人教版数学七年级上册 代数式单元测试卷(含答案解析)

一、初一数学代数式解答题压轴题精选（难）

1．民谚有云：“不到庐山辜负目，不食螃蟹辜负腹．”，又到了食蟹的好季节啦！

某经销商去水产批发市场采购太湖蟹，他看中了A、B两家的某种品质相近的太湖蟹．零售价都为60元/千克，批发价各不相同．A家规定：批发数量不超过100千克，按零售价的92%优惠；批发数量超过100千克但不超过200千克，按零售价的90%优惠；超过200千克的按零售价的88%优惠．B家的规定如下表：

________元；

（2）如果他批发x千克太湖蟹（150＜x＜200），则他在A家批发需要________元，在B 家批发需要________元（用含x的代数式表示）；

（3）现在他要批发170千克太湖蟹，你能帮助他选择在哪家批发更优惠吗？请说明理由．【答案】（1）4968；4890

（2）54x；45x+1200

（3）解：当x=170时，

54x=54×170=9180，

45x+1200=45×170+1200=8850，

因为9180＞8850，所以他选择在B家批发更优惠

【解析】【解答】解：（1）A：90×60×92%=4968（元），B：50×60×95%+40×60×85%=4890（元）。

（ 2 ）A：60×90%x=54x，

B：50×60×95%+100×60×85%+（x-150）×60×75%=45x+1200.

【分析】（1）根据A、B两家的优惠办法分别列式求出在两家批发需要的费用。

（2）根据题意列式分别表示出在A、B两家批发x千克太湖蟹（150＜x＜200）所需的费用。

（3）将x=170分别代入（2）种表示的在A、B两家批发所需费用的两个式子计算，然后再比较大小即可。

2．如图，阶梯图的每个台阶上都标着一个数，从下到上的第1个至第4个台阶上依次标着-5，-2，1，9，且任意相邻四个台阶上数的和都相等.

（1）求前4个台阶上数的和是多少？

（2）求第5个台阶上的数是多少？

（3）应用求从下到上前31个台阶上数的和．

发现试用含k（k为正整数）的式子表示出数“1”所在的台阶数．

【答案】（1）解：由题意得前4个台阶上数的和是-5-2+1+9=3

（2）解：由题意得-2+1+9+x=3，

解得：x=-5，

则第5个台阶上的数x是-5

（3）解：应用：由题意知台阶上的数字是每4个一循环，

∵31÷4=7…3，

∴7×3+1-2-5=15，

即从下到上前31个台阶上数的和为15；

发现：数“1”所在的台阶数为4k-1

【解析】【分析】（1）由台阶上的数求出台阶上数的和即可；（2）根据题意和（1）的值，求出第5个台阶上的数x的值；（3）根据题意知台阶上的数字是每4个一循环，得到从下到上前31个台阶上数的和，得到数“1”所在的台阶数为4k-1.

3．某服装厂生产一种夹克和T恤，夹克每件定价100元，T恤每件定价60元．厂方在开展促销活动期间，向客户提供两种优惠方案：

① 买一件夹克送一件T恤；

② 夹克和T恤都按定价的80%付款．

现某客户要到该服装厂购买夹克30件，T恤x件（x >30）．

（1）若该客户按方案①购买，夹克需付款________元，T恤需付款________元（用含x的式子表示）；

若该客户按方案②购买，夹克需付款________元，T恤需付款________元（用含x的式子表示）；

（2）若x=40，通过计算说明按方案①、方案②哪种方案购买较为合算？

（3）若两种优惠方案可同时使用，当x=40时，你能给出一种更为省钱的购买方案吗？试写出你的购买方案，并说明理由．

【答案】（1）3000；；2400；

（2）解：当x=40时，方案①3000+60（40-30）=3600元方案②2400+48×40=4320元因为3600＜4320，所以按方案①合算

（3）解：先买30套夹克，此时T恤共有30件，剩下的10件的T恤用方案②购买，此时10件的T恤费用为：10×60×0.8=480，∴此时共花费了：3000+480=3480＜3600 所以按方案①买30套夹克和T恤，再按方案②买10件夹克和T恤更省钱

