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必修5一元二次不等式解法

一元二次不等式及其解法

[考点梳理]

1．解不等式的有关理论

(1)若两个不等式的解集相同，则称它们是；

(2)一个不等式变形为另一个不等式时，若两个不等式是同解不等式，这种变形称为不等式的； (3)解不等式变形时应进行同解变形；解不等式的结果，一般用集合表示． 2．一元一次不等式解法

任何一个一元一次不等式经过不等式的同解变形后，都可以化为ax ＞b (a ≠0)的形式．当a ＞0时，解集为_______；当a ＜0时，解集为．若关于x 的不等式ax >b 的解集是R ，则实数a ，b 满足的条件是_______．

3．一元二次不等式及其解法

(1)我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为__________不等式． (2)使某个一元二次不等式成立的x 的值叫做这个一元二次不等式的解，一元二次不等式所有的解组成的集合叫做一元二次不等式的________．

(3)若一元二次不等式经过同解变形后，化为一元二次不等式ax 2＋bx ＋c ＞0(或ax 2＋bx ＋c ＜0)(其中a ＞0)的形式，其对应的方程ax 2＋bx ＋c ＝0有两个不相等的实根x 1，x 2，且x 1＜x 2(此时Δ＝b 2－4ac ＞0)，则可根据“大于号取，小于号取”求解集．

(4)一元二次不等式的解：

函数与不等式 Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0

二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ＞0)的图象

一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0

(a ＞0)的根有两相异实根 x 1，x 2(x 1＜x 2)

有两相等实根

x 1＝x 2＝－b

无实根 ax 2＋bx ＋c ＞0(a ＞0)的解集 ① ② R

ax 2＋bx ＋c ＜0(a ＞0)的解集 {x |x 1＜x ＜x 2}

③

(1)化分式不等式为标准型．方法：移项，通分，右边化为0，左边化为

f （x ）

g （x ）

的形式．

(2)将分式不等式转化为整式不等式求解，如：

f （x ）

g （x ）＞0 ? f (x )g (x )＞0；f （x ）

g （x ）

＜0 ? f (x )g (x )＜0；

f （x ）

g （x ）≥0 ? ???f （x ）g （x ）≥0，g （x ）≠0；f （x ）g （x ）≤0 ? ???f （x ）g （x ）≤0，g （x ）≠0.

[基础自测]

已知集合A ＝{x |x 2－2x －3≥0}，B ＝{x |－2≤x ＜2}，则A ∩B ＝( ) A ．[－2，－1] B ．[－1，2) C ．[－1，1] D ．[1，2)

设f (x )＝x 2＋bx ＋1且f (－1)＝f (3)，则f (x )>0的解集为( ) A ．{x |x ∈R} B ．{x |x ≠1，x ∈R} C ．{x |x ≥1} D ．{x |x ≤1}

已知－12

x <2，则x 的取值范围是( )

A ．(－2，0)∪? ????0，12 B.? ????－12，2 C.? ????－∞，－12∪(2，＋∞) D ．(－∞，－2)∪? ??

12，＋∞

不等式2x 2－x <4的解集为____________．

若一元二次不等式2kx 2＋kx －3

＜0对一切实数x 都成立，则k 的取值范围为________．

[典例解析]

类型一一元一次不等式的解法

已知关于x 的不等式(a ＋b )x ＋2a －3b ＜0的解集为? ?

??－∞，－13，则关于x 的不等式(a －3b )x ＋b －2a ＞0的解集为________．

小结：一般地，一元一次不等式都可以化为ax ＞b (a ≠0)的形式．挖掘隐含条件a ＋b ＞0且3b －2a

a ＋b

＝

－1

是解本题的关键．解关于x 的不等式：(m 2－4)x ＜m ＋2.

类型二一元二次不等式的解法

解下列不等式：

(1)x 2－7x ＋12＞0; (2)－x 2－2x ＋3≥0； (3)x 2－2x ＋1＜0; (4)x 2－2x ＋2＞0.

