大一微积分下册经典题目与解析
微积分练习册[第八章]多元函数微分学
习题8-1多元函数的基本概念
1.填空题：
（1）若y
x
xy y x y x f tan
),(2
2
-+=，则___________),(=ty tx f （2）若xy y x y x f 2),(22+=，则(2,3)________,(1,)________y
f f x
-==
（3）若)0()(2
2 y y y x x
y
f +=
，则__________)(=x f （4）若2
2),(y x x y y x f -=+，则____________),(=y x f
（5）函数)
1ln(4222y x y x z ---=的定义域是_______________
（6）函数y x z -=
的定义域是_______________
(7)函数x y
z arcsin =的定义域是________________ （8）函数x
y x
y z 2222-+=的间断点是_______________
2.求下列极限： （1）xy xy y x 4
2lim 0
0+-→→
(2)x xy
y x sin lim
0→→
(3)2222220
0)()cos(1lim y x y x y x y x ++-→→ 3.证明0lim
2
2
)
0,0(),(=+→y
x xy y x
4.证明：极限0lim 2
42)0,0(),(=+→y x y
x y x 不存在
5.函数??
?
??
=≠+=(0,0)),( ,0)0,0(),(,1sin ),(22y x y x y x x y x f 在点（0，0）处是否连续？为什么
习题8-2偏导数及其在经济分析中的应用
1.填空题 （1）设y x z tan
ln =，则
__________________,=??=??y
z
x z ;
（2）设)(y x e z xy
+=，则
__________________,=??=??y z
x z ; （3）设z
y
x u =，则________,__________________,=??=??=??z u y u x u ; （4）设x y axc z tan =，则_________________,_________,22222=???=??=??y x z
y z x z
（5）设z
y
x u )(=，则
________2=???y x u ; （6）设),(y x f 在点),(b a 处的偏导数存在，则_________)
,(),(lim 0
=--+→x
b x a f b x a f x
2.求下列函数的偏导数
y xy z )1()1(+=
z y x u )arcsin()2(-=
3.设x
y z =，求函数在（1，1）点的二阶偏导数
4.设)ln(xy x z =，求y x z ???23和2
3y
x z
??? 5.)1
1(y
x e
z +-=，试化简y z y x z x
??+??22
6.试证函数??
???=≠+=)0,0(),( ,0)0,0(),(,3),(2
2y x y x y
x xy
y x f 在点（0，0）处的偏导数存在，但不连续. 习题8-3全微分及其应用
1.X 公司和Y 公司是机床行业的两个竞争者，这两家公司的主要产品的需求曲线分别为：QY PY Qx Px 41600;51000-=-=
公司X 、Y 现在的销售量分别是100个单位和250个单位。
（1） X 和Y 当前的价格弹性是多少？
（2） 假定Y 降价后，使QY 增加到300个单位，同时导致X 的销量Qx 下降到75个单位，试问X 公
司产品的交叉价格弹性是多少？
(利用弧交叉弹性公式：)/1
21
21212Py Py Py Py Qx Qx Qx Qx Erx +-+-=
2.假设市场由A 、B 两个人组成，他们对商品X 的需求函数分别为： Px I K D Px I K D B B B A A A /;/)(Pr =+= （1）商品X 的市场需求函数；
（2）计算对商品X 的市场需求价格弹性；若Y 是另外一种商品，Pr 是其价格，求商品X 对Y 的需求交叉弹性
3.求下列函数的全微分
（1）t
s t
s u -+=
（2）设z y x
z y x f 1
)(),,(=，求)1,1,1(df
（3）)1ln(2
2y x z ++=，求当2.0,1.0,2,1=?=?==y x y x 的全增量z ?和全微分dz
4.计算33)97.1()02.1(+的近似值
习题8-4多元复合函数的求导法则
1.填空题
（1）设v u z ln 2
=而y x v y x u 23,-==
，则____________________,=??=??y
z x z （2）设)sin(y x ar z -=而t x 3=，则
_________=dt
dz
（3）设1)(2+-=a z y e u ax ,而x
z x a y cos ,sin ==，则________=dx
du
（4）设)arctan(xy z =,而x
e y =，则
________=dx
dz
（5）设),(22xy
e y x
f u -=，则
___________________,=??=??y
u
x u （6）),,(xyz xy x f u =，则________=??x
u
（1）∑∞
=1
2n n
n
2.设f y x yf xy f x
z ),()(1
++=具有二阶连续导数，求y x z ???2
3.设f y x
x f z ),,(=具有二阶连续偏导数，求22x
z ??
4.设f x
y x xf z ),,2(2
=，具有二阶连续偏导数，求y x z ???2.
5.设f e
y x f z y
x ),,cos ,(sin +=，具有二阶连续偏导数，求22x
z
??
7.设f 与g 有二阶连续导数，且)()(at x g at x f z -++=，证明：22
222z z a t x
??=?? 习题8-5隐函数的求导公式
1.填空题：
（1
）设arctan
y x
=，则________=dx dy
（2）设022=-++xyz z y x ，则______________,=??=??y
z
x z
（3）设
y z z x ln =，则___________________,=??=??y
z x z （4）设z
x y z =，则_________________,=??=??y
z x z 2.设xyz e z
=，求y
x z
???2
3.设3
3
3a xyz z =-，求y
x z
???2
4.设z y x z y x 32)32sin(2-+=-+，求
y
z
x z ??+?? 5.设?????=+++=20
322
222
2z y x y x z ，求dx dz dx dy , 6.设),(t x f y =，而t 是由方程0),,(=t y x F 所确定的y x ,的函数，求dx
dy 7.设由方程0),(=++
x z
y y z x F 确定),(y x z z =，F 具有一阶连续偏导数，证明： xy z y
z y x z x -=??+?? 8.设),(),,(),,(y x z x z y y z y x x ===，都是由方程0),,(=z y x F 所确定的有连续偏导数的函数，证明：
1-=????????x
z z y y x
习题8-6多元函数的极值及其应用
1.填空题：
（1）gy x xy y x z +-+-=422
2
z 驻点为_____________ （2）2
2
)(4),(y x y x y x f ---=的极_____值为_______________ （3）)2(),(2
2y y x e y x f x
++=的极______值为_________________ （4）xy z =在适合附加条件1=+y x 下的极大值为____________________
（5）2
2
),(y x x y x f u --==在{}
1,22≤+=y x y x D 上的最大值为______________，最小值为______________
2.从斜边长为L 的一切直角三角形中，求有最大周长的直角三角形.
班级：姓名：学号：
3.旋转抛物面2
2y x z +=被平面1=++z y x 截成一椭圓，求原点到该椭圆的最长与最短距离
微积分练习册[第八章]多元函数微分学
4.某养殖场饲养两种鱼，若甲种鱼放养x （万尾），乙种鱼放养y （万尾），收获时两种鱼的收获量分别为)0(,)24(,)3(>>----βααββαy y x x y x ，求使产鱼总量最大的放养数
班级：姓名：学号：
5.设生产某种产品需要投入两种要素，和分别为两要素的投入量，Q 为产出量：若生产函数为
β
α212x x Q =，其中βα,为正常数，且1=+βα，假设两种要素的价格分别为1p 和2p ，试问：当产出量为
12时，两要素各投入多少可以使得投入总费用最小？
微积分练习册[第九章]二重积分
习题9-1二重积分的概念与性质
1.填空题
（1）当函数),(y x f 在闭区域D 上_________时，则其在D 上的二重积分必定存在 （2）二重积分
??D
d y x f δ),(的几何意义是_____________________________________
（3）若),(y x f 在有界闭区域D 上可积，且21D D D ??，当0),(≥y x f 时，则
????2
1
),(_____________),(D D d y x f d y x f δδ；
当0),(≤y x f 时，则
????2
1
),(_____________),(D D d y x f d y x f δδ
（4）
δδ______________)sin(2
2??
