主成分分析操作步骤

主成分分析操作步骤

1）先在spss中录入原始数据。

2）菜单栏上执行【分析】——【降维】——【因子分析】，打开因素分析对话框，将要分析的变量都放入【变量】窗口中。

3）设计分析的统计量

点击【描述】：选中“Statistics”中的“原始分析结果”和“相关性矩阵”中的“系数”。（选中原始分析结果，SPSS自动把原始数据标准差标准化，但不显示出来；选中系数，会显示相关系数矩阵）然后点击“继续”。

点击【抽取】：“方法”里选取“主成分”；“分析”、“输出”、“抽取”均选中各自的第一个选项即可。

点击【旋转】：选取第一个选项“无”。（当因子分析的抽取方法选择主成分法时，且不进行因子旋转，则其结果即为主成分分析）

点击【得分】：选中“保存为变量”，方法中选“回归”；再选中“显示因子得分系数矩阵”。

点击【选项】：选择“按列表排除个案”。

4）结果解读

5）A. 相关系数矩阵：是6个变量两两之间的相关系数大小的方阵。通过相关系

数可以看到各个变量之间的相关，进而了解各个变量之间的关系。

相關性矩陣

食品衣着燃料住房交通和通讯娱乐教育文化相關食品 1.000 .692 .319 .760 .738 .556 衣着.692 1.000 -.081 .663 .902 .389 燃料.319 -.081 1.000 -.089 -.061 .267 住房.760 .663 -.089 1.000 .831 .387 交通和通讯.738 .902 -.061 .831 1.000 .326 娱乐教育文化.556 .389 .267 .387 .326 1.000

B. 共同度：给出了这次主成分分析从原始变量中提取的信息，可以看出交通和

通讯最多，而娱乐教育文化损失率最大。

Communalities

起始擷取

食品 1.000 .878

衣着 1.000 .825

燃料 1.000 .841

住房 1.000 .810

交通和通讯 1.000 .919

娱乐教育文化 1.000 .584

擷取方法：主體元件分析。

C. 总方差的解释：系统默认方差大于1的为主成分。如果小于1，说明这个主

因素的影响力度还不如一个基本的变量。所以只取前两个，且第一主成分的方差

为3.568，第二主成分的方差为1.288，前两个主成分累加占到总方差的80.939%。

說明的變異數總計

元件

起始特徵值擷取平方和載入

總計變異的% 累加% 總計變異的% 累加%

1 3.568 59.474 59.474 3.568 59.474 59.474

2 1.288 21.466 80.939 1.288 21.466 80.939

3 .600 10.001 90.941

4 .358 5.97

5 96.916

5 .142 2.372 99.288

6 .043 .712 100.000

擷取方法：主體元件分析。

特别注意：

该主成分载荷矩阵并不是主成分的特征向量，即不是主成分1和主成分2的系数。主成分系数的求法：各自主成分载荷向量除以各自主成分特征值得算数平方根。则第1主成分的各个系数是向量（0.925，0.902，0.880，0.878，0.588，0.093）.3后才得到的，即（0.490，0.478，0.466，0.465，0.311，0.049）才是除以568

主成分1的特征向量，满足条件是系数的平方和等于1，分别乘以6个原始变量标准化之后的变量即为第1主成分的函数表达式（作业中不用写公式）：

Y1=0.490*Z交+0.478*Z食+0.466*Z衣+0.465*Z住+0.311*Z娱+0.049*Z燃

同理可求出第2主成分的函数表达式。

E.主成分得分系数矩阵

元件評分係數矩陣

元件

1 2

食品.253 .198

衣着.247 -.174

燃料.026 .708

住房.246 -.152

交通和通讯.259 -.196

娱乐教育文化.165 .379

擷取方法：主體元件分析。

元件評分。

该矩阵是主成分载荷矩阵除以各自的方差得来的，实际上是因子分析中各个因子的系数，在主成分分析中可以不考虑它。

元件評分共變異數矩陣

元件 1 2

1 1.000 .000

2 .000 1.000

擷取方法：主體元件分析。

元件評分。

6）因子得分

在之前的“得分”对话框中，由于选中了“保存为变量”，方法中的“回归”；又选中了“显示因子得分系数矩阵”，因此SPSS的输出结果和原始数据一起显示在数据窗口里：

7）主成分得分

特别提醒：

后两列的数据是北京等16个地区的因子1和因子2的得分，不是主成分1和主成分2的得分。主成分的得分是相应的因子得分乘以相应的方差的算数平方根。即：主成分1得分=因子1得分乘以3.568的算数平方根

