反比例函数图象的一些有趣几何性质

反比例函数图象的一些有趣几何性质

先给出结论，后给出解释。为简单起见下面反比例函数k值均＞0，所有图形仅出现在第一象限。

结论一：有任意两个反比例函数图象，过原点任意作两条指向第一象限的射线，与前两图象分别交于A，C点以及B，D点。则AB∥CD。

结论二：取任一反比例函数图象上任一点A，以A为圆心AO为半径作圆交x轴于B点，构造等腰三角形AOB，则AB所在直线与反比例函数图象相切。

结论三：取任一反比例函数图象上任一点A，过A向x轴作垂线段AB，B为垂足。过B 作OA平行线交反比例函数图象于C点，则BC：OA=根5-1:2≈0.618，即黄金分割比例。

结论四：取任一反比例函数图象上任一点A，如结论二所示先构造等腰三角形OA1B1，再过B1 作OA平行线B1A1，构造下个相似的等腰三角形B1A2B2，依此类推，直到第n个等腰三角形Bn-1AnBn，则OBn=根n倍OB1，且如果A1坐标为（x1，y1），则An坐标为（（根n+根(n-1))x1,(根n-根（n-1))y1)

接下来三个结论都来源自同一个背景一个本质。

结论五：取任一反比例函数图象上任一点A，以A为顶点构造等腰△AOC，AO与AC分别于另一k值较小的反比例函数图象交于B和D，当A点变化时，BCD位置跟随发生变化，

但AB：AO，AD：AC的值均不变（取决于A点双曲线参数k1和B点双曲线参数k2）

结论六：取任一反比例函数图象上任一点A，以A为顶点构造等腰△AOC，AO与AC分别于另一k值较小的反比例函数图象交于B和D。过A和B作x轴垂线垂足分别为E和F，过D作DG⊥AF于G，则S梯形ABEF=S△ADG

结论七：取任一反比例函数图象上任一点A，以A为顶点构造等腰△AOC，过A作x轴垂线垂足为B，在OA上取OD=OB，过D点的反比例函数图象交AC于E点，则有AE=AB。

以上结论的一些解释与推导：

结论（1）：设A，B所在反比例函数参数为k1，C，D所在反比例函数参数为k2，AO：CO=BO：DO=根k1：根k2，所以AB∥CD。

结论（2）：首先一个前提，任一直线不可能和双曲线产生三个交点。然后延长BA交y轴于C，显然A为BC中点。再结合之前文章中的结论三：过双曲线一支上两点作直线与坐标轴相交，则每点与其相邻坐标轴交点构成的线段长相等。则如果直线与双曲线无论在AC段还是AB段还有一交点，必存在另一关于A对称的交点。这将产生了3交点和前提矛盾。故仅存在A点唯一一个交点，即AB与双曲线相切。（当然也可以代数法推，只是个人嫌麻烦不喜欢用）

结论（3）：过C作CD⊥x轴于D，设BC：AO=k，则OB=kBD，CD=kAB。由AB*OB=CD*BD，得k（k+1）=1，解得k=（根5-1）/2.

结论（4）：不妨设各等腰三角形底分别为OB1=2a1，B1B2=2a2，……Bn-1Bn=2an，，高分别为ka1,ka2,……kan，k为等腰三角形底角正切值。a1+a2+……an=bn，考察A1点即k*a1*a1=k*b1^2=k*a1^2,A2点即k*（2a1+a2)*a2=k*(b2+b1)(b2-b1)=k*(b2^2-b1^2)=k*a1^2.同理k*(b3^2-b2^2)=k*a1^2,……，k*(bn^2-bn-1^2)=k*a1^2.将以上各式相加，即可得bn=根号n倍a1，乘2后代表的几何意义即为OBn=根n倍OB1,由于An横坐标为2a1+2a2+……an=bn+bn-1，纵坐标为kan=k（bn-bn-1），剩下坐标关系An坐标为（（根n+根(n-1))x1,(根n-根（n-1))y1)也显而易见。

剩下三个结论，其几何证明都基于以下这个几何结论：S△BOE=S梯形GFCD

证明其实非常简单：过D作DH⊥x轴于H，S梯形DGFC=S△DGF+S△DFC=S△DHF+S△DFO=S △DOH=S△BOE。

然后得到S梯形ABEF=S△AGD，从而AD：AC=根号下（S△AGD：S△AFC）=根号下（S梯形ABEF：S△AOF），如果B所在双曲线k值为k1，A所在双曲线k值为k2，还能推出AD：AC值最本质很简洁的公式，等于根号下（1-k1/k2).至于最后那个很炫的结论，其实完全就是这个公式的一个特例而已，就不详述了。

以上这些结论模型在一些中考题或者模拟题中也有用武之地，也许常规方法也能做，但能

理解到上面的层次可以做的更快更好。

云南省昆明市2019届高三1月复习诊断测试文科数学试题(解析版)

昆明市2019届高三复习诊断测试文科数学 一、选择题：本题共1小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.已知集合，，则（） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 由集合交集的运算求解即可. 【详解】由集合，，则 故选：B. 【点睛】此题考查了集合的交集运算，属于基础题. 2.在复平面内，复数对应的点位于 A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【分析】 利用复数的运算法则、几何意义即可得出． 【详解】在复平面内，复数==1﹣i对应的点（1，﹣1）位于第四象限． 故选：D． 【点睛】本题考查了复数的运算法则、几何意义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 3.某商家今年上半年各月的人均销售额(单位：千元)与利润率统计表如下： 根据表中数据，下列说法正确的是

A. 利润率与人均销售额成正比例函数关系 B. 利润率与人均销售额成反比例函数关系 C. 利润率与人均销售额成正相关关系 D. 利润率与人均销售额成负相关关系 【答案】C 【解析】 【分析】 由表格中的数据和线性相关关系的定义即可得到. 【详解】由表格中的数据显示，随着人均销售额的增加，利润率也随之增加，由变量之间的关系可得人均销售额和利润率成正相关关系. 故选：C. 【点睛】本题主要考查变量间的相关关系的定义，考查学生对基础知识的掌握，属于基础题. 4.已知，， ，则下列不等式正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 由指数函数的单调性得，与常数‘1’比较得 即可得答案. 【详解】因为在R 上递减，且 ，所以 .又因为 在R 上递增，且 ，所以 . 所以. 故选：D. 【点睛】本题考查了指数函数的单调性和与常数‘1’比较大小，属于基础题. 5.在平面直角坐标系中，角的终边与单位圆交于点，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 由任意角的三角函数的定义得 和 ，由正弦的两角和计算公式可得 .

