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数值分析考试试卷

1. 求矩阵Q 的||Q ||1，||Q ||2，||Q ||∞与Cond 2(Q)，其中

??????

??------=1111111111111111Q 分析这实际上是基本概念题，只要熟悉有关范数与条件数的定义即可。解答（1）由定义，显然||Q ||1=4（2）因Q T Q=4I ，故24)(||||max 2===Q Q Q T λ

（3）由定义显知4||||=∞Q （4）因Q T Q=4I ，故T

Q Q 4

11=

-，从而T T

QQ Q Q

)()(11=

==---)]()[(||||11max 21Q Q Q T λ

1)41()161(

max max ==I QQ T λλ 所以

2||||||||)(Cond 2122=?

=?=-Q Q Q 2. 设有方程组A x =b ，其中

??????

? ??-=?????

??-=3231 21 ,220122101b A

已知它有解???

?????

? ??-=0 3121 X . 如果右端有小扰动6

1021||||-∞?=b δ，试估计由此引起的解的相对误差。

分析本题是讨论方程组的右端项的小误差所引起的解的相对误差的估计问题，这与系数矩阵的条件数有关，只要求出Cond ∞(A)，再由有关误差估计式即可算得结果。

解答容易求得

????

? ??-----=-1125.1121111

A ，从而Cond ∞(A)=22.5

由公式

∞

∞∞∞?

≤||||||||)(||||||||b b A Cond X X δδ有

106875.13

/21021

5.22|||||||--∞∞

?=??≤bX X δ

3. 试证明矩阵A 的谱半径与范数有如下关系其中||A||为A 的任何一种算子范数。

||||)(A A ≤ρ

分析由于谱半径是特征值的绝对值的最大者，故由特征值的定义出发论证是自然的。证明由特征值定义，对任一特征值λ有 AX=λX （X ≠0，特征向量）取范数有 ||AX||=|λ| ? ||X||

由于范数||A||是一种算子范数，故有相容关系 ||AX||≤||A|| ? ||X|| 从而 |λ| ? ||X||≤||A|| ? ||X|| 由于X ≠0，故|λ|≤||A||，从而 ρ(A) ≤ ||A|| 4. 设A,B 为n 阶矩阵，试证

Cond(AB) ≤ Cond(A) ? Cond(B)

分析由条件数定义和矩阵范数的性质即可证明。证明

)

(Cond )(Cond |||||||||||| |||| |||||||| |||| |||| |||||||||||| ||)(||||||)(Cond 1111111B A B B A A A B B A A B B A AB AB AB ?=??=?≤

??≤?=-------

5. 计算Cond(A)∞及Cond( DA)∞;其中

????

??????=4

22101011010111

???

????

????????=1010110

00111100031D

此结果说明了什么？

解

????

???----=-11110111111110010110010000891011A

,10101|||| =∞A 8910

11110

||||||1=

∞-A

故125968910

1111010101|||| ||

||||)(Cond 1

≈?==∞∞-∞A A A

?????

????=101011000010101100101011

11110011110111

1313131

DA ?????

?????????--

-=-2970336729704072970127033672703737270

100297336729740702971000

)(1

DA 28297

8437

1||)(|| ||||||)(Cond 1≈?

==∞-∞∞DA DA DA 计算结果说明了用对角阵左乘A 可以改善其条件数。 6. 设

???-=??????--=70003.7,1210001.2b A ，已知A x =b 的精确解为x =(3,-1)T . （1）计算条件数Cond(A)∞; （2）若近似解T x

)01.1,97.2(-=，计算剩余向量x A b r -=；

（3）利用事后误差估计式计算不等式右端，并与不等式左边比较。此结果说明了什么？解（1）

???=20001200001000010000T A

120012

0001.340001|||| ||||||)(Cond 1≈?==∞∞-∞A A A （2）???

???-=??????-??????---??????-=-=05.005.001.197.212

10001.270003.7x A b r

（3）由事后误差估计式，右端为

192.8570003

.705

.0120012||||||||)(Cond ≈?≈∞∞∞

b r A

而左端

01.03

.0||||||||==-∞∞x x x

这表明当A 为病态矩阵时，尽管剩余||r||很小，误差估计仍然较大。因此，当A 病态时，用||r||大小作为检验解的准确度是不可靠的。

7. 设对称正定阵?

???--=2112A ，试计算||A -1||2，||A||2和Cond(A)2,且找出b （常数）及扰动δb ，使

22||||||||)(Cond ||||||||b b A x x δδ=

解

342

||2+-=--=

-λλλλλA I ，故3,121==λλ，从而

1|||||| ,3||||||12122====-λλA A

|)(Cond 122==

λλA 假设 x+δx=y, A(x+δx)=b+δb

取b=(1,-1)T ，δb=(1,1)T ，则解Ax=b ，即

????-=????????????--11211221x x 得T

x ?

??-=31,31

又解

????=????????????--02211221y y 得T

y ?

