《概率论与数理统计》习题册答案
第一章 随机事件与概率 § 随机试验 随机事件 一、选择题
1. 设B 表示事件“甲种产品畅销”，C 表示事件“乙种产品滞销”，则依题意得A=BC .于是对立事件 {}A B C ==甲产品滞销或乙产品畅销，故选D.
2. 由A B B A B B A AB =?????=Φ，故选D.也可由文氏图表示得出. 二 写出下列随机试验的样本空间
1. {}3,420，，
2 []0,100 3. z y x z y x z y x z y x ,,},1,0,0,0|),,{(=++>>>=Ω分别表示折后三段长度。
三、（1）任意抛掷一枚骰子可以看作是一次随机试验，易知共有6个不同的结果.设试验的样本点 ""1,2,3,4,5,6i i i ω==出点点， ；则{}246,,A ωωω=，{}36,B ωω=
（2）{}135,,A ωωω=，{}1245,,,B ωωωω=，{}2346,,,A B ωωωω=，{}6AB ω=，
{}
15,A
B ωω=
四、（1）ABC ；（2）ABC ；（3）“A B C 、、不都发生”就是“A B C 、、都发生”的对立事件，所以应记为ABC ；（4）A B C ；（5）“A B C 、、中最多有一事件发生”就是“A B C 、、中至少有二事件发生”的对立事件，所以应记为：AB AC BC .又这个事件也就是“A B C 、、中至少有二事件不发生”，即为三事件AB AC BC 、、的并，所以也可以记为AB
AC
BC .
§ 随机事件的概率 一、填空题
1. 试验的样本空间包含样本点数为10本书的全排列10！，设{}A =指定的3本书放在一起，所以A 中包含的样本点数为8!3!?，即把指定的3本书捆在一起看做整体，与其他三本书全排，然后这指定的3本书再全排。故8!3!1
()10!15
P A ?=
=。 2. 样本空间样本点7!5040n ==，设事件A 表示这7个字母恰好组成单词SCIENCE ，则因为C 及C, E 及E 是两两相同的，所以A 包含的样本点数是2!2!4A =?=，故
2!2!1
()7!1260
P A ?=
=
二、求解下列概率
1. (1) 25280.36C C ≈; (2) 1515
3737
66885!0.3756!C C C A C A ==
2. 412
410.427112
A -≈
3. 由图所示，样本点为随机点M 落在半圆202 ()y ax x a <<-为正常数内，所以样本空间测度可以用半圆的面积S 表示。设事件A 表示远点O 与随机点M 的连线OM 与x 轴的夹角小于
4
π
，则A 的测度即为阴影部分面积s ， 所以
2
2
21142()22
a a s P A S a
π
ππ+===+ §概率的性质 一． 填空题 1．; 2. 1p -; 3. 16; 4. 712
二． 选择题
1. C;
2. A;
3. D;
4. B;
5. B. 三． 解答题
解：因为,AB A A
B ??所以由概率的性质可知：()()().P AB P A P A B ≤≤又因
为()0,P AB ≥所以可得 ()()(),P A
B P A P B ≤+于是我们就有
()P AB ≤ ()()P A P A B ≤()()P A P B ≤+.
如果,A B ?则,AB A = ()()P AB P A =； 如果,B A ?则,A
B A =这时有()().P A P A B =
a
a
2a
1.1
图
如果,AB φ=则(0,P AB =）这时有()()().P A B P A P B =+
§ 条件概率与事件的独立性 一． 填空题 1.
23；2. 0.3、；3. 23；4. 1
4
； 5. 2； 5. 因为AB AB =，所以()(),()()AB AB AABB AB AB AB AB φ====，则有
,AB A B A B φ=+=+=Ω，因为,AB A B φ=+=Ω且所以A 与B 是对立事件，即
A B A B ==，。所以，()()1,P A B P A B ==于是()()2P A B P A B +=
二． 选择题
1. D ；
2. B ；
3. A ；
4. D ；
5. B
1． 已知()()1,P A B P A B +=又()()1,P A B P A B +=所以()(),P A B P A B =于是
得
()()()()
P AB P AB P B P B =，注意到()()(),()1(),P AB P A P AB P B P B =-=-代入上式并整理后
可得()()()P AB P A P B =。由此可知，答案D 。 三． 解答题 1.
