重点高中数学立体几何建系设点专题

重点高中数学立体几何建系设点专题

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2009-2010学年高三立几建系设点专题

引入空间向量坐标运算，使解立体几何问题避免了传统方法进行繁琐的空间分析，只需建立空间直角坐标系进行向量运算，而如何建立恰当的坐标系，成为用向量解题的关键步骤之一．所谓“建立适当的坐标系”，一般应使尽量多的点在数轴上或便于计算。

一、建立空间直角坐标系的三条途径

途径一、利用图形中的对称关系建立坐标系:图形中虽没有明显交于一点的三条直线，但有一定对称关系（如正三棱柱、正四棱柱等），利用自身对称性可建立空间直角坐标系． 例1（湖南卷理科第18题）已知两个正四棱锥P －ABCD 与 Q －ABCD 的高都为2，AB ＝4． （1）证明：PQ ⊥平面ABCD ；

（2）求异面直线AQ 与PB 所成的角； （3）求点P 到平面QAD 的距离． 简解：（1）略；

（2）由题设知，ABCD 是正方形，且AC ⊥BD ．由（1），PQ ⊥平面ABCD ，故可分别以直

线CA DB QP ，，为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系（如图1），易得

(2202)(0222)AQ PB =--=-u u u r u u u r ，，，，，，1

cos 3

AQ PB AQ PB AQ PB <>==u u u r u u u r

u u u r u u u r g u u u r u u u r ，．所求异面直线

所成的角是1arccos

3

． （3）由（2）知，点(0220)(22220)(004)D AD PQ -=--=-u u u r u u u r

，

，，，，，，，． 设n =（x ，y ，z ）是平面QAD 的一个法向量，则00AQ AD ?=??=??u u u r g u u u r

g ，，n n 得200x z x y ?+=??+=??，

，取x ＝1，得(112)--，，n =．点P 到平面QAD 的距离22PQ d ==u u u r g n

n

． 途径二、利用面面垂直的性质建立坐标系:图形中有两个互相垂直的平面，可以利用面面垂直的性质定理，作出互相垂直且交于一点的三条直线，建立坐标系．

例2 （全国卷Ⅱ理科第19题）在直三棱柱111ABC A B C -中，AB ＝BC ，D 、E 分别为

11BB AC ，的中点．

（1）证明：ED 为异面直线1BB 与1AC 的公垂线；

（2）设12AA AC AB ==，求二面角1

1A AD C --的大小． 解：（1）如图2，建立直角坐标系O xyz -，其中原点O 为

AC 的中点，设(00)A a ，，则，1(00)(02)B b B b c ，，，

，，，

Q

M A

B

D

C

O

P

x

y

z

M A

B

D C

O P

x

y

z

则11(00)(002)0ED b BB c ED BB ===u u u r u u u r u u u r u u u r g ，，，，，，，即1ED BB ⊥．

同理1ED AC ⊥． 因此ED 为异面直线1BB 与1AC 的公垂线．

（2）不妨令1a b c ===，则1(110)(110)(002)BC AB AA =--=-=u u u r u u u r u u u r ，，，，，，，，，

100BC AB BC AA ==u u u r u u u r u u u r u u u r

g g ，．

即BC ⊥AB ，BC ⊥1AA ，又∵1AB AA A =I ，∴BC ⊥面1A AD ． 又(1

01)(101)(010)0EC AE ED EC AE =--=-==u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r

g ，，，，，，，，，，0EC ED =u u u r u u u r g ， 即EC ⊥AE ，EC ⊥ED ，又∵AE ∩ED ＝E ，∴EC ⊥面1C AD ．∴

1cos 2EC BC EC BC EC BC <>==u u u r u u u r

u u u r u u u r g u u u r u u u r ，，

即得EC uuu r 和BC uuu r 的夹角为60o

．所以，二面角11A AD C --为60o

．

练2：如图，平面PAC ⊥平面ABC ，ABC ?

是以AC 为斜边的等腰直角三角形，,,E F O 分别为PA ，

PB ，AC 的中点，16AC =，10PA PC ==．

（I ）设G 是OC 的中点，证明：//FG 平面BOE ；

（II ）证明：在ABO ?内存在一点M ，使FM ⊥平面BOE ，并求点M 到OA ，OB 的距离．

途径三、利用图形中现成的垂直关系建立坐标系:当图形中有明显互相垂直且交于一点的三条直线，可以利用这三条直线直接建系．

例3．如图，在四棱锥O ABCD -中，底面ABCD 四边长为1的菱形，4

ABC π

∠=

，

OA ABCD ⊥底面， 2OA =，M 为OA 的中点。

（Ⅰ）求异面直线AB 与MD 所成角的大小； （Ⅱ）求点B 到平面OCD 的距离。

方法1：作AP CD ⊥于点P ，如图，分别以AB ，AP ，AO 所在直线为,,x y z 轴建立坐标系.

方法2：（利用菱形对角线互相垂直）连结BD ，设交AC 于E ，取OC 中点为F ，以E 为原点，EB 、EC 、EF 所在直线为x, y, z 轴建立空间直角坐标系. 练3：在三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，底面是边长为32的正三角形， 点A 1在底面ABC 上的射影O 恰是BC 的中点． （Ⅰ）求证：A 1A ⊥BC ；

（Ⅱ）当侧棱AA 1和底面成45°角时， 求二面角A 1—AC —B 的大小余弦值；

二、求点的坐标的两条途径

途径一、作该点在xOy 面上的投影，转化成求该投影的横、纵坐标和该点到它投影的距离（即竖坐标）。

途径二、过该点和z 轴作xOy 面的垂面，把空间的距离问题转化平面的距离问题。

例4. 如图，正三棱柱ABC-A 1B 1C 1的底边长为a,侧棱长为2a

建立适当的坐标系，⑴写出A ，B ，A 1，B 1的坐标；⑵求AC 1与侧面ABB 1A 1所成的角

分析：（1）所谓“建立适当的坐标系”，一般应使尽量多的点在数轴上或便于计算；

（2）首先要找出所求的角，或找出平面的法向量与直线所成的角，然后再求之解：（1）建系如图，则A （0，0，0） B （0，a,0）

A 1（0，0，2a),C 1（-

23a,a 2,2

a

)(2)解法一：在所建的坐标系中，取A 1B 1的中点M ，于是M （0，

a 2,2

a

）

，连结AM ，MC 1则有13

(,0,0)2

MC a =-u u u u r (0,,0)AB a =u u u r ，1(0,02)AA a =u u u r ， ∴10MC AB ?=u u u u r u u u r ，110MC AA ?=u u u u r u u u r ，所以，MC 1⊥平面ABB 1A 1

