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精品-立方根练习题

立方根练习题一

一、填空题：

1．1的立方根是________．

2．833-________．

3．2是________的立方根．

4．________的立方根是1.0-．

5．立方根是

65的数是________ 6．64

27-是________的立方根． 7．=-3)3(________．

8．3)3(-的立方根是________

9．5

3-是________的立方根． 10．若a 与b 互为相反数，则它们的立方根的和是________．

11．0的立方根是________．

12．36的平方根的绝对值是________．

13. 的立方根是729

14．327＝_______．15．立方根等于它本身的数是_______．

16．109)1(-的立方根是______．

17．008.0-的立方根是________．

18．10

3-是________的立方根． 19．当x 为________时，3

-+x x 有意义；当x 为________时，

385+-x x 有意义． 20．6)2(-的平方根是________，立方根是________．

二、判断题：

1．81-的立方根是2

1±；（） 2．5-没有立方根；（）

3．2161的立方根是6

1；（）

4．92-是729

8-的立方根；（） 5．负数没有平方根和立方根；（）

6．a 的三次方根是负数，a 必是负数；（）

7．立方根等于它本身的数只能是0或1；（）

8．如果x 的立方根是2-，那么8-=x ；（）

9．5-的立方根是35-；（）

10．8的立方根是2±；（）

11．2161-

的立方根是没有意义；（） 12．271-的立方根是3

1-；（） 13．0的立方根是0；（）

14．53是125

27±的立方根；（） 15．33-是3-立方根；（）

16．a 为任意数，式子a ，2a ，3

a 都是非负数．（）三、选择题：

1．36的平方根是（）．

A ．6±

B ．6

C ．6-

D ．不存在

2．一个数的平方根与立方根相等，则这个数是（）．

A ．1

B ．1±

C ．0

D ．1-

3．如果b -是a 的立方根，那么下列结论正确的是（）．

A ．b -也是a -的立方根

B ．b 也是a 的立方根

C ．b 也是a -的立方根

D ．b ±都是a 的立方根

4．下列语句中，正确的是（）．

A ．一个实数的平方根有两个，它们互为相反数

B ．一个实数的立方根不是正数就是负数

C ．负数没有立方根

D ．如果一个数的立方根是这个数本身，那么这个数一定是1-或0或1

5．8的立方根是（）．

A ．2

B ．2-

C ．4

D ．4-

6．设n 是大于1的整数，则等式211=--n

n 中的n 必是（）．

A ．大于1的偶数

B ．大于1的奇数

C ．2

D ．3

7．下列各式中正确的是（）．

A ．416±=

B ．3)3(2-=-

C ．38-2-=

D ．5)4()3(22-=-+-

8．下列运算正确的是（）．

A ．3333--=-

B ．3333=

- C ．3333-=- D ．3333-=

- 四、解答题：

1．求下列各数的立方根．

（1）8515 （2）8

27-

2．求下列各式的值．（1）38- （2）327-

（3）3125.0-- （4）3

3)001.0(--

（5）3512 （6）364

27--

3．x 取何值时，下面各式有意义？（1）x x -+ （2）3

1-x

（3）31--x x （4）32x 4．求下列各式中的x ．

（1）27000)101.0(3-=+x （2）2523

=+x

（3）12142=x （4）05121253=+x

（5）625164=x （6）19-=x

（7）8

71)2(3=++x

5．化简3

)1)(1(a a a a +-+．

五、计算433

2381)21()4()4()2(--?-+-?-．

六、已知01134=++

+y x ，其中x ，y 为实数，求3x -1998y -的值．

七、一个比例式的两个外项分别是0.294和0.024，两个内项是相等的数，求这两个内项各是多少？

八、一个长方体木箱子，它的底是正方形，木箱高1.25米，体积2.718立方米．求这个木箱底边的长．（精确到0.01米）

九、一个圆形物体，面积是200平方厘米，半径r 是多少平方厘米？（

取3.14，r 精确到0.01厘米）

十、如果球的半径是r ，则球的体积用公式3π34r V =来计算．当体积500=V 立方厘米，半径r 是多少厘米？（取3.14，r 精确到0.01厘米）

十一．若373-x 和343+y 互为相反数，求3y x +的值。

十二．已知0133223=+-++y c y x ，求32244y xy x --的值。

十三．已知0102622=+--+b a b a ，求322b a -的值。

十四、设x 为正整数，若1+x 是完全平方数，则它前面的一个完全平方数是（

） A ．x B ．12+-x x

C ．112++-x x

D ．212++-x x

参考答案一、

1．1 2．23

3．8

4．－0.001 5．216125

6．43

7．－27

8．－3 9．12527

- 10．0 11．0 12．6 14．3

15．－1，0，+1

16．－1

17．－0.2

八年级数学上册轴对称解答题单元测试卷附答案

八年级数学上册轴对称解答题单元测试卷附答案一、八年级数学轴对称解答题压轴题（难） 1．在梯形ABCD 中，//AD BC ，90B ∠=?，45C ∠=?，8AB =，14BC =，点E 、F 分别在边AB 、CD 上，//EF AD ，点P 与AD 在直线EF 的两侧，90EPF ∠=?， PE PF =，射线EP 、FP 与边BC 分别相交于点M 、N ，设AE x =，MN y =．（1）求边AD 的长；（2）如图，当点P 在梯形ABCD 内部时，求关于x 的函数解析式，并写出定义域；（3）如果MN 的长为2，求梯形AEFD 的面积．【答案】（1）6；（2）y=－3x+10(1≤x ＜103)；（2）1769 或32 【解析】【分析】（1）如下图，利用等腰直角三角形DHC 可得到HC 的长度，从而得出HB 的长，进而得出AD 的长；（2）如下图，利用等腰直角三角形的性质，可得PQ 、PR 的长，然后利用EB=PQ+PR 得去x 、y 的函数关系，最后根据图形特点得出取值范围；（3）存在2种情况，一种是点P 在梯形内，一种是在梯形外，分别根y 的值求出x 的值，然后根据梯形面积求解即可．【详解】（1）如下图，过点D 作BC 的垂线，交BC 于点H ∵∠C=45°，DH ⊥BC ∴△DHC 是等腰直角三角形 ∵四边形ABCD 是梯形，∠B=90° ∴四边形ABHD 是矩形，∴DH=AB=8