33105，； 2. 2
n
§ 全概率公式和逆概率（Bayes ）公式 解答题 1.
2. （1）；（2）
3.（1）0.943；（2）0.848 § 贝努利概型与二项概率公式 一． 填空题
1. 1
1(1),(1)(1)n
n
n p p np p ----+-；2.
2
3
二． 解答题 1. .
2. 0.94n
，222(0.94)(0.06)n n n C --，11(0.94)(0.06)(0.94)n n n ---
3.（1），（2），（3）
章节测验
一． 填空题 1.
8
25
； 2. 对立；3. 0.7； 4. 84217，
二． 选择题 三、解答题 1.（1）； （2）2
23
2. .0038
四、证明题（略）。 随机变量 分布函数
一、填空题
1.)(1a F -；)1()1(--F F ；)()()(b F a F b F -；
2. 1,12
a b ==/π；3.1
21--e
二、选择题
1、D ；
2、A ； 三、计算题
1.
所以得随机变量X 的分布函数为
????
?????≥<≤<≤<=5,154,10443,101
3,
0)(x x x x x F
2.解：（1）由条件知，当1- 由于81}1{= -=X P ，则8 1}1{)1(=-≤=-X P F ； 从而有 8 5 81411}1{}1{1}11{=-- =-=-=-=<<-X P X P X P ； 由已知条件当11<<-x 时，有 )1(}111{+=<<-≤<-x k X x X P ； 而1}1111{=<<-≤<-X X P ，则2 1 =k 于是，对于11<<-X 有 } 111{}11{}11,1{}1{<<-≤<-?<<-=<<-≤<-=≤<-X x X P X P X x X P x X P 16 ) 1(52185+= +?= x x 所以 16 7 516)1(581}1{}1{)(+=++=≤<-+-≤=x x x X P X P x F 当1≥x 时，1)(=x F ，从而 ?? ?? ???≥<≤-+-<=1, 111,16751, 0)(x x x x x F （2）略。 离散型与连续性随机变量的概率分布 一、填空题 1．38 27 ；2.2 二、选择题 ； ； 三、计算题 1.（1）2,1==B A ；（2）? ??? ?????≥<≤--<≤<=2,12 1,1221 0,2 0,0)(2 2 x x x x x x x x F ；（3）43 2.略。 常用的几个随机变量的概率分布 一、填空题 1. 649；2.2 32-e ；3.2.0 二、计算题 1、4 3；2、352.0；3、5167.0；4、（1）9270.01)5.1()5.2(=-Φ+Φ；（2）29.3=d 随机向量及其分布函数 边际分布 一、填空题 1、(,)(,)(,)(,)F b b F a b F b a F a a --+；(,)(,)F b b F a b -； 2、0；1 二、计算题 1、（1）2 ,2 ,1 2 π π π= = = C B A ；（2） 16 1 ； （3）R x x x F X ∈+= ),2arctan 2(1)(ππ，R y y y F Y ∈+=),3 arctan 2(1)(ππ 2、（1）???≤>-=-0,00,1)(2x x e x F x X ，???≤>-=-0 ,00 ,1)(y y e y F y Y ,； （2）42 ---e e 。 3、?????????>≤≤-+<=2,120),cos 1(sin 210,0)(ππx x x x x x F X ，?? ?? ?? ???>≤≤-+<=2,120),cos 1(sin 21 0,0)(ππy y y y y y F Y 二维离散型与连续性随机向量的概率分布 一、填空题 1、87； 2、∑+∞=1j ij p ，∑+∞ =1 i ij p ；3、41；4、41 二、计算题 1、1=c ；???≤>=-0,00,)(x x e x f x X ；?? ???≤>+=0,00,)1(1 )(2 y y y y f Y 2、（1）6,(,)(,)0,x y D f x y ∈?=?? 其它； （2）26(),01()0,X x x x f x ?-<<=??其它 ；),01 ()0,Y y y f y ?< 其它 3、 条件分布 随机变量的独立性 一、选择题 1、B ； 2、A ； 3、D ； 4、C ； 5、D 二、计算题 1、 2、||2,012,01 (|),(|)0,0,X Y Y X x x y y f x y f y x ≤≤≤≤??==?? ?? 