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电场强度的几种计算方法

电场强度的几种求法

一．公式法

1．q

E =

是电场强度的定义式：适用于任何电场，电场中某点的场强是确定值，其大小和方向与试探电荷无关，试探电荷q 充当“测量工具”的作用。 2．2r

k Q

E =是真空中点电荷电场强度的决定式，E 由场源电荷Q 和某点到场源电荷的距离r 决定。 3．d

E =

是场强与电势差的关系式，只适用于匀强电场，注意式中的d 为两点间的距离在场强方向的投影。二．对称叠加法

当空间的电场由几个点电荷共同激发的时候，空间某点的电场强度等于每个点电荷单独存在时所激发的电场在该点的场强的矢量和，其合成遵守矢量合成的平行四边形定则。例：如图，带电量为+q 的点电荷与均匀带电。

例：如图，带电量为+q 的点电荷与均匀带电薄板相距为2d ，点电荷到带电薄板的垂线通过板的几何中心，如图中a 点处的场强为零，求图中b 点处的场强多大？

例：一均匀带负电的半球壳，球心为O 点，AB 为其对称轴，平面L 垂直AB 把半球壳一分为二，L 与AB 相交于M 点，对称轴AB 上的N 点和M 点关于O 点对称。已知一均匀带电球壳内部任一点的电场强度为零，点电荷q 在距离其为r 处的电势为r

=?。假设左侧部分在M 点的电场强度为E 1，电势为1?；右侧部分在M 点的电场强度为E 2，电势为2?；整个半球壳在M 点的电场强度为E 3，在N 点的电场强度为E 4，下列说法中正确的是（） A ．若左右两部分的表面积相等，有E 1＞E 2，1?＞2? B ．若左右两部分的表面积相等，有E 1＜E 2，1?＜2?

C ．只有左右两部分的表面积相等，才有E 1＞E 2，E 3=E 4

D ．不论左右两部分的表面积是否相等，总有

E 1＞E 2，E 3=E 4 答案：D

例：ab 是长为L 的均匀带电细杆，P1、P2是位于ab 所在直线上的两点，位置如图所示．ab 上电荷产生的静电场在P1处的场强大小为E 1，在P2处的场强大小为E2。则以下说法正确的是( )

A ．两处的电场方向相同，E1＞E2

B ．两处的电场方向相反，E1＞E2

C ．两处的电场方向相同，E1＜E2

D ．两处的电场方向相反，E1＜E2 三．等效替代法

例：均匀带电的球壳在球外空间产生的电场等效于电荷集中于球心处产生的电场，如图，在半球面A 、B 上均匀分布正电荷，总电荷量为q ，球面半径为R ，CD 为通过半球顶点与球心O 的轴线，在轴线上有M 、N 两点，OM=ON=2R ，已知M 点的场强大小为E ，则N 点场强大小为（）

A ．E R -22kq

B ．24kq

R C ．E R -24kq D ．E R +2

4kq

答案：A

例：【2013安徽20】如图所示，xOy 平面是无穷大导体的表面，该导体充满0z <的空间，

0z >的空间为真空。将电荷为q 的点电荷置于z 轴上z=h 处，则在xOy 平面上会产生感应

电荷。空间任意一点处的电场皆是由点电荷q 和导体表面上的感应电荷共同激发的。已知静电平衡时导体内部场强处处为零，则在z 轴上2

z =

处的场强大小为（k 为静电力常量） A ．24q k h B ．249q

k h

C ．2329q k h

D ．2

409q

k h

【答案】D

四．图像斜率法

若题目中给出电势沿电场强度方向变化关系的图像。可根据x

??=?

E 求解，若x ?趋于零，则x

???

即为图线的斜率，此斜率就表示该点场强的大小，电势降落的方向表示场强的方向。五．微元法

在某些问题中，场源带电体的形状特殊，不能直接求解场源在空间某点所产生的总电场，可将场源带电体分割，在高中阶段，这类问题中分割后的微元常有部分微元关于待求点对称，就可以利用场的叠加及对称性解题。

例：半径为R ，带有缺口的金属圆环均匀带正电，电量为Q ，缺口对应的弧长为d ，且d 《R ，求金属圆环圆心处的场强。

例：如图2所示，均匀带电圆环所带电荷量为Q ，半径为R ，圆心为O ，P 为垂直于圆环平面的称轴上的一点，OP ＝L ，试求P 点的场强。

解析：设想将圆环看成由ｎ个小段组成，当ｎ相当大时，每一小段都可以看作点电荷，其所带电荷量Ｑ′＝Ｑ／ｎ，由点电荷场强公式可求得每一小段带电体在Ｐ处产生的场强为

)

22L R n kQ

nr kQ E +==

由对称性知，各小段带电环在Ｐ处的场强Ｅ，垂直于轴的分量Ｅｙ相互

抵消，而其轴向分量Ｅｘ之和即为带电环在Ｐ处的场强ＥＰ

θcos )

2L R n Q

nE E x P +== 2

322)

(L R QL k

六．静电平衡法

这种方法常用于计算感应电荷产生的电场强度，根据静电平衡时导体内部场强处处为零的特点，外部场强与感应电荷产生的场强（附加电场）的合场强为零，可知E 感= -E 外，这样就可以把复杂问题变简单了。

例：长为L 的金属棒原来不带电，现将一带电荷量为q 的正电荷放在距棒左端R 处且与棒在一条线上，则棒上感应电荷在棒内中点O 处产生的场强的大小，方向。

七．极值法

例：(2012·安徽理综，20)如图所示，半径为R 的均匀带电圆形平板，单位面积带电量为σ，其轴线上任意一点P (坐标为x )的电场强度可以由库仑定律和电场强度的叠加原理求出：E ＝2πk σ??????1－x （R 2＋x 2）12

，方向沿x 轴．现考虑单位面积带电量为σ0的无限大均匀带电平板，从其中间挖去一半径为r 的圆板，如图6－9所示．则圆孔轴线上任意一点Q (坐标为x )的电场强度为( )．

