《第21章一元二次方程》
一、精心选一选:
1.下列方程中,是关于x的一元二次方程的是( )
A.ax2+bx+c=0 B.x2+2x=x2﹣1 C.3(x+1)2=2(x+1) D. +﹣2=0
2.用配方法解方程:x2﹣4x+2=0,下列配方正确的是( )
A.(x﹣2)2=2 B.(x+2)2=2 C.(x﹣2)2=﹣2 D.(x﹣2)2=6
3.某种药品原价为36元/盒,经过连续两次降价后售价为25元/盒.设平均每次降价的百分率为x,根据题意所列方程正确的是( )
A.36(1﹣x)2=36﹣25 B.36(1﹣2x)=25 C.36(1﹣x)2=25 D.36(1﹣x2)=25
4.若关于x的一元二次方程x2+(k+3)x+k=0的一个根是﹣2,则另一个根是( )
A.2 B.1 C.﹣1 D.0
5.若b(b≠0)是方程x2+cx+b=0的根,则b+c的值为( )
A.1 B.﹣1 C.2 D.﹣2
6.关于x的方程(a﹣5)x2﹣4x﹣1=0有实数根,则a满足( )
A.a≥1 B.a>1且a≠5 C.a≥1且a≠5 D.a≠5
7.已知关于x的方程x2﹣(2k﹣1)x+k2=0有两个不相等的实数根,那么k的最大整数值是( ) A.﹣2 B.﹣1 C.0 D.1
8.若方程x2+mx+1=0和方程x2﹣x﹣m=0有一个相同的实数根,则m的值为( )
A.2 B.0 C.﹣1 D.无法确定
9.用13m的铁丝网围成一个长边靠墙面积为2020的长方形,求这个长方形的长和宽,设平行于墙的一边为xm,可得方程( )
A.x(13﹣x)=2020.C.D.
10.如图,菱形ABCD的边长是5,两条对角线交于O点,且AO、BO的长分别是关于x的方程x2+(2m ﹣1)x+m2+3=0的根,则m的值为( )
A .﹣3
B .5
C .5或﹣3
D .﹣5或3
二、细心填一填:
11.一元二次方程3x(x ﹣2)=﹣4的一般形式是______,该方程根的情况是______.
12.方程2﹣x 2=0的解是______.
13.配方x 2﹣8x+______=(x ﹣______)2.
14.设a ,b 是方程x 2+x ﹣2020=0的两个不相等的实数根,则a 2+2a+b 的值为______.
15.若一个三角形的三边长均满足方程x 2﹣6x+8=0,则此三角形的周长为______.
16.科学研究表明,当人的下肢长与身高之比为0.618时,看起来最美.某成年女士身高为153cm ,下肢长为92cm ,该女士穿的高跟鞋鞋跟的最佳高度约为______cm .(精确到0.1cm)
三、耐心答一答:
17.用指定的方法解方程
(1)(x+2)2﹣25=0(直接开平方法)
(2)x 2+4x ﹣5=0(配方法)
(3)(x+2)2﹣10(x+2)+25=0(因式分解法)
(4)2x 2﹣7x+3=0(公式法)
18.当x 取什么值时,代数式x(x ﹣1)与(x ﹣2)+1的值相等?
19.已知关于x 的一元二次方程5x 2+kx ﹣10=0一个根是﹣5,求k 的值及方程的另一个根.
2020高尔夫球比赛中,某运动员打出的球在空中飞行高度h(m) 与打出后飞行的时间t(s)之间的关系是h=7t ﹣t 2.
(1)经过多少秒钟,球飞出的高度为10m ;
(2)经过多少秒钟,球又落到地面.
21.阅读下面的例题:
解方程:x 2﹣|x|﹣2=0
解:(1)当x ≥0时,原方程化为x 2﹣x ﹣2=0,解得:x 1=2,x 2=﹣1(不合题意,舍去).
(2)当x <0时,原方程化为x 2+x ﹣2=0,解得:x 1=1(不合题意,舍去),x 2=﹣2
∴原方程的根是x 1=2,x 2=﹣2.
请参照例题解方程x 2﹣|x ﹣3|﹣3=0,则此方程的根是______.
22.已知关于x 的方程x 2﹣2(m+1)x+m 2=0
(1)当m 取值范围是多少时,方程有两个实数根;
(2)为m 选取一个合适的整数,使方程有两个不相等的实数根,并求出这两个实数根.
