2 、2 、()2 、2 的性质 第二章 二次函数 同步检测（一） 一、选择题（每小题2分，共102分） 1、抛物线y=12x 2 向左平移8个单位，再向下平移9个单位后，所得抛物线的表达式是（ ） A. y=12(x+8)2-9 B. y=12(x-8)2+9 C. y=12(x-8)2-9 D. y=12 (x+8)2 +9 2、（2009年泸州）在平面直角坐标系中，将二次函数2 2x y =的图象向上平移2个单位，所得图象的 解析式为（ ） A ．222 -=x y B ．222 +=x y C ．2 )2(2-=x y D ．2 )2(2+=x y 3、 (2009年四川省内江市)抛物线3)2(2 +-=x y 的顶点坐标是（ ） A ．（2，3） B ．（－2，3） C ．（2，－3） D ．（－2，－3） 4、（2009年长春）如图，动点P 从点A 出发，沿线段AB 运动至点B 后，立即按原路返回，点P 在运动过程中速度大小不变，则以点A 为圆心，线段AP 长为半径的圆的面积S 与点P 的运动时间t 之间的函数图象大致为（ ） 5、（2009年桂林市、百色市）二次函数2 (1)2y x =++的最小值是（ ）． A ．2 B ．1 C ．－3 D ． 23 6、(2009年上海市)抛物线2 2()y x m n =++（m n ，是常数）的顶点坐标是（ ） A ．()m n ， B ．()m n -， C ．()m n -， D ．()m n --， 7、(2009年陕西省)根据下表中的二次函数c bx ax y ++=2的自变量x 与函数y 的对应值，可判断二次函数的图像与x 轴 【 】 A ．只有一个交点 B ．有两个交点，且它们分别在y 轴两侧 C ．有两个交点，且它们均在y 轴同侧 D ．无交点 8、（2009威海）二次函数2 365y x x =--+的图象的顶点坐标是（ ） A ．(18)-， B ．(18)， C ．(12)-， D ．(14)-， 9、（2009湖北省荆门市）函数y =ax ＋1与y =ax 2 ＋bx ＋1（a ≠0）的图象可能是（ ） 10、（2009年贵州黔东南州）抛物线的图象如图所示，根据图象可知，抛物线的解析式可能．．是（ ）A 、y=x 2 -x-2 B 、y=121212++- x C 、y=12 1 212+--x x D 、y=22++-x x 11、（2009年齐齐哈尔市）已知二次函数2 (0)y ax bx c a =++≠的图象如图所示，则下列结论： 0ac >①；②方程2 0ax bx c ++=的两根之和大于0；y ③随x 的增大而增大；④0a b c -+<，其 中正确的个数（ ） A ．4个 B ．3个 C ．2个 D ．1个 12、（2009年深圳市）二次函数c bx ax y ++=2的图象如图2所示，若点A （1，y 1）、B （2，y 2）是它图象上的两点，则y 1与y 2的大小关系是（ ） A ．21y y < B ．21y y = C ．21y y > D ．不能确定 13、已知抛物线y=ax 2 +bx+c 与x 轴有两个不同的交点，则关于x 的一元二次方程ax 2 +bx+c=0根的情况 是 ( ) A ．有两个不相等的实数根 B ．有两个相等的实数根 C ．无实数根 D ．由b 2 -4ac 的值确定 14、（2009丽水市）已知二次函数y ＝ax 2 ＋bx ＋c(a ≠0)的图象如图所示，给出以下结论： ①a ＞0. ②该函数的图象关于直线1x =对称.③当13x x =-=或时，函数y 的值都等于0. 其中正确结论的个数是（ ） A ．3 B ．2 C ．1 D ． 15、（2009年甘肃庆阳）图（1）是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面在l 时，拱顶（拱桥洞的最高点）离水面2m ，水面宽4m ．如图（2）建立平面直角坐标系，则抛物线的关系式是（ ） A ．2 2y x =- B ．2 2y x = C ．2 1 2 y x =- D ．2 12y x = 16、（2009年广西南宁）已知二次函数2 y ax bx c =++（0a ≠）的图象如图所示，有下列四个结论： 20040b c b ac <>->①②③④0a b c -+<，其中正确的个数有（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 17、(2009年鄂州)已知=次函数y ＝ax 2+bx+c 的图象如图．则下列5个代数式：ac ，a+b+c ，4a －2b+c ， 2a+b ，2a －b 中，其值大于0的个数为（ ） A ．2 B 3 C 、4 D 、 5 18、（2009年甘肃庆阳）将抛物线2 2y x =向下平移1个单位，得到的抛物线是（ ） A ．