2018届北师大版(理) 选修内容(几何证明选讲、极坐标与参数方程、不等式选讲) 检测卷

总分 _______ 时间 _______ 班级 _______ 学号 _______ 得分______

（一） 选择题（12*5=60分）

1.关于x 的不等式|x ﹣1|+|x ﹣2|≤a 2

+a+1的解集为空集，则实数a 的取值范围是( )

A ．（﹣1，0）

B ．（﹣1，2）

C ．﹣1，0]

D ．﹣1，2） 【答案】A

2.在极坐标方程中，曲线 C 的方程是

，过点(4, π/6)作曲线C 的切线，切线长为 （ ）

Ａ．4 Ｂ．7 Ｃ． 2 2 Ｄ． 3 2

【答案】C

3.直线???+=+=t

y t x 121的倾斜角等于（ ）

.A 6π

.B 3π

.C 2

1arctan .D 2arctan 【答案】A

4.若关于x 的不等式a x x ?+++32的解集为?，则实数a 的取值范围为（ ）

A ．(]1,∞-

B ．()1,∞-

C ．(]5,∞-

D ．()5,∞- 【答案】C

5.以平面直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取

相同的长度单位，已知直线l的参数方程是（t为参数），曲线C的极坐标方程是ρsin2θ=3cosθ，则直线l被曲线C截得的弦长为( )

A． B．6 C．12 D．7

【答案】C

6.若关于实数x的不等式|x﹣5|+|x+3|＜a无解，则实数a的取值范围是( )

A．（﹣∞，8] B．（﹣∞，8）C．（8，+∞）D．8，+∞）

【答案】A

【解析】

由于|x﹣5|+|x+3|表示数轴上的x对应点到5和﹣3对应点的距离之和，其最小值为8，再由关于实数x的不等式|x﹣5|+|x+3|＜a无解，可得a≤8，故选A．

7.在极坐标系中，直线与直线关于极轴对称，则直线l的方程为( )

A ．

B ．

C ．

D ．

【答案】A 【解析】，

得其直角坐标方程为：x ﹣2y=1

关于x 轴对称后的曲线方程为x+2y=1 ∴关于极轴的对称曲线的极坐标方程为

故选A ．

8.在极坐标系中，点（2，﹣）到圆ρ=﹣2cos θ的圆心的距离为（ ）

A ． 2

B ．

C ．

D ．

【答案】D

9.已知直线（t 为参数）与曲线M ：ρ=2cosθ交于P ，Q 两点，则|PQ|=（

）

A ． 1

B ．

C ． 2

D ．

【答案】C

10. 已知关于x 的不等式18x x a --+≥的解集不是空集，则的取值范围是( )

A. 9a ≤-

B. 7a ≥

几何证明选讲(教师版)

B C D O A P 1.如图，点P 在圆O 直径AB 的延长线上， 且PB=OB=2,PC 切圆O 于C 点，CD ⊥AB 于D 点，则PC= ， CD= . 2．如图，AB 是⊙O 的直径，P 是AB 延长线上的一点，过P 作⊙O 的切线，切点为C ， ,32=PC 若∠CAP ＝30°，则⊙O 的直径AB ＝___________ 答案4 3．已知圆O 的半径为3，从圆O 外一点A 引切线AD 和割线ABC ，圆心O 到AC 的距离为22，3AB =，则切线AD 的长为 _____。 解：依题意，BC =，∴AC =5，2 AD =.AB AC =15， ∴AD =15 4．如图，PA 切O 于点A ，割线PBC 经过圆心O ，OB=PB=1, OA 绕点O 逆时针旋转60°到OD ，则PD 的长为 . 解：∵PA 切O 于点A ，B 为PO 中点，∴AB=OB=OA, ∴60AOB ∠= ,∴120POD ∠= , 在 △ POD 中 由 余 弦 定 理 ， 得 2222cos PD PO DO PO DO POD =+-?∠=1 414()72 +-? -= ∴PD 5．如图，在⊙O 中，AB 为直径，AD 为弦，过B 点的切线与AD AD=DC ，则 sin ∠ACO=_________ 解：由条件不难得ABC ?为等腰直角三角形，设圆的半径为1，则1OB =，2BC =， OC =

sin BCO ∠= = ，s co BCO ∠= ∴ sin ∠ACO=0sin(45BCO -∠）=1010 6．如图，PT 是O 的切线，切点为T ，直线PA 与O 交于A 、B 两点，TPA ∠的平分线分别交直线TA 、 TB 于D 、E 两点，已知2PT =，PB =，则PA = ， TE AD = ． ； 7．已知AB 是圆O 的直径，EF 切圆O 于C ，AD ⊥EF 于D ，AD ＝2，AB ＝6，则AC 长为_______. 、23； 8．已知AB 是半圆O 的直径，点C 在半圆上，CD AB ⊥于点D ，且4AD DB =，设 COD θ∠=，则cos 2θ＝ ． 解：()44,AD DB OC OD OC OD =∴+=- 即35OC OD =， 22 2 37cos 22cos 12121525OD OC θθ???? =-=?-=?-=- ? ? ???? 9．如图，圆O 是 ABC ?的外接圆，过点C 的切线交AB 的延长线于点D ，CD =3AB BC ==。则BD 的长______________ ， AC 的长______________． 4，； 10．如图，⊙O 的直径AB =6cm ，P 是AB 延 长线上的一点，过P 点作⊙O 的切线，切点为C ，连接AC ， 若CPA ∠=30°，PC = 。 解：连接OC ，PC 是⊙O 的切线，∴∠OCP=Rt ∠． ∵CPA ∠=30°，OC= 2AB =3， ∴0 3tan 30PC =，即PC= 11．如右图所示，AB 是圆O 的直径， AD DE =，10AB =，8BD =，则cos BCE ∠= ． 35 12．如图：PA 与圆O 相切于A ，PCB 为圆O 的割线， P