反比例函数k的几何意义

反比例函数k 的几何意义 一、教学目标 1.理解反比例函数y=k/x(k ≠0)中比例系数k 的几何意义； 2.通过由特殊到一般,再由一般到特殊的探究方法,感受知识的形成过程,能够根据反比例函数表达式求出相关图形的面积,会根据图形的面积确定反比例函数中k 的值; 3.通过反比例函数与矩形的对应关系渗透数形结合的思想,使学生感受到代数与几何的内在联系,矩形的两条邻边的长度变化而面积不变,渗透了整体思考的数学思想方法。 二、教学过程 （一）、情境引入 1、平面直角坐标系内一点P （x ，y ）到x 轴的距离为______，到y 轴的距离为______. 2、反比例函数的定义是什么？如何确定系数k 的值？ 3、反比例函数的系数k 能决定函数图像的什么？ 反比例函数的比例系数k 有一个很重要的几何意义，这节课我们来共同研究一下： （二）、探究新知 1、已知反比例函数 x y 2 -=图象上任一点A 作x 轴、y 轴的垂线AB 、AC ，垂足为 B 、 C （如下图所示）， （1）则矩形ABOC 的面积是否发生变化？若不变，请求出其面积；若改变，请说明理由。 （2）则△AOB 的面积呢？ （3）当k=5时呢？ 学生自己先完成，在合作讨论展示，最后老师补充； 2、归纳总结： 过双曲线上任意一点作x 轴、y 轴的垂线，它们与x 轴、y 轴所 围成的矩形面积为常数 。

过双曲线上任意一点作x 轴（或y 轴）的垂线，连接这点和原点 的线段，它们与x 轴（或y 轴）所围成的三角形的面积为常数21。 在解有关反比例函数的问题时，若能灵活运用反比例函数中k 的几何意义，会给解题带来很多方便。现举例说明。 （三）、应用 1、基础练习 （1）若P 点为反比例函数（k ＜0）上任意一点，过P 点向x 轴作垂线交于A 点，已知S△AOP=4，则反比例函数的解析式为__________ （变式）如下图，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，菱形OABC 的对角线OB 在x 轴上，菱形面积为8，函数的图象经过点A ，则k 的值是_____． （2）.如下图所示，设A 为反比例函数图象上一点，且长方形ABOC 的面积为3，则这个反比例函数解析式为______． （变式）.如上图，点A 是反比例函数图象上一点，过点A 作AB ⊥y 轴于点B ，点C 、D 在x 轴上，且BC ∥AD ，四边形ABCD 的面积为3，则这个反比例函数的解析式为________. 2、提升练习 （1）、如下图，函数的图象与矩形?OABC 的边AB 、BC 交于M 、N 两点，O 为坐标原点，A 点在x 轴上，C 点在y 轴上，B （4，2），那么四边形OMBN 的面积为_________

反比例函数的图象与性质

§11.2 反比函数的图像与性质（1） 教学目标： 1.类比画一次函数图象的方法，用描点法画出反比例函数的图象； 2.利用反比例函数的图象得到其基本特征，认识表达式、列表、图象是相互印证、和谐统一的； 3.在画出反比例函数的图象，并探究其性质的过程中，体会“分类讨论”“数形结合”以及“从特殊到一般”的数学思想. 一、学习导入 复习提问 （1）大家以前还学过哪些函数？研究这些函数时，我们是从哪几个方面入手的？ （2）我们已经学习了反比例函数的定义，接下来还应研究它哪方面的知识呢？ （3）回顾用描点法画出一次函数图象的步骤：列表、描点、连线 设计意图：结合复习研究函数的一般方法，引出本节课的学习内容。让学生类比这一过程去探究反比例函数的图象和性质，为学习反比例函数的图象和性质作好铺垫． 二、探究新知 【探究一】 利用手中的网格纸，画出反比例函数x y 6 的图象． 师生活动：（1）学生独立操作，用“描点”法画函数图象，教师巡视，收集并展示学生画出的典型图象． （2）针对所展示的作图里出现的问题，让学生互相完善和补充。教师适时提问：选取自变量的值时，要注意什么？连线时要注意什么？图象延伸的趋势是怎样的？为什么？教师引导学生思考和回答。 （3）教师小结作图的注意事项，并通过课件演示作图规范。 设计意图：图象是直观地描述和研究函数的重要工具，通过经历用“描点”法画出反比例函数图象的基本步骤，可以使学生对反比例函数的性质有一个初步的、整体的感性认识。列表时，关注学生是否注意到自变量的取值应使函数有意义（即x ≠0）。同时，所取的点既要使自变量的取值有一定的代表性，又不至于使自变量对应的函数值太大或太小，以便于描点和全面反映图象的特征；连线时按照自变量从

2020-2021北京市海淀北部新区实验中学九年级数学下期中一模试卷(附答案)

2020-2021北京市海淀北部新区实验中学九年级数学下期中一模试卷(附答案) 一、选择题 1．如图，以O 为圆心，任意长为半径画弧，与射线OM 交于点A ，再以A 为圆心，AO 长为半径画弧，两弧交于点B ，画射线OB ．则cos ∠AOB 的值等于（ ） A ． B ． C ． D ． 2．如图，线段CD 两个端点的坐标分别为C （1，2）、D （2，0），以原点为位似中心，将线段CD 放大得到线段AB ，若点B 坐标为（5，0），则点A 的坐标为（ ） A ．（2，5） B ．（2.5，5） C ．（3，5） D ．（3，6） 3．在Rt ABC ?中，90,2,1C AC BC ∠=?==，则cos A 的值是( ) A ． 25 B ． 5 C ． 5 D ． 12 4．如图，用放大镜看△ABC ，若边BC 的长度变为原来的2倍，那么下列说法中，不正确的是（ ）． A ．边A B 的长度也变为原来的2倍； B ．∠BA C 的度数也变为原来的2倍； C ．△ABC 的周长变为原来的2倍； D ．△ABC 的面积变为原来的4倍； 5．若3 5 x x y =+，则x y 等于 （ ） A ． 3 2 B ．38 C ． 23 D ． 85 6．若37a b =，则b a a -等于（ ） A ． 34 B ． 43 C ． 73 D ． 37