因此，AC 1与AM 所成的角就是AC 1与侧面ABB 1A 1所成的角

Θ 13(,,2)22

a

AC a a =-u u u u r ，(0,,2)2

a

AM a =u u u u r ，∴2194a AC AM ?=

u u u u r u u u u r ,而

|13||3,||2AC a AM a ==u u u u r u u u u r

由cos<1,AC AM u u u u r u u u u r >=113

2

||||

AC AM

AC AM ?=u u u u r u u u u r

u u u u

r u u u u r ,∴ <1,AC AM u u u u r u u u u r >=30° A

B

O C D A

1 B 1

C 1

A B O C D A 1 B 1

C 1 x

z

y A B

C

A 1

B 1

C 1M

z

y

x

A B

C

A 1

B 1

C 1M

z

y

x

解法二：Θ 13(,,2)22

a

AC a a =-u u u u r ， 平面ABB 1A 1的一个法向量(1,0,0)n =-r

∴AC 1与侧面ABB 1A 1所成的角θ的正弦为：1sin cos ,AC n θ=<>u u u u r r =111

2

||||AC n AC n ?=u u u u r r

u u u u

r r ∴AC 1与侧面ABB 1A 1所成的角为30°

练4：请在下列图形中建立适当的坐标系，并标明图中所有点的坐标。

（1）如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面,,,60,ABCD AB AD AC CD ABC ⊥⊥∠=?,PA AB BC ==E 是PC 的中点. （2）如图，正三棱柱111ABC A B C -的所有棱长都为2，D 为1CC 中点．

A P

E

B

C

D

A

B

C D

1

A

1

C

1

B

2009-2010学年高三立几建系设点专向练习

1. 在正方体A —C 1中，E 、F 分别为D 1C 1与AB 的中点，则A 1B 1与截面A 1ECF 所成的角的正弦值为（ ）

A ．sin

36 B ．sin 3

3

C ．sin 26

D ．都不对

解：（向量法）建立以D 为原点，DA,DC,DD 1分别为x,y,z 轴的坐标系，设棱长为1

设平面A 1FCE 的法向量n r =（x ，y ，z ）, 则n r ·FC uuu r =0，n r ·CE u u u

r =0 ∵FC uuu r =（－1，2

1，0）， CE u u u r =（0，－2

1，1）

∴11022

11022

x y x y y z z y ??

-+==????∴????-+==????,令y=2 , ∴n r =（1，2，1）

又∵11A B u u u u r =（0，1，0） ∴cos=

222

22

6

121=

++ ∴A 1B 1与平面A 1FCE 成的角的正弦为sin 3

6

答案：A

2. 如图，正三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，AB=AA 1，则AC 1与平面BB 1C 1C 所成的角的正弦值为（ ）

A ．

2

2

B ．

515 C ．46 D ．3

6 C 方法：

建立如图2所示的空间直角坐标系，设AB=2，则(

)

()1

13,1,0,(3,1,2)C AC =-u u u u v

、A 0,0,2，

平面BB 1C 1C 的一个法向量为(1,0,0)n =v

，所以AC 1与平面BB 1C 1C 所成的角的正弦值为1136

48AC n AC n

?=

=u u u u v v u u u u v v 。

3.已知正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的棱长为1，求异面直线BD 与B 1C 的距离。 解：建立空间直角坐标系（如图），则B （0，0，0），C （1，0，0），D （1，1，0） B 1（0，0，1），

则111(1,1,0),(1,0,1),(0,0,1)BD BC BB ==-=u u u r u u u u r u u u r 设与1,BD B C u u u r u u u r 都垂直的向量为(,,)n x y z =r

，

则由0BD n x y ?=+=u u u r 和10,BC n x z ?=-=u u u r

1,x =令得1,1y z =-=，(1,1,1)n ∴=-r

∴异面直线BD 与B 1C 的距离：

111||13|cos ,|33BB n d BB BB n n ?=<>===u u u r r

u u u r u u u r r

4.四棱椎P —ABCD 中，底面ABCD 是矩形，PCD ?为正三角形， 平面,ABCD PCD 平面⊥PB PD E AC 为,⊥中点. （1）求证：PB ∥ 平面AEC ； （2）求二面角E —AC —D 的大小. 解：设

b AD a CD ==,，过,,H CD PH P 垂足为作⊥ABCD PCD 平面平面⊥Θ

⊥∴PH 平面ABCD ，

又 是矩形底面ABCD Θ 故可以分别以OH 、HC 、HP 所在直线为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系H-xyz 。由已知得H （0，0，0）,A （a,-b,0）,B(a,b,0),C(0,b,0),D(0,-b,0),P(0,0,

b 3),E()2

320b b ，，（-

)0,2,(),3,,(b a AC b b a PB -=-=,0222=+-=?∴⊥b a AC PB AC PB Θ

解得b a 2=

，)0,2,2(b b AC -=∴，)2

3

,23,0(b b EC -=

??

?

??=-=?=+-=?∴=023

23022),,(bz by EC n by bx AC n EAC z y x n 的一个法向量，是平面设 取y=1,得的一个法向量为平面ACD b HP n )3,0,0(),3,1,2(==?Θ

2

2

363,cos =

?=

??>=

<∴b

b HP

n HP n HP n 4π的大小为二面角D AC E --∴

A

B

C

D

A 1

B 1

C 1

D 1

x

z

y

A B C

D

E

F

P

o

x z

y

5.如图，已知四棱锥P ABCD -，底面ABCD 为菱形，

PA ⊥平面ABCD ，60ABC ∠=o ，E F ，分别是BC PC ，的中点．

（1）证明：AE PD ⊥；

（2）若H 为PD 上的动点，EH 与平面PAD 所成最大角的正切值为

6

2

，求二面角E AF C --的余弦值．

（2）方法：由（1）知AE AD AP ，，两两垂直，以A 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，因为E F ，分别为BC PC ，的中点，所以

(000)(310)(310)(020)A B C D -，，，，，，，，，，，，31(002)(300)122P E F ??

? ??

?，，，，，，，，，所以31(300)122AE AF ??== ? ???

u u u r u u u r ，，，，，．

设平面AEF 的一法向量为111()x y z =，，m ，则00AE AF ?=??

=??u u u r g u u u r g ，，m m 因此1

1113031

022

x x y z ?=?

?++=??，

．

取11z =-，则(021)=-，，m ，因为BD AC ⊥，BD PA ⊥，PA AC A =I ，所以BD ⊥

平面AFC ，故BD u u u r

为平面AFC 的一法向量．又(330)BD =-u u u r ，

，，所以2315

cos 5512BD BD BD

?<>==

=?u u u r

u u u r g u u u r g ，m m m ．因为二面角E AF C --为锐角，所以所求二面角的余弦值为

15

5

．

6.如图，ABCD 是边长为a 的菱形，且∠BAD =60°， △P AD 为正三角形，且面P AD ⊥面ABCD

（1）求cos 〈AB ，PD 〉的值；

（2）若E 为AB 的中点，F 为PD 的中点，求|EF |的值；

（3）求二面角P —BC —D 的大小 解：（1）选取AD 中点O 为原点，OB 、AD 、OP 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间

P B E C D F A

y z

x P B E C D

F

A

直角坐标系，则A （0，－

2a ，0），B （23a ，0，0），P （0，0，23a

），D （0，2

a

，0）

∴AB u u u r =（23a ，2a ，0），PD u u u r =（0，2

a ，－23a ），则cos 〈AB u u u r ，PD u u u r 〉

=||||

AB PD AB PD ?u u u r u u u r

u u u

r u u u r =2222

223300()