+D
d y x ，其中δ是圆域2224≤+y x 的面积，πδ16=（注：填比较大小符号）
2.比较下列积分的大小： (1)??+=D
d y x I δ21)(与??+=D
d y x I δ3
2)(其中积分区域D 是由x 轴，y 轴与直线1=+y x 所围成
(2)1ln()D
I x y d δ=
+??与2
2ln()D
I x y d δ??=+????，其中 {}10,53),(≤≤≤≤=y x y x D
3.估计下列积分的值 （1）(1)D
I xy x y d δ=++??，其中{}20,10),(≤≤≤≤=y x y x D
（2）22(49)D
I x y d δ=
++??，其中{}
4),(2
2≤+=y x y x D 4
．求二重积分221
x y δ+≤??
5.利用二重积分定义证明
(,)(,)D
D
kf x y d k f x y d δδ=????（其中为k 常数）
习题9-2利用直角坐标计算二重积分
1.填空题 （1）
3
23(3)______________D
x
x y y d δ++=??其中10,10 ≤≤≤≤y x D ：
(2)
cos()___________D
x x y d δ+=??其中D ：顶点分别为
),(),0,(),0,0(πππ（的三角形闭区域
(3)将二重积分
(,)D
f x y d δ??，其中D 是由x 轴及上半圆周)0(222
≥=+y r y x
所围成的闭区域，化为先y
后x 的积分，应为__________________________________ （4）将二重积分
(,)D
f x y d δ??
，其中D 是由直线2,==x x y 及双曲线)0(1
>=
x x
y 所围成的闭区域，化为先x 后y 的积分，应为_________________________________
（5）将二次积分
dy y x f dx x x x ?
?
--2
22 2
1 ),( 改换积分次序，应为______________________
（6）将二次积分
dy y x f dx x
?
?
sin 2
x sin
- 0
),( π
改换积分次序，应用______________________
（7）将二次积
分2
2
1
2
1 2
-lny
1
(1) (,)(,)e
y dy f x y dx f x y dx --+?
??
?
改换积分次序，应为
______________________ （8）将二次积分
dx y x f dy dx y x f dy y
y
??
?
?
-+3 1
3 0
20
1
),(),( ，改换积分次序，应为_____________________
2.计算下列二重积分： (1)
2
2
x
y D
xye d δ+??,其中{}d y c b x a y x D ≤≤≤≤=,),(
(2)2
2()D
x
y d δ+??,其中D 是由直线x y y ==,2，及x y 2=所围成的闭区域.
(3)
??
-D
dxdy x y 2,其中20,11≤≤≤≤-y x D ：
3.
计算二次积分
1
1
y
x
dy e dx ?
4.交换积分次序，证明：
???--=a
x a m a
dx x f e x a dx x f 0
)(0
y
x)
-m(a )()()(e dy
5.求由曲面2
2
2y x z +=及2
2
26y x z --=所围成的立体的体积.
习题9-3利用极坐标计算二重积分
1.填空题
（1）把下列二重积分表示为极坐标形式的二次积分 ①
??
≤+=+x
y x dxdy x
y
y x f 22222
_________________)arctan ,(;
②{
}??=>≤+≤=+D
y x dxdy e
x y y x y x D ____________,
,41),(2
22
2
（2）化下列二次积分为极坐标系下的二次积分
①
222 0 0
()____________,(0)a
dx f x y dy a
+=?
②
1
1
________________;dx f dy =?
?
③
2
(arctan )________________;x
y
dx f dy x
=?
?
④
2
1
(,)________________.x dx f x y dy =?
?
2.计算下列二重积分 (1)22
ln(1)D
x y d δ++??
,其中D 是由圆周122=+y x 及坐标轴所围成的在第一象限内的闭区域. (2)??
+D
dxdy y x 2
21,其中D 是由曲线2x y =与直线x y =所围成的闭区域.
(3)D
δ,其中D 是由圆周Rx y x =+22所围成的闭区域
(4)(2)222D
x y d δ+-??
,其中(2)3:22≤+y x D .
3.计算二重积分
2
()D
y x d δ-??
，其中D 由不等式0,,222≥≤++≤y R y x x R y 确定（注意选用适当的坐标）
4.计算以xoy 面上的圆周22(0)x y ax a +=>围成的区域为底，而以曲面2
2y x z +=为顶的曲顶柱体的体积
微积分练习册[第十章]微分方程与差分方程
习题10-1微分方程的基本概念
1.填空题
（1）方程0ln 3)(4
2
=+'-''x y y y x 称为__________阶微分方程
（2）设),,,(21n c c c x y y =是方程y y x y 2+''-'''的通解，则任意常数的个数n=____________ （3）设曲线)(x y y =上任一点),(y x 的切线垂直于此点与原点的连线，则曲线所满足的微分方程____________
（4）设曲线)(x y y =上任一点),(y x 的切线在坐标轴间的线段长度等于常数a ，则曲线所满足的微分方程________________
（5）某人以本金0p 元进行一项投资，投资的年利率为γ，若以连续复利计，t 年后资金的总额为
___________)(=t p
（6）方程 0
x
y x ydx =+
?
可化为形如_______________微分方程
2.已知kt
ce Q =满足微分方程
0.03dQ
Q dt
=-，问C 和K 的取值应如何？ 3.、若可导函数)(x f 满足方程 0
()2
()1
(1)x
f x tf t dt =+?
，将（1）式两边求导，得
)2()(2)( x xf x f ='
易知c ce x f x ()(2
=为任意常数）是（2）的通解，从而2
()x f x ce =为（1）的解，对吗？ 4.证明：x x c x c y ln 21+=是微分方程02
=+'-''y y x y x 的通解.
习题10-2一阶微分方程(一)
1.求下列微分方程的通解：
（1）2
2
11x y y --=' (2)2
30y x
e y y +'+=
(3)0sec )2(tan 32
=-+ydy e ydx e x x
2.求下列微分方程满足所给初始条件的特解： （1）4
,sin cos cos sin 0π
=
==x y xdx y xdy y
（2）
1,0110
==+-+=x y dy x
y dx y x
3镭的衰变速度与它的现存量R 成正比，有资料表明，镭经过1600年后，只余原始量0R 的一半，试求镭的量R 与时间t 的函数关系
微积分练习册[第十章]微分方程与差分方程
习题10-2一阶微分方程（二）
1.填空题
（1）设y *
是
)()(x Q y x p dx dy
=+的一个解，Y 是对应的齐次方程的通解，则该方程的通解为___________ （2）x e x x y 1-=*
是方程x xe y y x =+'的一个特解，则其通解为+-=*x e x
x y 1___________
（3）微分方程0ln 2
=-+'x y y y x 作变换____________可化为一阶线性微分方程 （4）0)()(=-+'+y x y y x 的通解为______________
（5）(12)2(1)0x x y y
x
e dx e dy y
++-=的通解为______________ 2.求下列微分方程的通解： (1)232
++=+'x x y y x
(2)0)2(2
2=+'--y y y xy x
3.求下列微分方程满足所给初始条件的特解：
cos 2
cot 5,4x x dy
y x e y dx
π
=
+==-
4.用适当的变量代换将下列方程化为可分离变量的方程，然后求出通解：
（1）
2)(y x dx
dy
+= (2))ln (ln y x y y y x +=+'
5.已知一曲线过原点，且它在点),(y x 处切线的斜率等于y x +2，求该曲线的方程
6.设)(x f 可微且满足关系式[] 0
2()1()1x
f t dt f x -=-?,求)(x f
习题10-3一阶微分方程在经济学中的应用
1.已知某商品的需求价格弹性为
)1(ln +-=P P EP
EQ
，且当P=1时，需求量Q=1 (1)求商品对价格的需求函数
（2）当+∞→P 时，需求量是否趋于稳定？
2.已知某商品的需求量Q 对价格P 的弹性2
3P η=，而市场对该商品的最大需求量为1万件，求需求函数 3.已知某商品的需求量Q 与供给量S 都是价格P 的函数：bp S P a
Q ==,2
其中0,0a b >>为常数，价格P 是时间t 的函数，且满足
[]()() (dp
k Q p S p k dt
=-为正常数） 假设当0=t 时，价格为1，试求：
(1) 需求量等于供给量的均衡价格e P (2) 价格函数()p t (3) )(lim t p t +∞
→
4.在某一人群中推广新技术是通过其中已掌握新技术的人进行的，设该人群的总人数为N ，在0=t 时
刻已掌握新技术的人数为
N 10
1
，在任意时刻t 已掌握新技术人数为)(t x ，其变化率与已掌握新技术人数和未掌握新技术人数之积成正比，比例常数0>k
求)(t x
5.某银行帐户，以连续复利方式计息，年利率为5%，希望连续20年以每年12000元人民币的速度用这一帐户支付职工工资。若t 以年为单位，写出余额)(t f B =所满足的微分方程，且问当初始存入的数额B 为多少时，才能使20年后帐户中的余额精确地减至0.
