考点二图像变换的语言理解
典例2-1】．为了得到函数y ＝2x －
3－1的图像，只需把函数y ＝2x 的图像上所有的点( ) A ．向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度 B ．向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度 C ．向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度 D ．向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度
训练2-1-1】．函数f (x )的图象向右平移1个单位长度，所得图象与曲线y ＝e x 关于y 轴对称，则f (x )＝________．
解析 与y ＝e x 图象关于y 轴对称的函数为y ＝e －x ，依题意，f (x )图象向右平移一个单位，得y ＝e －x 的图象．∴f (x )的图象可由y ＝e －x 的图象向左平移一个单位得到．∴f (x )＝e －(x ＋1)＝e －x －1. 答案 e －x －1
考点三识图辨图
常用的方法
1、识图(1)定量计算法：通过图像上确定的点（能确定坐标的点），坐标适合函数式，代入列等式（方程），定量的计算来分析解决问题；
(2)定性分析法：图像的上升(或下降)的趋势，对称关系等，通过对问题进行定性（单调性、奇偶性等）的分析，从而得出利用这一特征分析解决问题；
(3)函数模型法：由所提供的图像特征，联想相关函数模型，利用这一函数模型来分析解决问题．
2、辨图(1)作出函数图像，对照选择
(2)定性分析法：通过对问题进行定性的分析，从而得出图像的上升(或下降)的趋势，利
用这一特征分析解决问题；或利用函数特殊点的正负、大小验证
典例3-1】.如图，函数f (x )的图像是曲线OAB ，其中点O ，A ，B 的坐标分别为(0,0)，(1,2)，(3,1)，则f ? ??
??
1f (3)的值等于________．
解析：∵由图像知f (3)＝1， ∴1
f (3)＝1.∴f ????1f (3)＝f (1)＝2.
答案：2
训练3-1-1】、已知指数函数)10()(≠>=a a a x f x
且的图象经过点（3，π），求
)1(),0(f f ，)3(-f 的值。
训练3-1-2】、若函数1
()3x f x a
-=+恒过定点P ，试求点P 的坐标。
解：将指数函数)10(≠>=a a a y x
且的图象沿x 轴右移一个单位，再沿y 轴上移3个单位即可得到1
()3x f x a
-=+的图象，因为x y a =的图象恒过（0，1），故相应的
1()3x f x a -=+恒过定点（1，4）。
训练3-1-2】．已知函数f (x )＝?
???
?
3－x 2，x ∈[－1，2]，x －3，x ∈(2，5].
(1)在如图所示给定的直角坐标系内画出f (x )的图像； (2)写出f (x )的单调递增区间；
(3)由图像指出当x 取什么值时f (x )有最值． 10．解：(1)函数f (x )的图像如图所示． (2)由图像可知，函数f (x )的单调递增区间为 [－1,0]，[2,5]． (3)由图像知当x ＝2时，
f (x )min ＝f (2)＝－1， 当x ＝0时，f (x )max ＝f (0)＝3.
训练3-1-3】． (2014·福建卷)若函数y ＝log a x (a ＞0，且a ≠1)的图象如图所示，
则下列函数图象正确的是( )
典例3-1-4】．(2014·山东卷)已知函数y ＝log a (x ＋c )(a ，c 为常数，其中a ＞0，a ≠1)的图象如图，则下列结论成立的是( )
A ．a ＞1，c ＞1
B ．a ＞1，0＜c ＜1
C ．0＜a ＜1，c ＞1
D ．0＜a ＜1，0＜c ＜1
解析 由题图可知，函数在定义域内为减函数，所以0＜a ＜1.又当x ＝0时，y ＞0，即log a c ＞0，所以0＜c ＜1. 答案 D
训练3-2-1】 (2014·佛山一模)函数f (x )＝?????
3x
，x ≤1，log 1
3
x ，x >1，则y ＝f (x ＋1)的图像大致是
( )
解析：选B 作出f (x )＝????
?
3x ，x ≤1，log 1
3
x ，x >1
的图像，如图．
再把f (x )的图像向左平移一个单位， 可得到y ＝f (x ＋1)的图像．故选B.