23.已知a 、b 、c 分别是△ABC 中∠A 、∠B 、∠C 所对的边,且关于x 的方程(c ﹣b)x 2+2(b ﹣a)x+(a ﹣b)=0有两个相等的实数根,试判断△ABC 的形状.
24.在我校的周末广场文艺演出活动中,舞台上有一幅矩形地毯,它的四周镶有宽度相同的花边(如图).地毯中央的矩形图案长8米、宽6米,整个地毯的面积是80平方米.求花边的宽.
25.某电脑销售商试销某一品牌电脑(出厂为3000元/台)以4000元/台销售时,平均每月可销售100台,现为了扩大销售,销售商决定降价销售,在原来1月份平均销售量的基础上,经2月份的市场调查,3月份调整价格后,月销售额达到576000元.已知电脑价格每台下降100元,月销售量将上升10台.
(1)求1月份到3月份销售额的月平均增长率;
(2)求3月份时该电脑的销售价格.
26.某商店以6元/千克的价格购进某种干果1140千克,并对其进行筛选分成甲级干果与乙级干果后同时开始销售.这批干果销售结束后,店主从销售统计中发现:甲级干果与乙级干果在销售过程中每天都有销量,且在同一天卖完;甲级干果从开始销售至销售的第x 天的总销量y 1(千克)与x 的关系为y 1=﹣x 2+40x ;乙级干果从开始销售至销售的第t 天的总销量y 2(千克)与t 的关系为y 2=at 2+bt ,且乙级干果的前三天的销售量的情况见下表:
t
1 2 3 y 2
21 44 69
(1)求a 、b 的值;
(2)若甲级干果与乙级干果分别以8元/千克和6元/千克的零售价出售,则卖完这批干果获得的毛利润是多少元?
(3)问从第几天起乙级干果每天的销量比甲级干果每天的销量至少多6千克?
(说明:毛利润=销售总金额﹣进货总金额.这批干果进货至卖完的过程中的损耗忽略不计)
《第21章一元二次方程》
参考答案与试题解析
一、精心选一选:
1.下列方程中,是关于x的一元二次方程的是( )
A.ax2+bx+c=0 B.x2+2x=x2﹣1 C.3(x+1)2=2(x+1) D. +﹣2=0
【解答】解:A、a=0时,不是一元二次方程,错误;
B、原式可化为2x+1=0,是一元一次方程,错误;
C、原式可化为3x2+4x+1=0,符合一元二次方程的定义,正确;
D、是分式方程,错误.
故选C.
2.用配方法解方程:x2﹣4x+2=0,下列配方正确的是( )
A.(x﹣2)2=2 B.(x+2)2=2 C.(x﹣2)2=﹣2 D.(x﹣2)2=6
【解答】解:把方程x2﹣4x+2=0的常数项移到等号的右边,得到x2﹣4x=﹣2,
方程两边同时加上一次项系数一半的平方,得到x2﹣4x+4=﹣2+4,
配方得(x﹣2)2=2.
故选:A.
3.某种药品原价为36元/盒,经过连续两次降价后售价为25元/盒.设平均每次降价的百分率为x,根据题意所列方程正确的是( )
A.36(1﹣x)2=36﹣25 B.36(1﹣2x)=25 C.36(1﹣x)2=25 D.36(1﹣x2)=25
【解答】解:第一次降价后的价格为36×(1﹣x),两次连续降价后售价在第一次降价后的价格的基础上降低x,
为36×(1﹣x)×(1﹣x),
则列出的方程是36×(1﹣x)2=25.
故选:C.
4.若关于x的一元二次方程x2+(k+3)x+k=0的一个根是﹣2,则另一个根是( )
A.2 B.1 C.﹣1 D.0
【解答】解:设方程的另一个根是x,
依题意得,
解之得x=1,
即方程的另一个根是1.
故选B.
5.若b(b≠0)是方程x2+cx+b=0的根,则b+c的值为( )
A.1 B.﹣1 C.2 D.﹣2
【解答】解:把x=b代入方程x2+cx+b=0得到:b2+bc+b=0即b(b+c+1)=0,又∵b≠0,∴b+c=﹣1,故本题选B.
6.关于x的方程(a﹣5)x2﹣4x﹣1=0有实数根,则a满足( )
A.a≥1 B.a>1且a≠5 C.a≥1且a≠5 D.a≠5
【解答】解:分类讨论:
①当a﹣5=0即a=5时,方程变为﹣4x﹣1=0,此时方程一定有实数根;
②当a﹣5≠0即a≠5时,
∵关于x的方程(a﹣5)x2﹣4x﹣1=0有实数根
∴16+4(a﹣5)≥0,
∴a≥1.
