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点线面之间的位置关系的知识点总结

点线面之间的位置关系

的知识点总结

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高中空间点线面之间位置关系知识点总结

第二章直线与平面的位置关系

空间点、直线、平面之间的位置关系

平面含义：平面是无限延展的 2 平面的画法及表示

（1）平面的画法：水平放置的平面通常画成一个平行四边形，锐角画成450

，且横边画成邻边的2倍长（如图）

（2）平面通常用希腊字母α、β、γ等表示，如平面α、平面β等，也可以用表示平面的平行四边形的四个顶点或者相对的两个顶点的大写字母来表示，如平面AC 、平面ABCD 等。 3 三个公理：

（1）公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内符号表示为

A ∈L

B ∈L => L α A ∈α B ∈α

公理1作用：判断直线是否在平面内

（2）公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。符号表示为：A 、B 、C 三点不共线 => 有且只有一个平面α，使A ∈α、B ∈α、C ∈α。

公理2作用：确定一个平面的依据。

（3）公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。符号表示为：P ∈α∩β =>α∩β=L ，且P ∈L 公理3作用：判定两个平面是否相交的依据

空间中直线与直线之间的位置关系

1 空间的两条直线有如下三种关系：

相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点；

平行直线：同一平面内，没有公共点；

异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点同一条直线的两条直线互相平行。符号表示为：设a 、b 、c 是三条直线 a ∥b 。

2 公理4：平行于

c ∥b

强调：公理4实质上是说平行具有传递性，在平面、空间这个性质都适用。公理4作用：判断空间两条直线平行的依据。

3 等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补

4 注意点：

① a'与b'所成的角的大小只由a 、b 的相互位置来确定，与O 的选择无关，为简便，点O 一般取在两直线中的一条上； ② 两条异面直线所成的角θ∈(0， )；

③ 当两条异面直线所成的角是直角时，我们就说这两条异面直线互相垂直，记作a ⊥b ；

D C

α L

A ·

α C ·

α P

· α

β 共面直线

=>a ∥c

④两条直线互相垂直，有共面垂直与异面垂直两种情形；

⑤计算中，通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角。

—空间中直线与平面、平面与平面之间的位置关系

1、直线与平面有三种位置关系：

（1）直线在平面内——有无数个公共点

（2）直线与平面相交——有且只有一个公共点

（3）直线在平面平行——没有公共点

指出：直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外，可用a α来表示

a α a∩α=A a∥α

.直线、平面平行的判定及其性质

直线与平面平行的判定

1、直线与平面平行的判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。简记为：线线平行，则线面平行。

符号表示：

a α

b β => a∥α

a∥b

平面与平面平行的判定

1、两个平面平行的判定定理：一个平面内的两条交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行。

符号表示：

a β

b β

a∩b = P β∥α

a∥α

b∥α

2、判断两平面平行的方法有三种：

（1）用定义；

（2）判定定理；

（3）垂直于同一条直线的两个平面平行。

—

1、定理：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行。

简记为：线面平行则线线平行。

符号表示：

a∥α

a β a∥b

α∩β= b

作用：利用该定理可解决直线间的平行问题。

2、定理：如果两个平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行。

符号表示：

α∥β

α∩γ= a a∥b

β∩γ= b

作用：可以由平面与平面平行得出直线与直线平行

直线、平面垂直的判定及其性质

1、定义

如果直线L 与平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线L 与平面α互相垂直，记作L ⊥α，直线L 叫做平面α的垂线，平面α叫做直线L 的垂面。如图，直线与平面垂直时,它们唯一公共点P 叫做垂足。

L p

2、判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。

注意点： a)定理中的“两条相交直线”这一条件不可忽视；

b)定理体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”互相转化的数学思想。

1、二面角的概念：表示从空间一直线出发的两个半平面所组成的图形

梭 l β

2、二面角的记法：二面角α-l-β或α-AB-β

3、两个平面互相垂直的判定定理：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直。 — 直线与平面、平面与平面垂直的性质 1、定理：垂直于同一个平面的两条直线平行。

2性质定理：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。\

异面直线所成的角是指经过空间任意一点作两条分别和异面的两条直线平行的直线所成的锐角（或直角）.一般通过平移后转化到三角形中求角，注意角的范围.

[例1]在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,O 是底面ABCD 的中心，M 、N 分别是棱DD 1、D 1C 1的中点，则直线OM( ).

A .是AC 和MN 的公垂线.

B .垂直于A

C 但不垂直于MN. C .垂直于MN ，但不垂直于AC.

D .与AC 、MN 都不垂直. 错解:B.

错因：学生观察能力较差，找不出三垂线定理中的射影. 正解：A.

[例2]如图，已知在空间四边形ABCD 中,E,F 分别是AB,AD 的中点，G,H 分别是BC,CD 上的点,且

2==

DH GC

BG ,求证:直线EG,FH,AC 相交于一点.

错解：证明：E 、F 分别是AB,AD 的中点,

EF ∴∥BD,EF=21

BD,

又

2==

DH GC

BG ,∴

GH ∥BD,GH=31

BD,

∴

四边形EFGH 是梯形，设两腰EG,FH 相交于一点T,

2=HC

DH ,F 分别是∴与FH 交于一点.

∴直线EG,FH,AC 相交于一点

正解：证明：E 、F 分别是AB,AD 的中点,

EF ∴

∥BD,EF=21

BD,

又2==

DH GC BG ,

∴

GH ∥BD,GH=31

BD,

∴四边形EFGH 是梯形，设两腰EG,FH 相交于一点T, ?EG 平面ABC,FH ?平面ACD,

∴T ∈面ABC,且T ∈面ACD,又平面ABC 平面ACD=AC,

AC T ∈∴,∴直线EG,FH,AC 相交于一点T.

[例3] 在立方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，

（1）找出平面AC 的斜线BD 1在平面AC 内的射影；（2）直线BD 1和直线AC 的位置关系如何？（3）直线BD 1和直线AC 所成的角是多少度

解：(1)连结BD, 交AC 于点O 上的射影在平面就是斜线平面AC BD BD AC DD 11,∴⊥ . (2)BD 1和AC 是异面直线.

(3)过O 作BD 1的平行线交DD 1于点M ，连结MA 、MC ，则∠MOA 或其补角即为异面直线AC 和BD 1所成的角.

不难得到MA ＝MC ，而O 为AC 的中点，因此MO⊥AC，即∠MOA＝90°， ∴异面直线BD 1与AC 所成的角为90°.

[例4] a 和b 为异面直线，则过a 与b 垂直的平面( ). A ．有且只有一个 B ．一个面或无数个 C ．可能不存在 D ．可能有无数个错解：A.

错因：过a 与b 垂直的平面条件不清. 正解：C.