其它其它 3、（1）8=c ；（2）4 1 }2{=< X Y P ； （3）不独立。 4、 )1(11121 Φ-+??? ? ?? --e π 随机变量函数的概率分布 一、填空题 1、 2、1,01 ()0,Y y f y ≤≤?=??其它 二、选择题 1、B ； 2、D ； 三、计算题 1、???<<=else y y f ,010,1)(； 2、?? ???≥-<<-<=--1 ,)1(10,10, 0)(z e e z e z z f z z Z 3、???? ???≥<<≤=1,110,2 1 ,0)(z z z z f Z ；???????? ? ≥-<<≤=1,21110,20,0)(z z z z z z F Z 第二章测验 一、填空题 1、 4 1 ；2、34；3、0；4、2.0 二、选择题 1、C ； 2、A ； 3、B 三、计算题 1、~(3,0.4)X B ，则随机变量的概率函数为 其分布函数为： ?????????????≥<≤<≤<≤<=3 ,132,125117 21,1258110,125270,0)(x x x x x x F 2、（1）24=A ； （2）???≤≤-=其它,010),1(12)(2x x x x f X ，? ??≤≤-=其它,01 0),1(12)(2y y y x f X ； （3）不独立； （4）?????<<<<=?? ???<<<<--=其它其它,010,10,2)|(,,010,10,)1()1(2)|(2|2 |y x x y x y f y x y x y x f X Y Y X 。 3、（1）?? ?≤>=-0,00,)(z z ze z f z Z ；（2）?? ???≤>+=0 ,00,)1(1 )(2 z z z z f Z 第三章 随机变量的数字特征 数学期望 一 、填空题 1、 13，23，3524 ； 2、21，0.2 3、 2 ，4796 二、计算题 1. 解： 1 121 1()(1)(1)1k k k k k a a a E X k k a a a -+∞ +∞+==??== ?+++??∑∑ 根据公式 () ' ' 1 2 111(1)11k k k k x kx x x x x +∞ +∞-==????===< ? ?-??-??∑∑ 得到 2 21 ()(1)11a E X a a a a = =+?? - ?+?? 2． 0 ；3．: 2a 4. 2/3，4/3 ，-2/3，8/5 ； 5．4/5，3/5，1/2，16/15 方差 一、填空题 1. 0.49 ； 2. 1/6 ； 3. 8/9 ； 4. 8 ， 二、计算题 1.： ， 提示： 设 0,1,i i X i ?=? ?部件个不需要调整 部件个需要调整 则123,,X X X 相互独立，并且123X X X X =++，显然1 (1,0.1),X B 2(1,0.2),X B 3 (1,0.3)X B 2.：1/3，1/3 ； 3．： 16/3 ，28 三、 证明题 提示： [][]2 2 ()())D XY E XY E XY E XY EX EY =-=- []2 )E XY YEX YEX EX EY =-+- []2 ()()E Y X EX EX Y EY DX DY =-+-≥ 协方差与相关系数 一、 选择题 1. A ； ； 二、 计算题 1. ()()0E X E Y ==，()()0.75D X D Y ==， 0XY ρ=， () 1.5D X Y += X 与Y 不独立 2. 0 ，0 提示：111()0Y y f y π?= -≤≤?=??? ?其它 1 21 1 ()10E Y y y dy π -= -=? ()0.25D Y = 同理可得()()0E X E Y ==，()()0.25D X D Y == 221 (,)()0x y xy Cov X Y E XY dxdy π +≤== =?? 3. ：22 22 a b a b -+ 矩与协方差矩阵 1. 3 3321132v v v v μ=-+ 2.（1），，， ；（2） ；（3） （4）0.210.020.020.24-????-?? 第三章 测验 一、 填空题 1． ； 2. 1 ，； 3． ab 二、 选择题 1．B ； ； 三、 计算题 1.解：设X 表示该学徒工加工的零件中报废的个数，又设 0,1,i i X i ?=??第个零件未报废 第个零件报废 则由题设知 1111i X i i i ?????? ++?? 