7．在△ABC 中，若=0，则∠C 的度数是（ ） A ．45° B ．60° C ．75° D ．105° 8．已知线段a 、b 、c 、d 满足ab=cd ，把它改写成比例式，错误的是（ ） A ．a ：d ＝c ：b B ．a ：b ＝c ：d C ．c ：a ＝d ：b D ．b ：c ＝a ：d 9．图（1）所示矩形ABCD 中，BC x =，CD y =，y 与x 满足的反比例函数关系如图（2）所示，等腰直角三角形AEF 的斜边EF 过点C ，M 为EF 的中点，则下列结论正确的是（ ） A ．当3x =时，EC EM < B ．当9y =时，E C EM < C ．当x 增大时，EC CF ?的值增大 D ．当x 增大时，B E D F ?的值不变 10．如图，在以O 为原点的直角坐标系中，矩形OABC 的两边OC 、OA 分别在x 轴、y 轴 的正半轴上，反比例函数k y x = (x ＞0)与AB 相交于点D ，与BC 相交于点E ，若BD=3AD ，且△ODE 的面积是9,则k 的值是( ) A ． 92 B ． 74 C ． 245 D ．12 11．若270x y -=. 则下列式子正确的是（ ） A ． 72 x y = B ． 27x y = C ． 27 x y = D ． 27 x y = 12．给出下列函数：①y=﹣3x +2；②y= 3 x ；③y=2x 2；④y=3x ，上述函数中符合条作“当x ＞1时，函数值y 随自变量x 增大而增大“的是（ ） A ．①③ B ．③④ C ．②④ D ．②③ 二、填空题 13．《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，成书于约一千五百年前，其中有首歌谣：“今有竿不知其长，量得影长一丈五尺，立一标杆，长一尺五寸，影长五寸，问竿长几何？”意思就是：有一根竹竿不知道有多长，量出它在太阳下的影子长一丈五尺，同时立

反比例函数比例系数的几何意义

反比例函数比例系数的几何意义 1．如图，⊙O的半径为2，双曲线的解析式分别为y＝，则阴影部分的面积是（）A．4πB．3πC．2πD．Π 1题图3题图4题图5题图 2．对于反比例函数y＝，下列说法错误的是（） A．函数图象位于第一、三象限B．函数值y随x的增大而减小 C．若A（﹣1，y1）、B（1，y2）、C（2，y3）是图象上三个点，则y1＜y3＜y2 D．P为图象上任意一点，过P作PQ⊥y轴于Q，则△OPQ的面积是定值 3．如图，菱形ABCD的两个顶点B，D在反比例函数y＝的图象上，对角线AC与BD的交点恰好是坐标原点O，已知点A（﹣2，2），∠ABC＝60°，则k的值是（） A．4B．6C．4D．12 4．如图，平行于x轴的直线与函数y1＝（a＞0，x＞0），y2＝（b＞0．x＞0）的图象分别相交于A、B两点，且点A在点B的右侧，在X轴上取一点C，使得△ABC的面积为3，则a﹣b的值为（）A．6B．﹣6C．3D．﹣3 5．如图，函数y＝（x＞0）和y＝（x＞0）的图象分别是l1和l2．设点P在l2上，P A∥y轴交l1于点A，PB∥x轴，交l1于点B，△P AB的面积为（） A．B．C．D． 6．如图，矩形ABCD的顶点A和对称中心在反比例函数y＝（k≠0， x＞0），若矩形ABCD的面积为10，则k的值为（） A．10B．4C．3D．5 7．对于反比例函数y＝（k≠0），下列所给的四个结论中，正确的是（）A．若点（2，4）在其图象上，则（﹣2，4）也在其图象上

B．当k＞0时，y随x的增大而减小 C．过图象上任一点P作x轴、y轴的垂线，垂足分别A、B，则矩形OAPB的面积为k D．反比例函数的图象关于直线y＝x和y＝﹣x成轴对称 8．如图，两个反比例函数y＝和y＝在第一象限内的图象分别是C1和C2，设点P在C1上，P A⊥x轴于点A，交C2于点B，则△POB的面积为（） A．1B．2C．4D．无法计算 8题图9题图10题图12题图 9．如图，A、B两点在双曲线y＝上，分别经过A、B两点向坐标轴作垂线段，已知S阴影＝1.7，则S1+S2等于（） A．4B．4.2C．4.6D．5 10．如图，点A（m，1），B（2，n）在双曲线y＝（k≠0），连接OA，OB．若S△ABO＝8，则k的值是（） A．﹣12B．﹣8C．﹣6D．﹣4 11．对于反比例函数y＝（k≠0），下列所给的四个结论中，正确的是（）A．若点（3，6）在其图象上，则（﹣3，6）也在其图象上 B．当k＞0时，y随x的增大而减小 C．过图象上任一点P作x轴、y轴的线，垂足分别A、B，则矩形OAPB的面积为k D．反比例函数的图象关于直线y＝﹣x成轴对称 12．如图，在平面直角坐标系中，△OAB的顶点A在x轴正半轴上，OC是△OAB的中线，点B、C 在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，则△OAB的面积等于（） A．2B．3C．4D．6 13．如图，四边形AOBC和四边形CDEF都是正方形，边OA在x轴上，边OB在y轴上，点D在边CB上，反比例函数y＝在第二象限的图象经过点E，则正方形AOBC和正方形CDEF的面积之