高中数学极坐标与参数方程大题(详解)

参数方程极坐标系 解答题 1．已知曲线C：+=1，直线l：（t为参数） （Ⅰ）写出曲线C的参数方程，直线l的普通方程． （Ⅱ）过曲线C上任意一点P作与l夹角为30°的直线，交l于点A，求|PA|的最大值与最小值． +=1 ， ， 的距离为 则 取得最小值，最小值为 2．已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点处，极轴与x轴的正半轴重合，直线l的极坐标方程为： ，曲线C的参数方程为：（α为参数）． （I）写出直线l的直角坐标方程； （Ⅱ）求曲线C上的点到直线l的距离的最大值． 的极坐标方程为： cos=

∴ y+1=0 （ d= 的距离的最大值． 3．已知曲线C1：（t为参数），C2：（θ为参数）． （1）化C1，C2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线； （2）若C1上的点P对应的参数为t=，Q为C2上的动点，求PQ中点M到直线C3：（t为参数）距离的最小值． ：（化为普通方程得：+ t=代入到曲线 sin =，），﹣

4．在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立直角坐标系，圆C的极坐标方程为 ，直线l的参数方程为（t为参数），直线l和圆C交于A，B两点，P是圆C 上不同于A，B的任意一点． （Ⅰ）求圆心的极坐标； （Ⅱ）求△PAB面积的最大值． 的极坐标方程为，把 ，利用三角形的面积计算公式即可得出． 的极坐标方程为，化为= 把 ∴圆心极坐标为； （t ， = 距离的最大值为 5．在平面直角坐标系xoy中，椭圆的参数方程为为参数）．以o为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为．求椭圆上点到直线距离的最大值和最小值．

北师大版数学中考专题复习几何专题

北师大版数学中考专题复习——几何专题 【题型一】考察概念基础知识点型 例1如图1，等腰△ABC 的周长为21，底边BC ＝ 5，AB 的垂直平分线是DE ，则△BEC 的周长为 。 例2 如图2，菱形ABCD 中，60A ∠=°，E 、F 是AB 、AD 的中点，若2EF =，菱形边长是______． 图 1 图 2 图3 例3 （切线）已知AB 是⊙O 的直径，PB 是⊙O 的切线，AB ＝3cm ，PB ＝4cm ，则BC ＝ ． 【题型二】折叠题型：折叠题要从中找到对就相等的关系，然后利用勾股定理即可求解。 例4（09绍兴）D E ，分别为AC ，BC 边的中点，沿DE 折叠，若48CDE ∠=°，则APD ∠等于 。 例5如图4.矩形纸片ABCD 的边长AB =4，AD =2．将矩形纸片沿 EF 折叠， 使点A 与点C 重合，折叠后在其 一面着色（图），则着色部分的面积为（ ） A ． 8 B ． 11 2 C ． 4 D ．52 图4 图5 图6 【题型三】涉及计算题型：常见的有应用勾股定理求线段长度，求弧长，扇形面积及圆锥体积，侧面积，三角函数计算等。 例6如图3，P 为⊙O 外一点，PA 切⊙O 于A ，AB 是⊙O 的直径，PB 交⊙O 于C ， PA ＝2cm ，PC ＝1cm,则图中阴影部分的面积S 是 （ ） A. 2235cm π- B 2435cm π- C 24235cm π- D 22 32cm π - 图3 【题型四】证明题型： （一）三角形全等 【判定方法1：SAS 】 例 1 （2011广州）如图，AC 是菱形ABCD 的对角线，点E 、F 分别在边 AB 、AD 上，且 AE=AF 。 求证：△ACE ≌△ACF A D F E

高中数学选修 几何证明选讲相关知识点

高中数学选修4-4，几何证明选讲相关 知识点 相似三角形的判定及有关性质 知识点1：比例线段的有关定理 平行线等分线段定理： 推论1： 推论2： 平行线等分线段成比例定理： 推论：(1) (2)平行于三角形一边并且和其它两边相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形三边对应成比例． 定理：如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形第三边． 知识点2：相似图形 1、相似三角形的定义：对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形. 叫做相似比（或相似系数） 2、相似三角形的判定方法 预备定理：平行于三角形一边并且和其它两边相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形三边对应成比例． 定理的基本图形语言：

数学符号语言表述是：BC DE // ∴ADE ∽ABC ． 判定定理1：如果一个三角形的两个角分别与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似．简述为：两角对应相等，两三角形相似. 判定定理2：如果一个三角的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似．简述为：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似. 判定定理3：如果一个三角形的三条边分别与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似．简述为：三边对应成比例，两个三角形相似. 判定定理4：直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形都相似． 三角形相似的判定方法与全等的判定方法的联系列表如下： 从表中可以看出只要将全等三角形判定定理中的“对应边相等”的条件改为“对应边成比例”就可得到相似三角形的判定定理，这就是我们数学中的用类比的方法，在旧知识的基础上找出新知识并从中探究新知识掌握的方法. 3、相似三角形的性质定理： （1）相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于 ； （2）相似三角形的周长比等于 ； （3）相似三角形的面积比等于 ； （4）相似三角形内切圆与外接圆的直径比、周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方. 4、直角三角形的射影定理 从一点向一直线所引垂线的垂足，叫做这个点在这条直线上的正射影；一条线段在直线上的正射影，是指线段的两个端点在这条直线上的正射影间的线段. 点和线段的正射影简称为射影 直角三角形的射影定理：