主成分2得分=因子2得分乘以1.288的算数平方根

得出各地区主成分1和主成分2的得分如下表：

后两列就是16个地区主成分1和主成分2的得分。（有兴趣的同学可以验证一下：上面推导出来的主成分的函数关系式计算出来的主成分得分是否与该数据栏的的得分一致）

8）综合得分及排序：

每个地区的综合得分是按照下列公式计算的：

Y=0.73476*主成分1得分+0.26524*主成分2得分

按照此公式计算出各地区的综合得分Y为：

按照综合得分Y的大小进行16个地区的排序：点击【数据】——【排序个案】

特别提醒：

1.若主成分分析中有n个变量，则特征值（或方差）之和就等于n；

2.特征向量（或主成分的系数）中各个数值的平方和等于1，否则就不是特征向量，也不是主成分系数；

3.主成分载荷向量各系数的平方和等于其对应的主成分的方差；

本例中0.9252 + 0.9022 + 0.8802 + 0.8782 + 0.5882 + 0.0932 = 3.568

4.SPSS没有专门的主成分分析模块，是在因子分析模块进行的。它只输出主成分载荷矩阵和因子得分值，而我们最想得到的主成分的系数（特征向量）和主成分则需要另外计算。

5.若计算没有错误，因子1、因子2、主成分1、主成分2和综合得分Y，它们各自的数值之和都等于0；

6.主成分分析应该计算出综合得分并排序。

主成分分析法建模课后习题

主成分分析法建模课后习题 1、用主成分分析方法探讨城市工业主体结构。表1是某市工业部门13个行业8项指标的数据 表1 某市工业部门13个行业8项指标的数据 年末固定资产净值（万元）职工人数 （人） 工业总产 值 （万元） 全员劳动 产率 （元/人 年） 百元固定 原资产值 实现产值 （元） 资金利税 率 （％） 标准燃料 消费量 （吨） 能源利用 效果 （万元/ 吨） 1(冶金) 90342 52455 101091 19272 82.000 16.100 197435 0.172 2(电力) 4903 1973 2035 10313 34.200 7.100 592077 0.003 3(煤炭) 6735 21139 3767 1780 36.100 8.200 726396 0.003 4(化学) 49454 36241 81557 22504 98.100 25.900 348226 0.985 5(机械) 139190 203505 215898 10609 93.200 12.600 139572 0.628 6(建材) 12215 16219 10351 6382 62.500 8.700 145818 0.066 7(森工) 2372 6572 8103 12329 184.400 22.200 20921 0.152 8(食品) 11062 23078 54935 23804 370.400 41.000 65486 0.263 9(纺织) 17111 23907 52108 21796 221.500 21.500 63806 0.276 10(缝纫) 1206 3930 6126 15586 330.400 29.500 1840 0.437 11(皮革) 2150 5704 6200 10870 184.200 12.000 8913 0.274 12(造纸) 5251 6155 10383 16875 146.400 27.500 78796 0.151 13(文教 艺术用 品) 14341 13203 19396 14691 94.600 17.800 6354 1.574 试用主成分分析方法确定8项指标的样本主成分（综合变量）；若要求损失信息不超过15％，应取几个主成分 2、某市为了全面分析机械类各企业的经济效益，选择了8个不同 的利润指标，14家企业关于这8个指标的统计数据如表3所示。 试进行主成分分析，并对所选取的主成分作出解释。 表2 14家企业的利润指标的统计数据 变量企业号净产值 利润率 固定资 产利润 率 总产值 利润率 销售收 入利润 率 产品成 本利润 率 物耗利 润率 人均利 润率 流动资 金利润 率 1 40.4 24.7 7. 2 6.1 8. 3 8.7 2.442 20.0

PCA主成分分析原理及应用

主元分析(PCA)理论分析及应用 什么是PCA? PCA是Principal component analysis的缩写，中文翻译为主元分析/主成分分析。它是一种对数据进行分析的技术，最重要的应用是对原有数据进行简化。正如它的名字：主元分析，这种方法可以有效的找出数据中最“主要”的元素和结构，去除噪音和冗余，将原有的复杂数据降维，揭示隐藏在复杂数据背后的简单结构。它的优点是简单，而且无参数限制，可以方便的应用与各个场合。因此应用极其广泛，从神经科学到计算机图形学都有它的用武之地。被誉为应用线形代数最价值的结果之一。 在以下的章节中，不仅有对PCA的比较直观的解释，同时也配有较为深入的分析。首先将从一个简单的例子开始说明PCA应用的场合以及想法的由来，进行一个比较直观的解释；然后加入数学的严格推导，引入线形代数，进行问题的求解。随后将揭示PCA与SVD(Singular Value Decomposition)之间的联系以及如何将之应用于真实世界。最后将分析PCA理论模型的假设条件以及针对这些条件可能进行的改进。 一个简单的模型 在实验科学中我常遇到的情况是，使用大量的变量代表可能变化的因素，例如光谱、电压、速度等等。但是由于实验环境和观测手段的限制，实验数据往往变得极其的复杂、混乱和冗余的。如何对数据进行分析，取得隐藏在数据背后的变量关系，是一个很困难的问题。在神经科学、气象学、海洋学等等学科实验中，假设的变量个数可能非常之多，但是真正的影响因素以及它们之间的关系可能又是非常之简单的。 下面的模型取自一个物理学中的实验。它看上去比较简单，但足以说明问题。如图表 1所示。这是一个理想弹簧运动规律的测定实验。假设球是连接在一个无质量无摩擦的弹簧之上，从平衡位置沿轴拉开一定的距离然后释放。

