理论力学习题(1)
第一章 思考题
1.1 平均速度与瞬时速度有何不同？在什么情况下，它们一致？
答：平均速度因所取时间间隔不同而不同，它只能对运动状态作一般描述，平均速度的方向只是在首末两端点连线的方向；而瞬时速度表示了运动的真实状况，它给出了质点在运动轨道上各点处速度的大小和方向（沿轨道切线方向）。只有在匀速直线运动中，质点的平均速度才与瞬时速度一致。
1.2 在极坐标系中，θθ&&r v r v r ==，为什么2θ&&&r r a r
-=而非r &&？为什么θθθ&&&&r r a 2+=而非θθθ&&&&r r a +=？你能说出r a 中的2θ&r -和θa 中另一个θ&
&r 出现的原因和它们的物理意义吗？
答：在极坐标系中，径向速度和横向速度，不但有量值的变化，而且有方向的变化，单位矢量对时间的微商不再等于零，导致了上面几项的出现。实际上将质点的运动视为径向的直线运动以及以极点为中心的横向的圆周运动。因此径向加速度分量r a 中，除经
向直线运动的加速度r &
&外，还有因横向速度的方向变化产生的加速度分量2θ&r -；横向加速度分量中除圆周运动的切向加速度分量θ&&r 外，还有沿横向的附加加速度θ&&r 2，其中的一半θ&&r 是由于径向运动受横向转动的影响而产生的，另一半θ&&r 是由于横向运动受径
向运动的影响而产生的。
1.3 在内禀方程中，n a 是怎样产生的？为什么在空间曲线中它总沿着主法线的方向？当质点沿空间曲线运动时，副法线方向的加速度b a 等于零，而作用力在副法线方向的分量b F 一般不等于零，这是不是违背了牛顿运动定律呢？
答：由于自然坐标系是以轨道切线、主法线和副法线为坐标系，当质点沿着轨道曲线运动时，轨道的切线方向始终在密切平面内，由于速度方向的不断变化，产生了n a 沿主法线方向且指向曲率中心。在副法线方向不存在加速度分量，b a 等于零，这并不违背牛顿运动定律，因为在副法线方向作用的主动外力不一定为零，但可做到∑=0b F ，即所有外力之和在副法线方向平衡。
1.4 在怎样的运动中，只有τa 而无n a ？在怎样的运动中，又只有n a 而无τa ？在怎样的运动中，既有τa 又有n a ？
答：质点在变速直线运动中，只有τa 而无n a ；质点在匀速曲线运动中，只有n a 而无τa ；质点在变速曲线运动中，既有τa 又有n a 。
1.5 dt r d ρ与dt dr 有无不同？dt v d ρ与dt
dv 有无不同？试就直线运动与曲线运动分别加以
讨论。
答：直线运动中：
dt r d ρ是速度，是矢量；dt dr
是速率，是标量；
dt v d ρ是加速度，是矢量；dt dv
是加速度的大小，是标量。
i dt
dv dt v d i dt dr dt r d ρ
ρρρ==
曲线运动中：
dt r d ρ是速度，是矢量；dt dr
是速度的径向分量，是标量；
dt v d ρ是加速度，是矢量；dt dv 是加速度的切向分量，是标量。
1.6 人以速度v 向篮球网前进，则当其投篮时应用什么角度投出？跟静止时投篮有何不同？
答：设静止时投篮角度为θ，运动时投篮角度为φ，且：090,0><φθ，篮球为动点，人为运动参照系，篮球网不动。人的速度为牵连速度e v ，球对人的速度为相对速度
r v ，人静止时投篮速度为0v ，也就是球的绝对速度。因此：
??
?=+=)
2(sin sin )1(cos cos 00φθφ
θr r e v v v v v
φφ
θctg v v ctg r e +=sin :)2()
1( 0>>∴φθctg ctg ,因余切函数是减函数。故：φθ<，即人以速度v 向
篮球网前进时，其投篮的抛射角较静止时应大些，才能准确地将球投入蓝中。
1.7 雨点以匀速v 落下，在一有加速度a 的火车中看，它走什么路线？ 答：这属于牵连运动为平动的问题。以车厢为参照系建立坐标系o ——xy ，则雨点受惯性力a m -作用，忽略雨点的重力，则动力学方程为：
???==0y m ma x m &&&& 即：?
??====常数常数v y a x &&&
雨点在x 方向作匀加速运动，在y 方向作匀速运动，与重力场中物体的平抛运动相比较
知，雨点相对于火车走的是一条抛物线，若常数≠=a x &&，则要经过积分才能知道路径。
1.8 某人以一定的功率划船，逆流而上，当船经过一桥时，船上的渔竿不慎掉入河中，两分钟后，此人才发现，立即返棹追赶，追到渔竿之处在桥的下游600米的地方，问河水的流速是多大？
答：以船为动点，河水为动系，岸为定系。船对水的相对速度r v ，水对岸的流速（及渔竿的速度）为牵连速度e v ，所以：
e
e r e r v v v v v 600600)(120120=++-?+
解得：e v =2.5米/秒。
1.9 物体运动的速度是否总是和所受的外力的方向一致？为什么？
答：物体运动速度并不一定和所受的外力方向一致。只有物体的加速度方向才和其所受外力的方向一致。速度总是沿着切线方向，而作用于质点的外力是可以有不同方向的，所以物体运动的速度并不总是和所受外力的方向一致。
1.10 在哪些条件下，物体可以作直线运动？如果初速度的方向和力的方向不一致，则物体是沿力的方向还是沿初速度的方向运动？试用一具体实例加以说明。
答：当力的作用方向与物体的初速度方向一致或相反时，物体才能作直线运动。如果力的方向与物体的初速度方向不一致，则物体既不沿力的方向也不沿初速度的方向运动，如抛射体运动。
1.11 质点仅因重力作用而沿光滑静止曲线下滑，达到任意一点时的速度只和什么有关？为什么是这样？假如不是光滑的又将如何？
答：如图所示，取x 轴为零势线，由于曲线光滑，曲线对质点的作用力和位移方向垂直，该力不作功，故机械能守恒：
mgy mv mv -=2
202
121 gy v v 22
+= 即达到任一点的速度只与初速度及下降的高度有关，而与曲线的形状无关。如果曲线不是光滑的，则有摩擦力存在，摩擦力在质点运动过程中作功，由动能定理有：
??+=-l
mgy mv mv l f d 2
022121 ??+
+=l
m gy v v l f d 2
2202 由于摩擦力作功与路径有关，所以摩擦力存在时，质点到达任一点的速度与初速度及下降的高度有关，还与曲线的形状有关。
1.12 为什么质点被约束在一光滑静止的曲线上运动时，约束力不作功？我们利用动能定理或能量积分，能否求出约束力？如不能，应当怎样去求？
答：因为约束力与运动方向垂直，所以在光滑静止曲线上，约束力不作功，用动能定理或能量积分无法求出约束力。此时可以用动能定理或能量积分先求出速度，在利用内禀方程中的法向运动微分方程，可求出约束力。
1.13 质点的质量是1kg ，它运动时的速度是：k j i k j i v ρρρρρρρ
、
、式中,323++=是沿xyz 轴上的单位矢量，求此质点的动量和动能的量值。
答：动量：k j i v m P ρρρρ
ρ323++== 动量的量值： （单位）432322=++==mv P 动能： （单位）8)323(2
12122
2=++==mv T
1.14 在上题中，当质点以上述速度运动到（1，2，3）点时，它对原点O 及z 轴的
动量矩各是多少？
答：质点运动到（1，2，3）点时，它对原点O 的位矢为：
k j i r ρρρ
ρ32++= 则对O 点的动量矩为：
3
23321k j i
v m r J ρρρρ
ρρ=?=
k j i ρρ
ρ4)39()632(--+-= 对z 轴的动量矩为：
4-=?=k J J z ρ
ρ
1.15 动量矩守恒是否就意味着动量也守恒？已知质点受有心力作用而运动时，动量矩是守恒的，问它的动量是否也守恒？
答：动量矩守恒的条件是；0=?=F r M ρρρ；动量守恒的条件为：0=F ρ
。由于
0=?=F r M ρρρ时，可以是r ρ与F ρ
共线而0≠F ρ，故动量矩守恒时动量不一定守恒。
以质点在有心力作用下的运动为例，r
r
r F F ρρ)(=，显然0=?=F r M ρρρ，动量矩守恒，
但因为0≠F ρ
，动量不守恒。实际上质点的动量沿轨道切线，其大小和方向时刻在变化。
1.16 如)(r F F =，则在三维直角坐标系中，仍有0=??F ρ
的关系存在吗？试检验
之。
答：r r r F F ρρ)(=， 则： r x r F F x )(= r y r F F y )(= r
z
r F F z )(=
r
z r F r
y r F r
x r F z y x k j i F )
()
()
(??????=
??ρρρ
ρ
k y
x F y r y F x j r z F x r x F z i r y F z r z F y ρ
ρρ)]()([)]()([)]()([??-??+??-??+??-??=
z r r F r y y r r F r z r y F z r z F y F x ????-????=??-??=??)()()()()(ρ
r
z z r r
y y r r
x
x r z y x r =??=??=??++=2
222Θ 0
)(=??∴x F ρ
同理：
)(=??y F ρ
)(=??z F ρ
0=??∴
F ρ
即有心力场是无旋场，有心力场是保守力场。
1.17 在平方反比引力问题中，势能曲线应具有什么样的形状？ 答：平方反比引力： 2
)(r
GMm
r F -
= 势能为：
r GMm
dr r GMm dr r F r d F V r -
==-=?-=???∞2)(ρρ 势能曲线形状如图所示。
1.18 我国发射的第一颗人造地球卫星的轨道平面和地球赤道平面的夹角为68.50，比苏联及美国第一次发射的都要大，我们说，交角越大，技术要求越高，这是为什么？又交角大的优点是什么？
答：评定发射人造卫星的技术指标应从多方面综合考虑，不应简单地一概而论。卫星的轨道平面和地球赤道平面的夹角大，利用地球自转的线速度就小，因而就需要火箭的推动力要大，技术要求就高。交角大，卫星“扫射”地球表面积大，因而了解信息就多。但人造地球卫星的轨道平面和地球赤道平面的夹角，是按卫星的功能和实际需要来确定的。
1.19 卢瑟福公式对引力库仑场来讲也能适用吗？为什么？
答：卢瑟福公式由平方反比斥力得到，而引力库仑场为平方反比引力，两者实质一样，只差一符号，引力场中轨道的偏转与斥力场中偏转的方向相反，故卢瑟福公式也能使用。
第一章 习题
1.1 沿水平方向前进的枪弹，通过某一距离s 的时间为t 1，而通过下一等距离s 的时间为t 2，试证明枪弹的减速度（假定是常数）为：
)
()
(2212112t t t t t t s +-
证：设初速度为0v ，加速度为：-a
通过第一段距离s ： )1(2
1
2
110at t v s -=
通过2s 距离： )2()(21
)(22
21210t t a t t v s +-+=
（1）（2）两式联立，消去0v 得：])2()()1[(121t t t ?-+?
