数列
数列
一、选择题
1、已知数列{}n a 为等差数列，n S 是它的前n 项和.若21=a ，123=S ，则=4S （ ）
．10
．16
．20
．24
2、已知数列{}n a 为等差数列，且1713212,tan()a a a a a π++=+则的值为（ ）
.
.
.3、已知数列{}n a 是正数组成的等比数列，n S 是它的前n 项和.若1243,144a a a ==，则5S 的值是（ ）
．692
．
69 ．
93 ．1894、等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若12341a a a a +++=，56782a a a a +++=，15n S =，则项数n 为（ ）
．
12
．
14
．
15
．16
5、各项都为正数的等比数列{}n a 中，161232,a a a a a ==，则公比q 的值为（ ）
．
2
．3
6、设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若0852=+a a ，则下列式子中数值不能确定的是（ ）
．
3
5
a a
．
3
5
S S
．
n
n a a 1
+
．
n
n S S 1
+ 7、已知各项均不为零的数列{}n a ,定义向量1(,)n n n a a +=c ，(,1)n n n =+b ，*n N ∈.下列命题中为真命题的是（ ）
. 若*n N ?∈总有//n n c b 成立，则数列{}n a 是等差数列
. 若*n N ?∈总有//n n c b 成立，则数列{}n a 是等比数列
. 若*n N ?∈总有n n ⊥c b 成立，则数列{}n a 是等差数列
. 若*n N ?∈总有n n ⊥c b 成立，则数列{}n a 是等比数列 8、在数列{a n }中，对任意*n ?N ，都有
21
1n n n n
a a k a a +++-=-（k 为常数），则称{a n }为“等差比数列”. 下面对
“等差比数列”的判断： ①k 不可能为0；②等差数列一定是等差比数列；③等比数列一定是等差比数列；④通项公式为(0,0,1)n n a a b c a b
=?构的数列一定是等差比数列，其中正确的个数为（ ）
. 1
. 2
. 3
. 4
9、已知曲线1:(0)C y x =>及两点11(,0)A x 和22(,0)A x ，其中210x x >>.过12,A A 分别作x 轴的垂线，
交曲线于12,B B 两点，直线12B B 与x 轴交于点33(,0)A x ，那么（ ）
．3
12
,
,2x x x 成等差数列
．3
12
,
,2x x x 成等比数列
．132,,x x x 成等差数列
．132,,x x x 成等比数列
10、设125,,
,a a a 是从-1，0，1
这三个整数中取值的数列，若
222212501509,(1)(1)(1)107a a a a a a +++=++++++= 且，则1250,,,a a a 中数字0的个数为
（ ）
.11
.12
.13
.14
二、填空题
11、已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若5420a a =-，则8S = 12、已知数列{}n a 满足122a =，12n n a a n +-=，则数列{}n a 的通项公式为 13、如图，是一个程序框图，则输出的结果为___________.
14、2011年3月11日，日本9.0级地震造成福岛核电站发生核泄漏危机。如果核辐射使生物体内产生某种变异病毒细胞，若该细胞开始时有2个，记为02a =，它们按以下规律进行分裂，1 小时后分裂成4个并死去1个，2小时后分裂成6个并死去1个，3小时后分裂成10个并死去1 个，……,记n 小时后细胞的个数为n a ，则n a =________(用n 表示) ． 三、解答题
15、已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，公差0d >，且
4738135,24
a a a a =+=. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）若122()333
n n n b b b S n N *
=
+++∈L ，求数列{}n b 的前n 项和为n T . 16、设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且(1)n n S a λλ=+-，其中λ是不等于-1和0的常数.
（1）证明{}n a 是等比数列；
（2）设数列{}n a 的公比()q f λ=，数列{}n b 满足111,()(,2)3
n n b b f b n N n -==∈≥，求数列1{}n
b 的
前n 项和n T .
17、已知{}n a 是各项均为正数的等比数列，且1234123411112,32.a a a a a a a a ????
+=++=+ ? ?????
（1）求{}n a 的通项公式；
（2）设2
2log n n n b a a =+，求数列{}n b 的前n 项和.n T
18、已知数列{},{}n n a b 满足112,21,1(0)n n n n n n a a a a b a b +==+=-≠. （1）求证：数列1{}n
b 是等差数列，并求数列{}n a 的通项公式；
（2）令1n n n C b b +=，n S 是数列{}n C 的前n 项和，求证：1n S <.
19、已知等比数列{}n a 的首项12011a =，公比1
2
q =-，数列{}n a 前n 项和记为n S ，前n 项积记为()n ∏ （1）证明21n S S S ≤≤ （2）判断
()n ∏与(1)n +∏的大小，n 为何值时，()n ∏取得最大值；
（3）证明{}n a 中的任意相邻三项按从小到大排列，总可以使其成等差数列，如果所有这些等差数列的
公差按从小到大的顺序依次设为123,,,n d d d d ，证明:数列{}n d 为等比数列。 （参考数据10
21024=）
20、已知每项均是正整数的数列A ：123,,,,n a a a a ，其中等于i 的项有i k 个(1,2,3)i =???，设
j j k k k b +++= 21 (1,2,3)j = ，12()m g m b b b nm =+++- (1,2,3)m =???.
（1）设数列:1,2,1,4A ，求(1),(2),(3),(4),(5)g g g g g ；
（2）若数列A 满足12100n a a a n +++-= ，求函数)(m g 的最小值.
参考答案
1、选.根据题意，1132312,22
a d a ??+=?
??=?，41
432,4202d S a d ?∴=∴=+=，故正确. 2、
选
.根据等差数列性质,11372a a a +=，773,3
a a π
π∴==
，2127223
a a a π
+==
，2122tan()tan
3
a a π
∴+==
正确. 3
、选. 24241144,a a a q == 2112a q ∴=.又因为数列{}n a 是各项均为正数， 且13a =，2q ∴=，
5515(1)3(21)931a q S q
-∴==-=-,故正确.
4、
选
.方法一：1234567812a a a a a a a a +++=??+++=? ,414
5(1)
1,1(1)2
1a q q
a q q ?-=?-?∴?-?=?-?
，412,11q a q ?=?∴?=-?-?，15n S = ，即1(1)151n a q q
-=-，44
4115,16,()16,216,4,164n n
n n n q q q n ∴-=-∴=∴=∴=∴==，故正确.
方法二： 41234567812341,()2a a a a a a a a q a a a a +++=+++=+++= ，4
2q ∴=，
891011121234()4a a a a q a a a a ∴+++=+++=， 12131415161234()8a a a a q a a a a ∴+++=+++=，
12341314151615a a a a a a a a ∴++++++++= ，16n ∴=.故正确
5、选. 533612311,a a a a a q a q =∴= ，又12a =，等比数列{}n a 为正项数列，2q ∴=,故正确.
