4 - 2 泰勒级数
高等数学基本公式整理(级数部分)
常数项级数： 是发散的调和级数：等差数列：等比数列：n n n n q q q q q n n 1312112 )1(3211111 2+++++=++++--=++++- 级数审敛法： 散。存在，则收敛；否则发、定义法： 时，不确定时，级数发散时，级数收敛，则设：、比值审敛法： 时，不确定时，级数发散时，级数收敛，则设：别法）： —根植审敛法（柯西判—、正项级数的审敛法n n n n n n n n n n s u u u s U U u ∞→+∞→∞→+++=?? ???=><=?? ???=><=lim ;3111lim 2111lim 1211 ρρρρρρρρ 。的绝对值其余项，那么级数收敛且其和 如果交错级数满足—莱布尼兹定理： —的审敛法或交错级数1113214321,0lim )0,(+∞ →+≤≤?????=≥>+-+-+-+-n n n n n n n n u r r u s u u u u u u u u u u u 绝对收敛与条件收敛： ∑∑∑∑>≤-+++++++++时收敛 １时发散ｐ 级数： 收敛； 级数：收敛； 发散，而调和级数：为条件收敛级数。收敛，则称发散，而如果收敛级数； 肯定收敛，且称为绝对收敛，则如果为任意实数； ，其中111)1(1)1()1()2()1()2()2()1(232121p n p n n n u u u u u u u u p n n n n 幂级数：
0010)3(lim )3(1111111221032=+∞=+∞=== ≠==><+++++≥-<++++++++∞→R R R a a a a R R x R x R x R x a x a x a a x x x x x x x n n n n n n n n 时，时，时，的系数，则是，，其中求收敛半径的方法：设称为收敛半径。 ，其中时不定 时发散时收敛 ，使在数轴上都收敛，则必存收敛，也不是在全 ，如果它不是仅在原点 对于级数时，发散 时，收敛于 ρρρρρ 函数展开成幂级数： +++''+'+===-+=+-++-''+-=∞→++n n n n n n n n n x n f x f x f f x f x R x f x x n f R x x n x f x x x f x x x f x f ! )0(!2)0()0()0()(00lim )(,)()! 1()()(! )()(!2)())(()()(2010)1(00)(20000时即为麦克劳林公式：充要条件是：可以展开成泰勒级数的余项：函数展开成泰勒级数：ξ一些函数展开成幂级数： )()!12()1(!5!3sin )11(!)1()1(!2)1(1)1(121532+∞<<-∞+--+-+-=<<-++--++-+ +=+--x n x x x x x x x n n m m m x m m mx x n n n m 欧拉公式： ??? ????-=+=+=--2sin 2cos sin cos ix ix ix ix ix e e x e e x x i x e 或 三角级数： 。 上的积分＝在任意两个不同项的乘积正交性：。 ，，，其中，0],[cos ,sin 2cos ,2sin ,cos ,sin ,1cos sin )sin cos (2)sin()(00101 0ππω???ω-====++=++=∑∑∞ =∞= nx nx x x x x x t A b A a aA a nx b nx a a t n A A t f n n n n n n n n n n n n 傅立叶级数：
泰勒公式及泰勒级数的应用
摘要：多项式函数是各类函数中最简单的一种，用多项式逼近函数是近似计算和理论分析的一个重要内容。而函数的泰勒公式就是其中比较典型的一种。 本文先介绍泰勒公式和泰勒级数，然后再深入的分析和探讨了泰勒公式和泰勒级数在近似计算、极限计算、求函数值、不等式的证明以及判断级数敛散性等几个方面的应用。 关键字：泰勒公式；泰勒级数；应用
目录 目录 1 引言 (3) 2预备知识 (4) 2.1泰勒公式 (4) 2.2泰勒级数和泰勒展开式 (4) 2.3常见函数的展开式 (6) 3泰勒公式与泰勒级数的应用 (7) 3.1用泰勒公式进行近似计算 (7) 3.2利用泰勒公式进行极限计算 (7) 3.3求函数的极值和不等式的证明 (8) 3.4判断或证明级数的敛散性 (9) 3.5用泰勒公式求行列式的值 (9) 3.6 泰勒公式在经济学中的应用 (10) 3.7用泰勒级数解微分方程 (11) 4结论 (14) 参考文献 (15) 致谢 (14)
1引 言 泰勒公式是高等数学中非常重要的内容，它将一些复杂的函数近似表示为简单的多项式函数，这种化繁为简的方法，使它成为分析和研究其他数学的有力杠杆，并且在经济学上有一定的应用。泰勒公式的问世，使得许多以前难以解决或是不能解决的问题都得到了解决。 泰勒级数使得幂级数的求导和积分可以逐项进行，因此求和函数相对比较容易。而实际应用中，我们需要把泰勒级数截断，只取有限项，泰勒定理可以用于估算这种近似的误差。 泰勒公式中含有有限多项, 泰勒级数中含有无限多项, 泰勒公式不是泰勒级数, 泰勒级数也不是泰勒公式。当()f x 的各阶导数都存在时，()f x 的泰勒级数在收敛情况下一定等于()f x ；但不论()f x 的泰勒级数是否收敛,只要()f x 有1n 阶导数, 就有泰勒公式成立。可见泰勒级数收敛时,与泰勒公式结果一致,都是()f x 。 泰勒公式在理论研究和数值计算中具有广泛的应用, 泰勒级数是函数项级数的特例, 泰勒公式和泰勒级数在解决实际问题中有某些的相似性, 但是它们引入不同, 因此还是有一定的差异性。泰勒公式是通过重复运用柯西中值定理得来的, 过程比较复杂；泰勒级数属于函数项级数中的幂级数。千万不要把泰勒公式和泰勒级数混为一谈。