反比例函数的图象和性质

第六章反比例函数 2.反比例函数的图象与性质（二） 一、学生知识状况分析 函数是研究现实世界变化规律的一个重要数学模型，学生曾在七年级下册和八年级上册学习过“变量之间的关系”和“一次函数”等相关知识，对函数的概念和研究函数的方法有了初步的认识和了解．特别是在学习一次函数时，学生已经掌握了如何画一次函数的图象，探究过一次函数的性质，积累了一定的活动经验和方法感悟，在此基础上学习反比例函数的图象与性质，可以让学生进一步领悟函数的概念，进一步积累探究函数图象和性质的方法，为后续探究二次函数的图像和性质做好知识上和方法上的铺垫． 二、教学任务分析 《反比例函数的图象与性质》安排在北师大版教材九年级上册，共分两课时，本节课是第二课时．在第一课时中，学生已经学会如何画反比例函数的图象，并对0 k<时函数图象的特点有了初步的认识，本节课主要是在第一课时的k>和0 基础上，通过对反比例函数图象的全面观察和比较，发现函数的自身规律，在质 理解和掌握。由此，本节课的教学目标制定如下： 知识与技能目标： 能画出反比例函数的图象，根据图象和解析表达式探索并理解反比例函数的主要性质． 提高学生观察、分析能力和对图象的感知水平，领会研究函数的一般要求．过程和方法目标： 让学生经历知识的探究过程，通过全面的观察和比较，积累数学方法和活动经验． 逐步提高观察和归纳分析能力，体验数形结合和分类讨论的数学思想．

情感、态度和价值观目标： 经历小组合作与交流活动，在质疑、追问、讨论中达成共识，发展合作能力和语言表达能力. 在教学目标的基础上制定如下的教学重点、教学难点： 重点：探索反比例函数的主要性质. 难点：理解反比例函数性质的探索过程，从“数”和“形”两方面综合考虑问题． 三、教学过程分析 本节课设计了七个教学环节： 第一环节：要点回顾铺平道路；第二环节：设问质疑探究尝试；第三环节：实际运用巩固新知；第四环节：激趣质疑再探新知；第五环节：活学活用巩固提高；第六环节：总结串联纳入系统；第七环节：分层达标课后延伸. 第一环节：要点回顾铺平道路 内容： 1. 下列函数中，哪些是反比例函数？ 教学策略： 让学生找出题目中的反比例函数，运用空间想象能力，勾勒出反比例函数 例函数定义以及图象的再认知． 设计意图： 反比例函数的定义以及函数图象的特点，是继续进行本节内容学习的重要知识储备．本环节避免单纯的复习定义以及对知识的简单复述，力图通过具体问题，让学生在解决问题的过程中加深对知识本身的理解，培养学生的空间想象能力和对知识的实际运用能力．

(完整版)反比例函数的图象与性质练习题

反比例函数的图象与性质练习题 一、填空题（每小题3分，共30分） 1、近视眼镜的度数y （度）与镜片焦距x 成反比例.已知400度近视眼镜片的焦距为0.25米，则眼镜度数y 与镜片焦距x 之间的函数关系式是 . 2、如果反比例函数x k y =的图象过点（2，-3），那么k = . 3、已知y 与x 成反比例，并且当x=2时，y=-1，则当y=3时，x 的值是 . 4、已知y 与（2x+1）成反比例，且当x=1时，y=2，那么当x=0，y 的值是 . 5、若点A （6，y 1）和B （5，y 2）在反比例函数x y 4- =的图象上，则y 1与y 2的大小关系是 . 6、已知函数x y 3=，当x ＜0时，函数图象在第 象限，y 随x 的增大而 . 7、若函数12)1(---=m m x m y 是反比例函数，则m 的值是 . 8、直线y=-5x+b 与双曲线x y 2-=相交于 点P （-2，m ），则b= . 9、如图1，点A 在反比例函数图象上， 过点A 作AB 垂直于x 轴，垂足为B ， 若S △AOB =2，则这个反比例函数的解析式为 . 图 1 10、如图2，函数y=-kx(k≠0)与x y 4-=的图 象交于点A 、B ，过点A 作AC 垂直于y 轴，垂 足为C ，则△BOC 的面积为 . 图 2 二、选择题（每小题3分，共30分） 1、如果反比例函数的图象经过点P （-2，-1），那么这个反比例函数的表达式为（ ） A 、x y 21= B 、x y 21-= C 、x y 2= D 、x y 2-= 2、已知y 与x 成反比例，当x=3时，y=4，那么当y=3时，x 的值等于（ ） A 、4 B 、-4 C 、3 D 、-3 3、若点A （-1，y 1）,B(2,y 2)，C （3，y 3）都在反比例函数x y 5=的图象上，则下列关系式正确的是（ ） A 、y 1＜y 2＜y 3 B 、y 2＜y 1＜y 3 C 、y 3＜y 2＜y 1 D 、y 1＜y 3＜y 2 4、反比例函数x m y 5-=的图象的两个分支分别在第二、四象限内，那么m 的取值范围是（ ） A 、m ＜0 B 、m ＞0 C 、m ＜5 D 、m ＞5 5、已知反比例函数的图象经过点（1，2），则它的图象也一定经过（ ） A 、（-1，-2） B 、（-1，2） C 、（1，-2） D 、（-2，1） 6、若一次函数b kx y +=与反比例函数x k y =的图象都经过点（-2，1），则b 的值是（ ） A 、3 B 、-3 C 、5 D 、-5 7、若直线y=k 1x(k 1≠0)和双曲线x k y 2=（k 2≠0）在同一坐标系内的图象无交点，则k 1、k 2的关系是（ ） A 、k 1与k 2异号 B 、k 1与k 2同号 C 、k 1与k 2互为倒数 D 、k 1与k 2的值相等

反比例函数图象的一些有趣几何性质

反比例函数图象的一些有趣几何性质 先给出结论，后给出解释。为简单起见下面反比例函数k值均＞0，所有图形仅出现在第一象限。 结论一：有任意两个反比例函数图象，过原点任意作两条指向第一象限的射线，与前两图象分别交于A，C点以及B，D点。则AB∥CD。 结论二：取任一反比例函数图象上任一点A，以A为圆心AO为半径作圆交x轴于B点，构造等腰三角形AOB，则AB所在直线与反比例函数图象相切。 结论三：取任一反比例函数图象上任一点A，过A向x轴作垂线段AB，B为垂足。过B 作OA平行线交反比例函数图象于C点，则BC：OA=根5-1:2≈0.618，即黄金分割比例。 结论四：取任一反比例函数图象上任一点A，如结论二所示先构造等腰三角形OA1B1，再过B1 作OA平行线B1A1，构造下个相似的等腰三角形B1A2B2，依此类推，直到第n个等腰三角形Bn-1AnBn，则OBn=根n倍OB1，且如果A1坐标为（x1，y1），则An坐标为（（根n+根(n-1))x1,(根n-根（n-1))y1) 接下来三个结论都来源自同一个背景一个本质。 结论五：取任一反比例函数图象上任一点A，以A为顶点构造等腰△AOC，AO与AC分别于另一k值较小的反比例函数图象交于B和D，当A点变化时，BCD位置跟随发生变化， 但AB：AO，AD：AC的值均不变（取决于A点双曲线参数k1和B点双曲线参数k2）