【解析】【解答】解：（1）方案①：夹克的费用：30×100=3000元，T恤的费用为：60（x-30）元；

方案②：夹克的费用：30×100×0.8=2400元，T恤的费用为：60×0.8x=48x元；故答案为：（1）3000，60（x-30），2400，48x；

【分析】（1）夹克每件定价100元，T恤每件定价60元根据向客户提供两种优惠方案，分别列式计算可求解。

（2）根据x=40时，分别求出两种优惠方案所付费用，再比较大小，即可作出判断。（3）抓住已知：两种优惠方案可同时使用，可以先买30套夹克，此时T恤共有30件，剩下的10件的T恤用方案②购买，计算出所需费用，再比较大小，可得出结论。

4．点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，A、B两点之间的距离表示为AB，在数轴上A、B两点之间的距离AB=|a﹣b|．利用数形结合思想回答下列问题：

（1）数轴上表示2和5的两点之间的距离是________，数轴上表示2和﹣3的两点之间的距离是________

（2）数轴上表示x和﹣2的两点之间的距离表示为________．

（3）若x表示一个有理数，且﹣4≤x≤﹣2，则|x﹣2|+|x+4|=________

（4）若|x+3|+|x﹣5|=8，利用数轴求出x的整数值．

【答案】（1）3；5

（2）|x+2|

（3）6

（4）解：∵|x+3|+|x﹣5|=8，

∴﹣3≤x≤5，

∵x为整数，

∴x=﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3，4，5

【解析】【解答】解：（1）数轴上表示2和5两点之间的距离是5﹣2=3，数轴上表示2和﹣3的两点之间的距离是2﹣（﹣3）=5；（2）数轴上表示x和﹣2的两点之间的距离表示为|x+2|；（3）若x表示一个有理数，且﹣4≤x≤﹣2，则|x﹣2|+|x+4|=6；

故答案为：3，5；|x+2|；6．

【分析】（1）根据数轴上两点间的距离是大数减小数，可得答案；（2）根据数轴上两点间的距离是大数减小数，可得答案；（3）根据线段上的点到线段的两端点的距离的和等于线段的距离，可得答案；（4）根据线段上的点到线段的两端点的距离的和等于线段的距离，可得答案．

5．小方家住户型呈长方形，平面图如下(单位：米)，现准备铺设地面，三间卧室铺设木地板，其它区城铺设地砖.

（1）求a的值.

（2）铺设地面需要木地板和地砖各多少平方米(用含x的代数式表示)？

（3）按市场价格，木地板单价为300元/平方米，地砖单价为100元/平方米，装修公司有A、B两种活动方案，如表：

活动方案木地板价格地砖价格总安装费

A8折8.5折2000元

B9折8.5折免收

料费及安装费）更低？

【答案】（1）解：根据题意，可得a＋5＝4＋4，

解得a＝3；

（2）解：铺设地面需要木地板：4×2x＋a[10＋6?（2x?1）?x?2x]＋6×4

＝8x＋3（17?5x）＋24＝75?7x；

铺设地面需要地砖：16×8?（75?7x）＝128?75＋7x＝7x＋53；

（3）解：∵卧室2的面积为21平方米，

∴3[10＋6?（2x?1）?x?2x]＝21，

∴3（17?5x）＝21，

∴x＝2，

∴铺设地面需要木地板：75?7x＝75?7×2＝61，铺设地面需要地砖：7x＋53＝7×2＋53＝67．

A种活动方案所需的费用：61×300×0.8＋67×100×0.85＋2000＝22335（元），

B种活动方案所需的费用：61×300×0.9＋67×100×0.85＝22165（元），

22335＞22165，

所以小方家应选择B种活动方案，使铺设地面总费用（含材料费及安装费）更低．

【解析】【分析】（1）根据长方形的对边相等可得a＋5＝4＋4，即可求出a的值；（2）根据三间卧室铺设木地板，其它区域铺设地砖，可知将三间卧室的面积的和为木地板的面积，用长方形的面积?三间卧室的面积，所得的差为地砖的面积；（3）根据卧室2的面积为21平方米求出x，再分别求出所需的费用，然后比较即可．

6．某垃圾处理厂，对不可回收垃圾的处理费用为90元/吨，可回收垃圾的分拣处理费用也为90元/吨，分拣后再被相关企业回收，回收价格如下表：

垃圾种类纸类塑料类金属类玻璃类

回收单价(元/吨)500800500200

A，B，C三个小区12月份产生的垃圾总量分别为100吨，100吨和m吨。

（1）已知A小区金属类垃圾质量是塑料类的5倍，纸类垃圾质量是塑料类的2倍。设塑料类的质量为x吨，则A小区可回收垃圾有________吨，其中玻璃类垃圾有________吨(用含x的代数式表示)