[例5] 在正方体A 1B 1C 1D 1－ABCD 中，E 、F 分别是棱AB 、BC 的中点，O 是底面ABCD 的中点．求证：EF 垂直平面BB 1O ．

证明：如图,连接AC 、BD ，则O 为AC 和BD 的交点． ∵E 、F 分别是AB 、BC 的中点， ∴EF 是△ABC 的中位线，∴EF ∥AC ． ∵B 1B ⊥平面ABCD,AC ?平面ABCD ∴AC ⊥B 1B ，由正方形ABCD 知：AC ⊥BO ，又BO 与BB 1是平面BB 1O 上的两条相交直线， ∴AC ⊥平面BB 1O(线面垂直判定定理) ∵AC ∥EF ， ∴ EF ⊥平面BB 1O ．

[例6]如图，在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1 中，E 是BB 1 的中点，O 是底面正方形ABCD 的中心，求证：OE ⊥ 平面ACD 1 ．

分析：本题考查的是线面垂直的判定方法．根据线面垂直的判定方法，要证明OE ⊥ 平面ACD 1 ，只要在平面ACD 1 内找两条相交直线与OE 垂直．证明：连结B 1D 、A !D 、BD ，在△B 1BD 中， ∵E,O 分别是B 1B 和DB 的中点， ∴EO ∥B 1D ． ∵B 1A 1⊥ 面AA 1D 1D ，

∴DA 1 为DB 1 在面AA 1D 1D 内的射影．又∵AD 1⊥A 1D ， ∴AD 1⊥DB 1 ．同理可证B 1D ⊥D 1C ．

又∵AD 111D CD = ，AD 1,D 1C ? 面ACD 1 ， ∴B 1D ⊥ 平面ACD 1 ．

∵B 1D ∥OE ， ∴OE ⊥ 平面ACD 1 ．

点评：要证线面垂直可找线线垂直，这是立体几何证明线面垂直时常用的转化方法．在证明线线垂直时既要注意三垂线定理及其逆定理的应用，也要注意有时是从数量关系方面找垂直，即勾股定理或余弦定理的应用．

[例7]．如图，正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,点N 在BD 上, 点M 在B 1C 上,

且CM=DN,求证:MN ∥平面AA 1B 1B. 证明：

证法一.如图,作ME ∥BC,交BB 1于E,作NF ∥AD,交AB 于F,连EF 则EF ?平面AA 1B 1B.

∴

,AD

NF BD

BN BC

ME =

∴ME=NF

又ME ∥BC ∥AD ∥NF,∴MEFN 为平行四边形,

∴MN ∥EF. ∴ MN ∥平面AA 1B 1B.

证法二.如图,连接并延长CN 交BA 延长线于点P,连B 1P,则B 1P ?平面AA 1B 1B.

NDC ?∽NBP ?,.NP

CN NB

DN =

∴

又CM=DN,B 1C=BD,.1

CN NB

DN MB CM

∴

MN ∴∥B 1P.

B 1P ?平面AA 1B 1B, ∴MN ∥平面AA 1B 1B.

证法三.如图,作MP ∥BB 1,交BC 于点P,连NP.

MP ∥BB 1,.1

MB CM

=∴

BD=B 1C,DN=CM,.1BN M B =∴ ∴NP ∥CD ∥AB.∴面MNP ∥面AA 1B 1B. ∴MN ∥平面AA 1B 1B.

点、线、面之间的位置关系单元测试

第1题. 下列命题正确的是（）Ａ．经过三点确定一个平面

Ｂ．经过一条直线和一个点确定一个平面Ｃ．四边形确定一个平面

Ｄ．两两相交且不共点的三条直线确定一个平面答案：Ｄ．

第2题. 如图，空间四边形ABCD 中，E ，F ，G ，H 分别是AB ，BC ，CD ，DA 的中点．求证：四边形EFGH 是平行四边形．答案：证明：连接BD ．

因为EH 是ABD △的中位线，

所以EH BD ∥，且1

2EH BD =．

同理，FG BD ∥，且1

FG BD =．

因为EH FG ∥，且EH FG =．所以四边形EFGH 为平行四边形．

第3题. 如图，已知长方体ABCD A B C D ''''-中，AB =AD =2AA '=．（１）BC 和A C ''所成的角是多少度？

（２）AA '和BC '所成的角是多少度？

答案：（１）45；（２）60．

第4题. 下列命题中正确的个数是（）

①若直线l 上有无数个点不在平面α内，则l α∥．

②若直线l 与平面α平行，则l 与平面α内的任意一条直线都平行．

③如果两条平行直线中的一条与一个平面平行，那么另一条也与这个平面平行． ④若直线l 与平面α平行，则l 与平面α内的任意一条直线都没有公共点．

A ．0 Ｂ．1 Ｃ．2 Ｄ．3 答案：Ｂ．

第5题. 若直线a 不平行于平面α，且a α?，则下列结论成立的是（）Ａ．α内的所有直线与a 异面Ｂ．α内不存在与a 平行的直线Ｃ．α内存在唯一的直线与a 平行Ｄ．α内的直线与a 都相交答案：Ｂ．

第6题. 已知a ，b ，c 是三条直线，角a b ∥，且a 与c 的夹角为θ，那么b 与c 夹角为．答案： θ．

第7题. 如图，AA '是长方体的一条棱，这个长方体中与AA '垂直的棱共条．答案：8条．

第8题. 如果a ，b 是异面直线，直线c 与a ，b 都相交，那么这三条直线中的两条所确定的平面共有个．答案：2个．

第9题. 已知两条相交直线a ，b ，a α平面∥则b 与α的位置关系是．答案：b a ∥，或b 与a 相交．

第10题. 如图，三条直线两两平行且不共面，每两条确定一个平面，一共可以确定几个平面如果三条直线相交于一点，它们最多可以确定几个平面答案：3个，3个．

第11题. 如图是正方体的平面展开图，则在这个正方体中：

①BM 与ED 平行． ②CN 与BE 是异面直线． ③CN 与BM 成60?角．

④DM 与BN 垂直．

以上四个命题中，正确命题的序号是（）Ａ．①，②，③

Ｂ．②，④

Ｃ．③，④ Ｄ．②，③，④

答案：Ｃ．

第12题. 下列命题中，正确的个数为（）

①两条直线和第三条直线成等角，则这两条直线平行；

②平行移动两条异面直线中的任何一条，它们所成的角不变；

③过空间四边形ABCD 的顶点A 引CD 的平行线段AE ，则BAE ∠是异面直线AB 与CD 所成的角；

④四边相等，且四个角也相等的四边形是正方形Ａ．0 Ｂ．1 Ｃ．2 Ｄ．3 答案：Ｂ．

第13题. 在空间四边形ABCD 中，N ，M 分别是BC ，AD 的中点，则2MN 与AB CD +的大小关系是．答案：2MN AB CD <+．

第14题. 已知a b ，是一对异面直线，且a b ，成70角，P 为空间一定点，则在过P 点的直线中与a b ，所成的角都为70的直线有条．答案：4．

第15题. 已知平面αβ//，P 是平面αβ，外的一点，过点P 的直线m 与平面αβ，分别交于

A C ，两点，过点P 的直线n 与平面αβ，分别交于

B D ，两点，若698PA A

C P

D ===，，，则BD 的长为．答案：24245

或

．第16题. 空间四边形ABCD 中，E ，F ，G ，H 分别是AB ，BC ，CD ，DA 的中点，若AC BD a ==，且AC 与BD 所成的角为90，则四边形EFGH 的面积是．

答案：21

a ．

第17题. 已知正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F 分别为11D C ，11C B 的中点，

BD P =，11

A C EF Q =．求证：

（１）D ，B ，F ，E 四点共面；

（２）若1A C 交平面DBFE 于R 点，则P ，Q ，R 三点共线．答案：证明：如图．

（１）EF 是111D B C △的中位线，11EF B D ∴∥．在正方体1AC 中，11B D BD ∥，∴EF BD ∥．

EF ∴确定一个平面，即D ，B ，F ，E 四点共面．

（２）正方体1AC 中，设11A ACC 确定的平面为α，又设平面BDEF 为β．

11Q A C ∈，Q α∴∈．又Q EF ∈，Q β∴∈．

则Q 是α与β的公共点，PQ αβ∴=．

又1A C

R β=，1R A C ∴∈．

R α∴∈，R β∈且，则R PQ ∈．故P ，Q ，R 三点共线．第18题. 已知下列四个命题： ① 很平的桌面是一个平面； ② 一个平面的面积可以是4m 2；