于是有 10 1 i i X X == ∑ 且1 ()(1,2,,10)1 i E X i i = =+ 从而10 10 10 1 1 1 111 1 ()( )() 2.02123 11 i i i i i E X E X E X i =======+++ =+∑∑∑ 2.： 10分25秒 提示：设乘客到达车站的时间为X ，由题意可知X 为[0,60] 上的均匀分布，根据发车时间可以得到等候时间Y ，且Y 是关于X 的函数 10010301030()553055705560 X X X X Y g X X X X X -<≤??-<≤? ==? -<≤??-<≤? 3. 0,0 第四章习题 切比雪夫不等式 随机变量序列的收敛性 1．解：由切比雪夫不等式知， 2221 (37)(|5|2)122 21 (|5|8)832 P X P X P X <<=-<≥-=->≤= 2．解：设X 为在n 次试验中事件A 出现的次数，则~(,)X B n p ， X n 为频率． 21110.750.25()()0.750.75,()()X X E E X n D D X n n n n n n ?==??=== 由题意知{0.70.8}0.9,X P n <<≥ 而由切比雪夫不等式有20.750.25 {|0.75|0.05}10.05 X n P n ?-<≥- 所以有2 0.750.25 10.90.05n ?-=，得750n = 大数定理 1． 证：有题设知 n （n=2，3，…）的概率分布为： 故n 的数学期望为 () 01 2101 n -)(n =? +???? ??-?+? =n n n n X E X n 的方差为 ()(2 2 2 2 2121 ()[()]012n n n D X E X E X n n n ?? =-=?+?-+ ? = ??? 故∑== N n n X N X 1 1 的数学期望 () ()011 1 1==???? ? ?=∑∑==N n n N n n X E N X N E X E 方差 () ()N N X D N X N D X D N n N n n N n n 2 21 11 1 2 1 21= = =? ?? ? ? ?=∑∑∑=== 在利用车比雪夫不等式得 (){ }()02 2 2 ????→?≤≤≥-+∞ →N N X D X E X P ε εε 因此，X 1，X 2，…，X n ，…服从大数定理。 2．证：由于X 1，X 2，…，X n 相互独立，且()i i E X μ=，()i D X 存在， 令 n 1 1n i i X X n ==∑ 则 () ()k k 11 1111n n n n k i i i E X E X E X n n n μ===??=== ???∑∑∑ 有限。 () ()k k 211 110n n n n i i D X D X D X n n →∞==??==???→ ???∑∑ 故由车比雪夫不等式知，0>?ε 。 () ( ) ()() 1 222 111n k n n k n n D X D X P X E X n εεε→∞ =-≤≥- =-???→∑ 即 11 11lim {||}1n n i i n i i P X n n με→+∞==-<=∑∑ 中心极限定理 1．解：设X 为抽取的100件中次品的件数，则(100,0.2)X B ， ()1000.220,()200.816E X D X =?==?= 则 18202025201205{1825}{}{} 444244 (1.25)(0.5)(1.25)(0.5)10.89440.691510.5859 X X P X P P ----<<=<<=-<<=Φ-Φ-=Φ+Φ-=+-=2．解：（1） 设X 为一年中死亡的人数，则(,)X B n p ，其中n =10000，p = 保险公司亏本则必须1000X>120000，即X>120 P{保险公司亏本}={120}P X > =P > =7.769}P >1(7.769)0≈-Φ= （2）P{保险公司获利不少于40000元 } {120000100040000}{80}(2.59)0.995 P X P X P -≥=≤=≤=Φ= 3．解：设X i ={每个加数的舍入误差}，则X i ~ U, ， ()0i =X E ，()121i =X D ，i = 1, 2, … 故由独立同分布中心极限定理知X 1，X 2，…服从中心极限定理。 （1） [][][]802 .10)9099.01(2)4.31(121)4.31(21)4.31()4.31(11211500015001512115000150012115000150015-11515115115150011500 11500115001=-?