第十六章 分式
16.1分式
16.1.1从分数到分式
一、 教学目标
1. 了解分式、有理式的概念.
2.理解分式有意义的条件,分式的值为零的条件;能熟练地求出分式有意义的条件,分式的值为零的条件. 二、重点、难点
1.重点:理解分式有意义的条件,分式的值为零的条件.
2.难点:能熟练地求出分式有意义的条件,分式的值为零的条件. 三、课堂引入
1.让学生填写P4[思考],学生自己依次填出:7
10,a
s ,33
200,s
v .
2.学生看P3的问题:一艘轮船在静水中的最大航速为20千米/时,它沿江以最大航速顺流航行100千米所用实践,与以最大航速逆流航行60千米所用时间相等,江水的流速为多少?
请同学们跟着教师一起设未知数,列方程. 设江水的流速为x 千米/时. 轮船顺流航行100千米所用的时间为
v
+20100小时,逆流航行
60千米所用时间
v -2060小时,所以v +20100=v
-2060. 3. 以上的式子v
+20100,
v
-2060,a s
,s
v ,有什么共同点?它们与分数有什么相
同点和不同点? 五、例题讲解
P5例1. 当x 为何值时,分式有意义.
[分析]已知分式有意义,就可以知道分式的分母不为零,进一步解 出字母x 的取值范围.
[提问]如果题目为:当x 为何值时,分式无意义.你知道怎么解题吗?这样可以使学生一题二用,也可以让学生更全面地感受到分式及有关概念.
(补充)例2. 当m 为何值时,分式的值为0? (1)
(2) (3) [分析] 分式的值为0时,必须同时..
满足两个条件:○1分母不能为零;○2分子为零,这样求出的m 的解集中的公共部分,就是这类题目的解. [答案] (1)m=0 (2)m=2 (3)m=1 六、随堂练习
1.判断下列各式哪些是整式,哪些是分式?
1-m m 32
+-m m 112
+-m m
9x+4, x
7 , 20
9y +, 5
4-m , 2
38y y -,9
1-x
2. 当x 取何值时,下列分式有意义? (1) (2) (
3) 3. 当x 为何值时,分式的值为0?
(1) (2) (3)
七、课后练习
1.列代数式表示下列数量关系,并指出哪些是正是?哪些是分式? (1)甲每小时做x 个零件,则他8小时做零件 个,做80个零件需 小时.
(2)轮船在静水中每小时走a 千米,水流的速度是b 千米/时,轮船的顺流速度是 千米/时,轮船的逆流速度是 千米/时. (3)x 与y 的差于4的商是 .
2.当x 取何值时,分式 无意义?
3. 当x 为何值时,分式 的值为0?
八、答案:
六、1.整式:9x+4, 20
9y +, 54-m 分式: x
7 , 2
38y y -,9
1-x
2.(1)x ≠-2 (2)x ≠ (3)x ≠±2 3.(1)x=-7 (2)x=0 (3)x=-1
七、1.18x, ,a+b, b a s +,4y x -; 整式:8x, a+b, 4
y x -;
分式:x
80, b
a s +
2. X = 3. x=-1
课后反思:
16.1.2分式的基本性质
4522--x x x x 235-+23
+x x
x 57+x
x
3217-x
x x --21
x
80
23
32
x
x x --21
2
31
2-+x x
一、教学目标
1.理解分式的基本性质.
2.会用分式的基本性质将分式变形. 二、重点、难点
1.重点: 理解分式的基本性质.
2.难点: 灵活应用分式的基本性质将分式变形. 三、例、习题的意图分析
1.P7的例2是使学生观察等式左右的已知的分母(或分子),乘以或除以了什么整式,然后应用分式的基本性质,相应地把分子(或分母)乘以或除以了这个整式,填到括号里作为答案,使分式的值不变.
2.P9的例3、例4地目的是进一步运用分式的基本性质进行约分、通分.值得注意的是:约分是要找准分子和分母的公因式,最后的结果要是最简分式;通分是要正确地确定各个分母的最简公分母,一般的取系数的最小公倍数,以及所有因式的最高次幂的积,作为最简公分母.
教师要讲清方法,还要及时地纠正学生做题时出现的错误,使学生在做提示加深对相应概念及方法的理解.
3.P11习题16.1的第5题是:不改变分式的值,使下列分式的分子和分母都不含“-”号.这一类题教材里没有例题,但它也是由分式的基本性质得出分子、分母和分式本身的符号,改变其中任何两个,分式的值不变.
“不改变分式的值,使分式的分子和分母都不含‘-’号”是分式的基本性质的应用之一,所以补充例5. 四、课堂引入
1.请同学们考虑: 与 相等吗? 与 相等吗?为什么?
2.说出 与 之间变形的过程, 与 之间变形的过程,并说出变形
依据?
3.提问分数的基本性质,让学生类比猜想出分式的基本性质. 五、例题讲解
P7例2.填空:
[分析]应用分式的基本性质把已知的分子、分母同乘以或除以同一个整式,使分式的值不变.