极坐标几何意义解题资料

几何意义解题 1、（距离最值） 1．在直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知曲线 12cos :3sin x C y αα=-+??=+?（α为参数） ，28cos :x C y θ θ =???=??（θ为参数）． （1）将12,C C 的方程化为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线； （2）若1C 上的点P 对应的参数为2 π α= ，Q 为2C 上的动点，求PQ 中点M 到直线l ： cos 3πρθ?? - = ?? ? 的距离的最大值． 2．已知曲线C 的极坐标方程为2sin cos 10ρθρθ+=，曲线13cos :2sin x C y α α =??=?（α为参数）． （1）求曲线1C 的普通方程； （2）若点M 在曲线1C 上运动，试求出M 到曲线C 的距离的最小值． 3．在直角坐标系xOy 中，圆O 的参数方程为cos 2sin 2 x r y r θθ? =-+?? ? ?=+?? ，（θ为参数，0r >）．以O 为极点，x 轴正半轴为极轴，并取相同的单位长度建立极坐标系，直线l 的极坐标方程 为 sin 42 πρθ?? + = ? ? ?．写出圆心的极坐标，并求当r 为何值时，圆O 上的点到直线l 的最大距离为3．

4．在直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系。已知曲线C 1的极坐 l （Ⅰ）写出曲线C 1与直线l 的直角坐标方程； （Ⅱ）设Q 为曲线C 1上一动点，求Q 点到直线l 距离的最小值。 5．已知曲线1C 1C 经过坐标变换2x x y '=??? ' =??得到曲线2C ，直线l 的参数方程为2()x t y t R ?=?∈?? ?=??为参数， （Ⅰ）求直线l 的普通方程和曲线1C 的直角坐标方程； （Ⅱ）若P 为曲线2C 上的点，求点P 到直线l 的距离的最大值。 6．在平面直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，已知圆C 的极坐标方程为)4 cos(2π θρ+ =a )0(>a 。 OA 为圆C 的直径，求点A 的极坐标； （Ⅱ）直线l 的参数方程是???==t y t x 42（t 为参数），直线l 被圆C 截得的弦长为d ，若2≥d ，求a 的 取值范围。

初中数学几何知识点总结北师大版(供参考)

初中数学（几何）知识点总结 考点六、投影与视图 1、投影 投影的定义：用光线照射物体，在地面上或墙壁上得到的影子，叫做物体的投影。 平行投影：由平行光线（如太阳光线）形成的投影称为平行投影。 中心投影：由同一点发出的光线所形成的投影称为中心投影。 2、视图 当我们从某一角度观察一个实物时，所看到的图像叫做物体的一个视图。物体的三视图特指主视图、俯视图、左视图。 主视图：在正面内得到的由前向后观察物体的视图，叫做主视图。 俯视图：在水平面内得到的由上向下观察物体的视图，叫做俯视图。 左视图：在侧面内得到的由左向右观察物体的视图，叫做左视图，有时也叫做侧视图。 第九章三角形 考点一、三角形 1三角形的概念：由不在同意直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。组成三角形的线段叫做三角形的边；相邻两边的公共端点叫做三角形的顶点；相邻两边所组成的角叫做三角形的内角，简称三角形的角。 2、三角形中的主要线段 （1）三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点间的线段叫做三角形的角平分线。 （2）在三角形中，连接一个顶点和它对边的中点的线段叫做三角形的中线。 （3）从三角形一个顶点向它的对边做垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线（简称三角形的高）。 3、三角形的稳定性：三角形的形状是固定的，三角形的这个性质叫做三角形的稳定性。三角形的这个性质在生产生活中应用很广，需要稳定的东西一般都制成三角形的形状。 4、三角形的特性与表示 三角形有下面三个特性： （1）三角形有三条线段 （2）三条线段不在同一直线上三角形是封闭图形 （3）首尾顺次相接 三角形用符号“?”表示，顶点是A、B、C的三角形记作“?ABC”，读作“三角形ABC”。 5、三角形的分类 三角形按边的关系分类如下： 不等边三角形 三角形底和腰不相等的等腰三角形 等腰三角形 等边三角形 三角形按角的关系分类如下： 直角三角形（有一个角为直角的三角形） 三角形锐角三角形（三个角都是锐角的三角形） 斜三角形 钝角三角形（有一个角为钝角的三角形） 把边和角联系在一起，我们又有一种特殊的三角形：等腰直角三角形。它是两条直角边相等的直角三角形。 6、三角形的三边关系定理及推论 （1）三角形三边关系定理：三角形的两边之和大于第三边。推论：三角形的两边之差小于第三边。 （2）三角形三边关系定理及推论的作用： ①判断三条已知线段能否组成三角形。②当已知两边时，可确定第三边的范围。③证明线段不等关系。 7、三角形的内角和定理及推论 三角形的内角和定理：三角形三个内角和等于180°。

高中数学-几何证明选讲知识点汇总与练习(内含答案)

