导数的综合应用题 编稿:赵 雷 审稿:李 霞
【学习目标】
1. 会利用导数解决曲线的切线的问题。
2. 会利用导数解决函数的单调性等有关问题。
3. 会利用导数解决函数的极值、最值等有关问题。
4. 能通过运用导数这一工具解决生活中的一些优化问题:例如利润最大、用料最省、效率最高等问题
【要点梳理】 要点一、有关切线问题
直线与曲线相切,我们要抓住三点: ①切点在切线上 ②切点在曲线上
③切线斜率等于曲线在切点处的导数值。 要点诠释:
通过以上三点可以看出,抓住切点是解决此类题的关键,有切点直接求,无切点则设切点,布列方程组。
要点二、有关函数单调性的问题
设函数()y f x =在区间(a ,b )内可导,
(1)如果恒有'()0f x >,则函数()f x 在(a ,b )内为增函数; (2)如果恒有'()0f x <,则函数()f x 在(a ,b )内为减函数; (3)如果恒有'()0f x =,则函数()f x 在(a ,b )内为常数函数。 要点诠释:
(1)若函数()f x 在区间(a ,b )内单调递增,则'()0f x ≥,若函数()f x 在(a ,b )
内单调递减,则'()0f x ≤。
(2)'()0f x ≥或'()0f x ≤恒成立,求参数值的范围的方法: ① 分离参数法:()m g x ≥或()m g x ≤。
② 若不能隔离参数,就是求含参函数(,)f x m 的最小值min (,)f x m ,使
min (,)0f x m ≥。
(或是求含参函数(,)f x m 的最大值max (,)f x m ,使)max (,)0f x m ≤) 要点三、函数极值、最值的问题
1.函数极值的问题 ①确定函数的定义域; ②求导数)(x f '; ③求方程0)(='x f 的根;
④检查'()f x 在方程根左右的值的符号,如果左正右负,则f(x)在这个根处取得极大值;如果左负右正,则f(x)在这个根处取得极小值.(最好通过列表法) 要点诠释: (1)先求出定义域
(2)一般都要列表:然后看在每个根附近导数符号的变化:若由正变负,则该点为极大值点;
若由负变正,则该点为极小值点。
注意:无定义的点不用在表中列出
(3)依表给结论:注意一定指出在哪取得极值。 2.函数最值的问题
若函数()y f x =在闭区间],[b a 有定义,在开区间(,)a b 内有导数,则求函数()y f x =在],[b a 上的最大值和最小值的步骤如下:
(1)求函数)(x f 在),(b a 内的导数)(x f '; (2)求方程0)(='x f 在),(b a 内的根;
(3)求在),(b a 内使0)(='x f 的所有点的函数值和)(x f 在闭区间端点处的函数值
)(a f ,)(b f ;
(4)比较上面所求的值,其中最大者为函数()y f x =在闭区间],[b a 上的最大值,最小者为函数()y f x =在闭区间],[b a 上的最小值.
要点诠释:
①求函数的最值时,不需要对导数为0的点讨论其是极大还是极小值,只需将导数为0的点和端点的函数值进行比较即可。
②若)(x f 在开区间),(b a 内可导,且有唯一的极大(小)值,则这一极大(小)值即为最大(小)值. 要点四、优化问题
在实际生活中用料最省、利润最大、效率最高等问题,常常可以归结为函数的最大值问题,从而可用导数来解决。我们知道,导数是求函数最大(小)值的有力工具,导数在实际生活中的应用主要是解决有关函数最大值、最小值的实际问题。
利用导数解决实际问题中的最值的一般步骤:
(1) 分析实际问题中各量之间的关系,找出实际问题的数学模型,写出实际问题中变量
之间的函数关系式y =f (x );
(2) 求函数的导数f ′(x ),解方程f ′(x )=0;
(3) 比较函数在区间端点和极值点的函数值大小,最大(小)者为最大(小)值. 要点诠释
1.解决优化问题的方法:首先是需要分析问题中各个变量之间的关系,建立适当的函数关系,并确定函数的定义域,通过创造在闭区间内求函数取值的情境,即核心问题是建立适当的函数关系。再通过研究相应函数的性质,提出优化方案,使问题得以解决,在这个过程中,导数是一个有力的工具. 利用导数解决优化问题的基本思路:
2. 得出变量之间的关系()y f x =后,必须由实际意义确定自变量x 的取值范围;
3. 在实际问题中,有时会遇到函数在区间内只有一个点使f ′(x )=0的情形,如果函数在这点有极大(小)值,那么不与端点值比较,也可以知道这就是最大(小)值.