=Φ-=-Φ-=-Φ-Φ-≈??????? ????????????? ????-≤?????? ????-≤?????? ????--=??? ??≤≤--=? ?? ? ??≤-=???? ??>∑∑∑∑====i i i i i i i i X P X P X P X P （2） 1{||10}0.9n i i P X =<≥∑ ，||0.9n i X P ?? ???<≥????∑ 由中心极限定理得，210.9,0.95Φ-≥Φ≥，所以 1.65≥，解得440n =． 第四章 测验 一、填空题 1．1/4；211k - ． 2．2 2 1n σε -．提示：利用切比雪夫不等式估计． 3．1/12 4．0． 5．． 6．()x Φ． 二、选择题 1．A 2．C 3 D ． 三、应用题 1．解：设X 为1000次中事件A 出现的次数，则(1000,0.5)X B ()500,()5000.5250E X D X ==?= 25039 {400600}{|500|100}10.9751000040 P X P X <<=-<≥- == 2．解：设至少要掷n 次，有题设条件知应有 () 9.06.04.0≥< 其中∑== n i i X n X 1 n 1 ， i=1，2，… 独立同分布，且 ()()5.001i i ====X P X P ， 5.0)(i =X E ， 25.05.05.0)(i =?=X D （1） 用切比雪夫不等式确定 () () () 2 n 1 .011.05.06.04.0n n X D X P X P - ><-=<< 而()n n X D n X n D X D n i n i i n i 25 .05.01 11)(1 22 1 2n == =??? ? ? ?=∑ ∑∑== 即要求90.01 .025.012 ≥- n 即)次(2501 .025 .03 =≥n 即至少应掷250次才能满足要求。 （2）用中心极限定理确定 () 0.40.60.50.50.5210.90 555n n X P X P n n n n n n ?? <<=< 得10.90 0.9552n ??+Φ≥= ? ??? 查标准正态分布表的 645.15≥n ，225.8645.15=?≥n 所以6865.67225.82 ≈=≥n 即在这种情况下至少应掷68次才能满足要求。 3．解：设X 为每天去阅览室上自习的人数。 则有(12000,0.08),()120000.08960,()9600.92883.2X B E X D X =?==?= （1） {880}1{880}1{ } 883.2883.2 1( 2.692)(2.692)0.996P X P X P >=-≤=-≤≈-Φ-=Φ= （2）设总座位数为n {}0.8,{ }0.8 883.2883.2 P X n P <=≤=由中心极限定理知， ( )0.8883.2Φ=，查表得883.2 =，986n =，所以应增添986-880=105个座位。 4．解：令n 为该药店需准备的治胃药的瓶数 X 为在这段时间内购买该药的老人数 则由题意知(2000,0.3)X B ，()20000.3600,()6000.7E X D X =?==? {}0.99 {}0.99 420420 P X n P ≤=≤=由中心极限定理知， ( )0.99420Φ≈，查表得 2.33420 =，所以648n ≈ 四、证明题 1．证明：设 则有,1 1,()()(1)4 n n k k k k k k k M X E X p D X p p == ==-≤ ∑ 1 11 11()()().n k n n n k k k k k p M E E X E X n n n n ====== ∑∑∑ 1 22 2 1 1 1 1114 ()()().4n n n n k k k k k M D D X D X n n n n n =====≤ ≤ ∑∑∑ 由切比雪夫不等式得，1222( ) 111{||}4n n n M D M p p p n P n n n εεε++-≤-≤-<， 所以当n →+∞时121{||}1n n M p p p P n n ε++≤-<≤，即 12{||}1n n M p p p P n n ε++-<=． 2．证：因为12,, , n X X X 相互独立且同分布，所以21X ，22X ，…，2 n X 相互独立且同 分布，且有相同的数学期望与方差： () 22a X E i =，() ()()[] ()0a -22 242 24 2≠=-==σa X E X E X D i i i 满足独立分布中心极限定理条件，所以 ∑=n i i X 1 2 近似服从正太分布()2 2 ,σn na N ，即 ∑==n i i n X n Y 12 1 近似服从??????