高中数学-《几何证明选讲》知识点归纳与练习（含答案） 一、相似三角形的判定及有关性质 平行线等分线段定理 平行线等分线段定理：如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等。 推理1:经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边。 推理2 :经过梯形一腰的中点，且与底边平行的直线平分另一腰。 平分线分线段成比例定理 平分线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例。 推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例。 相似三角形的判定及性质 相似三角形的判定： 定义：对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形。相似三角形对应边的比值叫做相似比（或相似 系数）。 由于从定义岀发判断两个三角形是否相似，需考虑6个元素，即三组对应角是否分别相等，三组对应边是否分别成比例，显然比较麻烦。所以我们曾经给岀过如下几个判定两个三角形相似的简单方法： （1 ）两角对应相等，两三角形相似； （2 ）两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似； （3 ）三边对应成比例，两三角形相似。 预备定理：平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与三角形相似。 判定定理1 :对于任意两个三角形，如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三 角形相似。简述为：两角对应相等，两三角形相似。 判定定理2 :对于任意两个三角形，如果一个三角形的两边和另一个三角形的两边对应成比例，并且夹角相等， 那么这两个三角形相似。简述为：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似。 判定定理3 :对于任意两个三角形，如果一个三角形的三条边和另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个 三角形相似。简述为：三边对应成比例，两三角形相似。 引理：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边定理：（1）如果两个直角三角形有一个锐角对应相等，那么它们相似；

几何证明选讲

1.如图4所示,圆O的直径AB=6, C为圆周上一点，BC=3过C作 圆的切线I ,过A作I的垂线AD垂足为D，则/ DAC=（） A 15 B. 30 C 45 D. 60 C 66cm D. 99cm 【解析】由弦切角定理得◎，戈AD丄匚故如C二3兀 故选& 2?在肋URC中，CD、CE分别是斜边朋上的高和中线，是该图中共有x个三甬形与WC相僦则“（） A.0 B. 1 C.2 D. 3【解析】2个;AACD和人仙此故选U 3. 一个圆的两眩相交，一条眩被分为辽和辽ea两段.另一弦被分为3:乳则另一 弦的长为〔） XL 1 lrw B. 33ci^ 【解析】设另一弦被分的两段长分别为魏昭L叽由相交弦定理得 3Jl?jt=12kL83解得k = h故所求弦长为3Jt+8/t =llJt = 33 COT.故选 B. 4?如图」在ilSC和AZZSE孔一=—=—=-,若3C与D￡ BE DE 3 M)￡E^周长之差为Wm,则WC的周长为( 25 「0 S .?_、cm U —cm ■+ ~ 3 几20 cm D. 25 cm 【解祈】利用相似三角形的村似比等于周长比可得答峯良 5. Zl O的割线PAB交心O于凤月两点，割线PCD经过圆心】已知 __ ______ 22 3 ,则00的半径为（） PA 6,PO 12, AB A.4 C.6 .14 D8 【解析】U O 22 半径为r,由割线定理有6（622）（12 r）（12 r） 6.如图，AB是半圆0的直径，点C在半圆上，CD AB于点D ,

tan2— 且AD 3DB ,设COD ,则2 =（） 1 1 A. 3 B. 4 C. 4 2y/3 D 3 Off析】设半径为九则AD^-r.BD^丄儿由CD1 AD得= 从而 2 2 2 0 = —.ifctan2—= 3 2 3 匸在辺?中，D=E分别为AB=ACh的点，且DE^BC3 MDE的面积是曲,梯^DBCE的面积为弘存，则C的值为〔） A1;击 B.1;2 G 1;3 D. 1:4 【解折】仙丘-WC、和用面积比等于相似比的平方可得答案良 8. 半径分别为1和2的两圆外切，作半径为3的圆与这两圆均相切，一共可作（）个. A.2 B3 C.4 D5 【解析】一共可作5个，其中均外切的2个，均内切的1个，一外切一内切的2个，故选D. 9. 如图甲，四边形ABCD是等腰梯形，AB//CD .由4个这样的 等腰梯形可以拼出图乙所示的平行四边形 则四边形ABCD中A度数为（）

选修4-1几何证明选讲习题一

F E D C B A E C B A 选修4-1 几何证明选讲习题一 相似三角形的判定及有关性质 1、如图4-1-1，已知在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，若AC=6，DB=5，则 图4-1-3 2、如图4-1-2，已知在△ABC中，∠C=90°，正方形CDEF内接于△ABC，AC=1，BC=2，则AF与FC比值为； 3、如图4-1-3，在直角梯形ABCD中，DC//AB，CB⊥AB，AB=AD=2CD=a，点E、F分别为线段AB、AD的中点，则EF= ； 4、在△ABC中，点D在边BC上，∠BAC=∠ADC，AC=8，BC=16，则CD= ； 5、在梯形ABCD中，上底AB的长为2，下底CD的长为6，对角线AC和BD相交于点P，（1）若P A的长为4，则PC的长为，（2）△P AB与△PCD的面积比为； 6、如图4-1-4，在△ABC中，AD//BC，连接DB，E是边AB上一点，过E作EG//BC， 分别与DB、AC相交于F、G，若AD=6，BC=9， 3 2 = AE ，则FG的长为； 图4-1-6 7、如图4-1-5，△ABC是一块锐角三角形钢板，边BC=12cm，边BC上的高AH=8cm，由它截出一个正方形DEFG，D、E在边BC上，G、F分别在边AB、AC上，则正方形DEFG的边长为cm； 8、如图4-1-6，在△ABC中，AB=AC，若边BC上的高AD=10，边AC上的高AD=12. （1）求证： 3 5 = BD AB ；（2）求△ABC的周长。 2021年1月21日星期四

a 答案：1、4；2、0.5；3、 ；4、4；5、（1）12，（2）1：8；6、4；7、4.8；8、9、10、 2

极坐标和参数方程知识点典型例题及其详解(供参考)