训练3-2-2】(2012·湖北高考)已知定义在区间[0,2]上的函数y ＝f (x )的图像如图所示，则y ＝－f (2－x )的图像为( )
(2)法一：由y ＝f (x )的图像知f (x )＝???
x (0≤x ≤1)，
1(1
当x ∈[0,2]时，2－x ∈[0,2]，所以f (2－x )＝?????
1(0≤x ≤1)，
2－x (1故y ＝－f (2－x )＝?????
－1(0≤x ≤1)，
x －2(1
法二：当x ＝0时，－f (2－x )＝－f (2)＝－1；当x ＝1时，－f (2－x )＝－f (1)＝－ 1.
观察各选项，可知应选B.
[训练3-2-3] (2013·福建高考)函数f (x )＝ln(x 2＋1)的图像大致是( )
[解析] (1)f (x )＝ln(x 2＋1)，x ∈R ， 当x ＝0时，f (0)＝ln 1＝0， 即f (x )过点(0,0)，排除B ，D.
∵f (－x )＝ln [(－x )2＋1]＝ln(x 2＋1)＝f (x )， ∴f (x )是偶函数，其图像关于y 轴对称，故选A. 考点四函数图像的应用
函数图像是函数的一种表达形式，它形象地揭示了函数的性质，为研究函数的数量关系提供了“形”的直观性.归纳起来图像的应用常见的命题角度有：
(1)确定方程根的个数； (2)求参数的取值范围； (3)求不等式的解集.
应用 一 确定方程根的个数
典例4-1】．(2014·日照一模)已知f (x )＝?
????
|lg x |，x >0，2|x |，x ≤0，则函数y ＝2f 2(x )－3f (x )＋1的零点
个数是________．
解析：方程2f 2(x )－3f (x )＋1＝0的解为f (x )＝1
2或1.作出y ＝f (x )的图像，由图像知零点的
个数为5.
答案：5
训练4-1-1】（2013年高考湖南（文））函数f(x)=㏑x 的图像与函数g(x)=x 2-4x+4
的图像的交点个数为______
（ ）
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
画图像【答案】C
训练4-1-2】（2011高考）函数()2ln f x x =的图像与函数()245g x x x =-+的图像的交点个数为
A.3
B.2
C.1
D.0 画图，二次最低点在对数之下【答案】B
应用二 求参数的取值范围
思路：1、先给参数一定值（如0））画出图像，再根据参数移动，确定参数（或相关式子）的范围
2、含参数方程问题可转化两函数交点（公共点问题）
典例4-2-1】、 若函数f (x )＝x 2－ax －a 在区间[0,2]上的最大值为1，则实数a 等于________．
讨论,画图,答案：1
训练4-2-1-1】.若log a 23<1, 则a 的取值范围是 分析：a >1, 画图
log a 23<0,满足;0< a <1,画图
y=1,y= log a x,x=
23时a =23；分析a 变化时满足的条件0故
03或a >1
训练4-2-1-2】.(2015·福建卷)若函数f (x )＝???－x ＋6，x ≤2，
3＋log a x ，x ＞2(a ＞0，且a ≠1)的值域
是[4，＋∞)，则实数a 的取值范围是________.
解析 由题意f (x )的图象如图，则?????a ＞1，
3＋log a 2≥4，∴1＜a ≤2.
答案 (1，2]
典例4-2-2】．已知函数f (x )＝2x ，x ∈R .当m 取何值时方程|f (x )－2|＝m 有一个解？两个解？
解：令F (x )＝|f (x )－2|＝|2x －2|， G (x )＝m ，
画出F (x )的图像如图所示．
由图像看出，当m ＝0或m ≥2时，函数F (x )与G (x )的图像只有一个交点，原方程有一个解；
当0函数F (x )与G (x )的图像有两个交点， 原方程有两个解．
训练4-2-2-1】 (2015·洛阳模拟)若函数f (x )＝???2x －a ，x ≤0，
ln x ，x ＞0有两个不同的零点，
则实数a 的取值范围是________.