习题10-4可降阶的二阶微分方程
1.填空题
（1）微分方程2
11
x y +=
''的通解为_____________. （2）微分方程2
)(1y y '+=''的通解为____________._ （3）微分方程x y y +'=''的通解为_____________.
（4）微分方程y y y y '='+''2
)(的通解为_____________.
（5）微分方程0)(12
2='-+
''y y
y 的通解为_____________.
（6）设21x y =与x x y ln 22=是方程0432
=+'-''y y x y x 的特解，则其方程的通解为____________. 2.求下列微分方程满足所给初始条件的特解
.0,
1,011
1
2
23
===+==x x dx
dy y dx
y d y
3.求下列微分方程满足初始条件的特解：
1,0 ,0)1(00
2-='=='-''==x x y y
y a y
(2)0 ,)1(11
='==''==x x ax y y
e y
4.试求x y =''的经过点M(0,1)且在此点与直线12
+=
x
y 相切的积分曲线 5.验证21x e y =及2
2x xe y =都是方程0)24(42
=-+'-''y x y x y 的解，并写出该方程的通解.
6.设函数)(),(),(321x y x y x y 均是非齐次线性方程)()()(2
2x f y x b dx dy
x a dx
y d =++的特解，其中)(),(),(x f x b x a 为已知函数，而且≠--)
()()
()(1312
x y x y x y x y 常数，求证 213221121,( )()()()1()(c c x y c x y c x y c c x y ++--=为任意常数）是该方程的通解.
7.证明函数215221,( 12
1c c e e c e c y x x
x ++=是任意常数）是方程x e y y y 523=+'-''的通解.
习题10-5二阶常系数线性微分方程（一）
1.填空题
（1）微分方程04='-''y y 的通解为_____________________. （2）微分方程044=+'+''y y y 的通解为_____________________. （3）微分方程052=+'+''y y y 的通解为_____________________.
（4）微分方程a ay y y ( 02=+'+''为常数）的通解为__________________________ _____________________________________________.
（5）设i ±2为方程0y py qy '''++=的特征方程的两根，则其通解为__________________________________.
（6）设二阶常系数齐次线性微分方程的二个特征根为4, 221==r r ，则该二阶常系数齐次线性微分方程为___________________________.
2.求下列微分方程满足所给初始条件的特解： (1)10 ,6 ,03400
='==+'-''==x x y y y y y
(2)0 ,2 ,04400
='==+'+''==x x y y
y y y (3)3 ,0 ,013400
='==+'-''==x x y y
y y y
3.求以x
x
xe y e y ==21,为特解的二阶常系数齐次线性微分方程
4.方程094=+''y y 的一条积分曲线经过点)1,(-π且在该点和直线π-=+x y 1相切，求这条曲线方程
5.求0)(2
2
='-''y y x 的过（1，0）点，且在此点与1-=x y 相切的积分曲线.
习题10-5常系数线性微分方程（二）
1.填空题：
（1）微分方程x
xe y y y =+'+''2的特解可设为型如._________=*y （2）微分方程x y y y sin 67=+'-''的特解可设为型如._________=*y
（3）微方程x e y y y x 2sin 52=+'-''的特解可设为型如._________=*y (4)微分方程x x y y cos +='+''的特解可设为型如._________=*y (5)微分方程x x y y 2
sin ='-''的特解可设为型如._________=*y
2.求下列微分方程的通解：
（1）x xe
y y y -=+'+''323 （2）cos x y y e x ''+=+
3.求微分方程满足所给初始条件的特解：
004, 0, 1.x x x y y xe y
y =='''-=== 4.设函数)(x y y =满足微分方程x e
y y y -=-'-''32，它的图形在0=x 处与直线x y =相切，求该函数 5.设函数)(x ?连续，且满足??-+=x x x dt t x dt t t e x 0 0
)()()(???，求)(x ?. 6.设函数)0( )(≥x x y 二阶可导，且()0,(0)1y x y '>=,过曲线)(x y y =上任意一点),(y x p 作该曲线的切线及x 轴的垂线，上述两直线与x 轴所围成的三角形的面积记为1s ，区间],0[x 上以)(x y y =为曲边的曲边梯形的面积记为2s ，恒有1221=-s s ，求曲线)(x y y =的方程.
习题10-6差分与差分方程的概念常系数线性差分方程解的结构
1.填空题
（1）设x x e y =，则______________=?x y
(2)设2x y x =，则______________=?x y
(3)设x y x 2cos =，则______________=?x y
(4)差分的运算法则：______________)(=?x cy
()______________x x y z ?+=
2.已知x x e y =是方程x x x e ay y 21=++的一个解，求a .
3.求下列函数的二阶差分
(2)2
32x x y -=
(3)log (0,1)a y x a a =>≠
4.给定一阶差分方程x x x Aa py y =++1，验证： （1）当0≠+a p 时，x x a a
p A y +=
是方程的解. （2）当0=+a p 时，1-=x x Axa y 是方程的解 习题10—7一阶常系数线性差分方程（一）
1.填空题
（1）一阶常系数齐次线性差分方程)0( 01≠=-+a ay y x x 的通解为_________________
2.求下列一阶常系数齐次线差分方程的通解：
(1)0321=-+x x y y
(2)01=+-x x y y
（3）01=-+x x y y
习题10-7一阶常系数线性差分方程（二）
1.填空题
（1）若)()(x p x f n =，则一阶常系数非齐次线性差分方程)(1x f ay y x x =-+
具有形如________________=*x y 的特解.
当1不是特征方程的根时，__;__________=k
当1是特征方程的根时，.____________=k
2.求下列一阶差分方程在给定初始条件下的特解
(1)0521=++x x y y 且30=y
(2)0=?x y ，且20=y
3.求下列一阶差分方程的通解
（1）34=-?x x y y
(2)12421++=++x x y y x x
（3）t t t y y 22
11=-+ (4)t t t t y y 21?=++
4.求下列一阶差分方程在给定的初始条件下的特解
（1）22421-+=++x x y y x x 且10=y
(2)x x x y y 21=++,且20=y
习题10-9差分方程的经济应用
1.（存款模型）
设t S 为t 年末存款总额，r 为年利率，有关系式t t t rS S S +=+1，且初始存款为0S ，求t 年末的本利和.
2.设某产品在时期t 的价格，总供给与总需求分别为t t S P ,与t D ，对于 ,2,1,0=t 有关系
式:?????=+-=+=-t t
t t t t D S P D P S 44121
（1）求证：由关系式可推出差分方程221=++t t P P ;
（2）0P 已知时，求该方程的解.