??=32,34。

故

323

||||||||,

)1,1(2

2===x x x T δδ 而

2)(Cond ||||||||)(Con 2

==A b b A δ

故

22||||||||)(Cond ||||||||b b A x x δδ=

8. 求下面两方程组的解，并利用矩阵的条件数估计

||||

||x x δ

???=????????????--4324017931924021x x 即A x =b

????=????????????--432405.1795.31924021x x 即b x x A A =+?+)()(δδ

记

??????--=240179319240A ，??????--=05

.05.00A δ，则A x =b 的解????

??=34x ，而

b x x A A =++))((δδ的解???? ??=+68x x δ，故???

? ??=34x δ，从而4||||,4||||==∞∞x x δ，而

????=

-24017931924049911A 2.626559499559

||||||||)(Cond 1≈?=

=∞∞-∞A A A

5.0||||=∞A δ，56012.05.0499559

||||||||1≈?=∞∞-A A δ 由误差估计得

274.143988.056012

.0||||||||)(Cond 1||||||||)(Cond ||||||||≤=-≤∞

∞∞

∞

∞A A A A A A x x δδδ

10.5|||| 274.1||||≤≤∞∞x x δ

表明估计4||||=

∞x δ是符合实际的。

9. 下述矩阵能否分解为LU （其中L 为单位下三角阵，U 为上三角阵）？若能分解，那么分解是否惟一？

?????=764142321A ，

???

?????=133122111B ，

?????=461561552621C

解 A 中?2=0，故不能分解。但det(A)=-10≠0，故若将A 中第一行与第三行交换，则可以分解，且分解惟一。

B 中，?2=?3=0，但它仍可以分解为

??????--??????????=20010011

1131

3232l l B

其中l 32为一任意常数，且U 奇异，故分解不惟一。对C ，?i ≠0，i=1,2,3，故C 可分解且分解惟一。

????????????????=100310621136121C

10. 矩阵第一行乘以一数成为

???=112λλA

证明当3

=λ时，Cond(A)∞有最小值。证明设λ≠0，则

???

????

≤

≥=∞32|| ,23

2|| |,|3||||λλλA

又

???--=

-λλλ21111A 故

|1||2||||1λλ+=

∞-A

??????

≤???? ?

?+≥+==∞∞-∞32|| ,||12232|| ,3||6||||||||)(Cond 1

λλλλA A A 从而当32||=

λ时，即3

±=λ时，Cond(A)∞有最小值，且

minCond(A)∞=7

11. 已知

????=4321A 。

（1）求

∞=,2,1,p A p

（2）求A 的谱半径)(A ρ。（3）求三个非零向量X ，分别满足

∞==,2,1 ,p X

解（1）

7)7,3max(,6)6,4max(1====∞A A ，

???=20141410A A T 。由0||=-I A A T λ，得04302=+-λλ。解得22115±=λ，故

221152+=A 。

（2）由0||=-I A λ，得0252=--λλ，解得)335(2

±=

λ，故

)335(2

)(+=

A ρ。（3）若满足

AX =的解X 存在，则

1||||,==

p p

Y X X

Y 也满足

p p p p A Y A AY ||||||||||||||||==。故按题目要求，只须求出满足1||||=p X 的解。这时，有

?==+++==+=.6|||||43||2|||||,

1||||||||121211211A x x x x AX x x X 解此方程组得1||,021==x x 。

?==++===∞∞∞.

7|||||)43||,2max(|||||,

1|)||,max(|||||212121A x x x x AX x x X 解此方程组得121±==x x 。

记)(A A T ρλ=是A T A 的最大特征值，X 是相应的特征向量，且1||||2

2212=+=x x X ，则

λλ====),(),(),(||||22X X X AX A AX AX AX T

22||||)(A A A T ==ρ

这表明X 即为所求。令

AX A T λ=，即

????+=?

?????????2121)22115(20141410x x x x 。得

b x x x x x x ?+=?????

?+-=+=221514,

)2215(14,

)2215(14212112 代入12

=+x x ，得

,1122

122+±==+±=b b bx x b x 其中.)

2215(14

此

T x x X ),(21=就是满足1||||,||||||||222==X A AX 的向量。

2020年数值分析模拟试卷(三)

数值分析模拟试卷（三）班级学号姓名一、填空题（共2分，每题2分） 1、设x*=3149578…，取5位有效数字，则所得的近似值x=_______________ ； . 2、设一阶差商，，则二阶差商__________ ； 3、数值微分中，已知等距节点的函数值，则由三点的求导公式，有_______________ ； 4、求方程的近似根，用迭代公式，取初始值，那么x1=_________ ； 5、解初始值问题近似解的梯形公式是yk+1=_________ ； 6、，则A的谱半径______ ，cond (A)＝______ ； 7、设，则______ ， ______ ； 8、若线性代数方程组AX=b 的系数矩阵A为严格对角占优阵，则雅可比迭代和高斯-塞德尔迭代都_______ ； 9、解常微分方程初值问题的欧拉（Euler）方法的局部截断误差为_____ 1、设，当____________时，必有分解式A=LLT，其中L为下三角阵．二、计算题（共6分，每题15分） 1、（1）设试求f(x)在上的三次Hermite插值多项式使满足；（2）写出余项的表达式． 2、已知，满足，试问如何利用构造一个收敛的简单迭代函数，使…收敛？ 3、试确定常数A，B，C和a，使得数值积分公式有尽可能高的代数精度．所得的数值积分公式代数精度是多少？是否为Gauss型的？ 4、推导常微分方程的初值问题的数值解公式三、证明题（共2分，每题1分） 1、设，（1）写出解 f(x)=的Newton迭代格式；（2）证明此迭代格式是线性收敛的． 2、设R=I－CA，如果，证明（1）A、C都是非奇异的矩阵；（2）