结论六：取任一反比例函数图象上任一点A，以A为顶点构造等腰△AOC，AO与AC分别于另一k值较小的反比例函数图象交于B和D。过A和B作x轴垂线垂足分别为E和F，过D作DG⊥AF于G，则S梯形ABEF=S△ADG 结论七：取任一反比例函数图象上任一点A，以A为顶点构造等腰△AOC，过A作x轴垂线垂足为B，在OA上取OD=OB，过D点的反比例函数图象交AC于E点，则有AE=AB。 以上结论的一些解释与推导： 结论（1）：设A，B所在反比例函数参数为k1，C，D所在反比例函数参数为k2，AO：CO=BO：DO=根k1：根k2，所以AB∥CD。 结论（2）：首先一个前提，任一直线不可能和双曲线产生三个交点。然后延长BA交y轴于C，显然A为BC中点。再结合之前文章中的结论三：过双曲线一支上两点作直线与坐标轴相交，则每点与其相邻坐标轴交点构成的线段长相等。则如果直线与双曲线无论在AC段还是AB段还有一交点，必存在另一关于A对称的交点。这将产生了3交点和前提矛盾。故仅存在A点唯一一个交点，即AB与双曲线相切。（当然也可以代数法推，只是个人嫌麻烦不喜欢用）

初三中考第一轮复习反比例函数(一对一 教案)

学科教师辅导讲义 学员编号： 年 级： 课 时 数： 学员姓名： 辅导科目： 学科教师： 授课类型 T 反比例函数 C 反比例函数的应用 T 反比例函数综合应用 授课日期及时段 教学内容 一、同步知识梳理 知识点1：反比例函数的概念 一般的，形如y=x k （k 不等于零的常数）的函数叫反比例函数。 反比例函数的解析式又可以写成：1,k xy k y kx x -== =（ k 是不等于零的常数）, 知识点2：反比例函数的图象及性质 （1）反比例函数的图象是两支曲线，且这两支曲线关于原点对称，这种图象通常称为双曲线。它与x 轴和y 轴没有交点，它的两个分支无限接近坐标轴，但永远不能到达坐标轴. (2)反比例函数y= x k 图象的两个分支位居的象限与k 的正负有关， ① 当k>0时，函数的图象分布在第 一、三象限； (如下图) 函数的图象在每个象限内，曲线从左向右下降，也就是在每个象限内y 的值随x 的增加而 减小； ②当k<0时，函数的图象分布在第 二、四 象限、函数的图象在每个象限内，曲线从左向右上升，也就是在每个象限内y 的值随x 的增大而增大。 (3)双曲线既是中心对称图形. 也是轴对称图形，它有两条对称轴，分别是一、三象限和二、四象限的角平分线

知识点3：反比例函数中的比例系数k 的几何意义 (1)反比例函数x k y = （0≠k ）中比例系数k 的几何意义是：过双曲线x k y = （0≠k ）上任意引x 轴y 轴的垂线，所得矩形面积为k 。 (2)过反比例函数图象上的任意一点作 x 轴的垂线，那么这点与垂足、坐标系原点构成的三角形的面积是一个定值，即22 xy k S = =。 知识点4： 反比例函数解析式的确定 反比例函数解析式的确定只需确定k 值，需要一个点即可列出方程 知识点5：反比例函数在实际问题中的应用 在利用反比例函数解决实际问题中，一定要注意y= x k 中的k 不等于零这一条件，结合图像说出性质，根据性质画 出图像，以及求函数表达式是必须牢牢记住的知识点 二、同步题型分析 题型1：反比例函数的概念、图像与性质 例1：下列函数关系中，哪些是反比例函数？如果是，比例系数是多少？ （1）x y 4= ；（2）x y 21-=；（3）2 x y =；（4） x y -=1（5）1=xy 解：（1）是反比例函数，比例系数是4 （2）是反比例函数，比例系数是2 1- （3）不是 （4）不是 （5）是反比例函数，比例系数是1 例2：已知函数x k k y ) 3(+= 是反比例函数，则k 应满足的条件是（ ） A ．3≠k B ．3-≠k C ．0≠k 或3≠k D ．0≠k 且3-≠k 解析：反比例函数x k y =（0≠k ）,所以(3)0k k +≠，即D ．0≠k 且3-≠k 答案：D

反比例函数K的几何意义

反比例函数K 的几何意义 知识引入 反比例函数)0(≠= k x k y 中k 的几何意义：双曲线)0(≠=k x k y 上任意一点向两坐标轴作垂线，两垂线与坐标轴围成的矩形面积为k 。 理由：如下图，过双曲线上任意一点P 作x 轴、y 轴的垂线PM PN 、所得的矩形 PMON 的面积 PMON S PM PN y x xy =?=?=矩形； k y x = ，xy k ∴=即S k =，即过双曲线上任意一点作x 轴、y 轴的垂线，所得的矩形面积均为k 。 下面两个结论是上述结论的拓展： 如下图，则有k xy S S AOB OPA 2 121== =?? （1）如图①，OPA OCD OPC ADCP S S S S ???==梯形； 图①图② （2）如图②，BPE ACE OAPB OBCA S S S S ??==梯形梯形；

典型例题 题型一：K 意义的直接运用 【例1】（2013?宜昌）如图，点B 在反比例函数()02 >= x x y 的图象上，横坐标为1，过点B 分别向x 轴，y 轴作垂线，垂足分别为A C 、，则矩形OABC 的面积为_______ 2、（2013?淄博）如图，矩形AOBC 的面积为4，反比例函数x k y =的图象的一支经过矩形对角线的交点P ，则该反比例函数的解析式是__________ 【变式练习】： 1、如图，A 是反比例函数图象上一点，过点A 作AB y ⊥轴于点B ，点P 在x 轴上：ABP ?的面积为2，则这个反比例函数的解析式为______________．