第四节-泰勒级数与幂级数
第四节 泰勒级数与幂级数 教学目的：理解幂级数收敛半径的概念，并掌握幂级数的收敛半径、收敛区间及收敛域的求法；了解幂级数在其收敛区间的一些基本性质（和函数的连续性、逐项微分和逐项积分），会求一些幂级数在收敛区间的和函数，并会由此求出某些常数项级数的和；了解函数展开为泰勒级数的充分必要条件、掌握,sin ,cos x e x x ，ln(1)x +和(1)x α +的麦克劳林展开式，会用它们将一些简单函数间接展开成幂级数。 教学重点 ：幂级数的收敛半径、收敛区间及收敛域；,sin ,cos x e x x ，ln(1)x +和(1)a α +的麦克劳林展开式。 教学难点：幂级数的收敛域及和函数。 教学时数：4 教学容： 一、函数项级数的概念 1．函数项级数的定义 定义：设函数()(1,2,3 )n u x n =都在D 上有定义，则称表达式 1 2 1 ()()()n n u x u x u x ∞ ==++ ∑ 为定义在D 上的一个函数项级数，() n u x 称为通项，1 ()()n k k S x u x ∞ ==∑称为部分和函数． 2．收敛域 定义：设 1()n n u x ∞ =∑是定义在D 上的一个函数项级数，0 x D ∈，若数项级数01 ()n n u x ∞ =∑收敛， 则称0x 是 1 ()n n u x ∞ =∑的一个收敛点．所有收敛点构成的集合称为级数的收敛域． 3．和函数 定义：设函数项级数 1 ()n n u x ∞ =∑的收敛域为I ，则任给x I ∈，存在唯一的实数()S x ，使得 1 ()()n n S x u x ∞ ==∑成立．定义域为I 的函数()S x 称为级数1 ()n n u x ∞ =∑的和函数． 二、幂级数 1．幂级数的定义
微积分基础知识总结以及泰勒公式
§3.3 泰勒公式 常用近似公式 ，将复杂函数用简单的一 次多项式函数近似地表示，这是一个进步。当然这种近似表示式还较粗糙（尤其当 较大时），从下图可看出。 上述近似表达式至少可在下述两个方面进行改进： 1、提高近似程度，其可能的途径是提高多项式的次数。 2、任何一种近似，应告诉它的误差，否则，使用者“ 心中不安”。 将上述两个想法作进一步地数学化： 对复杂函数 ，想找多项式来近似表示它。自然地，我们希望 尽可能多地反映出函数 所具有的性态 —— 如：在某点处的值与导 数值；我们还关心 的形式如何确定； 近似 所产生的误差 。 【问题一】 设 在含的开区间内具有直到阶的导数，能否找出一个关于 的 次多项式 近似 ? e x x x x x ≈+≈1,sin ()充分小 x f x ()p x n ()p x n () f x ()p x n () p x n () f x ()R x f x p x n n ()()() =-f x ()x 0n +1() x x -0n ) ,,1,0()()() 1()()()()(0)(0) (0202010n k x f x p x x a x x a x x a a x p k k n n n n ==-++-+-+=且f x ()
【问题二】 若问题一的解存在，其误差 的表达式是什么? 一、【求解问题一】 问题一的求解就是确定多项式的系数 。 …………… 上述工整且有规律的求系数过程，不难归纳出： R x f x p x n n ()()() =-a a a n 01,,, p x a a x x a x x a x x n n n ()()()()=+-+-++-0102020 ∴=a p x n 00() '=+-+-++--p x a a x x a x x na x x n n n ()()()()1203020123 ∴ ='a p x n 10() ''=??+???-+???-++?-??--p x a a x x a x x n n a x x n n n ()()()()()213243123040202 ∴ ??=''2120a p x n () '''=???+????-+????-++?-?-??--p x a a x x a x x n n n a x x n n n ()()()()()()3214325431234050203 ∴???='''32130a p x n ()
幂级数及泰勒展开习题解答电子版本
幂级数及泰勒展开习 题解答
幂级数及泰勒展开 一、求下列幂级数的收敛区间 1. 1 2(21)n n x n n ∞ =-∑ 解：12(21) lim lim 12(1)(21) n n n n a n n a n n +→∞ →∞-==++ 1R ?= 当1x =时，因 2111 2(21)2(1)n n n n n n =<-+-， 所以1 12(21)n n n ∞ =-∑收敛， 当1x =-时， 1(1)2(21) n n n n ∞ =--∑绝对收敛， ? 收敛区间为[1,1]-。 2. 1 1 n n n -∞ = 解：11lim 2n n n n a a +→∞== 2R ?= 当2x = 时，1 n n ∞ =为收敛的交错级数， 当2x =-时， 111 n n n n -∞ ∞===- ? 收敛区间为(2,2]-。 3. 1(1)32n n n n n n x x ∞ =?? -+???? ∑ 解：11 1 1 (1)32lim lim 3(1)32 n n n n n n n n n n a a ++++→∞ →∞-+==-+ 13R ?=， 当13x =±时，通项不趋于零，? 收敛区间为11,33??- ??? 。