6、选. 3525280,8,8,2a a a q q a +=∴=-∴=-=- . 2
53a q a = ,其值可确定，
故错误；553
311S q S q -=-,其值也可确定，故错误；1
n n a q a +=,其值也可确定，故错误；而1111n n n
n S q S q
++-=-,其值与n 相关，无法确定，故正确.
7、选. 若//n n c b ，则1(1)n n n a na ++=，即11n n
a a n n
+=+，于是1n a na =，故A 正确. 8、选. 若k=0,则
211n n n n a a a a +++--将无意义，故①正确；若等差数列是常数列, 21
1n n n n
a a a a +++--将无意义，故②错
误；若等比数列为非零常数列，则
21
1n n n n
a a a a +++--也无意义，故③错误；若(0,0,1)n
n a a b c a b =?构,则
21
2111n n n n n n
n n a a a b a b b a a a b a b ++++++-? ==-? ，故④正确.综上可知，正确的命题个数为2，故选.
9、选.由题意，12,B B 两点的坐标为121211(,),(,)x x x x ,所以直线12B B 的方程为：1121
11()y x x x x x =--+，
令y=0，得12x x x =+，312x x x ∴=+.因此，3
12
,
,2x x x 成等差数列,故正确. 10、选.设1250,,,a a a 中数字0的个数为m , 数字1的个数为n ，则数字-1的个数为50-m -n ，由题意，
(50)9,4107n m n m n ---=??+=?解得11,
24m n =??
=?
，因此数字0的个数为11，故选. 11、解析：由4520a a +=知，188458()
4()420802
a a S a a +==+=?=. 答案：80
12、解析：通过累加求和，得12[123(1)](1)n a a n n n -=++++-=- ，因此222n a n n =-+. 答案：222n a n n =-+
13、解析：输出结果为1111122334
9102105
+++
=-=??? . 答案：25
14、解析：按规律，1413a =-=，22315a =?-=，32519a =?-=，……，121n n a a +=-； ∴112(1)n n a a +-=-，即{}1n a -是等比数列，其首项为2，公比为2，故12n n a -=，∴n a =21n +．
（本题也可由1321a ==+，22521a ==+，33921a ==+，……，猜想出n a =21n
+．） 答案：21n
+
15.解：（1）由公差0d >，且384747
24
135a a a a a a +=+=??=?，
解得47
9
15a a =??
=?，
∴ 74
23
a a d -=
=，∴ ()4421n a a n d n =+-=+． （2）当2n ≥时，122333n n n b b b S =+++L , ①，
112121
333
n n n b b b
S ---=+++L , ②，
①－②得：1213n
n n n n
b S S a n --=
==+， ∴ ()213n
n b n =+? ()2n ≥． 当1n =时，1
133
b S ==
， ∴ 19b =也符合上式，故 ()213
n n b n =+? ()
n ∈*
N ． ()()1213353213213n n n T n n -=?+?++-?++?L , ③ ()()23133353213213n n n T n n +=?+?++-?++?L , ④
③－④得：()
()231292333213n n n T n +-=+?+++-+?L
()19139213
n --=+?
-－()1
213
n n ++?
1
23n n +=-?．
∴ 13n n T n +=?．
16.解：（1）(1)n n S a λλ=+- ，
11(1)(2)n n S a n λλ--∴=+-≥，
则1n n n a a a λλ-=-+，即1(1)n n a a λλ-+=， 又1λ≠-且0λ≠，
11
n
n a a λλ-∴
=+，又11a =， {}n a ∴是以1为首项，1
λλ+为公比的等比数列.
（2）由（1）知，()1
q f λλλ==
+，
1
11
()(2)1n n n n b b f b n b ---∴==
≥+.
故有1
1
1
1111n n
n n b b b b ---+=
=+， 1
111(2)n n n b b -∴-=≥，
1{}n
b ∴是以3为首项，1为公差的等差数列，
2(1)5322
n n n n n
T n -+∴=+
=
. 17.解：（1）设等比数列{}n a 的公比为q ，则11n n a a q -=，由已知得
11
112
31123
11
112()
1132()a a q a a q a q a q a q a q ?+=+??
?+=+??? 化简得2
1251(1)2(1)(1)32(1)a q q q a q q q ?+=+??+=+??
即2
1251232
a q a q ?=??=?? 又10,0a q >> ，解得11
2
a q =??
=?
12n n a -∴=.
（2）由（1）知，2
12log 4(1)n n n n b a a n -=+=+-
21(1444)(1231)
(1)41 32
n n n T n n n -∴=+++++++++---=+
18.解：（1）1,1n n n n b a a b =-∴=+ ， 又121n n n a a a +=+ ，
12(1)1(1)(1)n n n b b b +∴+=+++，
化简得11n n n n b b b b ++-=.
111
0,1n n n n n n n b b
b b b b b +++≠∴
-= ， 即1111()n n
n N b b *
+-=∈，
又1
11111121
b a =
==--， 1{}n b ∴是首项为1，公差为1的等差数列.
111(1),n n n n b b n
∴=+-=∴=，
111n n a n n
+∴=+=.
（2）由题意，111(1)1
n C n n n n =
=-++，
1211111 (1)()()2231
1
11
n n
S C C C n n n ∴=+++=-+-++-+=-+
1,111
n N n *∈∴-<+ ，
即1n S <成立.
19.解：（1）111[1()]
221[1()]1321()n n n a S a --=
=---- ① 当n 是奇数时，11()()22n
n
-=-，当n=1时，1()2
n
-最小，
② 当n 是偶数时，11()()22n
n
-=，当n=2时，1()2
n
最大；
综上，21n S S S ≤≤ （2）123
|
()|||n
n a a a a
=∏ ，
1|(1)|
1||2011()2|()|
n n n a n ++∴
==∏∏，
1110
20112011122<<
， 则当10n ≤时，|
(1)||()|n n +>∏∏；当11n ≥时，|(1)||()|n n +<∏∏，
max |()||(11)|n ∴=∏∏，
又
(10)0,(11)0,(9)0,(12)0<<>>∏∏∏∏， ()n ∴∏的最大值是(9),(12)∏∏中的较大者. 103101112
(12)1[2011()]12
(9)
a a a ==->∏∏
，
(12)(9)∴>∏∏，因此当n=12时，()n ∏最大.
（3）对1,n n a a +进行调整，||n a 随n 增大而减小，{}n a 奇数项均正，偶数项均负. ①当n 是奇数时，调整为12,,n n n a a a ++.则
1111111()()2n n n n n a a a a a -++=-+-=，1121
122()2n n n a a a ++=-=， 12122,,,n n n n n n a a a a a a ++++∴+=成等差数列；
②当n 是偶数时，调整为21,,n n n a a a ++；则
1111111()()222n n n n n a a a a a -++=-+-=-，1121122()22n n n a a a ++=-=-， 12212,,,n n n n n n a a a a a a ++++∴+=成等差数列；
综上可知，{}n a 中的任意相邻三项按从小到大排列，总可以使其成等差数列.