北师大网络教育数值分析期末试卷含答案

注：1、教师命题时题目之间不留空白； 2、考生不得在试题纸上答题，教师只批阅答题册正面部分，若考北师大网络教育——数值分析——期末考试卷与答案一．填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分） 1.设有节点012,,x x x ，其对应的函数()y f x =的值分别为012,,y y y ，则二次拉格朗日插值基函数0()l x 为。 2.设()2f x x =，则()f x 关于节点0120,1,3x x x ===的二阶向前差分为。 3.设110111011A -????=--????-??，233x ?? ??=?? ???? ，则1A ＝，1x = 。 4. 1n +个节点的高斯求积公式的代数精确度为。二．简答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 1. 哪种线性方程组可用平方根法求解？为什么说平方根法计算稳定？ 2. 什么是不动点迭代法？()x ?满足什么条件才能保证不动点存在和不动点迭代序列收敛于()x ?的不动点？ 3. 设n 阶矩阵A 具有n 个特征值且满足123n λλλλ>≥≥≥ ，请简单说明求解矩阵A 的主特征值和特征向量的算法及流程。三．求一个次数不高于3的多项式()3P x ，满足下列插值条件： i x 1 2 3 i y 2 4 12 i y ' 3 并估计误差。（10分）四．试用1,2,4n =的牛顿-科特斯求积公式计算定积分1 01 1I dx x =+? 。（10分）五．用Newton 法求()cos 0f x x x =-=的近似解。（10分）六．试用Doolittle 分解法求解方程组：

注：1、教师命题时题目之间不留空白； 2、考生不得在试题纸上答题，教师只批阅答题册正面部分，若考 12325610413191963630 x x x -?????? ??????-=?????? ??????----?????? （10分）七．请写出雅可比迭代法求解线性方程组1231231 23202324 812231530 x x x x x x x x x ++=?? ++=??-+=? 的迭代格式，并判断其是否收敛？（10分）八．就初值问题0(0)y y y y λ'=??=?考察欧拉显式格式的收敛性。（10分）

数值分析试题及答案汇总

数值分析试题一、填空题（2 0×2′） 1. ?? ????-=? ?????-=32,1223X A 设x =是精确值x *=的近似值，则x 有 2 位有效数字。 2. 若f (x )=x 7－x 3＋1，则f [20,21,22,23,24,25,26,27]= 1 ， f [20,21,22,23,24,25,26,27,28]= 0 。 3. 设，‖A ‖∞＝___5 ____，‖X ‖∞＝__ 3_____， ‖AX ‖∞≤_15_ __。 4. 非线性方程f (x )=0的迭代函数x =?(x )在有解区间满足 |?’(x )| <1 ，则使用该迭代函数的迭代解法一定是局部收敛的。 5. 区间[a ,b ]上的三次样条插值函数S (x )在[a ,b ]上具有直到 2 阶的连续导数。 6. 当插值节点为等距分布时，若所求节点靠近首节点，应该选用等距节点下牛顿差商公式的前插公式，若所求节点靠近尾节点，应该选用等距节点下牛顿差商公式的后插公式；如果要估计结果的舍入误差，应该选用插值公式中的拉格朗日插值公式。 7. 拉格朗日插值公式中f (x i )的系数a i (x )的特点是：=∑=n i i x a 0)( 1 ；所以当系数a i (x )满足 a i (x )>1 ，计算时不会放大f (x i )的误差。 8. 要使 20的近似值的相对误差小于%，至少要取 4 位有效数字。 9. 对任意初始向量X (0)及任意向量g ，线性方程组的迭代公式x (k +1)=Bx (k )+g (k =0,1,…)收敛于方程组的精确解x *的充分必要条件是 ?(B)<1 。 10. 由下列数据所确定的插值多项式的次数最高是 5 。 11. 牛顿下山法的下山条件为 |f(xn+1)|<|f(xn)| 。 12. 线性方程组的松弛迭代法是通过逐渐减少残差r i (i =0,1,…,n )来实现的，其中的残差 r i ＝ (b i -a i1x 1-a i2x 2-…-a in x n )/a ii ，(i =0,1,…,n )。 13. 在非线性方程f (x )=0使用各种切线法迭代求解时，若在迭代区间存在唯一解，且f (x )

数值分析报告模拟试卷1,2,3

数值分析模拟试卷1 一、填空（共30分，每空3分） 1 设??? ? ??-=1511A ，则A 的谱半径=)(a ρ______，A 的条件数)(1A cond =________. 2 设 Λ ,2,1,0,,53)(2==+=k kh x x x f k ，则 ],,[21++n n n x x x f ＝________, ],,[321+++n n n n x x x x f ，＝________. 3 设?????≤≤-++≤≤+=2 1,121 0,)(232 3x cx bx x x x x x S ，是以0，1，2为节点的三次样条函数，则 b=________,c=________. 4 设∞ =0)]([k k x q 是区间［0，1］上权函数为x x =)(ρ的最高项系数为1的正交多项式族，其中1)(0=x q ，则 ?=1 )(dx x xq k ________，=)(2x q ________. 5 设 ?? ?? ? ?????=11001a a a a A ，当 ∈ a ________时，必有分解式，其中L 为下三角阵，当其对角线元素 )3,2,1(=i L ii 满足条件________时，这种分解是唯一的.