∴HC=8 ∴BH=BC －HC=6 ∴AD=6 （2）如下图，过点P 作EF 的垂线，交EF 于点Q ，反向延长交BC 于点R ，DH 与EF 交于点G ∵EF ∥AD,∴EF ∥BC ∴∠EFP=∠C=45° ∵EP ⊥PF ∴△EPF 是等腰直角三角形同理,还可得△NPM 和△DGF 也是等腰直角三角形 ∵AE=x ∴DG=x=GF,∴EF=AD+GF=6+x ∵PQ ⊥EF,∴PQ=QE=QF ∴PQ= ()1 62 x + 同理，PR= 12 y ∵AB=8，∴EB=8－x ∵EB=QR ∴8－x=()11622 x y ++ 化简得：y=－3x+10 ∵y ＞0，∴x ＜ 103 当点N 与点B 重合时，x 可取得最小值则BC=NM+MC=NM+EF=－3x+10+614x +=，解得x=1 ∴1≤x ＜ 103 （3）情况一：点P 在梯形ABCD 内，即（2）中的图形 ∵MN=2，即y=2，代入（2）中的关系式可得：x= 83 =AE

八年级数学三角形辅助线大全(精简、全面)

三角形作辅助性方法大全 1.在利用三角形的外角大于任何和它不相邻的内角证明角的不等关系时，如果直接证不出来，可连结两点或延长某边，构造三角形，使求证的大角在某个三角形外角的位置上，小角处在内角的位置上，再利用外角定理证题. 例：已知D 为△ABC 内任一点，求证：∠BDC ＞∠BAC 证法（一）：延长BD 交AC 于E ， ∵∠BDC 是△EDC 的外角， ∴∠BDC ＞∠DEC 同理：∠DEC ＞∠BAC ∴∠BDC ＞∠BAC 证法（二）：连结AD ，并延长交BC 于F ∵∠BDF 是△ABD 的外角， ∴∠BDF ＞∠BAD 同理∠CDF ＞∠CAD ∴∠BDF ＋∠CDF ＞∠BAD ＋∠CAD 即：∠BDC ＞∠BAC 2.有角平分线时常在角两边截取相等的线段，构造全等三角形. 例：已知，如图，AD 为△ABC 的中线且∠1 = ∠2，∠3 = ∠4，求证：BE ＋CF ＞EF 证明：在DA 上截取DN = DB ，连结NE 、NF ，则DN = DC 在△BDE 和△NDE 中， DN = DB ∠1 = ∠2 ED = ED ∴△BDE ≌△NDE ∴BE = NE 同理可证：CF = NF 在△EFN 中，EN ＋FN ＞EF ∴BE ＋CF ＞EF 3. 有以线段中点为端点的线段时，常加倍延长此线段构造全等三角形. 例：已知，如图，AD 为△ABC 的中线，且∠1 = ∠2，∠3 = ∠4，求证：BE ＋CF ＞EF 证明：延长ED 到M ，使DM = DE ，连结CM 、FM △BDE 和△CDM 中， BD = CD ∠1 = ∠5 ED = MD ∴△BDE ≌△CDM ∴CM = BE 又∵∠1 = ∠2，∠3 = ∠4 ∠1＋∠2＋∠3 ＋ ∠4 = 180o F A B C D E D C B A 43 21N F E D C B A

人教版八年级上册数学轴对称知识点

人教版八年级上册数学轴对称知识点第十二章轴对称 1.如果一个图形沿某条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形;这条直线叫做对称轴。 2.轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。 3.角平分线上的点到角两边距离相等。 4.线段垂直平分线上的任意一点到线段两个端点的距离相等。 5.与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。 6.轴对称图形上对应线段相等、对应角相等。 7.画一图形关于某条直线的轴对称图形的步骤：找到关键点，画出关键点的对应点，按照原图顺序依次连接各点。 8.点(x，y)关于x轴对称的点的坐标为(x，-y) 点(x，y)关于y轴对称的点的坐标为(-x，y) 点(x，y)关于原点轴对称的点的坐标为(-x，-y) 9.等腰三角形的性质：等腰三角形的两个底角相等，(等边对等角) 等腰三角形的顶角平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合，简称为三线合一。

10.等腰三角形的判定：等角对等边。 11.等边三角形的三个内角相等，等于60， 12.等边三角形的判定：三个角都相等的三角形是等腰三角形。有一个角是60的等腰三角形是等边三角形有两个角是60的三角形是等边三角形。 13.直角三角形中，30角所对的直角边等于斜边的一半。与当今“教师”一称最接近的“老师”概念，最早也要追溯至宋元时期。金代元好问《示侄孙伯安》诗云：“伯安入小学，颖悟非凡貌，属句有夙性，说字惊老师。”于是看，宋元时期小学教师被称为“老师”有案可稽。清代称主考官也为“老师”，而一般学堂里的先生则称为“教师”或“教习”。可见，“教师”一说是比较晚的事了。如今体会，“教师”的含义比之“老师”一说，具有资历和学识程度上较低一些的差别。辛亥革命后，教师与其他官员一样依法令任命，故又称“教师”为“教员”。死记硬背是一种传统的教学方式,在我国有悠久的历史。但随着素质教育的开展,死记硬背被作为一种僵化的、阻碍学生能力发展的教学方式,渐渐为人们所摒弃;而另一方面,老师们又为提高学生的语文素养煞费苦心。其实,只要应用得当,“死记硬背”与提高学生素质并不矛盾。相反,它恰是提高学生语文水平的重要前提和基础。14.直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半