4. 1 (23)(1)21n n n x n ∞ =---∑ 解：121lim lim 121 n n n n a n a n +→∞ →∞-==+ 1R ?= 故当231x -<，即12x <<时级数绝对收敛。 当1x =时， 11(1)(1)11 1, 21212-1 2n n n n n n n n ∞ ∞==--??=> ?--??∑∑发散， 当2x =时， 1 (1)21n n n ∞ =--∑为收敛的交错级数， ? 收敛区间为(1,2]。 5. 1 ln(1) (1)1n n n x n ∞ =+-+∑ 解：1ln(2)(1) lim lim 1(2)ln(1) n n n n a n n a n n +→∞ →∞++==++ 1R ?= 故当11x -<，即02x <<时级数绝对收敛。 当0x =时，因为 1 ln(1)ln lim lim lim 01 1n x x n x x n x →∞→+∞→+∞+===+，2 ln 1ln ln(2)ln(1) ()()0() 3 21 x x n n f x f x x e n x x n n -++'=?=<>?≥<++时， 所以 1 (1)ln(1) 1n n n n ∞ =-++∑收敛， 当2x =时，因为当2n ≥时ln(1)11 112n n n n +>>++ 所以1 ln(1)1n n n ∞ =++∑发散， ? 收敛区间为[0,2)。 6. 21 1(1)(1)4 n n n n x n ∞ -=--∑
函数展开为泰勒级数
函数展开为泰勒级数 设函数00()()n n n f x a x x ∞==?∑，0x x R ?<，已知右端求左端， 这是幂级数求和，已知左端求右端，这是求函数的幂级数展开式，除按定义之外，它们的方法是相同的。 一、 泰勒级数与迈克劳林级数： 设函数 ()f x 在点的某一临域内具有任意阶导数，则级 数： 0x ()000 20000()30000()()!()()()()()1!2! ()()()()3!!n n n n n f x x x n f x f x f x x x x x f x f x x x x x n ∞ =?′′′=+?+?′′′+?+???+?+???∑0 称为函数()f x 在点的泰勒（Taylor ）级数。 0x 特别的，如果，上式变成迈克劳林(Maclaurin)级数: 00x =2()3()0 (0)(0)(0)()()1!2! (0)(0)()()3(! 0)()!!n n n n n f f f f x x f f x x n n x ∞=′′′=++′′′++???++???∑ 此时，这个级数的敛散性不明确。
二、 函数展开称幂级数的条件： 定理1： 设函数()f x 在点0x 的某一临域内具有各阶导数，则函数0()U x ()f x 在该邻域内能展开称泰勒级数的充分必要条件是函数()f x 的泰勒公式的余项()n x R 当n 时的极限为0.即： →∞ ()0lim n n R x →∞=三、 直接法把函数展开成幂级数的步骤： 第一.步： 求出 ()f x 的各阶导数()f x ′，()f x ′′，……()()n f x …… 如果在X=0处导数不存在，就停止进行。 第二.步： 求出函数及其各阶导数在X=0处的值，即： (0)f ′，，………… (0)f ′′()(0)n f 第三.步： 写出幂级数: 2()3(0)(0)(0)()()1!2!(0)(0)()()3!! n n f f f x x f f x x n ′′′++′′′++???++??? 并求出 收敛半径R 。 第四.步： 考察当X 在区间（-R,+R ）内时，余项()n x R 的极限： (1)1()()lim (1)!lim n n n n n f R x x n ξ++→∞→∞=+ ξ 在0与X 之间。 如果极限为0，则函数()f x 在区间（-R,+R ）内的幂级数展
泰勒级数_中文
┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊装┊┊┊┊┊订┊┊┊┊┊线┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊ 外文文献翻译 泰勒级数 出自维基百科，自由的百科全书，对于其他系列扩展概念，见系列（数学）。 在数学中，泰勒级数是一个具有代表性的利用单点的导数来实现无穷计算的函数。泰勒级数的概念是由英国数学家布鲁克·泰勒在1715年正式提出。如果泰勒级数在零点展开，则该级数称为麦克劳林级数。科林·麦克劳林是苏格兰数学家，他在18世纪针对该级数做了广泛的使用，泰勒级数便以他的名字命名。 一般，通过使用其泰勒级数的有限项来逼近一个函数。泰勒定理给出针对该逼近的误差估计。一个函数的任何有限数量的泰勒级数被称为泰勒多项式。一个函数的泰勒级数是该函数的泰勒多项式的无限逼近。一个函数可能不等于它的泰勒级数，即使在每一个点其泰勒级数都收敛。如果一个函数等于其在一个开放的区间（或在复平面上的盘）的泰勒级数，则它是已知的解析函数。 定义 泰勒级数的实（复）函数() f x在实（复）数a的领域上是无限可微的幂级数： Λ + - + - + - +3 3 2) ( !3 ) ( ) ( !2 ) ('' ) ( !1 ) (' ) (a x a f a x a f a x a f a f 这也可以写成更简洁的形式： n n n a x n a f ) ( ! ) ( ) ( - ∑∞ = 其中！ n表示n的阶乘，) ()(a f n表示f在a点的n阶导数。