二、（14分）设4 9,1,41,)(2102 3 === =x x x x x f , （1）试求)(x f 在]4 9,41[上的三次Hermite 插值多项式)(x H 使满足 2,1,0),()(==i x f x H i i ，)()(11x f x H '='. （2）写出余项)()()(x H x f x R -=的表达式. 三、（14分）设有解方程0cos 2312=+-x x 的迭代公式为n n x x cos 3 2 41+ =+，（1）证明R x ∈?0均有?∞ →=x x n x lim （? x 为方程的根）；（2）取40=x ，用此迭代法求方程根的近似值，误差不超过，列出各次迭代值；（3）此迭代的收敛阶是多少？证明你的结论.

数值分析学期期末考试试题与答案(A)

期末考试试卷（A 卷） 2007学年第二学期考试科目：数值分析考试时间：120 分钟学号姓名年级专业一、判断题（每小题2分，共10分） 1. 用计算机求 1000 1000 1 1 n n =∑时，应按照n 从小到大的顺序相加。（） 2. 为了减少误差,进行计算。（） 3. 用数值微分公式中求导数值时，步长越小计算就越精确。（） 4. 采用龙格－库塔法求解常微分方程的初值问题时，公式阶数越高，数值解越精确。（） 5. 用迭代法解线性方程组时，迭代能否收敛与初始向量的选择、系数矩阵及其演变方式有关，与常数项无关。（）二、填空题（每空2分，共36分） 1. 已知数a 的有效数为0.01，则它的绝对误差限为________，相对误差限为_________. 2. 设1010021,5,1301A x -????????=-=-????????-???? 则1A =_____，2x =______，Ax ∞ =_____. 3. 已知5 3 ()245,f x x x x =+-则[1,1,0]f -= ,[3,2,1,1,2,3]f ---= . 4. 为使求积公式 1 1231 ()()(0)33 f x dx A f A f A f -≈- ++? 的代数精度尽量高，应使1A = ，2A = ，3A = ，此时公式具有次的代数精度。 5. n 阶方阵A 的谱半径()A ρ与它的任意一种范数A 的关系是 . 6. 用迭代法解线性方程组AX B =时，使迭代公式(1) ()(0,1,2,)k k X MX N k +=+=产生的向量序列{ }() k X 收敛的充分必要条件是 . 7. 使用消元法解线性方程组AX B =时，系数矩阵A 可以分解为下三角矩阵L 和上三角矩

数值分析试卷及其答案2

1、（本题5分）试确定7 22作为π的近似值具有几位有效数字，并确定其相对误差限。解因为 7 22=3.142857…=1103142857.0-? π=3.141592… 所以 3 12 10 2 110 21005.0001264.07 22--?= ?= <=- π （2分）这里，3,21,0=-=+-=n n m m 由有效数字的定义可知7 22作为π的近似值具有3位有效数字。（1分）而相对误差限 3 10 2 10005.00004138.0001264.07 22-?= <≈= -= π π πε r （2分） 2、（本题6分）用改进平方根法解方程组：???? ? ??=????? ??????? ??--654131321 112321x x x ；解设???? ? ? ?????? ? ?????? ??===????? ? ?--11 1 11113 1321 11232312132 1 32 31 21 l l l d d d l l l LDL A T 由矩阵乘法得： 5 7,21,21527,25,2323121321- == - == -==l l l d d d （3分）由y D x L b Ly T 1 ,-==解得 T T x y )9 23,97,910( ,)5 63, 7,4(== （3分） 3、（本题6分）给定线性方程组??? ? ? ??=++-=+-+=-+-=-+17722238231138751043214321 321431x x x x x x x x x x x x x x 1）写出Jacoib 迭代格式和Gauss-Seidel 迭代格式； 2）考查Jacoib 迭代格式和Gauss-Seidel 迭代格式的敛散性；解 1）Jacoib 迭代格式为