3.设t y 为t 期国民收入，t c 为t 期消费，I 为投资（各期相同），三者有关系式βα+=+=-1,t t t t y c I c y ，其中01,0αβ<<>
已知0=t 时，0y y t =,试求t y 和t c
4.设某商品在t 时期的供给量t s 与需求量t d 都是这一时期该商品价格t p 的线性函数， 已知t t t t p d p s 54 ,23-=-=
且在t 时期的价格t p 由1-t p 及供给量与需求量之差11---t t d s 按关系式
)(16
1111-----=t t t t d s p p 确定 试求商品的价格随时间变化的规律.
习题11-1常数项级数的概念和性质
1.填空题
（1）
∑∞=1n n u 收敛，则.__________)3(lim 2=+-∞→n n n u u （2）∑∞=1
n n a
收敛，且n n a a a S +++= 21，则11lim(2)_____.n n n n S S S +-→∞+-= （3）2233111111()(
)()232323++++++的和是___________ （4）若
1n n u ∞=∑的和是3，则3n n u ∞=∑的和是____________ （5）1
n n t ∞=∑的和是2，则12n
n t ∞=∑的和是________________
大一上学期微积分期末试卷及答案
1 1?设f(x) 2cosx,g(x) (l)sinx在区间(0, —)内( 2 2 A f (x)是增函数，g (x)是减函数 Bf (x)是减函数，g(x)是增函数 C二者都是增函数 D二者都是减函数2、x 0时，e2x cosx与sinx相比是() A高阶无穷小E低阶无穷小C等价无穷小 1 3、x = 0 是函数y = (1 -sinx)书勺() A连续点E可去间断点C跳跃间断点 4、下列数列有极限并且极限为1的选项为( ) n 1 n A X n ( 1) B X n sin - n 2 1 1 C X n n (a 1) D X n cos— a n 5、若f "(x)在X。处取得最大值，则必有() A f /(X。)o Bf /(X。)o Cf /(X。)0且f''( X o) 5、 若 则a,b 的值分别为： X 1 X + 2x-3 2 1 In x 1 ; 2 y x 3 2x 2; 3 y log^x 1 -,(0,1), R ; 4(0,0) x lim 5解：原式=x 1 (x 1)( x m ) ~~1)( x 7 b lim 3) x 7, a 1、 2、 、判断题 无穷多个无穷小的和是无穷小( lim 沁在区间(， X 0 X 是连续函数() 3、 f"(x 0)=0—定为f(x)的拐点 () 4、 若f(X)在X o 处取得极值，则必有 f(x)在X o 处连续不可导( 5、 f (x) 0,1 f '(x) 0令 A f'(0), f '(1),C f (1) f (0),则必有 A>B>C( 1~5 FFFFT 二、计算题 1用洛必达法则求极限 1 2 ~ lim x e x x 0 1 e 解：原式=lim x 0 1 x x 2 lim e x 2 ( 2x x 0 2x 3 3 4 k 2 若 f(x) (x 10),求f”(0) 3) 1 lim e x x 0 3 3 2 2 f '(x) 4(x 10) 3x 12x (x 3 3 2 3 2 2 f ''(x) 24x (x 10) 12x 3 (x 10) 3x 24x f ''(x) 0 10)3 3 .. .3 3 4 , 3 (x 10) 108 x (x 10)2 4 r t I 八］ 2 3 求极限 lim(cos x)x x 0 1. 若82lim =?? ? ??--∞→x x a x a x ，则_______.2ln 3- 2. =+++→)1ln()cos 1(1 cos sin 3lim 20x x x x x x ____.2 3 3.设函数)(x y y =由方程4ln 2y x xy =+所确定，则曲线)(x y y =在)1,1(处的切线方程为________.y x = 4. =-++∞→))1(sin 2sin (sin 1lim n n n n n n πππ Λ______.π2 5. x e y y -=-'的通解是____.x x e e y --=21C 二、选择题（每题4分） 1.设函数)(x f 在),(b a 内连续且可导，并有)()(b f a f =，则（D ） A ．一定存在),(b a ∈ξ，使 0)(='ξf . B. 一定不存在),(b a ∈ξ，使 0)(='ξf . C. 存在唯一),(b a ∈ξ，使 0)(='ξf . D.A 、B 、C 均不对. 2.设函数)(x f y =二阶可导，且 ,)(),()(,0)(,0)(x x f dy x f x x f y x f x f ?'=-?+=?<''<'， 当,0>?x 时，有（A ） A. ,0<>?dy y C. ,0?>y dy 3. =+?-dx e x x x ||2 2)|(|(C) A. ,0B. ,2C. ,222+e D. 26e 4. )3)(1()(--=x x x x f 与x 轴所围图形的面积是（B ） A. dx x f ?3 0)( B. dx x f dx x f ??-3110)()( C. dx x f ?-30)( D. dx x f dx x f ??+-3110)()( 5.函数Cx x y +=361 ，（其中C 为任意常数）是微分方程x y =''的（C ） A ． 通解B.特解C.是解但非通解也非特解D.不是解 微积分试题及答案 一、填空题(每小题2分，共20分) 1. =∞→2 arctan lim x x x . 2. 设函数??? ??=<<-=0 , 10 )21()(1 x k x ,x x f x 在0=x 处连续，则=k 。 3. 若x x f 2e )(-=，则=')(ln x f 。 4. 设2sin x y =，则=)0() 7(y 。 5. 函数2 x y =在点0x 处的函数改变量与微分之差=-?y y d 。 6. 若)(x f 在[]b a ,上连续, 则=?x a x x f x d )(d d ; =? b x x x f x 2d )(d d . 7. 设函数)3)(2)(1()(---=x x x x f ，则方程0)(='x f 有 个实根。 8. 曲线x x y -=e 的拐点是 。 9. 曲线)1ln(+=x y 的铅垂渐近线是 。 10. 若 C x x x f x ++=? 2d )(，则=)(x f 。 二、单项选择（每小题2分，共10分） 1. 设x x f ln )(=，2)(+=x x g 则)]([x g f 的定义域是（ ） （A ）()+∞-,2 （B ）[)+∞-,2 （C ）()2,-∞- （D ）(]2,-∞- 2. 当0→x 时，下列变量中与x 相比为高阶无穷小的是（ ） （A ）x sin （B ）2 x x + （C ）3x （D ）x cos 1- 3. 函数)(x f 在],[b a 上连续是)(x f 在],[b a 上取得最大值和最小值的（ ） （A ）必要条件 （B ）充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）无关条件 4. 设函数)(x f 在]0[a ， 上二次可微，且0)()(>'-''x f x f x ，则x x f ) ('在区间)0(a ，内是（ ） （A ）不增的 （B ）不减的 （C ）单调增加的 （D ）单调减少的 5. 若 C x x x f +=?2d )(，则=-?x x xf d )1(2 。 （A ）C x +-2 2)1(2 （B ）C x +--2 2)1(2 微积分期末试卷 选择题（6×２） cos sin 1.()2 ,()()22 ()()B ()()D x x f x g x f x g x f x g x C π ==1设在区间（0，）内（ ）。 Ａ是增函数，是减函数是减函数，是增函数二者都是增函数二者都是减函数 2x 1 n n n n 20cos sin 1n A X (1) B X sin 21C X (1) x n e x x n a D a π→-=--== >、x 时，与相比是（ ） Ａ高阶无穷小 Ｂ低阶无穷小 Ｃ等价无穷小 Ｄ同阶但不等价无价小 ３、ｘ=０是函数ｙ=（１-sinx)的（ ） Ａ连续点 Ｂ可去间断点 Ｃ跳跃间断点 Ｄ无穷型间断点４、下列数列有极限并且极限为１的选项为（ ）n 1 X cos n = 2 00000001() 5"()() ()()0''( )<0 D ''()'()0 6x f x X X o B X o C X X X X y xe =<===、若在处取得最大值，则必有（ ）Ａf ＇f ＇f ＇且f f 不存在或f 、曲线（ ） Ａ仅有水平渐近线 Ｂ仅有铅直渐近线 Ｃ既有铅直又有水平渐近线 Ｄ既有铅直渐近线 1~6 DDBDBD 一、填空题 1d 12lim 2,,x d x ax b a b →++=ｘ ｘ２ ２１ １、（ ）＝ ｘ+1 、求过点（２，０）的一条直线，使它与曲线ｙ＝ 相切。