图6－8 图6－9

A ．2πk σ

（r 2＋x 2

）

B ．2πk σ

（r 2＋x 2

）

C ．2πk σ0

x r D ．2πk σ

r x

答案A

例：如图所示，两带电量增色为+Q 的点电荷相距2L ，MN 是两电荷连线的中垂线，求MN 上场强的最大值。

解析：用极限分析法可知，两电荷间的中点O 处的场强为零，在中垂线MN

处的无穷远

图

处电场也为零，所以MN 在必看场强的最大值。采用最常规方法找出所求量的函数表达式，再求极值。由图9可知，MN 上的水平分量相互抵消，所以有：

θθθsin )cos /(2)sin (22

1L Q

E E ==

将上式平方得 )sin 2(cos cos 22

22422

θθθL

Q K E = 由于2sin 2cos sin 2

=++θθθ 所以当θθ2

sin 2cos =，即2

tan =

θ时，E 有最大值为 2max 964L

k E =

八．等分法

例．如图所示，a 、b 、c 是匀强电场中的三点，这三点

边线构成等边三角形，每边长L cm ，将一带电量

6q=210C --?的点电荷从a 点移到b 点，电场力做功

51W 1.210J --?＝；若将同一点电荷从a 点移到c 点，

电场力做功62W 610J -?＝，试求匀强电场强度E 。答案：ab

U E =200V/m Lcos θ

＝

计算电场强度的基本方法

计算电场强度的基本方法电场强度是静电学中最基本最重要的概念之一，是历年高考考查的热点。高考中将静电学与力学、磁学等问题放在一起作为综合题考查在每年是必不可少的。这些题目中往往涉及有电场力、电势和电势能等参数，这些参数与静电场最基本的物理性质参数——电场强度是紧密相关的。因此，要解决好这些问题，我们首先必须熟练掌握计算电场强度的方法。在这里，我们首先介绍一下计算电场强度的基本方法。结合所分析的静电场的特点，很多求解电场强度的问题都可以用它来解决。对于一些比较特殊的电场，我们将在下一节介绍一些特殊的方法，那些特殊的方法也是由这些基本方法衍生而来的，因此，我们需要掌握好这些基本方法。下面来看一看这些基本方法。方法特点电场强度的定义是检验电荷在电场中某点受到的电场力F 与电荷q 的比值，用E 表示。因此，我们可以利用这一定义去求电场中某点的电场强度。想办法求出电荷q 在某点所受的电场力，使用公式F q E =，即可求出电场强度。在这里需要注意两点：（1）这里q 代表电量，如果带正电则值为正，此时E 的方向与F 相同；如果带负电则值为负，此时E 的方向与F 相反。（2）由于E 有方向，是矢量，因此我们可以使用矢量的运算法则（正交分解法、平行四边形法则、矢量三角形法则等）求几个不同的电场在某一点所产生的合场强。根据这一定义，点电荷Q 在周围某点所产生的场强为22 Qq F r q k Q E k q r ===。根据这一定义以及匀强电场中电场力做功与电势能的关系有W F d qE d q U === ，因此匀强电场的场强为U d E =。从定义引出来的方法是最基本的方法，下面我们来看一看具体该怎么用。经典体验（1）如图所示，带正电小球质量为m=1×10-2kg ，带电量为q=1.6×10-6 C 。置于光滑绝缘水平面上的A 点，当空间存在着斜向上的匀强电场时，该小球从静止开始始终沿水平面做匀加速直线运动，当运动到B 点时，测得速度v B =1.5m/s ，此时小球的位移为s=0.15m ，求此匀强电场的场强E 的取值范围（g=10m/s 2 ）。体验思路：要求E 的取值范围，我们已知电量q ，根据上面的定义，即是要求电场力的

§10-怎样计算电场强度

§10 怎样计算电场强度？静电场的电场强度计算，一般有三种方法： 1、从点电荷场强公式出发进行叠加； 2、用高斯定理求解； 3、从电场强度和电势的微分关系求解。这三种方法各有优点：从点电荷的场强公式出发，通过叠加原理来计算，在原则上，是没有不可应用的。但是，叠加是矢量的叠加，因此计算往往十分麻烦。用高斯定理求电场强度，方法简单，演算方便，它有较大的局限性，只适宜于某些电荷对称分布的场强的计算，或者场强不是对称的，但为几种能用高斯定理求解折场的合成。用场电势的微分关系求场强也有普遍性，而且叠加是代数叠加。这一种方法也简便，不过还比不上高斯定理。所以求场强时，一般首先考虑是琐能用高斯定理，其次考虑是否能用场强与电势的微分关系去求。下面分别加以讨论。一、从点电荷的场强公式出发通过叠加原理进行计算点电荷的场强公式： 301 (1)4i i i q E r r πε= ∑r r 当电荷连续分布时： ()() 303 0301(2) 4134144r E dl r r E ds r r E d r λπεσπερτπε===???r r r r r r 式中 λ－电荷的线密度； σ－电荷的面密度； ρ－电荷的体密度。式（2）、（3）、（4）中，积分应普遍一切有电荷分布的地方。计算时，还必须注意这是矢量和。 1、善于积分变量的统一问题

如果积分上包含有几个相关的变量，只有将它们用同一变量来表示，积分才能积得结果。这在应用点电荷的场强公式求带电体的场强时，或者应用毕－沙－拉定律求B r 时，常常遇到。因此，要积分必须先解决积分变量的统一问题。积分上包含有几个变量，相互之间存在一定的关系。因此，任一变量都可选作自变量，而将其他变量用该变量来统一表示。必须指出，不但可以将积分号中包含的变量选作自变量，而且也可选择不包含在积分号中但与积分号中的变量都有关的量作为自变量，要根据具体情况而定。现以图2－10－1所示均匀带电直线的场强计算为例来讨论积分变量的统一问题。由图可知： 2 0cos 4x dl dE r λθπε= 2 0sin 4y dl dE r λθπε= 202 0cos (5) 4sin (6) 4x x y y dl E dE r dl E dE r λθπελθπε∴====?? ?? 上述三个变量中，共有三个相关变量：θ、l 、r 。为了把积分计算出来，必须把三个变量统一用某一个变量，可以θ、l 、r 中的任一个，或者用它的相关变量来表示。究竟选哪一个好呢？如果选择θ为自变量，则应把l 、r 都化作θ的函数来表示。由图示几何关系可得： 2222cot l a dl acse d r a cse θθθθ =-== 于是得： ()()2 12 1 21002100cos sin sin 44sin cos cos 44x y E a a E a a θθθθλλ θθθπεπελλ θθθπεπε==-==-? ? x 图2－10－1