P11例3.约分:
[分析] 约分是应用分式的基本性质把分式的分子、分母同除以同一个整式,使分式的值不变.所以要找准分子和分母的公因式,约分的结果要是最简分式.
P11例4.通分:
43
2015
249
83
43201524983
[分析] 通分要想确定各分式的公分母,一般的取系数的最小公倍数,以及所有因式的最高次幂的积,作为最简公分母.
(补充)例5.不改变分式的值,使下列分式的分子和分母都不含“-”号.
a b 56--, y
x 3-, n m --
2, n
m 67--, y
x 43---。
[分析]每个分式的分子、分母和分式本身都有自己的符号,其中两个符号同时改变,分式的值不变.
解:
a b 56--= a
b 56,
y
x 3-=y
x 3-
,n
m --
2=
n
m 2,
n m 67--
=n m 67 , y x 43---=y
x
43。 六、随堂练习
1.填空:
(1) x x x 3222+= ()3+x (2) 3
2386b b a =()3
3a (3) c a b ++1=()cn an + (4) ()2
22y x y x +-=()
y
x -
2.约分:
(1)c ab b a 2263 (2)2228m n n m (3)5
3
2164xyz
yz x - (4)x y y x --3)(2
3.通分: (1)321ab 和c b a 2252 (2)xy
a
2和2
3x b (3)
223ab c 和28bc a - (4)11-y 和1
1
+y
4.不改变分式的值,使下列分式的分子和分母都不含“-”号.
(1) 2
33ab y x -- (2) 2317b a --- (3) 2135x a -- (4) m b a 2)(--
七、课后练习
1.判断下列约分是否正确: (1)c b c a ++=b a (2)2
2y x y
x --=y x +1 (3)
n
m n
m ++=0 2.通分:
(1)
231ab 和b a 272 (2)x x x --21和x x x +-21 3.不改变分式的值,使分子第一项系数为正,分式本身不带“-”号. (1)b a b a +---2 (2)y
x y
x -+--32
八、答案:
六、1.(1)2x (2) 4b (3) bn+n (4)x+y
2.(1)
bc a 2 (2)n m 4 (3)24z
x
- (4)-2(x-y)2 3.通分: (1)321ab = c b a ac 32105, c b a 2252= c b a b 32104
(2)
xy a 2= y x ax 263, 23x b = y
x by
262
(3)223ab c = 223
812c ab c 28bc a -= 228c ab ab
(4)11-y =)1)(1(1+-+y y y 11+y =)
1)(1(1
+--y y y
4.(1) 233ab y x (2) 2317b a - (3) 2
135x a (4) m b a 2
)(--
课后反思:
16.2分式的运算
16.2.1分式的乘除(一)
一、教学目标:理解分式乘除法的法则,会进行分式乘除运算. 二、重点、难点
1.重点:会用分式乘除的法则进行运算. 2.难点:灵活运用分式乘除的法则进行运算 . 三、例、习题的意图分析
1.P13本节的引入还是用问题1求容积的高,问题2求大拖拉机的工作效率是小拖拉机的工作效率的多少倍,这两个引例所得到的容积的高是
n
m
ab v ?,大拖拉机的工作效率是小拖拉机的工作效率的??
?
??÷n b m a 倍.引出了分式的乘除法的
实际存在的意义,进一步引出P14[观察]从分数的乘除法引导学生类比出分式的乘除法的法则.但分析题意、列式子时,不易耽误太多时间.
2.P14例1应用分式的乘除法法则进行计算,注意计算的结果如能约分,应化简到最简.
3.P14例2是较复杂的分式乘除,分式的分子、分母是多项式,应先把多项式分解因式,再进行约分.
4.P14例3是应用题,题意也比较容易理解,式子也比较容易列出来,但要注意根据问题的实际意义可知a>1,因此(a-1)2=a 2-2a+1 四、课堂引入 1.出示P13本节的引入的问题1求容积的高 n m ab v ?,问题2求大拖拉机的工作效率是小拖拉机的工作效率的?? ? ??÷n b m a 倍. [引入]从上面的问题可知,有时需要分式运算的乘除.本节我们就讨论数量关系需要进行分式的乘除运算.我们先从分数的乘除入手,类比出分式的乘除法法则. 1.P14[观察] 从上面的算式可以看到分式的乘除法法则. 3.[提问] P14[思考]类比分数的乘除法法则,你能说出分式的乘除法法则? 类似分数的乘除法法则得到分式的乘除法法则的结论. 五、例题讲解 P14例1. [分析]这道例题就是直接应用分式的乘除法法则进行运算.应该注意的是运算结果应约分到最简,还应注意在计算时跟整式运算一样,先判断运算符号,在计算结果. P15例2. [分析] 这道例题的分式的分子、分母是多项式,应先把多项式分解因式,再进行约分.结果的分母如果不是单一的多项式,而是多个多项式相乘是不必把它们展开. P15例. [分析]这道应用题有两问,第一问是:哪一种小麦的单位面积产量最高?先分别求出“丰收1号”、“丰收2号”小麦试验田的面积,再分别求出“丰收1号”、“丰收2号”小麦试验田的单位面积产量,分别是1 5002 -a 、()2