22233()()00()()2222

a a a a a a a a ?+?+?-++?++-=41

（2）∵E 、F 分别为AB 、PD 的中点，∴E （

43 a ，－4a ，0），F （0，4

a

，43a ） 则|EF u u u r |=22233(0)()(0)4444

a a a a -+--+-=

410

a （3）∵面P AD ⊥面ABCD ，PO ⊥AD ，∴PO ⊥面ABCD ∵BO ⊥AD ，AD ∥BC ，∴BO ⊥BC

连结PB ，则PB ⊥BC ，∴∠PBO 为二面角P —BC —D 的平面角

在Rt △PBO 中，PO =23a ，BO =23a ，∴tan ∠PBO =BO PO =a a

2

3

2

3

=1则∠PBO =45°

故二面角P —BC —D 的大小为45°

7.如图，四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，PC ⊥AD ．底面ABCD 为梯形，

//AB DC ，AB BC ⊥．PA AB BC ==，点E 在棱PB 上，且2PE EB =．

（1）求证：平面PAB ⊥平面PCB ； （2）求证：PD ∥平面EAC ；

（3）（理）求平面AEC 和平面PBC 所成锐二面角的余弦值．

方法：以A 为原点，,AB AP 所在直线分别为y 轴、z 轴，如图建立空间直角坐标系． 设PA AB BC a ===，则()0,0,0A ，()0,,0B a ，(),,0C a a ，()0,0,P a ，

高中数学(文科)立体几何知识点总结

l立体几何知识点整理（文科）l // m l //m m 直线和平面的三种位置关系：一．αl 1. 线面平行 方法二：用面面平行实现。l//l //αl符号表示： 2. 线面相交βl lαAα方法三：用平面法向量实现。符号表示：

n 为平若面线在面内3. 的一个法向量，ln n l ll //且。,则l αα符号表示： 二．平行关系：线线平行：1.方法一：用线面平行实现。3. 面面平行：l mβl //l方法一：用线线平行实现。l'l // ml m'αl // l 'm m // m'm//且相交l , m且相交l ' , m'方法二：用面面平行实现。//l βl // mlγm m α方法二：用线面平行实现。 方法三：用线面垂直实现。 l // l, m l // m //m //若。，则l l , m且相交mβ方法四：用向量方法：m l l // m。若向量和向量共线且l、m不重合，则α 2.线面平行： 方法一：用线线平行实现。1/11

l C A方法三：用向量方法： Bα l m l m ，则的数量积为和向量若向量0。三．垂直关系：

夹角问题。三．线面垂直：1.异面直线所成的角：一)(方法一：用线线垂直实现。(0 ,90 ]范围：(1) ACl ABl 求法：(2)P n l ABAC A方法一：定义法。AθO AC, ABα：平移，使它们相交，找到夹角。步骤1 方法二：用面面垂直实现。)常用到余弦定理步骤2：解三角形求出角。( 余弦定理：βl lm a c222c ab l m, l m cosθ2ab bα )计算结果可能是其补角( 面面垂直：2.方法二：向量法。转化为向量 方法一：用线面垂直实现。 C的夹角βl lθl：)(计算结果可能是其补角 BA AB ACαcos AB AC方法二：计算所成二面角为直角。 线面角)(二线线垂直：3. 上任取一点(1) 定义：直线l ，作（交点除外）P方法一：用线面垂直实现。 内，则连结AO AO 为斜线PA 在面于O,PO l l m PAO 图中(与面)为直线l l所成的角。的射影，m

高中文科数学立体几何知识点(大题)

高考立体几何中直线、平面之间的位置关系知识点总结（文科） 一．平行问题 （一） 线线平行： 方法一：常用初中方法（1中位线定理；2平行四边形定理；3三角形中对应边成比例；4同位角、内错角、同旁内角） 方法二：1线面平行?线线平行 m l m l l ////??? ???=??βαβα 方法三：2面面平行?线线平行 m l m l ////??????=?=?βγαγβα 方法四：3线面垂直 ?线线平行 若αα⊥⊥m l ,，则m l //。 （二） 线面平行： 方法一：4线线平行?线面平行 ααα////l l m m l ??? ????? 方法二：5面面平行?线面平行 αββα////l l ????? （三） 面面平行：6方法一：线线平 行?面面平行 βααβ//',','//' //??? ???????且相交且相交m l m l m m l l 方法二：7线面平行?面面平行 βαβαα//,////??? ???=?A m l m l m l I ， 方法三：8线面垂直?面面平行 βαβα面面面面//?? ??⊥⊥l l l

二．垂直问题：（一）线线垂直 方法一：常用初中的方法（1勾股定理的逆定理；2三线合一 ；3直径所对的圆周角为直角；4菱形的对角线互相垂直。） 方法二：9线面垂直?线线垂直 m l m l ⊥?????⊥αα （二）线面垂直：10方法一：线线垂直?线面垂直 α α⊥??? ? ???? ?=?⊥⊥l AB AC A AB AC AB l AC l , 方法二：11面面垂直?线面垂直 αββαβα⊥???????⊥=?⊥l l m l m , （面） 面面垂直： 方法一：12线面垂直?面面垂直 βαβα⊥???? ?⊥l l 三、夹角问题：异面直线所成的角： (一) 范围：]90,0(?? (二)求法：方法一：定义法。 步骤1：平移，使它们相交，找到夹角。 步骤2：解三角形求出角。(计算结果可能是其补角) 线面角：直线PA 与平面α所成角为θ,如下图 求法：就是放到三角形中解三角形 四、距离问题：点到面的距离求法 1、直接求， 2、等体积法（换顶点）

届高三文科数学立体几何专题训练

2015届高三数学（文）立体几何训练题 1、如图3，AB 是⊙O 的直径，PA 垂直于⊙O 所在的平面，C 是圆周上不同于A 、B 的一点． ⑴求证：平面PAC ⊥平面PBC ； ⑵若PA=AB=2，∠ABC=30°，求三棱锥P -ABC 的体积． 2、如图，已知P A ?⊙O 所在的平面，AB 是⊙O 的直径，AB =2，C 是⊙O 上一点，且AC =BC =P A ，E 是PC 的中点，F 是PB 的中点. （1）求证：EF 3、如图，四棱柱1111D C B A ABCD -中，A A 1?底面ABCD ，且41=A A . 梯 形ABCD 的面积为6，且AD 平面DCE A 1与B B 1交于点E . （1）证明：EC D A 111A ABB 4、如图，已知正三棱柱ABC —A 1B 1C 1，AA 1＝AB ＝2a ，D 、E 分别为CC 1、A 1B 的中 点． （1）求证：DE ∥平面ABC ； （2）求证：AE ⊥BD ； （3）求三棱锥D —A 1BA 的体积 ． 5.如图，矩形ABCD 中，3AB =，4=BC ．E ，F 分别在线段BC 和AD 上，EF ∥AB ， 将矩形ABEF 沿EF 折起．记折起后的矩形为MNEF ，且平面⊥MNEF 平面ECDF ． （Ⅰ）求证：NC ∥平面MFD ； P A B C O E F A B C D E A 1 B 1 C 1 D 1 A D F

F E A （Ⅱ）若3EC =，求证：FC ND ⊥； （Ⅲ）求四面体CDFN 体积的最大值． 6、如图，在三棱锥P ABC -中，PA ⊥底面ABC,090=∠BCA ，AP=AC, 点D ，E 分别在棱,PB PC 上，且BC （Ⅰ）求证：D E ⊥平面PAC ； （Ⅱ）若PC ⊥AD ，且三棱锥P ABC -的体积为8，求多面体ABCED 的体积。 7、如图：C 、D 是以AB 为直径的圆上两点，==AD AB 232，BC AC =，F 是AB 上一点， 且AB AF 3 1 =，将圆沿直径AB 折起，使点C 在平面ABD 的射影E 在BD 上，已知2=CE . （1）求证：⊥AD 平面BCE ； （2）求证：//AD 平面CEF ； （3）求三棱锥CFD A -的体积． 8、如图甲，在平面四边形ABCD 中，已知45,90,105,o o o A C ADC ∠=∠=∠=A B BD =，现将四边 形ABCD 沿BD 折起，使平面ABD ⊥平面BDC （如图乙），设点E 、F 分别为棱AC 、AD 的中点． （1）求证：DC ⊥平面ABC ；