小结：解一元二次不等式的步骤：(1)将二次项系数化为正数；(2)解相应的一元二次方程；(3)根据一元二次方程的根，结合不等号的方向画图；(4)写出不等式的解集．容易出现的错误有：①未将二次项系数化正，对应错标准形式；②解方程出错；③结果未按要求写成集合．

关于x 的不等式x 2－(a ＋1)x ＋a <0的解集中，恰有3个整数，则实数a 的取值范围是

________．

类型三二次不等式、二次函数及二次方程的关系

已知不等式ax 2＋bx ＋2>0的解集为{x |－1

( )

A.?

???

??xx <－1或x >12 B.?

???

x |－11}

小结：已知一元二次不等式的解集，就能够得到相应的一元二次方程的两根，由根与系数的关系，可以求出相应的系数．注意结合不等式解集的形式判断二次项系数的正负．

已知不等式ax 2＋bx ＋c ＞0的解集为{x |2＜x ＜3}，则不等式cx 2－bx ＋a ＞0的解集为

________．

类型四含有参数的一元二次不等式

解关于x 的不等式：mx 2－(m ＋1)x ＋1＜0.

小结：当x 2的系数是参数时，首先对它是否为零进行讨论，确定其是一次不等式还是二次不等式，即对m ≠0与m ＝0进行讨论，这是第一层次；第二层次：x 2的系数正负(不等号方向)的不确定性，

对m ＜0与m ＞0进行讨论；第三层次：1

m 与1大小的不确定性，对m ＜1、m ＞1与m ＝1进行讨论．

解关于x 的不等式ax 2－2≥2x －ax (a ∈R)．

类型五分式不等式的解法

(1)不等式

x －1

2x ＋1

≤1的解集为________． (2)不等式x －2

x 2＋3x ＋2

＞0的解集为______．

小结：分式不等式可以先转化为简单的高次不等式，再利用数轴标根法写出不等式的解集，如果该不等式有等号，则要注意分式的分母不能为零．※用“数轴标根法”解不等式的步骤：(1)移项：根据不等式的性质对不等式进行移项，使得右端为0，化为不等式的标准形式(注意：一定要保证x 的最高次幂的项的系数为正数)．(2)求根：就是求出不等式所对应的方程的所有根．①若是整式不等式，将其分解因式，求出所有根；②若是分式不等式，用积和商的符号法则，将其转化为整式不等式，再求出所有根．(3)标根：在数轴上按从左到右(由小到大)依次标出各根(不需标出准确位置，只需标出相对位置即可)．(4)画穿根线：从数轴“最右根”的右上方向左下方画线，穿过此根，再往左上方穿过“次右根”，一上一下依次穿过各根．但画线时遇偶重根不穿过(即线画至此根时，不穿过此根，而向左依次穿过其余的根)，遇奇重根要穿过，可用口诀：“奇穿偶不穿”来记忆．(5)写出不等式的解集：若不等号为“＞”，则取数轴上方穿根线以内的范围；若不等号为“＜”，则取数轴下方穿根线以内的范围；若不等式中含有“＝”号，就连根一同取，但若是分式不等式，写解集时要考虑分母不能为零．

(1)若集合A ＝{x |－1≤2x ＋1≤3}， B ＝????

x |x －2x ≤0，则A ∩B ＝( )

A ．{x |－1≤x ＜0}

B ．{x |0＜x ≤1}

C ．{x |0≤x ≤2}

D ．{x |0≤x ≤1}

(2)不等式x －1

2x ＋1≤0的解集为( )

A.????－12，1

B.????－12，1

C.????－∞，－12∪[1，＋∞)

D.?

???－∞，－1

2∪[1，＋∞)

类型六和一元二次不等式有关的恒成立问题

(1)若不等式x 2＋ax ＋1≥0对于一切x ∈? ??