2 2(1)y x =+ B ．2 2(1)y x =- C ．2 21y x =+ D ．2 21y x =- 19、（2009年孝感）将函数2 y x x =+的图象向右平移a (0)a >个单位，得到函数 232y x x =-+的图象，则a 的值为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 20、（2010年湖里区二次适应性考试）二次函数12 +-=x y 的图象与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交 于点C ，下列说法错误．． 的是（ ） A ．点C 的坐标是（0，1） B ．线段AB 的长为2 C ．△ABC 是等腰直角三角形 D ．当x>0时，y 随x 增大而增大 21、（2009年烟台市）二次函数2 y ax bx c =++的图象如图所示，则一次函数2 4y bx b ac =+-与反 比例函数a b c y x ++= 在同一坐标系内的图象大致为（ ） 22、（2009年嘉兴市）已知0≠a ，在同一直角坐标系中，函数ax y =与2ax y =的图象有可 能是（ ） B ． C ． D ． 23、（2009年新疆）如图，直角坐标系中，两条抛物线有相同的对称轴，下列关系不正确．．．的是（ ）A ．h m = B ．k n = C ．k n > D ．00h k >>， 24、（2010年广州市中考六模）若二次函数y ＝2 x 2 －2 mx ＋2 m 2 －2的图象的顶点在y 轴上，则m 的值是（ ） A.0 B.±1 C .±2 D .±2 25、（2009年济宁市）小强从如图所示的二次函数2 y ax bx c =++的图象中，观察得出了下面五条信息：（1）0a <；（2） 1c >；（3）0b >；（4） 0a b c ++>； （5）0a b c -+>. 你认为其中正确信息的个数有 （ ） A ．2个 B ．3个 C ．4个 D ．5个 26、（2009年衢州）二次函数2(1)2y x =--的图象上最低点的坐标是( ) A ．(-1，-2) B ．(1，-2) C ．(-1，2) D ．(1，2) 27、（2009年新疆乌鲁木齐市）要得到二次函数2 22y x x =-+-的图象，需将2 y x =-的图象（ ）． A ．向左平移2个单位，再向下平移2个单位B ．向右平移2个单位，再向上平移2个单位 C ．向左平移1个单位，再向上平移1个单位D ．向右平移1个单位，再向下平移1个单位 28、（2009年广州市）二次函数2)1(2 +-=x y 的最小值是（ ） A.2 （B ）1 （C ）-1 （D ）-2 29、（2009年天津市）在平面直角坐标系中，先将抛物线2 2y x x =+-关于x 轴作轴对称变换，再将所得的抛物线关于y 轴作轴对称变换，那么经两次变换后所得的新抛物线的解析式为（ ） A ．22y x x =--+ B ．2 2y x x =-+- C ．22y x x =-++ D ．2 2y x x =++ 30、（2009年广西钦州）将抛物线y ＝2x 2 向上平移3个单位得到的抛物线的解析式是（ ） A ．y ＝2x 2 ＋3 B ．y ＝2x 2 －3 C ．y ＝2（x ＋3） D ．y ＝2（x －3）2 31、(2009年南充)抛物线(1)(3)(0)y a x x a =+-≠的对称轴是直线（ ） A ．1x = B ．1x =- C ．3x =- D ．3x = 32、(2009宁夏)二次函数2 (0)y ax bx c a =++≠的图象如图所示，对称轴是直线1x =，则下列四个结论错误．． 的是（ ） A ．0c > B ．20a b += C ．2 40b ac -> D ．0a b c -+> 33、(2009年湖州)已知图中的每个小方格都是边长为1的小正方形，每个小正方形的顶点称为格点， 请你在图中任意画一条抛物线，问所画的抛物线最多能经过81个格点中的多少个？（ ）A ．6 B ．7 C ．8 D ．9 34、（2009年兰州）二次函数c bx ax y ++=2的图象如图所示，则下列关系式不正确的是 A ．a ＜0 B.abc ＞0 C.c b a ++＞0 D.ac b 42-＞0 35、（2009年济宁市）小强从如图所示的二次函数2 y ax bx c =++的图象中，观察得出了下面五条信息：（1）0a <；（2） 1c >；（3）0b >；（4） 0a b c ++>； （5）0a b c -+>. 你认为其中正确信息的个数有（ ）A ．2个 B ．3个 C ．4个 D ．