高中数学《立体几何(文科)》练习题

高中数学《立体几何》练习题 1．用斜二测画法画出长为6，宽为4的矩形水平放置的直观图，则该直观图面积为 ( ) A.12 B.24 C.62 D.122 2．设,m n 是不同的直线，,αβ是不同的平面，下列命题中正确的是 ( ) A ．若//,,m n m n αβ⊥⊥，则αβ⊥ B ．若//,,m n m n αβ⊥⊥，则//αβ C ．若//,,//m n m n αβ⊥，则α⊥β D ．若//,,//m n m n αβ⊥，则//αβ 3．如图，棱长为1的正方体1111D C B A ABCD -中，P 为线段B A 1上的动点，则下列结论错误．． 的是 A ．P D DC 11⊥ B ．平面⊥P A D 11平面AP A 1 C ．1AP D ∠的最大值为090 D ．1PD AP +的最小值为22+ 4．一个几何体的三视图如图所示(单位：m)，则该几何体的体积为______m 3. 5．若某几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积等于 . 6．如图是一个几何体的三视图，则该几何体的体积是____________

7．如图，一个盛满水的三棱锥容器，不久发现三条侧棱上各有一个小洞F E D ,,，且知 1:2:::===FS CF EB SE DA SD ，若仍用这个容器盛水，则最多可盛水的体积是原来的 . 8．如图，四边形ABCD 为正方形，QA ⊥平面ABCD ，PD ∥QA ，QA ＝AB ＝ 12 PD. (1)证明：PQ ⊥平面DCQ ； (2)求棱锥Q -ABCD 的体积与棱锥P -DCQ 的体积的比值．[来 9．如图所示的多面体中，ABCD 是菱形，BDEF 是矩形，ED ⊥面ABCD ,3 BAD π ∠=． （1）求证://BCF AED 平面平面. （2）若,BF BD a A BDEF ==-求四棱锥的体积。 10．在四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 为矩形，ABCD PD 底面⊥，1=AB ，2=BC ，3=PD ，F G 、分别为CD AP 、的中点． (1) 求证：PC AD ⊥； (2) 求证：//FG 平面BCP ； S F C B A D E

高考数学专题 立体几何中的建系设点问题

O y x z F E G H I J O y x z A'C'B B'C D' A 第63炼 立体几何解答题的建系设点问题 在如今的立体几何解答题中，有些题目可以使用空间向量解决问题，与其说是向量运算，不如说是点的坐标运算，所以第一个阶段：建系设点就显得更为重要，建立合适的直角坐标系的原则有哪些？如何正确快速写出点的坐标？这是本文要介绍的内容。 一、基础知识： （一）建立直角坐标系的原则：如何选取坐标轴 1、z 轴的选取往往是比较容易的，依据的是线面垂直，即z 轴要与坐标平面xOy 垂直，在几何体中也是很直观的，垂直底面高高向上的即是，而坐标原点即为z 轴与底面的交点 2、,x y 轴的选取：此为坐标是否易于写出的关键，有这么几个原则值得参考： （1）尽可能的让底面上更多的点位于,x y 轴上 （2）找角：,x y 轴要相互垂直，所以要利用好底面中的垂直条件 （3）找对称关系：寻找底面上的点能否存在轴对称特点 3、常用的空间直角坐标系满足,,x y z 轴成右手系，所以在标,x y 轴时要注意。 4、同一个几何体可以有不同的建系方法，其坐标也会对应 不同。但是通过坐标所得到的结论（位置关系，角）是一致的。 5、解答题中，在建立空间直角坐标系之前，要先证明所用 坐标轴为两两垂直（即一个线面垂直+底面两条线垂直），这个过程不能省略。 6、与垂直相关的定理与结论： （1）线面垂直： ① 如果一条直线与一个平面上的两条相交直线垂直，则这条直线与该平面垂直 ② 两条平行线，如果其中一条与平面垂直，那么另外一条也与这个平面垂直 ③ 两个平面垂直，则其中一个平面上垂直交线的直线与另一个平面垂直 ④ 直棱柱：侧棱与底面垂直 （2）线线垂直（相交垂直）： ① 正方形，矩形，直角梯形 ② 等腰三角形底边上的中线与底边垂直（三线合一） ③ 菱形的对角线相互垂直 ④ 勾股定理逆定理：若2 2 2 AB AC BC +=，则AB AC ⊥ （二）坐标的书写：建系之后要能够快速准确的写出点的坐标，按照特点可以分为3类 1、能够直接写出坐标的点 （1） 坐标轴上的点，例如在正方体（长度为1）中的,,'A C D 点，坐标特点如下： x 轴：(),0,0x y 轴：()0,,0y z 轴：()0,0,z 规律：在哪个轴上，那个位置就有坐标，其余均为0

高考文科数学 立体几何大题-知识点、考点及解题方法

立体几何大题题型及解题方法 立体几何大题一般考以下五个方面： 一、平行位置关系的证明 1、证明线面平行（重点） 解题方法：（1）线面平行判定定理；（2）面面平行的性质定理。 2、证明面面平行 解题方法：（1）面面平行的判定定理；（2）面面平行判定定理的推论；（3）垂直于同一直线的两平面平行；（4）平行平面的传递性。 3、平行位置关系的探索 （1）对命题条件的探索；（2）对命题结论的探索；（3）通过翻折来探索。 二、垂直位置关系的证明 1、证明线线垂直 解题方法： 2、证明线面垂直（重点） 解题方法： 3、证明面面垂直 4、垂直位置关系的探索 （1）对命题条件的探索；（2）对命题结论的探索；（3）通过翻折来探索。 三、求空间距离

1、点到平面的距离 解题方法： 2、空间线段长 解题方法：（1）解三角形法；（2）列方程法。 四、求几何体体积 五、求空间角 1、异面直线所成的角 2、直线与平面所成的角 考点一：如何判断空间中点、线、面的位置关系（排除法）

考点二：平行位置关系的证明 证明题一般的解题步骤： 一、根据题目的问题，确定要证明什么；根据题目的条件，确定用什么证明方法， 如果无法确定，则要通过逆向思维来分析题目； 二、看题目是否需要作辅助线(创造条件)，证明平行位置问题一般作的辅助线是连等 分点，特别是中点； 三、根据确定的证明方法，看该方法需要多少个条件，然后看题目给的条件通过什 么方式给，如果是间接条件则需要推理证明得出，如果是直接条件或隐含条件则直接罗列； 四、准备好条件后，再次检查条件是否都满足，是否都罗列了，最后得出结论； 五、规范书写答案过程：一般过程为1、作辅助线；2、准备间接条件；3、罗列直接

高三文科数学立体几何平行垂直问题专题复习(含答案)

