一动一定中的二次函数最值问题

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1、二次函数在闭区间上必定有最大值和最小值;

2、二次函数的最值只能在区间的端点或二次函数图象的顶点处取得:

3、二次函数的区间最值问题,核心是对函数对称轴与给定区间的相对位置关系的讨论

设f x ax bx c a ()()=++≠20,求f x ()在x m n ∈[],上的最大值与最小值。

分析:将f x ()配方,得对称轴方程x b a

=-

2 当a >0时,抛物线开口向上 若-

∈b a

m n 2[],,必在顶点取得最小值,离对称轴较远端点处取得最大值; 若-∉b a m n 2[],, 当a >0时,抛物线开口向上,此时函数在[]m n ,上具有单调性,故在离对称轴x b a

=-2较远端点处取得最大值,较近端点处取得最小值。当a <0时,如上,作图可得结论,对二次函数的区间最值结合函数图象总结如下:

当a >0时

⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+<-+≥-=))((212)())((212)()(21max 如图如图,,n m a b n f n m a b m f x f ⎪⎪⎪⎩

⎪⎪⎪⎨⎧<-≤-≤->-=)(2)()(2)2()(2)()(543m i n 如图如图如图,,,m a b m f n a b m a b f n a b n f x f

一动一定中的二次函数最值问题

当a <0时

⎪⎪⎪⎩

⎪⎪⎪⎨⎧<-≤-≤->-=)(2)()(2)2()(2)()(876m a x 如图如图如图,,,m a b m f n a b m a b f n a b n f x f f x f m b a m n f n b a m n ()()()()()()()min =-≥+-<+⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪,,如图如图212212910

一动一定中的二次函数最值问题

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