f的零阶导数是它本身， ) (a x-和!0的值都为1，在0 = a的情况下，该级数也称为麦克劳林级数。 例子 对于任何多项式的麦克劳林级数都是该多项式本身。 1 ) 1(- -x，1 | |< x的麦克劳林级数就是如下的集合级数： Λ + + + +3 2 1x x x 因此1 x-在1 a=上的泰勒级数为： Λ + - - - + - -3 2) 1( )1 ( )1 ( 1x x x 对上面的麦克劳林级数积分，得到) 1 log(x -（log为自然对数的符号）的麦克劳林级数为： Λ - - - - -4 3 2 4 1 3 1 2 1 x x x x 而log()x在1 a=上对应的泰勒级数就为： Λ + - - - + - - -4 3 2)1 ( 4 1 )1 ( 3 1 )1 ( 2 1 )1 (x x x x 指数函数x e在0 a=处的泰勒级数为：
漫谈高数(一) 泰勒级数的物理意义
高等数学干吗要研究级数问题? 是为了把简单的问题弄复杂来表明自己的高深? No，是为了把各种简单的问题/复杂的问题，他们的求解过程用一种通用的方法来表示。 提一个问题，99*99等于多少? 相信我们不会傻到列式子去算，口算也太难了而是会做一个迂回的方法，99*(100-1)，这样更好算。那么995*998呢? 问题更复杂了，(1000-5)*(1000-2)，式子比直接计算要复杂，但是口算却成为了可能。归纳一下，x*y这样的乘法运算或者幂次运算，如何直接计算很麻烦的话，我们可以用因式分解的方法(中学生都能理解)来求解。但是因式分解仍然不够通用，因为我们总是需要通过观察"特定"的待求解式子，找到一种规律，然后才能因式分解，这是我们从小学到中学数学方法的全部: 特定问题特定的解答方法。那么，到了高等数学，怎么办? 研究一种方之四海皆准的，通用的方法。 泰勒级数的物理意义是什么? 就是把方程g(x)=0的解，写成曲线方程的形式看看和x轴有什么交点。例如f(x)=x^2=5等价于g(x)=x^2-5=0和x轴的交点。而这个曲线交点可以用直线切线的逼近方法(牛顿迭代法)来实现，这就是泰勒级数的物理意义: 点+一次切线+2次切线+...+N次切线。每次切线公式的常数，就是泰勒级数第N项的常数。OK，从泰勒级数的式子可以看到，为了保证两边相等，且取N次导数以后仍然相等，常数系数需要除以n!，因为x^n取导数会产生n!的系数。泰勒级数，就是切线逼近法的非跌代的，展开式。泰勒公式怎么来的，其实根据牛顿逼近法就可以得到从1阶一直可以推导到N阶。假设f1(x)=f(x)-f(a)，由牛顿逼近法有f1(x)=f'(a)(x-a)+o(x-a)^2，所以f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+o(x-a)^2 同理，假设f2(x)=f(x)-f(a)-f'(x)(x-a)， 两边求导,f2'(x)=f'(x)-f'(x)-f''(x)(x-a)=-f''(a)(x-a) 再求不定积分f2(x)=-(1/2)f''(a)(x-a)^2+C，C就是那个高阶无穷小(需要证明) 所以f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+f''(a)(x-a)^2+o(x-a)^3依次类推，最后就有了泰勒公式。另一种证明过程干脆就是先写出来g(x)=a0+a1(x-a)+a2(x-a)^2+...+an(x-a)^n，然后从等式序列，g(a)=f(a),g'(a)=f'(a),...g'''''(a)=f'''''(a)... ...就得到所有的a0-an的泰勒展示系数了。 泰勒级数展开函数，能做什么？对于特定的x取值，可以求它附近的函数。y=x^100展开以后可以求x=1附近的0.9999的100次方等于多少，计算过程和结果不但更直观，而且可以通过舍弃一些高阶项的方法来避免不必要的精度计算，简化了计算，节省了计算时间(如果是计算机计算复杂数字的话)。在图像处理的计算机软件中，经常要用到开方和幂次计算，而Quake III的源代码中就对于此类的计算做了优化，采用泰勒技术展开和保留基本项的办法，比纯粹的此类运算快了4倍以上。 还可以做什么呢? 对于曲线交点的问题，用方程求解的办法有时候找不到答案，方程太复杂解不出来，那么用泰勒级数的办法求这个交点，那么交点的精度要提高，相当于泰勒级数的保留项要增加，而这个过程对应于牛顿--莱布尼茨的迭代过程，曲线交点的解在精度要求确定的情况下，有了被求出的可能。 看到了吧，泰勒技术用来求解高方程问题，是一种通用的方法，而不是像中学时代那样一种问题一种解决办法，高等数学之所以成为"高等"，就是它足够抽象，抽象到外延无穷大。 那么，更感兴趣的一个问题是，对于高阶的微分方程表达的问题，怎么求解呢? 泰勒级数不行了，就要到傅立叶级数-傅立叶变换-拉普拉斯变化。这几个工具广泛用于各个领域的数学分析，从信号与系统到数理方程的求解。 中学数学和高等数学最大的区别是什么? 中学数学研究的是定解问题，例如根号4等于2。高等数学研究什么呢----它包含了不定解问题的求解，例如用一个有限小数位的实数来表示根号5的值。我们用泰勒级数展开求出的根号5的近似值，无论保留多少位小数，它都严格不等于根号5，但是实际应用已经足够了。不可解的问题，用高等数学的通解办法，可以求出一个有理数的近似解，它可以无限接近于上帝给出的那个无理数的定解。通解可行性的前提是，我们要证明这种接近的收敛性，所以我们会看到高等数学上册的课本里面，不厌其烦的，一章接一章，一遍又一遍的讲，一个函数，在某个开区间上，满足某个
幂级数展开的多种方法