2、如图，A B 、为双曲线x y 12 - =上的点，AD x ⊥轴于D ,BC y ⊥轴于点C ，则四边形ABCD 的面积为。 题型二：知K 求面积 【例2】①双曲线x y 4 = 在第一象限内的图像如图所示，作一条平行于x 轴的直线分别交双曲线于A 点，交y 轴于B 点，点C 为x 轴上一点，连结AC 交y 轴于D 点，连结BC ，若 DBC ?的面积为3，则ABD ?的面积为。

反比例函数的图象与性质

第五章反比例函数 5.２反比例函数的图象与性质（一） 执教者：揭东县锡场镇世德初级中学林燕玲 【教学目标】 〈知识目标〉1.进一步熟悉作函数图象的主要步骤，会作反比例函数的图象。 2．体会函数的三种表示方法的相互转换，对函数进行认识上的整合。 3．培养学生从函数图象中获取信息的能力，初步探索反比例函数的性质。〈能力训练要求〉通过学生自己动手列表,描点,连线,提高学生的作图能力;通过观察图象,概括反比例函数图象的有关性质,训练学生的概括总结能力. 〈情感与价值观要求〉让学生积极参与到数学学习活动中去,增强他们对数学学习的好奇心和求知欲。 【教学重难点】 教学重点：作反比例函数图象并认识图象的特点。 教学难点：作反比例函数图象。 【教学方法】 1.提出问题—分小组讨论—启发引导—解决问题。 2.多媒体教学。 【教具】 三角板，小黑板。 【教学过程】 （第一环节）回顾交流,问题牵引（幻灯片1） 1.什么叫做反比例函数？

2．反比例函数自变量x 的取值范围是什么？ 3.下列等式中,哪个等式表示y 是x 的反比例函数 （ ） (A ) k y x = （B ） 23y x = （C ） 121 y x =+ （D ） 21xy -= （第二环节）合作交流（幻灯片2） 1．一次函数 y = kx + b ( k 为常数，k ≠ 0 )的图象是什么形状？ 2．用描点法作函数图象的一般步骤是什么形状？ 3．对于反比例函数 y= x k ( k 是常数,k ≠ 0 )的图象，我们能否像探究一次函数的图象那样进行探究？ （第三环节）探求新知（幻灯片3） 例题精讲：作反比例函数x y 4=的图象。 思考：这个函数中自变量x 的取值范围是什么？ 解：（1）列表： x … … … … （2）描点：（幻灯片4） （3）连线：（幻灯片5） x y 4 =x y 4 =

反比例函数几何性质

反比例函数的几何性质

【考点训练】反比例函数系数k的几何意义-1 一、选择题（共5小题） 1．（2013?牡丹江）如图，反比例函数的图象上有一点A，AB平行于x轴交y轴于点B，△ABO的面积是1，则反比例函数的解析式是（） A．B．C．D． 2．（2013?淄博）如图，矩形AOBC的面积为4，反比例函数的图象的一支经过矩形对角线的交点P，则该反比例函数的解析式是（） A．B．C．D．3．（2013?六盘水）下列图形中，阴影部分面积最大的是（） A．B．C．D． 4．（2013?宜昌）如图，点B在反比例函数y=（x＞0）的图象上，横坐标为1，过点B 分别向x轴，y轴作垂线，垂足分别为A，C，则矩形OABC的面积为（） A．1B．2C．3D．4

5．（2013?内江）如图，反比例函数（x＞0）的图象经过矩形OABC对角线的交点M，分别于AB、BC交于点D、E，若四边形ODBE的面积为9，则k的值为（） A．1B．2C．3D．4 二、填空题（共3小题）（除非特别说明，请填准确值） 6．（2013?永州）如图，两个反比例函数y=和y=在第一象限内的图象分别是C1和C2，设点P在C1上，PA⊥x轴于点A，交C2于点B，则△POB的面积为_________． 7．（2013?自贡）如图，在函数的图象上有点P1、P2、P3…、P n、P n+1，点 P1的横坐标为2，且后面每个点的横坐标与它前面相邻点的横坐标的差都是2，过点P1、P2、P3…、P n、P n+1分别作x轴、y轴的垂线段，构成若干个矩形，如图所示，将图中阴影部分的面积从左至右依次记为S1、S2、S3…、S n，则S1=_________，S n=_________．（用含n的代数式表示） 8．（2013?张家界）如图，直线x=2与反比例函数和的图象分别交于A、B两点，若点P是y轴上任意一点，则△P AB的面积是_________．

2014抚顺中考数学试题(解析版)

辽宁省抚顺市2014年中考数学试卷 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 解：﹣ 2．（3分）（2014?抚顺）若一粒米的质量约是0.000012kg，将数据0.000012用科学记数法 3．（3分）（2014?抚顺）如图所示，已知AB∥CD，CE平分∠ACD，当∠A=120°时，∠ECD 的度数是（）

4．（3分）（2014?抚顺）如图放置的几何体的左视图是（） B C 6．（3分）（2014?抚顺）函数y=x﹣1的图象是（）

B C 8．（3分）（2014?抚顺）甲乙两地相距420千米，新修的高速公路开通后，在甲、乙两地行驶的长途客运车平均速度是原来的1.5倍，进而从甲地到乙地的时间缩短了2小时．设原来 +=2 B ﹣=2 C += ﹣= 由题意得，﹣=2

9．（3分）（2014?抚顺）如图，在平面直角坐标系中，点A 是x 轴正半轴上的一个定点，点P 是双曲线y=（ x ＞0）上的一个动点，PB ⊥y 轴于点B ，当点P 的横坐标逐渐增大时，四边形OAPB 的面积将会（ ） ?=+=+?10．（3分）（2014?抚顺）如图，将足够大的等腰直角三角板PCD 的锐角顶点P 放在另一个等腰直角三角板PAB 的直角顶点处，三角板PCD 绕点P 在平面内转动，且∠CPD 的两边始终与斜边AB 相交，PC 交AB 于点M ，PD 交AB 于点N ，设AB=2，AN=x ，BM=y ，则能反映y 与x 的函数关系的图象大致是（ ） B C

AH=， ，利用相似比得= PA=PB=AH= =，即=， 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 11．（3分）（2014?抚顺）函数y=中，自变量x的取值范围是x≠2．