(完整)初二数学上册平方根与立方根专项练习题

初二数学上册平方根与立方根专项练习题一、填空题： 1、144的算术平方根是， 16的平方根是； 2、327= ， 64-的立方根是； 3、7的平方根为，21.1= ； 4、一个数的平方是9，则这个数是，一个数的立方根是1，则这个数是； 5、平方数是它本身的数是；平方数是它的相反数的数是； 6、当x= 时， 13-x 有意义；当x= 时，325+x 有意义； 7、若164=x ，则x= ；若813=n ，则n= ； 8、若 3x x =，则x= ；若x x -=2，则x ； 9、若0|2|1=-++y x ，则x+y= ； 10若x 的算术平方根是4，则x=＿＿＿；若 3x =1，则x=＿＿＿； 11．若2)1(+x -9=0，则x=＿＿＿；若273x +125=0，则x=＿＿＿； 12．当x ＿＿＿时，代数式2x+6的值没有平方根； 13如果a 的算术平方根和算术立方根相等，则a 等于； 147在整数和整数之间，5在整数和整数之间。二、选择题 11、若a x =2，则（） A 、x>0 B 、x ≥0 C 、a>0 D 、a ≥0 12、一个数若有两个不同的平方根，则这两个平方根的和为（） A 、大于0 B 、等于0 C 、小于0 D 、不能确定 13、一个正方形的边长为a ，面积为b ，则（） A 、a 是b 的平方根 B 、a 是b 的的算术平方根 C 、b a ±= D 、a b = 14、若a ≥0，则24a 的算术平方根是（） A 、2a B 、±2a C 、a 2 D 、| 2a | 15、若正数a 的算术平方根比它本身大，则（） A 、00 C 、a<1 D 、a>1 16、若n 为正整数，则121+-n 等于（） A 、-1 B 、1 C 、±1 D 、2n+1 17、若a<0，则a a 22等于（）

初中数学全等三角形辅助线技巧

例1：如图，ΔABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，BD平分∠ABC交AC于点D，CE垂直于BD，交BD的延长线于点E。求证：BD=2CE。思路分析： 1）题意分析：本题考查等腰三角形的三线合一定理的应用 2）解题思路：要求证BD=2CE，可用加倍法，延长短边，又因为有BD平分∠ABC的条件，可以和等腰三角形的三线合一定理结合起来。解答过程：证明：延长BA，CE交于点F，在ΔBEF和ΔBEC中， ∵∠1=∠2，BE=BE，∠BEF=∠BEC=90°， ∴ΔBEF≌ΔBEC，∴EF=EC，从而CF=2CE。又∠1+∠F=∠3+∠F=90°，故∠1=∠3。在ΔABD和ΔACF中，∵∠1=∠3，AB=AC，∠BAD=∠CAF=90°， ∴ΔABD≌ΔACF，∴BD=CF，∴BD=2CE。解题后的思考：等腰三角形“三线合一”性质的逆命题在添加辅助线中的应用不但可以提高解题的能力，而且还加强了相关知识点和不同知识领域的联系，为同学们开拓了一个广阔的探索空间；并且在添加辅助线的过程中也蕴含着化归的数学思想，它是解决问题的关键。（2）若遇到三角形的中线，可倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“旋转”。例2：如图，已知ΔABC中，AD是∠BAC的平分线，AD又是BC边上的中线。求证：ΔABC是等腰三角形。思路分析： 1）题意分析：本题考查全等三角形常见辅助线的知识。 2）解题思路：在证明三角形的问题中特别要注意题目中出现的中点、中线、中位线等条件，一般这些条件都是解题的突破口，本题给出了AD又是BC边上的中线这一条件，而且要求证AB=AC，可倍长AD得全等三角形，从而问题得证。解答过程：

人教版八年级数学上册轴对称知识点总结

轴对称【知识脉络】【基础知识】 Ⅰ. 轴对称（1）轴对称图形如果一个图形沿着某一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴. 轴对称图形的性质：轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线. （2）轴对称定义：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫做对称轴.成轴对称的两个图形的性质： ①关于某条直线对称的两个图形形状相同，大小相等，是全等形； ②如果两个图形关于某条直线对称，则对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线； ③两个图形关于某条直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么它们的交点在对称轴上. （3）轴对称图形与轴对称的区别和联系区别：轴对称是指两个图形的位置关系，轴对称图形是指具有特殊形状的一个图形；轴对称涉及两个图形，而轴对称图形是对一个图形来说的. 联系：如果把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，那么这两个图形关于这条轴对称；如果把成轴对称的两个图形看成一个整体，那么它就是一个轴对称图形．（4）线段的垂直平分线线段的垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等. 反过来，与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上. Ⅱ. 作轴对称图形 1.作轴对称图形（1）几何图形都可以看作由点组成，我们只要分别作出这些点关于对称轴的对应点，再连接这