极坐标和参数方程知识点+典型例题及其详解 知识点回顾 （一）曲线的参数方程的定义： 在取定的坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x 、y 都是某个变数t 的函数，即 ???==) ()(t f y t f x 并且对于t 每一个允许值，由方程组所确定的点M （x ，y ）都在这条曲线上，那么方程组就叫做这条曲线的参数方程，联系x 、y 之间关系的变数叫做参变数，简称参数． （二）常见曲线的参数方程如下： 1．过定点（x 0，y 0），倾角为α的直线： αα sin cos 00t y y t x x +=+= （t 为参数） 其中参数t 是以定点P （x 0，y 0）为起点，对应于t 点M （x ，y ）为终点的有向线段PM 的数量，又称为点P 与点M 间的有向距离． 根据t 的几何意义，有以下结论． ○ 1．设A 、B 是直线上任意两点，它们对应的参数分别为t A 和t B ，则AB ＝A B t t -＝B A A B t t t t ?--4)(2． ○ 2．线段AB 的中点所对应的参数值等于2 B A t t +． 2．中心在（x 0，y 0），半径等于r 的圆： θθ sin cos 00r y y r x x +=+= （θ为参数） 3．中心在原点，焦点在x 轴（或y 轴）上的椭圆： θθsin cos b y a x == （θ为参数） （或 θ θsin cos a y b x ==） 中心在点（x0,y0）焦点在平行于x 轴的直线上的椭圆的参数方程为参数）ααα(. sin ,cos 00???+=+=b y y a x x 4．中心在原点，焦点在x 轴（或y 轴）上的双曲线：

北师大版初中数学知识点汇总(最全)doc教材

侧面是曲面 底面是圆面圆柱，:?? ?侧面是正方形或长方形底面是多边形棱体柱体，:侧面是曲面 底面是圆面圆锥，:?? ?侧面都是三角形底面是多边形棱锥锥体，:? ? ????? ??---)3,2,1:()3,2,1:( 如负整数如正整数整数)0(零北师大版初中数学七年级上册知识点汇总 第一章 丰富的图形世界 ¤1. ¤2. ¤3. 球体：由球面围成的（球面是曲面） ¤4. 几何图形是由点、线、面构成的。 ①几何体与外界的接触面或我们能看到的外表就是几何体的表面。几何的表面有平面和曲面； ②面与面相交得到线； ③线与线相交得到点。 ※5. 棱：在棱柱中，任何相邻两个面的交线都叫做棱．。 ※6. 侧棱：相邻两个侧面的交线叫做侧棱．． ，所有侧棱长都相等。 ¤7. 棱柱的上、下底面的形状相同，侧面的形状都是长方形。 ¤8. 根据底面图形的边数，人们将棱柱分为三棱柱、四棱柱、五棱柱、六棱柱……它们底面图形的形状分别 为三边形、四边形、五边形、六边形…… ¤9. 长方体和正方体都是四棱柱。 ¤10. 圆柱的表面展开图是由两个相同的圆形和一个长方形连成。 ¤11. 圆锥的表面展开图是由一个圆形和一个扇形连成。 ※12. 设一个多边形的边数为n(n≥3，且n 为整数)，从一个顶点出发的对角线有(n-3)条；可以把n 边形成 (n-2)个三角形；这个n 边形共有 2 ) 3(-n n 条对角线。 ◎13. 圆上两点之间的部分叫做弧． ，弧是一条曲线。 ◎14. 扇形，由一条弧和经过这条弧的端点的两条半径所组成的图形。 ¤15. 凸多边形和凹多边形都属于多边形。有弧或不封闭图形都不是多边形。 第二章 有理数及其运算

几何证明选讲知识点总结

相似三角形的判定及有关性质一一备课人：李发 知识点1比例线段的相关概念 比例线段：对于四条线段a b c、d ,如果其中两条线段的长度的比与另两条线段的长度的比相等，即- - b d （或a:b=cd ）那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段. 注意：⑴在求线段比时，线段单位要统一，单位不统一应先化成同一单位. ⑵当两个比例式的每一项都对应相同，两个比例式才是同一比例式. ⑶比例线段是有顺序的，如果说a是b,c,d的第四比例项，那么应得比例式为：b d c a 知识点2:比例的性质 基本性质：(1) a: b c: d ad bc；(2) a : c c: b c a b . 反比性质（把比的前项、后项交换）： a c b d b d a c b a d c a c a b cd 合比性质：?.发生同样和差变化比例仍成立.如： a c a c等等. b d b d a b c d a b c d o p p m八，，小、a c e m a 等比性质：如果一(b d f n 0)，那么 b d f n b d f n b 注意：实际上，由一个比例式只可化成一个等积式，而一个等积式共可化成八个比例式，如ad be,除 了可化为a:b c:d，还可化为a:c b:d , c: d a : b , b:d a : c , b:a d:c, c:a d:b, d : c b: a , d:b c:a. 知识点3:比例线段的有关定理 平行线等分线段定理：如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等?推论1:经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边?（三角形中位线定理的逆定理） 推论2 :经过梯形一腰的中点，且与底边平行的直线平分另一腰?（梯形中位线定理的逆定理） 平行线等分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例. 推论：（1）平行于三角形一边的直线截其它两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例. （2）平行于三角形一边并且和其它两边相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形三边对应成比例. 定理：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形第三边. 知识点：4 :黄金分割 把线段AB分成两条线段AC,BC（AC BC），且使AC是AB和BC的比例中项，叫做把线段AB黄金分割，点C叫做线 段AB的黄金分割点，其中AC AB 0.618AB . 2 知识点5:相似图形 1、相似图形的定义：把形状相同的图形叫做相似图形（即对应角相等、对应边的比也相等的图形） 相似三角形的定义：对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形.相似三角形对应边的比值叫 做相似比（或相似系数） （1 ）相似三角形是相似多边形中的一种;