①n 是奇数时，公差11
2111
311[()()]222
n n n n n n a d a a a ++++=-=---=； ②n 是偶数时，公差111211311[()()]222
n n n n n n a
d a a a +-++=-=---=.
无论n 是奇数还是偶数，都有1
132
n n a d +=
，则112n n d d -=， 因此，数列{}n d 是首项为134a ，公比为12的等比数列.
20、解：（1）根据题设中有关字母的定义，
12342,1,0,1,0(5,6,7)j k k k k k j ======
12342,213,2103,4,4(5,6,7,)m b b b b b m ==+==++====
112123123412345(1)412(2)423,(3)434,(4)444,
(5)45 4.g b g b b g b b b g b b b b g b b b b b =-?=-=+-?=-=++-?=-=+++-?=-=++++-?=-
（2）一方面，1(1)()m g m g m b n ++-=-，根据“数列A 含有n 项”及j b 的含义知1m b n +≤， 故0)()1(≤-+m g m g ，即)1()(+≥m g m g 另一方面，设整数{}12max ,,,n M a a a = ，则当m M ≥时必有m b n =， 所以(1)(2)(1)()(1)g g g M g M g M ≥≥≥-==+= 所以()g m 的最小值为(1)g M -. 下面计算(1)g M -的值：
1231(1)(1)M g M b b b b n M --=++++--
1231()()()()M b n b n b n b n -=-+-+-++- [来源:Z#xx#https://www.wendangku.net/doc/2217888538.html,][来源:学科网ZXXK] 233445()()()()M M M M k k k k k k k k k k =----+----+----++- 23[2(1)]M k k M k =-+++-
12312(23)()M M k k k Mk k k k =-++++++++ 123()n M a a a a b =-+++++ 123()n a a a a n =-+++++
∵123100n a a a a n ++++-= ， ∴(1)100,g M -=- ∴()g m 的最小值为100-.
函数与数列的极限的强化练习题答案(含详细分析)
第一讲：函数与数列的极限的强化练习题答案 一、单项选择题 1．下面函数与y x =为同一函数的是（） 2 .A y= .B y= ln .x C y e =.ln x D y e = 解：ln ln x y e x e x === Q，且定义域 () , -∞+∞，∴选D 2．已知?是f的反函数，则() 2 f x的反函 数是（） () 1 . 2 A y x ? =() .2 B y x ? = () 1 .2 2 C y x ? =() .22 D y x ? = 解:令() 2, y f x =反解出x：() 1 , 2 x y =?互 换x，y位置得反函数() 1 2 y x =?，选A 3．设() f x在() , -∞+∞有定义，则下列函数 为奇函数的是（） ()() .A y f x f x =+- ()() .B y x f x f x =-- ?? ?? () 32 .C y x f x = ()() .D y f x f x =-? 解：() 32 y x f x = Q的定义域() , -∞+∞且 ()()()()() 3232 y x x f x x f x y x -=-=-=- ∴选C 4．下列函数在() , -∞+∞内无界的是（） 2 1 . 1 A y x = + .arctan B y x = .sin cos C y x x =+.sin D y x x = 解: 排除法：A 2 1 122 x x x x ≤= + 有界， B arctan 2 x π <有界， C sin cos x x +≤ 故选D 5．数列{}n x有界是lim n n x →∞ 存在的（） A 必要条件 B 充分条件 C 充分必要条件 D 无关条件 解：Q{}n x收敛时，数列n x有界（即 n x M ≤），反之不成立，（如() {}11n--有界， 但不收敛， 选A 6．当n→∞时，2 1 sin n 与 1 k n 为等价无穷小， 则k= （） A 1 2 B 1 C 2 D -2 解：Q 2 2 11 sin lim lim1 11 n n k k n n n n →∞→∞ ==，2 k=选C 二、填空题（每小题4分，共24分） 7．设() 1 1 f x x = + ，则() f f x ?? ??的定义域 为
数列经典题目集锦答案
数列经典题目集锦一 一、构造法证明等差、等比 类型一：按已有目标构造 1、 数列{a n }，{b n }，{c n }满足：b n ＝a n －2a n ＋1，c n ＝a n ＋1＋2a n ＋2－2，n ∈N * . (1) 若数列{a n }是等差数列，求证：数列{b n }是等差数列； (2) 若数列{b n }，{c n }都是等差数列， 求证：数列{a n }从第二项起为等差数列； (3) 若数列{b n }是等差数列，试判断当b 1＋a 3＝0时， 数列{a n }是否成等差数列？证明你的结论． 类型二： 整体构造 2、设各项均为正数的数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1＝1，且(S n ＋1＋λ)a n ＝(S n ＋1)a n ＋1对一切n ∈N * 都成立． (1) 若λ＝1，求数列{a n }的通项公式； (2) 求λ的值，使数列{a n }是等差数列． 二、两次作差法证明等差数列 3、设数列{}n a 的前n 项和为{}n S ，已知11,6,1321===a a a ， 且* 1,)25()85(N n B An S n S n n n ∈+=+--+，（其中A ,B 为常数）． (1)求A 与B 的值；(2)求数列{}n a 为通项公式； 三、数列的单调性 4.已知常数0λ≥，设各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S , 满足：11a =，() 1 1131n n n n n n a S S a a λ+++= +?+（*n ∈N ）． （1）若0λ=，求数列{}n a 的通项公式； （2）若11 2 n n a a +<对一切*n ∈N 恒成立，数λ的取值围． 5.设数列{}n a 是各项均为正数的等比数列，其前n 项和为n S ，若1564a a =，5348S S -=. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）对于正整数,,k m l （k m l <<），求证：“1m k =+且3l k =+”是“5,,k m l a a a 这三项经适当排序 后能构成等差数列”成立的充要条件； （3）设数列{}n b 满足：对任意的正整数n ，都有121321n n n n a b a b a b a b --++++L 1 3246n n +=?--， 且集合*| ,n n b M n n N a λ??=≥∈???? 中有且仅有3个元素，求λ的取值围.