0，12成立，则实数a 的最小值为( )

A ．0

B ．－2

C ．－5

D ．－3

(2)已知对于任意的a ∈[－1，1]，函数f (x )＝x 2＋(a －4)x ＋4－2a 的值总大于0，则x 的取值范围是( )

A ．1＜x ＜3

B ．x ＜1或x ＞3

C ．1＜x ＜2

D ．x ＜1或x ＞2

小结：(1)一元二次不等式恒成立问题，对于x 变化的情形，解法一利用参变量分离法，化成a ＞f (x )(a ＜f (x ))型恒成立问题，再利用a ＞f (x )max (a ＜f (x )min )，求出参数范围．解法二化归为二次函数，由于是轴动区间定，结合二次函数对称轴与定义域的位置关系、单调性等相关知识，求出参数范围．(2)对于参数变化的情形，大多利用参变量转换法，即参数转换为变量；变量转换为参数，把关于x 的二次不等式转换为关于a 的一次不等式，化繁为简，然后再利用一次函数的单调性，求出x 的取值范围．

(1)若不等式a ·4x －2x ＋1>0对一切x ∈R 恒成立，则实数a 的取值范围是________． (2)对于满足|a |≤2的所有实数a ，使不等式x 2＋ax ＋1＞2x ＋a 成立的x 的取值范围为________．

类型七二次方程根的讨论

若方程2ax 2－x －1＝0在(0，1)内有且仅有一解，则a 的取值范围是( ) A ．(－∞，－1) B ．(1，＋∞) C ．(－1，1) D ．[0，1)

小结：本题考查一元二次方程的根的分布与系数的关系，画出相应函数的图象后“看图说话”，主

要从以下四个方面分析：①开口方向；②判别式；③区间端点函数值的正负；④对称轴x ＝－b

与

区间端点的关系．本书2.4节有较详细的讨论，可参看．

已知二次函数f (x )＝ax 2－(a ＋2)x ＋1(a ∈Z)，且函数f (x )在(－2，－1)上恰有一个零点，

则不等式f (x )>1的解集为________．

类型八一元二次不等式的应用

甲厂以x 千克/小时的速度匀速生产某种产品(生产条件要求1≤x ≤10)，每小时可获得

利润是100? ?

??5x ＋1－3x 元．

(1)要使生产该产品2小时获得的利润不低于3 000元，求x 的取值范围；

(2)要使生产900千克该产品获得的利润最大，问：甲厂应该选取何种生产速度？并求最大利润．

小结：和一元二次不等式有关的实际应用题是高考考查的重点，这类题目往往与实际生活结合紧密，应予以重视．

某商品每件成本价为80元，售价为100元，每天售出100件．若售价降低x成(1成＝

10%)，售出商品数量就增加8

5x成．要求售价不能低于成本价．

(1)设该商店一天的营业额为y，试求y与x之间的函数关系式y＝f(x)，并写出定义域；

(2)若要求该商品一天营业额至少为10 260元，求x的取值范围．

[归纳小结]

1．一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0(或ax2＋bx＋c＜0)(a≠0)的解集的确定，受二次项系数a的符号及判别式Δ＝b2－4ac的符号制约，且与相应的二次函数、一元二次方程有密切联系，可结合相应的函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象，数形结合求得不等式的解集；二次函数y＝ax2＋bx＋c的值恒大于0的条件是a＞0且Δ＜0；若恒大于或等于0，则a＞0且Δ≤0.若二次项系数中含参数且未指明该函数是二次函数时，必须考虑二次项系数为0这一特殊情形．

2．解分式不等式要使一边为零；求解非严格分式不等式时，要注意分母不等于0，转化为不

等式组．(注：形如f（x）

g（x）≥0或

f（x）

g（x）

≤0的不等式称为非严格分式不等式)

3．解含参数的不等式的基本途径是分类讨论，能避免讨论的应设法避免讨论．对字母参数的逻辑划分要具体问题具体分析，必须注意分类不重、不漏、完全、准确．

4．解不等式的过程，实质上是不等式等价转化的过程．因此保持同解变形是解不等式应遵循的基本原则．

5．各类不等式最后一般都要化为一元一次不等式(组)或一元二次不等式(组)来解，这体现了转化与化归的数学思想．

6．对给定的一元二次不等式，求解的程序框图是：

[课后作业]

1．不等式x －2

x ＋1

≤0的解集是( )

A ．(－∞，－1)∪(－1，2]

B ．[－1，2]

C ．(－∞，－1)∪[2，＋∞)

D ．(－1，2] 2．不等式f (x )＝ax 2－x －c >0的解集为{x |－2

3．已知一元二次不等式f (x )<0

的解集为????