高考数学几何证明选讲

几何证明选讲 沙市五中高三数学组 一、填空题(每小题6分，共48分) 1．如图所示，l1∥l2∥l3，下列比例式正确的有________(填序号)． (1)AD DF ＝ CE BC ；(2) AD BE ＝ BC AF ；(3) CE DF ＝ AD BC ；(4) AF DF ＝ BE CE . 2．如图所示，D是△ABC的边AB上的一点，过D点作DE∥BC交AC于E.已 知AD DB ＝ 2 3 ，则 S △ADE S 四边形BCED ＝ __________________________________________________________________. 3．如图，在四边形ABCD中，EF∥BC，FG∥AD，则EF BC ＋ FG AD ＝________.

4．在直角三角形中，斜边上的高为6，斜边上的高把斜边分成两部分，这两部分的比为3∶2，则斜边上的中线的长为________． 5．(2010·苏州模拟)如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，BD与AC相交于点O，过点O的直线分别交AB，CD于E，F，且EF∥BC，若AD＝12，BC＝20，则EF＝________. 6．如图所示，在△ABC中，AD⊥BC，CE是中线，DC＝BE，DG⊥CE于G，EC 的长为4，则EG＝________. 7．(2010·天津武清一模)如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，DE∥AC，EF ∥BC，AB＝15，AF＝4，则DE＝________. 8．如图所示，BD、CE是△ABC的中线，P、Q分别是BD、CE的中点，则PQ BC ＝ ________. 二、解答题(共42分) 9．(14分)如图所示，在△ABC中，∠CAB＝90°，AD⊥BC于D，BE是∠ABC 的平分线，交AD于F，求证：DF AF ＝ AE EC .

(一)几何证明选讲

(一)几何证明选讲 1.如图，O 是△ABC 外接圆的圆心，∠ACB ＝54°，求∠ABO 的值． 解 连结OA ，因为O 是圆心，所以∠AOB ＝2∠ACB ， 所以∠ABO ＝12(180°－∠AOB ) ＝12 (180°－2∠ACB ) ＝90°－∠ACB ＝90°－54°＝36°. 2.如图，已知A ，B ，C 是圆O 上的三点，BE 切圆O 于点B ，D 是CE 与圆O 的交点，若∠BAC ＝60°，BE ＝2，BC ＝4，求线段CD 的长． 解 因为BE 切圆O 于点B ，所以∠CBE ＝∠BAC ＝60°. 因为BE ＝2，BC ＝4，由余弦定理得EC ＝2 3. 又BE 2＝EC ·ED ，所以DE ＝ 233， 所以CD ＝EC －ED ＝23－233＝433 . 3．如图，已知点C 在圆O 的直径AB 的延长线上，CD 是圆O 的一条切线，D 为切点，点D 在AB 上的射影是点E ，CB ＝3BE . 求证：(1)DB 是∠CDE 的平分线； (2)AE ＝2EB . 证明 (1)连结AD ，∵AB 是圆O 的直径， ∴∠DAB ＋∠DBA ＝90°，

∵DE ⊥AB ，∴∠BDE ＋∠DBA ＝90°， ∴∠DAB ＝∠BDE ， ∵CD 切圆O 于点D ， ∴∠CDB ＝∠DAB ， ∴∠BDE ＝∠CDB ， ∴DB 是∠CDE 的平分线． (2)由(1)可得DB 是∠CDE 的平分线， ∴CD DE ＝CB BE ＝3，即CD ＝3DE . 设BE ＝m (m >0)，DE ＝x (x >0)，则CB ＝3m ，CD ＝3x ， 在Rt △CDE 中， 由勾股定理可得(3x )2＝x 2＋(4m )2，则x ＝2m ， 由切割线定理得CD 2＝CB ·CA ，(32m )2＝3m ·CA ， CA ＝6m ，AB ＝3m ，AE ＝2m ， 则AE ＝2EB . 4．(2018·江苏海安中学质检)如图，在Rt △ABC 中，∠B ＝90°，它的内切圆分别与边BC ，CA ，AB 相切于点D ，E ，F ，连结AD ，与内切圆相交于另一点P ，连结PC ，PE ，PF ，已知PC ⊥PF ， 求证：(1)PF FD ＝PD DC ；(2)PE ∥BC . 证明 (1)连结DE ， 则△BDF 是等腰直角三角形， 于是∠FPD ＝∠FDB ＝45°， 故∠DPC ＝45°. 又∠PDC ＝∠PFD ，则△PFD ∽△PDC ， 所以PF FD ＝PD DC .① (2)由∠AFP ＝∠ADF ，∠AEP ＝∠ADE ， 知△AFP ∽△ADF ，△AEP ∽△ADE . 于是，EP DE ＝AP AE ＝AP AF ＝FP DF . 故由①得EP DE ＝PD DC ，②

全参数方程与极坐标(精华版)