5个 36、（2009年兰州）在同一直角坐标系中，函数y mx m =+和函数2 22y mx x =-++（m 是常数，且0m ≠）的图象可能．． 是（ ） 37、（2009年遂宁）把二次函数3412+--=x x y 用配方法化成()k h x a y +-=2的形式 A.()22412+--=x y B. ()42412+-=x y C.()42412++-=x y D. 321212 +??? ??-=x y 38、（2010年西湖区月考）关于二次函数y =ax 2 +bx+c 的图象有下列命题：①当c=0时，函数的图象经过原点；②当c ＞0时且函数的图象开口向下时，ax 2 +bx+c=0必有两个不等实根；③函数图象最高点的纵坐标是a b a c 442 -；④当b=0时，函数的图象关于y 轴对称.其中正确的个数是（ ） A.1个 B 、2个 C 、3个 D. 4个 39、（2009年兰州）把抛物线2 y x =-向左平移1个单位，然后向上平移3个单位，则平移 后抛物线的解析式为（ ） A ．2(1)3y x =--- B ．2(1)3y x =-+- C ．2(1)3y x =--+ D ．2 (1)3y x =-++ 40、（2009年湖北荆州）抛物线2 3(1)2y x =-+的对称轴是（ ） A ．1x = B ．1x =- C ．2x = D ．2x =- 41、(2009年河北)某车的刹车距离y （m ）与开始刹车时的速度x （m/s ）之间满足二次函数 2 120 y x = （x ＞0） ，若该车某次的刹车距离为5 m ，则开始刹车时的速度为（ ） A ．40 m/s B ．20 m/s C ．10 m/s D ．5 m/s 42、（2009年黄石市）已知二次函数2 y ax bx c =++的图象如图所示，有以下结论：①0a b c ++<；②1a b c -+>；③0abc >；④420a b c -+<；⑤1c a ->其中所有正确结论的序号是（ ） A ．①② B ． ①③④ C ．①②③⑤ D ．①②③④⑤ 43、（2009 黑龙江大兴安岭）二次函数)0(2 ≠++=a c bx ax y 的图象如图，下列判断错误的是（ ） A ．0 B ．0 C ．0 D ．042<-ac b 44、（2009年枣庄市）二次函数c bx ax y ++=2的图象如图所示，则下列关系式中错误．．的是（ ） A ．a ＜0 B ．c ＞0 C ．ac b 42-＞0 D ．c b a ++＞ 45、（2009烟台市）二次函数2 y ax bx c =++的图象如图所示，则一次函数2 4y bx b ac =+-与反比例函数a b c y x ++= 在同一坐标系内的图象大致为（ ） 46.(2010三亚市月考). 下列关于二次函数的说法错误的是（ ） A.抛物线y=-2x 2 ＋3x ＋1的对称轴是直线x= 34 ； B.点A(3,0)不在抛物线y=x 2 -2x-3的图象上； C.二次函数y=(x ＋2）2 －2的顶点坐标是（-2，-2）； D.函数y=2x 2 ＋4x-3的图象的最低点在（-1，-5） 47.二次函数y=ax 2 +bx+c(a ≠0)的图像如图所示,下列结论正确的是( ) A.ac ＜0 B.当x=1时,y ＞0 C.方程ax 2 +bx+c=0(a ≠0)有两个大于1的实数根 D.存在一个大于1的实数x 0,使得当x ＜x 0时,y 随x 的增大而减小; 当x ＞x 0时,y 随x 的增大而增大. 48.如图所示，二次函数y ＝x 2 －4x ＋3的图象交x 轴于A 、B 两点， 交y 轴于点C ， 则△ABC 的面积为（ ）A. 6 B. 4 C. 3 D. 1 49．（2010年河南中考模拟题4）二次函数2 y ax bx c =++（0a ≠）的图象如图所示，则正确的是( )A ．a ＜0 B ．b ＜0 C ．c ＞0 D ．以答案上都不正确 50．（2010年杭州月考）已知二次函数y ＝ax 2 ＋bx ＋c(a ≠0)的图象如图所示，给出以下结论：①0 A.1 B.2 C.3 D.4 二、解答题 1． 已知一次函()()2322 ++++-=m x m x m y 的图象过点（0，5） ⑴ 求m 的值，并写出二次函数的关系式；⑵ 求出二次函数图象的顶点坐标、对称轴． 2． (2010年厦门湖里模拟)一次函数y ＝x －3的图象与x 轴，y 轴分别交于点A ，B ．一个二次函数y ＝x 2 ＋bx ＋c 的图象经过点A ，B ． （1）求点A ，B 的坐标；（2）求二次函数的解析式及它的最小值． 3．(2009年营口市)面对国际金融危机，某铁路旅行社为吸引市民组团去某风景区旅游，推出如下标准： 某单位组织员工去该风景区旅游，设有人参加，应付旅游费元． (1)请写出y与x的函数关系式； (2)若该单位现有45人，本次旅游至少去26人，则该单位最多应付旅游费多少元？ 