些点，就可以得到原图形的轴对称图形；（2）对于一些由直线、线段或射线组成的图形，只要作出图形中的一些特殊点（如线段端点）的对称点，连接这些对称点，就可以得到原图形的轴对称图形. 2.用坐标表示轴对称点（x,y）关于x轴对称的点的坐标为（x,－y）；点（x,y）关于y轴对称的点的坐标为（－x,y）；点（x,y）关于原点对称的点的坐标为（－x,－y）. Ⅲ. 等腰三角形 1.等腰三角形（1）定义：有两边相等的三角形，叫做等腰三角形. （2）等腰三角形性质 ①等腰三角形的两个底角相等，即“等边对等角”； ②等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线与底边上的高线互相重合（简称“三线合一”）.特别地，等腰直角三角形的每个底角都等于45°. （3）等腰三角形的判定如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（即“等角对等边”）. 2.等边三角形（1）定义：三条边都相等的三角形，叫做等边三角形. （2）等边三角形性质：等边三角形的三个角相等，并且每个角都等于60°. （3）等边三角形的判定： ①三条边都相等的三角形是等边三角形；②三个角都相等的三角形是等边三角形； ③有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形. 3.直角三角形的性质定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半. Ⅳ. 最短路径

【习题】《立方根》同步练习2北师大版八年级数学上册

2.3立方根、选择题 1.下列说法中正确的是（） A. - 4没有立方根 B.1的立方根是± C.—的立方根是 36 1 6 D. —5的立方根是3 5 32 10 .27 =4 =3 2.在下列各式中：3 0.001 =0.1,30.01 =0.1,--3( 27)3= —27,其中正确的个数是（) A.1 B.2 C.3 D.4 3.若m<0，贝U m 的立方根是（) A.3m B.—3. m C. ± m D. 3 m 4. 如果v6 x是6 —x的三次算术根，那么（） A.x<6 B.x=6 C.x W6 D.x 是任意数 5. 下列说法中，正确的是（） A. 一个有理数的平方根有两个，它们互为相反数 B. 一个有理数的立方根，不是正数就是负数 C. 负数没有立方根 D. 如果一个数的立方根是这个数本身，那么这个数一定是- 1, 0, 1、填空题 6. V64的平方根是______ . 7. (3x —2) 3=0.343,则x= ___ . 8. 若齐x丄+、~x有意义，则V x = ________ b 8 V8 9. ___________________ 若x<0，贝U J x2= ,Vx3= 10若x=(疔)3，则J x 1 = __________ . 三、解答题

11?求下列各数的立方根 (1) 729 (2)— 417 (3)— 125 (4) (-5) 3 27 216 12. 求下列各式中的X. (1)125X 3=8 ⑵(—2+X )3=— 216 (3)3 X 2 = — 2 ⑷27(X +1)3+64=0 13. 已知 a 3 64 +|b 3 — 27|=0求(a — b)b 的立方根. 14. 已知第一个正方体纸盒的棱长为 6 cm ,第二个正方体纸盒的体积比第一个纸盒的体积大127 cm 3,求第二个纸盒的棱长. 15. 判断下列各式是否正确成立. 判断完以后，你有什么体会？你能否得到更一般的结论？若能，请写出你的一般结论 .

八年级数学《全等三角形》证明题中常见的辅助线的作法

D C B A E D F C B A 八年级数学《全等三角形》证明题中常见的辅助线的作法常见辅助线的作法有以下几种：遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变换中的“对折”．遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“旋转”．遇到角平分线，可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的思维模式是三角形全等变换中的“对折”，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理．过图形上某一点作特定的平分线，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“平移”或“翻转折叠” 截长法与补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，是之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明．这种作法，适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目．特殊方法：在求有关三角形的定值一类的问题时，常把某点到原三角形各顶点的线段连接起来，利用三角形面积的知识解答．一、倍长中线（线段）造全等例1、（“希望杯”试题）已知，如图△ABC中，AB=5，AC=3，则中线AD的取值范围是_________. 例2、如图，△ABC中，E、F分别在AB、AC上，DE⊥DF，D是中点，试比较BE+CF 与EF的大小. 例3、如图，△ABC中，BD=DC=AC，E是DC的中点，求证：AD平分∠BAE. 应用：

E D C B A D C B A P Q C B A 1、（09崇文二模）以ABC ?的两边AB 、AC 为腰分别向外作等腰Rt ABD ?和等腰 Rt ACE ?，90,BAD CAE ∠=∠=?连接DE ，M 、N 分别是BC 、DE 的中点．探究：AM 与 DE 的位置关系及数量关系．（1）如图① 当ABC ?为直角三角形时，AM 与DE 的位置关系是，线段AM 与DE 的数量关系是；（2）将图①中的等腰Rt ABD ?绕点A 沿逆时针方向旋转?θ(0<θ<90)后，如图②所示，（1）问中得到的两个结论是否发生改变？并说明理由．二、截长补短 1、如图，ABC ?中，AB=2AC ，AD 平分BAC ∠，且AD=BD ，求证：CD ⊥AC 2、如图，AC ∥BD ，EA,EB 分别平分∠CAB,∠DBA ，CD 过点E ，求证;AB ＝AC+BD 3、如图，已知在ABC V 内，060BAC ∠=，040C ∠=，P ，Q 分别在BC ， CA 上，并且AP ，BQ 分别是BAC ∠，ABC ∠的角平分线。求证：BQ+AQ=AB+BP 4、如图，在四边形ABCD 中，BC ＞BA,AD ＝CD ，BD 平分ABC ∠，求证： 0180=∠+∠C A 5、如图在△ABC 中，AB ＞AC ，∠1＝∠2，P 为AD 上任意一点，求证;AB-AC ＞PB-PC 应用：三、平移变换例1 AD 为△ABC 的角平分线，直线MN ⊥AD 于A.E 为MN 上一点，△ABC 周长记为A P ， △EBC 周长记为B P .求证B P ＞A P . 例2 如图，在△ABC 的边上取两点D 、E ，且BD=CE ，