（2）B小区纸类与金属类垃圾总量为35吨，当月可回收垃圾回收总金额扣除所有垃圾处理费后，收益16500元，求12月份该小区可回收垃圾中塑料类垃圾的质量。

（3）C小区发现塑料类与玻璃类垃圾的回收总额恰好相等，所有可回收垃圾的回收总金额为12000元，设该小区塑料类垃圾质量为a吨，求a与m的数量关系。

【答案】（1）60

；60-8x

（2）解：由题意得：塑料类和玻璃类垃圾总质量为：100×60%-35=25(吨)，设塑料类垃圾为x，

则玻璃类垃圾为：25-x, 得：

800x+(25-x)×200+35×500-100×90=16500，

解得x=.

（3）解：设玻璃类垃圾质量为y，则800a=200x,

∴x=4a,

∴纸类和金属类垃圾质量之和为：m-5a,

∴（m-5a）×500+800a+200×4a=12000,

整理得：5m-9a=120.

【解析】【解答】（1）设塑料类的质量为x吨，纸类垃圾为2x吨，金属类垃圾为5x,

则A小区可回收垃圾为：100×60%=60(吨)，

玻璃类垃圾为：60-（x+2x+5x）=60-8x.

故答案为：60,60-8x.【分析】（1）设塑料类的质量为x吨，纸类垃圾为2x吨，金属类垃圾为5x, 因为可回收垃圾占垃圾总量的60%，则A小区可回收垃圾有60吨，玻璃类垃圾为：60-（x+2x+5x），即60-8x.

（2）先求出塑料类和玻璃类垃圾总质量，设塑料类垃圾为x，则玻璃类垃圾为25-x, 然后根据12月份总收益为16500元列方程，求出x即可.

（3）根据塑料类与玻璃类垃圾的回收总额恰好相等把玻璃类垃圾质量用含a的代数式表示，则纸类和金属类垃圾质量之和也可用含a的代数式表示，再根据可回收垃圾的回收总金额为12000元列式，最后化简即可得出a与m的数量关系。

7．将7张相同的长方形纸片(如图1)按图2所示的方式不重叠地放在长方形ABCD内，未被覆盖的部分恰好可以分割为两个长方形，面积分别为S1和S2.已知小长方形纸片的长为a，宽为b，且a＞b.

（1）当a=9,b=2,AD=30时，S1－S2=________.

（2）当AD=30时，用含a,b的式子表示S1－S2.

（3）若AB长度不变，AD变长，将这7张小长方形纸片按照同样的方式放在新的长方形ABCD内，而且S1－S2的值总保持不变，则a，b满足的关系是________.

【答案】（1）48

（2）解：S1－S2

=a(30－3b)－4b(30－a)

=30a－120b+ab

（3）a=4b

【解析】【解答】(1)解：当a=9,b=2,AD=30时，S1=a(30－3b)=9×（30-3×2）=216

S2=4b(30－a)=4×2×（30-9）=168

S1－S2=216-168=48

3)解：设AD=m,

S1－S2

=(am－3ab)－(4bm－4ab)

=am－4bm+ab

若S1－S2的值总保持不变，则S1－S2的值与m的取值无关，所以有am－4bm=0

则a=4b.

【分析】（1）观察图形，分别求出S1和S2的面积，再求差即可；（2）用含a、b的代数式分别表示S1和S2的面积，再求差即可；（3）设AD=m, 用含a、b、m的代数式分别表示S1和S2的面积差，再去括号合并同类项，根据题意S1－S2的值总保持不变，即可解答.

8．观察下列等式:

31－30=2×30,

32－31=2×31,

33－32=2×32,

（1）试写出第个等式，并说明第个等式成立的理由;

（2）计算30+31+32+…+32018+32019的值.