4、（2009年滨州）某商品的进价为每件40元．当售价为每件60元时，每星期可卖出300件，现需降价处理，且经市场调查：每降价1元，每星期可多卖出20件．在确保盈利的前提下，解答下列问题：（1）若设每件降价x元、每星期售出商品的利润为y元，请写出y与x的函数关系式，并求出自变量x的取值范围； （2）当降价多少元时，每星期的利润最大？最大利润是多少？ 第二章二次函数同步检测（一）答案 2. 答案：解：（1）令0 y=，得3 x=，∴点A的坐标是(30) ， 令0 x=，得3 y=-，∴点B的坐标是(03) - ， （2） 二次函数2 y x bx c =++的图象经过点A B ，， 093 3 b c c =++ ? ∴? -= ? ，解得： 2 3 b c =- ? ? =- ? ． ∴二次函数2 y x bx c =++的解析式是223 y x x =--， 22 23(1)4 y x x x =--=-- ，∴函数223 y x x =--的最小值为4-． 3．解：（1）由题意可知： 当025 x ≤≤时，1500 y x =．222222222222222222222221分当2550 x <≤时，[150020(25)] y x x =--222222222222222222分即2 202000 y x x =-+2222222222222222222222222223分当50 x>时，1000 y x =．22222222222222222222222224分（2）由题意，得2645 x ≤≤， 所以选择函数关系式为：2 202000 y x x =-+．22222222222222225分配方，得()2 205050000 y x =--+．222222222222222222227分因为200 a=-<，所以抛物线开口向下．又因为对称轴是直线50 x=． 所以当2645 x ≤≤时，此函数y随x的增大而增大．222222222222228分所以当45 x=时，y有最大值， 2 20(4550)5000049500 y=-?-+= 最大值 （元） 因此，该单位最多应付旅游费49500元． 4.（1）y=(60-x-40)(300+20x)=(20-x) (300+20x)=-6000 100 202+ +x x,0≤x≤20；（2）y=-206135 )5.2 (2+ - x,∴当x==2.5元,每星期 第二章二次函数 同步检测（二） 一、填空题：注意：填空题的答案请写在下面的横线上, （每小题2分，共80分） 1、（2009年北京市）若把代数式223x x --化为()2 x m k -+的形式，其中,m k 为常数，则m+k= __________ . 2、（2009年安徽）已知二次函数的图象经过原点及点（1 2-，14 -），且图象与x 轴的另一交点到原点的距离为1，则该二次函数的解析式为 3、（2009 黑龙江大兴安岭）当=x 时，二次函数222 -+=x x y 有最小值． 4、（2009年郴州市）抛物线2 3(1)5y x =--+的顶点坐标为_______________________． 5、(2009年上海市)将抛物线2 2y x =-向上平移一个单位后，得以新的抛物线，那么新的抛物线的表达式是 ______________ ． 6、（2009年内蒙古包头）已知二次函数2 y ax bx c =++的图象与x 轴交于点(20)-，、1(0)x ，，且112x <<，与y 轴的正半轴的交点在(02)，的下方．下列结论：①420a b c -+=；②0a b <<；③ 20a c +>；④210a b -+>．其中正确结论的个数是 _____ 个． 7、（2009湖北省荆门市）函数(2)(3)y x x =--取得最大值时，x =____________． 8、（2009年齐齐哈尔市）当x =_____________时，二次函数2 22y x x =+-有最小值． 9、（2009年贵州省黔东南州）二次函数322 --=x x y 的图象关于原点O （0, 0）对称的图象的解析 式是_________________。 10、已知二次函数2 122 y x x =- +， 当x______________时，y 随x 的增大而增大. 11、（2009襄樊市）抛物线2 y x bx c =-++的图象如图所示，则此抛物线的解析式为 ． 12、（2009年娄底）如图，⊙O 的半径为2，C 1是函数y =12x 2的图象，C 2是函数y =-1 2 x 2的图象，则阴影部分的面积是 . 