中考数学《一次函数与反比例函数综合》复习课教案

反比例函数与一次函数综合复习课 学习目标: 能够应用一次函数与反比例函数的图象与性质分析解决一次函数与反比例函数的综合题。 重点：熟练应用一次函数与反比例函数的图象与性质进行解题 难点：进一步利用数形结合的思想方法进行解题 考点透视： 考查反比例函数的基本性质在几何中的应用。适当设双曲线上的点的坐标，用坐标转化题中的几何条件及几何结论，利用双曲线上的点的代数、几何性质，建立方程进行求解及利用坐标糸解决不规则三角形面积计算问题。注意勾股定理、完全平方式、整体代入、图形变换等结合及点坐标的应用。要求学生熟练掌握反比例函数代数性质：函数图像上任意点的横、纵坐标的积为k 。 一、知识回顾 1．若反比例函数x k y =与一次函数y ＝3x ＋b 都经过点(1，4)，则kb ＝________． 2．反比例函数x y 6 - =的图象一定经过点(－2，________)． 3．若点A (7，y 1)，B (5，y 2)在双曲线x y 3 - =上，则y 1、y 2中较小的是________． 4．如图，反比例函数的图象在第一象限内经过点A ，过点A 分别向x 轴、y 轴作垂线，垂足分别P 、Q ，若矩形APOQ 的面积为8，则这个反比例函数的解析式为________． 二、学习新知： 1.如图，已知A(n ，-2)，B(1，4)是一次函数y=kx+b 的图象和反比例函数y=x m 的图象的两个交点，直线AB 与y 轴交于点C ． (1)求反比例函数和一次函数的关系式； (2)求△AOC 的面积； (3)求不等式kx+b- x m <0的解集(直接写出答案)． 2．已知：如图，一次函数的图像经过第一、二、三象限，且与反比例函数的图像交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，与x 轴交于点D ．OB ＝10，tan ∠DOB ＝ 3 1 ． （1）求反比例函数的解析式： （2）设点A 的横坐标为m ，△ABO 的面积为S ，求S 与m 的函数关系式，并写出自变量m 的取值范围； （3）当△OCD 的面积等于 2 S 时，试判断过A 、B 两点的抛物线在x 轴上截得的线段能否等于3．如果能，求此时抛物线的解析式；如果不能，请说明理由． 解：（1）过点B 作BH ⊥x 轴于点H ． ………1分 在Rt △OHB 中， HO ＝3BH ． ………………2分 由勾股定理，得 BH 2 ＋HO 2 ＝OB 2 ． 又∵ OB ＝10．∴ BH 2 ＋（3BH ）2 ＝（10）2 ． 第4题

反比例函数k的几何意义试题汇编

2016年12月07日反比例函数K的几何意义 一．选择题（共30小题） 1．如图，△OAC和△BAD都是等腰直角三角形，∠ACO=∠ADB=90°，反比例函数y=在 第一象限的图象经过点B，则△OAC与△BAD的面积之差S△OAC﹣S△BAD为（） A．36 B．12 C．6 D．3 2．如图，过反比例函数y=（x＞0）的图象上一点A作AB⊥x轴于点B，连接AO，若S =2，则k的值为（） △AOB A．2 B．3 C．4 D．5 3．如图，点A、C为反比例函数y=图象上的点，过点A、C分别作AB⊥x轴，CD⊥x轴，垂足分别为B、D，连接OA、AC、OC，线段OC交AB于点E，点E恰好为OC的中点，当△AEC的面积为时，k的值为（） A．4 B．6 C．﹣4 D．﹣6 4．如图，点A为反比例函数图象上一点，过A作AB⊥x轴于点B，连接OA，则△ABO的面积为（）

A．﹣4 B．4 C．﹣2 D．2 5．如图，反比例函数y=的图象经过矩形OABC的边AB的中点D，则矩形OABC的面 积为（） A．2 B．4 C．5 D．8 6．如图，在平面直角坐标系中，点P（1，4）、Q（m，n）在函数y=（x＞0）的图象上， 当m＞1时，过点P分别作x轴、y轴的垂线，垂足为点A，B；过点Q分别作x轴、y轴的垂线，垂足为点C、D．QD交PA于点E，随着m的增大，四边形ACQE的面积（） A．减小 B．增大 C．先减小后增大 D．先增大后减小 7．如图，P，Q分别是双曲线y=在第一、三象限上的点，PA⊥x轴，QB⊥y轴，垂足分 别为A，B，点C是PQ与x轴的交点．设△PAB的面积为S1，△QAB的面积为S2，△QAC 的面积为S3，则有（） A．S1=S2≠S3B．S1=S3≠S2C．S2=S3≠S1D．S1=S2=S3

反比例函数图像与性质试题及详细答案

反比例函数图像与性质试题 一．选择题（共21小题） 1．（2013?安顺）若是反比例函数，则a的取值为（） A．1B．﹣l C．±l D．任意实数2．（1998?山西）若函数y=（m+1）是反比例函数，则m的值为（） A．m=﹣2B．m=1C．m=2或m=1D．m=﹣2或﹣1 3．反比例函数（m为常数）当x＜0时，y随x的增大而增大，则m的取值范围是（）A．m＜0B．C．D．m ≥ 4．下列函数中，是反比例函数的为（） A．y=2x+1B．y=C．y =D．2y=x 5．下列函数中，y是x的反比例函数是（） A．B．C．D． 6．已知函数是反比例函数，且图象在第二、四象限内，则m的值是（）A．2B．±2C．﹣2D． 7．若函数y=是反比例函数，则m的值为（） A．±2B．2C．±D．8．（2014?自贡）关于x的函数y=k（x+1）和y=（k≠0）在同一坐标系中的图象大致是（）A．B．C．D．

9．（2014?泉州）在同一平面直角坐标系中，函数y=mx+m与y=（m≠0）的图象可能是（）A．B．C．D． 10．（2014?牡丹江）在同一直角坐标系中，函数y=kx+1与y=﹣（k≠0）的图象大致是（）A．B．C．D． 11．（2014?海南）已知k1＞0＞k2，则函数y=k1x和y=的图象在同一平面直角坐标系中大致是（）A．B．C．D． 12．（2014?乐山）反比例函数y=与一次函数y=kx﹣k+2在同一直角坐标系中的图象可能是（）A．B．C．D． 13．（2014?怀化）已知一次函数y=kx+b的图象如图，那么正比例函数y=kx和反比例函数y=在同一坐标系中的图象大致是（）