幂级数展开的多种方法 摘要：本文通过举例论证的说明方法，系统地对幂级数展开的多种解法进行了详细地概括、分类及总结 关键词：幂级数;泰勒展式;洛朗展式;展开 在复变函数的学习过程中，我们涉及了对解析函数幂级数展开的学习.由课本的知识知道，任意一个具有非零收敛半径的幂级数在其收敛圆内收敛于一个解析函数.这个性质是很重要的，但在解析函数的研究上，幂级数之所以重要，还在于这个性质的逆命题也是成立的.即有下面的泰勒定理和洛朗定理： 定理 1（泰勒定理）设()z f 在区域D 内解析，D a ∈，只要圆R a z K <-:含于D ，则()z f 在K 内能展成幂级数()()∑∞ =-= n n n a z c z f ，其中系数 () () () () ! 21 1n a f d a f i c n n n = -= ?Γ+ζζζ π.（ρ=-Γa z : R <<ρ0 n=0,1,2 )且展式唯 一. 定理2（洛朗定理）在圆环R a z r H <-<: （0≥r +∞≤R ）内解析的函数 ()z f 必可展成双边幂级数()() ∑ ∞ -∞ =-= n n n a z c z f ，其中系数() () ζζζ πd a f i c n n ?Γ+-= 121 ( 2,1,0±±=n ρ=-Γa z : R r <<ρ) 且展式唯一. 这两个定理的存在，使得在函数解析的范围内，我们可以通过幂级数展开的方法来更好的研究解析函数的性质.而这两个定理，也是我们后面研究幂级数展开的基础和前提. 接下来，我们将着重开始讨论幂级数展开问题的多种解法： 1、直接法. 即按照泰勒定理和洛朗定理中所给的幂级数展开的公式，直接将函数展开. 例1 求()z z f tan =在4 0π =z 点处的泰勒展开式. 解：用公式 () () ! 0n z f c n n = 求n c ：;14tan 0==π c ()2 ,24 sec | tan 12 4 ==='= c z z π π ；
(完整版)大学高数常用公式大全
高等数学公式 导数公式： 基本积分表： 三角函数的有理式积分： 2 22212211cos 12sin u du dx x tg u u u x u u x += =+-=+=， ， ， a x x a a a ctgx x x tgx x x x ctgx x tgx a x x ln 1)(log ln )(csc )(csc sec )(sec csc )(sec )(2 2 = '='?-='?='-='='2 2 22 11 )(11 )(11 )(arccos 11 )(arcsin x arcctgx x arctgx x x x x +- ='+= '-- ='-= '? ?????????+±+=±+=+=+=+-=?+=?+-==+==C a x x a x dx C shx chxdx C chx shxdx C a a dx a C x ctgxdx x C x dx tgx x C ctgx xdx x dx C tgx xdx x dx x x )ln(ln csc csc sec sec csc sin sec cos 222 22 22 2C a x x a dx C x a x a a x a dx C a x a x a a x dx C a x arctg a x a dx C ctgx x xdx C tgx x xdx C x ctgxdx C x tgxdx +=-+-+=-++-=-+=++-=++=+=+-=????????arcsin ln 21ln 211csc ln csc sec ln sec sin ln cos ln 2 2222222? ????++-=-+-+--=-+++++=+-= ==-C a x a x a x dx x a C a x x a a x x dx a x C a x x a a x x dx a x I n n xdx xdx I n n n n arcsin 22ln 22)ln(221 cos sin 22 2222222 2222222 22 2 22 2 ππ
最新全国数学微积分-泰勒公式
2010年全国数学微积分-泰勒公式
泰勒公式及其应用 [摘要]文章简要介绍了泰勒公式及其几个常见函数的展开式,针对泰勒公式的应用讨论了九个问 题，即应用泰勒公式求极限，证明不等式，判断级数的敛散性，证明根的唯一存在性,判断函数的极值, 求初等函数的幂级数展开式,进行近似计算,求高阶导数在某些点的数值,求行列式的值. [关键词]泰勒公式；极限；不等式；敛散性；根的唯一存在性；极值;展开式;近似计算;行列式. １引言 泰勒公式是高等数学中一个非常重要的内容,它将一些复杂函数近似地表示为简单的多项式函数,这种化繁为简的功能,使它成为分析和研究其他数学问题的有力杠杆.作者通过阅读大量的参考文献,从中搜集了大量的习题,通过认真演算,其中少数难度较大的题目之证明来自相应的参考文献,并对这些应用方法做了系统的归纳和总结.由于本文的主要内容是介绍应用,所以,本文会以大量的例题进行讲解说明. ２预备知识 定义2.1?Skip Record If...?若函数?Skip Record If...?在?Skip Record If...?存在?Skip Record If...?阶导数,则有 ?Skip Record If...? ?Skip Record If...?（1） 这里?Skip Record If...?为佩亚诺型余项,称(1)f在点?Skip Record If...?的泰勒公式. 当?Skip Record If...?=0时,（1）式变成?Skip Record If...?,称此式为(带有佩亚诺余项的)麦克劳林公式.