主成分分析原理及详解

第14章主成分分析 1 概述 1.1 基本概念 1.1.1 定义 主成分分析是根据原始变量之间的相互关系，寻找一组由原变量组成、而彼此不相关的综合变量，从而浓缩原始数据信息、简化数据结构、压缩数据规模的一种统计方法。 1.1.2 举例 为什么叫主成分，下面通过一个例子来说明。 假定有N 个儿童的两个指标x1与x2，如身高和体重。x1与x2有显著的相关性。当N较大时，N观测量在平面上形成椭圆形的散点分布图，每一个坐标点即为个体x1与x2的取值，如果把通过该椭圆形的长轴取作新坐标轴的横轴Z1，在此轴的原点取一条垂直于Z1的直线定为新坐标轴的Z2，于是这N个点在新坐标轴上的坐标位置发生了改变；同时这N个点的性质也发生了改变，他们之间的关系不再是相关的。很明显，在新坐标上Z1与N个点分布的长轴一致，反映了N个观测量个体间离差的大部分信息，若Z1反映了原始数据信息的80%，则Z2只反映总信息的20%。这样新指标Z1称为原指标的第 358

一主成分，Z2称为原指标的第二主成分。所以如果要研究N个对象的变异，可以只考虑Z1这一个指标代替原来的两个指标（x1与x2），这种做法符合PCA提出的基本要求，即减少指标的个数，又不损失或少损失原来指标提供的信息。 1.1.3 函数公式 通过数学的方法可以求出Z1和Z2与x1与x2之间的关系。 Z1=l11x1+ l12x2 Z2=l21x1+ l22x2 即新指标Z1和Z2是原指标x1与x2的线性函数。在统计学上称为第一主成分和第二主成分。 若原变量有3个，且彼此相关，则N个对象在3维空间成椭圆球分布，见图14-1。 通过旋转和改变原点（坐标0点），就可以得到第一主成分、第二主成分和第三主成分。如果第二主成分和第三主成分与第一主成高度相关，或者说第二主成分和第三主成分相对于第一主成分来说变异很小，即N个对象在新坐标的三维空间分布成一长杆状时，则只需用一个综合指标便能反映原始数据中3个变量的基本特征。 359

主成分分析法概念及例题

主成分分析法 [ 编辑 ] 什么是主成分分析法 主成分分析也称 主分量分析 ，旨在利用降维的思想，把多 指标 转化为少数几个综合指标。 在 统计学 中，主成分分析（ principal components analysis,PCA ）是一种简化数据集的技 术。它是一个线性变换。 这个变换把数据变换到一个新的坐标系统中， 使得任何数据投影的第一 大方差 在第一个坐标 （称为第一主成分 ）上，第二大方差在第二个坐标 （第二主成分 ）上，依次类推。 主成分分析经常用减少数据集的维数， 同时保持数据集的对 方差 贡献最大的特征。 这是通过保留 低阶主成分，忽略高阶主成分做到的。这样低阶成分往往能够保留住数据的最重要方面。但是， 这也不是一定的，要视具体应用而定。 [ 编辑 ] ， PCA ） 又称： 主分量分析，主成分回归分析法 主成分分析（ principal components analysis

主成分分析的基本思想 在实证问题研究中，为了全面、系统地分析问题，我们必须考虑众多影响因素。这些涉及的因素一般称为指标，在多元统计分析中也称为变量。因为每个变量都在不同程度上反映了所研究问题的某些信息，并且指标之间彼此有一定的相关性，因而所得的统计数据反映的信息在一定程度上有重叠。在用统计方法研究多变量问题时，变量太多会增加计算量和增加分析问题的复杂性，人们希望在进行定量分析的过程中，涉及的变量较少，得到的信息量较多。主成分分析正是适应这一要求产生的，是解决这类题的理想工具。 同样，在科普效果评估的过程中也存在着这样的问题。科普效果是很难具体量化的。在实际评估工作中，我们常常会选用几个有代表性的综合指标，采用打分的方法来进行评估，故综合指标的选取是个重点和难点。如上所述，主成分分析法正是解决这一问题的理想工具。因为评估所涉及的众多变量之间既然有一定的相关性，就必然存在着起支配作用的因素。根据这一点，通过对原始变量相关矩阵内部结构的关系研究，找出影响科普效果某一要素的几个综合指标，使综合指标为原来变量的线性拟合。这样，综合指标不仅保留了原始变量的主要信息，且彼此间不相关，又比原始变量具有某些更优越的性质，就使我们在研究复杂的科普效果评估问题时，容易抓住主要矛盾。上述想法可进一步概述为：设某科普效果评估要素涉及个指标，这指标构成的维随机向量为。对作正交变换，令，其中为正交阵，的各分量是不相关的，使得的各分量在某个评估要素中的作用容易解释，这就使得我们有可能从主分量中选择主要成分，削除对这一要素影响微弱的部分，通过对主分量的重点分析，达到对原始变量进行分析的目的。的各分量是原始变量线性组合，不同的分量表示原始变量之间不同的影响关系。由于这些基本关系很可能与特定的作用过程相联系，主成分分析使我们能从错综复杂的科普评估要素的众多指标中，找出一些主要成分，以便有效地利用大量统计数据，进行科普效果评估分析，使我们在研究科普效果评估问题中，可能得到深层次的一些启发，把科普效果评估研究引向深入。 例如，在对科普产品开发和利用这一要素的评估中，涉及科普创作人数百万人、科普作品发行量百万人、科普产业化（科普示范基地数百万人）等多项指标。经过主成分分析计算，最后确定个或个主成分作为综合评价科普产品利用和开发的综合指标，变量数减少，并达到一定的可信度，就容易进行科普效果的评估。 [ 编辑] 主成分分析法的基本原理 主成分分析法是一种降维的统计方法，它借助于一个正交变换，将其分量相关的原随机向量转化成其分量不相关的新随机向量，这在代数上表现为将原随机向量的协方差阵变换成对角形阵，在几何上表现为将原坐标系变换成新的正交坐标系，使之指向样本点散布最开的p 个正交方向，然后对多维变量系统进行降维处理，使之能以一个较高的精度转换成低维变量系统，再通过构造适当的价值函数，进一步把低维系统转化成一维系统。 [ 编辑] 主成分分析的主要作用