③ 平面是矩形或平行四边形；

④ 两个平面叠在一起比一个平面厚．其中正确的命题有（）Ａ．0个Ｂ．1个Ｃ．2个Ｄ．3个

答案：Ａ．

第19题. 给出下列命题：

和直线a 都相交的两条直线在同一个平面内；三条两两相交的直线在同一平面内；有三个不同公共点的两个平面重合；两两平行的三条直线确定三个平面．其中正确命题的个数是（）Ａ．0 Ｂ．1 Ｃ．2 Ｄ．3 答案：Ａ．

第20题. 直线12l l ∥，在1l 上取3点，2l 上取2点，由这5点能确定的平面有（）

Ａ．9个Ｂ．6个Ｃ．3个Ｄ．1个答案：Ｄ．

第21题. 三条直线相交于一点，可能确定的平面有（）Ａ．1个Ｂ．2个Ｃ．3个Ｄ．1个或3个答案：Ｄ．

第22题. 下列命题中，不正确的是（）

①一条直线和两条平行直线都相交，那么这三条直线共面； ②每两条都相交但不共点的四条直线一定共面； ③两条相交直线上的三个点确定一个平面； ④两条互相垂直的直线共面．Ａ．①与② Ｂ．③与④ Ｃ．①与③ Ｄ．②与④ 答案：Ｂ．

第23题. 分别和两条异面直线都相交的两条直线一定是（）Ａ．异面直线Ｂ．相交直线Ｃ．不相交直线Ｄ．不平

行直线答案：Ｄ．

第24题. 在长方体1111ABCD A B C D -中，点O ，1O 分别是四边形ABCD ，1111A B C D 的对角线的交点，点E ，F 分别是四边形11AA D D ，11BB C C 的对角线的交点，点G ，H 分别是四边形

11A ABB ，11C CDD 的对角线的交点．

求证：1OEG O FH △≌△．1D

答案：证明：如图，连结1AD ，AC ，1CD ，11C A ，1C 由三角形中位线定理可知OE

∥ 112

，1O F

∥

BA 又1BA

∥1CD ，OE ∴ ∥

1O F ．同理可证EG

∥

FH ．

由等角定理可得1OEG O FH ∠=∠．

∴1OEG O FH △≌△．

第25题. 若a ，b 是异面直线，b ，c 也是异面直线，则a 与c 的位置关系是（）

Ａ．异面Ｂ．相交或平行Ｃ．平行或异面Ｄ．相交或平行或异面答案：Ｄ．

第26题. a ，b 是异面直线，A ，B 是a 上两点，C ，D 是b 上的两点，M ，N 分别是线段AC 和BD 的中点，则MN 和a 的位置关系是（）Ａ．异面直线Ｂ．平行直线Ｃ．相交直线Ｄ．平行、相交或异面

答案：Ａ．

第27题. 如下图是正方体的平面展开图，在这个正方体中

①BM与ED平行；

②CN与BE是异面直线；

③CN与BM成60角；

④DM与BN垂直．

以上四个命题中，正确命题的序号是（）

Ａ．①②③Ｂ．②④Ｃ．③④

答案：Ｃ．

第28题. 直线与平面平行的条件是这条直线与平面内的（）Ａ．一条直线不相交

Ｂ．两条直线不相交

Ｃ．任意一条直线不相交

Ｄ．无数条直线不相交

答案：Ｃ．

第29题. 如果直线a平行于平面α，则（）

Ａ．平面α内有且只有一直线与a平行

Ｂ．平面α内有无数条直线与a平行

Ｃ．平面α内不存在与a平行的直线

Ｄ．平面α内的任意直线与直线a都平行

答案：Ｂ．

点线面之间的位置关系基础练习练习题复习.doc

精品文档点、线、面之间的位置关系及线面平行应用练习 1、平面L =?βα，点βαα∈∈∈C B A ,,，且L C ∈，又R L AB =?，过 A 、 B 、 C 三点确定的平面记作γ，则γβ?是（） A ．直线AC B ．直线B C C ．直线CR D ．以上都不对 2、空间不共线的四点，可以确定平面的个数是（） A ．0 B ．1 C ．1或4 D ．无法确定 3、在三角形、四边形、梯形和圆中，一定是平面图形的有个 4、正方体1111D C B A ABCD -中，P 、Q 分别为11,CC AA 的中点，则四边形PBQ D 1是（） A ．正方形 B ．菱形 C ．矩形 D ．空间四边形 5、在空间四边形ABCD 中，点E 、F 、G 、H 分别为AB 、BC 、CD 、DA 的中点，若AC=BD ，且BD AC ⊥，则四边形EFGH 为 6、下列命题正确的是（） A ．若βα??b a ,，则直线b a ,为异面直线 B ．若βα??b a ,，则直线b a ,为异面直线 C ．若?=?b a ，则直线b a ,为异面直线 D ．不同在任何一个平面内的两条直线叫异面直线 7、在空间中：①若四点不共面，则这四点中任何三点都不共线；②若两条直线没有公共点，则这两条直线是异面直线，以上两个命题中为真命题的是 8、过直线L 外两点作与直线L 平行的平面，可以作（） A ．1个 B ．1个或无数个 C ．0个或无数个 D ．0个、1个或无数个 9、b a //，且a 与平面α相交，那么直线b 与平面α的位置关系是（） A ．必相交 B ．有可能平行 C ．相交或平行 D ．相交或在平面内 10、直线与平面平行的条件是这条直线与平面内的（） A ．一条直线不相交 B ．两条直线不相交 C ．任意一条直线不相交 D ．无数条直线不相交 11、如果两直线b a //，且//a 平面α，则b 与平面α的位置关系是（） A ．相交 B ．α//b C ．α?b D ．α//b 或α?b 12、已知直线a 与直线b 垂直，a 平行于平面α，则b 与平面α的位置关系是（） A ．α//b B ．α?b C ．b 与平面α相交 D ．以上都有可能 13、若直线a 与直线b 是异面直线，且//a 平面α，则b 与平面α的位置关系是（） A ．α//b B ．b 与平面α相交 C ．α?b D ．不能确定 14、已知//a 平面α，直线α?b ，则直线a 与直线b 的关系是（） A ．相交 B ．平行 C ．异面 D ．平行或异面