场强公式

在匀强电场中：E=U/d 若知道一电荷受力大小可用：E=F/q点电荷形成的电场：E=kq/r^2 k为一常数q 为此电荷的电量r为到此电荷的距离可看出：随r的增大，点电荷形成的场强逐渐减小，（不与r成正比，只与r^2成正比）从力的角度研究电场电场强度是电场本身的一种特性，与检验电荷存在与否无关， E是矢量。要区别公式: E=F／q （定义式） E=kQ／r2 （点电荷电场） E=U/d (匀强电场） 1、判断电场强度大小的方法： (1）根据公式判断； (2）根据电场线判断； (3）根据等势面判断。 2、判断电场强度方向的几种方法：方法一:根据规定，正电荷所受电场力的方向即是该点的场强方向；方法二:电场线上每一点的切线方向即是该点的场强方向；方法三:电势降低最快的方向就是场强的方向。注意事项

(1)两个完全相同的带电金属小球接触时,电量分配规律:原带异种电荷的先中和后平分,原带同种电荷的总量平分； (2)电场线从正电荷出发终止于负电荷,电场线不相交,切线方向为场强方向,电场线密处场强大,顺着电场线电势越来越低,电场线与等势线垂直； (3)常见电场的电场线分布要求熟记； (4)电场强度（矢量）与电势（标量）均由电场本身决定,而电场力与电势能还与带电体带的电量多少和电荷正负有关； (5)处于静电平衡导体是个等势体,表面是个等势面,导体外表面附近的电场线垂直于导体表面，导体内部合场强为零,导体内部没有净电荷,净电荷只分布于导体外表面； (6)电容单位换算：1F=10^6μF=10^12pF； (7)电子伏(eV)是能量的单位,1eV=1.60×10^-19J； (8)其它相关内容：静电屏蔽/ 示波管、示波器及其应用/ 等势面/尖端放电等。

电场强度地计算

电场力的性质之考点一（电场强度的理解及计算）班级：：编写：熠学习目标：1、理解电场强度的矢量性；2、掌握电场强度的计算方法。自主学习：一、三个公式的比较二、 (1)电场叠加：多个电荷在空间某处产生的电场的电场强度为各电荷在该处所产生的电场场强的矢量和． (2)计算法则：平行四边形定则．题型一、点电荷产生的电场正点电荷电场方向背离电荷负点电荷电场方向指向电荷中心 1、如图所示，真空中有两个点电荷Q1 =+3.0×10-8C和Q2 =-3.0×10-8C，它们相距0.1m，A点与两个点电荷的距离r相等，r=0.1m 。求：电场中A点的场强。 2、如图，A、B两点放有均带电量为+2×10-8C两个点电荷，相距60cm，试求：

（1）AB 连线中点O 的场强；（2）AB 连线的垂直平分线上离开O 点距离为30cm 处的P 点的场强。合作学习：【拓展训练】：3、(2013·重点中学联考)如图所示，一个均匀的带电圆环，带电荷量为＋Q ，半径为R ，放在绝缘水平桌面上．圆心为O 点，过O 点作一竖直线，在此线上取一点A ，使A 到O 点的距离为d 。求A 点处的电场强度。方法归纳：【变式训练】：4、在某平面上有一个半径为r 的绝缘带电圆环： (1)若在圆周上等间距地分布n (n ≥2)个相同的点电荷，则圆心处的合场强为多少？ (2)若有一半径同样为r ，单位长度带电荷量为q (q ＞0)的均匀带电圆环上有一个很小的缺口Δl (且Δl r )，如图所示，则圆心处的场强又为多少？方法归纳：补偿法。解题关键：把带有缺口的带电圆环―――→转化为点电荷解析： (1)当n 分别取2、3、4时圆心处的场强均为零，结合点电荷电场的对称性可知，n 个相同的点电荷在圆心处的合场强为零． (2)可以把均匀带电圆环视为由很多点电荷组成，若将缺口补上，再根据电荷分布的对称性可得，圆心O 处的合场强为零，由于有缺口的存在，圆心O 处的电场即为缺口相对圆心O 的对称点产生的电场，其电场强度为该处电荷(可视为点电荷)在O 点的电场强度(包括大小和方向)．其电场强度的大小为E ＝k q Δl r 2，方向由圆心O 指向缺口．答案： (1)合场强为零 (2) k q Δl r 2，方向由圆心O 指向缺口分析电场叠加问题的一般步骤电场强度是矢量，叠加时应遵从平行四边形定则，分析电场的叠加问题的一般步骤是： (1)确定分析计算的空间位置； (2)分析该处有几个分电场，先计算出各个分电场在该点的电场强度的大小和方向； (3)依次利用平行四边形定则求出矢量和．题型二特殊带电体产生的电场

输电线路设计计算公式集1～3章(DOC)

导线截面的选择 1、按经济电流密度选择线路的投资总费用Z1 Z1 =(F0+αΑ)Ｌ式中：F0—与导线截面无关的线路单位长费用； α—与导线截面相关的线路单位长度单位截面的费用； Α—导线的截面积；Ｌ—线路长度。线路的年运行费用包括折旧费，检修维护费和管理费等，可用百分比 b 表示为 Z 2=bZ 1=b(F 0+aA)L 线路的年电能损耗费用（不考虑电晕损失）： Z 3=3I 2max Ci A PL 式中i —最大负荷损耗小时数。可依据最大负荷利用小时数和功率因数 I max —线路输送的最大电流 C —单位电价 P —导线的电阻率若投资回收年限为 n 得到导线的经济截面A n A m =I max ) 1(3nb a nPCi + 经济电流密度J n Jn= n A I m ax =nPCi nb a 3)1(+ An= n J I m ax 我国的经济电流密度可以按表查取。

2、按电压损耗校验在不考虑线路电压损耗的横分量时，线路电压、输送功率、功率因数、电压损耗百分数、导线电阻率以及线路长度与导线截面的关系，可用下式表示 )(01 2?δtg X R U L P m += 式中：δ—线路允许的电压损耗百分比； P m —线路输送的最大功率，MW ； U i —线路额定电压KV L —线路长度m ； R —单位长度导线电阻，Ω/m ； X 0—单位长度线咱电抗，Ω/m ，可取0.4×10-3 Ω/m ； tg ?—负荷功率因数角的正切。 3、按导线允许电流校验（1）按导线的允许最大工作电流校验导线的允许最大工作电流为 Im= 1 0) R t t F -（β 其中 R1=[] A P t t 0 0)(21-+ 上二式中a —导线的电阻温度系数 t —导线的允许正常发热最高温度。我国钢芯铝绞线一般采用+70℃，大跨越可采用+90℃；钢绞线的允许温度一般采用+125℃； t 0—周围介质温度，应采用最高气温月的最高平均气温，并考虑太阳辐射的影响； β—导线的散热系数； F —单位长度导线的散热面积，F=md ； R 1—温度t 时单位长度导线的电阻； P 0—温度t 0时导线的电阻率； A —导线的截面积 d —导线的直径；（2）按短路电流校验