13、（2009年甘肃庆阳）如图为二次函数2 y ax bx c =++的图象，给出下列说法： ①0ab <；②方程2 0ax bx c ++=的根为121 3x x =-=，；③0a b c ++>；④当1x >时，y 随x 值的增大而增大；⑤当0y >时，13x -<<．其中，正确的说法有 ．（请写出所有正确说法的序号） 14、(2009年甘肃定西)抛物线2 y x bx c =-++的部分图象如图所示，请写出与其关系式、图象相关的2个正确结论： ， ．（对称轴方程，图象与x 正半轴、y 轴交点坐标例外） 15、(2009年鄂州)把抛物线y ＝ax+bx+c 的图象先向右平移3个单位， 再向下平移2个单位，所得的图象的解析式是y ＝x －3x+5，则a+b+c=__________ 16、（2009年包头）将一条长为20cm 的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长各做成一个正方 形，则这两个正方形面积之和的最小值是 cm 2 ． 17、（2009年黄石市）若抛物线2 3y ax bx =++与2 32y x x =-++的两交点关于原点对称，则a b 、分 别为 ． 18．某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元。为了扩大销售，增 加利润，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施。经调查发现：如果每件衬衫降价1 元，商场平均每天可多售出2件。则商场降价后每天盈利y （元）与降价x （元）的函数关 系式为 _________ 。 19、（2009年莆田）出售某种文具盒，若每个获利x 元，一天可售出()6x -个，则当x = 元时，一天出售该种文具盒的总利润y 最大． 20．(2009年湖州)已知抛物线2 y ax bx c =++（a ＞0）的对称轴为直线1x =，且经过点()()212y y -1，，，，试比较1y 和2y 的大小：1y _2y （填“>”，“<”或“=”） 21．(2009年咸宁市)已知A 、B 是抛物线2 43y x x =-+上位置不同的两点，且关于抛物线的对称轴对称，则点A 、B 的坐标可能是_____________．（写出一对即可） 22、(2009年本溪)如图所示，抛物线2y ax bx c =++（0a ≠）与x 轴的两个交点分别为(10)A -，和 (20)B ，，当0y <时，x 的取值范围是 ． 23、（2009年兰州）二次函数2 23 y x =的图象如图所示，点0A 位于坐标原点， 点1A ，2A ，3A ，…， 2008A 在y 轴的正半轴上，点1B ，2B ，3B ，…， 2008B 在二次函数2 23 y x =位于第一象限的图象上， 若 △011A B A ,△122A B A ，△233A B A ，…，△200720082008 A B A 都为等边三角形，则△200720082008A B A 的边 长＝ 24. (2009年金华市)如图，在第一象限内作射线OC ,与x 轴的夹角为30o ,在射线OC 上取一 点A ，过点A 作AH ⊥x 轴于点H .在抛物线y =x 2 (x >0)上取点P ，在y 轴上取点Q ，使得以P ， O ，Q 为顶点的三角形与△AOH 全等，则符合条件的点A 的坐标是 . 25. 已知抛物线y ＝x 2 －3x －4，则它与x 轴的交点坐标是 . 26.（10年广州市中考七模）、抛物线x x y 522 -=+3与坐标轴的交点共有 个。 27.抛物线3422 +--=x x y 的顶点坐标是 ; 抛物线1822 -+-=x x y 的顶点坐标 2 为 。 28. 用长度一定的绳子围成一个矩形，如果矩形的一边长x （m ）与面积y （m 2 ）满足函数 关系y ＝－（x －12）2 ＋144（0＜x ＜24），那么该矩形面积的最大值为 _____ m 2 。 29．(2010年山东宁阳一模)根据c bx ax y ++=2的图象，思考下面五个结论①o c <； ②0>abc ；③0>+-c b a ；④032=-b a ；⑤04>-b c 正确的结论有_____________． 30．（2009年淄博市） 请写出符合以下三个条件的一个函数的解析式 ___ ． ①过点(31)，；②当0x >时，y 随x 的增大而减小；③当自变量的值为2时，函数值小于2． 31．（2010福建模拟）抛物线322 -+=x x y 的对称轴是直线 ___ ． 32. （江西南昌一模）二次函数1422 --=x x y 的最小值是 _______ 33．函数y =ax 2 －(a －3)x ＋1的图象与x 轴只有一个交点，那么a 的值和交点坐标 分别为________________． 