反比例函数的图象和性质

B A O y =____________； 的面积是否发生变化？ B A O y x

可以得到AOB S D =____________. 2.从反比例函数x k y = （k ≠0）的图象上任一点P （x ，y ）向x 轴、y 轴作垂线段，与x 轴、y 轴所围成的矩形面积S ＝ . 二、合作、交流、展示： 1．已知反比例函数的图象经过点A （2,6）. （1）这个函数的图象位于哪些象限？y 随x 的增大如何变化？ （2）点B （3,4），C （142,42 5 --），D （2,5）是否在这个函数的图像上？ 解： 【反思】判断点是否在图像上，只要 . 2.下列图形中，阴影部分面积最大的是（ ） A ． B ． C ． D ． 3. 如图，一次函数y ＝kx ＋b 的图象与反比例函数x m y = 的图象交于A （－2，1）、B （1，n ）两点.（1）分别求反比例函数和一次函数的解析式； （2）根据图象写出一次函数的值大于反比例函数的值的x 的取值范围； （3）求△AOB 的面积. 三、巩固与应用： 1. 已知点（－1，y 1）、（2，y 2）、（π，y 3）在双曲线x k y 1 2+-=上，则下列关 系式正确的是（ ） （A ）y 1＞y 2＞y 3 （B ）y 1＞y 3＞y 2 （C ）y 2＞y 1＞y 3 （D ）y 3＞y 1＞y 2

2. 如图，A 、B 是函数x y 2 = 的图象上关于原点对称的任意两点，BC ∥x 轴，AC ∥y 轴 ， △ABC 的面积记为S ，则( )． (A)S ＝2 (B)S ＝4 (C)2＜S ＜4 (D)S ＞4 3.如图，在平面直角坐标系中，反比例函数x k y = (x>0)的图象和矩形ABCD 的第一象限，AD 平行于x 轴，且AB =2，AD =4，点A 的坐标为(2，6) ． （1）直接写出B 、C 、D 三点的坐标； （2）若将矩形向下平移，矩形的两个顶点恰好同时落在反比例函数的图象上，猜想这是哪两个点，并求矩形的平移距离和反比例函数的解析式． 四、小结： １.理解反比例函数k 的几何含义；２.综合运用知识解题. 五、作业：必做：课本P9习题T5，8，9习题T ； 选做：《作业精编》相应练习.

反比例函数的图象和性质(1) 22

课题 反比例函数的图象和性质（1） 课时 22 班级: 姓名: ●自学 自学---质疑---解疑 ▲学习目标: 1．会用描点法画反比例函数的图象。 2．结合图象分析并掌握反比例函数的性质。 3．体会函数的三种表示方法，领会数形结合的思想方法. 4.重点：理解并掌握反比例函数的图象和性质。 难点：正确画出图象，通过观察、分析，归纳出反比例函数的性质。 ▲自学方法 1.认真看书本41-43页的内容，尝试独立完成，然后组内合作交流。 2.教材第41页的例2是让学生经历用描点法画反比例函数图象的过程，一方面能进一步熟悉作函数图象的方法，提高基本技能；另一方面可以加深学生对反比例函数图象的认识，了解函数的变化规律，从而为探究函数的性质作准备。 3．一次函数y ＝kx ＋b （k 、b 是常数，k ≠0）的图象是什么？其性质有哪些？正比例函数y ＝kx （k ≠0）呢？ 4．画函数图象的方法是什么?其一般步骤有哪些？应注意什么？ 5．反比例函数的图象是什么样呢? ★达成共识:1. 用描点法画图：（1）列表取值时，x ≠0，因为x ＝0函数无意义，为了使描出的点具有代表性，可以“0”为中心，向两边对称式取值，即正、负数各一半，且互为相反数，这样也便于求y 值。 （2）由于函数图象的特征还不清楚，所以要尽量多取一些数值，多描一些点，这样便于连线，使画出的图象更精确。 （3）连线时要用平滑的曲线按照自变量从小到大的顺序连接，切忌画成折线. （4）由于x ≠0，k ≠0，所以y ≠0，函数图象永远不会与x 轴、y 轴相交，只是无限靠近两坐标轴。 2. 反比例函数的性质: . ●量学 自测---互查---互教 1．已知反比例函数32)1(--=m x m y 的图象在第二、四象限，求m 值，并指出在每个象限内y 随x 的变化情况？ （分析：此题要考虑两个方面，一是反比例函数的定义，即1-=kx y （k ≠0）自变量x 的指数是－1，二是根据反比例函数的性质：当图象位于第二、四象限时，k ＜0，则m －1＜0，不要忽视这个条件）

完整版反比例函数与几何的综合应用及答案

专训1反比例函数与几何的综合应用 名师点金：解反比例函数与几何图形的综合题，一般先设出几何图形中的未知数，然后结合函数的图象用含未知数的式子表示出几何图形与图象的交点坐标，再由函数解析式及几何图形的性质写出含未知数及待求字母系数的方程(组)，解方程(组)即可得所求几何图形中的未知量或函数解析式中待定字母的值． 反比例函数与三角形的综合 61．如图，一次函数y＝kx＋b与反比例函数y＝x(x>0)的图象交于A(m，6)，B(3，n)两点． (1)求一次函数的解析式； 6(2)根据图象直接写出使kx＋b

(第3题) 反比例函数与矩形的综合 4．如图，矩形OABC的顶点A，C的坐标分别是(4，0)和(0，2)，反比例函数yk ＝x(x>0)的图象过对角线的交点P并且与AB， (第4题) BC分别交于D，E两点，连接OD，OE，DE，则△ODE的面积为________． 5．如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的对角线OB，AC相交于点D，且BE ∥AC，AE∥OB. (1)求证：四边形AEBD是菱形； (2)如果OA＝3，OC＝2，求出经过点E的双曲线对应的函数解析 式． (第5题) 反比例函数与菱形的综合 6．如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD在第一象限内，边BC与x轴平行，3A，B两点的纵坐标分别为3，1，反比例函数y＝x的图象