高三文科数学专题复习:立体几何平行、垂直问题 【基础知识点】 一、平行问题 1．直线与平面平行的判定与性质 定义判定定理性质性质定理 图形 条件a∥α 结论a∥αb∥αa∩α＝a∥b 2. 面面平行的判定与性质 判定 性质 定义定理 图形 条件α∥β，a?β 结论α∥βα∥βa∥b a∥α 平行问题的转化关系： 二、垂直问题 一、直线与平面垂直 1．直线和平面垂直的定义：直线l与平面α内的都垂直，就说直线l与平面α互相垂直．2．直线与平面垂直的判定定理及推论 文字语言图形语言符号语言 判定定理 一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平 面垂直 推论 如果在两条平行直线中，有一条垂直于平面，那么另一条直线也垂直这个平面

文字语言 图形语言 符号语言 性质定理 垂直于同一个平面的 两条直线平行 4.直线和平面垂直的常用性质 ①直线垂直于平面，则垂直于平面内任意直线． ②垂直于同一个平面的两条直线平行． ③垂直于同一条直线的两平面平行． 二、平面与平面垂直 1．平面与平面垂直的判定定理 文字语言 图形语言 符号语言 判定定理 一个平面过另一个平 面的垂线，则这两个平 面垂直 2．平面与平面垂直的性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 性质定理 两个平面垂直，则一个 平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平 面 类型一、平行与垂直 例1、如图，已知三棱锥A BPC -中，,,AP PC AC BC ⊥⊥M 为AB 中点，D 为PB 中点， 且△PMB 为正三角形。（Ⅰ）求证：DM ∥平面APC ； （Ⅱ）求证：平面ABC ⊥平面APC ； （Ⅲ）若BC 4=，20AB =，求三棱锥D BCM -的体积。 M D A P B C

高中文科数学立体几何知识点总结材料

立体几何知识点整理（文科） 一． 直线和平面的三种位置关系： 1. 线面平行 l 符号表示： 2. 线面相交 符号表示： 3. 线在面内 符号表示： 二．平行关系： 1.线线平行： 方法一：用线面平行实现。 m l m l l // // ? ? ? ? ? ? = ? ? β α β α 方法二：用面面平行实现。 m l m l// // ? ? ? ? ? ? = ? = ? β γ α γ β α 方法三：用线面垂直实现。 若α α⊥ ⊥m l,，则m l//。 方法四：用向量方法： 若向量l和向量m共线且l、 m不重合，则m l//。 2.线面平行： 方法一：用线线平行实现。 α α α// // l l m m l ? ? ? ? ? ? ? ? 方法二：用面面平行实现。 α β β α // // l l ? ? ? ? ? 方法三：用平面法向量实现。 若n为平面α的一个法向量，l n⊥且α ? l,则 α // l。 3.面面平行： 方法一：用线线平行实现。 β α α β // ' ,' , ' // ' // ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 且相交 且相交 m l m l m m l l l

方法二：用线面平行实现。 βαβαα //,////??? ? ???且相交m l m l 三．垂直关系： 1. 线面垂直： 方法一：用线线垂直实现。 αα⊥???? ? ??? ?=?⊥⊥l AB AC A AB AC AB l AC l , 方法二：用面面垂直实现。 αββαβα⊥??? ? ?? ?⊥=?⊥l l m l m , 2. 面面垂直： 方法一：用线面垂直实现。 βαβα⊥?? ?? ?⊥l l 方法二：计算所成二面角为直角。 3. 线线垂直： 方法一：用线面垂直实现。 m l m l ⊥?? ?? ?⊥αα 方法二：三垂线定理及其逆定理。 PO l OA l PA l αα⊥? ? ⊥?⊥???? 方法三：用向量方法： 若向量l 和向量m 的数量积为0，则m l ⊥。 三． 夹角问题。 (一) 异面直线所成的角： (1) 范围：]90,0(?? (2)求法： 方法一：定义法。 步骤1：平移，使它们相交，找到夹角。

立体几何建系方法

立体几何建系方法 熟悉几个补形建系的技巧 基本模型：长方体 ； 下面几个多面体可考虑补成长方体建系： （1）三棱锥P ABC -,其中,2 PA ABC ABC π⊥∠=. 特点：BC PAB ⊥面；四个面均为直角三角形。 建系方法： （2）四棱锥P-ABCD,其中,PA ABCD ⊥面ABCD 为矩形。 建系方法： P A B C A C D P

（3）正四面体A-BCD 建系方法： （4）两个面互相垂直建系方法 1、（2011年高考重庆卷文科20)如题（20） 图，在四面体ABCD中，平面ABC⊥平 面，,2,1 ⊥==== AB BC AC AD BC CD （Ⅰ）求四面体 ABCD的体积； （Ⅱ）求二面角 C-AB-D的平面角的 正切值。

2、（06山东），已知四棱锥P-ABCD的底面ABCD为等腰梯形，AB∥DC,AC⊥BD,AC与BD相交于点O，且顶点P在底面上的射影恰为O点， 又BO=2,PO=2,PB⊥PD. (Ⅰ)求异面直线PD与BC所成角的余弦值；(Ⅱ)求二面角P－AB－C的大小；

3、在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AB ＝BC ， D 、 E 分别为BB 1、AC 1的中点． （Ⅰ）证明：ED 为异面直线BB 1与AC 1的公垂线； （Ⅱ）设AA 1＝AC ＝2AB ，求二面角A 1－AD －C 1的大小． A B C D E A 1 B 1 C 1

4．如图，已知四棱锥P ABCD -，底面ABCD为菱 形，PA⊥平面ABCD，60 ABC ∠=o，E F，分别是BC PC ，的中点． （Ⅰ）证明：AE PD ⊥； （Ⅱ）若H为PD上的动点，EH与平 面PAD所成最大角的正切值 为 2E AF C --的余弦值． P B E C D F A

2019年高考试题汇编文科数学--立体几何

（2019全国1文）16.已知90ACB ∠=?，P 为平面ABC 外一点，2PC =，点P 到ACB ∠两边,AC BC 的距 P 到平面ABC 的距离为 . 答案： 解答： 如图，过P 点做平面ABC 的垂线段，垂足为O ，则PO 的长度即为所求，再做,PE CB PF CA ⊥⊥，由线面的 垂直判定及性质定理可得出,OE CB OF CA ⊥⊥，在Rt PCF ?中，由2,PC PF == ，可得出1CF =，同 理在Rt PCE ?中可得出1CE =，结合90ACB ∠=?，,OE CB OF CA ⊥⊥可得出1OE OF ==，OC = ， PO == （2019全国1文）19.如图直四棱柱1111ABCD A B C D -的底面是菱形，14,2AA AB ==，60BAD ∠=， ,,E M N 分别是11,,BC BB A D 的中点. （1）证明：//MN 平面1C DE （2）求点C 到平面1C DE 的距离. 答案： 见解析 解答： （1）连结1111,AC B D 相交于点G ，再过点M 作1//MH C E 交11B C 于点H ，再连结GH ，NG . ,,E M N 分别是 11,,BC BB A D 的中点. 于是可得到1//NG C D ，//GH DE ， 于是得到平面//NGHM 平面1C DE ， 由 MN ?平面NGHM ，于是得到//MN 平面1C DE

（2） E 为BC 中点，ABCD 为菱形且60BAD ∠= DE BC ∴⊥，又 1111ABCD A B C D -为直四棱柱，1DE CC ∴⊥ 1DE C E ∴⊥，又 12,4AB AA ==， 1DE C E ∴=，设点C 到平面1C DE 的距离为h 由11C C DE C DCE V V --=得 1111 143232 h ?=?? 解得h = 所以点C 到平面1C DE （2019全国2文）7. 设,αβ为两个平面，则//αβ的充要条件是( ) A. α内有无数条直线与β平行 B. α内有两条相交直线与β平行 C. ,αβ平行于同一条直线 D. ,αβ垂直于同一平面 答案：B 解析: 根据面面平行的判定定理易得答案. （2019全国2文）16.中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一.印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”（图1）.半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体.半正多面体体现了数学的对称美.图2是一个棱数为48的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长为1.则该半正多面体共有 个面，其棱长为 .(本题第一空2分，第二空3分.)