(完整word版)空间点线面之间位置关系知识点总结,推荐文档

高中空间点线面之间位置关系知识点总结第一章空间几何体（一）空间几何体的结构特征（1）多面体——由若干个平面多边形围成的几何体. 旋转体——把一个平面图形绕它所在平面内的一条定直线旋转形成的封闭几何体。其中，这条定直线称为旋转体的轴。（2）柱，锥，台，球的结构特征 1.1棱柱——有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体叫做棱柱。 1.2圆柱——以矩形的一边所在的直线为旋转轴，其余各边旋转而形成的曲面所围成的几何体叫圆柱. 2.1棱锥——有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体叫做棱锥。 2.2圆锥——以直角三角形的一直角边所在的直线为旋转轴，其余各边旋转而形成的曲面所围成的几何体叫圆锥。 3.1棱台——用一个平行于底面的平面去截棱锥，我们把截面与底面之间的部分称为棱台. 3.2圆台——用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面与截面之间的部分叫做圆台. 4.1球——以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆旋转一周形成的旋转体叫做球体，简称球. （二）空间几何体的三视图与直观图 1.投影：区分中心投影与平行投影。平行投影分为正投影和斜投影。 2.三视图——正视图；侧视图；俯视图；是观察者从三个不同位置观察同一个空间几何体而画出的图形；画三视图的原则：长对齐、高对齐、宽相等 3.直观图：直观图通常是在平行投影下画出的空间图形。 4.斜二测法：在坐标系'''x o y 中画直观图时，已知图形中平行于坐标轴的线段保持平行性不变，平行于x 轴（或在x 轴上）的线段保持长度不变，平行于y 轴（或在y 轴上）的线段长度减半。重点记忆：直观图面积=原图形面积 (三)空间几何体的表面积与体积 1、空间几何体的表面积 ①棱柱、棱锥的表面积：各个面面积之和 ②圆柱的表面积 ③圆锥的表面积2S rl r ππ=+ ④圆台的表面积22S rl r Rl R ππππ=+++ ⑤球的表面积24S R π= ⑥扇形的面积公式213602 n R S lr π==扇形（其中l 表示弧长，r 表示半径） 2、空间几何体的体积 ①柱体的体积 V S h =?底 ②锥体的体积 1 3 V S h =?底 ③台体的体积 1 )3 V S S S S h =+ +?下下上上（ ④球体的体积 343 V R π= 第二章直线与平面的位置关系 2.1空间点、直线、平面之间的位置关系 2.1.1 1 平面含义：平面是无限延展的 2 平面的画法及表示（1）平面的画法：水平放置的平面通常画成一个平行四边形，锐角画成450，且横边画成邻边的2倍长（如图）（2）平面通常用希腊字母α、β、γ等表示，如平面α、平面β等，也可以用表示平面的平行四边形的四个顶点或者相对的两个顶点的大写字母来表示，如平面AC 、平面ABCD 等。 3 三个公理：（1）公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内符号表示为 A ∈L B ∈L => L α A ∈α B ∈α 公理1作用：判断直线是否在平面内（2）公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。符号表示为：A 、B 、C 三点不共线 => 有且只有一个平面α，使A ∈α、B ∈α、C ∈α。公理2作用：确定一个平面的依据。（3）公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。符号表示为：P ∈α∩β =>α∩β=L ，且P ∈L 公理3作用：判定两个平面是否相交的依据 2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系 1 空间的两条直线有如下三种关系：相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点；平行直线：同一平面内，没有公共点；异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点。 2 公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行。符号表示为：设a 、b 、c 是三条直线 a ∥b c ∥b 强调：公理4实质上是说平行具有传递性，在平面、空间这个性质都适用。公理4作用：判断空间两条直线平行的依据。 3 等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补 4 注意点： ① a'与b'所成的角的大小只由a 、b 的相互位置来确定，与O 的选择无关，为简便，点O 一般取在两直线中的一条上； ② 两条异面直线所成的角θ∈(0， )； ③ 当两条异面直线所成的角是直角时，我们就说这两条异面直线互相垂直，记作a ⊥b ； ④ 两条直线互相垂直，有共面垂直与异面垂直两种情形； ⑤ 计算中，通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角。 2.1.3 — 2.1.4 空间中直线与平面、平面与平面之间的位置关系 1、直线与平面有三种位置关系： D C B A α L A · α C · B · A · α P · α L β 共面直线 =>a ∥c 2π2π2π2r rl S +=

三年级数学下册《位置与方向》知识点资料讲解

三年级数学下册《位置与方向》知识点位置与方向知识点认识东、南、西、北与东北、东南、西北、西南八个方向。【1】确定方向的方法： ①.早上太阳升起的方向是东方;②.傍晚太阳落下的地方是西方;③.指南针所指的方向是北方;④.北斗星所指的方向是北方;⑤.一般情况下，地图规定向上为北。【2】根据确定一个方向后，按“上北下南、左西右东”“或南北相对，东西相对” 绘制“十字叉”，确定其它七个方向。知道：南←→北，西←→东;西北←→东南，东北←→西南这些方向是相对的。【3】绘制简单示意图的方法：先确定好观察点【观察点就是我们所站在的位置的地方】，把选好的观察点画在平面图的中心位置，再确定好各物体相对于观察点的方向。在纸上按“上北下南、左西右东”绘制“十字叉”，用箭头“↑”标出北方。【4】看懂地图。先要确定好自己所处的位置，以自己所处的位置为中心，再根据“上北下南;左西右东”的规律来确定目的地和周围事物所处的方向：谁在谁的什么方向等。如①：“甲在乙的„„方”，是指：以乙为观

察点，也就是以乙所处的位置为中心，再根据“上北下南，左西右东”的规律绘制出“十字叉”，来确定甲的方向和周围事物所处的方向. 如②：“甲的„„方是„„”，是指：以甲为观察点，也就是以甲所处的位置为中心，再根据“上北下南，左西右东”的规律绘制出“十字叉”，来确定甲的什么方向的事物. 看简单的路线图描述行走路线。【1】看简单路线图的方法：先要确定好自己所处的位置，以自己所处的位置为中心，再根据“上北下南;左西右东”的规律绘制出“十字叉”来确定目的地和周围事物所处的方向，最后根据目的地的方向和路程确定所要行走的路线。【2】描述行走路线的方法：以出发点为基准，再看哪一条路通向目的地，最后把行走路线描述出来。有时还要说明路程有多远。【3】综合性题目：给出路线图，说出去某地的走法，并根据信息求出所用时间、应该按什么速度行驶、或几时能到达、付多少钱买车票等等。练习题一、在括号里填上合适的数。 1平方米20平方分米=平方分米 450平方分米=平方米

(精编)点线面之间的位置关系测试题)

点、直线、平面之间的位置关系一、选择题 1. 若是平面外一点，则下列命题正确的是（）（ A ）过只能作一条直线与平面相交（ B ）过可作无数条直线与平面垂直（C ）过只能作一条直线与平面平行（D ）过可作无数条直线与平面平行 2.设l 、m 为直线，α为平面，且l ⊥α，给出下列命题 ① 若m ⊥α，则m ∥l ；②若m ⊥l ，则m ∥α；③若m ∥α，则m ⊥l ；④若m ∥l ，则m ⊥α，其中真命题．．．的序号是 ( ) A.①②③ B.①②④ C.②③④ D.①③④ 3．设正四棱锥S —ABCD 的侧棱长为2，底面边长为3，E 是SA 的中点，则异面直线BE 与SC 所成的角是（） A ．30° B ．45° C ．60° D ．90° 4.如图所示，在正方形ABCD 中， E 、 F 分别是AB 、BC 的中点.现在沿DE 、DF 及EF 把△ADE 、△CDF 和△BEF 折起，使A 、B 、C 三点重合，重合后的点记为P .那么，在四面体P —DEF 中，必有 ( ) 5．下列说法正确的是（） A ．若直线平行于平面内的无数条直线，则 B ．若直线在平面外，则 C ．若直线，，则 D ．若直线，，则直线就平行于平面内的无数条直线 6．在下列条件中，可判断平面与平面平行的是（） A ．、都垂直于平面 B ．内存在不共线的三点到平面的距离相等 C ．、是内两条直线，且， D ．、是两条异面直线，且，，， 7．已知直线a ∥平面α，直线b ?α，则a 与b 的关系为（） A ．相交 B ．平行 C ．异面 D ．平行或异面1.设M 表示平面，a 、b 表示直线，给出下列四个命题： ①M b M a b a ⊥????⊥// ②b a M b M a //????⊥⊥ ③????⊥⊥b a M a b ∥M ④????⊥b a M a //b ⊥M . 其中正确的命题是 ( ) A.①② B.①②③ C.②③④ D.①②④ 8．把正方形ABCD 沿对角线AC 折起，当点D 到平面ABC 的距离最大时，直线BD 和平面ABC 所成角的大小为（） A ． 90 B ． 60 C ． 45 D ． 30 第4题图