电场强度的叠加原理及电场强度的计算

第二讲：电场强度的叠加原理及电场强度的计算内容：§9－3 电场强度的求法要求： 1．理解场强叠加原理； 2．掌握用积分的方法计算电场强度。重点与难点： 1．电场强度及其计算。作业：习题：P37：9，11 预习：电场强度的叠加原理

四、电场强度叠加原理 1．点电荷的场强：电荷Q ，空间r 处 2 04r r Q q F E πε=＝ 2．点电荷系：在点电荷系Q 1，Q 2，…，Q n 的电场中，在P 点放一试验电荷q 0，根据库仑力的叠加原理，可知试验电荷受到的作用力为∑= i F F ，因而P 点的电场强度为 ∑∑∑=== i i i E q F q F q F E ＝即 ∑∑3 04r r Q E E i i πε ＝＝点电荷系电场中某点的场强等于各个点电荷单独存在时在该点的场强的矢量和。这就是电场强度的叠加原理。 3．连续分布电荷激发的场强将带电区域分成许多电荷元d q ，则 ? ?=0 2 04r r dq E d E πε＝其中，对于电荷体分布，d q =ρd v ， ???v r r dv E 0 204 περ＝对于电荷面分布，d q =σds ，02 04r r ds E s ??πεσ＝对于电荷线分布，d q =λd l ，?l r r dl E 0 2 04 πελ＝其中体密度 dV dQ V Q V =??→?lim 0 ＝ρ 单位C/m 3；面密度 dS dQ S Q S =??→?lim ＝σ 单位C/m 2；

线密度 dl dQ l Q l =??→?lim ＝λ 单位C/m 。五、电场强度的计算： 1．离散型的：∑∑3 04r r Q E E i i πε ＝＝ 2．连续型的：? ?=0 2 04r r dq E d E πε＝空间各点的电场强度完全取决于电荷在空间的分布情况。如果给定电荷的分布，原则上就可以计算出任意点的电场强度。计算的方法是利用点电荷在其周围激发场强的表达式与场强叠加原理。计算的步骤大致如下： ● 任取电荷元d q ，写出d q 在待求点的场强的表达式； ● 选取适当的坐标系，将场强的表达式分解为标量表示式； ● 进行积分计算； ● 写出总的电场强度的矢量表达式，或求出电场强度的大小和方向； ● 在计算过程中，要根据对称性来简化计算过程。例1．电偶极子（Electric Dipole ）的场强。 1. 几个概念：（1）两个电量相等、符合相反、相距为l 的点电荷+q 和-q ，若场点到这两个电荷的距离比l 大得多时，这两个点电荷系称为电偶极子。（2）从-q 指向+q 的矢量l 称为电偶极子的轴。（3）l q p =称为电偶极子的电偶极矩 2. 电偶极子的电场强度（1）电偶极子轴线延长线上一点的电场强度如图所示，取电偶极子轴线的中点为坐标原点O ，沿极轴的延长线为O x 轴，轴上任意点A 距原点的距离为x ，则正负电荷在点A 产生的场强为 ()i l x q E 2 02/41-= +πε () i l x q E 2 02/41+-=-πε 由叠加原理可知点A 的总场强为 ()()() i l x xl q i l x q l x q E E E ??? ?????-??????-= +22202204/242/2/41πεπε＝＋－＋＝－当x >>l 时，2 224/x l x ≈-

电场强度的几种计算方法

电薄板相距为2d ，点电荷到带电薄板的垂线通过板的几何中心，如图中a 点处的场强为零，求图中b 点处的场强多大例：一均匀带负电的半球壳，球心为O 点，AB 为其对称轴，平面L 垂直AB 把半球壳一分为二，L 与AB 相交于M 点，对称轴AB 上的N 点和M 点关于O 点对称。已知一均匀带电球壳内部任一点的电场强度为零，点电荷q 在距离其为r 处的电势为r q k =?。假设左侧部分在M 点的电场强度为 E 1，电势为1?；右侧部分在M 点的电场强度为E 2，电势为2?；整个半球壳在M 点的电场强度为E 3，在N 点的电场强度为E 4，下列说法中正确的是（） A ．若左右两部分的表面积相等，有E 1＞E 2，1?＞2 ?

B ．若左右两部分的表面积相等，有E 1＜E 2，1?＜2 ? C ．只有左右两部分的表面积相等，才有E 1＞E 2，E 3=E 4 D ．不论左右两部分的表面积是否相等，总有 E 1＞E 2，E 3=E 4 答案：D 例：ab 是长为L 的均匀带电细杆，P1、P2是位于ab 所在直线上的两点，位置如图所示．ab 上电荷产生的静电场在P1处的场强大小为E 1，在P2处的场强大小为E2。则以下说法正确的是( ) A ．两处的电场方向相同， E1＞E2 B ．两处的电场方向相反， E1＞E2 C ．两处的电场方向相同，E1＜E2 D ．两处的电场方向相反，E1＜E2 A B M O N L

电场强度的几种计算方法

电场强度的几种求法一．公式法 1．q F E = 是电场强度的定义式：适用于任何电场，电场中某点的场强是确定值，其大小和方向与试探电荷无关，试探电荷q 充当“测量工具”的作用。 2．2r k Q E =是真空中点电荷电场强度的决定式，E 由场源电荷Q 和某点到场源电荷的距离r 决定。 3．d U E = 是场强与电势差的关系式，只适用于匀强电场，注意式中的d 为两点间的距离在场强方向的投影。二．对称叠加法当空间的电场由几个点电荷共同激发的时候，空间某点的电场强度等于每个点电荷单独存在时所激发的电场在该点的场强的矢量和，其合成遵守矢量合成的平行四边形定则。例：如图，带电量为+q 的点电荷与均匀带电。例：如图，带电量为+q 的点电荷与均匀带电薄板相距为2d ，点电荷到带电薄板的垂线通过板的几何中心，如图中a 点处的场强为零，求图中b 点处的场强多大？例：一均匀带负电的半球壳，球心为O 点，AB 为其对称轴，平面L 垂直AB 把半球壳一分为二，L 与AB 相交于M 点，对称轴AB 上的N 点和M 点关于O 点对称。已知一均匀带电球壳内部任一点的电场强度为零，点电荷q 在距离其为r 处的电势为r q k =?。假设左侧部分在M 点的电场强度为E 1，电势为1?；右侧部分在M 点的电场强度为E 2，电势为2?；整个半球壳在M 点的电场强度为E 3，在N 点的电场强度为E 4，下列说法中正确的是（） A ．若左右两部分的表面积相等，有E 1＞E 2，1?＞2? B ．若左右两部分的表面积相等，有E 1＜E 2，1?＜2?

