全国高中数学竞赛金牌模拟试卷(一)附答案

C

B

A x

y

O

x

y

O

O

O

x

y x

y

全国高中数学竞赛金牌模拟试卷（一）

一、选择题

1、二次函数b ax y +=2与一次函数)(b a b ax y >+=在同一个直角坐标系的图像为（ ）

2、已知数列{}n a 满足)(,,*1221N n a a a b a a a n n n ∈-===++。{}n n a S 是的前n 项的和，则20042004S a +等于（ ）

A 、a b +

B 、a b -

C 、a b -+

D 、a b -- 3、在12)2(++

n x 的展开式中，x 的幂指数是整数的各项系数之和为（ ）

A 、13

1

2++n ； B 、123+n ； C 、12321+?n ； D 、)13(2

1

12++n

4、在1，2，3，4，5的排列54321,,,,a a a a a 中，满足条件,,2321a a a a <<

4543,a a a a <<的排列个数是（ ）

A 、10；

B 、12；

C 、14；

D 、16.

5、直线3-=mx y 与抛物线x m x y C m mx x y C )12(:,45:2221-+=-+=

323:,3232--+=-+m mx x y C m 中至少有一条相交，则m 的取值范围

是（ ） A 、28

3

-≤≥

m m 或 B 、211-≤-≥m m 或

C 、R m ∈

D 、以上均不正确

6、若关于x 的不等式062

<--a ax x 有解，且解集的区间长不超过5个单位，满足上述要求的a 的最大值为a M 、最小值为a m ，则a M －a m 等于（ ）

A 、1

B 、24

C 、25

D 、26 7、R k ∈，则方程组??

?=---++-=0

111618491

22

2

y x y x k kx y （ ）

A 、有且仅有一组实数解

B 、有且仅有两组不同的实数解

C 、有两组解，但不一定都是实数解

D 、由于k 为参数，以上情况均有可能出现

8、锐角△ABC 中，c b a c AB b CA a BC >>===且,,,，分别以BC ，CA ，AB 边上的高AD ，BE ，CF 为折线，将三角形折成平面角均为)0(πθθ<<的二面角，记折叠后的四面体ABCD ，ABCE ，ABCF 体积方便为321,,V V V ，则下面结论正确的是（ ） A 、321V V V >> B 、321V V V <<

C 、231V V V >>或213V V V >>

D 、321,,V V V 大小不能确定

9、有九条直线，其中每一条都将一平行四边形分割成面积比为2：3的两个四边形，那么这九条直线（ ）

A 、存在这样的九条直线；没有两条过同一个点；

B 、至少有两条过同一个点；

C 、至少有三条过同一个点；

D 、至少有四条过同一个点； 10、设1)

5,4,3,2,1(0,5

1

==≥∈∑=i i

i i x

i x R x ，

则{433221,,x x x x x x x ma +++ }54,x x +的最小值等于（ ） A 、

41 B 、31 C 、61 D 、4

1

二、填空题

11、设a 为实数，集合{}{}

φ≠+---=+-=B A a a B a a a a A ,1,1,1,,,2

22，则=B A

____________________．

12、)(x f 是定义在),(+∞-∞上的偶函数，且)(),1()1(x f x f x f -=+在)1,0(∈x 上是增

函数，则)1.8(f 与)8.3(-f 的大小关系是____________________．

13、已知向量375a b a b +-与垂直，472a b a b --与垂直，则向量a b b -与的夹角是

____________________． 14、已知

sin(2)3sin a a β+=，且1,,(,)22k a n n k Z πβπβπ≠+≠+∈，则tan()

tan a ββ

+的值

历年全国高中数学联赛试题及答案

历年全国高中数学联赛试题及答案 1．全卷满分120分，考试时间120分钟．试题卷共6页，有三大题，共24小题。 2．全卷答案必须做在答题纸卷Ⅰ、卷Ⅱ的相应位置上，做在试题卷上无效,考试时不 能使用计算器。 参考公式：二次函数图象的顶点坐标是。 温馨提示：请仔细审题，细心答题，答题前仔细阅读答题纸上的“注意事项”。 卷Ⅰ（选择题） 一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分．请选出各题中唯一的正确选项，不选、多选、错选，均不得分） 1．2的相反数是（▲） A．-2 B．2 C．- D． 2．下列计算正确的是（▲）A．Ｂ．9 =3 Ｃ．3-1= -3 Ｄ．2 +3= 5 3．据交通运输部统计，2013年春运期间，全国道路、水路、民航、铁路运送旅客总量超过了3400000000人次，该数用科学记数法可表示为（▲） A．B．C． D． 4．如图是由个相同的正方体搭成的几何体，则其俯视图是（▲） 5．使分式无意义的的值是（▲） A. B. C. D. 6．如图，已知,若, ，则等于（▲） A．B．C．D． 7．市委、市政府打算在2015年底前，完成国家森林城市创建．这是小明随机抽取我市10个小区所得到的绿化率情况，结果如下表： 小区绿化率（%） 20 25 30 32 小区个数 2 4 3 1 则关于这10个小区的绿化率情况，下列说法错误的是（▲） A．中位数是25% B．众数是25% C．极差是13% D．平均数是26．2% 8．将一个半径为R，圆心角为90°的扇形围成一个圆锥的侧面（无重叠），设圆锥底面半径为r，则R与r的关系正确的是（▲） A．R＝8r B．R＝6r C．R＝4r D．R＝2r 9．甲、乙两车分别从相距的两地同时出发，它们离A地的路程随时间变化的图象如图所示，则下列结论不正确的是( ▲) A．甲车的平均速度为； B．乙车行驶小时到达地,稍作停留后返回地； C．经小时后,两车在途中相遇； D．乙车返回地的平均速度比去地的平均速度小。 10．如图，为等边三角形，点的坐标为，过点作直线交于点，交于，点在反比例函数＜的图象上，若和（即图中两阴影部分）的面积相等，则值为（▲）A．B．C．D． 卷Ⅱ（非选择题） 二、填空题（本大题有6小题，每题4分，共24分） 11．分解因式：= ▲。 12．一个不透明的袋中装有除颜色外其他均相同的2个红球和3个黄球，从中随机摸出一个

