《高等数学》(同济六版上)期末模拟试题答案
《高等数学》试卷（同济六版上）答案
《一》
一．选择题（每小题3分，本题共15分） 1-5 DBCAB 二．填空题（每小题3分，本题共15分）
6、1
7、
1x
x
+ 8、1y = 9、2cos2x 10、0 三、计算题（本题共6小题，每小题6分，共36分）
11、解：x x x 2sin 2
4lim
-+
→x →= 3分
01128
x →=
= 6分
12、解：
2
cos 1
2
lim
x
dt
e
x
t x ?-→2
cos
0sin lim 2x
x xe x
-→-= 3分
1
2e
=-
6分 13、解：)
111(112
2
x
x
x y ++++=
' 4分
211
x +=
6分
14、解：t t t t dx dy 211211
22=
++= 3分
2
22
2
321
12()241d y t d dy dx
t dt
t dt dx dx
t t -
+===-+ 6分
15、解：212122
sin(3)sin(3)(3)23
dx d x x x +=-++?
? 3分
12
cos(3)2C x
=++ 6分 16、解：??
??--+==-01
1
11
2
0d )(d )(d )(d )1(x x f x x f x x f x x f 01
10
d 1x
x
e dx x -=++?? 3
分
1
010
|ln(1)x e x -=++
11ln 2e -=-+ 6分
四、证明题（本题共2小题，每小题8分，共16分） 17、证明：10
1
(1)(1)m
n
m n x x dx t t dt -=--?? 4分
1
1
(1)(1)m n
m n
t t dt x x dx
=-=-?? 8分
18、、证明：设f (x )=ln x , [,]x a b ∈，0a b <<
显然f (x )在区间[,]a b 上满足拉格朗日中值定理的条件, 根据定理, 有
()()'()(),.f b f a f b a a b ξξ-=-<< 4分
由于1
()f x x
'=
, 因此上式即为 ln ln b a b a ξ--=.
又由.a b ξ<< b a b a b a
b a
ξ---∴
<< 当0a b <<时，
ln b a b b a
b a a
--<<
8分
五、应用题（本题共2小题,第19小题8分，第20小题10分,共18分） 19、解：2V r h π=
∴表面积222
2222222V V S r rh r r r r r
ππππππ=+=+=+ 4分 令22'40V
S r r
π=-
=
得 r =
2h =
答：底半径r =
和高2h = 8分 20、解：曲线2x y =与2
y x =的交点为（1，1）， 2分
于是曲线2x y =与2y x =所围成图形的面积A 为
31]3132[)(10
210
23
2=-=-=?x x dx x x A 6分
A 绕y 轴旋转所产生的旋转体的体积为：
()
π
ππ10352)(1
0521
04
2=??????-=-=?y y dy y y V 10分
《二》
一、单项选择题(本大题有4小题, 每小题4分, 共16分)
1、D
2、A
3、C
4、C
二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分）
5. 6
e . 6.c x x +2
)cos (21 .7. 2π. 8.3π.
三、解答题（本大题有5小题，每小题8分，共40分） 9. 解：方程两边求导
(1)cos()()0x y
e y xy xy y +''+++=
cos()
()cos()x y x y
e y xy y x e x xy +++'=-+
0,0x y ==，(0)1y '=-
10. 解：7
67u x x dx du ==
1(1)112
()7(1)71u du du
u u u u -==-++??原式 1
(ln ||2ln |1|)7u u c =-++ 7712
ln ||ln |1|77x x C =-++
11. 解：1
03
30
()x f x dx xe dx ---=+
???
03
()x
xd e --=-+??
02
32
cos (1sin )x x xe e d x πθθθ----??=--+-=???
令
321
4e π
=
--
12. 解：由(0)0f =，知(0)0g =。
===
??1
()()()x
xt u
f u du
g x f xt dt x
(0)x ≠
02
()()()(0)
x
xf x f u du
g x x x
-'=
≠?
2
0()()A
(0)lim lim
22x
x x f u du
f x
g x x →→'===?
02
()()lim ()lim
22x
x x xf x f u du
A A
g x A x
→→-'==-
=
?，'()g x 在=0x 处连续。
13. 解：2
ln dy y x
dx x +=
2
2
(ln )
dx dx
x x y e e xdx C -??=+?
2
11
ln 39x x x Cx -=
-+
1
(1),09y C =-=，
11ln 39y x x x
=- 四、 解答题（本大题10分）
14. 解：由已知且0
2d x
y y x y
'=+?，
将此方程关于x 求导得y y y '+=''2
特征方程：022
=--r r 解出特征根：.2,121=-=r r
其通解为 x
x e C e C y 221+=-
代入初始条件y y ()()001='=，得
31,3221==
C C
故所求曲线方程为：x
x e e y 23132+=-
五、解答题（本大题10分）
15. 解：（1）根据题意，先设切点为)ln ,(00x x ，切线方程：)
(1
ln 000x x x x y -=-
由于切线过原点，解出e x =0，从而切线方程为：
x e y 1=
则平面图形面积
?-=
-=1
121
)(e dy ey e A y
（2）三角形绕直线x = e 一周所得圆锥体体积记为V 1，则
2131e V π=
曲线x y ln =与x 轴及直线x = e 所围成的图形绕直线x = e 一周所得旋转体体积为V 2
?-=1
22)(dy
e e V y π
D 绕直线x = e 旋转一周所得旋转体的体积
)
3125(6221+-=
-=e e V V V π
六、证明题（本大题有2小题，每小题4分，共12分）
16. 证明：1
()()q
f x d x q f x dx -??1
()(()())
q
q
q
f x d x q f x d x f x dx =-+???
10
(1)()()q
q
q f x d x q f x dx
=--??
1212[0,][,1]
()()
12(1)()(1)()
0q q f f q q f q q f ξξξξξξ∈∈≥=
---≥
故有：
1
()()≥??q
f x d x q f x dx
证毕。
17.
证：构造辅助函数：π
≤≤=?x dt t f x F x
0,)()(0。其满足在],0[π上连续，在)
,0(π上可导。)()(x f x F ='，且0)()0(==πF F
由题设，有
????+===π
π
π
π0
)(sin cos )()(cos cos )(0|dx
x F x x x F x xdF xdx x f ，
有?=π
00
sin )(xdx x F ，由积分中值定理，存在),0(πξ∈，使0sin )(=ξξF 即0)(=ξF
综上可知),0(,0)()()0(πξπξ∈===F F F .在区间],[,],0[πξξ上分别应用罗尔定理，知存在
),0(1ξξ∈和),(2πξξ∈，使0)(1='ξF 及0)(2='ξF ，即0)()(21==ξξf f .