这条直线方程为： ｘ ２ ３、函数ｙ＝的反函数及其定义域与值域分别是： ２＋１４、ｙ拐点为：ｘ５、若则的值分别为： ｘ＋2x-3 1 In 1x + ; 2 322y x x =-; 3 2 log ,(0,1),1x y R x =-; 4(0,0) 5解：原式=11 (1)() 1m lim lim 2 (1)(3) 3 4 77,6 x x x x m x m x x x m b a →→-+++== =-++∴=∴=-= 二、判断题 1、 无穷多个无穷小的和是无穷小（ ） 2、 0 sin lim x x x →-∞+∞在区间（，）是连续函数（） 3、 0f"(x ）=0一定为f(x)的拐点（） 4、 若f(X)在0x 处取得极值，则必有f(x)在0x 处连续不可导（ ） 5、 设 函数ｆ(x)在 [] 0,1上二阶可导且 ' ()0A ' B ' (f x f f C f f <===-令（），则必有 1~5 FFFFT 三、计算题 1用洛必达法则求极限2 1 2 lim x x x e → 解：原式=2 2 2 1 1 1 3 3 2 (2)lim lim lim 12x x x x x x e e x e x x --→→→-===+∞- 2 若3 4 ()(10),''(0)f x x f =+求 解：3 3 2 2 3 3 3 3 2 3 2 2 3 3 4 3 2 '()4(10)312(10) ''()24(10)123(10)324(10)108(10)''()0 f x x x x x f x x x x x x x x x x f x =+?=+=?++??+?=?+++∴= 3 2 4 lim (cos )x x x →求极限 中南民族大学06、07微积分（下）试卷 及参考答案 06年A 卷 评分 阅卷人 1、已知22 (,)y f x y x y x +=-,则=),(y x f _____________. 2、已知,则= ?∞ +--dx e x x 0 21 ___________. π =? ∞ +∞ --dx e x 2 3、函数 22 (,)1f x y x xy y y =++-+在__________点取得极值. 4、已知y y x x y x f arctan )arctan (),(++=,则= ')0,1(x f ________. 5、以x e x C C y 321)(+=(21,C C 为任意常数)为通解的微分方程是 ____________________. 二、选择题(每小题3分,共15分) 评分 阅卷人 6 知dx e x p ?∞ +- 0 )1(与?-e p x x dx 1 1 ln 均收敛, 则常数p 的取值范围是( ). (A) 1p > (B) 1p < (C) 12p << (D) 2p > 7 数???? ?=+≠++=0 ,0 0 ,4),(222 22 2y x y x y x x y x f 在原点间断, 是因为该函数( ). (A) 在原点无定义 (B) 在原点二重极限不存在 (C) 在原点有二重极限,但无定义 (D) 在原点二重极限存在,但不等于函数值 8、若 2 2223 11 1x y I x y dxdy +≤= --?? ,22223212 1x y I x y dxdy ≤+≤=--??, 2 2223 324 1x y I x y dxdy ≤+≤=--?? ,则下列关系式成立的是( ). (A) 123I I I >> (B) 213I I I >> (C) 123I I I << (D) 213I I I << 9、方程x e x y y y 3)1(596+=+'-''具有特解( ). (A) b ax y += (B) x e b ax y 3)(+= (C) x e bx ax y 32)(+= (D) x e bx ax y 323)(+= 10、设∑∞ =12n n a 收敛，则∑∞ =-1) 1(n n n a ( ). (A) 绝对收敛 (B) 条件收敛 (C) 发散 (D) 不定 三、计算题(每小题6分,共60分) 评分 评分 评阅人 11、求由2 3x y =,4=x ,0=y 所围图形绕y 轴旋转的旋转体的体积. 微积分中10大经典问题 最初的想法来自大一，当时想效仿100个初等数学问题，整理出100个经典的 高等数学问题（这里高等数学按广义理解）。可惜的是3年多过去了，整理出 的问题不足半百。再用经典这把尺子一量，又扣去了一半。 这里入选原则是必须配得起“经典”二字。知识范围要求不超过大二数学系水平， 尽量限制在实数范围内，避免与课本内容重复。排名不分先后。 1）开普勒定律与万有引力定律互推。绝对经典的问题，是数学在实际应用中的光辉 典范，其对奠定数学科学女皇的地位起着重要作用。大家不妨试试，用不着太多的专业知识，不过很有挑战性。重温下牛顿当年曾经做过的事，找找当牛人的感觉吧，这个问题是锻炼数学能力的好题！ 2）最速降线问题。该问题是变分法中的经典问题，不少科普书上也有该问题。答案 是摆线（又称悬轮线），关于摆线还有不少奇妙的性质，如等时性。其解答一般变分书上均有。本问题的数学模型不难建立，即寻找某个函数，它使得某个积分取最小值。这个问题往深层次发展将进入泛函领域，什么是泛函呢？不好说，一个通俗的解释是“函数的函数”，即“定义域”不是区间，而是“一堆”函数。最速降线问题通过引 入光的折射定律可以直接化为常微分方程，大大简化了求解过程。不过变分法是对这类问题的一般方法，尤其在力学中应用甚广。 3）曲线长度和曲面面积问题。一条封闭曲线，所围面积是有限的，但其周长却可以 是无限的，比如02年高中数学联赛第14题就是这样一条著名曲线-----雪花曲线。 如果限制曲线是可微的，通过引入内折线并定义其上确界为曲线长度。但把这个方法搬到曲面上却出了问题，即不能用曲面的内折面的上确界来定义曲面面积。德国数学家H.A.Schwarz举出一个反例，说明即使像直圆柱面这样的简单的曲面，也可以具有面积任意大的内接折面。 4）处处连续处处不可导的函数。长久以来，人们一直以为连续函数除了有限个或可数无穷个点外是可导的。但是，魏尔斯特拉斯给出了一个函数表达式，该函数处处连续却处处不可导。这个例子是用函数级数形式给出的，后来不少人仿照这种构造方式给出了许多连续不可导的函数。现在教材中举的一般是范德瓦尔登构造的比较简单的例子。至于魏尔斯特拉斯那个例子，可以在齐民友的《重温微积分》中找到证明。其实上面那个雪花曲线也是一条处处连续处处不可导的曲线。 微积分试卷及答案 Company number：【WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998】 2009 — 2010 学年第 2 学期 课程名称 微积分B 试卷类型 期末A 考试形式 闭卷 考试时间 100 分钟 命 题 人 2010 年 6 月10日 使用班级 教研室主任 年 月 日 教学院长 年 月 日 姓 名 班 级 学 号 一、填充题（共5小题，每题3分，共计15分） 1.2 ln()d x x x =? . 2.cos d d x x =? . 3. 31 2d x x --= ? . 4.函数2 2 x y z e +=的全微分d z = . 5.微分方程ln d ln d 0y x x x y y +=的通解为 . 二、选择题（共5小题，每题3分，共计15分） 1.设()1x f e x '=+，则()f x = ( ). (A) 1ln x C ++ (B) ln x x C + (C) 2 2x x C ++ (D) ln x x x C -+ 2.设 2 d 11x k x +∞=+? ，则k = ( ). (A) 2π (B) 22π (C) 2 (D) 2 4π 3.设()z f ax by =+，其中f 可导，则（ ）. (A) z z a b x y ??=?? (B) z z x y ??= ?? (C) z z b a x y ??=?? (D) z z x y ??=- ?? 4.设点00(,)x y 使00(,)0x f x y '=且00(,)0 y f x y '=成立，则（ ） (A) 00(,)x y 是(,)f x y 的极值点 (B) 00(,)x y 是(,)f x y 的最小值点 (C) 00(,)x y 是(,)f x y 的最大值点 (D) 00(,)x y 可能是(,)f x y 的极值点 5.