《数列的概念与简单表示法》第一课时教学设计
《数列的概念与简单表示法》第一课时教学设计 一、教材与教学分析 1．数列在教材中的地位 根据新课程的标准，“数列”这一章首先通过“三角形数”、“正方形数”等大量的实例引入数列的概念，然后将数列作为一种特殊函数，介绍数列的几种简单表示法，等差数列和等比数列.这样就把生活实际与数学有机地联系在一起,这是符合人们的认识规律,让学生体会到数学就在我们身边. 作为数列的起始课，为达到新课标的要求，从一开始就培养学生的研究意识、创新意识、合作意识和应用意识，打造数列教与学的良好开端。教学中从日常生活中大量实际问题入手，探索并掌握它们的一些基本数量关系，感受数列模型的广泛应用(如存款利息、购房贷款等与人们生活联系密切的现实问题)． 2．教学任务分析 (1)了解数列的概念 新课标的教学更贴近生活实际.通过实例，引入数列的概念，理解数列的顺序性，感受数列是刻画自然规律的数学模型．了解数列的几种分类． (2)了解数列是一类离散函数，体会数列中项与序号之间的变量依赖关系． 3．教学重点与难点 重点：理解数列的概念，认识数列是反映自然规律的基本数学模型． 难点：认识数列是一种特殊的函数，发现数列与函数之间的关系 二、教学方法 小组合作、探究学习模式 通过对问题情境的分析讨论的方式，运用从具体到抽象、从特殊到一般的思维训练方法，引导学生探究数学归纳法。 三、学习过程设计 【问题情境】 1．国际象棋的传说（在这张棋盘的第一个小格内，赏给我一粒麦子；在第二个小格内给两粒，第三格内给四粒，照这样下去，每一小格都比前一小格加一倍）：每格棋盘上的麦粒数排成一列数； 2．古语：一尺之棰，日取其半，万世不竭.每日所取棰长排成一列数； 3．童谣：一只青蛙，一张嘴 ，两只眼睛，四条腿； 两只青蛙，两张嘴 ，四只眼睛，八条腿； 三只青蛙，三张嘴 ，六只眼睛，十二条腿； 4．中国体育代表团参加六届奥运会获得的金牌数依次排成一列数 。 教师：以上四个问题中的数蕴涵着哪四列数呢？ 学生： 1：23631,2,2,2, ,2 2一列数：23451111122222???????? ? ? ? ?????????，，，，， 3： 青蛙 嘴 眼睛 腿 1 1 2 4 2 2 4 8 3 3 6 12 4 4 8 16
数列全部题型归纳(非常全面,经典!)
创作编号： GB8878185555334563BT9125XW 创作者： 凤呜大王* 数列百通 通项公式求法 (一)转化为等差与等比 1、已知数列{}n a 满足11a =，n a =,n N *∈２≤n ≤８） ，则它的通项公式n a 什么 2.已知{}n a 是首项为2的数列，并且112n n n n a a a a ---=，则它的通项公式n a 是什么 3.首项为2的数列，并且23 1n n a a -=，则它的通项公式n a 是什么
4、已知数列{}n a 中，10a =，11 2n n a a += -，*N n ∈. 求证：11n a ?? ??-?? 是等差数列；并求数列{}n a 的通项公式； 5.已知数列{}n a 中，13a =，1222n n a a n +=-+，如果2n n b a n =-，求数列{}n a 的通项公式 创作编号： GB8878185555334563BT9125XW 创作者： 凤呜大王*
（二）含有n S 的递推处理方法 1）知数列{a n }的前n 项和S n 满足log 2（S n +1）=n +1，求数列{a n }的通项公式. 2.）若数列{}n a 的前n 项和n S 满足，2 (2)8 n n a S +=则，数列n a 3）若数列{}n a 的前n 项和n S 满足，111 ,0,4 n n n n a S S a a -=-≠=则，数列n a
4）12323...(1)(2)n a a a na n n n +++=++ 求数列n a （三） 累加与累乘 （1）如果数列{}n a 中111,2n n n a a a -=-=(2)n ≥求数列n a 创作编号： GB8878185555334563BT9125XW 创作者： 凤呜大王* （2）已知数列}{n a 满足31=a ，)2() 1(1 1≥-+ =-n n n a a n n ，求此数列的通项公式
(完整版)数列经典试题(含答案)
强力推荐人教版数学高中必修5习题 第二章 数列 1．{a n }是首项a 1＝1，公差为d ＝3的等差数列，如果a n ＝2 005，则序号n 等于( )． A ．667 B ．668 C ．669 D ．670 2．在各项都为正数的等比数列{a n }中，首项a 1＝3，前三项和为21，则a 3＋a 4＋a 5＝( )． A ．33 B ．72 C ．84 D ．189 3．如果a 1，a 2，…，a 8为各项都大于零的等差数列，公差d ≠0，则( )． A ．a 1a 8＞a 4a 5 B ．a 1a 8＜a 4a 5 C ．a 1＋a 8＜a 4＋a 5 D ．a 1a 8＝a 4a 5 4．已知方程(x 2－2x ＋m )(x 2－2x ＋n )＝0的四个根组成一个首项为 41的等差数列，则 ｜m －n ｜等于( )． A ．1 B ．43 C ．21 D ． 8 3 5．等比数列{a n }中，a 2＝9，a 5＝243，则{a n }的前4项和为( ). A ．81 B ．120 C ．168 D ．192 6．若数列{a n }是等差数列，首项a 1＞0，a 2 003＋a 2 004＞0，a 2 003·a 2 004＜0，则使前n 项和S n ＞0成立的最大自然数n 是( )． A ．4 005 B ．4 006 C ．4 007 D ．4 008 7．已知等差数列{a n }的公差为2，若a 1，a 3，a 4成等比数列, 则a 2＝( )． A ．－4 B ．－6 C ．－8 D ． －10 8．设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若 35a a ＝95，则59S S ＝( )． A ．1 B ．－1 C ．2 D ．2 1 9．已知数列－1，a 1，a 2，－4成等差数列，－1，b 1，b 2，b 3，－4成等比数列，则 212b a a 的值是( )． A ．21 B ．－21 C ．－21或21 D ．4 1 10．在等差数列{a n }中，a n ≠0，a n －1－2n a ＋a n ＋1＝0(n ≥2)，若S 2n －1＝38，则n ＝( )．
沪教版高三C专题(二轮复习-函数与数列3星)
专题：函数与数列★★★ 教学目标 1．理解并能知道数列是一个定义域在N *上的函数； 2．掌握好等差数列的相关函数性质． 知识梳理 5 min 1．数列的定义：数列可以看作以正整数集（或它的有限子集）为定义域的函数()n a f n =，当自变量按照从小到大的顺序依次取值时，所对应的一列函数值； 2．等差数列的通项公式：11(1)()n a a n d dn a d n N * =+-=+-∈，不难看出： 当0d =，则等差数列为一个常数列； 当0d ≠，则等差数列的通项公式可以看作是一个一次函数． 3．等差数列的前n 项和公式：2111()(1)()()2222 n n n a a n n d d S a n d n a n n N *+-= =+=+-∈． 当0d =，则等差数列前n 项和为一次函数（10a ≠）； 当0d ≠，则等差数列前n 项和为过原点的二次函数，开口方向由d 的符号决定． 典例精讲 33 min 例1．(★★)设数列{}n a 的通项公式是14 13--=n n a n ，则该数列中最最大的项是第__________项，最小 的项是第__________项． 解：131414131413 1141414 n n n a n n n --+--= ==+---， 由函数图象可知：最大的项是第4项，最小的项是第3项． 例2．(★★★)已知数列2 n a n kn =-为递增数列，则k 的取值范围是__________． 解：结合函数图象可知：对称轴3 (,)22 k n = ∈-∞，则3k <．