【答案】（1）根据题意得第n个等式为3n-3n-1=2×3n-1，

证明如下：3n-3n-1=3×3n-1-3n-1=2×3n-1，所以成立；

（2）31－30=2×30,

32－31=2×31,

33－32=2×32,

…

32019-32018=2×32018

32020-32019=2×32019

将这些等式相加

得(31－30)+(32－31)+(33－32)+…+(32019-32018)+(32020-32019)=2×(30+31+32+…+32018+32019)

故32020-30=2×(30+31+32+…+32018+32019)

∴30+31+32+…+32018+32019=

【解析】【分析】（1）通过观察即可发现：等式的左边是一个减法算式，被减数的底数是3，指数与等式的序号一致，减数的底数也是3，指数比等式的序号小1；等式的右边是一个乘法算式，一个因数是2 ，另一个因数与左边的减数一致，利用发现的规律即可得出通用公式：第n个等式为3n-3n-1=2×3n-1；

（2）利用（1）发现的规律得出 31－30=2×30,32－31=2×31,33－32=2×32,…32019-32018=2×32018，32020-32019=2×32019根据等式的性质，将这些等式直接相加，得出32020-30=2×(30+31+32+…+32018+32019) ，从而根据等式的性质即可得出答案。

9．历史上的数学巨人欧拉最先把关于x的多项式用记号f（x）的形式来表示，把x等于某数a时的多项式的值用f（a）来表示，例如x=﹣1时，多项式f（x）=x2+3x﹣5的值记为f （﹣1），则f（﹣1）=﹣7．已知f（x）=ax5+bx3+3x+c，且f（0）=﹣1

（1）c=________．

（2）若f（1）=2，求a+b的值；

（3）若f（2）=9，求f（﹣2）的值．

【答案】（1）-1

（2）解：∵f（1）=2，c=-1

∴a+b+3-1=2，

∴a+b=0

（3）解：∵f（2）=9，c=-1，

∴32a+8b+6-1=9，

∴32a+8b=4，

∴f（-2）=-32a-8b-6-1=-4-6-1=-11．

【解析】【解答】（1）∵f（x）=ax5+bx3+3x+c，且f（0）=-1，

∴c=-1，

故答案为-1．

【分析】（1）把x=0，代入f（x）=ax5+bx3+3x+c，即可解决问题；（2）把x=1，代入f （x）=ax5+bx3+3x+c，即可解决问题；（3）把x=2，代入f（x）=ax5+bx3+3x+c，利用整体代入的思想即可解决问题；

10．如图：在数轴上A点表示数，B点示数，C点表示数c,b是最小的正整数，

且a、b满足|a+2|+ （c－7）2=0．

（1）a=________，b=________，c=________；

（2）若将数轴折叠，使得A点与C点重合，则点B与数________表示的点重合；

（3）点A．B、C开始在数轴上运动，若点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点B和点C分别以每秒2个单位长度和4个单位长度的速度向右运动，假设t秒钟过后，若点A与点B之间的距离表示为AB，点A与点C之间的距离表示为AC，点B与点C 之间的距离表示为BC．

则AB=________，AC=________，BC=________．（用含t的代数式表示）

（4）请问：3BC－2AB的值是否随着时间t的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其值．

【答案】（1）-2；1；7

（2）4

（3）3t+3；5t+9；2t+6

（4）解：不变．

3BC-2AB=3（2t+6）-2（3t+3）=12

【解析】【解答】解：（1）∵|a+2|+（c-7）2=0，

∴a+2=0，c-7=0，

解得a=-2，c=7，

∵b是最小的正整数，

∴b=1；

故答案为：-2，1，7．

（ 2 ）（7+2）÷2=4.5，

对称点为7-4.5=2.5，2.5+（2.5-1）=4；

故答案为：4．

（ 3 ）AB=t+2t+3=3t+3，AC=t+4t+9=5t+9，BC=2t+6；

故答案为：3t+3，5t+9，2t+6．

【分析】（1）根据绝对值的非负性，偶次幂的非负性，由几个非负数的和为0，则这几个数都为0，列出方程组a+2=0，c-7=0，求解得出a,c的值，再根据最小的正整数是1，得出b的值；

（2）根据（1）可知A、C两点间的距离为2+7=9，根据折叠的性质得出折迹处到A、C两点的距离是（7+2）÷2=4.5，折叠处表示的数是7-4.5=2.5，B点距离折叠处的距离是 2.5-1=1.5，根据对称的性质即可得出与点B重合的点所表示的数是2.5+1.5=4；