34、二次函数2 y ax bx c =++的图象开口向上，图象经过点（－1，2）和（1，0），且与y 轴相交于负半轴.给出四个结论：① 0a >；② 0b >；③ 0c >；④ 0a b c ++=.其中正确结论的序号是 ； 35．将二次函数2 x y =的图象向右平移1个单位，再向上平移2个单位后，所得图象的函数表达式是 。 36．将抛物线y=-3x 2 向上平移一个单位后，得到的抛物线解析式是 。 37．用铝合金型材做一个形状如图（1）所示的矩形窗框，设窗框的一边为x m ，窗户的透光 面积为y m 2 ，y 与x 的函数图象如图（2）所示。观察图象，当x ＝ 时，窗户透光面 积最大。 38．如图，二次函数y =ax 2 ＋bx ＋c 的图象开口向上，图象经过点(－1，2)和(1，0)，且与y 轴交于负半轴．给出四个结论：①abc ＜0；②2a ＋b ＞0；③a ＋c =1；④a ＞1．其中正确结论的序号是 _______________(少选、错选均不得分)． 39.如图，二次函数y=ax2+bx+c 的图象开口向上，图象经过点（-1，2）和（1，0），且与y 轴相交于负半轴。给出四个结论：①a>0；②b>0；③c>0；④a+b+c=0；⑤abc<0；⑥2a+b>0；⑦a+c=1；⑧a>1.其中正确结论的序号是 _____________________ 。 40．如图，△ABC 是直角三角形，∠A =90°， AB =8cm ，AC =6cm 点P 从点A 出发，沿AB 方向以2cm/s 的速度向点B 运动；同时点Q 从点A 出发，沿AC 方向以1cm/s 的速度向点C 运动，其中一个动点到达终点，则另一个动点也停止运动，则三角形APQ 的最大面积是 _____. 二、解答题(共40分) 1.已知二次函数215222 y x x = +-. （1）求出抛物线的顶点坐标、对称轴、最小值；（2）求出抛物线与x 轴、y 轴交点坐标； 2. （09浙江）如图抛物线2 54y ax x a =-+与ｘ轴相交于点Ａ、Ｂ，且过点Ｃ（５，４）． (1)求a 的值和该抛物线顶点P 的坐标． (2)请你设计一种．． 平移的方法，使平移后抛物线的顶点落在第二象限，并写出平移后抛物线的解析式． 3．已知抛物线c bx x y ++=2－的部分图象如图所示. (1)求b 、c 的值； (2)求y 的最大值；(3)写出当0 4.（09贵州黔东南）凯里市某大型酒店有包房100间，在每天晚餐营业时间，每间包房收包房费100元时，包房便可全部租出；若每间包房收费提高20元，则减少10间包房租出，若每间包房收费再提高20元，则再减少10间包房租出，以每次提高20元的这种方法变化下去。 ⑴ 设每间包房收费提高x （元），则每间包房的收入为y 1（元），但会减少y 2间包房租出，请分别写出y 1、y 2与x 之间的函数关系式。 ⑵ 为了投资少而利润大，每间包房提高x （元）后，设酒店老板每天晚餐包房总收入为y （元），请写出y 与x 之间的函数关系式，求出每间包房每天晚餐应提高多少元可获得最大包房费收入，并说明理由。 5．(09哈尔滨)张大爷要围成一个矩形花圃．花圃的一边利用足够长的墙另三边用总长为32米的篱笆恰好围成．围成的花圃是如图所示的矩形ABCD ．设AB 边的长为x 米．矩形ABCD 的面积为S 平方米． （1）求S 与x 之间的函数关系式（不要求写出自变量x 的取值范围） （2）当x 为何值时，S 有最大值？并求出最大值． （参考公式：二次函数y ＝ax 2 ＋bx ＋c （a ≠0），当x ＝－a 2b 时，y 最大（小）值＝a 4b ac 42-) 6.．（2009年包头）某商场试销一种成本为每件60元的服装，规定试销期间销售单价不低于 成本单价，且获利不得高于45%，经试销发现，销售量y （件）与销售单价x （元）符合 一次函数y kx b =+，且65x =时，55y =；75x =时，45y =． （1）求一次函数y kx b =+的表达式； （2）若该商场获得利润为W 元，试写出利润W 与销售单价x 之间的关系式；销售单价定为多少元时，商场可获得最大利润，最大利润是多少元？ （3）若该商场获得利润不低于500元，试确定销售单价x 的范围． 第二章二次函数 同步检测（二）答案 1、－3； 2、2y x x =+，21 13 3 y x =-+；3、-1；4、(15)，；5、12-=x y ；6、4； 7、52 ；8、1- ；9、322+--=x x y ；10、＜2 11、223y x x =-++；12、2π； 13、①②④；14、答案不唯一．如：①c =3；②b +c =1；③c -3b =9；④b =-2；⑤抛物线的顶点为（-1， 4），或二次函数的最大值为4；⑥方程-x 2 +bx +c =0的两个根为-3，1；⑦y >0时，-3 x <-3或x >1；⑧当x >-1时，y 随x 的增大而减小；或当x <-1时，y 随x 的增大而增大．