C ．只有左右两部分的表面积相等，才有E 1＞E 2，E 3=E 4 D ．不论左右两部分的表面积是否相等，总有 E 1＞E 2，E 3=E 4 答案：D 例：ab 是长为L 的均匀带电细杆，P1、P2是位于ab 所在直线上的两点，位置如图所示．ab 上电荷产生的静电场在P1处的场强大小为E 1，在P2处的场强大小为E2。则以下说法正确的是( ) A ．两处的电场方向相同，E1＞E2 B ．两处的电场方向相反，E1＞E2 C ．两处的电场方向相同，E1＜E2 D ．两处的电场方向相反，E1＜E2 三．等效替代法例：均匀带电的球壳在球外空间产生的电场等效于电荷集中于球心处产生的电场，如图，在半球面A 、B 上均匀分布正电荷，总电荷量为q ，球面半径为R ，CD 为通过半球顶点与球心O 的轴线，在轴线上有M 、N 两点，OM=ON=2R ，已知M 点的场强大小为E ，则N 点场强大小为（） A ．E R -22kq B ．24kq R C ．E R -24kq D ．E R +2 4kq 答案：A 例：【2013安徽20】如图所示，xOy 平面是无穷大导体的表面，该导体充满0z <的空间， 0z >的空间为真空。将电荷为q 的点电荷置于z 轴上z=h 处，则在xOy 平面上会产生感应电荷。空间任意一点处的电场皆是由点电荷q 和导体表面上的感应电荷共同激发的。已知静电平衡时导体内部场强处处为零，则在z 轴上2 h z = 处的场强大小为（k 为静电力常量） A ．24q k h B ．249q k h C ．2329q k h D ．2 409q k h 【答案】D C D A B

电场强度的几种计算方法

微专题训练16 电场强度的几种计算方法 1．(公式法)(单选)如图1所示，真空中O 点有一点电荷，在它产生的电场中有a 、 b 两点，a 点的场强大小为E a ，方向与ab 连线成60°角，b 点的场强大小为E b ，方向与ab 连线成30°角．关于a 、b 两点场强大小E a 、E b 的关系，以下结论正确的是 ( )．图1 A ．E a ＝33E b B ．E a ＝13E b C ．E a ＝3E b D ． E a ＝3E b 解析由题图可知，r b ＝3r a ，再由E ＝kQ r 2可知，E a E b ＝r 2b r 2a ＝31，故D 正确．答案 D 2．(图象斜率法)(多选)如图2甲所示，在x 轴上有一个点电荷Q (图中未画出)，Q 、 A 、 B 为轴上三点，放在A 、B 两点的试探电荷受到的电场力跟试探电荷所带电荷量的关系如图乙所示，则 ( )．图2 A ．A 点的电场强度大小为2×103 N/C B ．B 点的电场强度大小为2×103 N/C C ．点电荷Q 在A 、B 之间 D ．点电荷Q 在A 、O 之间解析对于电场中任意一点而言，放在该处的试探电荷的电荷量q 不同，其受

到的电场力F的大小也不同，但比值F q是相同的，即该处的电场强度．所以F-q 图象是一条过原点的直线，斜率越大则场强越大．由题图可知A点的电场强度 E A＝2×103 N/C，B点的电场强度的大小为E B＝0.6×103 N/C，A正确，B错误．A、 B两点放正、负不同的电荷，受力方向总为正，说明A、B的场强方向相反，点电荷Q只能在A、B之间，C正确．答案AC 3．(叠加法)(多选)如图3所示，在x轴坐标为＋1的点上固定一个电荷量为4Q的正点电荷，坐标原点O处固定一个电荷量为Q的负点电荷，那么在x坐标轴上，电场强度方向沿x轴负方向的点所在区域应是()．图3 A．(0,1)B．(－1,0) C．(－∞，－1)D．(1，＋∞) 解析在区域(0,1)中4Q和－Q的电场的电场强度方向都向左，合场强仍向左， A对；在－Q左侧距－Q为x处场强为零，由k Q x2＝k 4Q (1＋x)2 得x＝1，所以区域(－∞，－1)内合场强向左，C对．答案AC 4．(叠加法)(单选)如图4所示，中子内有一个电荷量为＋2e 3的上夸克和两个电荷量为－e 3的下夸克，3个夸克都分布在半径为r的同一圆周上，则3个夸克在其圆心处产生的电场强度大小为() 图4

500KV输电线路电磁场计算方法的分析

500KV 输电线路电磁场计算方法的分析随着超高压输送电线路的发展，电磁环境已经成为决定输电线路结构，影响建设费用等的重要因素，成为制约特高压建设的一个关键问题。因此对超高压输电线路电场的精度计算的要求越来越高。本文根据Markt-Megele 法，用C++语言结合matlab 的数学库函数，对输电线路的电场强度进行计算，并结合实际例子对该方法进行分析与说明。一、计算原理 Markt-Megele 法计算原理为等效电荷模拟计算法，即电场中任意点的电位是模拟电荷的位置和变量的多元函数。数学表达公式为： φi (r )??????=?P ij ?r j ???，r i ????Q j (i =1,…,m ) (1?1) N j=1 公式中Q j 为第j 个模拟电荷的电量; r j ???为第j 个模拟电荷的位置矢量; r i ???为第i 个场点的位置矢量； P ij 为第j 个模拟电荷对场点i 的电位系数。模拟电荷的位置由设计者凭经验事先给定，并取导体表面匹配点数与模拟电荷数目相等。则电位函数仅为电量的线性函数，式(1?1)简化为线性方程组： [P ][Q ]=[φ] (1?2)

