学术正刊 圆锥曲线 基本定义
高中 1 LeO 著 第一定义
定义1.0(椭圆第一定义):平面内到两定点F 1、F 2的距离的和等于常数2a (2a >|F 1F 2|)的动点P 的轨迹称之为椭圆。即:|PF 1|+|PF 2|=2a 。
定义1.1(椭圆焦点):两定点F 1、F 2称作椭圆的左右焦点。
定义1.2(椭圆焦距):两焦点距离|F 1F 2|=2c 称作椭圆的焦距。
解:如图1,建立直角坐标系,设两焦点坐标F 1(?c,0)、F 2(c,0),动点坐标P (x,y ),依题意有:
√(x +c )2+y 2+√(x ?c )2+y 2=2a ??1?
?1?式移项后再平方:
(x +c )2+y 2=4a 2?4a√(x ?c )2+y 2+(x ?c )2+y 2
继续化简:
(a 2?c 2)x 2+a 2y 2=a 2(a 2?c 2) ??2?
?2?式中令b 2=a 2?c 2,化简得:
x 2a 2+y 2
b 2
=1 证毕。
图1 图2
定义2.0(双曲线第一定义):平面内到两定点F 1、F 2的距离的差等于常数2a (2a <|F 1F 2|)的动点P 的轨迹称之为双曲线。即:||PF 1|?|PF 2||=2a 。
定义2.1(双曲线焦点):两定点F 2、F 1称作双曲线的左右焦点。
定义2.2(双曲线焦距):两焦点距离|F 1F 2|=2c 称作双曲线的焦距。
解:如图2,建立直角坐标系,设两焦点坐标F 2(?c,0)、F 1(c,0),动点坐标P (x,y ),依题意有:
√(x +c )2+y 2?√(x ?c )2+y 2=±2a ??1?
?1?式移项后再平方:
(x +c )2+y 2=4a 2±4a√(x ?c )2+y 2+(x ?c )2+y 2
继续化简:
(c 2?a 2)x 2?a 2y 2=a 2(c 2?a 2) ??2?
?2?式中令b 2=c 2?a 2,化简得:
x 2a 2?y 2
b 2
=1 证毕。