主成分分析练习题doc资料

主成分分析练习题

主成分分析 填空题 1．主成分分析是通过适当的变量替换，使新变量成为原变量的___________，并寻求_________的一种方法。 2．主成分分析的基本思想是______________。 3．主成分的协方差矩阵为_________矩阵。 4．主成分表达式的系数向量是_______________的特征向量。 5．原始变量协方差矩阵的特征根的统计含义是________________。 6．原始数据经过标准化处理，转化为均值为____ ，方差为____ 的标准值，且其________矩阵与相关系数矩阵相等。 7．因子载荷量的统计含义是_____________________________。 8．样本主成分的总方差等于_____________。 9．在经济指标综合评价中，应用主成分分析法，则评价函数中的权数为________________。 10．SPSS 中主成分分析采用______________命令过程。 计算题 1．设三个变量(x 1,x 2,x 3)的样本协方差矩阵为： 2 12 1002222222< <- ???? ????? ?r s r s r s s r s r s s 试求主成分及每个主成分的方差贡献率。 解特征方程：=∑-I λ0 2．在一项对杨树的性状的研究中，测定了20株杨树树叶，每个叶片测定了四个变量：叶 长(x 1),2/3处宽(x 2)，1/3处宽(x 3)，1/2处宽(x 4)。这四个变量的相关系数矩阵的特征根和标准正交特征向量分别为： )7930.0,5513.0,2519.0,0612.0(007 .0)1624.0,5589.0,7733.0,2516.0(049.0)0824.0,2695.0,0984.0,9544.0(024.1)5814.0,5577.0,5735.0,1485.0(920.24 43 32 211--='=--='=-='=---='=U U U U λλλλ (1)写出四个主成分，计算它们的贡献率。 (2)计算四个变量在前两个主成分上的载荷，由因子载荷矩阵，你认为这两个主 成分应该如何解释？你能给它们分别起个名字吗？ (3)根据原始数据和(1)中的结果，可以计算出20株杨树叶的第一、二主成分得 分，试以这两个主成分y 1和y 2为坐标，在(y 1,y 2)平面上按因子得分为坐标描出这20个样本点。 4．对纽约股票市场上的五种股票的周回升率x 1,x 2,x 3,x 4,x 5进行了主成分分析，其中x 1,x 2,x 3分别表示三个化学工业公司的股票回升率，x 4,x 5表示两个石油公司的股票回升率，主成分分析是从相关系数矩阵出发进行的，前两个特征根和对应的标准正交特征向量为：

主成分分析原理

主成分分析原理 （一）教学目的 通过本章的学习，对主成分分析从总体上有一个清晰地认识，理解主成分分析的基本思想和数学模型，掌握用主成分分析方法解决实际问题的能力。 （二）基本要求 了解主成分分析的基本思想，几何解释，理解主成分分析的数学模型，掌握主成分分析方法的主要步骤。 （三）教学要点 1、主成分分析基本思想，数学模型，几何解释 2、主成分分析的计算步骤及应用 （四）教学时数 3课时 （五）教学内容 1、主成分分析的原理及模型 2、主成分的导出及主成分分析步骤 在实际问题中，我们经常会遇到研究多个变量的问题，而且在多数情况下，多个变量之间常常存在一定的相关性。由于变量个数较多再加上变量之间的相关性，势必增加了分析问题的复杂性。如何从多个变量中综合为少数几个代表性变量，既能够代表原始变量的绝大多数信息，又互不相关，并且在新的综合变量基础上，可以进一步的统计分析，这时就需要进行主成分分析。 第一节主成分分析的原理及模型 一、主成分分析的基本思想与数学模型 （一）主成分分析的基本思想 主成分分析是采取一种数学降维的方法，找出几个综合变量来代替原来众多的变量，使这些综合变量能尽可能地代表原来变量的信息量，而且彼此之间互不相关。这种将把多个变量化为少数几个互相无关的综合变量的统计分析方法就叫做主成分分析或主分量分析。