式中[P]为电位系数N×N阶方阵由模拟电荷的类型及模拟电荷与边界点的相对位置决定； [φ]为由导体表面电位决定的N阶列向量； [Q]为模拟电荷的N阶列向量。二、输电线路数学模型及计算方法根据公式(1?2)导线上的电荷Q可用电压和电位系数P的麦克斯韦方程式： [Q]=[P]?1[U] (2?1)式中[U]：各导线对地电压的复数矩阵，由输电线路的电压和相位确定，取额定电压的k倍作为其计算电压，一般取1.05; [P]：由各导线电位系数组成的n阶方阵，n为导线数; [Q]：各导线上等效电荷的列矩阵，为复数矩阵。电位系数P的公式为： P ii=12πε0ln2H i r eq (2?2) P ij=12πε0ln D ij d ij (2?3)式中H i:为导线的对地高度,m； r eq：为导线半径，m(对分裂导线而言，为等效半径)； D ij：为导线i与导线j的镜像间距离，m； d ij：为导线i与导线j的距离，m； ε0：为真空的介电常数，ε0=136π×10?9F/m。

16 电场强度的几种计算方法

微专题训练16　电场强度的几种计算方法1．(公式法)(单选)如图1所示，真空中O点有一点电荷，在它产生的电场中有a、b两点，a点的场强大小为E a，方向与ab连线成60°角，b点的场强大小为E b，方向与ab连线成30°角．关于a、b两点场强大小E a、 E b的关系，以下结论正确的是 ( )．图1 A．E a＝E b B．E a＝E b C．E a＝E b D．E a＝3E b 解析　由题图可知，r b＝r a，再由E＝可知，＝＝，故D正确．答案　D 2．(图象斜率法)(多选)如图2甲所示，在x轴上有一个点电荷Q(图中未画出)，Q、A、B为轴上三点，放在A、B两点的试探电荷受到的电场力跟试探电荷所带电荷量的关系如图乙所示，则 ( )．

图2 A．A点的电场强度大小为2×103 N/C B．B点的电场强度大小为2×103 N/C C．点电荷Q在A、B之间 D．点电荷Q在A、O之间解析　对于电场中任意一点而言，放在该处的试探电荷的电荷量q不同，其受到的电场力F的大小也不同，但比值是相同的，即该处的电场强度．所以Fq图象是一条过原点的直线，斜率越大则场强越大．由题图可知A点的电场强度E A＝2×103N/C，B点的电场强度的大小为E B ＝0.6×103 N/C，A正确，B错误．A、B两点放正、负不同的电荷，受力方向总为正，说明A、B的场强方向相反，点电荷Q只能在A、B之间，C正确．答案　AC 3．(叠加法)(多选)如图3所示，在x轴坐标为＋1的点上固定一个电荷量为4Q的正点电荷，坐标原点O处固定一个电荷量为Q的负点电荷，那么在x坐标轴上，电场强度方向沿x轴负方向的点所在区域应是 ( )．

电场强度的计算(完整资料).doc

【最新整理，下载后即可编辑】电场力的性质之考点一（电场强度的理解及计算）班级：姓名：编写：陈熠学习目标：1、理解电场强度的矢量性；2、掌握电场强度的计算方法。自主学习：一、三个公式的比较 E ＝F q E ＝k Q r 2 E ＝U d 公式意义适用条件决定因素二、电场的叠加 (1)电场叠加：多个电荷在空间某处产生的电场的电场强度为各电荷在该处所产生的电场场强的矢量和． (2)计算法则：平行四边形定则．题型一、点电荷产生的电场正点电荷电场方向背离电荷负点电荷电场方向指向电荷中心 1、如图所示，真空中有两个点电荷Q1 =+3.0×10-8C 和Q2 =-3.0×10-8C ，它们相距0.1m ， A 点与两个点电荷的距离r 相等，r=0.1m 。求：电场中A 点的场强。 2、如图，A 、B 两点放有均带电量为+2×10-8C 两个点电荷，相距60cm ，试求：（1）AB 连线中点O 的场强；（2）AB 连线的垂直平分线上离开O 点距离为30cm 处的P 点的场强。合作学习：【拓展训练】：3、(2013·山东济南重点中学联考)如图所示，一个均匀的带电圆环，带电荷量为＋Q ，半径为R ，放在绝缘水平 E 合 E 2 E 1 Q1 Q2 A

桌面上．圆心为O 点，过O 点作一竖直线，在此线上取一点A ，使A 到O 点的距离为d 。求A 点处的电场强度。方法归纳：【变式训练】：4、在某平面上有一个半径为r 的绝缘带电圆环： (1)若在圆周上等间距地分布n (n ≥2)个相同的点电荷，则圆心处的合场强为多少？ (2)若有一半径同样为r ，单位长度带电荷量为q (q ＞0)的均匀带电圆环上有一个很小的缺口Δl (且Δl r )，如图所示，则圆心处的场强又为多少？方法归纳：补偿法。解题关键：把带有缺口的带电圆环―――→转化为点电荷解析： (1)当n 分别取2、3、4时圆心处的场强均为零，结合点电荷电场的对称性可知，n 个相同的点电荷在圆心处的合场强为零． (2)可以把均匀带电圆环视为由很多点电荷组成，若将缺口补上，再根据电荷分布的对称性可得，圆心O 处的合场强为零，由于有缺口的存在，圆心O 处的电场即为缺口相对圆心O 的对称点产生的电场，其电场强度为该处电荷(可视为点电荷)在O 点的电场强度(包括大小和方向)．其电场强度的大小为E ＝k q Δl r 2，方向由圆心O 指向缺口．答案： (1)合场强为零 (2) k q Δl r 2，方向由圆心O 指向缺口分析电场叠加问题的一般步骤电场强度是矢量，叠加时应遵从平行四边形定则，分析电场的叠加问题的一般步骤是：