定义2.2?Skip Record If...?若函数 ?Skip Record If...?在?Skip Record If...?某邻域内为存在直至 ?Skip Record If...?阶的连续导数,则?Skip Record If...? , （2）这里?Skip Record If...?为拉格朗日余项?Skip Record If...?,其中?Skip Record If...?在?Skip Record If...?与?Skip Record If...?之间,称（2）为?Skip Record If...?在?Skip Record If...?的泰勒公式. 当?Skip Record If...?=0时,（2）式变成?Skip Record If...? 称此式为(带有拉格朗日余项的)麦克劳林公式. 常见函数的展开式： ?Skip Record If...?. ?Skip Record If...?. ?Skip Record If...?. ?Skip Record If...?. ?Skip Record If...? ?Skip Record If...?. 定理2.1?Skip Record If...?(介值定理) 设函数?Skip Record If...?在闭区间?Skip Record If...?上连续,且?Skip Record If...?,若?Skip Record If...?为介于?Skip Record If...?与?Skip Record If...?之间的任何实数,则至少存在一点?Sk ip Record If...??Skip Record If...?,使得 ?Skip Record If...?. 3泰勒公式的应用
幂级数及泰勒展开习题解答
一、求下列幂级数的收敛区间 1. 12(21) n n x n n ∞ =-∑ 解：12(21) lim lim 12(1)(21)n n n n a n n a n n +→∞ →∞-==++ 1R ?= 当1x =时，因 2111 2(21)2(1)n n n n n n =<-+-， 所以112(21) n n n ∞ =-∑收敛， 当1x =-时， 1 (1)2(21)n n n n ∞ =--∑绝对收敛， ? 收敛区间为[1,1]-。 2. 1 n n n -∞ = 解：11 lim 2n n n n n a a -+→∞== 2R ?= 当2x = 时，1 n n ∞ =为收敛的交错级数， 当2x =-时， 111 n n n n -∞ ∞===-发散， ? 收敛区间为(2,2]-。 3. 1(1)32n n n n n n x x ∞ =?? -+???? ∑ 解：11 1 1 (1)32lim lim 3(1)32n n n n n n n n n n a a ++++→∞ →∞-+==-+ 13R ?=， 当13x =±时，通项不趋于零，? 收敛区间为11,33?? - ??? 。
4. 1 (23)(1)21n n n x n ∞ =---∑ 解：121lim lim 121 n n n n a n a n +→∞ →∞-==+ 1R ?= 故当231x -<，即12x <<时级数绝对收敛。 当1x =时， 11(1)(1)11 1, 21212-1 2n n n n n n n n ∞ ∞==--??=> ?--??∑∑发散， 当2x =时， 1 (1)21n n n ∞ =--∑为收敛的交错级数， ? 收敛区间为(1,2]。 5. 1 ln(1) (1)1n n n x n ∞ =+-+∑ 解：1ln(2)(1)lim lim 1(2)ln(1) n n n n a n n a n n +→∞ →∞++==++ 1R ?= 故当11x -<，即02x <<时级数绝对收敛。 当0x =时，因为 1 ln(1)ln lim lim lim 01 1n x x n x x n x →∞→+∞→+∞+===+， 2 ln 1ln ln(2)ln(1) ()()0() 3 21 x x n n f x f x x e n x x n n -++'=?=<>?≥<++时， 所以 1 (1)ln(1) 1n n n n ∞ =-++∑收敛， 当2x =时，因为当2n ≥时ln(1)11 112n n n n +>> ++ 所以1 ln(1)1n n n ∞ =++∑发散， ? 收敛区间为[0,2)。 6. 21 1 (1)(1)4n n n n x n ∞ -=--∑
一些常用函数及其泰勒(Taylor)展开式的图像
其中， 。 ! 4!3!21)(; ! 3!21)(; ! 21)(; 1)(;)exp(4 32443 23322211x x x x x P y x x x x P y x x x P y x x P y e x y x ++++==+++==++==+==== -3 -2-1 0123 -50 5 10 15 20 25 Figure 1 y=exp(x) and its Taylor expansion equation X Y