初二数学上册第二章轴对称知识点-初二数学轴对称知识点

初二数学上册第二章轴对称知识点|初二数学轴对称知识点一、定义 1、如果一个图形沿着一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形。这条直线就是它的对称轴。我们也说这个图形关于这条直线[成轴]对称。 2、把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称。这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对应点。 3、经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线。如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。 4、有两边相等的三角形叫做等腰三角形。 5、三条边都相等的三角形叫做等边三角形。二、重点 1、把成轴对称的两个图形看成一个整体，它就是一个轴对称图形。 2、把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，这两个图形关于这条轴对称。

3、垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等。 4、垂直平分线的判定：与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。 5、做对称轴：如果两个图形成轴对称，其对称轴就是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。因此，我们只要找到一对再对应点，作出连接它们的线段的垂直平分线就可以得到这个图形的对称轴。同样，对于轴对称图形，只要找到任意一组对应点所连线段的垂直平分线，就得到此图形的对称轴。 6、轴对称图形的性质：对称轴方向和位置发生变化时，得到的图形的方向和位置也会发生变化。由个平面图形可以得到它关于一条直线成轴对称的图形，这个图形与原图形的形状，大小完全相等。新图形上的每一点，都是原图形上的某一点关于直线的对称点。连接任意一对对应点的线段被对称轴垂直平分。 7、等腰三角形的性质：等腰三角形的两个底角相等[等边对等角]等腰三角形的顶角平分线，底边上的中线，底边上的高相互重合[三线合一][等腰三角形是轴对称图形，底边上的中线(，底边上的高，顶角平分线)所在直线就是它的对称轴。等腰三角形两腰上的高或中线相等。等腰三角形两底角平分线相等。等腰三角形底边上高的点到两腰的距离之和等于底角到一腰的距离。

八年级数学上册《立方根》教案

《立方根》教案教学目标 (一)教学知识点 1.了解立方根的概念，会用根号表示一个数的立方根. 2.能用立方运算求某些数的立方根，了解开立方与立方互为逆运算. 3.了解立方根的性质. 4.区分立方根与平方根的不同. (二)能力训练要求 1.在学了平方根的基础上，要求学生能用类比的方法学习立方根的有关知识，领会类比思想. 2.发展学生的求同求异思维，使他们能在复杂环境中明辨是非. (三)情感与价值观要求当今社会是科学飞速发展、信息千变万化的时代，每一个人都不可能把一生中要接触的知识全部学会，因此让他们会学知识比学会知识更重要，这就要从小培养良好的学习习惯，能自己解决的问题就自己解决，其中类比的学习方法就是一种重要的学习方法，本节课重点训练学生的类比思想的养成. 教学重点立方根的概念. 教学难点 1.正确理解立方根的概念. 2.会求一个数的立方根. 3.区分立方根与平方根的不同之处. 教学方法类比学习法. 教学过程一、新课导入上节课我们学习了平方根的定义，若x2=a，则x叫a的平方根，即x=±a. 若正方体的棱长为a，体积为8，根据正方体体积的公式得a3=8，那a叫8的什么呢？本节课请大家根据上节课的内容自己来类推出结论，若x3=a，则x叫a的什么呢？二、新课讲解 1.请大家先回忆平方根的定义下面大家能不能再根据平方根的写法来类推立方根的记法呢？

若x的平方等于a，则x叫a的平方根，记作x=±2a，读作x等于正、负二次根号a，简称为x等于正，负根号a.若x的立方等于a，则x叫a的立方根，记作x=±3a，读作x等于正、负三次根号a，简称x等于正、负根号a. ［师］请大家对这位同学的回答展开讨论，小组总结后选代表发言. ［生甲］我认为这位同学回答得不对.如果x2=a，则x=±a，x3=a时，x=±a也成立的话，那如何区分平方根与立方根呢？［生乙］因为乘方与开方是互为逆运算，求立方根可通过逆运算立方来求，如x3=8，因为23=8，所以x=2，只有一个根而不是±2，所以立方根的个数不正确. ［师］大家的分析非常有道理，请认真看书第13、14页可知，若一个数x的立方等于a，即x3=a，那么这个数x就叫做a的立方根(cube root；也叫三次方根)如2是8的立方根，记为x= 3a，读作x等于三次根号a. 开立方的定义［师］大家先回忆开平方的定义，再类推开立方的定义. ［生］求一个数a的平方根的运算，叫做开平方，则求一个数a的立方根的运算，叫做开立方，其中a叫做被开方数. (2)立方根的性质［师］2的立方等于多少？是否有其他的数，它的立方也是8？［生］2的立方等于8，(－2)3=－8，所以没有其他的数的立方等于8. ［师］－3的立方等于多少？是否有其他的数，它的立方也是－27？［生］－3的立方等于－27，33=27，所以没有其他的数的立方等于－27. ［师］0的立方等于多少？0有几个立方根？［生］0的立方等于0，0有1个立方根是0. ［师］从刚才的讨论中，大家总结一下正数有几个立方根？0有几个立方根？负数有几个立方根？［生］正数有一个立方根，0有一个立方根是0，负数有一个立方根. ［师］对.正数有一个正的立方根、负数有一个负的立方根，0的立方根有一个，是0. (3)平方根与立方根的区别与联系. ［师］我们已经学习了平方根与立方根的定义，并会求某些数的平方根和立方根，下面请大家说说它们的联系与区别. ［生］从定义来看，若一个数x的平方等于a，即x2=a，则x叫a的平方根；若一个数x的立方等于a，即x3=a，则x叫a的立方根，都是一个数x的乘方等于a，但一个是平方，另一个是立方. ［生］一个正数的平方根有两个，一个负数没有平方根，零的平方根有一个是零；一个