??x |x <－1或x >12，则f (10x )>0的解集为( )

A ．{x |x <－1或x >lg2}

B ．{x |－1

C ．{x |x >－lg2}

D ．{x |x <－lg2}

4．在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积不小于300 m 2的内接矩形花园(阴影部分)，则其边长x (单位：m )的取值范围是( )

A ．[15，20]

B ．[12，25]

C ．[10，30]

D ．[20，30]

5．若关于x 的不等式2x 2－8x －4－a >0在(1，4)内有解，则实数a 的取值范围是( )

A ．(－∞，－12)

B ．(－4，＋∞)

C ．(－12，＋∞)

D ．(－∞，－4)

6．若关于x 的方程3x 2－5x ＋a ＝0的一个根大于－2且小于0，另一个根大于1且小于3，则实数a 的取值范围是( )

A ．(－∞，2)

B ．(－12，＋∞)

C ．(－22，0)

D ．(－12，0)

7．不等式log 2? ??

x ＋1x ＋6≤3的解集为________．

8．已知a为正的常数，若不等式1＋x≥1＋x

2－

a对一切非负实数x恒成立，则a的最大值

是____．

9．若关于x的不等式x2－ax－a≤－3的解集不是空集，求实数a的取值范围．

10．汽车在行驶中，由于惯性的作用，刹车后还要继续向前滑行一段距离才能停住，我们称这段距离为“刹车距离”．刹车距离是分析事故的一个重要因素．在一个限速为40 km/h的弯道上，甲、乙两辆车相向而行，发现情况不对，同时刹车，但还是相碰了．事后现场勘查测得甲车的刹车距离略超过12 m，乙车的刹车距离略超过10 m，又知甲、乙两种车型的刹车距离s(m)与车速x(km/h)之间分别有如下关系：

s甲＝0.1x＋0.01x2，s乙＝0.05x＋0.005x2.

问甲、乙两车有无超速现象？

11．已知二次函数f(x)的二次项系数为a，且不等式f(x)＞－2x的解集为(1，3)．

(1)若方程f(x)＋6a＝0有两个相等的实根，求f(x)的解析式；

(2)若f(x)的最大值为正数，求a的取值范围．

解关于x的不等式：a（x－1）

x－2

＞1(a＜1)．

必修五-不等式知识点总结

不等式总结一、不等式的主要性质： (1)对称性：a b b a (2)传递性：c a c b b a >?>>, (3)加法法则：c b c a b a +>+?>； d b c a d c b a +>+?>>, (4)乘法法则：bc ac c b a >?>>0,； bc ac c b a 0, bd ac d c b a >?>>>>0,0 (5)倒数法则：b a a b b a 110,> (6)乘方法则：)1*(0>∈>?>>n N n b a b a n n 且 (7)开方法则：)1*(0>∈>?>>n N n b a b a n n 且二、一元二次不等式02>++c bx ax 和)0(02≠<++a c bx ax 及其解法有两相异实根有两相等实根注意：一般常用因式分解法、求根公式法求解一元二次不等式顺口溜：在二次项系数为正的前提下：大于型取两边，小于型取中间三、均值不等式

1.均值不等式：如果a,b 是正数，那么 ).""(2 号时取当且仅当==≥+b a ab b a 2、使用均值不等式的条件：一正、二定、三相等 3、平均不等式：平方平均≥算术平均≥几何平均≥调和平均（a 、b 为正数），即 2112a b a b +≥+（当 a = b 时取等）四、含有绝对值的不等式 1．绝对值的几何意义：||x 是指数轴上点x 到原点的距离；12||x x -是指数轴上12,x x 两点间的距离 2、则不等式：如果,0>a a x a x a x -<><=>>或|| a x a x a x -≤≥<=>≥或|| a x a a x <<-<=><|| a x a a x ≤≤-<=>≤|| 3．当0c >时， ||ax b c ax b c +>?+>或ax b c +<-， ||ax b c c ax b c +?∈，||ax b c x φ+?-<<，|| (0)x a a x a >>?>或x a <-．（2）定义法：零点分段法；（3）平方法：不等式两边都是非负时，两边同时平方．五、其他常见不等式形式总结： ①分式不等式的解法：先移项通分标准化，则 ()()0() () 0()()0;0()0 () ()f x g x f x f x f x g x g x g x g x ≥?>?>≥??≠? ②无理不等式：转化为有理不等式求解 ()0()0()()f x g x f x g x ?≥????≥?? ?>? 定义域 ???<≥?????>≥≥?>0 )(0)()] ([)(0)(0)()()(2x g x f x g x f x g x f x g x f 或 ??? ??<≥≥?<2 )] ([)(0 )(0 )()()(x g x f x g x f x g x f

