基于相位裕度和幅值裕度的PI_PID参数自整定新方法

闭环系统的过冲和相位裕度关系的分

Overshoot as a Function of Phase Margin J. C. Daly Electrical and Computer Engineering University of Rhode Island 4/19/03 Figure 1 Figure 2 Amplifier frequency response. PM w t /w eq Q%OS 55o0.700 0.925 13.3% 60o0.580 0.817 8.7% 65o0.470 0.717 4.7% 70o0.360 0.622 1.4% 75o0.270 0.527 0.008%

When an amplifier with a gain A(s) is put in a feedback loop as shown in Figure 1, the closed loop gain, V o /V in = A CL (1) The system is unstable when the loop gain, ? A(s), equals -1. That is, ? A(s) has a magnitude of one and a phase of -180 degrees. An unstable system oscillates. A system close to being unstable has a large ringing overshoot in response to a step input. The phase margin is a measure of how close the phase of the loop gain is to -180 degrees, when the magnitude of the loop gain is one. The phase margin is the additional phase required to bring the phase of the loop gain to -180 degrees. Phase Margin = Phase of loop gain - (-180). The loop gain has a dominant pole at . Higher order poles can be represented by an equivalent pole at . The amplifier is approximated by a function with two poles as shown in Equation 2. (2) Since for frequencies of interest where the loop gain magnitude is close to unity, (3) And, (4) (5) Defining , Table I ? PM is the phase margin. ? w t is the unity gain frequency (rad/sec). ? w eq is the frequency of the equivalent higher order pole (rad/sec). ? Q is the system Quality factor. ? OS is the Over Shoot.

幅值裕量和相位裕量

一般来说，)(ωj G 的轨迹越接近与包围-1+j001j +-点，系统响应的震荡性越大。因此，)(ωj G 的轨迹对01j +-点的靠近程度，可以用来度量稳定裕量(对条件稳定系统不适用)。在实际系统中常用相位裕量和增益裕量表示。 Re Positive Phase Margin Negative Gain Margin Negative Stable System Unstable System (ωj G

64 ω Log ω Log ω Log ω Log ?-90? -270?-180Positive Gain Margin Positive Phase Margin Negative Gain Margin Negative Phase Margin Stable System Unstable System dB ? -90? -270?-1800 dB 图1 稳定系统和不稳定系统的相位裕度和幅值裕度 相位裕度、相角裕度(Phase Margin)γ 设系统的截止频率(Gain cross-over frequency)为c ω 1)()()(==c c c j H j G j A ωωω 定义相角裕度为 )()(180c c j H j G ωωγ+?= 相角裕度的含义是，对于闭环稳定系统，如果开环相频特性再滞后γ度，则系统将变为临界稳定。 当0>γ 时，相位裕量相位裕度为正值；当0<γ时，相位裕度为负值。为了使最小相位系统稳定，相位裕度必须为正。在极坐标图上的临界点为0分

贝和-180度。?-180 增益裕度、幅值裕度(Gain Margin)h 设系统的穿越频率(Phase cross-over frequency) πωωω?)12()()()(+== k j H j G x x x ，Λ,1,0±=k 定义幅值裕度为 ) ()(1 x x j H j G h ωω= 幅值裕度h 的含义是，对于闭环稳定系统，如果系统开环幅频特性再增大h 倍，则系统将变为临界稳定状态。 若以分贝表示，则有 )()(log 20)(x x j H j G dB h ωω-= 当增益裕度以分贝表示时，如果1>h ，则0)(>dB h 增益裕度为正值；如果1

相位裕度

闭环极点法是以系统左平面共轭复极点到原点斜率的倒数的绝对值β来判断系统稳定性的方法，β越大，系统就越稳定。在存在减幅振荡的时候，能较好的描述和量化系统的稳定性。 若一个闭环系统阶跃响应出现减幅振荡，系统的闭环传输函数必然会出现左平面共轭复数根s = σ±ωj，阶跃响应会出现一个衰减指数项，形式是K × exp(σt) × sin(ωt) , 可以看作一个衰减的指数项乘以一个正常的sin函数。 现在以图1的常见二级运放为例，说明如何在spectre中运用闭环极点法来分析运放的稳定性，在这里只调整电容的值来改变运放的稳定性, 对运放进行闭环AC和pole-zero分析，再print pole-zero summary就可以看到零极点了。下面先把图表公式全部列出来，然后再进行具体分析。 图1 常见二级运放 实数极点共轭复极点 左平面单调指数减幅（稳定）减幅震荡（可能不稳定,视情况而定） 右平面单调指数增幅（不稳定）增幅震荡（不稳定）

注释： β: 比例因子，σ / ω的绝对值 PM : 相位裕度 σ：闭环极点的实部，可以由spectre仿真得到 ω：闭环极点的虚部，可以由spectre仿真得到 公式1：u(t)= K1+K2 × exp(σt) × sin(ωt) , σ是减幅震荡的衰减因子,ω是减幅震荡的频率公式2 ：ωT= 2π，T是减幅震荡的周期 公式3：σ= -1 / τ , τ为时间常数

图2 PM=45度时的阶跃响应 图3 PM=45度时的极点分布 首先来分析PM=45的情况，阶跃响应和闭环极点如图2和图3所示，系统出现了左平面上的共轭复根, 时域上出现了减幅振荡。肉眼能分辨的震荡包括三个上凸，两个下凹，最后一个上凸不很明显，合共2.5个振荡周期T,这可以说明什么呢？其实一旦出现减幅振荡，理论上再过10年，振荡也不会变为0 ，但无论是考虑到噪声也好，波形软件能够到达的精度也好，减幅振荡一旦衰减到一定的程度，例如1% ，就能够认为振荡消失了。可以尝试计算下经过一个振荡周期波形能衰减到多少。这里经过的时间为t=2.5T，由公式1 和公式2 及β=0.36 可得t=2.5T=2.5×0.36 ×2π×τ=5.7×τ , 就是说指数项经过5.7τ的衰减变为原来的exp(σ×5.7×τ)=0.3% ,这说明指数衰减到约0.3%后，减幅震荡就消失了。