云南省德宏州梁河县第一中学高中数学 1.4生活中的优化问题举例学案(无答案)新人教版选修22

课题 1.4 生活中的优化问题举例

班级:__________ 姓名:__________ 小组号:_________

一【学习目标】

1.了解利润最大、用料最省、效率最高等优化问题.

2.掌握由实际问题建立数学模型,并表示为适当的函数关系式.(重点、难点)

3.运用由导数求最值的方法解决生活中的优化问题.(重点

二【课前学习】

1.生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题,这些问题通常称为

____________,通过前面的学习,我们知道________是求函数最大(小)值的有力工具,运用________,可以解决一些生活中的____________.

2.解决实际应用问题时,要把问题中所涉及的几个变量转化成函数关系,这需通过分析、联想、抽象和转化完成.函数的最值要由极值和端点的函数值确定,当定义域是开区间,而且其上有惟一的极值,则它就是函数的最值.

3.解决优化问题的基本思路是:

优化问题→用函数表示的数学问题

优化问题的答案←用导数解决数学问题

上述解决优化问题的过程是一个典型的__________过程.

三【例题与变式】

例1面积、容积最大问题

学校举行活动,要张贴海报进行宣传.现要设计一张如图所示的竖向张贴的海报,要求版心面积为128 dm2,上、下两边各空2 dm,左、右两边各空1 dm.如何设计海报的尺寸,才能使四周空白面积最小?

(链接教材P34例1)

变式11.用长为90 cm,宽为48 cm的长方形铁皮做一个无盖的容器.先在四角分别截去一个小正方形,然后把四边翻转90°,再焊接而成(如图).问该容器的高为多少时,容器的容积最大?最大容积是多少?

例2一艘轮船在航行中每小时的燃料费和它的速度的立方成正比.已知速度为每小时10海里时,燃料费是每小时6元,而其他与速度无关的费用是每小时96元,问轮船的速度是多少时,航行1海里所需的费用总和最小?

变式2甲、乙两地相距400千米,汽车从甲地匀速行驶到乙地,速度不得超过100千米

/时,已知该汽车每小时的运输成本P(元)关于速度v(千米/时)的函数关系是P=

1

19 200

v4-

1

160

v3+15v.

(1)求全程运输成本Q(元)关于速度v的函数关系式;

(2)为使全程运输成本最少,汽车应以多大速度行驶?并求此时运输成本的最小值.

例3某市旅游部门开发一种旅游纪念品,每件产品的成本是15元,销售价是20元,月平均销售a件,通过改进工艺,产品的成本不变,质量和技术含金量提高,市场分析的结果表明,如果产品的销售价格提高的百分率为x(0<x<1),那么月平均销售量减少的百分率为x2.记改进工艺后,旅游部门销售该纪念品的月平均利润是y(元).

(1)写出y关于x的函数关系式;

(2)改进工艺后,确定该纪念品的售价,使旅游部门销售该纪念品的月平均利润最大

变式某工厂生产某种产品,已知该产品的月生产量x(吨)与每吨产品的价格p(元/吨)

之间的关系式为p=24 200-1

5

x2,且生产x吨产品的成本为R=50 000+200x(元).问该工

厂每月生产多少吨产品才能使利润达到最大?最大利润是多少?(利润=收入-成本)

例4本题满分12分)如图,有一块半椭圆形钢板,其长半轴长为2,短半轴长为1,计划将此钢板切割成等腰梯形的形状,下底AB 是半椭圆的短轴,上底CD 的端点在椭圆上,记|CD |=2x ,梯形的面积为S .

云南省德宏州梁河县第一中学高中数学 1.4生活中的优化问题举例学案(无答案)新人教版选修22

(1)求面积S 以x 为自变量的函数解析式,并写出其定义域;

(2)求面积S 的最大值.

[规范与警示] (1)解答本题两个关键步骤

①利用点C 在椭圆上,用x 表示y 即梯形的高是本题的难点,也是一得分点.

②由于S 关于x 的函数为无理函数,通过平方将其转化为熟悉且容易解决的多项式函数,可减少繁琐计算,避免失分.

(2)解答本题易误点:一是语言叙述不规范,二是用x 表示出S 后忽视定义域,三是由

f ′(x )=0求出x =12,不说明函数单调性,直接利用S 2=f (12

)得出结果,步骤缺失. (3)利用导数解决优化问题时应注意

①列函数关系式时,注意实际问题中变量的取值范围,即函数的定义域.

②一般地,通过函数的极值来求得函数的最值.如果函数f (x )在给定区间内只有一个极值点或函数f (x )在开区间上只有一个点使f ′(x )=0,则只要根据实际意义判断该值是最大值还是最小值即可,不必再与端点处的函数值进行比较

四【目标检测】

1.一质点沿直线运动,如果由始点起经过t 秒后的距离为s =43

t 3-2t 2,那么速度为0的时刻是( )

A .1秒末

B .0秒

C .2秒末

D .0秒末或1秒末

2.已知某生产厂家的年利润y (单位:万元)与年产量x (单位:万件)的函数关系式为y =-13

x 3+81x -234,则使该生产厂家获得最大年利润的年产量为( ) A .13万件 B .11万件

C .9万件

D .7万件

3.把长度为l 的铁丝围成一个长方形,则围成的最大面积为( )

A .l 2 B.l 24 C .l 28 D .l 216

4.某商场从生产厂家以每件20元的价格购进一批商品.若该商品零售价定为P 元,销

售量为Q 件,且销量Q 与零售价P 有如下关系:Q =8 300-170P -P 2,则最大毛利润为(毛

利润=销售收入-进货支出)( )

5.某厂生产某种电子元件,如果生产出一件正品,可获利200元,如果生产出一件次品,则损失100元,已知该厂在制造电子元件过程中,次品率p与日产量x的函数关系是:

p=3x

4x+32

(x∈N*),为获得最大盈利,该厂的日产量应定为( )

A.14 B.16

C.24 D.32

五【课堂小结】

本节课你学到了什么?

六【课后巩固】

A组

1.某商品一件的成本为30元,在某段时间内若以每件x元出售,可卖出(200-x)件,要使利润最大每件定价为________元.

2.某公司一年购买某种货物400吨,每次都购买x吨,运费为4万元/次,一年的总存储费为4x万元,要使一年的总运费与总存储费用之和最小,则x=________吨.3.容积为256的方底无盖水箱,它的高为________时最省材料.

4.

如图,内接于抛物线y=1-x2的矩形ABCD,其中A,B在抛物线上运动,C,D在x轴上运动,求此矩形的面积的最大值.

B组

1.某工厂要围建一个面积为512平方米的矩形堆料场,一边可以利用原有的墙壁,其他三边需要砌新墙壁,当砌新墙壁所用的材料最省时堆料场的长和宽分别为( ) A.32米,16米B.30米,15米

C.40米,20米D.36米,18米

2.体积为定值V0的正三棱柱,当它的底面边长为________时,正三棱柱的表面积最小.

3.已知一圆柱形金属饮料罐,当圆柱形金属饮料罐的容积为定值V时,它的高与底面半径应怎样选取,才能使所用的材料最省?

4.现有一批货物从海上由A地运往B地,已知货船的最大航行速度为35海里/时,A 地至B地之间的航行距离约为500海里,每小时的运输成本由燃料费和其余费用组成,轮船每小时的燃料费与轮船速度的平方成正比(比例系数为0.6),其余费用为每小时960元.

(1)把全程运输成本y(元)表示为速度x(海里/时)的函数;

(2)为了使全程运输成本最小,轮船应以多大速度行驶?

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