)(2
1
)(212112t t t at t t s +=
- )
()
(2212112t t t t t t s a +-=
∴
证毕。
1.2 某船向东航行，速率为每小时15千米，在正午经过某一灯塔，另一船以同样速度向北航行，在下午1时30分经过此灯塔，问在什么时候两船的距离最近？最近的距离是多少？
解：以正午为计时零点，设t 时两船相距最近，其最近距离为S 。设东向船为A ，北向船为B ，以
灯塔为坐标原点O ，建立坐标系xy O —，如图所示。在t 时刻，两船位置分别为：
()0,A x A ()B y B ,0
小时千米/15=v
vt x A = ()5.1-=t v y B
()2
22
25.1-+=+=t t v y x S B A
()()
05.15.122222=-+-+=t t t t v dt ds
则:
()05.1222
=-+t t
小时75.0=∴t （即午后45分钟）
将t 值代入S 表达式得：
()9.155.175.075.0152
2min =-+=S （千米）
答：在正午后45分钟两船相距最近，其最近距离为15.9千米。
1.3 曲柄r OA =，以匀角速ω绕定点O 转动，此曲柄借连杆AB 使滑块B 沿直线ox 运动，求连杆上C 点的轨迹方程及速度。设ψφ
=∠=∠==ABO AOB a CB AC 。
解：如图所示建立坐标系0——xy ，C 点的坐标为：
??
?=+=)
2(sin )1(cos cos ψψ
φa y a r x
在三角形AOB 中，
)3(sin 2sin ψ
φa r =
由（1）（2）两式消去ψ得： 222)cos (φr x y a -+= 即： )4(cos 22y a r x -=-φ
由（2）（3）两式消去ψ得： )5(sin 2φ
r y =
由（4）（5）两式消去φ得： 22222)(4y a x y r --+= 上式化简得轨道方程为：
22222222)3()(4r a y x y a x -++=- 对（1）（2）两式取微商得：
??
?=--=)
7(cos )
6(sin sin ψψψψφφ&&&&&a y
a r x
对（3）式取微商得： ψψφφ
cos 2cos &&a r =
)8(cos 2cos ψ
φφψ
a r &&=
将（8）代入（6）（7）得：
???
???
?==--=ωφφφψφψφφφ&&&&&&cos 21cos 2cos sin sin r y r r x
C 点的速度为
222
2
)cos 2
1()cos 2cos sin sin (φφψφψφφφ&&&&&r r r y x v +-=+=
φψφψφψ
ω
2cos )sin(cos sin 4cos 2++=r
1.4 细杆OL 绕O 点以匀角速ω转动，并推动小环C 在固定的钢丝AB 上滑动，如图所示，d 为一已知常数，试求小环的速度及加速度的量值。
解：如图建立直角坐标系O —xy ，小环在任意时刻的位矢为：
j i j i r d dtg y x +=+==θ
i i r v ωθθd
d x sec d dt d 2
22+=??==& 式中用到：
==
θ
θ2
21
cos sec 22
2
d d x + ∴ 小环的速度的量值为：ωd
d
x v 2
2
+=
()
?
?? ?
?
=?=?==
d x tg tg sec d sec d dt
d dt d θθθωθωi
i v a 2222
i 2
2
22
2d d x x
+=ω ∴小环的加速度的量值为：2
2
22
2d
d x x a +=ω
B
1.5 矿山升降机作加速度运动时，其变加速度可用下式表示：
)2sin 1(T
t
c a π-=
式中c 及T 为常数，试求运动开始t 秒后升降机的速度及其所走过的路程。已知升降机的初速度为零。
解： 升降机作直线加速运动，则：
)2sin 1(T
t
c dt dv π-=
两边积分：
dt T t c dv t v )2sin 1(0
0π-=?? )]12(cos 2[-+=∴T t
T t c v ππ
)]12(cos 2[-+==∴T
t
T t c dt ds v ππ
两边积分：
dt T
t
T t c ds t s )]12(cos 2[00-+=??ππ
)]2sin 2(22[2t T
t T T t c s -+=∴πππ
1.6一质点沿位矢及垂直于位矢的速度分别为r λ及μθ，式中μλ、是常数，试证其沿位矢及垂直于位矢的加速度分别为：
r
r a r 2
22
θμλ-
= ??? ??
+=r a μλμθθ
证：由已知：r r
v r λ==&
沿位矢方向
μθθ
θ==&r v
垂直位矢方向
则：j i v μθλ+=r
j i 、为径向、横向单位矢量
()()j i v a μθλdt d
r dt d dt d +==
∴ dt d dt d r j j i r i μθθμλλ+++=&& i j j i θμθθμθλλ&&&&-++=r r
()()
j i θ
μθλθμθλ&&&&++-=r r
0θ
j i ???
? ??++???? ??-=r r r θμλμθθμλ2222
r
r a r 2
22
θμλ-
=∴ ??? ??