主成分分析所要做的就是设法将原来众多具有一定相关性的变量，重新组合为一组新的相互无关的综合变量来代替原来变量。通常，数学上的处理方法就是将原来的变量做线性组合，作为新的综合变量，但是这种组合如果不加以限制，则可以有很多，应该如何选择呢？如果将选取的第一个线性组合即第一个综合变量记为1F ，自然希望它尽可能多地反映原来变量的信息，这里“信息”用方差来测量，即希望)(1F Var 越大，表示1F 包含的信息越多。因此在所有的线性组合中所选取的1F 应该是方差最大的，故称1F 为第一主成分。如果第一主成分不足以代表原来p 个变量的信息，再考虑选取2F 即第二个线性组合，为了有效地反映原来信息，1F 已有的信息就不需要再出现在2F 中，用数学语言表达就是要求0),(21=F F Cov ，称2F 为第二主成分，依此类推可以构造出第三、四……第p 个主成分。 （二）主成分分析的数学模型 对于一个样本资料，观测p 个变量p x x x ,,21，n 个样品的数据资料阵为： ?? ? ? ? ? ? ??=np n n p p x x x x x x x x x X 2 1 22221 11211 ()p x x x ,,21= 其中：p j x x x x nj j j j ,2,1, 21=???? ?? ? ??= 主成分分析就是将 p 个观测变量综合成为p 个新的变量（综合变量），即 ?? ???? ?+++=+++=+++=p pp p p p p p p p x a x a x a F x a x a x a F x a x a x a F 22112222121212121111 简写为： p jp j j j x x x F ααα+++= 2211 p j ,,2,1 = 要求模型满足以下条件：

主成分分析法PCA的原理

主成分分析法原理简介 1.什么是主成分分析法 主成分分析也称主分量分析，是揭示大样本、多变量数据或样本之间内在关系的一种方法，旨在利用降维的思想，把多指标转化为少数几个综合指标，降低观测空间的维数，以获取最主要的信息。 在统计学中，主成分分析（principal components analysis, PCA）是一种简化数据集的技术。它是一个线性变换。这个变换把数据变换到一个新的坐标系统中，使得任何数据投影的第一大方差在第一个坐标(称为第一主成分)上，第二大方差在第二个坐标(第二主成分)上，依次类推。主成分分析经常用减少数据集的维数，同时保持数据集的对方差贡献最大的特征。这是通过保留低阶主成分，忽略高阶主成分做到的。这样低阶成分往往能够保留住数据的最重要方面。但是，这也不是一定的，要视具体应用而定。 2.主成分分析的基本思想 在实证问题研究中，为了全面、系统地分析问题，我们必须考虑众多影响因素。这些涉及的因素一般称为指标，在多元统计分析中也称为变量。因为每个变量都在不同程度上反映了所研究问题的某些信息，并且指标之间彼此有一定的相关性，因而所得的统计数据反映的信息在一定程度上有重叠。在用统计方法研究多变量问题时，变量太多会增加计算量和增加分析问题的复杂性，人们希望在进行定量分析的过程中，涉及的变量较少，得到的信息量较多。主成分分析正是适应这一要求产生的，是解决这类题的理想工具。 对同一个体进行多项观察时必定涉及多个随机变量X1，X2，…，X p，它们之间都存在着相关性，一时难以综合。这时就需要借助主成分分析来概括诸多信息的主要方面。我们希望有一个或几个较好的综合指标来概括信息，而且希望综合指标互相独立地各代表某一方面的性质。

主成分分析法的步骤和原理 (1)

（一）主成分分析法的基本思想 主成分分析（Principal Component Analysis ）是利用降维的思想，将多个变量转化为少数几个综合变量（即主成分），其中每个主成分都是原始变量的线性组合，各主成分之间互不相关，从而这些主成分能够反映始变量的绝大部分信息，且所含的信息互不重叠。[2] 采用这种方法可以克服单一的财务指标不能真实反映公司的财务情况的缺点，引进多方面的财务指标，但又将复杂因素归结为几个主成分，使得复杂问题得以简化，同时得到更为科学、准确的财务信息。 （二）主成分分析法代数模型 假设用p 个变量来描述研究对象，分别用X 1，X 2…X p 来表示，这p 个变量构成的p 维随机向量为X=(X 1，X 2…X p )t 。设随机向量X 的均值为μ，协方差矩阵为Σ。对X 进行线性变化，考虑原始变量的线性组合： Z 1=μ11X 1+μ12X 2+…μ1p X p Z 2=μ21X 1+μ22X 2+…μ2p X p …… …… …… Z p =μp1X 1+μp2X 2+…μpp X p 主成分是不相关的线性组合Z 1，Z 2……Z p ，并且Z 1是X 1，X 2…X p 的线性组合中方差最大者，Z 2是与Z 1不相关的线性组合中方差最大者，…，Z p 是与Z 1，Z 2 ……Z p-1都不相关的线性组合中方差最大者。 （三）主成分分析法基本步骤 第一步：设估计样本数为n ，选取的财务指标数为p ，则由估计样本的原始数据可得矩阵X=(x ij )m ×p ，其中x ij 表示第i 家上市公司的第j 项财务指标数据。 第二步：为了消除各项财务指标之间在量纲化和数量级上的差别，对指标数据进行标准化，得到标准化矩阵（系统自动生成）。 第三步：根据标准化数据矩阵建立协方差矩阵R ，是反映标准化后的数据之间相关关系密切程度的统计指标，值越大，说明有必要对数据进行主成分分析。其中，R ij （i ，j=1，2，…，p ）为原始变量X i 与X j 的相关系数。R 为实对称矩阵 （即R ij =R ji ），只需计算其上三角元素或下三角元素即可，其计算公式为： 2211)()() ()(j kj n k i kj j kj n k i kj ij X X X X X X X X R -=--=-=∑∑ 第四步：根据协方差矩阵R 求出特征值、主成分贡献率和累计方差贡献率，确定主成分个数。解特征方程0=-R E λ，求出特征值λi （i=1，2，…，p ）。 因为R 是正定矩阵，所以其特征值λi 都为正数，将其按大小顺序排列，即λ1≥λ2≥…≥λi ≥0。特征值是各主成分的方差，它的大小反映了各个主成分的影响力。主成分Z i 的贡献率W i =∑=p j j j 1λλ，累计贡献率为