数值分析试题

《计算机数学基础(下)》数值分析试题 2000、8 之六(2002、7已用) 一、单项选择题(每小题3分，共15分) 1.数值x *的近似值x =0.1215×10－ 2，若满足≤-*x x ( )，则称x 有4位有效数字. (A) 21×10－3 (B) 21×10－4 (C) 21×10－5 (D) 2 1×10－6 2. 设矩阵A ＝?? ?? ? ?????------52111021210，那么以A 为系数矩阵的线性方程组A X ＝b 的雅可比迭代矩阵为( ) (A)??????????04.02.01.002.01.02.00 (B) ???? ? ?? ???14.02 .01.012.01.02.01 (C) ??????????------04.02.01.002.01.02.00 (D) ???? ??????021 102120 3. 已知y =f (x )的均差f (x 0,x 1,x 2)=314，f (x 1,x 2,x 3)=315，f (x 2,x 3,x 4)=15 91，f (x 0,x 2,x 3)=318 , 那么均差f (x 4,x 2,x 3)=( ) (A) 315 (B) 318 (C) 1591 (D) 3 14 4. 已知n =4时牛顿－科茨求积公式的科茨系数,15 2,4516,907)4(2)4(1) 4(0===C C C 那么 )4(3C ＝( ) 90 39 152********)D (152)C (4516)B (907)A (=--- 5.用简单迭代法求方程的近似根，下列迭代格式不收敛的是( ) (A) e x －x －1＝0，[1,1.5]，令x k +1=1e -k x (B) x 3－x 2－1=0，[1.4,1.5], 令211 1k k x x +=+ (C) x 3－x 2－1=0，[1.4,1.5], 令32 11k k x x +=+ (D) 4－2x =x ，[1,2], 令)4(log 21x x k -=+ 二、填空题(每小题3分，共15分) 6.sin1有2位有效数字的近似值0.84的相对误差限是 . 7.设矩阵A 是对称正定矩阵，则用迭代法解线性方程组A X =b ，其迭代解数列一定收敛. 8. 已知f (1)=1,f (2)=3,那么y =f (x )以x =1，2为节点的拉格朗日线性插值多项式为 . 9. 用二次多项式2210)(x a x a a x ++=?,其中a 0, a 1, a 2是待定参数，拟合点(x 1,y 1),(x 2,y 2),…,(x n ,y n ). 那么参数a 0, a 1, a 2是使误差平方和取最小值的解. 10. 设求积公式 ∑?=≈n k k k b a x f A x x f 0 )(d )(，若对的多项式积分公式

数值分析模拟试题

数值分析模拟试题一、填空题（每小题3分，共30分） 1、已知近似值* 2.4560x =是由真值x 经四舍五入得到，则相对误差限为。 2 、为减少舍入误差的影响，应将10改写成。 3、设(1,1,2,3)T x =-，则12_______,_______,_______x x x ∞===。 4、设1123A -??=????，则1________,________F A A ==，A 的谱半径()A ρ=。 5、用Gauss-Seidel 迭代法解方程组1212423 x ax ax x +=??+=-?，其中a 为实数，则该方法收敛的充要条件是a 满足。 6、迭代法12213k k k x x x +=+收敛于*x =，此迭代格式是阶收敛的。 7、设01(),(),,()n l x l x l x 是以01,, ,n x x x 为节点的Lagrange 插值基函数，则0()n i i l x ==∑。 8、设3()321f x x x =++，则差商[0,1,2,3]_____,[0,1,2,3,4]_____f f ==。 9、数值积分的辛普森公式为()b a f x dx ≈?。 10、数值积分公式0()()n b k k a k f x dx A f x =≈∑?中，0n k k A ==∑。二、设函数2()(3)x x a x ?=+-，由迭代公式1()k k x x ?+=产生的序列为{}k x ，试讨论 ⑴当a 为何值时，序列{}k x 收敛； ⑵当a 取何值时，收敛速度最快，并指出迭代法收敛的阶。（12分）三、设4()[0,2]f x C ∈，且(0)2,(1)1,(2)0,'(1)0f f f f ==-==，试求函数()f x 的三次插值多项式()P x ，并求余项表达式。（14分）四、用矩阵的直接三角分解法（即LU 分解）解方程组Ax b =，其中

2014-2015数值分析考试试题卷

太原科技大学硕士研究生 2014/2015学年第1学期《数值分析》课程试卷一、填空题（每空4分，共32分） 1、设?????≤≤-++<≤+=2 1,1321 0,)(2 323x x bx x x x x x s 是以0,1,2为节点三次样条函数，则b=__-2___ 2、解线性方程组12312312388 92688 x x x x x x x x x -++=-?? -+=??-+-=? 的Jacobi 迭代格式（分量形式）为 ?? ???+--=++-=++=+++)(2)(1)1(3) (3)(1)1(2) (3)(2)1(1882/)96(88k k k k k k k k k x x x x x x x x x ，其相应的迭代矩阵为??????????-0812/102/9810。 3、方程03 =-a x 的牛顿法的迭代格式为__3 12 3k k k k x a x x x +-=-__________，其收敛的阶为 2 。 4、已知数x 的近似值0.937具有三位有效数字，则x 的相对误差限是310534.0-? 解：x 1≈0.937， 31102 1 )(-?≤ x ε 3 31111 10(x )2 (x )0.53410x 0.937 r εε--?=≤=? 5、用列主元高斯消去法解线性方程组 ??? ??=--=++=++2333220221 321321x x x x x x x x 作第1次消元后的第2，3个方程分别为? ? ?=+--=-5.35.125 .15.03232x x x x 6、设???? ??-=3211A ，则=∞)(A Cond __4____.