解析 当x ＞0时，由f (x )＝ln x ＝0，得x ＝1. 因为函数f (x )有两个不同的零点，则当x ≤0时， 函数f (x )＝2x －a 有一个零点，令f (x )＝0得a ＝2x ， 因为0＜2x ≤20＝1，所以0＜a ≤1， 所以实数a 的取值范围是0＜a ≤1. 答案 (0，1]
训练4-2-2-2】.(2015·山东卷)设函数f (x )＝???3x －1，x ＜1，
2x ，x ≥1，则满足f (f (a ))＝2f (a )的a
取值范围是( ) A.??????23，1 B.[0，1] C.????
??
23，＋∞
D.[1，＋∞)
解析 当a ＝2时，f (a )＝f (2)＝22＝4＞1，f (f (a ))＝2f (a )，∴a ＝2满足题意，排除A ，B 选项；当a ＝23时，f (a )＝f ? ????
23＝3×23－1＝1，f (f (a ))＝2f (a )，∴a ＝23满足题
意，排除D 选项，故答案为C. 答案 C
典例4-2-3】（2010全国卷1理数）(15)直线1y =与曲线2y x x a =-+有四个交
点，则a 的取值范围是 . 解：
交点---方程根---分参---画图，
训练4-2-3-1】．已知函数f (x )＝???2，x >m ，
x 2＋4x ＋2，x ≤m 的图象与直线y ＝x 恰有三个
公共点，则实数m 的取值范围是( ) A ．(－∞，－1] B ．[－1，2) C ．[－1，2] D ．[2，＋∞)
解析 法一 特值法，令m ＝2，排除C ，D ，令m ＝0，排除A ，故选B. 法二 令x 2＋4x ＋2＝x ，解得x ＝－1或x ＝－2， 所以三个解必须为－1，－2和2， 所以有－1≤m <2.故选B. 答案 B
训练4-2-3-2】．【2012高考真题天津理14】已知函数1
12--=
x x y 的图象与函数
2-=kx y 的图象恰有两个交点，则实数k 的取值范围是_________.
讨论去绝对值并画图,直线过定点(0,-2),注:动直线要么过定点,要么平行【答案】10<训练4-2-3-3】．对实数a 和b ，定义运算“?”：a ?b ＝?
????
a ，a －
b ≤1，
b ，a －b >1.设函数f (x )＝(x 2
－2)?(x －1)，x ∈R.若函数y ＝f (x )－c 的图像与x 轴恰有两个公共点，则实数c 的取值范围是( )
A ．(－1,1]∪(2，＋∞)
B ．(－2，－1]∪(1,2]
C ．(－∞，－2)∪(1,2]
D ．[－2，－1]
解析：选B ∵a ?b ＝?
????
a ，a －
b ≤1，
b ，a －b >1，
∴函数f (x )＝(x 2－2)?(x －1)
＝?
????
x 2－2，－1≤x ≤2，
x －1，x <－1或x >2.
结合图像可知，当c ∈(－2，－1]∪(1,2]时，函数f (x )与y ＝c 的图像有两个公共点， ∴c 的取值范围是(－2，－1]∪(1,2]．
应用三 求不等式的解集
典例4-3】、求不等式)10(147
2≠>>--a a a a
x x 且中x 的取值范围。
解：当a > 1时，函数x
y a =在R 上是增函数，所以
274127413x x a a x x x -->?->-?<-；
当0 < a < 1时，函数x
y a =在R 上是减函数，所以
274127413x x a a x x x -->?-<-?>-。
训练4-3-1】．函数f (x )是定义在[－4,4]上的偶函数，其在[0,4]上的图像如图所示，那么不等式
f (x )
cos x
<0的解集为________． 解析：在????0，π
2上y ＝cos x >0， 在????
π2，4上y ＝cos x <0.
由f (x )的图像知在????1，π2上f (x )
cos x <0， 因为f (x )为偶函数，y ＝cos x 也是偶函数， 所以y ＝f (x )
cos x
为偶函数，
所以f (x )
cos x
<0的解集为????－π2，－1∪????1，π2.