主成分分析及二次回归分析的

基于主成分分析及二次回归分析的城市生活垃圾热值建模 1. 引言 随着人们经济水平的提高、环保意识的增强、环保法规日益严格和国家垃圾处理产业化政策的实施，垃圾填埋处理的弊端将引起重视、运营费用将大大增加，而垃圾焚烧处理的优势将逐渐呈现出来并最终获得人们的认可。以城市生活垃圾为燃料而建立垃圾电站进行电力生产，很好的实现了生活垃圾的无害化、资源化利用。 而我国的城市生活垃圾成分复杂，用作为燃料时稳定性较差，因此分析垃圾的成分、计算垃圾的热值模型是垃圾焚烧发电的工艺设计和运营管理中必不可少的基础性工作。 因为我国不同地区人们生活习惯及生活条件差异较大，导致城市生活垃圾成分也存在很大的地域性差异，因此，本文以深圳市为例，对深圳市宝安区的生活垃圾采样数据进行分析，并建立其计算模型。 2. 回归分析及主成分分析理论 2.1. 回归分析 回归分析是一种应用极为广泛的数量分析方法。它用于分析事物之间的统计关系，通过回归方程的形式描述和反应这种关系。 2.2. 一般回归模型 如果变量与随机p 变量y 之间存在着相关关系，通常就意味着当x , x ....x 1 2 p x , x ....x取定值后y 便有相应的概率分布与之对应，其概率模型为： = ( , ... ) +e （2-1）1 2 p y f x x x其中p为称自变量，y 称为因变量，为自变量的确定性关系，ε表示x , x ....x 1 2 ( , .... ) 1 2 p f x x x随机误差。 2.3. 线性回归模型 回归模型分为线性回归模型和非线性回归模型，线性回归又有一元线性回归和多元线性回归之分。当变量之间的关系是线性关系的模型都称为线性回归模 型，否则就称之为非线性回归模型。当概率模型（2-1）中的回归函数为线性函数时，有： = b + b + b +e （2-2）p p y x ... x 0 1 1其中βi 是p+1 个未知参数，β0 称为回归常数，β1...βp 称为回归系数。 2.4. 主成分分析 上述的线性回归模型的应用前提是作为自变量的各指标之间相互独立，即不

主成分分析原理

第七章主成分分析 （一）教学目的 通过本章的学习，对主成分分析从总体上有一个清晰地认识，理解主成分分析的基本思想和数学模型，掌握用主成分分析方法解决实际问题的能力。 （二）基本要求 了解主成分分析的基本思想，几何解释，理解主成分分析的数学模型，掌握主成分分析方法的主要步骤。 （三）教学要点 1、主成分分析基本思想，数学模型，几何解释 2、主成分分析的计算步骤及应用 （四）教学时数 3课时 （五）教学内容 1、主成分分析的原理及模型 2、主成分的导出及主成分分析步骤 在实际问题中，我们经常会遇到研究多个变量的问题，而且在多数情况下，多个变量之间常常存在一定的相关性。由于变量个数较多再加上变量之间的相关性，势必增加了分析问题的复杂性。如何从多个变量中综合为少数几个代表性变量，既能够代表原始变量的绝大多数信息，又互不相关，并且在新的综合变量基础上，可以进一步的统计分析，这时就需要进行主成分分析。 第一节主成分分析的原理及模型 一、主成分分析的基本思想与数学模型 （一）主成分分析的基本思想 主成分分析是采取一种数学降维的方法，找出几个综合变量来代替原来众多的变量，使这些综合变量能尽可能地代表原来变量的信息量，而且彼此之间互不相关。这种将把多个变量化为少数几个互相无关的综合变量的统计分析方法就叫做主成分分析或主分量分析。