+=r a μλμθθ
证毕。
1.7 试自θθsin r y cos r x ==,出发，计算x
&&及y &&，并由此推出径向加速度r a 和横向加速度θa 。
解：y x 、坐标与平面极坐标θ、r 之间的关系，如图所示。
?????+=-=θθθθθθcos r sin r y
sin r cos r x
&&&&&& θ
θθθθθθθθcos r sin r sin r sin r cos r x 2&&&&&&&&&&&----= θ
θθθθθθcos r sin r sin r cos r 22&&&&&&&---=θθθθθθθθθsin r cos r cos r cos r sin r y 2&&&&&&&&&&&-+++=
θθθθθθθsin r cos r cos r sin r 22&&&&&&&-++=
θθsin y cos x a r &&&&+=
θθθθθθθ
θθθθθθ2222222sin r sin θcos θr sin cos θr sin r cos sin r cos r cos θsin θr cos r &&&&&&&&&&&&&&-+++---= 2θ&&&r r -=
sin θx cos θy a &&&&-=θ
θ
θθθθθθθθθθθsin cos θr sin r sin r cos θsin r cos θ
sin θr cos r cos r cos θθsin r 22222222&&&&&&&&&&&&&&+++--++=
θθ&&&&r r +=2
∴径向加速度为： r a 2θ&&&
r r -= 横向加速度为：θa θθ&&&&r r +=2
1.9 质点作平面运动，其速率保持为常数。试证其速度矢量v 与加速度矢量a 正交。
证：常数（已知）==?2v v v ρ
ρ
上式对时间取微商： 00
2=?=?a v a v ρρρ
ρ即：
a v ρρ⊥∴
即速度矢量v ρ与加速度矢量a ρ
正交。
又证：因为质点作平面运动，速度总沿轨道切线方向。
i v v ρρ=
而 j v i dt dv dt v d a ρ
ρρ
ρρ
2+==
又v 为常数（已知），
0=dt
dv
所以： j v dt v d a ρ
ρ
ρρ
2== 故：a v ρρ⊥ 即速度矢量v ρ与加速度矢量a ρ
正交。
证毕。
1.10 一质点沿着抛物线px y 22=运动，其切向加速度的量值为法向加速度量值的
-2k 倍，如此质点从正焦弦),2
(p p
的一端以速度u 出发，试求其达到正焦弦另一端的速
率。
解：由px y 22=得： y
p dx dy tg ==
θ 始点πππθθ45
41),2(00=
+==?tg p p （第三象限）
终点πππθθ4
7
421),2(=-
=-=?-tg p p （第四象限）
dt
d v ds d dt ds v ds d v v a dt
dv
a n θθθρ
τ====
=
2
2
由题意知：
dt
d kv dt dv θ2-= 积分：
??-=v
u d k v dv
θθθ02
)4
5
47(2ln ππ--=k u v
πk ue v -=
1.11 质点沿着半径为r 的圆周运动，其加速度矢量与速度矢量间的夹角α保持不变。求质点的速度随时间而变化的规律。已知初速度为0v 。
解：按题意画图，如图所示。
τa 沿切向与v 同向，a 与τa 间夹角α，即a 与v 间夹角为α，为常数。则：
r
v a dt
dv a ctg a a n n
2
=
=
=ττ
α
αctg r
v
dt dv 2
=∴
?
?
=t
v
v dt r ctg v
dv 0
2
α
t r
ctg v v α-=∴
011
1.12 在上题中，试证其速度可表示为： αθθctg e v v )(00-=
式中θ为速度矢量与x 轴间的夹角，且当t =0时，0θθ=
证： θ
α
ττd ds r r
v a dt dv a ctg a a
n n =
=
=
=2
θ
αvd dv ctg =
∴ 分离变量积分：
?
?=v
v d ctg v
dv
θθθα
αθθctg v v
)(ln
00
-= αθθctg e v v )(00-=
证毕。
1.13假定以飞机从A 处向东飞到B 处，而后又向西飞回原处，飞机相对于空气的速度为v '，而空气相对于地面的速度则为0v ，A 与B 之间的距离为l ，飞机相对于空气的速率v '保持不变。
(a) 假定00=v ，则空气相对于地面是静止的，试证来回飞行的总时间为：v
l
t '=20； (b) 假定空气速度向东（或向西），试证来回飞行的总时间为：；2
200
/1v v t t B '
-=
(c) 假定空气速度向北（或向南），试证来回飞行的总时间为： 2
20
0/1v v t t N '
-=。
解：本题是牵连运动为平动的问题 选择：动点（运动物体）——飞机；
动系——空气； 定系——大地。
v v v '+=∴
其中v '为相对速度，0v 为牵连速度，v 为绝对速度。
(a)空气静止0=0v v v '= 其大小为：0
2t l
v v =
'= v l t '
=
∴
20 (b)设空气向东流动
当飞机由西向东飞行时，v v v AB '+=0
v v l
t AB '
+=
∴
0 当飞机由东向西返回时：v v v BA '-=-0
v v l
t BA -'=
∴
故来回所花时间：
0v v l
v v l t t t BA AB B -'++'=
+=
2
20202/122v v v l
v v l v '-'=-''=
2
2
00
/1v v t '-=
(c) 设风从南向北吹，飞机由西向东飞行时相对速度为1v ，飞机由东向西飞时相对速度为2v ，如图所示。
2
0221v v v v -'==
2
22
v v l t N -'=∴
2
2
0/12v v v l
'-'=
2
2
00/1v v t '
-=
1.14 一飞机在静止空气中每小时的速率为100千米，如果飞机沿每边为6千米的正方形飞行，且风速为每小时28千米，方向与正方形的某两边平行，则飞机绕此正方形飞行一周，需时多少？
解：设飞机为动点，风为动系，且由南向北吹，大地为静系。如图所示。
飞机向北行：v v v '+=01 飞机向南行：03v v v -'= 飞机向东或向西行：
02
42v v v v -'==
绕正方形飞行一周所需时间为：
20
2002v v l
v v l v v l t -'+-'+'+=
2
2022
01212v v v l v v v l
'
-
'+
???
? ?
?'-'=
???
?
?
?'-+
'-'=220220/11/112v v v v v l
0v
1v
v '
2v
0v
v '
0v
0v
0v
0v v '
v '
4v
2v
??
????
?
????? ??-+?
?? ??-?=22
10028111001011100622552.0=小时=15165
分钟
1.15当一轮船在雨中航行时，它的雨蓬遮着篷的垂直投影后2米的甲板，篷高4米，但当轮船停航时，甲板上干湿两部分的分界线却在篷前3米，如果雨点的速度为8米/秒，求轮船的速率。
解：选择：动点——雨点
动系——轮船
静系——岸边
雨对地的速度（绝对速度）s m v /8=
雨对船的速度（相对速度）为v '
船对地的速度（牵连速度）为0v 方向如图所示。
由相对运动速度公式有：
=v +0v v '
由图形知：
ABC ?与速度三角形相似，则：
12
3432
20=++==BC AB v v s m v v /80==∴
1.16 宽度为d 的河流，其流速与到河岸的距离成正比。在河岸处，水流速度为零，
在河流中心处，其值为c ，一小船以相对速度u 沿垂直于水流的方向行驶，求船的轨迹以及船在对岸靠拢的地方。
解：2
0d
y ≤≤：
c v d
y ky v ===002
y d
c
v d c k 220==∴ cy
ud
v u dx dy tg 20===
θ 分离变量积分：
?
?=x y dx c
ud ydy 0
2 所以船的轨迹为：
A B
C 前 后 2
3
4
v 0v
v ' v '
)2
0(2
d y y ud
c x ≤
≤=
d y d
≤≤2
： )(2)(0y d d
c
y d k v -=
-= u
cd
d ud c x d
y 4)2(2
2=
==
)
(20y d c ud v u dx dy tg -===
θ 分离变量积分： ??=-x
u
cd
y d dx c
ud dy y d 42
2)( 所以船的轨迹为： )2
(
222d y d
u
cd y ud c y u c x ≤≤--=
船在对岸靠拢的地点： u
cd
u cd d ud c d u c x d y 2222=--=
=
1.17 小船M 被水冲走后，有一荡桨人以不变的相对速度C 2朝岸上A 点划回，假定河流速度C 1沿河宽不变，且小船可以看成一个质点，求船的轨迹。 解：这是一个牵连运动为平动的问题，选取平面极坐标系。
dt dr
（径向绝对速度）21cos C C -=? （1） dt
d r ?（横向绝对速度）?sin 1C -= （2）
两式相除，得：
??
??d C C d r dr )sin 1sin sin (12+-= （3）
1
2
csc sin sin C C k d k d r dr =
+-=???
???
?
A tg k r ++-=)2
ln()ln(sin ln ?
?
2
ln sin ln ln ,0
000
0????tg
k r A r r -+=?
==时当
k tg tg r r ])2()2(ln[sin sin ln ln 000????+= 令： 2
2
0?α?