4. 在求实际问题的最大(小)值时,一定要注意考虑实际问题的意义,不符合实际意义的值应舍去.
【典型例题】
类型一: 利用导数解决有关切线问题
例1. 已知函数33y x x =-,过点(016)A ,作曲线()y f x =的切线,求此切线方程. 【思路点拨】点A 不在曲线上,应先设出切点并求出切点. 【解析】曲线方程为33y x x =-,点(016)A ,不在曲线上. 设切点为00()M x y ,,
则点M 的坐标满足30003y x x =-. 因200()3(1)f x x '=-,
故切线的方程为20003(1)()y y x x x -=--.
点(016)A ,在切线上,则有32000016(3)3(1)(0)x x x x --=--. 化简得308x =-,解得02x =-.
所以,切点为(22)M --,,切线方程为9160x y -+=.
【总结升华】此类题的解题思路是,先判断点A 是否在曲线上,若点A 不在曲线上,应先设出切点,然后根据直线与曲线相切的三个关系列方程组,从而求得参数值。
举一反三:
【变式】求过点(20),且与曲线1
y x
=相切的直线方程. 【答案】
设00()P x y ,为切点,则切线的斜率为02
01
x x y x ='=-
|. ∴切线方程为00201()y y x x x -=-
-,即0200
11
()y x x x x -=--. 又已知切线过点(20),,把它代入上述方程,得0200
11
(2)x x x -
=--.
解得000
1
11x y x ==
=,,即20x y +-=. 类型二: 利用导数解决有关函数单调性的问题 【高清课堂:导数的应用综合 370878 例题3】 例2.已知函数f (x )=In(1+x )-x +
2
2
k x (k ≥0)。 (Ⅰ)当k =2时,求曲线y =f (x )在点(1,f (1))处的切线方程; (Ⅱ)求f (x )的单调区间。 【思路点拨】(Ⅱ)求出导数(1)
'()1x kx k f x x
+-=+后,主要根据(1)x kx k +-的正负进行分
类讨论。
【解析】(I )当2k =时,2
()ln(1)f x x x x =+-+,1
'()121f x x x
=
-++ 由于(1)ln 2f =,3'(1)2
f =
, 所以曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为 3
ln 2(1)2
y x -=
- 即 322ln 230x y -+-=
(II )(1)
'()1x kx k f x x
+-=
+,(1,)x ∈-+∞.
当0k =时,'()1x
f x x
=-+.
所以,在区间(1,0)-上,'()0f x >;在区间(0,)+∞上,'()0f x <. 故()f x 得单调递增区间是(1,0)-,单调递减区间是(0,)+∞.
当01k <<时,由(1)'()01x kx k f x x +-==+,得10x =,210k
x k
-=>
所以,在区间(1,0)-和1(,)k k -+∞上,'()0f x >;在区间1(0,)
k
k
-上,'()0f x <
故()f x 得单调递增区间是(1,0)-和1(
,)k
k
-+∞,单调递减区间是1(0,
)k
k
-.
当1k =时,2
'()1x f x x
=+
故()f x 得单调递增区间是(1,)-+∞.
当1k >时,(1)'()01x kx k f x x +-=
=+,得11(1,0)k
x k
-=∈-,20x =.
所以没在区间1(1,)k
k
--和(0,)+∞上,'()0f x >;在区间
1(,0)k k
-上,'()0f x < 故()f x 得单调递增区间是1(1,
)k k --和(0,)+∞,单调递减区间是1(,0)k
k
- 【总结升华】
(1)解决此类题目,关键是解不等式'()0f x ≥或'()0f x ≤,若'()f x 中含有参数,须分类讨论。
(2)特别应注意,在求解过程中应先写出函数的定义域。
举一反三:
【变式1】 若x ax x f +=3)(恰有三个单调区间,试确定a 的取值范围,并求出这三个单调区间. 【答案】
13)(2+='ax x f
(1)当0>a 时,则()10f x '≥>()x R ∈,此时)(x f 只有一个增区间),(+∞-∞,与题设矛盾;
(2)当0=a 时,则()10f x '=>,此时)(x f 只有一个增区间),(+∞-∞,与题设矛盾; (3)当0 1()3()3( 3f x a x a x x a '=+ =+- 由0)(<'x f 得a x a x 3131-> --< 或, 由0)(>'x f ,得a x a 3131-< <--