大一上学期期末考试试题

XX大学2010—2011学年第一学期
《高等数学A》考试试卷
一．填空题（本题共5小题，每小题4分，共20分）
1.设 ，则 的一个原函数是 .
2.曲线 与 轴、 轴和直线 所围成的面积是 .
3.已知曲线 上的任一点 的切线斜率是 ，而且曲线经过定点 ，则
曲线方程 .
4. 在Ｒ上的零点有 个.
5.已知 存在，且 ，则 .

二．选择题（本题共5小题，每小题4分，共20分）
1.已知 具有二阶连续导数 ，则下面正确的是（ ）
A. B.
C. D.
2. （ ）
A. B.
C. D.
3.已知 的一阶导数 在Ｒ上连续，且 ，
则 （ ）
A. B.
C. D.
4.设 的导数在 处连续，又 ，则 （ ）
A. 是 的极小值点 B. 是 的极大值点
C. 是曲线 的拐点 D. 不是 的极值点， 也不是曲线 的拐
点。
5. 设 ，那么 在点 处（ ）
A.　其连续性无法判定。 B.　是可导的。
C.　是连续的，但不可导。 D.　是不连续的。



三．计算题（本题共6小题，共38分）
1. 求 。(6分)
2. 求抛物线 的曲率半径。(6分)
3. 求函数 的极值和拐点。(6分)
4.已知函数 ，求 。(6分)
5.求 。(7分)
6.设 可导， ，若 ，求 。(7分)
四. 证明题（22分）
1.证明：当 时， 。 （6分）
2.设 在 上连续，在 内可导，且 ，证明：至少存在一点 ，使得 。 (8分)
3.设 在 上连续且单调减少，试证明对任何 ，皆有：
　。 （8分）





《高等数学A》考试试卷答案
一．填空题（本题共5小题，每小题4分，共20分）
1.
2.
3.
4. 2
5．
二．选择题（本题共5小题，每小题4分，共20分）
1-5. DBDBC
三．计算题（本题共8小题，共38分）
1. 解一：

解二：

2. 解： ，则 ，
故 。
3. 解：
① 当 时
，

令 ，得 的驻点： ，
令 ，得 的可疑拐点： ，

② 当 时
，

令 ，得 的驻点： ，
令 ， 没有可疑拐点，
③ 是 的不可导点
又 当 时， ，
当 时， ，
当 时， ，
当 时， ，
， 是 的极小点，极小值是 和
是 的极大点，极大值是
又 当 时， ，
当 时， ，
当 时， ，
点 和点 是 的拐点。
4. 解：




所以
5. 解：

6. 解：记 ，那么当 时，



两边求导，得：

所以
又 ， 可导必连续，从而得
所以
于是两边求定积分，得：
所以
四、证明题（22分）
1. 证一：令
则 ， 在 上连续，且 ，
令 ，得驻点
当 时， ， 单调增加，
当 时，
又 当 时，

， 单调减少，
当 时，
综上所述，当 时， ，即 。
证二：令
则 ， 在 上连续，且 ，

在 上是向上凸的，
当 时， ，
即得：当 时， 。
2.
证：令 ，
、 在 上连续，在 内可导，
在 上连续，在 内可导，
根据拉格朗日中值定理，至少存在一点 ，使得：
………..(*)
又 ， （或直接在 上应用罗尔定理即可证得。）
，
由(*)式可得 ： ，即
所以，至少存在一点 ，使得 。
3. 证：令 ，则
在 上连续， 在 上可导，又显然有 。
对 求导，得：当 时


在 上单调减少， 当 时， ，
所以
从而， 在 上是单调减少的，于是当 时，有：
，即： 。