三种计算场强的方法及场强叠加专题

三种计算场强的方法及场强叠加 1、如图所示，带电量为q的小球质量为m，用一细线系在O点，整个放置在水平匀强电场中，静止时小球与竖直线的夹角为θ。下列说法正确的是( ) A．小球带正电荷，电场强度大小是E=mgtanθ/q B．小球带正电荷，电场强度大小是 E=mgcosθ/q C．若细线断开，则小球作平抛运动 D．以上说法都不对 2、在如图（a）所示的x轴上有一个点电荷Q（图中未画出所在位置），O 为x轴坐标原点，A、B两点的坐标分别为0.1m和0.4m．放在A、B两点的检验电荷q1、q2受到的电场力跟它们所带电量的关系如图（b）所示．则 A、B两点的电场强度大小之比为________；点电荷Q的位置坐标为 x=________m． 3、在点电荷Q产生的电场中有a，b两点，相距为d，已知a点的场强大小为E，方向与ab连线成30°角， b点的场强方向与ab连线成120°角，如图所示，则点电荷Q的电性和b点的场强大小为（） A．正电、 B．负电、 C．正电、 D．负电、 4、在匀强电场中有a、b、c三点，如图所示，ab＝5cm，ac＝3cm，bc＝4cm，已知Uac＝12V， E＝400N/C，则场强方向应是（）（A）由a向c （B）由b向c （C）由a向b （D）由c向b 5、如图所示，在匀强电场中宵A、B、C三点，在以它们为顶点的三角形中，，电场方向与三角形所在平面平行。已知A、B、C三点的电势分别为、和3V，且AB=2 m，则下列分析正确的是（） A．该匀强电场的场强的方向沿BC方向 B．该匀强电场的场强的方向沿BA方向 C．该匀强电场的场强大小为2 V／m D．该匀强电场的场强大小为V／m 6、在场强为E的匀强电场中，放一个电量为Q的点电荷，并以它为圆心在平行于电场线的平面内做一个圆。过圆心的电场线和圆交于A、B两点，A、B的垂直平分线交圆于C、D，如右图所示。A点的电场强度是零。电荷带_______电，圆的半径R＝__________，B点的合场强大小是___________，C 点的合场强大小是____________。 7、如图所示，M、N和P是以MN为直径的半圈弧上的三点，O点为半圆弧的圆心，∠MOP＝60O。电荷量相等、符号相反的两个点电荷分别置于M、N两点，这时O点电场强度的大小为E1；若将N点处的点电荷移至P点，则O 点的场强大小变为E2，E1与E2之比为 A．2∶1 B．1∶2 C．2∶ D．4∶ 8、点电荷A和B，分别带正电和负电，电量分别为4Q和Q，在AB连线上，如图所示，电场强度为零的地方在 ( ) A．A和B之间 B．A右侧 C．B左侧 D．A的右侧及B的左侧

电场线电场强度的理解及计算.

1．考点及要求：(1)静电场(Ⅰ)；(2)电场强度、点电荷的场强(Ⅱ)；(3)电场线(Ⅰ).2.方法与技巧：(1)分清是平面上场强的叠加还是立体空间中场强的叠加，再

利用几何知识求解；(2)利用带电体或电场的对称性求合场强；(3)利用整体法与隔离法处理平衡问题． 1．(点电荷场强的计算与场强的合成)如图1所示，A、B、C、D为真空中矩形图形的4个顶点，AB长为3cm，BC长为4cm，在矩形顶点A、B、C三处各放置一个点电荷qA、qB、qC，其中qA、qC为负电荷，qB为正电荷．已知它们的电荷量大小之比为qA∶qB∶qC＝64∶125∶27，点电荷qA产生的电场在D处的场强大小为E.则D处的合场强大小应为( ) A．1.25E C．0 B．2E D．2.5E 2．(应用整体法与隔离法分析电场内的平衡问题)a、b两个带电小球的质量均为m，所带电荷量分别为＋3q和－q，两球间用绝缘细线连接，a球又用长度相同的绝缘细线悬挂在天花板上，在两球所在的空间有方向向左的匀强电场，电场强度为E，平衡时细线都被拉紧，则平衡时可能位置是( ) 3．已知表面电荷均匀分布的带电球壳，其内部电场强度处处为零．现有表面电荷均匀分布的带电半球壳，如图2所示，CD为通过半球顶点C与球心O的轴线．P、Q为CD轴上关于O点对称的两点．则( ) A．P点的电场强度与Q点的电场强度大小相等，方向相同 B．P点的电场强度与Q点的电场强度大小相等，方向相反 C．P点的电场强度比Q点的电场强度强 D．P点的电场强度比Q点的电场强度弱 4．(多选)如图3所示，有一正方体空间ABCDEFGH，则下列说法正确的是A．若A点放置一正点电荷，则B、H两点的电场强度大小相等 B．若A点放置一正点电荷，则电势差UBC>UHG C．若在A、E两点处放置等量异种点电荷，则C、G两点的电势相等 D．若在A、E两点处放置等量异种点电荷，则D、F两点的电场强度大小相等5．(多选)如图4所示，虚线AB和CD分别为椭圆的长轴和短轴，相交于O点，两个等量异种点电荷分别处于椭圆的两个焦点M、N上，下列说法中正确的是( ) A．A、B两处电势、场强均相同 B．C、D两处电势、场强均相同 C．在虚线AB上O点的场强最大 D．带正电的试探电荷在O处的电势能大于在B处的电势能

matlab实现有限差分法计算电场强度(最新)

实验一：有限差分法研究静电场边值问题实验报告人：年级和班级：学号： 1. 实验用软件工具： Matlab 2. 实验原理：电磁场课本P36-38 1)差分方程 2)差分方程组的解简单迭代法高斯-赛德尔迭代法逐次超松弛法 3. 实验步骤： 1）简单迭代法程序： hx=41;hy=21; v1=zeros(hy,hx); v1(hy,:)=zeros(1,hx); v1(1,:)=ones(1,hx)*100; v1(:,1)=zeros(hy,1); v1(:,hx)=zeros(hy,1); v1 v2=v1;maxt=1;t=0; k=0; while(maxt>1e-5) k=k+1; maxt=0; for i=2:hy-1 for j=2:hx-1 v2(i,j)=(v1(i,j+1)+v1(i+1,j)+v1(i-1,j)+v1(i,j-1))/4; t=abs(v2(i,j)-v1(i,j)); if(t>maxt) maxt=t;end end end v1=v2; end v2 k clf subplot(1,2,1),mesh(v2) axis([0,41,0,21,0,100]) subplot(1,2,2),contour(v2,15) hold on