例3．(★★★)已知数列{}n a 满足1116,2n n a a a n +=-=，则n a n 的最小值为__________． 解：由题意得：2 16n a n n =-+，16 121617n a n n n ∴ =+-≥-=， 当且仅当16 n n = ，即4n =时等号成立． 课堂检测 1．(★★★)公差为d ，各项均为正整数的等差数列中，若11,51n a a ==，则n d +的最小值为__________． 解：150(1)1n a a n d d n =+-?= -，则5050 11250111 n d n n n n +=+=-++≥+--， 但n N * ∈ ，∴能成立，所以根据分析得：当115n d =?? =?或6 10n d =??=? 时，原式有最小值16． 2．(★★★)已知数列{}n a 的通项公式为9(1)( )10 n n a n =+，是否存在自然数m ，使对于一切n N *∈，n m a a ≤恒成立？若存在，求出m 的值；若不存在，说明理由． 解：本题只要求出数列n a 的最大值即可，所以根据119 8n n n n a a n a a n -+≥≤?????≥≥??， 所以8m =或9m =时满足题意． 3．(★★★)已知等差数列{}n a 中，120032004200320040,0,0a a a a a >+>?<，则使前n 项和0n S >成立的最大自然数n 是__________． 解：由题意得：2003140054005200414007400720032004140064006000 00000 a a a S a a a S a a a a S >+>>?????? +>>???，所以4006n =． 4．(★★★★)已知函数121()(0),,4x f x m x x R m =>∈+，当121x x +=时，12 1 ()()2 f x f x +=． （1） 求()f x 的解析式； （2） 数列{}n a ，若1 21(0)()()( )()n n n a f f f f f n n n n -=+++++ ，求n a ； （3） 对任意的自然数n N * ∈，1 1 n n n n a a a a ++<恒成立，求正实数a 的取值范围． 解：（1）令1212x x == ，则有111222m m +=++，得2m =.1 ()42 x f x =+；
精品高考数列经典大题
精品高考数列经典大题 2020-12-12 【关键字】条件、满足 1.等比数列{}n a 的各项均为正数，4352,,4a a a 成等差数列，且2322a a =． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设()()25 2123n n n b a n n += ++，求数列{}n b 的前n 项和n S ． 2.已知数列{}n a 满足：11a =，且对任意∈n N *都有 n a ++ += ． （Ⅰ）求2a ，3a 的值； （Ⅱ）求数列{}n a 的通项公式； n n a a ++∈n N *）． 3.已知数列}{n a 满足且01=a *)(),1(2 1 21N n n n S S n n ∈++=+ （1）求23,,a a :并证明12,(*);n n a a n n N +=+∈ （2）设*),(1N n a a b n n n ∈-=+求证：121+=+n n b b ； （3）求数列*)}({N n a n ∈的通项公式。 4．设b>0,数列}{n a 满足b a =1,)2(1 11 ≥-+= --n n a nba a n n n ．（1）求数列}{n a 的通项公 式；（2）证明：对于一切正整数n ,121+≤+n n b a ． 5： 已知数列{}n a 是等差数列，() *+∈-=N n a a c n n n 21 2 （1）判断数列{}n c 是否是等差数列，并说明理由；（2）如果 ()为常数k k a a a a a a 13143,130********-=+++=+++ ，试写出数列{}n c 的 通项公式；（3）在（2）的条件下，若数列{}n c 得前n 项和为n S ，问是否存在这样的实数k ，使n S 当且仅当12=n 时取得最大值。若存在，求出k 的取值范围；
数列与函数相结合题型求解方法
数列与函数相结合的题型求解方法 在解数列综合题中经常碰到与函数相结合的题目，对于这类题目不少学生感到难度较大，其主要原因是有的学生难以运用函数知识进行解题。本文通过具体的例子来说明这类题型的求解方法。 1．与一次函数相结合 例1．设数列{a n }的前n项之和是，a, b是常数，且b≠a。 (1)证明：数列{a n }是等差数列； (2)证明：以为坐标的点P n (n=1,2,3,……）都在同一直线上，并写出此直线方程。 （1993年上海高考题） 分析：要证数列{a n }是等差数列，只要证a n =kn+t (其中k, t是常数)，即数列的通项是关于n的一次函数即 可， ∵ S n =an+bn(n-1), ∴ 即 ∴a n =a+2(n-1)b，从而数列a n 的通项是关于n的一次函数，所以数列{a n }是等差数列。 (2)要证以为坐标的点P n (n=1,2,3,……）都在同一直线上， 只要证P n (n≥2且n∈N)与第一点连线的斜率为定值即可。因为 ， 所以，以为坐标的点P n (n=1,2,3,……）都在过(a, a-1)且斜率为的同一直线上，
所以所求的直线方程为，即x-2y+a-2=0。2．与二次函数相结合 例2．在直角坐标平面上有一点列P 1(a 1 ,b 1 ),P 2 (a 2 ,b 2 ),P 3 (a 3 ,b 3 ),……,P n (a n ,b n ),……,对每一个自然数n,点 P n (a n ,b n )在函数y=x2的图象上，且点P n (a n ,b n ),点A(n,0),点B(n+1,0)，构成一个以点P n (a n ,b n )为顶点的等腰三角 形。 (1)求对每一个自然数n，以点P n 纵坐标构成的数列b n 的通项公式； (2)令，求的值。 分析：(1) 由P n A=P n B可得。 又∵ P n (a n ,b n )在函数y=x2的图象上，∴. (2)∵ , ∴ 3．与指数函数相结合 例3．在xOy平面上有一点列P 1(a 1 ,b 1 ),P 2 (a 2 ,b 2 ),P 3 (a 3 ,b 3 ),……,P n (a n ,b n ),……对每一个自然数n，点 P n (a n ,b n )在函数y=的图象上，且点P n (a n ,b n )，点(n,0)与点(n+1,0)构成一个以点 P n (a n ,b n )为顶点的等腰三角形。 (1)求点P n (a n , b n )的纵坐标b n 的表达式； (2)若对每一个自然数n, 以b n , b n+1 , b n+2 为边长能构成一个三角形，求a的范围； (3)设B n =b 1 b 2 b 3 ……b n (n∈N + )，若a是(2)中确定的范围内的最小整数时，求{B n }的最大项是第几项？
函数导数与数列结合题
1已知函数)0.()1ln()(2≤++=a ax x x f (1)若)(x f 在0=x 处取得极值，求ａ的值； (2)讨论)(x f 的单调性； (3)证明：e N n e n ,()311)...(8111)(911(*2∈<++ +为自然对数的底数） （本题满分14分） （1）()()的使x f x a x x x f 0,122=++=' 一个极值点，则 ()0,00=∴='a f ，验证知a=0符合条件…………………….3分 （2）()2221212x a x ax a x x x f +++=++=' 1）若a=0时， ()+∞∴,0)(在x f 单调递增，在()0,∞-单调递减； 2）若()恒成立，对时，得，当R x x f a a ∈≤'-≤? ??≤?<0100 R x f 在)(∴上单调递减…………………………………6分 3）若()020012 >++>'<<-a x ax x f a 得时，由 a a x a a 2 21111---<<-+-∴ 再令()可得,0<'x f a a x a a x 2 21111-+-<--->或 上单调递增，在)11,11()(2 2a a a a x f ----+-∴ 在上单调递减和),11()11,(2 2+∞----+--∞a a a a 综上所述，若),()(1+∞-∞-≤在时，x f a 上单调递减， 若时，01<<-a 上单调递增，在)11,11()(2 2a a a a x f ----+-