点线面位置关系知识点小结(可编辑修改word版)

点线面位置关系知识点小结

a α α 考纲要求了解空两条直线的位置关系，掌握两条直线平行与垂直的判定定理和性质定理，掌握两条直线所成的角和距离的概念了解空间直线和平面的位置关系，掌握直线和平面平行的判定定理和性质定理，理解直线和平面垂直的判定定理和性质定理，掌握斜线在平面上的射影、直线和平面所成的角、直线和平面的距离的概念，了解三垂线定理及其逆定理了解平面与平面的位置关系，掌握两个平面平行的判定定理和性质定理。掌握二面角、二面角的平面角、两个平面间的距离的概念，掌握两个平面垂直的判定定理和性质定理（1）空间中直线与平面、平面与平面之间的位置关系 a a ?, a = A , a // a α A

a ? ? （2）直线与平面平行判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。简记为：线线平行，则线面平行。 a α 符号表示： b β => a∥α a∥b 两个平面平行的判定定理：一个平面内的两条交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行。符号表示： a β b β a∩b = a∥ α b∥α0 β∥α （3）直线与平面、平面与平面平行性质〖直线与平面平行的性质定理〗一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行． a // a ? ? ? ? a // b = b ? 平面与平面平行的性质定理：当两个平行平面和第三个平面都相交时，两条交线平行。简言之，“面面平行，则线线平行.” 用符号语言表示性质定理： / / } ? a / /b α b P ?= a ,?= b

点线面位置关系(知识点加典型例题)

2.1空间中点、直线、平面之间的位置关系 2.1空间点、直线、平面之间的位置关系 1、教学重点和难点重点：空间直线、平面的位置关系。难点：三种语言（文字语言、图形语言、符号语言）的转换 2、三个公理：（1）公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内符号表示为 A ∈L B ∈L => L α ，A ∈α ，B ∈α 公理1作用：判断直线是否在平面内（2）公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。符号表示为：A 、B 、C 三点不共线 => 有且只有一个平面α，使A ∈α、B ∈α、C ∈α。公理2作用：确定一个平面的依据。推论：① 一条直线和其外一点可确定一个平面 ②两条相交直线可确定一个平面 ③两条平行直线可确定一个平面（3）公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。符号表示为：P ∈α∩β =>α∩β=L ，且P ∈L 公理3作用：判定两个平面是否相交的依据（4）公理 4：平行于同一条直线的两条直线平行等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行且方向相同，那么L A · α C · B · A · α P · α L β

2、空间两条不重合的直线有三种位置关系：相交、平行、异面 3、异面直线所成角θ的范围是 00<θ≤900 2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系 1 空间的两条直线有如下三种关系：相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点；平行直线：同一平面内，没有公共点；异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点。 2 公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行。符号表示为：设a 、b 、c 是三条直线 a ∥ b c ∥b 强调：公理4实质上是说平行具有传递性，在平面、空间这个性质都适用。公理4作用：判断空间两条直线平行的依据。 3 等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补 4 注意点： ① a'与b'所成的角的大小只由a 、b 的相互位置来确定，与O 的选择无关，为简便，点O 一般取在两直线中的一条上； ② 两条异面直线所成的角θ∈(0，)； ③ 当两条异面直线所成的角是直角时，我们就说这两条异面直线互相垂直，记作a ⊥b ； ④ 两条直线互相垂直，有共面垂直与异面垂直两种情形； ⑤ 计算中，通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角。共面直线 =>a ∥c 2

点线面位置关系(知识点加典型例题)

2.１空间中点、直线、平面之间的位置关系 2．1空间点、直线、平面之间的位置关系 1、教学重点和难点重点：空间直线、平面的位置关系。难点:三种语言（文字语言、图形语言、符号语言）的转换２、三个公理: （１)公理1:如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线在此平面内符号表示为 A ∈Ｌ B ∈L ＝> L α ,Ａ∈α ,B ∈α 公理1作用：判断直线是否在平面内 (２)公理2：过不在一条直线上的三点,有且只有一个平面。符号表示为：A 、B 、C 三点不共线 => 有且只有一个平面α，使A ∈α、B ∈α、C ∈α。公理2作用:确定一个平面的依据。推论:① 一条直线和其外一点可确定一个平面 ②两条相交直线可确定一个平面 ③两条平行直线可确定一个平面（3）公理3:如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线。符号表示为:Ｐ∈α∩β ＝>α∩β=Ｌ，且P ∈L 公理3作用：判定两个平面是否相交的依据 (4）公理４:平行于同一条直线的两条直线平行等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行且方向相同,那么这两个角相等. 2、空间两条不重合的直线有三种位置关系:相交、平行、异面 L A · α C · B · A · α P · α L β

3、异面直线所成角θ的范围是 00 <θ≤900 2.1．2 空间中直线与直线之间的位置关系 1 空间的两条直线有如下三种关系: 相交直线:同一平面内，有且只有一个公共点; 平行直线:同一平面内,没有公共点；异面直线：不同在任何一个平面内,没有公共点。 2 公理4:平行于同一条直线的两条直线互相平行。符号表示为：设a 、b 、c 是三条直线 a ∥ b ｃ∥b 强调：公理4实质上是说平行具有传递性，在平面、空间这个性质都适用。公理４作用:判断空间两条直线平行的依据。 3 等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补 4 注意点: ① a'与b'所成的角的大小只由a 、ｂ的相互位置来确定，与Ｏ的选择无关,为简便，点O 一般取在两直线中的一条上； ② 两条异面直线所成的角θ∈（0，); ③ 当两条异面直线所成的角是直角时,我们就说这两条异面直线互相垂直,记作ａ⊥b ； ④ 两条直线互相垂直,有共面垂直与异面垂直两种情形; ⑤ 计算中,通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角。 2.1.3 — ２.1.4 空间中直线与平面、平面与平面之间的位置关系 1、直线与平面有三种位置关系：（1)直线在平面内 —— 有无数个公共点共面直线 =>a ∥c 2

人教版数学三年级下册位置与方向知识点(最新整理)