答案：????－π2，－1∪???
?1，π2 训练4-3-2】.(2015·北京卷)如图，函数f (x )的图象为折线ACB ，
则不等式f (x )≥log 2(x ＋1)的解集是( ) A.{x |－1＜x ≤0} B.{x |－1≤x ≤1} C.{x |－1＜x ≤1} D.{x |－1＜x ≤2}
解析 如图，由图知：f (x )≥log 2(x ＋1)的解集为{x |－1
作业
1、 (1)(2015·安徽卷)函数f (x )＝ax ＋b
（x ＋c ）2
的图象如图所示，则
下列结论成立的是( ) A.a >0，b >0，c <0 B.a <0，b >0，c >0 C.a <0，b >0，c <0 D.a <0，b <0，c <0
解析 (1)函数定义域为{x |x ≠－c }，结合图象知－c ＞0，∴c ＜0；令x ＝0，得f (0)＝b c 2，又由图象知f (0)＞0，∴b ＞0；令f (x )＝0，得x ＝－b a ，结合图象知－b
a ＞0，∴a ＜0.故选C.
2、 (2015·成都诊断)已知f (x )＝2x －1，g (x )＝1－x 2，规定：当|f (x )|≥g (x )时，h (x )＝|f (x )|；当|f (x )|＜g (x )时，h (x )＝－g (x )，则h (x )( ) A.有最小值－1，最大值1 B.有最大值1，无最小值 C.有最小值－1，无最大值
D.有最大值－1，无最小值
解析 由题意得，利用平移变化的知识画出函数|f (x )|，g (x )的图象如图，而h (x )＝?????|f （x ）|，|f （x ）|≥g （x ），－g （x ），|f （x ）|＜g （x ），
故h (x )有最小值－1，无最大值. 答案 C
3、.(2015·福建卷)若函数f (x )＝???－x ＋6，x ≤2，
3＋log a x ，x ＞2(a ＞0，且a ≠1)的值域是[4，＋
∞)，则实数a 的取值范围是________.
解析 由题意f (x )的图象如图，则?????a ＞1，
3＋log a 2≥4，∴1＜a ≤2.
答案 (1，2]
4.函数f (x )＝log 2x －1
x 的零点所在的区间为( ) A.? ?
?
??0，12 B.? ??
??
12，1 C.(1，2)
D.(2，3)
解析 函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，且函数f (x )在(0，＋∞)上为增函数. f ? ??
??
12＝log 212－112＝－1－2＝－3＜0，f (1)＝log 21－11＝0－1＜0， f (2)＝log 22－12＝1－12＝12＞0，f (3)＝log 23－13＞1－13＝2
3＞0，即f (1)·f (2)＜0，
∴函数f (x )＝log 2x －1
x 的零点在区间(1，2)内. 答案 C
5、 (2015·南阳模拟)已知函数f (x )＝1
x ＋2
－m |x |有三个零点，则实数m 的取值范围为________.
解析 函数f (x )有三个零点等价于方程1
x ＋2
＝m |x |有且仅有三个实根.
∵1x ＋2
＝m |x |?1m ＝|x |(x ＋2)，作函数y ＝|x |(x ＋2)的图象，如图所示，由图象可知
m 应满足0＜1
m ＜1，故m ＞1. 答案 (1，＋∞)
6.(2014·山东卷)已知函数f (x )＝|x －2|＋1，g (x )＝kx .若方程f (x )＝g (x )有两个不相等的实根，则实数k 的取值范围是( ) A.? ?
???0，12
B.? ????
12，1 C.(1，2)
D.(2，＋∞)
解析 由f (x )＝g (x )，∴|x －2|＋1＝kx ，即|x －2|＝kx －1，所以原题等价于函数y ＝|x －2|与y ＝kx －1的图象有2个不同交点.如图：∴y ＝kx －1在直线y ＝x －1与y ＝12x －1之间，∴1
2＜k ＜1，故选B. 答案 B