高中数学竞赛模拟试题二

高中数学竞赛模拟试题二 一、选择题： 1.设a 、b 、c 为实数，0,024<++>+-c b a c b a ，则下列四个结论中正确的是 （ D ） （A ）ac b ≤2（B ）ac b >2（C ）ac b >2且0>a （D ）ac b >2 且0ac b .若0≠a ,则对于二次函数c bx ax x f +-=2)(,由 0)1(,0)2(<->f f 可得结论. 2.在△ABC 中，若a BC AB A ===∠,2,450 ，则2= a 是△ABC 只有一解的 （ A ） （A ）充分不必要条件（B ）必要不充分条件（C ）充要条件（D ）既不充分又不必要条件 3.已知向量)1,sin 42cos 3(),1sin 22cos ,(-+-=-+=x x x x m ,定义函数x f ?=)(.若对任意的]2 , 0[π ∈x ，不等式0)(>x f 恒成立，则m 的取值范围是 （ A ） （A ）),8 1 (+∞（B ）)8 1,0[（C ）)2,8 1(（D ）),2(+∞ 4.设E 、F 、G 分别是正四面体ABCD 的棱AB 、BC 、CD 的中点，则二面角C —FG —E 的大小是 （ D ） （A ）36arcsin （B ）3 3 arccos 2+π（C ）2arctan 2-π（D ）2 2 cot arc -π 5.把数列}12{+n 依次按一项、二项、三项、四项循环分为（3），（5，7），（9，11，13），（15，17，19，21），（23），（25，27，），（29，31，33），（35，37，39，41），…，在第100个括号内各数之和为 （ A ） （A ）1992 （B ）1990 （C ）1873 （D ）1891 6.设n i n x i ,,2,1},,,2,1{ =∈，满足 2 ) 1(1 += ∑=n n x n i i ，!21n x x x n =??? ，使1x ，2x ，…，n x 一定是n ,,2,1 的一个排列的最大数n 是 （ C ） （A ）4 （B ）6 （C ）8 （D ）9

2018全国高中数学联赛试题

2018年全国高中数学联合竞赛一试试题（A 卷） 一、填空题：本大题共 8小题，每小题 8分，共64分． 1.设集合{1,2,3,,99}A = ，{2}B x x A =∈，{2}B x x A =∈，则B C 的元素个数 . 解析：因为{1,2,3,,99}A = ，所以{2,4,6,,198}B = ,{1,2,3,,49}C = ,于是 {2,4,6,,48}B C = ，共24个元素. 2.设点P 到平面α Q 在平面α上，使得直线PQ 与α所成角不小于30 且不大于60 ，则这样的点Q 所构成的区域的面积为 . 解析：过点P 作平面α的垂线，这垂足为O ，则点Q 的轨迹是以O 为圆心，分别以1ON =和3OM =为半径的扇环,于是点Q 所构成的区域的面积为21S S S =-= 9 8πππ-=. 3. 将1,2,3,4,5,6随机排成一行，记为,,,,,a b c d e f ，则abc def +是偶数的概率为 . 解析：（直接法）将1,2,3,4,5,6随机排成一行，共有6 6720A =种不同的排法，要使 abc def +为偶数，abc 为与def 同为偶数或abc 与且def 同为奇数. （1）若,,a b c 中一个偶数两个奇数且,,d e f 中一个奇数两个偶数. 共324种情形； （2）若,,a b c 中一个奇数两个偶数且,,d e f 中一个偶数两个奇数. 共324种情形； 共有648种情形.综上所述，abc def +是偶数的概率为 6489 72010 =. （间接法）“abc def +是偶数”的对立事件为“abc def +是偶数”， abc def +是偶数分成两种情况：“abc 是偶数且def 是奇数”或“abc 是奇数且def 是偶数”，每 P O M N α

概率统计-历届全国高中数学联赛真题专题分类汇编

概率统计 1、（2009一试8）某车站每天8 00~900∶∶，900~1000∶∶都恰有一辆客车到站，但到站的时刻是随机的，且两者到站的时间是相互独立的，其规律为 一旅客820∶【答案】27 【解析】旅客候车的分布列为 候车时间的数学期望为10305070902723361218 ?+?+?+?+?= 2、（2010一试6）两人轮流投掷骰子，每人每次投掷两颗，第一个使两颗骰子点数和大于6者为胜，否则轮由另一人投掷.先投掷人的获胜概率是 . 【答案】 12 17 3、（2012一试8）某情报站有,,,A B C D 四种互不相同的密码，每周使用其中的一种密码，且每周都是从上周未使用的三种密码中等可能地随机选用一种．设第１周使用Ａ种密码，那么第７周也使用Ａ种密码的概率是．（用最简分数表示） 【答案】 61 243 【解析】用k P 表示第k 周用 A 种密码的概率,则第k 周末用A 种密码的概率为 1k P -.于是,有11(1),3k k P P k N *+=-∈,即1111()434k k P P +-=--由11P =知，14k P ? ?-???? 是首项为34，公