第一章位置与方向一、认识东、南、西、北与东北、东南、西北、西南八个方向（一）确定方向的方法 1、早上太阳升起的方向是东方；傍晚太阳落下的方向是西方 2、指南针所指的方向是北方 3、北斗星所指的方向是北方 4、一般情况下，地图（或图纸上）规定向上为北。 5、生活常识 ①我国的“五岳”分别是：中岳嵩ft、东岳泰ft、南岳衡ft、西岳华ft、北岳恒ft。 ②燕子冬天从北方迁徙到南方 ③西北风是指从西北方向刮过来的风，它吹向东南方（二）根据确定的一个方向，按“上北下南、左西右东”“或南与北相对，东与西相对，西北与东南相对，东北与西南相对”，确定其它方向（三）绘制简单示意图的方法先确定好观察点，把观察点画在平面图的中心位置，再确定好各物体相对于观察点的方向。在纸上按“上北下南、左西右东”绘制“十字叉”，用箭头“↑”标出北方。（要注意选取的是哪个物体作参照物，选取的参照物不同，描述的结果也不一样。）（四）看懂地图以自己所处的位置为中心，再根据“上北下南；左西右东”的规律来确定目的地和周围事物所处的方向：谁在谁的什么方向等。如①：“甲在乙的……方”，是指：以乙为观察点，也就是以乙所处的位置为中心，来确定甲的方向和周围事物所处的方向. 如②：“甲的……方是……”，是指：以甲为观察点，也就是以甲所处的位置为中心，来确定甲的什么方向是什么的事物. 二、看简单的路线图描述行走路线（一）看简单路线图的方法

先要确定好自己所处的位置，以自己所处的位置为中心，再根据“上北下南；左西右东”的规律绘制出“十字叉”来确定目的地和周围事物所处的方向，最后根据目的地的方向和路程确定所要行走的路线。（二）描述行走路线的方法以出发点为基准，再看哪一条路通向目的地，最后把行走路线描述出来（先向哪走，再向哪走）。有时还要说明路程有多远。

点线面之间的位置关系的知识点总结

高中空间点线面之间位置关系知识点总结第二章直线与平面的位置关系 2.1空间点、直线、平面之间的位置关系 2.1.1 1平面含义：平面是无限延展的 2平面的画法及表示 (1)平面的画法：水平放置的平面通常画成一个平行四边形，锐角画成45°，且横边画成邻边的 2倍长(如图) (2)平面通常用希腊字母a、B、Y等表示，如平面a、平面B等，也可以用表示平面的平行四边形的四个顶点或者相对的两个顶点的大写字母来表示，如平面AC平面ABCD等。 3 三个公理： (1)公理1:如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内符号表示为公理1作用：判断直线是否在平面内 (2)公理2 :过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。符号表示为：A B、C三点不共线=> 有且只有一个平面a, 使A€a、B€a、C€a。公理2作用：确定一个平面的依据。 (3)公理3 :如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。符号表示为：P€aQB => aPp =L，且P€ L 公理3作用：判定两个平面是否相交的依据 2.1.2空间中直线与直线之间的位置关系 1空间的两条直线有如下三种关系： f相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点; 共面直线 Y l平行直线：同一平面内，没有公共点；异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点同一条直线的两条直线互相平行。符号表示为：设a、b、c是三条直线强调：公理4实质上是说平行具有传递性，在平面、空间这个性质都适用公理4作用：判断空间两条直线平行的依据。3等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补 4注意点： ①a'与b'所成的角的大小只由a、b的相互位置来确定，与0的选择无关，为简便，点0 —般取在两直线中的一条上; ②两条异面直线所成的角(0，); ③当两条异面直线所成的角是直角时，我们就说这两条异面直线互相垂直，记作a丄b; a// b 2公理4：平行 =>a // c

点线面之间的位置关系的知识点汇总

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高中空间点线面之间位置关系知识点总结第二章直线与平面的位置关系 2.1空间点、直线、平面之间的位置关系 2.1.1 1 平面含义：平面是无限延展的 2 平面的画法及表示（1）平面的画法：水平放置的平面通常画成一个平行四边形，锐角画成450 ，且横边画成邻边的2倍长（如图）（2）平面通常用希腊字母α、β、γ等表示，如平面α、平面β等，也可以用表示平面的平行四边形的四个顶点或者相对的两个顶点的大写字母来表示，如平面AC 、平面ABCD 等。 3 三个公理：（1）公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内符号表示为 A ∈L B ∈L => L α A ∈α B ∈α 公理1作用：判断直线是否在平面内（2）公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。符号表示为：A 、B 、C 三点不共线 => 有且只有一个平面α，使A ∈α、B ∈α、C ∈α。公理2作用：确定一个平面的依据。（3）公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。符号表示为：P ∈α∩β =>α∩β=L ，且P ∈L 公理3作用：判定两个平面是否相交的依据 2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系 1 空间的两条直线有如下三种关系：相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点；平行直线：同一平面内，没有公共点；异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点同一条直线的两条直线互相平行。符号表示为：设a 、b 、c 是三条直线 a ∥b 。 2 公理4：平行于 c ∥b 强调：公理4实质上是说平行具有传递性，在平面、空间这个性质都适用。公理4作用：判断空间两条直线平行的依据。 3 等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补 4 注意点： ① a'与b'所成的角的大小只由a 、b 的相互位置来确定，与O 的选择无关，为简便，点O 一般取在两直线中的一条上； ② 两条异面直线所成的角θ∈(0， )； ③ 当两条异面直线所成的角是直角时，我们就说这两条异面直线互相垂直，记作a ⊥b ； ④ 两条直线互相垂直，有共面垂直与异面垂直两种情形； D C B A α L A · α C · B · A · α P · α L β 共面=>a ∥2

高中数学空间点线面之间的位置关系的知识点总结(1)

高中空间点线面之间位置关系知识点总结 2.1空间点、直线、平面之间的位置关系 2.1.1 1 平面含义：平面是无限延展的 2 平面的画法及表示（1）平面的画法：水平放置的平面通常画成一个平行四边形，锐角画成450，且横边画成邻边的2倍长（如图）（2）平面通常用希腊字母α、β、γ等表示，如平面α、平面β等，也可以用表示平面的平行四边形的四个顶点或者相对的两个顶点的大写字母来表示，如平面AC 、平面ABCD 等。 3 三个公理：（1）公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内符号表示为 A ∈L B ∈L => L α A ∈α B ∈α 公理1作用：判断直线是否在平面内（2）公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。符号表示为：A 、B 、C 三点不共线 => 有且只有一个平面α，使A ∈α、B ∈α、C ∈α。公理2作用：确定一个平面的依据。 D C B A α L A · α C · B · A · α

（3）公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。符号表示为：P ∈α∩β =>α∩β=L ，且P ∈L 公理3作用：判定两个平面是否相交的依据 2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系 1 空间的两条直线有如下三种关系：相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点；平行直线：同一平面内，没有公共点；异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点。 2 公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行。符号表示为：设a 、b 、c 是三条直线 a ∥ b c ∥b 强调：公理4实质上是说平行具有传递性，在平面、空间这个性质都适用。公理4作用：判断空间两条直线平行的依据。 3 等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补 4 注意点： ① a'与b'所成的角的大小只由a 、b 的相互位置来确定，与O 的选择无关，为简便，点O 一般取在两直线中的一条上； ② 两条异面直线所成的角θ∈(0， )； ③ 当两条异面直线所成的角是直角时，我们就说这两条异面直线互相垂直，记作a ⊥b ； P · α L β 共面直线 =>a ∥c 2