α=
=
则： 0
0000sin cos sin cos sin sin sin sin αα?αα?αα??k
k k k k k tg tg r r == 00
00sin cos cos sin 2cos sin cos sin 2ααααααααk
k k k = 0
1
10
11sin cos cos sin αααα-++-=k k k k 所以船的轨迹为：
110
110
sin cos cos sin αααα-++-=k k k k r r
1.18 一质点自倾角为α的斜面的上方O 点，沿一光滑斜槽OA 下降，如欲使此质点到达斜面上所需的时间为最短，问斜槽OA 与竖直线所成之角θ应为何值？
解：如图所示，απ
-=∠2
OBA
由正弦定理得：
)]
2
(
sin[)
2
sin(
απ
θπαπ
---=
-OB
OA
即：
)1()
cos(cos θαα-=
OB
OA
质点下降的加速度为：θcos g
)2(cos 2
1
2t g OA ?=θ
将（2）式代入（1）式得：
)
cos(cos cos 2
1
2
θααθ-=?OB t g
θ
θααcos )cos(cos 22-??=
g OB t
因t 取极值时，t 2也取极值，所以：
))(cos cos )
sin(cos )cos(sin (cos 2222θαθθαθθαθαθ----?=g OB d dt 0))
(cos cos )
2sin(cos 22
2=-?-?=
θαθαθαg OB 则： 0)2sin(=-αθ 即： 2
02α
θαθ=
∴=-
证毕。
1.19 将质量为m 的质点竖直上抛于有阻力的媒质中，设阻力与速度平方成正比，即22gv mk R =，如上掷时的速度为v 0，试证此质点又落至投掷点时的速度为： 2
2011v
k v v +=
证：选取坐标系ox ，质点受力分析如图所示。 上升：质点运动微分方程为：
22gv mk mg x m --=&&
dx x d x x x dt dx v &&&&&===
上式可写为： )1(22x k g dx
x d x &&&+-= 分离变量积分得：
12222)1ln(C gx k x
k +-=+& )1ln(0
2
0210v k C v x x +=?==&，代入上式得：
gx k v k x
k 22
22
2211ln -=++& gx
k
e v k x k 2
220222)1(1-+=+∴
&
到达最高点：
)1ln(2102
022
v k g
k x x +=
?=& 下降：质点运动微分方程为：
22gv mk mg x m +-=&&
)1(22x k g dx
x d x &&&--= 积分得：
22222)1ln(C gx k x
k +=-& )1ln()1ln(2102
0222022
v k C v k g
k x x +-=?+=
=&，代入上式得： gx k v k x k 2202222)1()1ln(=+?+&
落至投掷点：0=x
1)1()1(20222=+?+v k x k &
所以质点又落至投掷点时的速度为：
2
2011v
k v v x
+==&
证毕。
1.20 一枪弹以仰角、初速自倾角为的斜面的下端发射，试证子弹击中斜面的地方和发射点的距离（沿斜面量取）及此距离的最大值分别为：
β
βαα2
2
0cos )sin(cos 2-=g v d )24(sec 2220max βπ-=g v d 证：选取坐标系oxy ，受力分析如图所示。
枪弹运动微分方程为：
??
?-==)
2()1(0mg y m x m &&&&
利用初始条件：?
?
?=====ααsin cos 0
00
00v y v x y x t && 对（1）（2）两式积分两次得：
???
??-?=?=)4(21sin )3(cos 2
00gt t v y t v x αα
（3）（4）两式消去t ，得轨迹方程为： 2
2
20cos 2x v g xtg y α
α-
= 子弹击中斜面点：)sin ,cos (ββd d A ，满足轨迹方程：
理论力学题库(含答案)---1
理论力学---1 1-1.两个力，它们的大小相等、方向相反和作用线沿同一直线。这是 (A)它们作用在物体系统上，使之处于平衡的必要和充分条件； (B)它们作用在刚体系统上，使之处于平衡的必要和充分条件； (C)它们作用在刚体上，使之处于平衡的必要条件，但不是充分条件； (D)它们作用在变形体上，使之处于平衡的必要条件，但不是充分条件； 1-2. 作用在同一刚体上的两个力F1和F2，若F1 = - F2，则表明这两个力 (A)必处于平衡； (B)大小相等，方向相同； (C)大小相等，方向相反，但不一定平衡； (D)必不平衡。 1-3. 若要在已知力系上加上或减去一组平衡力系，而不改变原力系的作用效果，则它们所作用的对象必需是 (A)同一个刚体系统； (B)同一个变形体； (C)同一个刚体，原力系为任何力系； (D)同一个刚体，且原力系是一个平衡力系。 1-4. 力的平行四边形公理中的两个分力和它们的合力的作用范围 (A)必须在同一个物体的同一点上； (B)可以在同一物体的不同点上； (C)可以在物体系统的不同物体上； (D)可以在两个刚体的不同点上。 1-5. 若要将作用力沿其作用线移动到其它点而不改变它的作用，则其移动范围 (A)必须在同一刚体内； (B)可以在不同刚体上； (C)可以在同一刚体系统上； (D)可以在同一个变形体内。 1-6. 作用与反作用公理的适用范围是 (A)只适用于刚体的内部； (B)只适用于平衡刚体的内部； (C)对任何宏观物体和物体系统都适用； (D)只适用于刚体和刚体系统。 1-7. 作用在刚体的同平面上的三个互不平行的力，它们的作用线汇交于一点，这是刚体平衡的 (A)必要条件，但不是充分条件； (B)充分条件，但不是必要条件； (C)必要条件和充分条件； (D)非必要条件，也不是充分条件。 1-8. 刚化公理适用于 (A)任何受力情况下的变形体； (B)只适用于处于平衡状态下的变形体； (C)任何受力情况下的物体系统； (D)处于平衡状态下的物体和物体系统都适用。 1-9. 图示A、B两物体，自重不计，分别以光滑面相靠或用铰链C相联接，受两等值、反向且共线的力F1、F2的作用。以下四种由A、B所组成的系统中，哪些是平衡的？
理论力学练习题-基础题
理论力学练习 一、填空题 １、理论力学是研究物体______一般规律的科学，包括静力学、_____和_____。静力学主要研究物体______和物体在外力作用下的_________。２、平衡是指物体相对地球处于______或作______运运。 ３、力是物体间的相互______，这种作用使物体的_____和____发生变化。４、力是矢量，具有_____和______。矢量的长度（按一定比例）表示力的_____，箭头的指向表示力的______，线段的起点或终点表示力的_____。 通过作用点，沿着力的方向引出的直线称为力的____。 ５、只受两个力作用并处于_______的物体称______，当构件呈杆状时则称_______。 ６、限制物体自由运动的_______称为约束。 ７、物体所受的力分为主动力、____两类。重力属_____ ８、光滑面约束不能限制物体沿约束表面______的位移，只能阻碍物体沿接触面法线并向_______的位移。 ９、确定约束反力的原则：(1)约束反力的作用点就是约束与被约束物体的_______或______；(2)约束反力的方向与该约束阻碍的运动趋势方向 ______；(3)约束反力的大小可采用______来计算确定。 10、作用在物体上的_____称力系。如果力系中的__________都在___内，且 ____________，则称平面汇交力系。人们常用几何法、_____研究平面汇交力系的合成和平衡问题。 11、任意改变力和作图次序，可得到______的力多边形，但合力的______ 仍不变，应注意在联接力多边形的封闭边时，应从第一个力的_______指向最后一个力的______。 12、共线力系的力多边形都在____上。取某一指向力为正，___指向力为负， 则合力的____等于各力代数和的______，代数和的___表示合力的_____。 13、平面汇交力系平衡的必要与充分几何条件是：该力系的___是______的。 14、平面汇交力系平衡的解析条件：力系中各力在两直角坐标上_______分 别等于______。其表达式为_______和________。 15、合力投影定理是指合力在任一坐标轴上的投影等于_____在同一轴上投 影的________。 16、为求解平面汇交力系平衡问题，一般可按下面解题步骤： (1)选择______;(2)进行_____分析;(3)选取合适的______计算各力的投 影；(4)列____，解出未知量。若求出某未知力值为负，则表明该力的_____与受力图中画出的指向______，并须在____中说明。 17、力F使刚体绕某点O的转动效应，不仅与F的____成正比，而且与O至力作 用线的____成正比。为此，力学上用乘积F·d加上适当的_____，称为_____，简称力矩。O点称为_____，简称矩心。矩心O到F作用线的_____称为力臂。 18、力矩的平衡条件：各力对转动中心O点的____的_____等于零，用公式表 示Σmo(F)＝________。