高三文科数学立体几何专题练习加详细答案

高三文科数学专题立体几何 1. （2013汕头二模）设I、m是不同的两条直线, 题中为真命题的是（） A ?若I ,，则I// C .若I m, // ,m ，则1 【答案】D 【解析】T I ,// ,?- I ,- .■ m D .若I , // ,m ，则I m 2. （2013东城二模）给出下列命题： ①如果不同直线m、n都平行于平面，则m、n—定不相交； ②如果不同直线m、n都垂直于平面，则m、n—定平行； ③如果平面、互相平行，若直线m ，直线n ，则m//n ； ④如果平面、互相垂直，且直线m、n也互相垂直，若m 则n 则真命题的个数是（） A . 3 B . 2 C. 1 D. 0 【答案】C 【解析】只有②为真命题. 3. 设I为直线，，是两个不同的平面，下列命题中正确的是 A .若I // ,I// ，贝U // B.若1 ,I ，则// C .若1 ,I// ，贝U // D .若,I// ，则I 【解析】B 4. (2013 东莞 -模）如图，平行四边形ABCD 中，CD 1, BCD 60，且BD CD ,正方形ADEF和平面ABCD垂直，G, H是DF ,BE的中点. （1）求证：BD 平面CDE ; （2）求证：GH //平面CDE ; （3）求三棱锥D CEF的体积. C 是不重合的两个平面，则下列命 B.若I// , ，则I//

【解析】（1）证明：平面 ADEF 平面ABCD ，交线为AD , ?/ ED AD , ? ED 平面 ABCD , ?- ED BD ? 又 BD CD , ?- BD 平面 CDE . (2) 证明：连接 EA ，则G 是AE 的中点, ??? EAB 中，GH//AB , 又 AB//CD , ? GH // CD , ? GH // 平面 CDE ? (3) 设Rt BCD 中BC 边上的高为h ， 是棱PA 上的动点. (1) 若Q 是PA 的中点，求证: PC // 平面BDQ CQ ； (2) PC , PB PD ，求证：BD 解析：证明：（1）连结AC ，交BD 于O ,如图: 若 PB 3, ABC 60°，求四棱锥P ABCD 即：点C 到平面 DEF 的距离为 … V D CEF V C DEF _3 2 _3 3 5.（2013丰台二模）如图所示，四棱锥P ABCD 中, 底面ABCD 是边长为2的菱形，Q

高中数学立体几何大题练习(文科)

立体几何大题练习（文科）： 1．如图，在四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD是梯形，AB∥DC，∠ABC=90°，AD=SD，BC=CD=，侧面SAD⊥底面ABCD． （1）求证：平面SBD⊥平面SAD； （2）若∠SDA=120°，且三棱锥S﹣BCD的体积为，求侧面△SAB的面积． 【分析】（1）由梯形ABCD，设BC=a，则CD=a，AB=2a，运用勾股定理和余弦定理，可得AD，由线面垂直的判定定理可得BD⊥平面SAD，运用面面垂直的判定定理即可得证； （2）运用面面垂直的性质定理，以及三棱锥的体积公式，求得BC=1，运用勾股定理和余弦定理，可得SA，SB，运用三角形的面积公式，即可得到所求值．【解答】（1）证明：在梯形ABCD中，AB∥DC，∠ABC=90°，BC=CD=， 设BC=a，则CD=a，AB=2a，在直角三角形BCD中，∠BCD=90°， 可得BD=a，∠CBD=45°，∠ABD=45°， 由余弦定理可得AD==a， 则BD⊥AD， 由面SAD⊥底面ABCD．可得BD⊥平面SAD， 又BD?平面SBD，可得平面SBD⊥平面SAD； （2）解：∠SDA=120°，且三棱锥S﹣BCD的体积为， 由AD=SD=a， 在△SAD中，可得SA=2SDsin60°=a， △SAD的边AD上的高SH=SDsin60°=a， 由SH⊥平面BCD，可得 ×a××a2=，

解得a=1， 由BD⊥平面SAD，可得BD⊥SD， SB===2a， 又AB=2a， 在等腰三角形SBA中， 边SA上的高为=a， 则△SAB的面积为×SA×a=a=． 【点评】本题考查面面垂直的判定定理的运用，注意运用转化思想，考查三棱锥的体积公式的运用，以及推理能力和空间想象能力，属于中档题． 2．如图，在三棱锥A﹣BCD中，AB⊥AD，BC⊥BD，平面ABD⊥平面BCD，点E、F（E与A、D不重合）分别在棱AD，BD上，且EF⊥AD． 求证：（1）EF∥平面ABC； （2）AD⊥AC． 【分析】（1）利用AB∥EF及线面平行判定定理可得结论； （2）通过取线段CD上点G，连结FG、EG使得FG∥BC，则EG∥AC，利用线面垂直的性质定理可知FG⊥AD，结合线面垂直的判定定理可知AD⊥平面EFG，从而可得结论． 【解答】证明：（1）因为AB⊥AD，EF⊥AD，且A、B、E、F四点共面，

高考文科数学专题5 立体几何 高考文科数学 (含答案)

专题五 立体几何 第一讲 空间几何体 1．棱柱、棱锥 (1)棱柱的性质 侧棱都相等，侧面是平行四边形；两个底面与平行于底面的截面是全等的多边形；过不相邻的两条侧棱的截面是平行四边形；直棱柱的侧棱长与高相等且侧面与对角面是矩形． (2)正棱锥的性质 侧棱相等，侧面是全等的等腰三角形，斜高相等；棱锥的高、斜高和斜高在底面内的射影构成一个直角三角形；棱锥的高、侧棱和侧棱在底面内的射影也构成一个直角三角形；某侧面的斜高、侧棱及底面边长的一半也构成一个直角三角形；侧棱在底面内的射影、斜高在底面内的射影及底面边长的一半也构成一个直角三角形． 2．三视图 (1)三视图的正视图、侧视图、俯视图分别是从几何体的正前方、正左方、正上方观察几何体画出的轮廓线．画三视图的基本要求：正俯一样长，俯侧一样宽，正侧一样高； (2)三视图排列规则：俯视图放在正视图的下面，长度与正视图一样；侧视图放在正视图的右面，高度和正视图一样，宽度与俯视图一样． 3．几何体的切接问题 (1)解决球的内接长方体、正方体、正四棱柱等问题的关键是把握球的直径即棱柱的体对角线长． (2)柱、锥的内切球找准切点位置，化归为平面几何 问题． 4．柱体、锥体、台体和球的表面积与体积(不要求记忆) (1)表面积公式 ①圆柱的表面积 S ＝2πr (r ＋l )； ②圆锥的表面积S ＝πr (r ＋l )； ③圆台的表面积S ＝π(r ′2 ＋r 2 ＋r ′l ＋rl )； ④球的表面积S ＝4πR 2 . (2)体积公式 ①柱体的体积V ＝Sh ； ②锥体的体积V ＝1 3 Sh ；