一元二次不等式及其解法教学设计

一元二次不等式及其解法【设计思想】新的课程标准指出：数学课程应面向全体学生；促进学生获得数学素养的培养和提高；逐步形成数学观念和数学意识；倡导学生探究性学习。这与建构主义教学观相吻合。本节课正是基于上述理念，通过对已学知识的回忆，引导学生主动探究。强调学习的主体性，使学生实现知识的重构，培养学生“用数学”的意识。本节课的设计以问题为中心，以探究解决问题的方法为主线展开。这种安排强调过程，符合学生的认知规律，使数学教学过程成为学生对书本知识的再创造、再发现的过程，从而培养学生的创新意识。【教材分析】本节课是人教社普通高中课程标准实验教材数学必修5第三章《不等式》第二节一元二次不等式及其解法，本节主要内容是从实际问题中建立一元二次不等式，并能解一元二次不等式。这一节共分三个课时，本节课属于第一课时，课题为《一元二次不等式及其解法》。学数学的目的在于用数学，除了让学生探究并掌握一元二次不等式的解法外，更重要的是要领悟函数、方程、不等式的密切联系，体会数形结合，分类讨论，等价转换等数学思想。【学情分析】学生在初中就开始接触不等式，并会解一元一次不等式。【教学目标】知识与技能：通过学生自主预习与课上探究掌握一元二次方程、一元二次不等式、二次函数之间的关系和一元二次不等式的解法；过程与方法：自主探究与讨论交流过程中，培养学生运用等价转化和数形结合等数学思想解决数学问题的能力；情感态度价值观：培养学生的合作意识和创新精神。【教学重点】一元二次不等式的解法。【教学难点】一元二次方程、一元二次不等式和二次函数的关系。【教学策略】探究式教学方法（创设问题情境——界定问题——选择问题解决策略——执行策略——结果评价）【课前准备】教具：“几何画板”及PPT课件. 粉笔：用于板书示范.

含参不等式解法举例

含参不等式专题（淮阳中学）编写：孙宜俊当在一个不等式中含有了字母，则称这一不等式为含参数的不等式，那么此时的参数可以从以下两个方面来影响不等式的求解，首先是对不等式的类型（即是那一种不等式）的影响，其次是字母对这个不等式的解的大小的影响。我们必须通过分类讨论才可解决上述两个问题，同时还要注意是参数的选取确定了不等式的解，而不是不等式的解来区分参数的讨论。解参数不等式一直是高考所考查的重点内容，也是同学们在学习中经常遇到但又难以顺利解决的问题。下面举例说明，以供同学们学习。解含参的一元二次方程的解法，在具体问题里面，按分类的需要有讨论如下四种情况：（1）二次项的系数；（2）判别式；（3）不等号方向（4）根的大小。一、含参数的一元二次不等式的解法： 1．二次项系数为常数（能分解因式先分解因式，不能得先考虑0≥?）例1、解关于x 的不等式0)1(2>++-a x a x 。解：0)1)((2>--x a x 1,0)1)((==?=--x a x x a x 令为方程的两个根（因为a 与1的大小关系不知，所以要分类讨论）（1）当1或（2）当1>a 时，不等式的解集为}1|{<>x a x x 或（3）当1=a 时，不等式的解集为}1|{≠x x 综上所述：（1）当1 或（2）当1>a 时，不等式的解集为}1|{<>x a x x 或（3）当1=a 时，不等式的解集为}1|{≠x x 变题1、解不等式0)1(2>++-a x a x ； 2、解不等式0)(322>++-a x a a x 。