主成分分析所要做的就是设法将原来众多具有一定相关性的变量，重新组合为一组新的相互无关的综合变量来代替原来变量。通常，数学上的处理方法就是将原来的变量做线性组合，作为新的综合变量，但是这种组合如果不加以限制，则可以有很多，应该如何选择呢？如果将选取的第一个线性组合即第一个综合变量记为1F ，自然希望它尽可能多地反映原来变量的信息，这里“信息”用方差来测量，即希望)(1F Var 越大，表示1F 包含的信息越多。因此在所有的线性组合中所选取的1F 应该是方差最大的，故称1F 为第一主成分。如果第一主成分不足以代表原来p 个变量的信息，再考虑选取2F 即第二个线性组合，为了有效地反映原来信息，1F 已有的信息就不需要再出现在2F 中，用数学语言表达就是要求0),(21=F F Cov ，称2F 为第二主成分，依此类推可以构造出第三、四……第p 个主成分。 （二）主成分分析的数学模型 对于一个样本资料，观测p 个变量p x x x ,,21，n 个样品的数据资料阵为： ??????? ??=np n n p p x x x x x x x x x X 21 222 21112 11()p x x x ,,21= 其中：p j x x x x nj j j j ,2,1,21=?????? ? ??= 主成分分析就是将p 个观测变量综合成为p 个新的变量（综合变量），即 ???????+++=+++=+++=p pp p p p p p p p x a x a x a F x a x a x a F x a x a x a F 22112222121212121111 简写为： p jp j j j x x x F ααα+++= 2211 p j ,,2,1 = 要求模型满足以下条件：

主成分分析法概念及例题.doc

主成分分析法 主成分分析（principal components analysis，PCA）又称：主分量分析，主成分回归分析法 [编辑] 什么是主成分分析法 主成分分析也称主分量分析，旨在利用降维的思想，把多指标转化为少数几个综合指标。 在统计学中，主成分分析（principal components analysis,PCA）是一种简化数据集的技术。它是一个线性变换。这个变换把数据变换到一个新的坐标系统中，使得任何数据投影的第一大方差在第一个坐标(称为第一主成分)上，第二大方差在第二个坐标(第二主成分)上，依次类推。主成分分析经常用减少数据集的维数，同时保持数据集的对方差贡献最大的特征。这是通过保留低阶主成分，忽略高阶主成分做到的。这样低阶成分往往能够保留住数据的最重要方面。但是，这也不是一定的，要视具体应用而定。 [编辑] 主成分分析的基本思想

在实证问题研究中，为了全面、系统地分析问题，我们必须考虑众多影响因素。这些涉及的因素一般称为指标，在多元统计分析中也称为变量。因为每个变量都在不同程度上反映了所研究问题的某些信息，并且指标之间彼此有一定的相关性，因而所得的统计数据反映的信息在一定程度上有重叠。在用统计方法研究多变量问题时，变量太多会增加计算量和增加分析问题的复杂性，人们希望在进行定量分析的过程中，涉及的变量较少，得到的信息量较多。主成分分析正是适应这一要求产生的，是解决这类题的理想工具。 同样，在科普效果评估的过程中也存在着这样的问题。科普效果是很难具体量化的。在实际评估工作中，我们常常会选用几个有代表性的综合指标，采用打分的方法来进行评估，故综合指标的选取是个重点和难点。如上所述，主成分分析法正是解决这一问题的理想工具。因为评估所涉及的众多变量之间既然有一定的相关性，就必然存在着起支配作用的因素。根据这一点，通过对原始变量相关矩阵内部结构的关系研究，找出影响科普效果某一要素的几个综合指标，使综合指标为原来变量的线性拟合。这样，综合指标不仅保留了原始变量的主要信息，且彼此间不相关，又比原始变量具有某些更优越的性质，就使我们在研究复杂的科普效果评估问题时，容易抓住主要矛盾。上述想法可进一步概述为：设某科普效果评估要素涉及个指标，这指标构成的维随机向量为。对作正交变换，令，其中为正交阵，的各分量是不相关的，使得的各分量在某个评估要素中的作用容易解释，这就使得我们有可能从主分量中选择主要成分，削除对这一要素影响微弱的部分，通过对主分量的重点分析，达到对原始变量进行分析的目的。的各分量是原始变量线性组合，不同的分量表示原始变量之间不同的影响关系。由于这些基本关系很可能与特定的作用过程相联系，主成分分析使我们能从错综复杂的科普评估要素的众多指标中，找出一些主要成分，以便有效地利用大量统计数据，进行科普效果评估分析，使我们在研究科普效果评估问题中，可能得到深层次的一些启发，把科普效果评估研究引向深入。 例如，在对科普产品开发和利用这一要素的评估中，涉及科普创作人数百万人、科普作品发行量百万人、科普产业化（科普示范基地数百万人）等多项指标。经过主成分分析计算，最后确定个或个主成分作为综合评价科普产品利用和开发的综合指标，变量数减少，并达到一定的可信度，就容易进行科普效果的评估。 [编辑] 主成分分析法的基本原理 主成分分析法是一种降维的统计方法，它借助于一个正交变换，将其分量相关的原随机向量转化成其分量不相关的新随机向量，这在代数上表现为将原随机向量的协方差阵变换成对角形阵，在几何上表现为将原坐标系变换成新的正交坐标系，使之指向样本点散布最开的p 个正交方向，然后对多维变量系统进行降维处理，使之能以一个较高的精度转换成低维变量系统，再通过构造适当的价值函数，进一步把低维系统转化成一维系统。 [编辑] 主成分分析的主要作用

主成分分析法的原理应用及计算步骤..