③台体的体积V ＝1 3(S ′＋SS ′＋S )h ； ④球的体积V ＝43 πR 3 . 1． (2013·广东)某四棱台的三视图如图所示，则该四棱台的体积是 ( ) A ．4 B.143 C.16 3 D ．6 答案 B 解析 由三视图知四棱台的直观图为 由棱台的体积公式得：V ＝13(2×2＋1×1＋2×2×1×1)×2＝14 3. 2． (2013·四川)一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的直观图可以是 ( )

立体几何中的建系设点

立体几何解答题的建系设点问题 在如今的立体几何解答题中，有些题目可以使用空间向量解决问题，与其说是向量运算，不如说是点的坐标运算，所以第一个阶段：建系设点就显得更为重要，建立合适的直角坐标系的原则有哪些？如何正确快速写出点的坐标？这是本文要介绍的内容。 一、基础知识： （一）建立直角坐标系的原则：如何选取坐标轴 1、z 轴的选取往往是比较容易的，依据的是线面垂直，即z 轴要与坐标平面xOy 垂直，在几何体中也是很直观的，垂直底面高高向上的即是，而坐标原点即为z 轴与底面的交点 2、,x y 轴的选取：此为坐标是否易于写出的关键，有这么几个原则值得参考： （1）尽可能的让底面上更多的点位于,x y 轴上 （2）找角：,x y 轴要相互垂直，所以要利用好底面中的垂直条件 （3）找对称关系：寻找底面上的点能否存在轴对称特点 3、常用的空间直角坐标系满足,,x y z 轴成右手系，所以在标 ,x y 轴时要注意。 4、同一个几何体可以有不同的建系方法，其坐标也会对应不同。但是通过坐标所得到的结论（位置关系，角）是一致的。 5、解答题中，在建立空间直角坐标系之前，要先证明所用坐标轴为两两垂直（即一个线面垂直 底面两条线垂直），这个过程不能省略。 6、与垂直相关的定理与结论： （1）线面垂直： ① 如果一条直线与一个平面上的两条相交直线垂直，则这条直线与该平面垂直 ② 两条平行线，如果其中一条与平面垂直，那么另外一条也与这个平面垂直 ③ 两个平面垂直，则其中一个平面上垂直交线的直线与另一个平面垂直 ④ 直棱柱：侧棱与底面垂直 （2）线线垂直（相交垂直）：

① 正方形，矩形，直角梯形 ② 等腰三角形底边上的中线与底边垂直（三线合一） ③ 菱形的对角线相互垂直 ④ 勾股定理逆定理：若222 AB AC BC +=，则AB AC ⊥ （二）坐标的书写：建系之后要能够快速准确的写出点的坐标，按照特点可以分为3类 1、能够直接写出坐标的点 （1） 坐标轴上的点，例如在正方体（长度为1）中的,,'A C D 点，坐标特点如下： x 轴：(),0,0x y 轴：()0,,0y z 轴：()0,0,z 规律：在哪个轴上，那个位置就有坐标，其余均为0 （2）底面上的点：坐标均为(),,0x y ，即竖坐标0z =，由于底面在作立体图时往往失真，所以要快速正确写出坐标，强烈建议在旁边作出底面的平面图进行参考：以上图为例： 则可快速写出,H I 点的坐标，位置关系清晰明了 111,,0,,1,022H I ???? ? ????? 2、空间中在底面投影为特殊位置的点： 如果()' 11,,A x y z 在底面的投影为()22,,0A x y ，那么 1212,x x y y ==（即点与投影点的横纵坐标相同） 由这条规律出发，在写空间中的点时，可看下在底面的投影点，坐标是否好写。如果可以则直接确定了横纵坐标，而竖坐标为该点到底面的距离。例如：正方体中的' B 点，其投影为B ，而()1,1,0B 所以()' 1,1,B z ，而其到底面的距离为1，故坐标为()' 1,1,1B 以上两个类型已经可以囊括大多数几何体中的点，但总还有一些特殊点，那么就要用到第三个方法： 3、需要计算的点 ① 中点坐标公式：()()111222,,,,,A x y z B x y z ，则AB 中点121212 ,,222x x y y z z M +++?? ?? ? ，图中的,,,H I E F 等中点坐标均可计算 ② 利用向量关系进行计算（先设再求）：向量坐标化后，向量的关系也可转化为坐标的关系，

(完整)2019-2020年高考数学大题专题练习——立体几何(一)

2019-2020年高考数学大题专题练习——立体几何（一） 1.如图所示，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为正方形，⊥PD 平面ABCD ， 2PD AB ==，点,,E F G 分别为,,PC PD BC 的中点. (1)求证：EF PA ⊥； (2)求二面角D FG E --的余弦值. 2.如图所示，该几何体是由一个直角三棱柱ADE BCF -和一个正四棱锥P ABCD -组合而成，AF AD ⊥，2AE AD ==. (1)证明：平面⊥PAD 平面ABFE ； (2)求正四棱锥P ABCD -的高h ，使得二面角C AF P --的余弦值是 22 .

3.四棱锥P ABCD -中，侧面PDC是边长为2的正三角形，且与底面垂直，底面ABCD是 面积为ADC ∠为锐角，M为PB的中点． （Ⅰ）求证：PD∥面ACM． （Ⅱ）求证：PA⊥CD． （Ⅲ）求三棱锥P ABCD -的体积． 4.如图，四棱锥S ABCD -满足SA⊥面ABCD，90 DAB ABC ∠=∠=?．SA AB BC a ===，2 AD a =． （Ⅰ）求证：面SAB⊥面SAD． （Ⅱ）求证：CD⊥面SAC． S B A D M C B A P D

5.在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，测棱PD ⊥底面ABCD ，PD DC =，点E 是 BC 的中点，作EF PB ⊥交PB 于F ． （Ⅰ）求证：平面PCD ⊥平面PBC ． （Ⅱ）求证：PB ⊥平面EFD ． 6.在直棱柱111ABC A B C -中，已知AB AC ⊥，设1AB 中点为D ，1A C 中点为E ． （Ⅰ）求证：DE ∥平面11BCC B ． （Ⅱ）求证：平面11ABB A ⊥平面11ACC A ． E D A B C C 1 B 1 A 1 D A B C E F P

《立体几何》专题(文科)

高三文科数学第二轮复习资料 ——《立体几何》专题 一、空间基本元素：直线与平面之间位置关系的小结．如下图： 二、练习题： 1． 1∥ 2，a ，b 与 1， 2都垂直，则a ，b 的关系是 A ．平行 B ．相交 C ．异面 D ．平行、相交、异面都有可能 2．三棱柱ABC —A 1B 1C 1的体积为V ，P 、Q 分别为AA 1、CC 1上的点，且满足AP=C 1Q ，则四棱锥B —APQC 的体积是 A ． V 21 B ．V 31 C ．V 41 D ．V 3 2 3．设α、β、γ为平面， m 、n 、l 为直线，则m β⊥的一个充分条件是 A ．,,l m l αβαβ⊥=⊥ B ．,,m αγαγβγ=⊥⊥ C ．,,m αγβγα⊥⊥⊥ D ．,,n n m αβα⊥⊥⊥ 4．如图1，在棱长为a 的正方体ABCD A B C D -1111中， P 、Q 是对角 D 1 B 1