参数方程与极坐标 参数方程知识回顾： 一、 定义：在取定的坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标 x 、y 都是某个参数t 的函数， x f （t ） 即 y f （t ） ，其中，t 为参数，并且对于t 每一个允许值，由方程组所确定的点 M （ x ， y ）都在这条 曲线上，那么方程组就叫做这条曲线的参数方程，联系 x 、y 之间关系的变数t 叫做参变数，简称参数. 二、 二次曲线的参数方程 1、圆的参数方程： 中心在（x o , y o ）,半径等于r 的圆: { x r cos 特殊地，当圆心是原点时，、 y r si n 注意：参数方程没有直接体现曲线上点的横纵坐标之间的关系，而是分别体现了点的横纵 坐标与参数间的关系。 Eg1 :已知点P (x , y )是圆x 2+y 2-6x-4y+12=0 上的动点，求: （1 ） x 2+y 2的最值；（2 ） x+y 的最值；（3 ）点P 到直线x+y-1=0 的距离d 的最值。 Eg2 :将下列参数方程化为普通方程 总结：参数方程化为普通方程步骤： （1 ）消参（2 ）求定义域 2、椭圆的参数方程: 中心在原点，焦点在 x 轴上的椭圆: x x 0 rcos 〔y y o rsin （为参数， 的几何意义为圆心角） (1 ) x=2+3cos y=3sin 1 (|3) x=t+ 一 t Y 2 1 I y=t 2+ ” x=s in y=cos

4、抛物线的参数方程: 顶点在原点，焦点在 x 轴正半轴上的抛物线： x 2pt 2 y 2pt （t 为参数，p > 0 , t 的几何意义为过圆点的直线的斜率的倒数） 直线方程与抛物线方程联立即可得到。 三、一次曲线（直线）的参数方程 x a cos y bsin （为参数， 的几何意义是离心角，如图角 AON 是离心角） 注意：离心率和离心角没关系，如图，分别以椭圆的长轴和短轴为半径画两个同心圆, 点的轨迹是椭圆，中心在（x o ，y o ）椭圆的参数方程: X 。 a cos y bsi n x Eg :求椭圆 36 y =1上的点到 M (2,0) 20 的最小值。 3、双曲线的参数方程: 中心在原点，焦点在 x 轴上的双曲线: a sec bta n 为参数，代表离心角） ，中心在 （x o ，y o ），焦点在x 轴上的双曲线: x x 0 asec y y 0 bta n 2 2

3、北师大版初三数学几何压轴题专项训练(旋转、平移、折叠)

压轴题几何专项训练（三） ——有关旋转、平移、折叠问题 （旋转）1、如图，点O 是等边ABC △内一点，110AOB BOC α∠=∠=，．将 BOC △绕点C 按顺时针方向旋转60得ADC △，连接OD ． （1）求证：COD △是等边三角形； （2）当150α=时，试判断AOD △的形状，并说明理由； （3）探究：当α为多少度时，AOD △是等腰三角形？ A B C D O 110 α

（旋转）2、如图1，将两个完全相同的三角形纸片ABC 和DEC 重合放置，其中∠C =90°， ∠B =∠E =30°. （1）操作发现 如图2，固定△ABC ，使△DEC 绕点C 旋转，当点D 恰好落在AB 边上时，填空： ①线段DE 与AC 的位置关系是_________； ②设△BDC 的面积为S 1，△AEC 的面积为S 2，则S 1与S 2的数量关系是________. （2）猜想论证 当△DEC 绕点C 旋转到图3所示的位置时，小明猜想（1）中S 1与S 2的数量关系仍 然成立，并尝试分别作出了△BDC 和△AEC 中BC 、CE 边上的高，请你证明小明的 猜想. （3）拓展探究 已知∠ABC =60°，点D 是其角平分线上一点，BD =CD =4，DE //AB 交BC 于点E （如 图4）.若在射线BA 上存在点F ，使BDE DCF S S ??=，请直接写出．．．．相应的BF 的长. A (D ) B (E ) C 图 1 图 2 图3 图4

（平移）3、如图（1）所示，一张三角形纸片ABC ， ACB ＝90o，AC ＝8，BC ＝6．沿斜边AB 的中线CD 把这张纸片剪成△AC 1D 1和△BC 2D 2两个三角形，如图（2）所示．将纸片△AC 1D 1沿直线D 2B （AB ）方向平移（点A 、D 1、D 2、B 始终在同一条直线上），当点D 1与点B 重合时，停止平移．在平移的过程中，C 1D 1与BC 2交于点E ，AC 1与C 2D 2、BC 2分别交于点F 、P ． （1）当△AC 1D 1平移到如图（3）所示的位置时，猜想图中D 1E 与D 2F 的数量关系，并证明你的猜想； （2）设平移距离D 2D 1为x ，△AC 1D 1和△BC 2D 2重叠部分的面积为y ，请写出y 与x 的函数关系式，以及自变量x 的取值范围； （3）对于（2）中的结论是否存在这样的x ，使得重叠部分的面积等于原△ABC 纸片面积的1 4 ？若存在，请求出x 的值；若不存在，请说明理由．

高中数学高考总复习几何证明选讲习题及详解

高中数学高考总复习几何证明选讲习题 (附参考答案) 一、选择题 1．已知矩形ABCD ，R 、P 分别在边CD 、BC 上，E 、F 分别为AP 、PR 的中点，当P 在BC 上由B 向C 运动时，点R 在CD 上固定不变，设BP ＝x ，EF ＝y ，那么下列结论中正确的是( ) A ．y 是x 的增函数 B ．y 是x 的减函数 C ．y 随x 的增大先增大再减小 D ．无论x 怎样变化，y 为常数 [答案] D [解析] ∵E 、F 分别为AP 、PR 中点，∴EF 是△P AR 的中位线，∴EF ＝12 AR ，∵R 固定，∴AR 是常数，即y 为常数． 2．(2010·湖南考试院)如图，四边形ABCD 中，DF ⊥AB ，垂足为F ，DF ＝3，AF ＝2FB ＝2，延长FB 到E ，使BE ＝FB ，连结BD ，EC .若BD ∥EC ，则四边形ABCD 的面积为( ) A ．4 B ．5 C ．6 D ．7 [答案] C [解析] 由条件知AF ＝2，BF ＝BE ＝1， ∴S △ADE ＝12AE ×DF ＝12 ×4×3＝6， ∵CE ∥DB ，∴S △DBC ＝S △DBE ，∴S 四边形ABCD ＝S △ADE ＝6. 3．(2010·广东中山)如图，⊙O 与⊙O ′相交于A 和B ，PQ 切⊙O 于P ，交⊙O ′于Q