初二数学三角形辅助线

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（１）“取长补短法“证线段的和差关系１、如图,AC ∥B Ｄ,EA,ＥＢ分别平分∠CAB,∠DB Ａ,CD 过点E,求证;A Ｂ＝A Ｃ+BD 2：如图,ΔABＣ是等腰直角三角形,∠BA Ｃ=90°，B Ｄ平分∠ＡBC 交AC 于点 D,ＣE 垂直于B Ｄ，交ＢD 的延长线于点E 。求证：BD=２CE 。３.已知：如图1-4，在△AB Ｃ中,∠C ＝２∠Ｂ,AD 平分∠BAC ，求证：ＡB-AC=CD _ E _ C _ D _ B _ A 图1-4 A B C D E

4、如图，已知在ABC ?中，?=∠60B ,ABC ?的角平分线A Ｄ,CE 相交于点O . 求证:OD OE = ５、已知,如图１，在四边形ABCD 中，B Ｃ>ＡB ,AD =DC ，BD 平分∠ＡＢC 。求证:∠B ＡD +∠BCD =1８0°。（2)利用三角形全等证明角或线段全等 1．如图所示，在△ABC 中，∠C=9０°,A Ｃ=BC ， AD 平分∠CAB ，并交ＢC 于D ，ＤE ⊥A Ｂ于E ，若A Ｂ＝6ｃｍ,求△DE Ｂ的周长。 F O D E A C B

2.如右图，已知BE⊥AC于E，ＣF⊥ＡB于Ｆ，BＥ、CF相交于点D,若BＤ=ＣD．求证：ＡD平分∠BＡC. (３)若遇到三角形的中线，可倍长中线,使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形,利用的思维模式是全等变换中的“旋转”。 1．如图,已知ΔABC中,AD是∠BＡC的平分线,ＡD又是BC边上的中线。求证:ΔＡBC是等腰三角形。（4)遇到角平分线，可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线。 1．已知,如图，ＡC平分∠ＢAD，ＣD=CB,ＡB>AＤ。求证:∠B+∠ADC=180°。

八年级数学三角形中的辅助线

三角形中的辅助线一、知识梳理 1、判定两个三角形全等的一般思路判定两个三角形全等时如果给出的条件不全面，就需要根据已知的条件结合相应的公理来进行分析，先推导出所缺的条件然后再证明。具体方法如下：（1）已知一边及与其相邻的一个内角对应相等判定两个三角形全等的公理中边和角相邻的有SAS、ASA、AAS，所以可以从三个方面进行考虑：已知条件思路一思路二思路三 AB＝DE ∠B＝∠E 首先判定BC＝EF，然后用“SAS”判定全等首先判定∠A＝∠D，然后用“ASA”判定全等首先判定∠C＝∠F，然后用“AAS”判定全等（2）已知两边对应相等判定两个三角形全等的公理中已知两边的有SAS、SSS，所以可以从两个方面考虑已知条件思路一思路二 AB＝DE BC＝EF 首先判定AC＝DF，然后用“SSS”判定全等首先判定∠B＝∠E，然后用“SAS”判定全等（3）已知两角对应相等判定两个三角形全等的公理中已知两角的有ASA、AAS，所以可以从两个方面考虑已知条件思路一思路二 ∠A＝∠D ∠B＝∠E 首先判定AB＝DE，然后用“ASA”判定全等首先判定AC＝DF或BC＝EF，然后用“AAS”判定全等（4）已知一边与其对角对应相等，与之相对应个公理只有AAS，可以考虑先判定这条边的某一邻角也对应相等，然后再判定这两个三角形全等。 2、证明边或角相等的一些常用的依据：（1）等线段（角）的和或差相等；（2）全等三角形的对应边（角）相等；（3）等角的余角或补角相等；（4）垂直定义；（5）角平分线的性质；（6）平行线得同位角、内错角相等，同旁内角互补。

人教版八年级数学上册轴对称教案

13．1轴对称第1课时轴对称教学目标 1．理解轴对称图形轴对称及线段垂直平分线的概念，并能作出它们的对称轴． 2．了解轴对称图形和轴对称的区别和联系． 3．掌握轴对称的性质．教学重点轴对称图形和轴对称的概念及轴对称的性质．教学难点轴对称图形和轴对称的区别和联系．教学设计一师一优课一课一名师(设计者：) 教学过程设计一、创设情景，明确目标我们生活在丰富多彩的图形世界里，许多美丽的事物往往与图形的对称联系在一起，如：中外各种风格的著名建筑、动植物、艺术作品、图标、日常生活用品等等，都和对称密不可分，我们可以根据自己的设想创造出对称的作品，装点和美化生活．就让我们一起走进轴对称的世界去感受它的奇妙和美丽吧！观察上图和教科书中的图片，你有什么感受？二、自主学习，指向目标 1．自学教材第58至60页． 2．请完成“《学生用书》”相应部分．三、合作探究，达成目标探究点一轴对称图形和轴对称的概念活动一：阅读教材P58～59 展示点评：1.图13.1－1，有什么共同特点？什么叫轴对称图形？对称轴是什么？请举