线A C 1上的点，若 a PQ= 2 ，则三棱锥P BDQ -的体积为 A3 B3 C3 D．不确定 5．圆台的轴截面面积是Q，母线与下底面成60°角，则圆台的内切球的表面积是 A 1 2Q B 2 3 Q C 2 π Q D 2 3π Q 6．在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F、G、H分别为棱BC、CC1、C1D1、AA1的中点，O为AC与BD的交点（如图），求证： （1）EG∥平面BB1D1D； （2）平面BDF∥平面B1D1H； （3）A1O⊥平面BDF； （4）平面BDF⊥平面AA1C． 7．如图，斜三棱柱ABC—A’B’C’中，底面是边长为a的正三角形， 侧棱长为 b，侧棱AA’与底面相邻两边AB、AC都成450角，求 此三棱柱的侧面积和体积． 8．在三棱锥P—ABC中，PC=16cm，AB=18cm，PA=PB=AC=BC=17cm，求三棱锥的体积V P-ABC．

高中数学立体几何建系设点专题

2009-2010学年高三立几建系设点专题 引入空间向量坐标运算，使解立体几何问题避免了传统方法进行繁琐的空间分析，只需建立空间直角坐标系进行向量运算，而如何建立恰当的坐标系，成为用向量解题的关键步骤之一．所谓“建立适当的坐标系”，一般应使尽量多的点在数轴上或便于计算。 一、建立空间直角坐标系的三条途径 途径一、利用图形中的对称关系建立坐标系:图形中虽没有明显交于一点的三条直线，但有一定对称关系（如正三棱柱、正四棱柱等），利用自身对称性可建立空间直角坐标系． 例1（卷理科第18题）已知两个正四棱锥P －ABCD 与 Q －ABCD 的高都为2，AB ＝4． （1）证明：PQ ⊥平面ABCD ； （2）求异面直线AQ 与PB 所成的角； （3）求点P 到平面QAD 的距离． 简解：（1）略； （2）由题设知，ABCD 是正方形，且AC ⊥BD ．由（1），PQ ⊥平面ABCD ，故可分别以直线 CA DB QP ，，为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系（如图1），易得(2202)(0222)AQ PB =--=-，，，，，，1 cos 3 AQ PB AQ PB AQ PB <>= = ，．所求异面直线所成的角是1arccos 3 ． （3）由（2）知，点(0220)(22220)(004)D AD PQ -=--=-， ，，，，，，，． 设n =（x ，y ，z ）是平面QAD 的一个法向量，则00AQ AD ?=??=??，，n n 得200x z x y ?+=??+=??， ，取x ＝1，得 (112)--，，n =．点P 到平面QAD 的距离22PQ d = =n n ． 途径二、利用面面垂直的性质建立坐标系:图形中有两个互相垂直的平面，可以利用面面垂 直的性质定理，作出互相垂直且交于一点的三条直线，建立坐标系． 例2 （全国卷Ⅱ理科第19题）在直三棱柱111ABC A B C -中，AB ＝BC ，D 、E 分别为11BB AC ，的中点． （1）证明：ED 为异面直线1BB 与1AC 的公垂线； （2）设12AA AC AB ==，求二面角1 1A AD C --的大小． 解：（1）如图2，建立直角坐标系O xyz -，其中原点O 为 AC 的中点，设(00)A a ， ，则，1(00)(02)B b B b c ，，，，，， 则11(00)(002)0ED b BB c ED BB ===，，，，，，，即1ED BB ⊥．

高考文科数学立体几何试题汇编

图 2 1俯视图 侧视图 正视图2 11.（北京8）如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，P 为对角线1BD 的三等分点， 则 P 到各顶点的距离的不同取值有（ ） A ．3个 B ．4个 C ．5个 D ．6个 2.（广东卷6）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积是( ) A ．1 6 B ．1 3 C ．2 3 D ．1 3. （广东卷8）设l 为直线，,αβ是两个不同的平面，下列命题中正确的是( ) A ．若//l α，//l β，则//αβ B ．若l α⊥，l β⊥，则//αβ C ．若l α⊥，//l β，则//αβ D ．若αβ⊥，//l α，则l β⊥ 4. （湖南卷7）已知正方体的棱长为1，其俯视图是一个面积为1的正方形，侧视图是一个面积为2的矩形，则该正方体的正视图的面积等于 A ． 3 B.1 C. 21 + D.2 5. 江西卷8）.一几何体的三视图如右所示，则该几何体的体积为（ ） A.200+9π B. 200+18π C. 140+9π D. 140+18π 6. （辽宁卷10）已知三棱柱 1116.34ABC A B C O AB AC -==的个顶点都在球的球面上若，， ,AB AC ⊥112AA O =，则球的半径为 A ． 317 B ．210 C ．13 2 D ．310 B ．. （全国卷11）已知正四棱柱1111112,ABCD A B C D AA AB CD BDC -=中，则与平面所成角的正弦值等于 （A ） 23 （B ）3 （C ）23 （D ）1 3 8. （四川卷2）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体可以是（ ）

高中文科数学立体几何部分整理

高中文科数学立体几何部分整理 第一章 空间几何体 （一）空间几何体的三视图与直观图 1.投影：区分中心投影与平行投影。平行投影分为正投影和斜投影。 2.三视图——是观察者从三个不同位置观察同一个空间几何体而画出的图形； 正视图——光线从几何体的前面向后面正投影，得到的投影图； 侧视图——光线从几何体的左面向右面正投影，得到的投影图； 正视图——光线从几何体的上面向下面正投影，得到的投影图； 注：（1）俯视图画在正视图的下方，“长度”与正视图相等；侧视图画在正视图的右边，“高 度”与正视图相等，“宽度”与俯视图。（简记为“正、侧一样高，正、俯一样长，俯、侧一样宽”. （2）正视图，侧视图，俯视图都是平面图形，而不是直观图。 3.直观图： 3.1直观图——是观察着站在某一点观察一个空间几何体而画出的图形。直观图通常是在平行投影下画出的空间图形。 3.2斜二测法： step1：在已知图形中取互相垂直的轴Ox 、Oy ，（即取90xoy ∠=? ）； step2：画直观图时，把它画成对应的轴'',''o x o y ，取'''45(135)x o y or ∠=??，它们确定的平面表示水平平面； step3：在坐标系'''x o y 中画直观图时，已知图形中平行于数轴的线段保持平行性不变，平行于x 轴（或在x 轴上）的线段保持长度不变，平行于y 轴（或在y 轴上）的线段长度减半。 结论：一般地，采用斜二测法作出的直观图面积是原平面图形面积的 4 倍. 解决两种常见的题型时应注意：（1）由几何体的三视图画直观图时，一般先考虑“俯视图”. （2）由几何体的直观图画三视图时，能看见的轮廓线和棱画成实线，不能看见的轮廓线和棱画成虚线。 【例题点击】将正三棱柱截去三个角（如图1所示A B C ，，分别是GHI △三边的中点）得到几何体如图2，则该几何体按图2所示方向的侧视图（或称左视图）为（ ） E F D I A H G B C E F D A B C 侧视 B E A ． B E B ． B E C ． B E D ．