比为13-的等比数列.所以1131()443k k P --=-，即1311()434k k P -=-+，故761243 P = 4、（2014一试8）设D C B A ,,,是空间四个不共面的点，以 2 1 的概率在每对点之间连一条边，任意两点之间是否连边是相互独立的，则B A ,可用（一条边或者若干条边组成的）空间折线连接的概率是__________. 【答案】 3 4 2221219B C D -?-=点相连，且与，中至少一点相连，这样的情况数为（）（） 22(3)AB AD DB 无边，也无CD 边，此时AC,CB 相连有2种情况，，相连也有2种情况， ,,,,AC CB AD DB A B 但是其中均相连的情况被重复了一次，故可用折线连接的情况数为 222+2-1=7. 483++==.644以上三类情况数的总和为329748，故A,B 可用折线连接的概率为 5、（2015一试5）在正方体中随机取三条棱,它们两两异面的概率为. 【答案】 2 55 【解析】设正方体为ABCD-EFGH ，它共有12条棱，从中任意选出3条棱的方法共有3 12C =220种. 下面考虑使3条棱两两异面的取法数，由于正方体的棱共确定3个互不平行的方向（即AB 、AD 、AE 的方向），具有相同方向的4条棱两两共面，因此取出的3条棱必属于3个不同的方向.可先取定AB 方向的棱，这有4种取法.不妨设取的棱就是AB ，则AD 方向只能取棱EH 或棱FG ，共2种可能，当AD 方向取棱是EH 或FG 时，AE 方向取棱分别只能是CG 或DH. 由上可知，3条棱两两异面的取法数为4×2=8，故所求的概率为82 22055 =.

全国高中数学联合竞赛模拟试题及答案

全国高中数学联合竞赛模拟试题 第 一 试 时间：10月16日 一、选择题（本题满分36分，每小题6分） 1、设锐角θ使关于x 的方程2 4cos cot 0x x θθ++=有重根，则θ的弧度数为（ ） A. 6 π B. 512 12 or π π C. 56 12 or π π D. 12 π 2、已知22{(,)|23},{(,)|}M x y x y N x y y mx b =+===+。若对所有 ,m R M N ∈≠?均有，则b 的取值范围是（ ） A. 22?-??? B. 22?- ?? C. (33 - D. 33?-??? 3、 312 1 log 202x +>的解集为（ ） A. [2,3) B. (2,3] C. [2,4) D. (2,4] 4、设O 点在ABC ?内部，且有230OA OB OC ++=，则ABC ?的面积与AOC ?的面积的比为（ ） A. 2 B. 32 C. 3 D. 53 5、设三位数n abc =，若以a ，b ，c 为三条边的长可以构成一个等腰（含等边）三角形，则这样的三位数n 有（ ） A. 45个 B. 81个 C. 165个 D. 216个 6、顶点为P 的圆锥的轴截面是等腰直角三角形，A 是底面圆周上的点，B 是底面圆内的点，O 为底面圆的圆心，AB OB ⊥，垂足为B ，OH PB ⊥，垂足为H ，且PA=4，C 为PA 的中点，则当三棱锥O －HPC 的体积最大时，OB 的长是（ ） A. 3 B. 3 C. 3 D. 3 二、填空题（本题满分54分，每小题9分） 7、在平面直角坐标系xoy 中，函数()sin cos (0)f x a ax ax a =+>在一个最小正周期长

全国高中数学联赛试题及答案教程文件

2009年全国高中数学联赛试题及答案

全国高中数学联赛 全国高中数学联赛一试命题范围不超出教育部《全日制普通高级中学数学教学大纲》中所规定的教学要求和内容，但在方法的要求上有所提高。主要考查学生对基础知识和基本技能的掌握情况，以及综合和灵活运用的能力。 全国高中数学联赛加试命题范围与国际数学奥林匹克接轨，在知识方面有所扩展，适当增加一些竞赛教学大纲的内容。全卷包括4道大题，其中一道平面几何题. 一 试 一、填空（每小题7分，共56分） 1． 若函数( )f x = ()()()n n f x f f f f x ??=??????，则() ()991f = ． 2． 已知直线:90L x y +-=和圆22:228810M x y x y +---=，点A 在直线L 上，B ，C 为圆M 上两点，在ABC ?中，45BAC ∠=?，AB 过圆心M ，则点A 横 坐标范围为 ． 3． 在坐标平面上有两个区域M 和N ，M 为02y y x y x ?? ??-? ≥≤≤，N 是随t 变化的区 域，它由不等式1t x t +≤≤所确定，t 的取值范围是01t ≤≤，则M 和N 的公共面积是函数()f t = ． 4． 使不等式 1111 200712 213 a n n n +++ <-+++对一切正整数n 都成立的最小正整数a 的值为 ． 5． 椭圆22 221x y a b +=()0a b >>上任意两点P ，Q ，若OP OQ ⊥，则乘积 OP OQ ?的最小值为 ． 6． 若方程()lg 2lg 1kx x =+仅有一个实根，那么k 的取值范围是 ． 7． 一个由若干行数字组成的数表，从第二行起每一行中的数字均等于其肩 上的两个数之和，最后一行仅有一个数，第一行是前100个正整数按从小到大排成的行，则最后一行的数是 （可以用指数表示） 8． 某车站每天800~900∶∶，900~1000∶∶都恰有一辆客车到站，但到站的时