其中， 。 ! 7!5!3)(; !5!3)(; ! 3)(; )();sin(7 53775 35533311x x x x x P y x x x x P y x x x P y x x P y x y -+-==+-==-===== -4 -3-2-1 01234 -8-6-4-202468Figure 2 y=sin(x) and its Taylor expansion equation X Y
其中， 。 ! 8!6!4!21)(; !6!4!21)(; ! 4!21)(; !21)(); cos(8 642886 42664 2442 22x x x x x P y x x x x P y x x x P y x x P y x y +-+-==-+-==+-==-=== -4 -3-2-1 01234 -8-6 -4 -2 2 4 Figure 3 y=cos(x) and its Taylor expansion equation X Y
其中， 。 4 32)(; 3 2)(; 2 )(; )();1ln(4 32443 23322211x x x x x P y x x x x P y x x x P y x x P y x y -+-==+-==-====+= -1 -0.50 0.51 1.52 -3-2 -1 1 2 3 Figure 4 y=ln(x) and its Taylor expansion equation X Y
第四节泰勒级数与幂级数
第四节 泰勒级数与幂级数 教学目的：理解幂级数收敛半径的概念，并掌握幂级数的收敛半径、收敛区间及收敛域的求法；了解幂级数在其收敛区间内的一些基本性质（和函数的连续性、逐项微分和逐项积分），会求一些幂级数在收敛区间内的和函数，并会由此求出某些常数项级数的和；了解函数展开为泰勒级数的充分必要条件、掌握,sin ,cos x e x x ，ln(1)x +和(1)x α +的麦克劳林展开式，会用它们将一些简单函数间接展开成幂级数。 教学重点 ：幂级数的收敛半径、收敛区间及收敛域；,sin ,cos x e x x ，ln(1)x +和 (1)a α+的麦克劳林展开式。 教学难点：幂级数的收敛域及和函数。 教学时数：4 教学内容： 一、函数项级数的概念 1．函数项级数的定义 定义：设函数()(1,2,3 )n u x n =都在D 上有定义，则称表达式 1 2 1 ()()()n n u x u x u x ∞ ==++ ∑ 为定义在D 上的一个函数项级数， () n u x 称为通项，1 ()()n k k S x u x ∞ ==∑称为部分和函数． 2．收敛域 定义：设 1()n n u x ∞ =∑是定义在D 上的一个函数项级数，0 x D ∈，若数项级数01 ()n n u x ∞ =∑收 敛，则称0x 是1 ()n n u x ∞ =∑的一个收敛点．所有收敛点构成的集合称为级数的收敛域． 3．和函数 定义：设函数项级数 1 ()n n u x ∞ =∑的收敛域为I ，则任给x I ∈，存在唯一的实数()S x ， 使得1 ()()n n S x u x ∞ == ∑成立．定义域为I 的函数()S x 称为级数1 ()n n u x ∞ =∑的和函数．
泰勒展开式
函数的幂级数展开式 通过前面的学习我们看到，幂级数不仅形式简单，而且有一些与多项式类似的性质。而且我们还发现有一些可以表示成幂级数。为此我们有了下面两个问题： 问题1：函数f(x)在什么条件下可以表示成幂级数 ； 问题2：如果f(x)能表示成如上形式的幂级数，那末系数c n(n=0,1,2,3,…)怎样确定？ 下面我们就来学习这两个问题。 泰勒级数我们先来讨论第二个问题.假定f(x)在a的邻区内能表示成 这种形式的幂级数，其中a是事先给定某一常数，我们来看看系数c n与f(x)应有怎样的关系。 由于f(x)可以表示成幂级数，我们可根据幂级数的性质，在x=a的邻区内f(x)可任意阶可导.对其幂级数两端逐次求导。得： ， ， ……………………………………………… ， ……………………………………………… 在f(x)幂级数式及其各阶导数中，令x=a分别得： 把这些所求的系数代入得： 该式的右端的幂级数称为f(x)在x+a处的泰勒级数. 关于泰勒级数的问题 上式是在f(x)可以展成形如的幂级数的假定下得出的.实际上，只要f(x)在x=a处任意阶可导，我们就可以写出函数的泰勒级数。
问题：函数写成泰勒级数后是否收敛？是否收敛于f(x)？ 函数写成泰勒级数是否收敛将取决于f(x)与它的泰勒级数的部分和之差 是否随n→＋∞而趋向于零.如果在某一区间I中有那末f(x)在x=a处的泰勒级数将在区间I中收敛于f(x)。此时，我们把这个泰勒级数称为函数f(x)在区间I中的泰勒展开式. 泰勒定理 设函数f(x)在x=a的邻区内n+1阶可导，则对于位于此邻区内的任一x，至少存在一点c,c 在a与x之间，使得： 此公式也被称为泰勒公式。(在此不加以证明） 在泰勒公式中，取a=0，此时泰勒公式变成： 其中c在0与x之间, 此式子被称为麦克劳林公式。 函数f(x)在x=0的泰勒级数称为麦克劳林级数.当麦克劳林公式中的余项趋于零时，我们称相应的泰勒展开式为麦克劳林展开式. 即： 几种初等函数的麦克劳林的展开式 1.指数函数e x 2.正弦函数的展开式