等等；15、 11；16、 25 2 或12.5；17、3,2 3-；18、；19、3；20、＞ 21、(1,0),(3,0)； 22、1x <-或2x >； 23、2008； 24、(3，3) , ( 133，13) , (23，2) , (233，2 3 ).； 25、（-1，0），（4，0）；26、3；27、(－1，5)；28、 ；29、①②③⑤；30、如21315 2362 y x y y x x =-+==-+，，； 31、1-=x ；32、()212 +-=x y ；33、 ；34、①④；35、-3；36、 ； 37、y=－3x 2+1； 38、 ；39、；40、 ； 1.（1）（1）求出抛物线的顶点坐标、对称轴、最小值； 解：∵215222y x x =+-=12（x+2）2 -4.5 ∴ 顶点坐标（－2，－4.5），对称轴：直线x ＝－2； 因为二次项系数大于0，所以函数有最小值－4.5． （2）求出抛物线与x 轴、y 轴交点坐标； 解：令y ＝0，则 215 2022 x x +-=，解得x ＝－5，x ＝1． 所以抛物线与x 轴的交点坐标为（－5，0） ，（1，0）．令x ＝0，则y ＝52-．所以抛物线与y 轴的交点坐标为（0，5 2 -） 2. 解：（1）把点(54)C ，代入抛物线2 54y ax ax a =-+得， 252544a a a -+=，解得1a =．∴ 该二次函数的解析式为2 54y x x =-+． 2 2595424y x x x ??=-+=-- ??? ∴ 顶点坐标为5924P ?? - ?? ?，． （2）（答案不唯一，合理即正确）如先向左平移3个单位，再向上平移4个单位，得到的二次函数解 析式为22 5917342424y x x ????=-+-+=++ ? ???? ?，即2 2y x x =++ 3. 答案：(1)b=－2,c=3 (2) 4 (3) x ＜－3或x ＞1 4. （1）x y +=1001，y 2=x 2. （2）)21100()100(x x y -?+= 即：y 11250)50(21 2+--=x 因为提价前包房费总收入为1003100=10000。 当x=50时，可获最大包房收入11250元，因为11250>10000。又因为每次提价为20元，所以每间包房晚餐应提高 40元或60元。 5. 6.解：（1）根据题意得65557545.k b k b +=?? +=? ， 解得1120k b =-=，． 所求一次函数的表达式为120y x =-+． 22222222222222222 （2分） （2）(60)(120)W x x =--+ 2 1807200x x =-+- 2 (90)900x =--+， 2222222222222222222222 （4分） 抛物线的开口向下，∴当90x <时，W 随x 的增大而增大， 而6087x ≤≤， ∴当87x =时，2(8790)900891W =--+=． ∴当销售单价定为87元时，商场可获得最大利润，最大利润是891元． 2222 （6分） （3）由500W =，得2 5001807200x x =-+-， 整理得，2 18077000x x -+=，解得，1270110x x ==，．222222222 （7分） 由图象可知，要使该商场获得利润不低于500元，销售单价应在70元到110元之间，而6087x ≤≤，所以，销售单价x 的范围是7087x ≤≤． 222222222222222 （10分） 二次函数专项复习经典试题集锦（含答案） 一、选择题： 1. 抛物线3)2(2+-=x y 的对称轴是（ ） A. 直线3-=x B. 直线3=x C. 直线2-=x D. 直线2=x 2. 二次函数c bx ax y ++=2的图象如右图，则点 ),(a c b M 在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 已知二次函数c bx ax y ++=2，且0+-c b a ，则一定有（ ） A. 042>-ac b B. 042=-ac b C. 042<-ac b D. ac b 42-≤0 4. 把抛物线c bx x y ++=2向右平移3个单位，再向下平移2个单位，所得图象的解析式 是532+-=x x y ，则有（ ） A. 3=b ，7=c B. 9-=b ，15-=c C. 3=b ，3=c D. 9-=b ，21=c 5. 下面所示各图是在同一直角坐标系，二次函数c x c a ax y +++=)(2与一次函数 c ax y +=的大致图象，有且只有一个是正确的，正确的是（ ） B D 6. 