出轴对称图形的实例． 2．图13.1－3有什么共同特点？什么叫两个图形关于一条直线对称？请举出成轴对称图形的实例．小组讨论：轴对称图形与两个图形成轴对称有什么区别和联系？反思小结：1.判断一个图形是不是轴对称图形，关键是抓住轴对称的本质，即图形是否有“存在直线——将其折叠——互相重合”的图形特征． 2．判断两个图形是否成轴对称，关键是是否有“存在直线——将其折叠——互相重合”的图形特征．跟踪训练：见《学生用书》相应部分探究点二轴对称的性质活动二：观察教材图13.3－4. 展示点评：1.完成“思考”中的问题； 2．一对对称点所连线段与对称轴在位置上有什么关系？ 3．什么叫线段的垂直平分线？请用符号语言表示．小组讨论：图形轴对称有什么性质？它有什么作用？反思小结：如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线；轴对称图形的对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．它可以用来证明线段相等．跟踪训练：见《学生用书》相应部分四、总结梳理，内化目标 1．本节课学习了哪些主要内容？ 2．轴对称图形和轴对称的区别与联系是什么？ 3．成轴对称的两个图形有什么性质？轴对称图形有什么性质？我们是怎么探究这些性质的？实际问题―→? ??? ?轴对称图形―→轴对称图形的性质轴对称 ―→ 轴对称的性质五、达标检测，反思目标 1．下列图形中是常见的安全标记，其中是轴对称图形的是( A ) 2．下列说法错误的是( D ) A ．关于某直线对称的两个三角形一定全等 B ．轴对称图形至少有一条对称轴 C ．正方形的一条对角线把它所分成的两个三角形成轴对称 D ．角的对称轴是角的平分线 3．如图，△ABC 与△DEF 关于直线l 对称，若AB ＝2 cm ，∠C ＝55°，则DE ＝__2_cm __，∠F ＝__55°__．

初二数学上册平方根与立方根专项练习题(精品)汇编

平方根与立方根一、填空题： 1、144的算术平方根是， 16的平方根是； 2、327= ， 64-的立方根是； 3、7的平方根为，21.1= ； 4、一个数的平方是9，则这个数是，一个数的立方根是1，则这个数是； 5、平方数是它本身的数是；平方数是它的相反数的数是； 6、当x= 时， 13-x 有意义；当x= 时，325+x 有意义； 7、若164=x ，则x= ；若813=n ，则n= ； 8、若 3x x =，则x= ；若x x -=2，则x ； 9、若0|2|1=-++y x ，则x+y= ； 10若x 的算术平方根是4，则x=＿＿＿；若 3x =1，则x=＿＿＿； 11．若2)1(+x -9=0，则x=＿＿＿；若273x +125=0，则x=＿＿＿； 12．当x ＿＿＿时，代数式2x+6的值没有平方根； 13如果a 的算术平方根和算术立方根相等，则a 等于； 147在整数和整数之间，5在整数和整数之间。二、选择题 11、若a x =2，则（） A 、x>0 B 、x ≥0 C 、a>0 D 、a ≥0 12、一个数若有两个不同的平方根，则这两个平方根的和为（） A 、大于0 B 、等于0 C 、小于0 D 、不能确定 13、一个正方形的边长为a ，面积为b ，则（） A 、a 是b 的平方根 B 、a 是b 的的算术平方根 C 、b a ±= D 、a b = 14、若a ≥0，则24a 的算术平方根是（） A 、2a B 、±2a C 、a 2 D 、| 2a | 15、若正数a 的算术平方根比它本身大，则（） A 、00 C 、a<1 D 、a>1 16、若n 为正整数，则121+-n 等于（） A 、-1 B 、1 C 、±1 D 、2n+1

初中数学三角形辅助线大全(精简、全面)

三角形作辅助线方法大全 1.在利用三角形的外角大于任何和它不相邻的角证明角的不等关系时，如果直接证不出来，可连结两点或延长某边，构造三角形，使求证的大角在某个三角形外角的位置上，小角处在角的位置上，再利用外角定理证题. 例：已知D 为△ABC 任一点，求证：∠BDC＞∠BAC 证法（一）：延长BD 交AC 于E ， ∵∠BDC 是△EDC 的外角， ∴∠BDC＞∠DEC 同理：∠DEC＞∠BAC ∴∠BDC＞∠BAC 证法（二）：连结AD ，并延长交BC 于F ∵∠BDF 是△ABD 的外角， ∴∠BDF＞∠BAD 同理∠CDF ＞∠CAD ∴∠BDF＋∠CDF＞∠BAD＋∠CAD 即：∠BDC＞∠BAC 2.有角平分线时常在角两边截取相等的线段，构造全等三角形. 例：已知，如图，AD 为△ABC 的中线且∠1 = ∠2，∠3 = ∠4，求证：BE ＋CF ＞EF 证明：在DA 上截取DN = DB ，连结NE 、NF ，则DN = DC 在△BDE 和△NDE 中， DN = DB ∠1 = ∠2 ED = ED ∴△BDE≌△NDE ∴BE = NE 同理可证：CF = NF 在△EFN 中，EN ＋FN ＞EF ∴BE＋CF ＞EF 3. 有以线段中点为端点的线段时，常加倍延长此线段构造全等三角形. 例：已知，如图，AD 为△ABC 的中线，且∠1 = ∠2，∠3 = ∠4，求证：BE ＋CF ＞EF 证明：延长ED 到M ，使DM = DE ，连结CM 、FM △BDE 和△CDM 中， BD = CD ∠1 = ∠5 ED = MD ∴△BDE≌△CDM ∴CM = BE 又∵∠1 = ∠2，∠3 = ∠4 ∠1＋∠2＋∠3 ＋∠4 = 180o F A B C D E D C B A 43 21N F E C B A