上单调递减和),11()11,(2 2+∞----+--∞a a a a 。 若()()分单调递减，单调递增，在在时，9..................0,0)(0∞-+∞=x f a (3)由（2）知，当()单调递减，在时，∞+∞--=)(1x f a 当()0)0()(,0=<+∞∈f x f x 时，由 分14.......................,.........)3 11)...(8111)(911(21311213 113113131......3131)3 11ln(......)8111ln()911()]311)...(8111)(911ln[()1ln(2122222e e x x n n n n n n =<+++∴
高中数列经典题型 大全
高中数学：《递推数列》经典题型全面解析 类型1 )(1n f a a n n +=+ 解法：把原递推公式转化为)(1n f a a n n =-+，利用累加法(逐差相加法)求解。 例:已知数列{}n a 满足211=a ，n n a a n n ++=+2 11 ，求n a 。 类型2 n n a n f a )(1=+ 解法：把原递推公式转化为 )(1 n f a a n n =+，利用累乘法(逐商相乘法)求解。 例:已知数列{}n a 满足321=a ，n n a n n a 11+=+，求n a 。 例:已知31=a ，n n a n n a 2 3131 +-=+ )1(≥n ，求n a 。 类型3 q pa a n n +=+1（其中p ，q 均为常数，)0)1((≠-p pq ）。 例:已知数列{}n a 中，11=a ，321+=+n n a a ，求n a . 变式:递推式：()n f pa a n n +=+1。解法：只需构造数列{}n b ，消去()n f 带来的差异． 类型4 n n n q pa a +=+1（其中p ，q 均为常数，)0)1)(1((≠--q p pq ）。 （1n n n a pa rq +=+, 其中p ，q, r 均为常数） 。 例:已知数列{}n a 中，65 1=a ,11)2 1(31+++=n n n a a ，求n a 。 类型5 递推公式为n n n qa pa a +=++12（其中p ，q 均为常数）。 解法一（待定系数——迭加法）:数列{}n a ：),0(025312N n n a a a n n n ∈≥=+-++， b a a a ==21,，求数列{}n a 的通项公式。 解法二（特征根法）：数列{}n a ：),0(025312N n n a a a n n n ∈≥=+-++， b a a a ==21,的特征 方程是：02532=+-x x 。 32,121= =x x Θ,∴1 2 11--+=n n n Bx Ax a 1)3 2(-?+=n B A 。又由b a a a ==21,，于是 ???-=-=??? ? ? ?+=+=)(32332b a B a b A B A b B A a 故1)32)((323--+-=n n b a a b a 例:已知数列{}n a 中，11=a ,22=a ,n n n a a a 3 1 3212+=++，求n a 。
2020年最新高考数学--以数列或集合为背景的解答题(原卷版)
专题二 压轴解答题 第五关 以数列或集合为背景的解答题 【名师综述】 以数列、集合为背景的数列解答题是上海高考常考题型之一，也是上海高考必考的重要考点．解答这类问题的思路依据题设条件，综合运用所学的知识和数学思想方法去分析问题和解决问题．本题的解答过程中，所有计算与求解都是推理论证能力的体现和数学思想方法的运用． 中学研究的特殊数列只有等差数列与等比数列，一个是线性数列，一个是类指数数列，但数列性质却远远不止这些，因此新数列的考查方向是多样的、不定的，不仅可考查函数性质，而且常对整数的性质进行考查．明确考查方向是解决以新数列为背景的解答题的前提，恰当运用对应性质是解决问题思想方法． 【典例解剖】 类型一 运用反证法处理排序数列问题 典例1．（2020·上海高三月考）有限个元素组成的集合为，，集合中的元素个数记为，定义，集合的个数记为，当 ，称集合具有性质． （1）设集合具有性质，判断集合中的三个元素是否能组成等差数列，请说明理由； （2） 设正数列的前项和为，满足，其中，数列中的前项：组成的集合记作，将集合中的所有元素 从小到大排序，即满足，求； （3） 已知集合，其中数列是等比数列，，且公比是有理数，判断集合是否具有性质，说明理由． {}12,,,n A a a a =L *n N ∈A ()d A {} ,A A x y x A y A +=+∈∈A A +()d A A +()()()() 12 d A d A d A A ?++= A Γ{}1,,M x y =ΓM {}n d n n S 1123n n S S +=+ 11 3 d ={}n d 20201232020,,,,d d d d L {}1232020,,,,d d d d L D D D +()*123,,,,k t t t t k N ∈L 123,,,,k t t t t L 123k t t t t <<<
三角函数与数列
三角函数与数列（高考题） 1.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且＋＝. (1)证明：sin A sin B＝sin C；(2)若b2＋c2－a2＝bc，求tan B. 2.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2cos C(a cos B＋b cos A)＝c. (1)求C； (2)若c＝，△ABC的面积为，求△ABC的周长． 3.在△ABC中，a2＋c2＝b2＋ac. (1)求∠B的大小； (2)求cos A＋cos C的最大值． 4.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知a sin 2B＝b sin A. (1)求B； (2)若cos A＝，求sin C的值．
5.设f(x)＝2sin(π－x)sin x－(sin x－cos x)2. (1)求f(x)的单调递增区间； (2)把y＝f(x)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再把得到的图象向左平移个单位，得到函数y＝g(x)的图象，求g的值． 6.设f(x)＝sin x cos x－cos2. (1)求f(x)的单调区间； (2)在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.若f＝0，a＝1，求△ABC面积的最大值． 7.△ABC中，D是BC上的点，AD平分∠BAC，△ABD面积是△ADC面积的2倍． (1)求；(2)若AD＝1，DC＝，求BD和AC的长．
8.已知向量＝，＝(sinx，cos2x)，x∈R,设函数f(x)＝·. (1) 求f(x)的最小正周期. (2) 求f(x) 在上的最大值和最小值． 9.已知ΔABC的角A，B，C所对的边分别是a，b，c，设向量，， ． （1）若知数列{a n}的前n项和S n＝3n2＋8n，{b n}是等差数列，且a n＝b n＋b n＋1. (1)求数列{b n}的通项公式； (2)令c n＝.求数列{c n}的前n项和T n. 11.设数列{a n}的前n项和为S n，已知S2＝4，a n＋1＝2S n＋1，n∈N*. (1)求通项公式a n；(2)求数列{|a n－n－2|}的前n项和． 12.已知数列的前项和为，且对一切正整数都成立。 （Ⅰ）求，的值；