-n a a a N 2242)(, 第五章 数理统计的基本概念 总体 样本 统计量 一、选择题 1.(D) 2.(A) () 9 9 2 2 2 2 1 1 9285925 7.591 91 8 i i i i X X X X S ==--?-?== = =--∑∑ 3. (D) 二、应用题 1. 5， 2. 5 5125151 1()(,,...)(),,...0,i X i i b a f x x x f x a x x b =?? -==< ∏ 其它 3. 0,11 ,124()3,234 1,3x x F x x x 抽样分布 一、选择题 1.(C) 注： 1~(1)t n -才是正确的. 2.(B) 根据()()222 1~1 n S n χσ --得到()221 ()~1n i i X X n χ=--∑ 3.(A) 解： ()9 92 1 1 ~(0,9)9~0,1i i i i X N X N ==?∑∑，()9 221 9~9i i Y χ=∑ 由t ()9t 二、应用题 1. (1,1)F n - 2. (1)3 ~(10,)2 X N (2) 3. 第五章 测验 一、选择题 1. ( C ) 2.（C ） 注：统计量是指不含有任何未知参数的样本的函数 3（D ） 对于答案D,由于 ~(0,1),1,2, ,i X N i n μ σ -=，且相互独立，根据2χ分布的定义有 2 21 2 ()~()n i i X x n μσ =-∑ 4.(C) 注：1~(0,)X N n ~(1)t n -才是正确的 5.(C) 12345{max(,,,,)15}P X X X X X > 123451{max(,,,,)15}P X X X X X =-≤ ()15115,,15P X X =-≤≤ =5 )]5.1([1Φ- 二、填空题 1. μ， 2 n σ 2. 1 n i i X n =∑， ()2111n i i X X n =--∑，11i n k i X n =∑，()11n k i i X X n =-∑ 3. ,pq p n 4. 2 52 (1)n χ- 三、应用题 1. (1)2121 1 (,,...)( )! ! n n k n n n n i i f x x x e e k k λλ λλ +--====∏∏ 2. 0.1 3. (1)t n - 第六章 参数估计 参数的点估计 一、选择题 二、解答题 1.解 （1）()() ∑∑∞ =-∞=-=== 1 1 1 1}{x x x p p x x X xP X E ∑∞ =' ??? ? ??-==11x x q q p q dq d p p 1 = ()p q -=1 用X 代替()X E ，则得p 的矩估计量 X p 1= ??? ? ?=∑=n i i X n X 11 （2）分布参数p 的似然函数 ()() ∏∏=-=-===n i x i n i p p x X P p L i 1 1 1 1}{()∑-=-=n i i n x n p p 1 1 取对数 ()()p n x p n p L n i i -??? ??-+=∑=1ln ln ln 1 解似然方程 ()011ln 1=?? ? ??---=∑=n i i n x p p n dp p L d 得p 的极大似然估计量 X p 1 = ??? ? ?=∑=n i i X n X 11 2.解 （1）()()()2 6;3 2 θ θθθθ =-== ?? ∞ +∞ -dx x x dx x xf X E ，用∑==n i i X n X 11代替总 体均值()X E ，则得参数θ的矩估计量为.2X =θ （2） () ()()??? ??===∑=n i i X n D X D X D D 11442θ ()()()∑=== =n i i X D n X nD n X D n 1 2 2 4 44 因 为 ()() ()()?∞ +∞-?? ? ??-=-=2 2 2 2 2;][θθdx x f x X E X E X D ()?=- -=θθθθθ02233 2046 dx x x 所以 () n n D 52042 2θθθ== 3.解 取()()∑-=+-=1 1 2121,,,,n i i i n X X C X X X ?由定义 ()]()??? ????=??? -=∑-=+112121,,,n i i i n X X C E X X X E ?()∑-=+=-1121n i i i X X E C