∴a的取值范围为a≥1.
故选:A.
7.已知关于x的方程x2﹣(2k﹣1)x+k2=0有两个不相等的实数根,那么k的最大整数值是( ) A.﹣2 B.﹣1 C.0 D.1
【解答】解:∵a=1,b=﹣(2k﹣1),c=k2,方程有两个不相等的实数根
∴△=b2﹣4ac=(2k﹣1)2﹣4k2=1﹣4k>0
∴k<
∴k的最大整数为0.
故选C.
8.若方程x2+mx+1=0和方程x2﹣x﹣m=0有一个相同的实数根,则m的值为( )
A.2 B.0 C.﹣1 D.无法确定
【解答】解:由方程x2+mx+1=0得x2=﹣mx﹣1,由方程x2﹣x﹣m=0得x2=x+m.
则有﹣mx﹣1=x+m,即x=﹣1.
把x=﹣1代入方程x2+mx+1=0,
得方程1﹣m+1=0,从而解得m=2.
故选A.
9.用13m的铁丝网围成一个长边靠墙面积为2020的长方形,求这个长方形的长和宽,设平行于墙的一边为xm,可得方程( )
A.x(13﹣x)=2020.C.D.
【解答】解:平行于墙的一边为xm,那么垂直于墙的有2个边,等于(铁丝长﹣x)÷2,
∴.
故选B.
10.如图,菱形ABCD的边长是5,两条对角线交于O点,且AO、BO的长分别是关于x的方程x2+(2m ﹣1)x+m2+3=0的根,则m的值为( )
A.﹣3 B.5 C.5或﹣3 D.﹣5或3
【解答】解:由勾股定理可得:AO2+BO2=25,
又有根与系数的关系可得:AO+BO=﹣2m+1,AO?BO=m2+3
∴AO2+BO2=(AO+BO)2﹣2AO?BO=(﹣2m+1)2﹣2(m2+3)=25,
整理得:m2﹣2m﹣15=0,
解得:m=﹣3或5.
又∵△>0,
∴(2m﹣1)2﹣4(m2+3)>0,解得m<﹣,
∴m=﹣3,
故本题选A.
二、细心填一填:
11.一元二次方程3x(x﹣2)=﹣4的一般形式是3x2﹣6x+4=0 ,该方程根的情况是无实数根.【解答】解:3x(x﹣2)=﹣4,
3x2﹣6x+4=0,
∵△=(﹣6)2﹣4×3×4=﹣12<0,
∴无实数根.
故答案为:3x2﹣6x+4=0;无实数根.
12.方程2﹣x2=0的解是.
【解答】解:移项,得x2=2
开方,得x=±.
13.配方x2﹣8x+ 16 =(x﹣ 4 )2.
【解答】解:∵所给代数式的二次项系数为1,一次项系数为﹣8,等号右边正好是一个完全平方式,∴常数项为(﹣8÷2)2=16,
∴x2﹣8x+16=(x﹣4)2.
故答案为16;4.
14.设a,b是方程x2+x﹣2020=0的两个不相等的实数根,则a2+2a+b的值为2020 .
【解答】解:∵a,b是方程x2+x﹣2020=0的两个不相等的实数根,
∴a2+a﹣2020=0,
∴a2+a=2020,
又∵a+b=﹣=﹣1,
∴a2+2a+b=(a2+a)+(a+b)=2020﹣1=2020.
故答案为:2020.
15.若一个三角形的三边长均满足方程x2﹣6x+8=0,则此三角形的周长为6,10,12 .
【解答】解:解方程x2﹣6x+8=0得x
1=4,x
2
=2;
当4为腰,2为底时,4﹣2<4<4+2,能构成等腰三角形,周长为4+2+4=10;
当2为腰,4为底时4﹣2=2<4+2不能构成三角形,
当等腰三角形的三边分别都为4,或者都为2时,构成等边三角形,周长分别为6,12,故△ABC的周长是6或10或12.
16.科学研究表明,当人的下肢长与身高之比为0.618时,看起来最美.某成年女士身高为153cm,下肢长为92cm,该女士穿的高跟鞋鞋跟的最佳高度约为 6.7 cm.(精确到0.1cm)
【解答】答:设高跟鞋鞋跟的高度为x,
根据题意列方程得:(92+x)÷(153+x)≈0.618,
解得x≈6.69,精确到0.1cm为,6.7cm.