抛物线322+-=x x y 的对称轴是直线（ ） A. 2-=x B. 2=x C. 1-=x D. 1=x 7. 二次函数2)1(2+-=x y 的最小值是（ ） A. 2- B. 2 C. 1- D. 1 8. 二次函数c bx ax y ++=2的图象如图所示，若 c b a M ++=24c b a N +-=，b a P -=4，则（ ） A. 0>M ，0>N ，0>P B. 0 x 时，求使y ≥2的x 的取值围. 二次函数知识点总结 二次函数知识点： 1．二次函数的概念：一般地，形如2y ax bx c =++（a b c ， ，是常数，0a ≠）的函数，叫做二次函数。 这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项 系数0a ≠，而b c ， 可以为零．二次函数的定义域是全体实数． 2. 二次函数2y ax bx c =++的结构特征： ⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式，x 的最高次数是2． ⑵ a b c ， ，是常数，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项． 二次函数的基本形式 1. 二次函数基本形式：2y ax =的性质： 结论：a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。 总结： 2. 2 =+的性质： y ax c 结论：上加下减。 总结： 3. ()2 =-的性质： y a x h 结论：左加右减。 总结： 4. ()2 =-+的性质： y a x h k 总结： 1. 平移步骤： ⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2 y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ，； ⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ，处，具体平移方法 如下： 【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位 2. 平移规律 在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”． 概括成八个字“左加右减，上加下减”． 三、二次函数()2 y a x h k =-+与2y ax bx c =++的比较 请将2245y x x =++利用配方的形式配成顶点式。请将2y ax bx c =++配成 ()2 y a x h k =-+。 总结： 从解析式上看，()2 y a x h k =-+与2y ax bx c =++是两种不同的表达形式，后者 通过配方可以得到前者，即2 2424b ac b y a x a a -? ?=++ ?? ?，其中2424b ac b h k a a -=-= ，． 四、二次函数2y ax bx c =++图象的画法 五点绘图法：利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式 2()y a x h k =-+，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧， 左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与y 轴的交点()0c ， 、以及()0c ， 关于对称轴对称的点()2h c ，、与x 轴的交点()10x ，，()20x ，（若与x 轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）. 画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x 轴的交点，与y 轴的交点. 二次函数知识点归纳及提高训练 1.定义：一般地，如果c b a c bx ax y ,,(2 ++=是常数，)0≠a ，那么y 叫做x 的二次函数. 2.二次函数2 ax y =的性质 (1)抛物线2ax y =）（0≠a 的顶点是坐标原点，对称轴是y 轴.(2)函数2 ax y =的图像与a 的符号关系. ①当0>a 时?抛物线开口向上?顶点为其最低点；②当0a 时，开口向上；当0a b (即a 、b 同号)时,对称轴在y 轴左侧； ③0c ,与y 轴交于正半轴；③0二次函数专项复习经典试题集锦(含答案)
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