和M ，交AB 的延长线于N ，MN ＝3，NQ ＝15，则PN ＝( ) A ．3 B.15 C ．3 2 D ．3 5 [答案] D [解析] 由切割线定理知： PN 2＝NB ·NA ＝MN ·NQ ＝3×15＝45， ∴PN ＝3 5. 4．如图，Rt △ABC 中，CD 为斜边AB 上的高，CD ＝6，且AD BD ＝32，则斜边AB 上的中线CE 的长为( ) A ．5 6 B.56 C.15 D.3102 [答案] B [解析] 设AD ＝3x ，则DB ＝2x ，由射影定理得CD 2＝AD ·BD ，∴36＝6x 2，∴x ＝6，∴AB ＝56， ∴CE ＝12AB ＝562 . 5．已知f (x )＝(x －2010)(x ＋2009)的图象与x 轴、y 轴有三个不同的交点，有一个圆恰好经过这三个点，则此圆与坐标轴的另一个交点的坐标是( ) A ．(0,1) B ．(0,2)

专题：几何证明选讲

专题：几何证明选讲 【知识梳理】 1.相似三角形的判定定理： 判定定理1.两角对应相等的三角形相似。 判定定理2.三边对应成比例的两个三角形相似。 判定定理3.两边对应成比例，并且夹角相等的两个三角形相似。 2.相似三角形的性质 性质定理1.相似三角形对应边上的高、中线和它们的周长的比都等于相似比。 性质定理2.相似三角形的面积比等于相似比的平方。 3.平行截割定理 三条平行线截任意两条直线，所截出的对应线成比例。 4.射影定理 直角三角形中，每一条直角边是这条直线边在斜边上的射影和斜边的比例中项；斜边上的高是两条直角边在斜边上的射影的比例中项。 5.圆周角与弦切角 圆的切线判定定理：经过圆的半径的外端切垂直于这条半径的直线，是圆的切线。 圆的切线的性质定理：圆的切线垂直过圆的半径。 推论1.从圆外的一个已知点所引的两条切线长相等。 推论2.经过圆外的一个已知点和圆心的直线，平分从这个点向圆所做的两条切线所夹的角。 6.圆周角定理 圆周角的度数等于它所对弧的度数的一半。 推论1.直径所对的圆周角都是直角 推论2.同弧或等弧所对的圆周角相等。 推论3.等于直角的圆周角所对的弦是圆的直径。 7.弦切角定理 弦切角的度数等于它所夹的弧的度数的一半。 推论：弦切角等于它所夹弧所对的圆周角。 8.圆幂定理 相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线短长的积相等。 切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。圆幂定理：（不用掌握） 9.圆内接四边形的性质 定理：圆的内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它的内对角。 10.圆内接四边形的判定 定理：如果一个四边形的一组对角互补，那么这个四边形内接于圆。 【知识梳理】 平行线等分线段定理 平行线等分线段定理：如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等。 推理1：经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边。 推理2：经过梯形一腰的中点，且与底边平行的直线平分另一腰。平分线分线段成比例定理 平分线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例。 推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例。相似三角形的判定及性质

4-28几何证明选讲(选修4-1)

高考专题训练二十八 几何证明选讲(选修4－1) 班级________ 姓名_______ 时间：45分钟 分值：100分 总得分_______ 一、填空题(每小题6分，共30分) 1．(2011·陕西)如图，∠B ＝∠D ，AE ⊥BC ，∠ACD ＝90°，且AB ＝6，AC ＝4，AD ＝12，则BE ＝________. 解析：由∠B ＝∠D ，AE ⊥BC ，知△ABE ∽△ADC ， ∴AE AC ＝AB AD ，∴AE ＝AB AD ·AC ＝6×412 ＝2，∴BE ＝AB 2－AE 2＝32＝4 2. 答案：4 2 2.(2011·湖南)如图，A 、E 是半圆周上的两个三等分点，直线BC ＝4，AD ⊥BC ，垂足为D ，BE 与AD 相交于点F ，则AF 的长为________． 解析：

如图所示，∵A 、E 是半圆周上两个三等分点， ∴△ABO 和△AOE 均为正三角形． ∴AE ＝BO ＝12 BC ＝2.∵AD ⊥BC ， ∴AD ＝22－12＝3，BD ＝1. 又∠BOA ＝∠OAE ＝60°，∴AE ∥BD . ∴△BDF ∽△EAF ，∴DF AF ＝BD AE ＝12 . ∴AF ＝2FD ，∴3AF ＝2(FD ＋AF )＝2AD ＝23， ∴AF ＝233 . 答案：233 3．(2011·深圳卷)如图，A ，B 是两圆的交点，AC 是小圆的直径，D 和E 分别是CA 和CB 的延长线与大圆的交点，已知AC ＝4，BE ＝10，且BC ＝AD ，则DE ＝________. 解析：连接AB ，设BC ＝AD ＝x ，结合图形可得