数值分析试题A卷10.1

中国石油大学（北京）2009--2010学年第一学期研究生期末考试试题A (闭卷考试) 课程名称：数值分析注：计算题取小数点后四位一、填空题（共30分，每空3分） 1、已知x =是由准确数a 经四舍五入得到的近似值，则x 的绝对误差界为_______________。 2、数值微分公式()() '()i i i f x h f x f x h +-≈ 的截断误差为。 3、已知向量T x =，求Householder 变换阵H ，使(2,0)T Hx =-。 H = 。 4、利用三点高斯求积公式 1 1 ()0.5556(0.7746)0.8889(0)0.5556(0.7746)f x dx f f f -≈-++? 导出求积分 4 0()f x dx ?的三点高斯求积公式。 5、4 2 ()523,[0.1,0.2,0.3,0.4,0.5]_____.f x x x f =+-= 若则 6、以n + 1个互异节点x k ( k =0,1,…,n ),（n >1）为插值节点的 Lagrange 插值基函数为l k (x)( k =0,1,…,n )，则 (0)(1)__________.n k k k l x =+=∑ 7、已知3()P x 是用极小化插值法得到的cos x 在[0,4]上的三次插值多项式，则3()P x 的截断误差上界为3()cos ()R x x P x =-≤_________.

8、已知向量(3,2,5)T x =-，求Gauss 变换阵L ，使(3,0,0)T Lx =。L =_________. 9、设3 2 ()(7)f x x =-, 给出求方程()0f x =根的二阶收敛的迭代格式_________。 10、下面M 文件是用来求解什么数学问题的________________________. function [x,k]=dd （x0） for k=1:1000 x=cos (x0); if abs(x-x0)<, break end x0=x; end 二、（15分）已知矛盾方程组Ax=b ，其中11120,1211A b ???? ????==???????????? ，（1）用施密特正交化方法求矩阵A 的正交分解，即A=QR 。（2）用此正交分解求矛盾方程组Ax=b 的最小二乘解。三、（10分）已知求解线性方程组Ax=b 的分量迭代格式 1 (1) (1) ()1 +1 /, 121,,i n k k k i i ij j ij j ii j j i x b a x a x a i n n -++===-- =-∑∑（），，（1）试导出其矩阵迭代格式及迭代矩阵；（2）若11a A a ?? = ??? ，推导上述迭代格式收敛的充分必要条件。四、（15分）（1）证明对任何初值0x R ∈，由迭代公式11 1sin ,0,1,2, (2) k k x x k +=+ = 所产生的序列{}0k k x ∞ =都收敛于方程1 1sin 2 x x =+ 的根。（2）迭代公式11 21sin ,0,1,2, (2) k k k x x x k +=-- =是否收敛。五、（15分）用最小二乘法确定一条经过原点(0,0)的二次曲线，使之拟合下列数据

数值分析期末试题

数值分析期末试题一、填空题（20102=?分）（1)设??? ? ? ??? ??---=28 3 012 251A ，则=∞ A ______13_______。（2)对于方程组?? ?=-=-3 4101522121x x x x ，Jacobi 迭代法的迭代矩阵是=J B ?? ? ? ??05.25.20。（3)3*x 的相对误差约是*x 的相对误差的 3 1倍。（4）求方程)(x f x =根的牛顿迭代公式是) ('1)(1n n n n n x f x f x x x +-- =+。（5）设1)(3 -+=x x x f ，则差商=]3,2,1,0[f 1 。（6）设n n ?矩阵G 的特征值是n λλλ,,,21 ，则矩阵G 的谱半径=)(G ρi n i λ≤≤1max 。（7）已知?? ? ? ??=1021 A ，则条件数=∞ )(A Cond 9 （8）为了提高数值计算精度，当正数x 充分大时,应将)1ln(2 -- x x 改写为 )1ln(2 ++ -x x 。（9）n 个求积节点的插值型求积公式的代数精确度至少为1-n 次。（10）拟合三点))(,(11x f x ，))(,(22x f x ，))(,(33x f x 的水平直线是)(3 1 3 1 ∑== i i x f y 。二、（10分）证明：方程组? ?? ??=-+=++=+-1 211 2321321321x x x x x x x x x 使用Jacobi 迭代法求解不收敛性。证明：Jacobi 迭代法的迭代矩阵为 ???? ? ?????---=05 .05 .01015.05.00J B J B 的特征多项式为