幂级数及泰勒展开习题解答
幂级数及泰勒展开 一、求下列幂级数的收敛区间 1. 1 2(21)n n x n n ∞ =-∑ 解：12(21) lim lim 12(1)(21) n n n n a n n a n n +→∞ →∞-==++ 1R ?= 当1x =时，因 2111 2(21)2(1)n n n n n n =<-+-， 所以1 12(21)n n n ∞ =-∑收敛， 当1x =-时， 1(1)2(21) n n n n ∞ =--∑绝对收敛， ? 收敛区间为[1,1]-。 2. 1 n n n -∞ = 解：11 lim 2n n n n a a +→∞== 2R ?= 当2x = 时，1 n n ∞ =为收敛的交错级数， 当2x =-时， 111 n n n n -∞ ∞===-发散， ? 收敛区间为(2,2]-。 3. 1(1)32n n n n n n x x ∞ =?? -+???? ∑ 解：11 1 1 (1)32lim lim 3(1)32 n n n n n n n n n n a a ++++→∞ →∞-+==-+ 13R ?=， 当13x =±时，通项不趋于零，? 收敛区间为11,33?? - ??? 。
4. 1 (23)(1)21n n n x n ∞ =---∑ 解：121lim lim 121 n n n n a n a n +→∞ →∞-==+ 1R ?= 故当231x -<，即12x <<时级数绝对收敛。 当1x =时， 11(1)(1)11 1, 21212-1 2n n n n n n n n ∞ ∞==--??=> ?--??∑∑发散， 当2x =时， 1 (1)21n n n ∞ =--∑为收敛的交错级数， ? 收敛区间为(1,2]。 5. 1 ln(1) (1)1n n n x n ∞ =+-+∑ 解：1ln(2)(1)lim lim 1(2)ln(1) n n n n a n n a n n +→∞ →∞++==++ 1R ?= 故当11x -<，即02x <<时级数绝对收敛。 当0x =时，因为 1 ln(1)ln lim lim lim 01 1n x x n x x n x →∞→+∞→+∞+===+， 2 ln 1ln ln(2)ln(1) ()()0() 3 21 x x n n f x f x x e n x x n n -++'=?=<>?≥<++时， 所以 1 (1)ln(1) 1n n n n ∞ =-++∑收敛， 当2x =时，因为当2n ≥时ln(1)11 112n n n n +>>++ 所以1 ln(1)1n n n ∞ =++∑发散， ? 收敛区间为[0,2)。 6. 211(1)(1)4 n n n n x n ∞ -=--∑
泰勒级数展开
泰勒级数展开若干方法 何琼（绍兴文理学院 数学系，浙江 绍兴 312000） 摘要： 泰勒级数的各项是由结构简单、性质明了的幂函数组成．把一个函数展开成泰勒级数或幂级数， 有着广泛的应用．本文对泰勒级数的若干展开方法进行探究、综述，有助于我们对这部分知识的深入理解． 关键词： 泰勒级数；幂级数；余项 §１ 引言 泰勒级数是数学分析中级数部分的重要内容，其主要内容包括两个方面：（１）幂 级数的收敛理论；（２）如何把一个函数展开成泰勒级数．本文是对后者进行较全面的归纳和总结．我们知道把一个函数展开成泰勒级数的方法大致上可分为两类，即直接展开法和间接展开法．直接展开法可按下列步骤进行： 第一步：求出函数的各阶导数;),(),("),(') (L L x f x f x f n 第二步：求函数?(χ)及其各阶导数在),(0x f ;),(),("),('0) (00L L x f x f x f n 第三步：写出泰勒级数 L L +?++?+ ?+n n x x n x f x x x f x x x f x f )(! )()(!2)("))((')(00)(2 00000 第四步：考察余项)(x R n 在0x 的某一领域)(0x U 内极限是否为零. 按照Taylor 定理，直接展开法是一种基本的方法，但有时是比较繁杂的方法，实际应用 中通常利用间接展开法. 1 代换法 这种方法的特点是：进行适当变量替换使得被展函数符合某个已知泰勒展开式．这是一种在实际应用中被广泛使用的间接展开法． 例1 求x e 处1=x 的泰勒级数 解 已知t e 在0=t 处的泰勒级数为 L L +++++=! !212n t t t e n t ， ),(+∞?∞∈x 而 11 1?+??==x x x e e e e 设1?=x t 代入（1）得 ∑∞ =?=0 !)1(n n x n x e e ， ),(+∞?∞∈x 2 等比级数求和法 利用公式 L L +++++=?n x x x x 2111 由于本公式应用广泛，所以专列一条.