位置与方向知识点归纳及练习

位置与方向：【知识要点】 1.记忆方向的儿歌：早上起来，面对太阳；前面是东，后面是西；左面是北，右面是南；东西南北，认清方向。 2.根据一个方向确定其它七个方向：（1）南与北相对，西与东相对；西北与东南相对，东北与西南相对。（2）东、南、西、北按顺时针方向排列。 3.地图通常是按“绘制的。（书：练习一第3、4题；） 4.了解绘制简单示意图的方法：先确定好观察点，把选好的观察点画在平面图的中心位置，再确定好各物体相对于观察点的方向。在纸上按“上北下南、左西右东”绘制，用箭头“↑”标出北方。（书：习二第2题。） 5、看简单的路线图描述行走路线。（1）看简单路线图的方法：先要确定好自己所处的位置，以自己所处的位置为中心，再根据上北下南，左西右东的规律来确定目的地和周围事物所处的方向，最后根据目的地的方向和路程确定所要行走的路线。（2）描述行走路线的方法：以出发点为基准，再看哪一条路通向目的地，最后把行走路线描述出来（先向哪走，再向哪走）。有时还要说明路程有多远。（书：p5和p9的做一做）（3）综合性题目：给出路线图，说出去某地的走法，并根据信息求出所用时间、应该按什么速度行驶、或几时能到达、付多少钱买车票等等。 6.可以借助太阳等身边事物辨别方向，也可以借助指南针等工具辨别方向。 7.并能看懂地图。（p4例2：知道建筑或地点在整个地图的什么方向，地图上两个地点之间的位置关系：谁在谁的什么方向等） 8. 我国的“五岳”分别是：中岳嵩山、东岳泰山、南岳衡山、西岳华山、北岳恒山。 9.生活中的方向常识：（1）面对北斗星的方向是北方（2）燕子冬天从北方迁徙到南方（3）西北风是指从西北方向刮过来的风，它吹向东南方一、填一填。 1、早上，当你面向太阳时，你的前面是（），后面是（），左面是（），右面是（）。 2、晚上，当你面对北极星时，你的前面是（），后面是（），左面是（），右面是（）。 3、地图通常是按上（）、下（）、左（）、右（）。黄昏，当你面向太阳时，你的后面是（），左面是（），右面是（）。 5、我的家乡在山东省的（）部。 6．把手表平放在桌面上，用数字12 正对着北方。正对着南方的是数字( )；数字3 正对着( )方。 7．小铃面向西站立，向右转动两周半，面向( )；向左转动l周半，面向( )。二、选择。 1．太阳( )是东升西落。 A．一定B．不一定C．不会三、解决问题。 1、三个小朋友都从家出发去看电影，请你根据下图填一填。

高中数学空间点线面之间的位置关系讲义

2.1空间点、直线、平面之间的位置关系一、平面 1 平面含义： 2 平面的画法及表示（1）平面的画法：水平放置的平面通常画成一个平行四边形，锐角画成450 ，且横边画成邻边的2倍长（如图）（2）平面通常用希腊字母α、β、γ等表示，如平面α、平面β等，也可以用表示平面的平行四边形的四个顶点或者相对的两个顶点的大写字母来表示，如平面AC 、平面ABCD 等。二、三个公理：三、空间直线、平面之间的位置关系 D C B A α

四、等角定理：五、异面直线所成的角 1.定义： 2.范围： 3.图形表示 4.垂直：六、典型例题

1．下面推理过程，错误的是（）（A ） αα??∈A l A l ,// （B ） ααα??∈∈∈l B A l A ,, （C ） AB B B A A =??∈∈∈∈βαβαβα,,, （D ） βαβα=?∈∈不共线并且C B A C B A C B A ,,,,,,,, 2．一条直线和这条直线之外不共线的三点所能确定的平面的个数是（）（A ）1个或3个（B ）1个或4个（C ）3个或4个（D ）1个、3个或4个 3．以下命题正确的有（）（1）若a ∥b ，b ∥c ，则直线a ，b ，c 共面；（2）若a ∥α，则a 平行于平面α内的所有直线；（3）若平面α内的无数条直线都与β平行，则α∥β；（4）分别和两条异面直线都相交的两条直线必定异面。（A ） 1个（B ） 2个（C ） 3个（D ）4个 4．正方体的一条体对角线与正方体的棱可以组成异面直线的对数是（）（A ） 2 （B ） 3 （C ） 6 （D ） 12 5．以下命题中为真命题的个数是（）（1）若直线l 平行于平面α内的无数条直线，则直线l ∥α；（2）若直线a 在平面α外，则a ∥α；（3）若直线a ∥b ，α?b ，则a ∥α；（4）若直线a ∥b ，α?b ，则a 平行于平面α内的无数条直线。（A ） 1个（B ） 2个（C ） 3个（D ）4个 6．若三个平面两两相交，则它们的交线条数是（）（A ） 1条（B ） 2条（C ） 3条（D ）1条或3条 7．若直线l 与平面α相交于点O ，l B A ∈,，α∈D C ,，且BD AC //，则O,C,D 三点的位置关系是。 8．在空间中， ① 若四点不共面，则这四点中任何三点都不共线。② 若两条直线没有公共点，则这两条直线是异面直线。以上两个命题中为真命题的是（把符合要求的命题序号填上） 9．已知长方体1111D C B A ABCD -中，M 、N 分别是1BB 和BC 的中点，AB=4，AD=2，1521=BB ，求异面直线D B 1与MN 所成角的余弦值。 10.正方体1111ABCD A B C D -中，E 、F 分别为11D C 和11B C 的中点，P 、Q 分别为AC 与BD 、11A C 与EF 的交点. （1）求证：D 、B 、F 、E 四点共面；（2）若1A C 与面DBFE 交于点R ，求证：P 、Q 、R 三点共线.

小学数学三年级下《位置与方向》-单元重点知识归纳与易错总结

单元重点知识归纳与易错总结学习目标1.能结合具体情境，辨认东、南、西、北、东南、东北、西南、西北八个方向。 2.能根据给定的一个方向，辨认其余七个方向，并能用这些词语描述物体所在的方向。 3.会看简单的路线图，能描述不同的行走路线。 4.能综合应用方位知识解决问题。学习重点1.学会在具体的情境中辨认八个方向。 2.能用八个方向描述平面图中物体所在的位置。 3.根据路线图介绍行走的方向和经过的地方。教学准备PPT课件教学环节1：重点单元知识归纳知识点具体内容辨认东、南、西、北四个方向1.辨认东、南、西、北四个方向：先确定一个方向，再根据这个方向辨认其他三个方向。 2.根据一个确定的方向找其他三个方向的方法：面南背北，左东右西；面北背南，左西右东；面东背西，左北右南；面西背东，左南右北。在地图上辨认东、南、西、北1.地图通常是按上北、下南、左西、右东绘制的，按顺时针方向，面向北时右侧是东，面向东时右侧是南，面向南时右侧是西，面向西时右侧是北。 2.观察点不同，描述物体方向的叙述语言也不同，即观察点不同，相对应的物体所在的方向也会不同。辨认东南、东北、西南、西北四个方向的方法辨认东南、东北、西南、西北四个方向的方法：（1）利用指南针辨认。（2）借助身边的事物辨认，先找东、南、西、北中的一个方向，再找其他三个方向，最后找东南、东北、西南、西北四个方向。看简单路线图（八个方向）描述行走路线1.八个方向：东、南、西、北、东南、东北、西南、西北。 2.描述行走路线的方法：以出发点为标准，先确定要到达的地点所处的方向，再看哪一条路通向目的地，最后把行走路线描述出来。教学环节2：易错知识总结 1不能根据给出的一个方向正确地辨认其他三个方向。【例题1】根据给出的北方，标出其他三个方向。错误答案：正确答案：错点警示：此题错在对根据给出的一个方向辨认其他三个方向的知识掌握不准确。