数值分析期末试题

一、（8分）用列主元素消去法解下列方程组： ??? ??=++-=+--=+-11 2123454 321321321x x x x x x x x x 二、（10分）依据下列数据构造插值多项式：y(0)=1,y(1)= —2,y '(0)=1, y '(1)=—4 三、（12分）分别用梯形公式和辛普生公式构造复化的梯形公式、复化的辛普生公式并利用复化的梯形公式、复化的辛普生公式计算下列积分： ? 9 1dx x n=4 四、（10分）证明对任意参数t ，下列龙格－库塔方法是二阶的。五、（14分）用牛顿法构造求c 公式，并利用牛顿法求115。保留有效数字五位。六、（10分）方程组AX=B 其中A=????????? ?10101a a a a 试就AX=B 建立雅可比迭代法和高斯-赛德尔迭代法，并讨论a 取何值时迭代收斂。七、（10分）试确定常数A,B,C,a,使得数值积分公式?-++-≈2 2 ) (}0{)()(a Cf Bf a Af dx x f 有尽可能多的代数精确度。并求该公式的代数精确度。八、{6分} 证明： A ≤ 其中A 为矩阵，V 为向量. 第二套一、（8分）用列主元素消去法解下列方程组： ??? ??=++=+-=+3 2221 43321 32132x x x x x x x x 二、（12分）依据下列数据构造插值多项式：y(0)=y '(0)=0, y(1)=y '(1)= 1,y(2)=1 三、（14分）分别用梯形公式和辛普生公式构造复化的梯形公式、复化的辛普生公式,并利用复化的梯形公式、复化的辛普生公式及其下表计算下列积分： ?2 /0 sin πxdx ????? ? ? -+-+=++==++=+1 3121231)1(,)1(() ,(),()(2 hk t y h t x f k thk y th x f k y x f k k k h y y n n n n n n n n

数值分析试题及答案

一、单项选择题（每小题3分，共15分） 1. 3.142和3.141分别作为π的近似数具有（）和（）位有效数字. A ．4和3 B ．3和2 C ．3和4 D ．4和4 2. 已知求积公式 ()()2 1 121 1()(2)636f x dx f Af f ≈ ++? ，则A ＝（） A ． 16 B ．13 C ．12 D ．2 3 3. 通过点 ()()0011,,,x y x y 的拉格朗日插值基函数()()01,l x l x 满足（） A ． ()00l x ＝0， ()110l x = B ． ()00l x ＝0， ()111l x = C ．() 00l x ＝1，()111 l x = D ． () 00l x ＝1，()111 l x = 4. 设求方程 ()0 f x =的根的牛顿法收敛，则它具有（）敛速。 A ．超线性 B ．平方 C ．线性 D ．三次 5. 用列主元消元法解线性方程组 1231231 220223332 x x x x x x x x ++=?? ++=??--=? 作第一次消元后得到的第3个方程（）. A ． 232 x x -+= B ．232 1.5 3.5 x x -+= C ． 2323 x x -+= D ． 230.5 1.5 x x -=- 单项选择题答案 1.A 2.D 3.D 4.C 5.B 得分评卷人二、填空题（每小题3分，共15分）

1. 设T X )4,3,2(-=, 则=1||||X ，2||||X = . 2. 一阶均差 ()01,f x x = 3. 已知3n =时，科茨系数()()() 33301213,88C C C ===，那么 () 33C = 4. 因为方程()420 x f x x =-+=在区间 []1,2上满足，所以()0f x =在区间内有根。 5. 取步长0.1h =，用欧拉法解初值问题 ()211y y y x y ?'=+?? ?=? 的计算公式 . 填空题答案 1. 9和29 2. ()() 0101 f x f x x x -- 3. 1 8 4. ()()120 f f < 5. ()12 00.1 1.1,0,1,210.11k k y y k k y +???? ?=+? ?=+???? =??L 得分评卷人三、计算题（每题15分，共60分） 1. 已知函数 21 1y x = +的一组数据：求分段线性插值函数，并计算 () 1.5f 的近似值. 计算题1.答案 1. 解 []0,1x ∈， ()1010.510.50110x x L x x --=?+?=---% []1,2x ∈，()210.50.20.30.81221x x L x x --=?+?=-+--%

数值分析整理版试题及复习资料

例1、已知函数表求()f x 的Lagrange 二次插值多项式和Newton 二次插值多项式。解：（1）插值基函数分别为 ()()()()()()()()()() 1200102121()1211126 x x x x x x l x x x x x x x ----= ==-------- ()()()()()()()() ()()021******* ()1211122x x x x x x l x x x x x x x --+-= ==-+---+- ()()()()()()()()()()0122021111 ()1121213 x x x x x x l x x x x x x x --+-= ==-+--+- 故所求二次拉格朗日插值多项式为 () ()()()()()()()()()()2 20 2()11131201241162314 121123537623k k k L x y l x x x x x x x x x x x x x ==?? =-? --+?-+-+?+-????=---++-=+-∑ （2）一阶均差、二阶均差分别为

[]()()[]()()[][][]010********* 011201202303 ,11204 ,412 3 4,,5 2,,126 f x f x f x x x x f x f x f x x x x f x x f x x f x x x x x ---===-----= = =----=== --- 故所求Newton 二次插值多项式为 ()()[]()[]()() ()()()20010012012,,,35 311126537623P x f x f x x x x f x x x x x x x x x x x x =+-+--=-+ +++-=+- 例2、设2 ()32f x x x =++，[0,1]x ∈，试求()f x 在[0, 1]上关于()1x ρ=，{} span 1,x Φ=的最佳平方逼近多项式。解：若{}span 1,x Φ=，则0()1x ?=，1()x x ?=，且()1x ρ=，这样，有 ()()()()()()()()1 1 200110 1 1 2011000 1 210 1 ,11, ,3 1 23 ,,, ,3226 9,324 dx x dx xdx f x x dx f x x x dx ??????????==== ====++= =++= ????? 所以，法方程为 011231261192 34a a ??????????=?????????? ?????????? ，经过消元得012311 62110123a a ??? ???????=???????????????????? 再回代解该方程，得到14a =，011 6a =