下列各级数绝对收敛的是（ ）． (A) 211(1)n n n ∞ =-∑ (B) 1 (1)n n ∞ =-∑ (C) 1 3(1)2n n n n ∞ =-∑ (D) 11(1)n n n ∞=-∑ 三、计算（共2小题，每题5分，共计10分） 1.2d x x e x ? 2.4 ? 四、计算（共3小题，每题6分，共计18分） 微积分期末试卷 一、选择题（6×２） cos sin 1.()2,()()22 ()()B ()()D x x f x g x f x g x f x g x C π ==1设在区间（0，）内（ ）。 Ａ是增函数，是减函数是减函数，是增函数二者都是增函数二者都是减函数 2x 1 n n n n 20cos sin 1n A X (1) B X sin 21C X (1) x n e x x n a D a π →-=--==>、x 时，与相比是（ ） Ａ高阶无穷小 Ｂ低阶无穷小 Ｃ等价无穷小 Ｄ同阶但不等价无价小３、ｘ=０是函数ｙ=（１-sinx)的（ ） Ａ连续点 Ｂ可去间断点 Ｃ跳跃间断点 Ｄ无穷型间断点４、下列数列有极限并且极限为１的选项为（ ）n 1 X cos n = 2 00000001 () 5"()() ()()0''( )<0 D ''()'()06x f x X X o B X o C X X X X y xe =<===、若在处取得最大值，则必有（ ）Ａf ＇f ＇f ＇且f f 不存在或f 、曲线（ ） Ａ仅有水平渐近线 Ｂ仅有铅直渐近线Ｃ既有铅直又有水平渐近线 Ｄ既有铅直渐近线 二、填空题 1 d 1 2lim 2,,x d x ax b a b →++=ｘｘ２ ２１１、（ ）＝ｘ+1 、求过点（２，０）的一条直线，使它与曲线ｙ＝相切。这条直线方程为： ｘ ２ ３、函数ｙ＝的反函数及其定义域与值域分别是： ２＋１ ｘ５、若则的值分别为： ｘ＋2x-3 三、判断题 1、 无穷多个无穷小的和是无穷小（ ） 2、 0sin lim x x x →-∞+∞在区间（，）是连续函数（） 3、 0f"(x ）=0一定为f(x)的拐点（） 4、 若f(X)在0x 处取得极值，则必有f(x)在0x 处连续不可导（ ） 5、 设 函 数 ｆ (x) 在 [] 0,1上二阶可导且 '()0A '0B '(1),(1)(0),A>B>C( )f x f f C f f <===-令（），则必有 四、计算题 1用洛必达法则求极限2 1 2 lim x x x e → 2 若34()(10),''(0)f x x f =+求 3 2 4 lim(cos )x x x →求极限 4 (3y x =-求 5 3tan xdx ? 五、证明题。 1、 证明方程3 10x x +-=有且仅有一正实根。 2、arcsin arccos 1x 12 x x π +=-≤≤证明（） 六、应用题 1、 描绘下列函数的图形 21y x x =+ 关于高等数学方法与典 型例题归纳 Company number：【0089WT-8898YT-W8CCB-BUUT-202108】 2014年山东省普通高等教育专升本考试 2014年山东专升本暑期精讲班核心讲义 高职高专类 高等数学 经典方法及典型例题归纳 —经管类专业：会计学、工商管理、国际经济与贸易、电子商务 —理工类专业：电气工程及其自动化、电子信息工程、机械设计制造及其 自动化、交通运输、计算机科学与技术、土木工程 2013年5月17日星期五 曲天尧 编写 一、求极限的各种方法 1．约去零因子求极限 例1：求极限1 1 lim 41--→x x x 【说明】1→x 表明1与x 无限接近，但1≠x ，所以1-x 这一零因子可以约去。 【解】6)1)(1(lim 1 ) 1)(1)(1(lim 2121=++=-++-→→x x x x x x x x =4 2．分子分母同除求极限 例2：求极限1 3lim 32 3+-∞→x x x x 【说明】 ∞ ∞ 型且分子分母都以多项式给出的极限,可通过分子分母同除来求。 【解】3131lim 13lim 3 11323= +-=+-∞→∞→x x x x x x x 【注】(1) 一般分子分母同除x 的最高次方； (2) ???? ???=<∞>=++++++----∞→n m b a n m n m b x b x b a x a x a n n m m m m n n n n x 0lim 01101 1 3．分子(母)有理化求极限 例3：求极限)13(lim 22+-++∞ →x x x 【说明】分子或分母有理化求极限，是通过有理化化去无理式。 【解】1 3) 13)(13(lim )13(lim 2 2 22222 2 +++++++-+=+-++∞ →+∞ →x x x x x x x x x x 例4：求极限3 sin 1tan 1lim x x x x +-+→ 【解】x x x x x x x x x x sin 1tan 1sin tan lim sin 1tan 1lim 3030+-+-=+-+→→ 【注】本题除了使用分子有理化方法外，及时分离极限式中的非零因子．．．．．．．．．．． 是解题的关 键 4．应用两个重要极限求极限 两个重要极限是1sin lim 0=→x x x 和e x n x x x n n x x =+=+=+→∞→∞→1 0)1(lim )11(lim )11(lim ，第一个重 要极限过于简单且可通过等价无穷小来实现。主要考第二个重要极限。 例5：求极限x x x x ?? ? ??-++∞→11lim 【说明】第二个重要极限主要搞清楚凑的步骤：先凑出１，再凑X 1 +，最后凑指数部分。 【解】22 212 12112111lim 121lim 11lim e x x x x x x x x x x x =???? ????????? ??-+???? ??+=??? ??-+=??? ??-+--+∞→+∞→+∞→ 微积分期末测试题及答 案 Document number：NOCG-YUNOO-BUYTT-UU986-1986UT 一 单项选择题(每小题3分,共15分) 1.设lim ()x a f x k →=,那么点x =a 是f (x )的( ). ①连续点 ②可去间断点 ③跳跃间断点 ④以上结论都不对 2.设f (x )在点x =a 处可导,那么0()(2)lim h f a h f a h h →+--=( ). ①3()f a ' ②2()f a ' ③()f a ' ④1()3f a ' 3.设函数f (x )的定义域为[-1,1],则复合函数f (sinx )的定义域为( ). ①(-1,1) ②,22ππ??-???? ③(0,+∞) ④(-∞,+∞) 4.设2 ()()lim 1()x a f x f a x a →-=-,那么f (x )在a 处( ). ①导数存在,但()0f a '≠ ②取得极大值 ③取得极小值 ④导数不存在 5.已知0lim ()0x x f x →=及( ),则0 lim ()()0x x f x g x →=. ①g (x )为任意函数时 ②当g (x )为有界函数时 ③仅当0lim ()0x x g x →=时 ④仅当0 lim ()x x g x →存在时 二 填空题(每小题5分,共15分) sin lim sin x x x x x →∞-=+. 31lim(1)x x x +→∞+=. 3.()f x =那么左导数(0)f -'=____________,右导数(0)f +'=____________. 三 计算题(1-4题各5分,5-6题各10分,共40分) 1.111lim()ln 1 x x x →-- 2.t t x e y te ?=?=? ,求22d y dx 3.ln(y x =,求dy 和22d y dx . 4.由方程0x y e xy +-=确定隐函数y =f (x ) ,求 dy dx . 5.设111 1,11n n n x x x x --==+ +,求lim n x x →∞. 学年第二学期期末考试试卷 课程名称：《高等数学》 试卷类别：A 卷 考试形式：闭卷 考试时间：120 分钟 适用层次： 适用专业； 阅卷须知：阅卷用红色墨水笔书写，小题得分写在每小题题号前，用正分表示，不 得分则在小题 大题得分登录在对应的分数框内；考试课程应集体阅卷，流水作业。 课程名称：高等数学A （考试性质：期末统考（A 卷） 一、单选题 （共15分，每小题3分） 1．设函数(,)f x y 在00(,)P x y 的两个偏导00(,)x f x y ，00(,)y f x y 都存在，则 ( ) A ．(,)f x y 在P 连续 B ．(,)f x y 在P 可微 C ． 0 0lim (,)x x f x y →及 0 0lim (,)y y f x y →都存在 D ． 