理论力学试题和答案
2010 ～2011 学年度第 二 学期 《 理论力学 》试卷（A 卷） 一、填空题（每小题 4 分，共 28 分） 1、如图1.1所示结构,已知力F ，AC ＝BC ＝AD ＝a ，则CD 杆所受的力F CD ＝（ ），A 点约束反力F Ax =（ ）。 2、如图1.2 所示结构，,不计各构件自重，已知力偶矩M ，AC=CE=a ，A B ∥CD 。则B 处的约束反力F B =（ ）；CD 杆所受的力F CD =（ ）。 E 1.1 1.2 3、如图1.3所示，已知杆OA L ，以匀角速度ω绕O 轴转动，如以滑块A 为动点，动系建立在BC 杆上，当BO 铅垂、BC 杆处于水平位置时，滑块A 的相对速度v r =（ ）；科氏加速度a C =（ ）。 4、平面机构在图1.4位置时， AB 杆水平而OA 杆铅直，轮B 在水平面上作
纯滚动，已知速度v B ，OA 杆、AB 杆、轮B 的质量均为m 。则杆AB 的动能T AB =（ ），轮B 的动能T B =（ ）。 1.3 1.4 5、如图1.5所示均质杆AB 长为L ,质量为m,其A 端用铰链支承,B 端用细绳悬挂。当B 端细绳突然剪断瞬时, 杆AB 的角加速度 =（ ），当杆AB 转到与水平线成300角时，AB 杆的角速度的平方ω2=（ ）。 6、图1.6所示机构中,当曲柄OA 铅直向上时,BC 杆也铅直向上,且点B 和点O 在同一水平线上；已知OA=0.3m,BC=1m ，AB=1.2m,当曲柄OA 具有角速度ω=10rad/s 时,则AB 杆的角速度ωAB =（ ）rad/s,BC 杆的角速度ωBC =（ ）rad/s 。 A B 1.5 7、图1.7所示结构由平板1、平板2及CD 杆、EF 杆在C 、D 、E 、F 处铰接而成，在力偶M 的作用下，在图上画出固定铰支座A 、B 的约束反力F A 、F B 的作用线方位和箭头指向为（ ）（要求保留作图过程）。
理论力学复习题
1.图示结构中的各构件自重不计。已知P =5 kN ，M=5 kN. m，q = 2.5kN/m 。 试求固定端A及滚动支座B处的约束反力。 2、一重W的物体置于倾角为α的斜面上，若摩擦系数为f， 且tgα 班级姓名学号 第一章静力学公理与受力分析(1) 一．是非题 1、加减平衡力系公理不但适用于刚体，还适用于变形体。（） 2、作用于刚体上三个力的作用线汇交于一点，该刚体必处于平衡状态。（） 3、刚体是真实物体的一种抽象化的力学模型，在自然界中并不存在。（） 4、凡是受两个力作用的刚体都是二力构件。（） 5、力是滑移矢量，力沿其作用线滑移不会改变对物体的作用效果。（）二．选择题 1、在下述公理、法则、原理中，只适于刚体的有（） ①二力平衡公理②力的平行四边形法则 ③加减平衡力系公理④力的可传性原理⑤作用与反作用公理 三．画出下列图中指定物体受力图。未画重力的物体不计自重，所有接触处均为光滑接触。整体受力图可在原图上画。 )a(球A )b(杆AB d(杆AB、CD、整体 )c(杆AB、CD、整体) f(杆AC、CD、整体 )e(杆AC、CB、整体) 四．画出下列图中指定物体受力图。未画重力的物体不计自重，所有接触处均为光滑接触。多杆件的整体受力图可在原图上画。 )a(球A、球B、整体)b(杆BC、杆AC、整体 班级 姓名 学号 第一章 静力学公理与受力分析（2） 一．画出下列图中指定物体受力图。未画重力的物体不计自重，所有接触处均为光滑 接触。整体受力图可在原图上画。 W A D B C E Original Figure A D B C E W W F Ax F Ay F B FBD of the entire frame )a (杆AB 、BC 、整体 )b (杆AB 、BC 、轮E 、整体 )c (杆AB 、CD 、整体 )d (杆BC 带铰、杆AC 、整体 第二章力系的简化 2-1．通过A（3，0，0），B（0，4，5）两点（长度单位为米），且由A指向B的力F，在z轴上投影为，对z轴的矩的大小为。 答：F/2；62F/5。 2-2．已知力F的大小，角度φ和θ，以及长方体的边长a，b，c，则力F在轴z和y上的投影：Fz= ；Fy= ；F对轴x的矩 M x(F)= 。 答：Fz=F·sinφ；Fy=－F·cosφ·cosφ；Mx（F）=F（b·sinφ+c·cosφ·cosθ） 图2－40 图2－41 2-3．力F通过A（3，4、0），B（0，4，4）两点（长度单位为米），若F=100N，则该力在x轴上的投影为，对x轴的矩为。 答：－60N； 2-4．正三棱柱的底面为等腰三角形，已知OA=OB=a，在平面ABED内有沿对角线AE的一个力F，图中α=30°，则此力对各坐标轴之矩为： M x（F）= ；M Y（F）= ；M z（F）= 。 答：M x（F）=0，M y（F）=－Fa/2；M z（F）=6Fa/4 2-5．已知力F的大小为60（N），则力F对x轴的矩为；对z轴的矩为。 答：M x（F）=160 N·cm；M z（F）=100 N·cm 图2－42 图2－43 2-6．试求图示中力F 对O 点的矩。 解：a: M O (F)=F l sin α b: M O (F)=F l sin α c: M O (F)=F(l 1+l 3)sin α+ F l 2cos α d: ()22 21l l F F M o +=αsin 2-7．图示力F=1000N ，求对于z 轴的力矩M z 。 题2－7图 题2－8图 2-8．在图示平面力系中，已知：F 1=10N ，F 2=40N ，F 3=40N ，M=30N ·m 。试求其合力，并画在图上（图中长度单位为米）。 解：将力系向O 点简化 R X =F 2－F 1=30N R V =－F 3=－40N ∴R=50N 主矩：Mo=（F 1+F 2+F 3）·3+M=300N ·m 合力的作用线至O 点的矩离 d=Mo/R=6m 合力的方向：cos （R ，）=，cos （R ，）=－ 《理论力学》试题库 第一部分 填空题： 第一类： 1，已知某质点运动方程为x=2bcoskt,y=2bsinkt,其中b 、k 均为常量，则其运动轨迹方程为————————————，速度的大小为————————————，加速度的大小为————————————。 2、已知某质点运动方程为x=2cos3t,y=2sin3t,z=4t 则其运动速度的大小为 ，加速度的大小为 。 3、已知某质点运动方程为r=e ct ,θ=bt,其中b 、c 是常数，则其运动轨道方程为——————————————————————，其运动速度的大小为——————————，加速度的大小为————————————。 4、已知某质点的运动方程为x=2bcos 2kt ，y=bsin2kt ，则其运动轨道方程为 ；速度大小为 ；加速度大小为 。 5、已知质点运动的参数方程为y=bt ，θ=at ，其中a 、b 为常数，则此质点在极坐标系中的轨道方程式为 ，在直角坐标系中的轨道方程式为 。 6、已知某质点的运动方程为r=at,θ=bt,其中a 、b 是常数，则其运动轨道方程为——————————————————————，其运动速度的大小为——————————，加速度的大小为————————————。 7、已知某质点运动方程为r=at,θ=b/t,其中a 、b 是常数，则其运动轨道方程为———————————————，其运动速度的大小为——————————，加速度的大小为—————————。 8、已知某质点的运动方程为x=at,y=a(e t －e －t )/2,其中a 为常数，则其运动轨道方程为——————————————————————，曲率半径为——————————。 第二类： 9、质点在有心力作用下，其————————————————————均守恒，其运动轨道的微 分方程为——————————————————————，通常称此轨道微分方程为比耐公式。 10、柯尼希定理的表达式为————————————————————，其中等式右边第一项和第 理论力学部分 第一章 静力学基础 一、是非题 1．力有两种作用效果，即力可以使物体的运动状态发生变化，也可以使物体发生变形。 （ ） 2．两端用光滑铰链连接的构件是二力构件。 （ ） 3．作用在一个刚体上的任意两个力成平衡的必要与充分条件是：两个力的作用线相同，大小相等，方向相反。 （ ） 4．作用于刚体的力可沿其作用线移动而不改变其对刚体的运动效应。 （ ） 5．三力平衡定理指出：三力汇交于一点，则这三个力必然互相平衡。 （ ） 6．约束反力的方向总是与约束所能阻止的被约束物体的运动方向一致的。 （ ） 二、选择题 线但方向相反。 1．若作用在A 点的两个大小不等的力1F 和2F ，沿同一直则其合力可以表示为 。 ① 1F －2F ； ② 2F －1F ； ③ 1F ＋2F ； 2．三力平衡定理是 。 ① 共面不平行的三个力互相平衡必汇交于一点； ② 共面三力若平衡，必汇交于一点； ③ 三力汇交于一点，则这三个力必互相平衡。 3．在下述原理、法则、定理中，只适用于刚体的有 。 ① 二力平衡原理； ② 力的平行四边形法则； ③ 加减平衡力系原理； ④ 力的可传性原理； ⑤ 作用与反作用定理。 4．图示系统只受F 作用而平衡。欲使A 支座约束力的作用线与AB 成30?角，则斜面的倾角应为 ________。 ① 0?； ② 30?； ③ 45?； ④ 60?。 5．二力A F 、B F 作用在刚体上且 0=+B A F F ，则此刚体________。 ①一定平衡； ② 一定不平衡； ③ 平衡与否不能判断。 三、填空题 1．二力平衡和作用反作用定律中的两个力，都是等值、反向、共线的，所不同的是 。 2．已知力F 沿直线AB 作用，其中一个分力的作用与AB 成30°角，若欲使另一个分力的大小在所有分力中为最小，则此二分力间的夹角为 度。 3．作用在刚体上的两个力等效的条件是 第一章静力学基础 一、是非题 1．力有两种作用效果，即力可以使物体的运动状态发生变化，也可以使物体发生变形。 （） 2．在理论力学中只研究力的外效应。（） 3．两端用光滑铰链连接的构件是二力构件。（）4．作用在一个刚体上的任意两个力成平衡的必要与充分条件是：两个力的作用线相同，大小相等，方向相反。（）5．作用于刚体的力可沿其作用线移动而不改变其对刚体的运动效应。（） 6．三力平衡定理指出：三力汇交于一点，则这三个力必然互相平衡。（） 7．平面汇交力系平衡时，力多边形各力应首尾相接，但在作图时力的顺序可以不同。 （）8．约束力的方向总是与约束所能阻止的被约束物体的运动方向一致的。（） 二、选择题 1．若作用在A点的两个大小不等的力 1和2，沿同一直线但方向相反。则 其合力可以表示为。 ①1－2； ②2－1； ③1＋2； 2．作用在一个刚体上的两个力A、B，满足A=－B的条件，则该二力可能是 。 ①作用力和反作用力或一对平衡的力；②一对平衡的力或一个力偶。 ③一对平衡的力或一个力和一个力偶；④作用力和反作用力或一个力偶。 3．三力平衡定理是。 ①共面不平行的三个力互相平衡必汇交于一点； ②共面三力若平衡，必汇交于一点； ③三力汇交于一点，则这三个力必互相平衡。 4．已知F 1、F 2、F 3、F4为作用于刚体上的平面共点力系，其力矢 关系如图所示为平行四边形，由此。 ①力系可合成为一个力偶； ②力系可合成为一个力； ③力系简化为一个力和一个力偶； ④力系的合力为零，力系平衡。 5．在下述原理、法则、定理中，只适用于刚体的有。 ①二力平衡原理；②力的平行四边形法则； ③加减平衡力系原理；④力的可传性原理； ⑤作用与反作用定理。 三、填空题 理论力学期末考试试题 1-1、自重为P=100kN的T字形钢架ABD,置于铅垂面，载荷如图所示。其中转矩M=20kN.m，拉力F=400kN,分布力q=20kN/m,长度l=1m。试求固定端A的约束力。 解：取T型刚架为受力对象，画受力图. 1-2 如图所示，飞机机翼上安装一台发动机，作用在机翼OA上的气动力按梯形分布： q=60kN/m，2q=40kN/m，机翼重1p=45kN，发动机 1 重 p=20kN，发动机螺旋桨的反作用力偶矩M=18kN.m。求机翼处于平2 衡状态时，机翼根部固定端O所受的力。 解： 1-3图示构件由直角弯杆EBD以及直杆AB组成，不计各杆自重，已知q=10kN/m，F=50kN，M=6kN.m，各尺寸如图。求固定端A处及支座C的约束力。 1-4 已知：如图所示结构，a, M=Fa, 12F F F ==, 求：A ，D 处约束 力. 解： 1-5、平面桁架受力如图所示。ABC为等边三角形，且AD=DB。求杆CD的力。 1-6、如图所示的平面桁架，A端采用铰链约束，B端采用滚动支座约 束，各杆件长度为1m。在节点E和G上分别作用载荷 F=10kN，G F=7 E kN。试计算杆1、2和3的力。 解： 2-1 图示空间力系由6根桁架构成。在节点A上作用力F，此力在矩形ABDC平面，且与铅直线成45o角。ΔEAK=ΔFBM。等腰三角形EAK，FBM和NDB在顶点A，B和D处均为直角，又EC=CK=FD=DM。若F=10kN，求各杆的力。 2-2 杆系由铰链连接，位于正方形的边和对角线上，如图所示。在节点D沿对角线LD方向作用力 F。在节点C沿CH边铅直向下作用力F。 D 如铰链B，L和H是固定的，杆重不计，求各杆的力。 《理论力学》试题库 ————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期： 《理论力学》试题库 第一部分填空题： 第一类： 1，已知某质点运动方程为x=2bcoskt,y=2bsinkt,其中b、k均为常量，则其 运动轨迹方程为 ————————————，速度的大小为 ———————————— ，加速度的大小为 ———— ———————— 。 2、已知某质点运动方程为x=2cos3t,y=2sin3t,z=4t则其运动速度的大小为，加速度的大小为。 3、已知某质点运动方程为r=e ct,θ=bt,其中b、c是常数，则其运动轨道方程 为 ——————————————————————，其运动速度的大小为 —————————— ，加速度的大小为 — ——————————— 。 4、已知某质点的运动方程为x=2bcos2kt，y=bsin2kt，则其运动轨道方程 为 ；速度大小为；加速度大小为。 5、已知质点运动的参数方程为y=bt，θ=at，其中a、b为常数，则此质点在极坐标系中的轨道方程式为，在直角坐标系中的轨道方程式为。 6、已知某质点的运动方程为r=at,θ=bt,其中a、b是常数，则其运动轨道方 程为 ——————————————————————，其运动速度的大小为 —————————— ，加速度的大小为 ———————————— 。 7、已知某质点运动方程为r=at,θ=b/t,其中a、b是常数，则其运动轨道方 程为 ———————————————，其运动速度的大小为 —————————— ，加速度的大小为 —————— ——— 。 8、已知某质点的运动方程为x=at,y=a(e t－e－t)/2,其中a为常数，则其运动 轨道方程为 ——————————————————————，曲率半径为 —————————— 。 第二类： 9、质点在有心力作用下，其 ———————————————————— 均守恒，其运动轨道的微 第一章 静力学基础 一、 选择题 1.如图所示三铰刚架，受水平力P 作用，有以下四种说法，其中错的是（ ）。 A.AC 为二力平衡杆件 B.BC 为三力平衡构件 C.反力R A 和R B 的方向都指向C D.R A 的方向指向C ，R B 的方向不确定 2．光滑面对物体的约束力，作用在接触点处，方向沿接 触面的公法线，且（ ） A ．指向受力物体，恒为拉力 B ．指向受力物体，恒为压力 C ．背离受力物体，恒为拉力 D ．背离受力物体，恒为压力 3．力的可传性原理是指作用于刚体上的力可在不改变其对刚体的作用效果下（ ） A ．平行其作用线移到刚体上任一点 B ．沿其作用线移到刚体上任一点 C ．垂直其作用线移到刚体上任一点 D ．任意移动到刚体上任一点 4.柔索对物体的约束反力，作用在连接点，方向沿柔索( ) A.指向该被约束体，恒为拉力 B.背离该被约束体，恒为拉力 C.指向该被约束体，恒为压力 D.背离该被约束体，恒为压力 5.图示平面结构，由两根自重不计的直角弯杆组成，C 为铰链。不计各接触处摩擦，若在D 处作用有水平向左的主动力F ，则支座A 对系统的约束反力为（ ） A.F ，方向水平向右 B. 2 F ，方向铅垂向上 C. 2 2 F ，方向由A 点指向C 点 D. 2 2 F ，方向由A 点背离C 点 6.加减平衡力系公理适用于( ) A.刚体 B.变形体 C.任意物体 D.由刚体和变形体组成的系统 7.如图所示，不计自重的杆AB ，其A 端与地面光滑铰接，B 端放置在倾角为30°的光滑斜面上，受主动力偶M 的作用，则杆AB 正确的受力图为( ) 8、( )是平面一般力系简化的基础。 A.二力平衡公理 B.力的可传性定理 C.作用和与反作用公理 D.力的平移定理 9.三直角折杆AB 、BC 、BD 连接如图所示，不计自重。其中属二力杆的杆件是（ ） A.AB 杆 B.BC 杆 C.AB 杆和BC 杆 D.BD 杆 10.如图所示简支梁，受P 力作用，对于反力R A 、R B 有以下四种表述，其中正确的是（ ）。 A.R A 、R B 的方向都是向上的。即↑ B.