点、线、面之间的位置关系知识易错点及例题合集

点、线、面之间的位置关系知识易错点及例题合集最近许多高二的同学问必修二点线面之间的知识点，普遍感觉这块非常难学，小数老师今天整理了易错点和例题给大家，作为参考！ [整合·网络构建]

[警示·易错提醒] 1、不要随意推广平面几何中的结论平面几何中有些概念和性质，推广到空间中不一定成立．例如“过直线外一点只能作一条直线与已知直线垂直”、“垂直于同一条直线的两条直线平行”等性质在空间中就不成立． 2、弄清楚空间点、线、面的位置关系解决这类问题的基本思路有两个：一是逐个寻找反例作出否定的判断或逐个进行逻辑证明作出肯定的判断；二是结合长方体模型或实际空间位置（如课桌、教室）作出判断，要注意定理应用准确、考虑问题全面细致。 3、不要忽略异面直线所成的角的范围求异面直线所成的角的时候，要注意它的取值范围是（0°，90°]。两异面直线所成的角转化为一个三角形的内角时，容易忽略这个三角形的内角可能等于两异面直线所成的角，也可能等于其补角． 4、透彻理解直线与平面的关系直线与平面位置关系的分类要清晰，一种分法是直线在平面内与直线在平面外（包括直线与平面平行和相交）；另一种分法是直线与平面平行（无公共点）和直线与平面不平行（直线在平面内和直线与平面相交）。 5、使用判定定理时不要忽略条件应用直线与平面垂直的判定定理时，要熟记定理的应用条件，不能忽略“两条相交直线”这一关键点。专题1共点、共线、共面问题（1）、证明共面问题

证明共面问题，一般有两种证法：一是先由某些元素确定一个平面，再证明其余元素在这个平面内；二是先分别由不同元素确定若干个平面，再证明这些平面重合。（2）、证明三点共线问题证明空间三点共线问题，通常证明这些点都在两个面的交线上，即先确定出某两点在某两个平面的交线上，再证明第三个点是两个平面的公共点，当然必在两个平面的交线上。（3）、证明三线共点问题证明空间三线共点问题，先证两条直线交于一点，再证明第三条直线经过该点，把问题转化为证明点在直线上的问题。 [例1]如图所示，在空间四边形ABCD中，E，F 分别为AB，AD 的中点，G，H分别在BC，CD上，且 BG∶GC＝DH∶HC＝1∶2，求证：（1）、E，F，G，H四点共面；（2）、EG与HF的交点在直线AC上。证明：（1）、因为BG∶GC＝DH∶HC，所以GH∥BD。又因为E，F分别为AB，AD的中点，所以EF∥BD，所以EF∥GH，所以E，F，G，H四点共面。（2）、因为G，H不是BC，CD的中点，所以EF∥GH，且EF≠GH，所以EG 与FH必相交。设交点为M，而EG?平面ABC，HF?平面ACD，所以M∈平面ABC，且M ∈平面ACD。因为平面ABC∩平面ACD＝AC，所以M∈AC，即EG与HF的交点在直线AC 上。归纳升华：证明共点、共线、共面问题的关键是合理地利用三个公理，做

北师大版二年级下册第二单元方向与位置知识点总结

二年级下册第二单元方向与位置一、基础知识 1、方向板 2、地图上（东、南、西、北）上北、下南、左西、右东；知识速记口诀：南北相对，东西相望; 东、北之间是东北方向；东、南之间是东南方向；西、北之间是西北方向；西、南之间是西南方向。在解决方向问题时，可以利用方向板辨认方向，从而确定各个物体的位置，再根据各个物体的位置绘制方位图。 3、教室里（东、南、西、北）早上起来，面向太阳，前面是东，后面是西，左面是北，右面是南。东对西，南对北。西南跟东北相对。

4、我应该能够： ?根据给定的一个方向（东、南、西、北），辨认具体情景中的其余七个方向. ?能根据方向与距离确定两地的相对位置。 ?会描述从一地到另一地的具体路线，学会看简单的路线图。 5、借助已有的生活经验来辨认方向： ?太阳早上从东方升起，西边落下; ?小明早上面向太阳时，他的前面是东，后面是西，左面是北，右面是南。 ?当吹东南风时，红旗往西北飘，吹西北风时，红旗往东南飘。 6、指南针一头指着南方，一头指着北方；月亮从东边升起，西边落下。二、解题的关键 1、看清方向标； 2、明确中心点； 3、找出隐含的方向信息。例：“小猫在小狗的（）方”，“（）在小狗的东面”，是以小狗家为中心点，画出方位坐标，确定方向；“小猪在小马的（）方”，“小马的（）方是小猪”，是以小马家

为中心点，画出方位坐标，确定方向。我的左面是南，右面是北，我的前面是，后面是。我的左面是西，右面是东，我的前面是，后面是。 2、肖华面向东方站着，后面是，左面是，右面是。三、重要例题： 1、傍晚，面向太阳，前面是（），后面是（），右面是（），左面是（）。 2、地图是按（），（），（），（）的方位绘制的。 3 4、指南针一端指向（），一端指向（）。 5、吹东风时，烟囱冒出的烟往（）面飘；刮南风时，小树向（）弯腰。 6、上学时，小军从家向东走到学校；放学时，他应该从学校向（）走到家。

(完整版)小学三年级位置与方向知识点总结与练习

【知识要点】1. 记忆方向的儿歌：早上起来，面对太阳；前面是东，后面是西；左面是北，右面是南；东西南北，认清方向。 2.根据一个方向确定其它七个方向：（1）南与北相对，西与东相对；西北与东南相对，东北与西南相对。（2）东、南、西、北按顺时针方向排列。 3. 地图通常是按“上北下南左西右东”绘制的。 4.了解绘制简单示意图的方法：先确定好观察点，把选好的观察点画在平面图的中心位置，再确定好各物体相对于观察点的方向。在纸上按“上北下南、左西右东”绘制，用箭头“↑”标出北方。 5、看简单的路线图描述行走路线。（1）看简单路线图的方法：先要确定好自己所处的位置，以自己所处的位置为中心，再根据上北下南，左西右东的规律来确定目的地和周围事物所处的方向，最后根据目的地的方向和路程确定所要行走的路线。

（2）描述行走路线的方法：以出发点为基准，再看哪一条路通向目的地，最后把行走路线描述出来（先向哪走，再向哪走）。有时还要说明路程有多远。（3）综合性题目：给出路线图，说出去某地的走法，并根据信息求出所用时间、应该按什么速度行驶、或几时能到达、付多少钱买车票等等。 6. 可以借助太阳等身边事物辨别方向，也可以借助指南针等工具辨别方向。 7. 并能看懂地图。知道建筑或地点在整个地图的什么方向，地图上两个地点之间的位置关系：谁在谁的什么方向等） 8. 我国的“五岳”分别是：中岳嵩山、东岳泰山、南岳衡山、西岳华山、北岳恒山。 9. 生活中的方向常识：（1）面对北斗星的方向是北方（2）燕子冬天从北方迁徙到南方（3）西北风是指从西北方向刮过来的风，它吹向东南方【巩固练习】一、选择。 1．太阳( )是东升西落。 A．一定 B．不一定 C．不会 2．与北极星相对的方向是( ) 。 A．东 B.南 C.西 3．小明座位的西南方向是张强的座位，那么小明在张强的( )方向。 A．东南 B.西北 C．东北 4．三(1)班教室的黑板在教室的西面，那么老师讲．课时面向( )面。 A．东 B．南 C．西 D.北

点线面之间的位置关系的知识点总结

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