7.数列的综合应用之一(数列与函数的综合)
数列的综合应用 数列综合应用题型分类: 一、数列与函数的综合; 二、数列与不等式的综合； 三、数列与平面解析几何的综合； 四、数列与极限、数学归纳法、导数等知识的综合。 数列与函数的综合应用 ——数列的综合应用之一 一、典例培析 1、已知函数2*1 ()(,,)ax f x a b N c R bx c += ∈∈+是奇函数，在区间(0,)+∞上()(1)f x f ≥恒成立，且(1)1f ≥ （1）求函数()f x 的解析式； （2）是否存在这样的区间D ：①D 是()f x 定义上的一个子区间；②对任意12,,x x D ∈当 1212120,|()||()|x x x x f x f x ><<且时有，若存在，求出区间D ；若不存在，说明理由。 （3）若数列{}n a ，{}n b 满足关系：111 ,()12n n n n n b a a f a b ++==-，当13a =时，求数列{} n b 的通项公式，且当{}n b 的前n 项之积1 128 n T ≥时，求n 的最大值。 2 、已知函数()2)f x x = <- （1）求()f x 的反函数1 ()f x -； （2）设1*11 1 1,()()n n a f a n N a -+==-∈，求n a ； （3）设22 2121, n n n n n S a a a b S S +=+++=- 是否存在最小正整数m ，使得对任意* n N ∈，都有25 n m b <成立？若存在，求出m 的值；若不存在，说明理由。
3、定义：称 12n n p p p +++ 为n 个正数12,,,n p p p 的“均倒数”。若已知数列{}n a 的前 n 项的“均倒数”为 1 21 n +， （1）求{}n a 的通项公式； （2）设21 n n a C n =+，试判断并说明*1()n n C C n N +-∈的符号； （3）设函数2()421 n a f x x x n =-+-+是否存在最大的实数λ，当x λ≤时，对一切* n N ∈， 都有()0f x ≤成立？若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由。 4、设数列{},{}n n a b 满足：1122336,4,3a b a b a b ======且数列1{}n n a a +-是等差数列，{2}n b -是等比数列。 （1）求数列{},{}n n a b 的通项公式； （2）是否存在* k N ∈，使1 02 k k a b <-< ？若存在，求出k ；若不存在，说明理由。 5、已知函数()log (01)a f x x a a =>≠且，若数列*122,(),()(),24()n f a f a f a n n N +∈ 成等差数列， （1）求{}n a 的通项公式； （2）若01a <<，数列{}n a 的前n 项和为n S ，求lim n n S →∞ ； (3)记n m S →表示这个数列的第n 项到第m 项共1m n -+项的和，求证： ,,n n m p p m S S →+→+*(2,,,)r r m S p r n m n p r N →+=+∈且成等比数列； （4）若2a =，设()n n n b a f a =?对任意* n N ∈，都有1()n b f t ->，求t 的范围。 6、已知*111 1()23n S n N n =++++∈ ，设211()n n f n S S ++=-，试确定实数m 的取值范围，使得对于任意2n ≥，不等式：2 2111()[log (1)][log ]20 m m f n m m ->--恒成立。
函数与数列综合复习
学员编号： 年 级：高二 课 时 数：2小时 学员姓名： 辅导科目：数学 学科教师：曾老师 课程主题：函数与数列综合复习 授课时间：2019. 学习目标 1．函数综合复习 2．数列综合复习 3．推升学生解题经验和运算巧 教学内容 数列综合卷一 一、选择题 1. 已知等差数列{}n a 满足56=28a a +，则其前10项之和为 （ ） A . 140 B . 280 C . 168 D . 56 2. 由公差为d 的等差数列a 1、a 2、a 3…重新组成的数列a 1+a 4， a 2+a 5， a 3+a 6…是 A ．公差为d 的等差数列 B ．公差为2d 的等差数列 C ．公差为3d 的等差数列 D ．非等差数列 3. 等差数列{}n a 的前m 项和为30，前m 2项和为100，则它的前m 3项和为( ) A.130 B.170 C. 210 D. 260 4．已知数列 满足：10a > ，11 2n n a a +=，则数列是（ ）[ A. 递增数列 B. 递减数列 C. 摆动数列 D. 不确定 5. 已知等差数列{a n }的公差为正数，且a 3·a 7=－12，a 4+a 6=－4，则S 20为（ ） A ．－90 B ．－180 C ．90 D ． 180 6．设数列的前n 项和，则8a 的值为（ ） A . 15 B. 16 C. 49 D. 64 7. 已知等比数列满足，且，则当 时， （ ） {}n a {}n a {}n a 2n S n ={}n a 0,1,2,n a n >=L 25252(3)n n a a n -?=≥1 n ≥2123221log log log n a a a -+++=L
数列典型例题(含答案)
《2.3 等差数列的前n项和》测试题 一、选择题 1.(2008陕西卷)已知是等差数列，，，则该数列前10项和 等于( ) A.64 B.100 C.110 D.120 考查目的：考查等差数列的通项公式与前项和公式及其基本运算. 答案：B 解析：设的公差为. ∵，，∴两式相减，得，.∴，. 2.(2011全国大纲理)设为等差数列的前项和，若，公差， ，则( ) A.8 B.7 C.6 D.5 考查目的：考查等差数列通项公式的应用、前项和的概念. 答案：D 解析：由得，，即，将， 代入，解得. 3.(2012浙江理)设是公差为的无穷等差数列的前项和，则下列命题错误的是( ) A.若，则数列有最大项 B.若数列有最大项，则 C.若数列是递增数列，则对任意，均有 D.若对任意，均有，则数列是递增数列 考查目的：考查等差数列的前项和公式及其性质. 答案：C 解析：根据等差数列的前项和公式，可得，因为，所以其图像表示的一群孤立的点分布在一条抛物线上. 当时，该抛物线开口向下，所以这群孤立的点中一定有最高点，即数列有最大项；反之也成立，故选项A、B的两个命题是正确的. 选项C的命题是错误的，举出反例：等差数列－1，1，3，5，7，…满足数列是 递增数列，但．对于选项D的命题，由，得， 因为此式对任意都成立，当时，有；若，则，与矛盾，所以一定有，这就证明了选项D的命题为真. 二、填空题
4.(2011湖南理)设是等差数列的前项和，且，，则 . 考查目的：考查等差数列的性质及基本运算． 答案：81. 解析：设的公差为. 由，，得，. ∴，故. 5.(2008湖北理)已知函数，等差数列的公差为. 若 ，则 . 考查目的：考查等差数列的通项公式、前项和公式以及对数的运算性质，考查运算求解能力. 答案：. 解析：∵是公差为的等差数列，∴，∴ ，∴，∴ . 6.(2011广东理)等差数列前9项的和等于前4项的和. 若，，则 ____． 考查目的：考查等差数列的性质及基本运算. 答案：10. 解析：设等差数列前项和为. ∵，∴；∵ ，∴. ∴，故. 三、解答题 7.设等差数列的前项和为，且，求： ⑴的通项公式及前项和； ⑵． 考查目的：考查等差数列通项公式、前项和的基本应用，考查分析问题解决问题的能力. 答案：⑴；.⑵ 解析：设等差数列的公差为，依题意，得，解得. ⑴； ⑵由，得.