历年全国高中数学联赛二试几何题汇总汇总

历年全国高中数学联赛二试几何题汇总 2007 联赛二试 类似九点圆 如图，在锐角?ABC 中，AB

高中数学竞赛模拟试卷

高中数学竞赛模拟试卷 【说明】解答本试卷不得使用计算器 一、填空（前4小题每小题7分，后4小题每小题8分，供60分） 1．计算：0! 1! 2! 100! i +i +i ++i = ．（i 表示虚数单位） 2．设θ是某三角形的最大内角，且满足sin 8sin 2θθ=，则θ可能值构成的集合 是 ．（用列举法表示） 3．一个九宫格如图，每个小方格内都填一个复数，它的每行、每列及对角线上三个格内的复数和都相等，则x 表示的复数是 ． 4．如图，正四面体ABCD 的棱长为6cm ，在棱AB 、CD 上各有一点E 、F ，若1AE =cm ， 2CF =cm ，则线段EF 的长为 cm ． 5．若关于x 的方程4(3)250x x a ++?+=至少有一个实根在区间[1,2]内，则实数a 的取值范围为 ． 6．a 、b 、c 、d 、e 是从集合{}1,2,3,4,5中任取的5个元素（允许重复），则abcd e +为奇数的概率为 ． 7．对任意实数x 、y ，函数()f x 满足()()()1f x f y f x y xy +=+--，若(1)1f =，则对负整数n ，()f n 的表达式 ． 8．实数x 、y 、z 满足0 x y z ++=，且2221x y z ++=，记m 为2 x 、2 y 、2 z 中最大者， 则m 的最小值为 ． 二、（本题满分14分） 设()f x = a 的值：至少有一个正数 b ，使()f x 的 定义域和值域相同． i x 1 A B F D E

三、（本题满分14分） 已知双曲线22221x y a b -=（a 、b ∈+R ）的半焦距为c ，且2 b a c =．,P Q 是双曲线上 任意两点，M 为PQ 的中点，当PQ 与OM 的斜率PQ k 、OM k 都存在时，求PQ OM k k ?的值． 四、（本题满分16分） 设[]x 表示不超过实数x 的最大整数．求集合2|,12004,2005k n n k k ?????? =≤≤∈?????????? N 的元素个数． 五、（本题满分16分） 数列{}n f 的通项公式为1122n n n f ??????=- ??????? ?，n ∈+Z ． 记1212C +C +C n n n n n n S f f f =，求所有的正整数n ，使得n S 能被8整除．

高中数学竞赛历届IMO竞赛试题届完整中文版

第1届I M O 1.求证(21n+4)/(14n+3)对每个自然数n都是最简分数。 2.设√(x+√(2x-1))+√(x-√(2x-1))=A，试在以下3种情况下分别求出x的实数解： (a)A=√2；(b)A=1；(c)A=2。 3.a、b、c都是实数，已知cosx的二次方程 acos2x+bcosx+c=0, 试用a,b,c作出一个关于cos2x的二次方程，使它的根与原来的方程一样。当a=4,b=2,c=-1时比较cosx和cos2x的方程式。 4.试作一直角三角形使其斜边为已知的c，斜边上的中线是两直角边的几何平均值。 5.在线段AB上任意选取一点M，在AB的同一侧分别以AM、MB为底作正方形AMCD、MBEF，这两个正方形的外接圆的圆心分别是P、Q，设这两个外接圆又交于M、N， (a.)求证AF、BC相交于N点； （b.)求证不论点M如何选取直线MN都通过一定点S； (c.)当M在A与B之间变动时，求线断PQ的中点的轨迹。 6.两个平面P、Q交于一线p，A为p上给定一点，C为Q上给定一点，并且这两点都不在直线p上。试作一等腰梯形ABCD（AB平行于CD），使得它有一个内切圆，并且顶点B、D分别落在平面P和Q 上。 第2届IMO 1.找出所有具有下列性质的三位数N：N能被11整除且N/11等于N的各位数字的平方和。 2.寻找使下式成立的实数x： 4x2/(1-√(1+2x))2<2x+9 3.直角三角形ABC的斜边BC的长为a，将它分成n等份（n为奇数），令为从A点向中间的那一小段线段所张的锐角，从A到BC边的高长为h，求证： tan=4nh/(an2-a).

2020年全国高中数学联赛试题及详细解析

2020年全国高中数学联赛试题及详细解析 说明： 1． 评阅试卷时，请依据本评分标准。选择题只设6分和0分两档，填空题只设9分和0分两档；其 他各题的评阅，请严格按照本评分标准规定的评分档次给分，不要再增加其它中间档次。 2． 如果考生的解题方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当 划分档次评分，5分为一个档次，不要再增加其他中间档次。 一、选择题（本题满分36分，每小题6分） 本题共有6小题，每小题均给出A ，B ，C ，D 四个结论，其中有且仅有一个是正确的。请将正确答案的代表字母填在题后的括号内。每小题选对得6分；不选、选错或选出的代表字母超过一个（不论是否写在括号内），一律得0分。 1．使关于x 的不等式36x x k -+-≥有解的实数k 的最大值是（ ） A ．63- B ．3 C ．63+ D ．6 2．空间四点A 、B 、C 、D 满足,9||,11||,7||,3||====DA CD BC AB 则BD AC ?的取值（ ） A ．只有一个 B ．有二个 C ．有四个 D ．有无穷多个 6.记集合},4,3,2,1,|7777{ },6,5,4,3,2,1,0{4 4 33221=∈+++==i T a a a a a M T i 将M 中的元素按从大到小的