人教版初二数学上册轴对称练习

初二数学轴对称练习 1．如图，把长方形中的∠A 沿某条直线对折，使点A 与BC 上的点A ′重合，痕交AB 于点E ，若∠CDA ′＝70°，则∠AED 的度数为( )． A ．70° B ．20° C ．35° D ．80° 2．如图，在△ABC 中，AC 的垂直平分线ED 交AC 于点E ，交AB 于点D ，CE ＝4，△BCD 的周长等于12，则△ABC 的周长为( )． A ．20 B ．18 C ．16 D ．14 3．如图，在4×4的正方形网格中，已将图中的四个小正方形涂上阴影，若再从其余小正方形中任选一个也涂上阴影，使得整个阴影部分组成的图形成轴对称图形．那么符合条件的小正方形共有( )． A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个第1题第2题第3题 4．如图，在直角坐标系中，点A ，B 的坐标分别为(1，4)和(3，0)，点C 是y 轴上的一个动点，且A ，B ，C 三点不在同一条直线上，当△ABC 的周长最小时，点C 的坐标是( )． A ．(0，0) B ．(0，1) C ．(0，2) D ．(0，3) 5．如图：在Rt △ABC 中，∠B =90°，∠A =30°，AC =3，将BC 向BA 方向折去，使点C 落在BA 上的D 点，折痕为B E ，则BD 的长为( )． A ．1 B ． C ．3 D ．不确定第4题第5题 6．如图所示，∠AOB 内有一点P ，它关于OA 、OB 的对称点分别为M 、N ，若∠AOB ＝45°，则△MON 必定是( )． A ．等腰三角形 B ．直角三角形 C ．等边三角形 D ．等腰直角三角形 7．如图，在平面直角坐标系中，点A (2，m )在第一象限，若点A 关于x 轴的对称点B 在直线y ＝－x ＋1上，则m 的值为( )． A ．－1 B ．1 C ．2 D ．3 8．如图，把矩形纸片ABCD 沿对角线BD 折叠，设重叠部分为△EBD ，则下列说法错误的是( )． A ．AB=CD B ．∠BAE=∠DCE C ．EB=E D D ．∠AB E 一定等于30° 第6题第7题第8题 9．已知：如图，△ABC 和△DEC 都是等边三角形，D 是BC 延长线上一点，AD 与BE 相交于点P ，AC 、BE 相交于点M 、AD 、CE 相交于点N ，则下列五个结论：①AD 班级：___________ 姓名：__________ 学号：___________ ——————————————————————装订线内不得答题

人教版八年级数学上册第十三章轴对称章节知识点总结复习

轴对称章节知识点总结复习轴对称图形如果一个图形沿某一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，?这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴．有的轴对称图形的对称轴不止一条，如圆就有无数条对称轴．轴对称有一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，?那么就说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点．两个图形关于直线对称也叫做轴对称．图形轴对称的性质如果两个图形成轴对称，?那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线；轴对称图形的对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．轴对称与轴对称图形的区别轴对称是指两个图形之间的形状与位置关系，?成轴对称的两个图形是全等形；轴对称图形是一个具有特殊形状的图形，把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，这两个图形是全等形，并且成轴对称．线段的垂直平分线（1）经过线段的中点并且垂直于这条线段的直线，?叫做这条线段的垂直平分线（或线段的中垂线）．

（2）线段的垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等；反过来，?与一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上．因此线段的垂直平分线可以看成与线段两个端点距离相等的所有点的集合．轴对称变换由一个平面图形得到它的轴对称图形叫做轴对称变换．? 成轴对称的两个图形中的任何一个可以看着由另一个图形经过轴对称变换后得到．轴对称变换的性质（1）经过轴对称变换得到的图形与原图形的形状、大小完全一样（2）?经过轴对称变换得到的图形上的每一点都是原图形上的某一点关于对称轴的对称点．（3）连接任意一对对应点的线段被对称轴垂直平分．作一个图形关于某条直线的轴对称图形（1）作出一些关键点或特殊点的对称点．（2）按原图形的连接方式连接所得到的对称点，即得到原图形的轴对称图形．关于坐标轴对称点P（x，y）关于x轴对称的点的坐标是（x，－y）点P（x，y）关于y轴对称的点的坐标是（－x，y）关于原点对称

数学八年级上册第四章《立方根》教案

数学八年级上册第四章《立方根》教案教学目标1、了解立方根的概念，会用根号表示一个数的立方根，2、了解开立方与立方互为逆运算，能用立方运算求一些数的立方根 3、能用立方根解决一些简单的实际问题。教学重点了解开立方与立方互为逆运算，会求某些数的立方根．教学难点会求某些数的立方根，能用立方根解决一些简单的生活问题。教学过程（教师）二次备课一、板书课题、出示目标师：同学们，今天我们来学习4.2立方根（板书课题），本节课的学习目标是（投影）： 1、了解立方根的概念，会用根号表示一个数的立方根， 2、了解开立方与立方互为逆运算，能用立方运算求一些数的立方根 3、能用立方根解决一些简单的实际问题。二、自学指导师：要达到本节课的学习目标不是靠老师讲，而是靠大家自学。为了方便使大家顺利达到本节课的学习目标，请同学们认真看屏幕（投影）：自学指导认真书P99-100（注意例题的解题格式） 1、了解立方根的概念，会用根号表示一个数的立方根， 2、了解开立方与立方互为逆运算，能用立方运算求一些数的立方根 3、能用立方根解决简单的实际问题。八分钟后同桌互查，然后老师抽查。学生看书，教师巡视，督促学生认真看书。检测、板演：出示检测题：例1求下列各数的立方根 (1)-64 （２）－ 27 （３）81 （４）０例2、求下列各式中的x x3 ＋７２９＝０（x－３）3 ＝６４例3、做一个正方体纸盒，使它的容积为64cm ，正方体纸盒的棱长是多少？如果要使正方体纸盒容积为25cm ，它的棱长是多少？分别让4名学生上堂板演，其他学生在练习本上做。教师巡视，收集学生检测中出现的错误。四、后教（一）更正师：请同学们认真看堂上板演板演的内容，如发现错误或有不同解法的同学请举手。（教师组织学生更正） 1、更正：①学生互相检查，记会背立方根的概念，会用根号表示一个数的立方根，出现什么错误？订证有误的说法。②板演的例1、2是否正确，出现什么问题？