三、耐心答一答:
17.用指定的方法解方程
(1)(x+2)2﹣25=0(直接开平方法)
(2)x2+4x﹣5=0(配方法)
(3)(x+2)2﹣10(x+2)+25=0(因式分解法)
(4)2x2﹣7x+3=0(公式法)
【解答】解:(1)(x+2)2﹣25=0(直接开平方法)
x+2=±5
∴x
1=3,x
2
=﹣7.
(2)x2+4x﹣5=0(配方法) (x+2)2=9
x+2=±3
∴x 1=﹣5,x 2=1;
(3)(x+2)2﹣10(x+2)+25=0(因式分解法)
(x+2﹣5)(x+2﹣5)=0
∴x 1=x 2=3;
(4)2x 2﹣7x+3=0(公式法)
x=
x 1=3,x 2=.
18.当x 取什么值时,代数式x(x ﹣1)与(x ﹣2)+1的值相等?
【解答】解:根据题意得:
x(x ﹣1)=(x ﹣2)+1,
3x(x ﹣1)=2(x ﹣2)+6,
3x 2﹣3x=2x ﹣4+6,
3x 2﹣3x ﹣2x+4﹣6=0,
3x 2﹣5x ﹣2=0,
(3x+1)(x ﹣2)=0,
3x+1=0或x ﹣2=0,
x 1=﹣,x 2=2.
19.已知关于x 的一元二次方程5x 2+kx ﹣10=0一个根是﹣5,求k 的值及方程的另一个根.
【解答】解:根据二次方程根与系数的关系,可得x 1?x 2=﹣2,x 1+x 2=﹣,
而已知其中一根为﹣5,有(﹣5)?x 2=﹣2,可得x 2=,
又有x 1+x 2=﹣,解可得k=23;
答:k=23,另一根为.
2020高尔夫球比赛中,某运动员打出的球在空中飞行高度h(m) 与打出后飞行的时间t(s)之间的关系是h=7t ﹣t 2.
(1)经过多少秒钟,球飞出的高度为10m ;
(2)经过多少秒钟,球又落到地面.
【解答】解:(1)把h=10代入函数解析式h=7t ﹣t 2得,
7t ﹣t 2=10,
解得t 1=2,t 2=5,
答:经过2秒或5秒,球飞出的高度为10m ;
(2)把h=0代入函数解析式h=7t ﹣t 2得,
7t ﹣t 2=0,
解得t 1=0(为球开始飞出时间),t 2=7(球又落到地面经过的时间),
答:经过7秒钟,球又落到地面.
21.阅读下面的例题:
解方程:x 2﹣|x|﹣2=0
解:(1)当x ≥0时,原方程化为x 2﹣x ﹣2=0,解得:x 1=2,x 2=﹣1(不合题意,舍去).
(2)当x <0时,原方程化为x 2+x ﹣2=0,解得:x 1=1(不合题意,舍去),x 2=﹣2
∴原方程的根是x 1=2,x 2=﹣2.
请参照例题解方程x 2﹣|x ﹣3|﹣3=0,则此方程的根是 x 1=﹣3,x 2=2 .
【解答】解:(1)当x ≥3时,原方程化为x 2﹣(x ﹣3)﹣3=0,
即x 2﹣x=0
解得x 1=0(不合题意,舍去),x 2=1(不合题意,舍去);
(2)当x <3时,原方程化为x 2+x ﹣3﹣3=0
即x 2+x ﹣6=0,
解得x 1=﹣3,x 2=2.
所以原方程的根是x 1=﹣3,x 2=2.
22.已知关于x 的方程x 2﹣2(m+1)x+m 2=0
(1)当m 取值范围是多少时,方程有两个实数根;
(2)为m 选取一个合适的整数,使方程有两个不相等的实数根,并求出这两个实数根.
【解答】解:(1)由题意知:△=b 2﹣4ac=[﹣2(m+1)]2﹣4m 2=[﹣2(m+1)+2m][﹣2(m+1)﹣2m]=﹣2(﹣4m ﹣2)=8m+4≥0,
解得m ≥
. ∴当m ≥
时,方程有两个实数根.
(2)选取m=0.(答案不唯一,注意开放性)
方程为x 2﹣2x=0,
解得x 1=0,x 2=2.