axis([-1,42,-1,25]) plot([1,1,hx,hx,1],[1,hy+1,hy+1,1,1],'r') text(hx/2,0.3,'0V','fontsize',11); text(hx/2-0.5,hy+0.5,'100V','fontsize',11); text(-0.5,hy/2,'0V','fontsize',11); text(hx+0.3,hy/2,'0V','fontsize',11); hold off 当W=1e-5, 迭代次数：1401次 2）高斯-赛德尔迭代法程序： hx=41;hy=21; v1=ones(hy,hx); v1(hy,:)=zeros(1,hx); v1(1,:)=ones(1,hx)*100; v1(:,1)=zeros(hy,1); v1(:,hx)=zeros(hy,1); v2=v1;maxt=1;t=0; k=0; while(maxt>1e-5) k=k+1; maxt=0; for i=2:hy-1 for j=2:hx-1 v2(i,j)=(v1(i,j+1)+v1(i+1,j)+v2(i-1,j)+v2(i,j-1))/4; t=abs(v2(i,j)-v1(i,j)); if(t>maxt) maxt=t;end end end v1=v2; end v2 k clf subplot(1,2,1),mesh(v2) axis([0,41,0,21,0,100]) subplot(1,2,2),contour(v2,15) hold on axis([-1,42,-1,25]) plot([1,1,hx,hx,1],[1,hy+1,hy+1,1,1],'r') text(hx/2,0.3,'0V','fontsize',11); text(hx/2-0.5,hy+0.5,'100V','fontsize',11); text(-0.5,hy/2,'0V','fontsize',11); text(hx+0.3,hy/2,'0V','fontsize',11); hold off

电场强度的几种计算方法

电场强度的几种求法．公式法 1．E F q是电场强度的定义式：适用于任何电场，电场中某点的场强是确定值，其大小和方向与试探电荷无关，试探电荷q 充当“测量工具”的作用。 2． E k r Q2 是真空中点电荷电场强度的决定 r 式，E 由场源电荷Q 和某点到场源电荷的距离r 决定。 3．E U d是场强与电势差的关系式，只适用于匀强电场，注意式中的d 为两点间的距离在场强方向的投影。二．对称叠加法当空间的电场由几个点电荷共同激发的时候，空间某点的电场强度等于每个点电荷单独存在时所激发的电场在该点的场强的矢量和，其合成遵守矢量合成的平行四边形定则。例：如图，带电量为+q 的点电荷与均匀带电。例：如图，带电量为+q 的点电荷与均匀带电薄板相距为2d，点电荷到带电薄板的垂线

通过板的几何中心，如图中a 点处的场强为零，求图中b 点处的场强多大 b a + ddd 例：一均匀带负电的半球壳，球心为O 点，AB 为其对称轴，平面L垂直AB 把半球壳一分为二，L与AB 相交于M 点，对称轴AB上的N 点和M 点关于O点对称。已知一均匀带电球壳内部任一点的电场强度为零，点电荷q 在距离其为r 处的电势为k q r。假设左侧部分在M 点的电场强度为E1，电势为 1 ；右侧部分在M 点的电场强度为E2，电势为 2 ；整个半球壳在M 点的电场强度为E3，在N 点的电场强度为E4，下列说法中正确的是（）A．若左右两部分的表面积相等，有E1> E2，1 > 2

B．若左右两部分的表面积相等，有E1< E2， 1 < 2 C．只有左右两部分的表面积相等，才有 E1>E2，E3=E4 D．不论左右两部分的表面积是否相等，总有E1> E2，E3=E4 答案：D 例：ab 是长为L 的均匀带电细杆，P1、P2 是位于ab 所在直线上的两点，位置如图所示．ab 上电荷产生的静电场在P1 处的场强大小为E1，在P2 处的场强大小为E2。则以下说法正确的是( ) A．两处的电场方向相同， E1>E2 B．两处的电场方向相反， E1>E2 C．两处的电场方向相同，E1

突破38电场强度计算的六种方法2019高三物理一轮微专题系列之热点专题突破解析版

突破38 电场强度计算的六种方法方法1 利用合成法求电场强度空间中的电场通常会是多个场源产生的电场的叠加，电场强度可以应用平行四边形定则进行矢量计算，这是高考常考的考点。虽然电场强度的定义式为E ＝F q ，但公式E ＝kQ r 2反映了某点场强与场源电荷的特性及该点到场源电荷的距离的关系，体现了电场的来源与本质，高考常围绕此公式出题。【典例1】如图所示，M 、N 为真空中两根完全相同的均匀带正电绝缘棒，所带电荷量相同，且平行正对放置，两棒中点分别为O 1、O 2，a 、b 、c 、d 、e 为O 1O 2连线上的六等分点，a 点处有一带正电的固定点电荷．已知c 处和d 处的场强大小均为E 0，方向相反，则b 处的场强大小为( ) A. E 0 B. C. D. 【答案】D 【跟踪短训】 1．如图在半径为R 的圆周上均匀分布着六个不同的点电荷，则圆心O 处的场强大小和方向为 A. ；由O 指向F

B. ；由O指向F C. ；由O指向C D. ；由O指向C 【答案】B 【解析】由点电荷的场强公式可知，在A、B、C、E、F五个位置的点电荷在O点产生的场强大小为，在D位移的点电荷在O产生的场强大小为，电场强度是矢量，求合场强应用平行四边形定则，作出电场强度的示意图，如图所示：最终O点的合场强为，方向由O指向F，故选B.学科+网 2.在真空中有两个点电荷Q1＝＋ 3.0×10－8 C和Q2＝－3.0×10－8 C，它们相距0.1 m，A点与两个点电荷的距离均为0.1 m。试求A点的场强。【答案】 2.7×104 N/C方向与Q1Q2连线平行指向右【解析】Q1、Q2在A点产生的场强如题图所示。

电场强度的几种计算方法

例：一均匀带负电的半球壳，球心为O 点，AB 为其对称轴，平面L 垂直AB 把半球壳一分为二，L 与AB 相交于M 点，对称轴AB 上的N 点和M 点关于O 点对称。已知一均匀带电球壳内部任一点的电场强度为零，点电荷q 在距离其为r 处的电势为r q k =?。假设左侧部分在M 点的电场强度为E 1，电势为1 ?；右侧部分在M 点的电场强度为E 2，电势为2 ?；整个半球壳在M 点的电场强度为E 3，在N 点的电场强度为E 4，下列说法中正确的是（） A ．若左右两部分的表面积相等，有E 1＞E 2，1 ?＞2 ? B ．若左右两部分的表面积相等，有E 1＜E 2，1 ?＜2 ? C ．只有左右两部分的表面积相等，才有E 1＞E 2，E 3=E 4