数列的函数特征(学生版)
数列的函数特征 1、数列的函数特征 数列是一个定义域为正整数集N*(或它的有限子集{1,2,3，…，n})的特殊函数，数列的通项公式也就是相应的函数解析式，即a n＝f(n)(n∈N*)．数列的函数图像是一群孤立的点。 2、数列的增减性 (1)若，n∈N*，则数列{a n}叫作递增数列； (2)若，n∈N*，则数列{a n}叫作递减数列； (3)若，n∈N*，则数列{a n}叫作常数列； (4)若a n的符号或大小交替出现，则数列{a n}叫作摆动数列． 3、数列的最大项与最小项 (1)若a n是最大项，则；(2)若a n是最小项，则。 4、数列的周期性 对于数列{a n}，若存在一个大于1的自然数T(T为常数)，使a n＋T＝a n，对一切n∈N*恒成立，则称数列{a n}为周期数列，T就是它的一个周期． 考向一数列的单调性 例1—1 已知数列{a n}的通项公式为a n＝n2 n2＋1 ，判断数列{a n}的增减性．
例1—2 已知数列{a n}的通项公式是a n＝an bn＋1 ，其中a，b均为正常数，则该数列是单调递__________数列． ①判断数列单调性的基本方法是利用作差或作商的方法比较a n 与a n＋1的大小关系，若a n＞a n＋1(n∈N*)恒成立，则{a n}是递减数列；若a n＜a n＋1(n∈N*)恒成立，则{a n}是递增数列；②判断数列单调性时，也可从数列与函数的关系出发，分析数列{a n}的通项公式a n＝f(n)对应函数的单调性来确定数列的单调性． 变式1—1 已知数列{a n}的通项公式是a n＝ kn 2n＋3 (k∈R)． (1)当k＝1时，判断数列{a n}的单调性；(2)若数列{a n}是递减数列，求实数k的取值范围． 变式1—2 已知数列{a n}的通项公式a n＝ 1 1＋n2－n ，n∈N*，则该数列是单调递__________数列． 考向二数列的最大项与最小项例2—1 已知数列{a n}的通项公式为a n＝n2－5n＋4 (n∈N*)，则 (1)数列中有多少项是负数？(2)n为何值时，a n有最小值？并求出最小值．
专题03 数列与集合新定义解答题(第三篇)(解析版)-备战2020高考黄金15题系列之数学压轴题(北京专版)
专题3 数列与集合新定义解答题 1．（2020·北京首都师大二附高三模拟）已知q ，n 均为给定的大于1的自然数，设集合{1,2,3,,}M q =…， 112{|,n n T x x x x q x q -==+++…,1,2,}i x M i n ∈=…． （Ⅰ）当2q ，2n =时，用列举法表示集合T ； （Ⅰ）当200q =时，{}12100,,,A a a a M =…，且集合A 满足下列条件： ①对任意1100i j ≤<≤，201i j a a +≠； ② 100 1 12020i i a ==∑． 证明：（Ⅰ）若i a A ?∈，则201i a A -∈（集合A 为集合A 在集合M 中的补集）； （Ⅰ） 100 2 1 i i a =∑为一个定值（不必求出此定值）； （Ⅰ）设,s t T ∈，21123n n s b b q b q b q -=++++…，112n n t c c q c q -=+++…，其中,i i b c M ∈， 1,2,,i n =?，若n n b c <，则s t <． 【解析】（Ⅰ）解：当2q ，2n =时，{}1,2M =，12{|2T x x x x ==+，i x M ∈，1i =，2}． {}3,4,5,6T =． （Ⅰ）证明：（i ）当200q =时，{1M =，2，3，?，200}， 又1{A a =，2a ，?，100} a M ，i a A ?∈，201i a M -∈， 必然有201i a A -∈，否则201i a A -∈，而(201)201i i a a +-=，与已知对任意1100i j <，201i j a a +≠矛盾． 因此有201i a A -∈． （ii ）22(201)40240401i i i a a a --=-． ∴100100100 2 2 1 1 1 (201)4024040100791940i i i i i i a a a ===--=-=∑∑∑． 100100 22 2221 1 200201(4001) (201) 122006 i i i i a a ==??++-=++??+= ∑∑，
高中数列经典题型大全
高中数列经典题型大全 Document number【SA80SAB-SAA9SYT-SAATC-SA6UT-SA18】
高中数学：《递推数列》经典题型全面解析 类型1 )(1n f a a n n +=+ 解法：把原递推公式转化为)(1n f a a n n =-+，利用累加法(逐差相加法)求解。 例:已知数列{}n a 满足211= a ，n n a a n n ++=+211，求n a 。 类型2 n n a n f a )(1=+ 解法：把原递推公式转化为 )(1n f a a n n =+，利用累乘法(逐商相乘法)求解。 例:已知数列{}n a 满足321= a ，n n a n n a 11+=+，求n a 。 例:已知31=a ，n n a n n a 2 3131+-=+ )1(≥n ，求n a 。 类型3 q pa a n n +=+1（其中p ，q 均为常数，)0)1((≠-p pq ）。 例:已知数列{}n a 中，11=a ，321+=+n n a a ，求n a . 变式:递推式：()n f pa a n n +=+1。解法：只需构造数列{}n b ，消去()n f 带来的差异． 类型4 n n n q pa a +=+1（其中p ，q 均为常数，)0)1)(1((≠--q p pq ）。 （1n n n a pa rq +=+,其中p ，q, r 均为常数） 。 例:已知数列{}n a 中，651=a ,11)2 1(31+++=n n n a a ，求n a 。 类型5 递推公式为n n n qa pa a +=++12（其中p ，q 均为常数）。 解法一（待定系数——迭加法）:数列{}n a ：),0(025312N n n a a a n n n ∈≥=+-++， b a a a ==21,，求数列{}n a 的通项公式。 解法二（特征根法）：数列{}n a ：),0(025312N n n a a a n n n ∈≥=+-++， b a a a ==21,的特征 方程是：02532=+-x x 。 32,121==x x ,∴1211--+=n n n Bx Ax a 1)3 2(-?+=n B A 。又由b a a a ==21,，于是 ???-=-=??? ???+=+=)(32332b a B a b A B A b B A a 故1)32)((323--+-=n n b a a b a