23.已知a 、b 、c 分别是△ABC 中∠A 、∠B 、∠C 所对的边,且关于x 的方程(c ﹣b)x 2+2(b ﹣a)x+(a ﹣b)=0有两个相等的实数根,试判断△ABC 的形状.
【解答】解:∵x 的方程(c ﹣b)x 2+2(b ﹣a)x+(a ﹣b)=0有两个相等的实数根,
∴△=b 2﹣4ac=0,且c ﹣b ≠0,即c ≠b .
∴4(b ﹣a)2﹣4(c ﹣b)(a ﹣b)=0,
则4(b ﹣a)(b ﹣a+c ﹣b)=0,
∴(b ﹣a)(c ﹣a)=0,
∴b ﹣a=0或c ﹣a=0,
∴b=a ,或c=a .
∴此三角形为等腰三角形.
24.在我校的周末广场文艺演出活动中,舞台上有一幅矩形地毯,它的四周镶有宽度相同的花边(如图).地毯中央的矩形图案长8米、宽6米,整个地毯的面积是80平方米.求花边的宽.
【解答】解:设花边的宽为x 米,
根据题意得(2x+8)(2x+6)=80,
解得x 1=1,x 2=﹣8,
x 2=﹣8不合题意,舍去.
答:花边的宽为1米.
25.某电脑销售商试销某一品牌电脑(出厂为3000元/台)以4000元/台销售时,平均每月可销售100台,现为了扩大销售,销售商决定降价销售,在原来1月份平均销售量的基础上,经2月份的市场调查,3月份调整价格后,月销售额达到576000元.已知电脑价格每台下降100元,月销售量将上升10台.
(1)求1月份到3月份销售额的月平均增长率;
(2)求3月份时该电脑的销售价格.
【解答】解:(1)设1月份到3月份销售额的月平均增长率为x ,
由题意得:400000(1+x)2=576000,
1+x=±1.2,x 1=0.2,x 2=﹣2.2(舍去)
∴1月份到3月份销售额的月平均增长率为2020
(2)设3月份电脑的销售价格在每台4000元的基础上下降y 元,
由题意得:(4000﹣y)(100+0.1y)=576000,
y 2﹣3000y+1760000=0,(y ﹣800)(y ﹣22020=0,
∴y=800或y=22020
当y=22020,3月份该电脑的销售价格为4000﹣220201800<3000不合题意舍去.
∴y=800,3月份该电脑的销售价格为4000﹣800=32020.
∴3月份时该电脑的销售价格为32020.
26.某商店以6元/千克的价格购进某种干果1140千克,并对其进行筛选分成甲级干果与乙级干果后同时开始销售.这批干果销售结束后,店主从销售统计中发现:甲级干果与乙级干果在销售过程中每天都有销量,且在同一天卖完;甲级干果从开始销售至销售的第x 天的总销量y 1(千克)与x 的关系为y 1=﹣x 2+40x ;乙级干果从开始销售至销售的第t 天的总销量y 2(千克)与t 的关系为y 2=at 2+bt ,且乙级干果的前三天的销售量的情况见下表:
t
1 2 3 y 2
21 44 69
(1)求a 、b 的值;
(2)若甲级干果与乙级干果分别以8元/千克和6元/千克的零售价出售,则卖完这批干果获得的毛利润是多少元?
(3)问从第几天起乙级干果每天的销量比甲级干果每天的销量至少多6千克?
(说明:毛利润=销售总金额﹣进货总金额.这批干果进货至卖完的过程中的损耗忽略不计) 【解答】解:(1)根据表中的数据可得
.
答:a、b的值分别是1、2020
(2)甲级干果和乙级干果n天售完这批货.
﹣n2+40n+n2+20201140
n=19,
当n=19时,y
1=399,y
2
=741,
毛利润=399×8+741×6﹣1140×6=798(元),
答:卖完这批干果获得的毛利润是798元.
(3)设从第m天起乙级干果每天的销量比甲级干果每天的销量至少多6千克,则甲、乙级干果的销售量为m天的销售量减去m﹣1天的销售量,
即甲级水果第m天所卖出的干果数量:(﹣m2+40m)﹣[﹣(m﹣1)2+40(m﹣1)]=﹣2m+41.
乙级水果第m天所卖出的干果数量:(m2+2020﹣[(m﹣1)2+2020﹣1)]=2m+19,
(2m+19)﹣(﹣2m+41)≥6,
解得:m≥7,
答:第7天起乙级干果每天的销量比甲级干果每天的销量至少多6千克.