顺序排列，则第2020个数是（ ） A ． 43273767575+++ B ．43272767575+++ C ．43274707171+++ D ．4327 3707171+++ 二、填空题（本题满分54分，每小题9分） 本题共有6小题，要求直接将答案写在横线上。 7.将关于x 的多项式2019 3 2 1)(x x x x x x f +-+-+-=Λ表为关于y 的多项式=)(y g ,202019192210y a y a y a y a a +++++Λ其中.4-=x y 则=+++2010a a a Λ . 8.已知)(x f 是定义在),0(+∞上的减函数，若)143()12(2 2 +-<++a a f a a f 成立，则a 的取值范围是 。 12.如果自然数a 的各位数字之和等于7，那么称a 为“吉祥数”.将所有“吉祥数”从小到大排成一列 ,,,,321Λa a a 若,2005=n a 则=n a 5 . 三、解答题（本题满分60分，每小题20分） 13.数列}{n a 满足：.,2 36 457,12 10N n a a a a n n n ∈-+= =+ 证明：（1）对任意n a N n ,∈为正整数；(2)对任意1,1-∈+n n a a N n 为完全平方数。 14.将编号为1,2，…，9的九个小球随机放置在圆周的九个等分点上，每个等分点上各有一个小球. 设圆周上所有相邻两球号码之差的绝对值之和为要S.求使S 达到最小值的放法的概率.（注：如果某种放法，经旋转或镜面反射后可与另一种放法重合，则认为是相同的放法） 15.过抛物线2 x y =上的一点A （1,1）作抛物线的切线，分别交x 轴于D ，交y 轴于B.点C 在抛物线

历年全国高中数学联赛试题及答案

1988年全国高中数学联赛试题 第一试(10月16日上午8∶00——9∶30) 一．选择题(本大题共5小题，每小题有一个正确答案，选对得7分，选错、不选或多选均得0分)： 1．设有三个函数，第一个是y=φ(x )，它的反函数是第二个函数，而第三个函数的图象及第二个函数的图象关于x +y=0对称，那么，第三个函数是( ) A ．y=－φ(x ) B ．y=－φ(－x ) C ．y=－φ－1(x ) D ．y=－φ－ 1(－x ) 2．已知原点在椭圆k 2x 2+y 2－4kx +2ky +k 2－1=0的内部，那么参数k 的取值范围是( ) A ．|k |>1 B ．|k |≠1 C ．－1π 3 ； 命题乙：a 、b 、c 相交于一点． 则 A ．甲是乙的充分条件但不必要 B ．甲是乙的必要条件但不充分 C ．甲是乙的充分必要条件 D ．A 、B 、C 都不对 5．在坐标平面上，纵横坐标都是整数的点叫做整点，我们用I 表示所有直线的集合，M 表示恰好通过1个整点的集合，N 表示不通过任何整点的直线的集合，P 表示通过无穷多个整点的直线的集合．那么表达式 ⑴ M ∪N ∪P=I ； ⑵ N ≠?． ⑶ M ≠?． ⑷ P ≠?中，正确的表达式的个数是 A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 二．填空题(本大题共4小题，每小题10分)： 1．设x ≠y ，且两数列x ，a 1，a 2，a 3，y 和b 1，x ，b 2，b 3，y ，b 4均为等差数列，那么b 4－b 3 a 2－a 1= ． 2．(x +2)2n +1的展开式中，x 的整数次幂的各项系数之和为 ． 3．在△ABC 中，已知∠A=α，CD 、BE 分别是AB 、AC 上的高，则DE BC = ． 4．甲乙两队各出7名队员，按事先排好顺序出场参加围棋擂台赛，双方先由1号队员比赛，负者被淘汰，胜者再及负方2号队员比赛，……直至一方队员全部淘汰为止，另一方获得胜利，形成一种比赛过程．那么所有可能出现的比赛过程的种数为 ． 三．(15分)长为2，宽为1的矩形，以它的一条对角线所在的直线为轴旋转一周，求得到的旋转体的体积． 四．(15分) 复平面上动点Z 1的轨迹方程为|Z 1－Z 0|=|Z 1|，Z 0为定点，Z 0≠0，另一个动点Z 满足Z 1Z=－1，求点Z 的轨迹，指出它在复平面上的形状和位置． 五．(15分)已知a 、b 为正实数，且1a +1 b =1，试证：对每一个n ∈N *， (a +b )n －a n －b n ≥22n －2n +1．

高中数学竞赛模拟试题一汇总

高中数学竞赛模拟试题一 一 试 （考试时间：80分钟 满分100分） 一、填空题（共8小题，5678=?分） 1、已知,点(,)x y 在直线23x y += 上移动,当24x y +取最小值时,点(,)x y 与原点的距离是 。 2、设()f n 为正整数n （十进制）的各数位上的数字的平方之和，比如 ()22212312314 f =++=。记 1()() f n f n =， 1()(()) k k f n f f n +=， 1,2,3... k =，则 =)2010(2010f 。 3、如图，正方体1 111D C B A ABCD -中，二面角 1 1A BD A --的度数 是 。 4、在2010,,2,1 中随机选取三个数，能构成递增等差数列的概率是 。 5、若正数c b a ,,满足 b a c c a b c b a +- +=+，则c a b +的最大值是 。 6、在平面直角坐标系xoy 中，给定两点(1,2)M -和(1,4)N ，点P 在X 轴上移动，当MPN ∠取最大值时，点P 的横坐标是 。 7、已知数列...,,...,,,210n a a a a 满足关系式18)6)(3(1=+-+n n a a 且30=a ，则∑=n i i a 01 的值是 。 8、函数sin cos tan cot sin cos tan cot ()sin tan cos tan cos cot sin cot x x x x x x x x f x x x x x x x x x ++++=+++++++在(,)2 x o π∈时的最 小值为 。