00(,)(,) lim (,)x y x y f x y →存在 2．若x y z ln =，则dz 等于（ ）． ln ln ln ln .x x y y y y A x y + ln ln .x y y B x ln ln ln .ln x x y y C y ydx dy x + ln ln ln ln . x x y y y x D dx dy x y + 3．设Ω是圆柱面2 2 2x y x +=及平面01,z z ==所围成的区域，则 (),,(=??? Ω dxdydz z y x f ）． 21 2 cos .(cos ,sin ,)A d dr f r r z dz π θθθθ? ? ? 21 2 cos .(cos ,sin ,)B d rdr f r r z dz π θθθθ? ? ? 212 2 cos .(cos ,sin ,)C d rdr f r r z dz π θπθθθ-?? ? 21 cos .(cos ,sin ,)x D d rdr f r r z dz πθθθ?? ? 4． 4．若1 (1)n n n a x ∞ =-∑在1x =-处收敛，则此级数在2x =处（ ）． A ． 条件收敛 B ． 绝对收敛 C ． 发散 D ． 敛散性不能确定 5．曲线2 2 2x y z z x y -+=?? =+?在点（1，1，2）处的一个切线方向向量为（ ）. A. （-1，3，4） B.（3，-1，4） C. （-1，0，3） D. （3，0，-1） 二、填空题（共15分，每小题3分） 系(院)：——————专业：——————年级及班级：—————姓名：——————学号：————— ------------------------------------密-----------------------------------封----------------------------------线-------------------------------- 高等数学试题及答案文件排版存档编号：[UYTR-OUPT28-KBNTL98-UYNN208] 《 高等数学 》 一.选择题 1. 当0→x 时，)1ln(x y +=与下列那个函数不是等价的 （ ） A)、x y = B)、x y sin = C)、x y cos 1-= D)、1-=x e y 2. 函数f(x)在点x 0极限存在是函数在该点连续的（ ） A)、必要条件 B)、充分条件 C)、充要条件 D)、无关条件 3. 下列各组函数中，)(x f 和)(x g 不是同一函数的原函数的有（ ）. A)、()()() 222 1 ,21)(x x x x e e x g e e x f ---=-= B) 、(( )) ()ln ,ln f x x g x x ==- C)、()()x x g x x f --=-=1arcsin 23,12arcsin )( D)、()2 tan ,sec csc )(x x g x x x f =+= 4. 下列各式正确的是（ ） A ）、2ln 2x x x dx C =+? B ）、sin cos tdt t C =-+? C ）、2arctan 1dx dx x x =+? D ）、211 ()dx C x x -=-+? 5. 下列等式不正确的是（ ）. A ）、()()x f dx x f dx d b a =??????? B ）、()()()[]()x b x b f dt x f dx d x b a '=??????? C ）、()()x f dx x f dx d x a =??????? D ）、()()x F dt t F dx d x a '=????? ?'? 6. 0 ln(1)lim x x t dt x →+=?（ ） A ）、0 B ）、1 C ）、2 D ）、4 7. 设bx x f sin )(=，则=''?dx x f x )(（ ） A ）、C bx bx x +-sin cos B ）、C bx bx x +-cos cos 一、填空题(每小题3分,共15分) 1、已知2 )(x e x f =,x x f -=1)]([?,且0)(≥x ?,则=)(x ? . 答案：)1ln(x - 王丽君 解：x e u f u -==1)(2 ,)1ln(2x u -=,)1ln(x u -=. 2、已知a 为常数,1)12 ( lim 2=+-+∞→ax x x x ,则=a . 答案：1 孙仁斌 解：a x b a x ax x x x x x x x -=+-+=+-+==∞→∞→∞→1)11(lim )11( 1lim 1lim 022. 3、已知2)1(='f ,则=+-+→x x f x f x ) 1()31(lim . 答案：4 俞诗秋 解：4)] 1()1([)]1()31([lim 0=-+--+→x f x f f x f x 4、函数)4)(3)(2)(1()(----=x x x x x f 的拐点数为 . 答案：2 俞诗秋 解：)(x f '有3个零点321,,ξξξ:4321321<<<<<<ξξξ, )(x f ''有2个零点21,ηη:4132211<<<<<<ξηξηξ, ))((12)(21ηη--=''x x x f ,显然)(x f ''符号是：＋,－,＋,故有2个拐点. 5、=? x x dx 22cos sin . 答案：C x x +-cot tan 张军好 解：C x x x dx x dx dx x x x x x x dx +-=+=+=????cot tan sin cos cos sin sin cos cos sin 22222222 . 二、选择题(每小题3分,共15分) 答案： 1、 2、 3、 4、 5、 。 1、设)(x f 为偶函数,)(x ?为奇函数,且)]([x f ?有意义,则)]([x f ?是 (A) 偶函数； (B) 奇函数； (C) 非奇非偶函数； (D) 可能奇函数也可能偶函数. 答案：A 王丽君 2、0=x 是函数??? ??=≠-=.0 ,0 ,0 ,cos 1)(2x x x x x f 的 (A) 跳跃间断点； (B) 连续点； (C) 振荡间断点； (D) 可去间断点. 答案：D 俞诗秋 一 单项选择题(每小题3分,共15分) 1.设lim ()x a f x k →=,那么点x =a 是f (x )的( ). ①连续点 ②可去间断点 ③跳跃间断点 ④以上结论都不对 2.设f (x )在点x =a 处可导,那么0 ()(2) lim h f a h f a h h →+--=( ). ①3()f a ' ②2()f a ' ③()f a ' ④ 1()3f a ' 3.设函数f (x )的定义域为[-1,1],则复合函数f (sinx )的定义域为( ). ①(-1,1) ②, 2 2π π? ? - ???? ③(0,+∞) ④(-∞,+∞) 4.设2 ()()lim 1() x a f x f a x a →-=-,那么f (x )在a 处( ). ①导数存在,但()0f a '≠ ②取得极大值 ③取得极小值 ④导数不存在 5.已知0 lim ()0x x f x →=及( ),则0 lim ()()0x x f x g x →=. ①g (x )为任意函数时 ②当g (x )为有界函数时 ③仅当0 lim ()0x x g x →=时 ④仅当0 lim ()x x g x →存在时 二 填空题(每小题5分,共15分) 1.sin lim sin x x x x x →∞ -=+____________. 2.3 1lim (1) x x x +→∞ + =____________. 3.()f x = 那么左导数(0)f -'=____________,右导数(0)f +'=____________. 三 计算题(1-4题各5分,5-6题各10分,共40分) 1.1 11lim ( )ln 1 x x x →- - 2.t t x e y te ?=?=?,求2 2d y d x 3.ln (y x =+,求dy 和 2 2 d y d x . 4.由方程0x y e x y +-=确定隐函数y = f (x ) ,求d y d x . 5.设111 1,11n n n x x x x --==+ +,求lim n x x →∞ . 