数值分析试题及答案

数值分析试题一、填空题（2 0×2′） 1. ?? ????-=? ?????-=32,1223X A 设x =是精确值x *=的近似值，则x 有 2 位有效数字。 2. 若f (x )=x 7－x 3＋1，则f [20,21,22,23,24,25,26,27]= 1 ， f [20,21,22,23,24,25,26,27,28]= 0 。 3. 设，‖A ‖∞＝___5 ____，‖X ‖∞＝__ 3_____， ‖AX ‖∞≤_15_ __。 4. 非线性方程f (x )=0的迭代函数x =?(x )在有解区间满足 |?’(x )| <1 ，则使用该迭代函数的迭代解法一定是局部收敛的。 5. 区间[a ,b ]上的三次样条插值函数S (x )在[a ,b ]上具有直到 2 阶的连续导数。 6. 当插值节点为等距分布时，若所求节点靠近首节点，应该选用等距节点下牛顿差商公式的前插公式，若所求节点靠近尾节点，应该选用等距节点下牛顿差商公式的后插公式；如果要估计结果的舍入误差，应该选用插值公式中的拉格朗日插值公式。 7. 拉格朗日插值公式中f (x i )的系数a i (x )的特点是：=∑=n i i x a 0)( 1 ；所以当系数a i (x )满足 a i (x )>1 ，计算时不会放大f (x i )的误差。 8. 要使 20的近似值的相对误差小于%，至少要取 4 位有效数字。 9. 对任意初始向量X (0)及任意向量g ，线性方程组的迭代公式x (k +1)=Bx (k )+g (k =0,1,…) 收敛于方程组的精确解x *的充分必要条件是 ?(B)<1 。 10. 由下列数据所确定的插值多项式的次数最高是 5 。 11. 牛顿下山法的下山条件为 |f(xn+1)|<|f(xn)| 。

数值分析历年考题

数值分析A 试题 2007.1 第一部分：填空题10?5 1.设3112A ?? = ??? ,则A ∞=___________ 2()cond A =___________ 2.将4111A ??= ??? 分解成T A LL =，则对角元为正的下三角阵L =___________ ,请用线性最小二乘拟合方法确定拟合函数()bx f x ae =中的参数：a = ___________ b =___________ 4.方程13 cos 2044x x π--=在[0,1]上有个根，若初值取00.95x =，迭代方法 113 cos 244 k k x x π+=-的收敛阶是 5.解方程2 210x x -+=的Newton 迭代方法为___________，其收敛阶为___________ 6.设()s x = 323 2 323,[0,1]31,[1,2] ax x x x x x bx x +-+∈--+∈为三次样条函数，则a = ___________ b =___________ 7.要想求积公式： 1 121 ()(()f x dx A f f x -≈+? 的代数精度尽可能高，参数1A = ___________ 2x =___________此时其代数精度为：___________ 8.用线性多步法2121(0.50.5)n n n n n y y h f f f ++++-=-+来求解初值问题 00'(,),(),y f x y y x y ==其中(,)n n n f f x y =，该方法的局部截断误差为___________，设 ,0,f y μμ=?其绝对稳定性空间是___________ 9.用线性多步法 2121()n n n n n y ay by h f f ++++-+=-来求解初值问题 00'(,),(),y f x y y x y ==其中(,)n n n f f x y =，希望该方法的阶尽可能高，那么a = ___________ b =___________，此时该方法是几阶的：___________

数值分析模拟试卷(四)

数值分析模拟试卷数值分析模拟试卷（四）一、填空题（20分） 1. 若a = 2.42315是2.42247的近似值，则a 有( )位有效数字. 2. )(,),(),(10x l x l x l n 是以n ,,1,0 为插值节点的Lagrange 插值基函数，则 = ∑=n i i x il 0 )(( ). 3. 设f (x )可微，则求方程)(x f x =的牛顿迭代格式是( ). 4. 迭代公式 f BX X k k +=+)()1(收敛的充要条件是。 5. 解线性方程组A x =b (其中A 非奇异，b 不为0) 的迭代格式f x x +=+)() 1(k k B 中的B 称为( ). 给定方程组?? ?-=-=-458 92121x x x x ，解此方程组的雅可比迭代格式为( )。填空题答案

二、判断题（共10分） 1. 若0)()(

数值分析考试试卷

2020年数值分析模拟试卷(三)

北师大网络教育 数值分析 期末试卷含答案

数值分析试题及答案汇总

数值分析报告模拟试卷1,2,3

数值分析学期期末考试试题与答案(A)

数值分析试卷及其答案2

数值分析试题

数值分析模拟试题

2014-2015数值分析考试试题卷

数值分析试题A卷10.1

数值分析期末试题

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数值分析试题及答案

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