二、解答题（共3题，分44151514=++） 9、设数列}{n a 满足条件：2,121==a a ，且 ,3,2,1(12=+=++n a a a n n n ) 求证：对于任何正整数n ，都有：n n n n a a 111+≥+ 10、已知曲线m y x M =-22:，0>x ，m 为正常数．直线l 与曲线M 的实轴不垂直，且依次交直线x y =、曲线M 、直线x y -=于A 、B 、C 、D 4个点，O 为坐标原点。 （1）若||||||CD BC AB ==，求证：AOD ?的面积为定值； （2）若BOC ?的面积等于AOD ?面积的3 1，求证：||||||CD BC AB == 11、已知α、β是方程24410()x tx t R --=∈的两个不等实根，函数=)(x f 1 22 +-x t x 的定义域为[,]αβ. （Ⅰ）求);(min )(max )(x f x f t g -= （Ⅱ）证明：对于) 2 ,0(π∈i u )3,2,1(=i ，若1sin sin sin 321=++u u u ，则 64 3 )(tan 1)(tan 1)(tan 1321<++u g u g u g . 二 试 （考试时间：150分钟 总分：200分） 一、（本题50分）如图， 1O 和2 O 与 ABC ?的三边所在的三条直线都相 切，,,,E F G H 为切点，并且EG 、FH 的 延长线交于P 点。 求证：直线PA 与BC 垂直。 二、（本题50分）正实数z y x ,,，满 足 1≥xyz 。证明： E F A B C G H P O 1。 。 O 2

高中数学竞赛历届IMO竞赛试题届完整中文版

第1届I M O 1.? 求证(21n+4)/(14n+3) 对每个自然数 n都是最简分数。 2.??设√(x+√(2x-1))+√(x-√(2x-1))=A，试在以下3种情况下分别求出x的实数解：? (a) A=√2；(b)A=1；(c)A=2。 3.?a、b、c都是实数，已知 cos x的二次方程 a cos2x + b cos x + c = 0, 试用a,b,c作出一个关于 cos 2x的二次方程，使它的根与原来的方程一样。当 a=4,b=2,c=-1时比较 cos x和cos 2x的方程式。 4.? 试作一直角三角形使其斜边为已知的 c，斜边上的中线是两直角边的几何平均值。 5.? 在线段AB上任意选取一点M，在AB的同一侧分别以AM、MB为底作正方形AMCD、MBEF，这两个正方形的外接圆的圆心分别是P、Q，设这两个外接圆又交于M、N， ??? (a.) 求证 AF、BC相交于N点； ?? （b.) 求证不论点M如何选取直线MN 都通过一定点 S； ??? (c.) 当M在A与B之间变动时，求线断 PQ的中点的轨迹。 6.? 两个平面P、Q交于一线p，A为p上给定一点，C为Q上给定一点，并且这两点都不在直线p上。试作一等腰梯形ABCD（AB平行于CD），使得它有一个内切圆，并且顶点B、D分别落在平面P和Q上。 第2届IMO 1.? 找出所有具有下列性质的三位数 N：N能被11整除且 N/11等于N的各位数字的平方和。 2.? 寻找使下式成立的实数x： 4x2/(1 - √(1 + 2x))2 ?< ?2x + 9

3.? 直角三角形ABC的斜边BC的长为a，将它分成 n 等份（n为奇数），令?为从A点向中间的那一小段线段所张的锐角，从A到BC边的高长为h，求证： tan ? = 4nh/(an2 - a). 4.? 已知从A、B引出的高线长度以及从A引出的中线长，求作三角形ABC。 5.? 正方体ABCDA'B'C'D'（上底面ABCD，下底面A'B'C'D'）。X是对角线AC上任意一点，Y是B'D'上任意一点。 a.求XY中点的轨迹； b.求(a)中轨迹上的、并且还满足 ZY=2XZ的点Z的轨迹。 6.? 一个圆锥内有一内接球，又有一圆柱体外切于此圆球，其底面落在圆锥的底面上。令V1为圆锥的体积，V2为圆柱的体积。 ??? (a).? 求证：V1不等于 V2； ??? (b).? 求V1/V2的最小值；并在此情况下作出圆锥顶角的一般。 7.? 等腰梯形ABCD，AB平行于DC，BC=AD。令AB=a,CD=c，梯形的高为 h。X点在对称轴上并使得角BXC、AXD都是直角。试作出所有这样的X点并计算X到两底的距离；再讨论在什么样的条件下这样的X点确实存在。 第3届IMO 1.? 设a、b是常数，解方程组 x + y + z = a; ? ? x2 + y2 + z2 = b2; ? ? xy=z2 并求出若使x、y、z是互不相同的正数，a、b应满足什么条件？ 2.? 设a、b、c是某三角形的边，A 是其面积，求证： a2 + b2 + c2>= 4√3 A. 并求出等号何时成立。 3.? 解方程 cos n x - sin n x = 1, 其中n是一个自然数。 4.? P是三角形ABC内部一点，PA交BC于D，PB交AC于E，PC交AB于F，求证AP/PD,