反力R A ↓，R B ↑ C.反力R A 方向不定，R B ↑ D.反力R A 、R B 的方向都是向下的，即↓ 一选择题 1D2B 3B 4B 5C 6A 7C 8D 9A 10A 二 .填空题 1、力矩的三要素为大小、方向、 。 2、静力学是是研究物体在力系作用下的 的科学。 3．作用于刚体上的力，可沿其作用线任意移动其作用点，而不改变该力对刚体的作用效果，称为力的_________。 4.只在两点受力而处于 无重杆，称为二力杆。 5．作用在刚体上的力F ，可以平行移动到刚体上任一点O ，但必须附加一力偶，此附加力偶的矩等于____________。 本部理论力学复习资料 计算各题中构件的动量、对转轴的转动惯量，对转轴的动量矩、动能。图a-d 中未标注杆长L ，质量m ，圆盘半径R ，质量M ，均为均质构件,转动角速度均为w 。 填空题 1.平面任意力系平衡的充分必要条件是力系的（ ）（ ）为零。 2.力系向一点简化得到的主矢与简化中心位置（ ）关，主矩矢一般与简化中心位置（ ）关。平面一般力系向一点简化可能得到的结果为力系简化为（ ）、（ ）或力系平衡。 4.平面汇交力系独立的平衡方程有（ ）个，空间汇交力系有（ ）个独立 平衡方程。 5.动点作曲线运动时的全加速度等于（ ）与（ ）两者矢量和。 6．已知质点运动方程为22,x t t y t =-+=，式中单位均为国际单位，则2t =秒时质点速度在,x y 轴投影分别为（ ）（ ）；质点速度大小为（ ）；加速度在,x y 轴投影大小分别为（ ）（ ）。 8. 力F 在x 轴上投影Fx=0和力F 对x 轴之矩Mx(F)=0，那么力F 应与（ ）轴（ ）并且（ ）。 9. 力偶矩矢的三个基本要素是（ ）（ ）和（ ）。 10. 直角刚杆AO=2m ，BO=3m ，已知某瞬时A 点的速度V A =4m/s,而B 点加速度与BO 成?=α60角。则该瞬时刚杆的角速度ω=（ ）rad/s ，角加速度ε=（ ）rad/s 2。 (a)(b) (c) e f 11.物体保持原有的（ ）（ ）状态的性质称为惯性。 12.平面一般力系向一点简化可能得到的结果为力系简化为（ ）、（ ）或力系平衡。 13.质心运动定理在空间直角坐标系下的三个投影方程为：（ ）；（ ）；（ ）。 14.摩擦角是指临界平衡时（ ）与（ ）夹角。 15.瞬时平动刚体上各点的速度（ ）；各点加速度一般（ ）。（填相等、不相等）。 选择题 斜面倾角为30α= ，物块质量为m ，与斜面间的摩擦系数0.5s f =，动滑动摩擦系数 d f = （A ） （B ） （C ） (D)质量为m 压力大小为(A) mg （C ） 点 （t 以厘米计），则点（ ） (C)6cm,8cm/s 2 (D) 16cm,8cm/s 2 点的合成运动中的速度合成定理a e r v v v =+ ,适用于哪种类型的牵连运动? (A) 只适用于牵连运动为平动的情况 (B) (C) (D) 楔形块A ,B 自重不计,大小相等,方向相反,(A) A ,B 都不平衡(C) A 平衡, B 不平衡 第一章静力学公理与受力分析(1) 一．是非题 1、加减平衡力系公理不但适用于刚体，还适用于变形体。（） 2、作用于刚体上三个力的作用线汇交于一点，该刚体必处于平衡状态。（） 3、刚体是真实物体的一种抽象化的力学模型，在自然界中并不存在。（） 4、凡是受两个力作用的刚体都是二力构件。（） 5、力是滑移矢量，力沿其作用线滑移不会改变对物体的作用效果。（）二．选择题 1、在下述公理、法则、原理中，只适于刚体的有（） ①二力平衡公理②力的平行四边形法则 ③加减平衡力系公理④力的可传性原理⑤作用与反作用公理 三．画出下列图中指定物体受力图。未画重力的物体不计自重，所有接触处均为光滑接触。整体受力图可在原图上画。 )a(球A )b(杆AB d(杆AB、CD、整体 )c(杆AB、CD、整体) 精选文库 -- - 2 - )e (杆AC 、CB 、整体 )f (杆AC 、CD 、整体 四．画出下列图中指定物体受力图。未画重力的物体不计自重，所有接触处均为光滑接触。多杆件的整体受力图可在原图上画。 )a (球A 、球B 、整体 )b (杆BC 、杆AC 、整体 精选文库 -- - 3 - 第一章 静力学公理与受力分析（2） 一．画出下列图中指定物体受力图。未画重力的物体不计自重，所有接触处均为光滑 接触。整体受力图可在原图上画。 W A D B C E Original Figure A D B C E W W F Ax F Ay F B FBD of the entire frame )a (杆AB 、BC 、整体 )b (杆AB 、BC 、轮E 、整体 )c (杆AB 、CD 、整体 )d (杆BC 带铰、杆AC 、整体 理论力学课后习题第二章思考题解答 2.1.答：因均匀物体质量密度处处相等，规则形体的几何中心即为质心，故先找出各规则形体的质心把它们看作质点组，然后求质点组的质心即为整个物体的质心。对被割去的部分，先假定它存在，后以其负质量代入质心公式即可。 2.2.答：物体具有三个对称面已足以确定该物体的规则性，该三平面的交点即为该物体的几何对称中心，又该物体是均匀的，故此点即为质心的位置。 2.3.答：对几个质点组成的质点组，理论上可以求每一质点的运动情况，但由于每一质点受到周围其它各质点的相互作用力都是相互关联的，往往其作用力难以 n3 预先知道；再者，每一质点可列出三个二阶运动微分方程，各个质点组有个相互关联的三个二阶微分方程组，难以解算。但对于二质点组成的质点组，每一质点的运动还是可以解算的。 若质点组不受外力作用，由于每一质点都受到组内其它各质点的作用力，每一质点的合内力不一定等于零，故不能保持静止或匀速直线运动状态。这表明，内力不改变质点组整体的运动，但可改变组内质点间的运动。 2.4.答：把碰撞的二球看作质点组，由于碰撞内力远大于外力，故可以认为外力为零，碰撞前后系统的动量守恒。如果只考虑任一球，碰撞过程中受到另一球的碰撞冲力的作用，动量发生改变。 2.5.答：不矛盾。因人和船组成的系统在人行走前后受到的合外力为零（忽略水对船的阻力），且开船时系统质心的初速度也为零，故人行走前后系统质心相对地面的位置不变。当人向船尾移动时，系统的质量分布改变，质心位置后移，为抵消这种改变，船将向前移动，这是符合质心运动定理的。 2.6.答：碰撞过程中不计外力，碰撞内力不改变系统的总动量，但碰撞内力很大， [该试题库启用前绝密] 注：[02A]表示02物师A 卷，以此类推。 理论力学（卷A ）[02A] 一、填空题（每小题10分，共20分） 1、作平面运动的质点的加速度在极坐标系下的分量表达式为2,2.r a r r a r r θθθθ=-=+；其中r 为径向速度大小的变化所引起的，r r θθ+为横向速度的大小变化所引起的。 2、保守系的拉格朗日方程为 ()0d L L dt q q αα??-=??，当0L q α?=?时，q α称为循环坐标，所对应的L q αα ?=?p 守恒。 二、选择题（每小题10分，共20分） 1、两个质点分别为12,m m 的物体用一个倔强系数为k 的轻弹簧相连，放在水平光滑桌面上，如图所示，当两个物体相距x 时，系统由静止释放，已知弹簧的自然长度为0x ，当物体相距0x 时，1m 速度大小为（ D ） （A ，（B （C ，（D 2、一个均质实心球与一个均质实心圆柱在同一位置由静止出发沿同一斜面无滑动地滚下，则（D ） （A ）圆柱先到达底部。 （B ）质量大的一个先到达底部。 （C ）半径大的一个先到达底部。 （D ）球先到达底部。 （E ）同时到达底部。 三、计算题（每小题20分，共60分） 1、一个质点在有心力作用下沿椭圆2(1) 1cos a e r e θ -=+运动，上式中r 和θ是以椭圆焦点为原点，长轴为极轴的极坐标；a 表示半长轴，e 表示偏心率(01)e <<，证明质点在 “近日点” 处和“远日点” 处的速率之比为： 1211v e v e +=- 解：由动量守恒2 r h θ= h r θγ ∴= 故在近日点处： 120 (1) (1) h v r e a e θθ === +-∴ 在近日点处：22 (1)(1) h v r e a e θπ θ === -- ∴ 1211v e v e +=- 2、圆柱半径为R ，质量为M ，绕其轴作角速度为0ω的转动，然后将此圆柱无初速放在摩擦系数为μ的水平桌面上，问圆柱何时开始作纯滚动？ 解：由质心运动定理和转动定理，物体的运动微分方程为 c Mx f d I fR dt f Mg ω μ=???=-??=?? 12I MR = 可解出：c x gt μ= 02g t R μωω=- + 当满足关系c x R ω=时，园柱体作无滑滚动，由此可解出03g t g ωμ= 3、轴为竖直而顶点向下的抛物线形光滑金属丝，以匀角速度ω绕竖直轴转动，另一质量为m 的小环套在此金属丝上。并沿金属丝滑动，已知抛物线的方程为2 4x ay =，a 为常数，试求小环的运动微分方程。 