大一微积分期末试卷及 答案 Company number：【0089WT-8898YT-W8CCB-BUUT-202108】 微积分期末试卷 选择题（6×２） 1~6 DDBDBD 一、 填空题 1 In 1x + ; 2 322y x x =-; 3 2 log ,(0,1),1x y R x =-; 4(0,0) 5解：原式=11(1)()1m lim lim 2(1)(3)3477,6 x x x x m x m x x x m b a →→-+++===-++∴=∴=-= 二、 判断题 1、无穷多个无穷小的和是无穷小（ ） 2、若f(X)在0x 处取得极值，则必有f(x)在0x 处连续不可导（ ） 3、设函数ｆ(x)在[]0,1上二阶可导且 '()0A '0B '(1),(1)(0),A>B>C( )f x f f C f f <===-令（），则必有 1~5 FFFFT 三、 计算题 1用洛必达法则求极限21 20 lim x x x e → 解：原式=22211 1 33 0002(2)lim lim lim 12x x x x x x e e x e x x --→→→-===+∞- 2 若34()(10),''(0)f x x f =+求 解： 3 24 lim(cos )x x x →求极限 4 (3y x =-求 5 3tan xdx ? 6arctan x xdx ?求 四、 证明题。 1、证明方程310x x +-=有且仅有一正实根。 证明：设3()1f x x x =+- 2、arcsin arccos 1x 12 x x π +=-≤≤证明（） 五、 应用题 1、描绘下列函数的图形 3. 4.补充点7179(2,).(,).(1,2).(2,)2222 --- 50 lim (),()0x f x f x x →=∞∴=有铅直渐近线 6如图所示： 2.讨论函数22()f x x Inx =-的单调区间并求极值 由上表可知f(x)的单调递减区间为(,1)(0,1)-∞-和 单调递增区间为(1,0)1-+∞和（，） 且f(x)的极小值为f(-1)=f(1)=1 微积分练习册[第八章]多元函数微分学 习题8-1多元函数的基本概念 1.填空题： （1）若y x xy y x y x f tan ),(2 2 -+=，则___________),(=ty tx f （2）若xy y x y x f 2),(22+=，则(2,3)________,(1,)________y f f x -== （3）若)0()(2 2 y y y x x y f += ，则__________)(=x f （4）若2 2),(y x x y y x f -=+，则____________),(=y x f （5）函数) 1ln(4222y x y x z ---=的定义域是_______________ （6）函数y x z -= 的定义域是_______________ (7)函数x y z arcsin =的定义域是________________ （8）函数x y x y z 2222-+=的间断点是_______________ 2.求下列极限： （1）xy xy y x 4 2lim 0 0+-→→ (2)x xy y x sin lim 0→→ (3)2222220 0)()cos(1lim y x y x y x y x ++-→→ 3.证明0lim 2 2 ) 0,0(),(=+→y x xy y x 4.证明：极限0lim 2 42)0,0(),(=+→y x y x y x 不存在 5.函数?? ? ?? =≠+=(0,0)),( ,0)0,0(),(,1sin ),(22y x y x y x x y x f 在点（0，0）处是否连续？为什么 习题8-2偏导数及其在经济分析中的应用 1.填空题 （1）设y x z tan ln =，则 __________________,=??=??y z x z ; 第五章 一元函数积分学 例1：求不定积分sin3xdx ? 解：被积函数sin3x 是一个复合函数，它是由()sin f u u =和()3u x x ?==复合而成，因此，为了利用第一换元积分公式，我们将sin3x 变形为'1 sin 3sin 3(3)3x x x = ，故有 ' 111 sin 3sin 3(3)sin 3(3)3(cos )333 xdx x x dx xd x x u u C ===-+??? 1 3cos33 u x x C =-+ 例2：求不定积分 (0)a > 解：为了消去根式，利用三解恒等式2 2 sin cos 1t t +=，可令sin ()2 2 x a t t π π =- << ，则 cos a t ==，cos dx a dt =，因此，由第二换元积分法，所以积分 化为 2221cos 2cos cos cos 2 t a t a tdt a tdt a dt +=?==??? 2222cos 2(2)sin 22424a a a a dt td t t t C =+=++?? 2 (sin cos )2 a t t t C =++ 由于sin ()2 2 x a t t π π =- << ，所以sin x t a = ，arcsin(/)t x a =，利用直角三角形直接写 出cos t a == 邻边斜边，于是21arcsin(/)22a x a C =+ 例3：求不定积分sin x xdx ? 分析：如果被积函数()sin f x x x =中没有x 或sinx ，那么这个积分很容易计算出来，所以可以考虑用分部积分求此不定积分，如果令u=x ，那么利用分部积分公式就可以消去x （因为' 1u =） 解令,sin u x dv xdx ==，则du dx =，cos v x =-. 于是sin (cos )(cos )cos sin x xdx udv uv vdu x x x dx x x x C ==-=---=-++???? 。熟悉分部积分公式以后，没有必要明确的引入符号,u v ，而可以像下面那样先凑微分，然后直接用分部积分公式计算： sin cos (cos cos )cos sin x xdx xd x x x xdx x x x C =-=--=-++??? 大一高等数学期末考试试卷 （一） 一、选择题（共12分） 1. （3分）若2,0, (),0 x e x f x a x x ?<=?+>?为连续函数,则a 的值为( ). (A)1 (B)2 (C)3 (D)-1 2. （3分）已知(3)2,f '=则0 (3)(3) lim 2h f h f h →--的值为（ ）. (A)1 (B)3 (C)-1 (D) 12 3. （3 分）定积分22 π π -?的值为（ ）. (A)0 (B)-2 (C)1 (D)2 4. （3分）若()f x 在0x x =处不连续,则()f x 在该点处( ). (A)必不可导 (B)一定可导(C)可能可导 (D)必无极限 二、填空题（共12分） 1．（3分） 平面上过点(0,1)，且在任意一点(,)x y 处的切线斜率为23x 的曲线方程为 . 2. （3分） 1 2 4 1(sin )x x x dx -+=? . 3. （3分） 2 1lim sin x x x →= . 4. （3分） 3 2 23y x x =-的极大值为 . 三、计算题（共42分） 1. （6分）求2 ln(15)lim .sin 3x x x x →+ 2. （6 分）设1 y x = +求.y ' 3. （6分）求不定积分2ln(1).x x dx +? 4. （6分）求3 (1),f x dx -? 其中,1,()1cos 1, 1.x x x f x x e x ? ≤? =+??+>? 5. （6分）设函数()y f x =由方程0 cos 0y x t e dt tdt + =?? 所确定,求.dy 6. （6分）设2()sin ,f x dx x C =+?求(23).f x dx +? 7. （6分）求极限3lim 1.2n n n →∞? ?+ ?? ? 四、解答题（共28分） 1. （7分）设(ln )1,f x x '=+且(0)1,f =求().f x 2. （7分）求由曲线cos 2 2y x x π π?? =- ≤≤ ?? ? 与x 轴所围成图形绕着x 轴旋转一周所得旋 转体的体积. 3. （7分）求曲线3232419y x x x =-+-在拐点处的切线方程. 4. （7 分）求函数y x =+[5,1]-上的最小值和最大值. 五、证明题(6分) 设()f x ''在区间[,]a b 上连续,证明 1()[()()]()()().2 2 b b a a b a f x dx f a f b x a x b f x dx -''= ++ --? ? （二） 一、 填空题（每小题3分，共18分） 1．设函数()2 312 2 +--= x x x x f ，则1=x 是()x f 的第 类间断点. 2．函数()2 1ln x y +=，则= 'y . 3． =? ? ? ??+∞→x x x x 21lim . 4．曲线x y 1 = 在点?? ? ??2,21处的切线方程为 .同济大学高等数学1期末试题(含答案)
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