高中数学竞赛模拟题1-5

2011年全国高中数学联赛模拟试题一 一试 一．填空题（每小题8分，共64分） 1．函数2 54()2x x f x x -+=-在(,2)-∞上的最小值是 ． 2. 函数x x x x y cos sin 1cos sin ++= 的值域是 ． 3. 将号码分别为1、2、…、9的九个小球放入一个袋中，这些小球仅号码不同，其余完全相同。甲从袋中摸出一个球，其号码为a ，放回后，乙从此袋中再摸出一个球，其号码为b 。则使不等式a ?2b +10>0成立的事件发生的概率等于 ． 4．设数列{}n a 的前n 项和n S 满足：1 (1) n n n S a n n -+=+，1,2,n =，则通项n a = ． 5.已知椭圆22 221(0)x y a b a b +=>>与直线1x y +=交于M,N 两点,且OM ON ⊥,(O 为 原点),当椭圆的离心率]2 e ∈时,椭圆长轴长的取值范围是 ． 6．函数 y =的最大值是 ． 7．在平面直角坐标系中，定义点()11,y x P 、()22,y x Q 之间的“直角距离”为 . ),(2121y y x x Q P d -+-=若()y x C ,到点()3,1A 、()9,6B 的“直角距离”相等，其 中实数x 、y 满足100≤≤x 、100≤≤y ，则所有满足条件的点C 的轨迹的长度之和 为 ． 8．一个半径为1的小球在一个内壁棱长为动，则该小球永远不可能接触到的容器内壁的面积是 ． 二.解答题（共56分） 9.（16分） 已知定义在R 上的函数()f x 满足：5 (1)2 f =，且对于任意实数x y 、，总有()()()()f x f y f x y f x y =++-成立. （1）若数列{}n a 满足2(1)()(1,2,3, )n a f n f n n =+-=，求数列{}n a 的通项公式； （2）若对于任意非零实数y ，总有()2f y >.设有理数12,x x 满足12||||x x <，判断1() f x 和2()f x 的大小关系，并证明你的结论.

全国高中数学联赛试题及解答

2000年全国高中数学联合竞赛试卷 （10月15日上午8:00?9:40） 一、选择题（本题满分36分，每小题6分） 1．设全集是实数，若A={x|≤0}，B={x|10=10x}，则A∩?R B是() (A){2}(B){?1}(C){x|x≤2}(D)? 2．设sin?＞0，cos?＜0，且sin＞cos，则的取值范围是() (A)(2k?+，2k?+)，k?Z(B)(+，+)，k?Z (C)(2k?+，2k?+?)，k?Z(D)(2k?+，2k?+)∪(2k?+，2k?+?)，k?Z 3．已知点A为双曲线x2?y2=1的左顶点，点B和点C在双曲线的右分支上，△ABC是等边三角形，则△ABC的面积是() (A)(B)(C)3(D)6 4．给定正数p，q，a，b，c，其中p?q，若p，a，q是等比数列，p，b，c，q是等差数列，则一元二次方程bx2?2ax+c=0() (A)无实根(B)有两个相等实根(C)有两个同号相异实根(D)有两个异号实根 5．平面上整点（纵、横坐标都是整数的点）到直线y=x+的距离中的最小值是() (A)(B)(C)(D) 6．设ω=cos+i sin，则以?，?3，?7，?9为根的方程是() (A)x4+x3+x2+x+1=0(B)x4?x3+x2?x+1=0 (C)x4?x3?x2+x+1=0(D)x4+x3+x2?x?1=0 二．填空题（本题满分54分，每小题9分） 1．arcsin(sin2000?)=__________． 2．设a n是(3?)n的展开式中x项的系数(n=2，3，4，…)，则(++…+))=________. 3．等比数列a+log23，a+log43，a+log83的公比是____________. 4．在椭圆+=1(a＞b＞0)中，记左焦点为F，右顶点为A，短轴上方的端点为B.若该椭圆的离心率是，则∠ABF=_________. 5．一个球与正四面体的六条棱都相切，若正四面体的棱长为a，则这个球的体积是________. 6．如果：(1)a，b，c，d都属于{1，2，3，4}； (2)a?b，b?c，c?d，d?a； (3)a是a，b，c，d中的最小值， 那么，可以组成的不同的四位数的个数是_________ 三、解答题(本题满分60分，每小题20分) 1．设S n=1+2+3+…+n，n?N*，求f(n)=的最大值．

10二项式定理计数概率与统计2016-2018年历年数学联赛真题WORD版分类汇编含详细答案

2016年~2018年全国高中数学联赛一试试题分类汇编 10、计数问题、概率与统计部分 2018A 3、将6,5,4,3,2,1随机排成一行，记为f e d c b a ,,,,,，则def abc +是偶数的概率为 ◆答案：10 9 ★解析：先考虑def abc +为奇数时，abc ，def 一奇一偶，①若abc 为奇数，则c b a ,,为5,3,1的排列，进而f e d ,,为6,4,2的排列，这样共有3666=?种；②若abc 为偶数，由对称性得，也有3666=?种，从而def abc +为奇数的概率为 101!672=，故所求为10 91011=- 2018B 3、将6,5,4,3,2,1随机排成一行，记为f e d c b a ,,,,,，则def abc +是奇数的概率为 ◆答案：10 1 ★解析：由def abc +为奇数时，abc ，def 一奇一偶，①若abc 为奇数，则c b a ,,为5,3,1的排列，进而f e d ,,为6,4,2的排列，这样共有3666=?种；②若abc 为偶数，由对称性得，也有3666=?种，从而def abc +为奇数的概率为 101!672=。 2017A 6、在平面直角坐标系xOy 中，点集{}1,0,1,|),(-==y x y x K ，在K 中随机取出三个点，则这三个点中存在两点距离为5的概率为 ◆答案： 7 4 ★解析：由题意得K 有9个点，故从中取出三个点共有8439=C 种。 将K 中的点按右图标记为O A A A ,,,,821 ，其中有8对点之间的距 离为5，由对称性，考虑取41,A A 两点的情况，则余下的一个点有 7种取法， 这样有5687=?个三点组（不考虑顺序）。对每个i A （8,,2,1 =i ），K 中恰有53,++i i A A

高中数学竞赛模拟题(十六套)