解：本题可用两种方法求解 法一：用转动参照系的物理定律列出小环的运动微分方程如下 2sin (1)cos (2) mx m x my N mg ωθθ?=-? =-? 由（2）式 cos mg N my θ=+ （3） 把（3）代入（1）可得： 2 ()mx m x my mg tg ωθ=-+ （4） 又有，dy tg dx θ=，24x y a =，242x x y x x a a = =，2122x y x x a a =+， 故有：222 2 2(1)0442x x x m x mx mg m x a a a ω+++-= 1.物体重P=20KN,用绳子挂在支架的滑轮B上，绳子的另一端接在绞D上，如图所示，转动绞，物体便能升起。设滑轮的大小，AB与CD杆自重及摩擦忽略不算，A,B,C三处均为铰链链接。当物体平衡时，求拉杆AB和支杆CB所受的力。 2.在图示刚架的点B作用一水平力F尺寸如图，钢架重量忽略不计，求支座A,D的约束力 Fa和Fd。 3.已知梁AB上作用一力偶，力偶矩为M，梁长为L，梁重不计，求在图a,b,c三种情况下， 支座A,B的约束力。 4.无重水平梁的支撑和载荷如图a,b所示，已知力F，力偶矩M的力偶和强度为q的均布载荷，求支座A,B处的约束力。 5.由AC和CD构成的组合梁通过铰链C链接，它的支撑和受力如图所示，已知均布载荷强度q=10kN/m，力偶矩M=40kN·m，不计梁重，求支座A,B,D的约束力和铰链C处的所受的力。 6.在图示构架中，各杆单位长度的重量为300N/m，载荷P=10kN,A处为固定端，B,C,D,处为铰链，求固定端A处及B,C铰链处的约束力。 7..杆OA长L,有推杆推动而在图面内绕点O转动，如图所示，假定推杆的速度为v，其弯头高为a。求杆端A的速度大小（表示为x的函数）。 8.平底顶杆凸轮机构如图所示，顶杆AB课沿导槽上下移动，偏心圆盘绕轴O转动，轴O 位于顶杆轴线上。工作时顶杆的平底始终接触凸轮表面。该凸轮半径为R，偏心距OC=e，凸轮绕轴O 转动的角速度为w，OC与水平线成夹角φ。当φ=0°时，顶杆的速度。 9.图示铰接四边形机构中，O1A=O2B=100mm，又O1O2=AB,杆O1A以等角速度w=2rad/s绕轴O1转动。杆AB上有一套筒C，此套筒与杆CD相铰接。机构的各部件都在同一铅直面内。求φ=60°时，杆CD的速度和加速度。 理论力学课后习题第二章解答 2.1 解 均匀扇形薄片，取对称轴为轴，由对称性可知质心一定在轴上。 有质心公式 设均匀扇形薄片密度为，任意取一小面元， 又因为 所以 对于半圆片的质心，即代入，有 2.2 解 建立如图2.2.1图所示的球坐标系 x x 题2.1.1图 ? ?=dm xdm x c ρdS dr rd dS dm θρρ==θcos r x =θθθρθρsin 32a dr rd dr rd x dm xdm x c ===?? ????2 π θ= πππ θθa a a x c 342 2sin 32sin 32=?== 把球帽看成垂直于轴的所切层面的叠加（图中阴影部分所示）。设均匀球体的密度为。 则 由对称性可知，此球帽的质心一定在轴上。 代入质心计算公式，即 2.3 解 建立如题2. 3.1图所示的直角坐标，原来与共同作一个斜抛运动。 当达到最高点人把物体水皮抛出后，人的速度改变，设为，此人即以 的速度作平抛运动。由此可知，两次运动过程中，在达到最高点时两次运动的水平距离是一致的（因为两次运动水平方向上均以作匀速直线运动，运动的时间也相同）。所以我们只要比较人把物抛出后水平距离的变化即可。第一次运动：从最高点运动到落地，水平距离 题2.2.1图 z ρ)(222z a dz y dv dm -===ρπρπρz )2()(432 b a b a dm zdm z c ++-==? ?人 W y 题2.3.1图 x v x v αcos v 0=水平v 1s ① ② ③ 第二次运动:在最高点人抛出物体，水平方向上不受外力，水平方向上动量守恒，有 可知道 水平距离 跳的距离增加了 = 2.4解 建立如图2.4.1图所示的水平坐标。 以，为系统研究，水平方向上系统不受外力，动量守恒，有 ① 对分析；因为 ② 在劈上下滑，以为参照物，则受到一个惯性力（方向与加速度方向相反）。如图2.4.2图所示。所以相对下滑。由牛顿第二定律有 t a v s ?=cos 01gt v =αsin 0ααcos sin 20 1g v s =)(cos )(0u v w Wv v w W x x -+=+αu w W w a v v x ++ =cos 0αααsin )(cos sin 0202uv g W w w g v t v s x ++==12s s s -=?αsin )(0uv g w W w + 题2.4.1图 θ题2.4.2图 1m 2m 02211=+x m x m 1m 相对绝a a a +=1m 2m 2m 1m 21x m F -=惯2m 1m 2m 理论力学试题及答案 一、是非题（每题2分。正确用√，错误用×，填入括号内。） 1、作用在一个物体上有三个力，当这三个力的作用线汇交于一点时，则此力系必然平衡。 2、力对于一点的矩不因力沿其作用线移动而改变。（） 3、在自然坐标系中，如果速度υ= 常数，则加速度α= 0。（） 4、虚位移是偶想的，极微小的位移，它与时间，主动力以及运动的初始条件无关。 5、设一质点的质量为m，其速度 与x轴的夹角为α，则其动量在x轴上的投影为mv x =mvcos a。 二、选择题（每题3分。请将答案的序号填入划线内。） 1、正立方体的顶角上作用着六个大小相等的力，此力系向任一点简化的结果 是。 ①主矢等于零，主矩不等于零； ②主矢不等于零，主矩也不等于零； ③主矢不等于零，主矩等于零； ④主矢等于零，主矩也等于零。 2、重P的均质圆柱放在V型槽里，考虑摩擦柱上作用一力偶，其矩为M时（如图），圆柱处于极限平衡状态。此时按触点处的法向反力N A与N B的关系 为。 ①N A = N B；②N A > N B；③N A < N B。 3、边长为L的均质正方形平板，位于铅垂平面内并置于光滑水平面上，如图示，若给平板一微小扰动，使其从图示位置开始倾倒，平板在倾倒过程中，其质心C点的运动轨迹是。 ①半径为L/2的圆弧；②抛物线；③椭圆曲线；④铅垂直线。 4、在图示机构中，杆O1 A//O2 B，杆O2 C//O3 D，且O1 A = 20cm，O2 C = 40cm，CM = MD = 30cm，若杆AO1 以角速度ω= 3 rad / s 匀速转动，则D点的速度的大小为cm/s，M点的加速度的大小为cm/s2。 ①60；②120；③150；④360。 . 理论力学---1 1-1. 两个力，它们的大小相等、方向相反和作用线沿同一直线。这是 (A)它们作用在物体系统上，使之处于平衡的必要和充分条件； (B)它们作用在刚体系统上，使之处于平衡的必要和充分条件； (C)它们作用在刚体上，使之处于平衡的必要条件，但不是充分条件； (D)它们作用在变形体上，使之处于平衡的必要条件，但不是充分条件； 1-2. 作用在同一刚体上的两个力F1和F2，若F1 = - F2，则表明这两个力 (A)必处于平衡； (B)大小相等，方向相同； (C)大小相等，方向相反，但不一定平衡； (D)必不平衡。 1-3. 若要在已知力系上加上或减去一组平衡力系，而不改变原力系的作用效果，则它们所作用的对象必需是 (A)同一个刚体系统； (B)同一个变形体； (C)同一个刚体，原力系为任何力系； (D)同一个刚体，且原力系是一个平衡力系。 1-4. 力的平行四边形公理中的两个分力和它们的合力的作用范围 (A)必须在同一个物体的同一点上； (B)可以在同一物体的不同点上； (C)可以在物体系统的不同物体上； (D)可以在两个刚体的不同点上。 1-5. 若要将作用力沿其作用线移动到其它点而不改变它的作用，则其移动范围 (A)必须在同一刚体内； (B)可以在不同刚体上； (C)可以在同一刚体系统上； (D)可以在同一个变形体内。 1-6. 作用与反作用公理的适用范围是 (A)只适用于刚体的内部； (B)只适用于平衡刚体的内部； (C)对任何宏观物体和物体系统都适用； (D)只适用于刚体和刚体系统。 1-7. 作用在刚体的同平面上的三个互不平行的力，它们的作用线汇交于一点，这是刚体平衡的 (A)必要条件，但不是充分条件； (B)充分条件，但不是必要条件； (C)必要条件和充分条件； (D)非必要条件，也不是充分条件。 1-8. 刚化公理适用于 (A)任何受力情况下的变形体； (B)只适用于处于平衡状态下的变形体； (C)任何受力情况下的物体系统； (D)处于平衡状态下的物体和物体系统都适用。理论力学习题
胡汉才编著《理论力学》课后习题答案第2章力系的简化
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