（3）根据路程等于速度乘以时间得出：A点运动的路程为t，B点运动的路程为2t，C点运动的路程为4t，由AB=A点运动的路程加上B点运动的路程再加上一开始AB两点间的距离得出AB=t+2t+3=3t+3，由AC=A点运动的路程加上C点运动的路程再加上一开始AC两点间的距离得出AC=t+4t+9=5t+9，由BC=C点运动的路程减去B点运动的路程再加上一开始BC两点间的距离得出BC=4t-2t+6=2t+6；

（4）将（3）中得出的BC,AB的长度分别代入3BC-2AB ，即可列出一个整式的加减法算式，再去括号合并同类项后发现是一个常数，于是得出 3BC-2AB 的值与字母t无关。

11．小明拿扑克牌若干张变魔术，将这些扑克牌平均分成三份，分别放在左边，中间，右边，第一次从左边一堆中拿出两张放在中间一堆中，第二次从右边一堆中拿出一张放在中间一堆中，第三次从中间一堆中拿出一些放在左边一堆中，使左边的扑克牌张数是最初的2倍．

（1）如一开始每份放的牌都是8张，按这个规则魔术，你认为最后中间一堆剩________张牌？

（2）此时，小慧立即对小明说：“你不要再变这个魔术了，只要一开始每份放任意相同张数的牌（每堆牌不少于两张），我就知道最后中间一堆剩几张牌了，我想到了其中的奥秘！”请你帮小慧揭开这个奥秘．（要求：用所学的知识写出揭秘的过程）

【答案】（1）1

（2）解：不论一开始每堆有几张相同的扑克牌数，按这样的游戏规则，最后中间一堆只剩

1张扑克牌．理由是：设一开始每堆扑克牌都是x张，按这样的游戏规则：第一次：左边，中间，右边的扑克牌分别是（x-2）张，（x+2）张，x张；第二次：左边，中间，右边的扑克牌分别是（x-2）张，（x+3）张，（x-1）张，第三次：若中间一堆中拿y张扑克牌到左边，此时左边有（x-2）+y=2x张；即：y=2x-（x-2）=（x+2）张，所以，这时中间一堆剩（x+3）-y=（x+3）-（x+2）=1张扑克牌，所以，最后中间一堆只剩1张扑克牌．【解析】【解答】解：（1）设每份x张，第三次从中间一堆中拿出y张放进左边一堆中，由题意列等式的x-2+y=2x，

解得y=x+2，

即y是x的一次函数，

当x=8时，y=10，

把x=8，y=10代入x+2-y+1=1．

最后中间一堆剩1张牌，

故答案为：1；

【分析】（1）设每份x张，第三次从中间一堆中拿出y张放进左边一堆中，第一次从左边一堆中拿出两张放在中间一堆中左边一堆剩x-2张，第二次左边的牌的数量没有发生变化，第三次从中间一堆中拿出y张放在左边一堆中，左边一堆中共有（x-2+y）张，又第三次后左边的扑克牌张数是最初的2倍．从而列出方程，然后举哀那个x=8代入即可算出y 的值，进而即可得出答案；

（2）不论一开始每堆有几张相同的扑克牌数，按这样的游戏规则，最后中间一堆只剩1张扑克牌．理由是：设一开始每堆扑克牌都是x张，分别写出第一次，第二次，第三次左边、中间、右边的牌的数量，然后根据题意列出方程，求解即可。

12．任何一个整数，可以用一个多项式来表示：

．

例如：．已知是一个三位数．

（1）为________．

（2）小明猜想：“ 与的差一定是的倍数”, 请你帮助小明说明理由．

（3）在一次游戏中，小明算出，，，与这个数和是，请你求出这个三位数．

【答案】（1）

（2）解：

；与的差一定是的倍数．

（3）解：，由已知条件可得

=

= = 即

．是个三位数至少从16

开始，经尝试发现，只有满足条件，此时，这个三位数为

【解析】【解答】解：（1）

【分析】（1）根据每个数位上的数字所表示的意义：个位上的数字是几就表示几个1，十位上的数字是几就表示表示几个10，百位上的数字是几就表示几个100…，从而得出答案；

（2）根据（1）所得的方法，将被减数与减数分别改写成一个加法算式，然后根据整式的加法法则，去括号再合并同类项互为最简形式，根据结果判断是否是9的倍数即可；（3）根据，，，与这个数和是及（1）发现的改写规律列出方程，再根据等式的性质在方程的两边都加上，然后化简得出

，是个三位数a+b+c 至少从16开始，经尝试发现，只有满足条件，此时 .