模拟试题一 2010年全国高中数学联赛模拟试题 一 试 一、填空题（每小题８分，共６４分） 1．方程错误！未找到引用源。 2．如图，在错误！未找到引用源。 错误！未找到引用源。=错误！未找到引用源。，则m+2n 的值为 错误！未找到引用源。 ３．错误！未找到引用源。 4．单位正方体错误！未找到引用源。 错误！未找到引用源。这八个面截这个单位正方体，则含正方体中心的那一部分的体积为 . ５．设数列错误！未找到引用源。 6．已知实数x ，y ，z 满足xyz=32，x+y+z=4，则|x|+|y|+|z|的最小值为错误！未找到引用源。 7．若错误！未找到引用源。 8．空间有100个点，任4点不共面，用若干条线段连结这些点，如果不存在三角形，最多 可连错误！未找到引用源。条线段． 二、解答题（共５６分） 9．（16分）设错误！未找到引用源。 错误！未找到引用源。之和为21，第2项、第3项、第4项之和为33． （1）求数列错误！未找到引用源。的通项公式； （2）设集合错误！未找到引用源。 错误！未找到引用源。， 求证：错误！未找到引用源。． 10．（20分）过抛物线错误！未找到引用源。 错误！未找到引用源。 错误！未找到引用源。的距离均不为整数． 11．（20分）已知二次函数错误！未找到引用源。有两个非整数实根，且两根不在相邻两整数之间．试求a ， b 满足的条件，使得一定存在整数k ，有错误！未找到引用源。成立． 二 试 一．（40分）如图，已知错误！未找到引用源。 错误！未找到引用源。求证：错误！未找到引用源。 N D C A M B P E F A

二．（40分）设错误！未找到引用源。． 三. （50分）已知n 个四元集合错误！未找到引用源。 错误！未找到引用源。，试求n 的最大值．这里错误！未找到引用源。 四．（50分）设错误！未找到引用源。为正整数错误！未找到引用源。 的二进制表示数的各位数字之和，错误！未找到引用源。为数列错误！未找到引用源。的前n 项和. 若存在无穷多个正整数n ，满足错误！未找到引用源。，且m 错误！未找到引用源。，则称错误！未找到引用源。是“好数”.试问： （1）2，3，5是否都是好数？ （2）错误！未找到引用源。是否都是好数？ 模拟试题二 全国高中数学联赛模拟试题 江苏省盐城中学 陈健 第一试 一、填空题：（每小题7分，共计56分） 1. 若函数)(x f y =图象经过点（2，4），则)22(x f y -=的反函数必过点__________ 2. a 、b 、c 是从集合{ }54321，，，，中任意选取的3个不重复的数，则c ab +为奇数的概率为___________ 3. 已知数列{}n a 的通项公式是1 )1(1)1(2 244++++++=n n n n a n ，则数列{}n a 的前n 项和n S =_____ 4. 抛物线2 8 1x y - =的准线与y 轴交于点A ，过A 作直线交抛物线于点M 、N ，点B 在抛物线对称轴上，且MN MN BM ⊥+ )2 (，则OB 的取值范围是____________ 5. 已知,R αβ∈，直线 1sin sin sin cos x y αβαβ+=++与1cos sin cos cos x y αβαβ +=++ 的交点在直线y x =-上，则cos sin c in s s o ααββ+++= 6. 如图，四面体ABCD 中，ADB ?为等腰直角三角形， 090=∠ADB ，1=AD ，且0 60=∠=∠ADC BDC ， 则异面直线AB 与CD 的距离为______________ 7. 已知点)2,2(A 、),(y x P ，且y x ,满足 A B C D

全国高中数学联赛试题及解答完整版

全国高中数学联赛试题 及解答 集团标准化办公室：[VV986T-J682P28-JP266L8-68PNN]

2000年全国高中数学联合竞赛试卷 （10月15日上午8:009:40） 一、选择题（本题满分36分，每小题6分） 1．设全集是实数，若A={x|≤0}，B={x|10=10x}，则A∩R B是() (A){2}(B){1}(C){x|x≤2}(D) 2．设sin＞0，cos＜0，且sin＞cos，则的取值范围是() (A)(2k+，2k+)，k Z(B)(+，+)，k Z (C)(2k+，2k+)，k Z(D)(2k+，2k+)∪(2k+，2k+)，k Z 3．已知点A为双曲线x2y2=1的左顶点，点B和点C在双曲线的右分支上，△ABC是等边三角形，则△ABC的面积是() (A)(B)(C)3(D)6 4．给定正数p，q，a，b，c，其中pq，若p，a，q是等比数列，p，b，c，q是等差数列，则一元二次方程bx22ax+c=0() (A)无实根(B)有两个相等实根(C)有两个同号相异实根(D)有两个异号实根 5．平面上整点（纵、横坐标都是整数的点）到直线y=x+的距离中的最小值是() (A)(B)(C)(D) 6．设ω=cos+i sin，则以，3，7，9为根的方程是() (A)x4+x3+x2+x+1=0(B)x4x3+x2x+1=0 (C)x4x3x2+x+1=0(D)x4+x3+x2x1=0 二．填空题（本题满分54分，每小题9分） 1．arcsin(sin2000)=__________． 2．设a n是(3)n的展开式中x项的系数(n=2，3，4，…)，则(++… +))=________. 3．等比数列a+log23，a+log43，a+log83的公比是____________. 4．在椭圆+=1(a＞b＞0)中，记左焦点为F，右顶点为A，短轴上方的端点为B.若该椭圆的离心率是，则∠ABF=_________. 5．一个球与正四面体的六条棱都相切，若正四面体的棱长为a，则这个球的体积是________. 6．如果：(1)a，b，c，d都属于{1，2，3，4}； (2)ab，bc，cd，da； (3)a是a，b，c，d中的最小值， 那么，可以组成的不同的四位数的个数是_________ 三、解答题(本题满分60分，每小题20分) 1．设S n=1+2+3+…+n，n N*，求f(n)=的最大值．