一、概述 在处理信息时，当两个变量之间有一定相关关系时，可以解释为这两个变量反映此课题的信息有一定的重叠，例如，高校科研状况评价中的立项课题数与项目经费、经费支出等之间会存在较高的相关性；学生综合评价研究中的专业基础课成绩与专业课成绩、获奖学金次数等之间也会存在较高的相关性。而变量之间信息的高度重叠和高度相关会给统计方法的应用带来许多障碍。 为了解决这些问题，最简单和最直接的解决方案是削减变量的个数，但这必然又会导致信息丢失和信息不完整等问题的产生。为此，人们希望探索一种更为有效的解决方法，它既能大大减少参与数据建模的变量个数，同时也不会造成信息的大量丢失。主成分分析正式这样一种能够有效降低变量维数，并已得到广泛应用的分析方法。 主成分分析以最少的信息丢失为前提，将众多的原有变量综合成较少几个综合指标，通常综合指标（主成分）有以下几个特点： ↓主成分个数远远少于原有变量的个数 原有变量综合成少数几个因子之后，因子将可以替代原有变量参与数据建模，这将大大减少分析过程中的计算工作量。 ↓主成分能够反映原有变量的绝大部分信息 因子并不是原有变量的简单取舍，而是原有变量重组后的结果，因此不会造成原有变量信息的大量丢失，并能够代表原有变量的绝大部分信息。 ↓主成分之间应该互不相关 通过主成分分析得出的新的综合指标（主成分）之间互不相关，因子参与数据建模能够有效地解决变量信息重叠、多重共线性等给分析应用带来的诸多问题。 ↓主成分具有命名解释性 总之，主成分分析法是研究如何以最少的信息丢失将众多原有变量浓缩成少数几个因子，如何使因子具有一定的命名解释性的多元统计分析方法。 二、基本原理 主成分分析是数学上对数据降维的一种方法。其基本思想是设法将原来众多的具有一定相关性的指标X1，X2，…，XP （比如p 个指标），重新组合成一组较少个数的互不相关的综合指标Fm 来代替原来指标。那么综合指标应该如何去提取，使其既能最大程度的反映原变量Xp 所代表的信息，又能保证新指标之间保持相互无关（信息不重叠）。 设F1表示原变量的第一个线性组合所形成的主成分指标，即 11112121...p p F a X a X a X =+++,由数学知识可知，每一个主成分所提取的信息量可 用其方差来度量，其方差Var(F1)越大，表示F1包含的信息越多。常常希望第一主成分F1所含的信息量最大，因此在所有的线性组合中选取的F1应该是X1，X2，…，XP 的所有线性组合中方差最大的，故称F1为第一主成分。如果第一主成分不足以代表原来p 个指标的信息，再考虑选取第二个主成分指标F2，为有效地反映原信息，F1已有的信息就不需要再出现在F2中，即F2与F1要保持独立、不相关，用数学语言表达就是其协方差Cov(F1, F2)=0，所以F2是与F1不

(整理)(真正的好东西)偏最小二乘回归=多元线性回归分析+典型相关分析+主成分分析.

偏最小二乘回归是一种新型的多元统计数据分析方法，它与1983年由伍德和阿巴诺等人首次提出。近十年来，它在理论、方法和应用方面都得到了迅速的发展。密西根大学的弗耐尔教授称偏最小二乘回归为第二代回归分析方法。 偏最小二乘回归方法在统计应用中的重要性主要的有以下几个方面：（1）偏最小二乘回归是一种多因变量对多自变量的回归建模方法。 （2）偏最小二乘回归可以较好地解决许多以往用普通多元回归无法解决的问题。在普通多元线形回归的应用中，我们常受到许多限制。最典型的问题就是自变量之间的多重相关性。如果采用普通的最小二乘方法，这种变量多重相关性就会严重危害参数估计，扩大模型误差，并破坏模型的稳定性。变量多重相关问题十分复杂，长期以来在理论和方法上都未给出满意的答案，这一直困扰着从事实际系统分析的工作人员。在偏最小二乘回归中开辟了一种有效的技术途径，它利用对系统中的数据信息进行分解和筛选的方式，提取对因变量的解释性最强的综合变量，辨识系统中的信息与噪声，从而更好地克服变量多重相关性在系统建模中的不良作用。 （3）偏最小二乘回归之所以被称为第二代回归方法，还由于它可以实现多种数据分析方法的综合应用。 由于偏最小二乘回归在建模的同时实现了数据结构的简化，因此，可以在二维平面图上对多维数据的特性进行观察，这使得偏最小二乘回归分析的图形功能十分强大。在一次偏最小二乘回归分析计算后，不但可以得到多因变量对多自变量的回归模型，而且可以在平面图上直接观察两组变量之间的相关关系，以及观察样本点间的相似性结构。这种高维数据多个层面的可视见性，可以使数据系统的分析内容更加丰富，同时又可以对所建立的回归模型给予许多更详细深入的实际解释。 一、偏最小二乘回归的建模策略\原理\方法

主成分分析法概念及例题

主成分分析法 主成分分析(principal components analysis,PCA)又称:主分量分析,主成分回归分析法 [编辑] 什么就是主成分分析法 主成分分析也称主分量分析,旨在利用降维的思想,把多指标转化为少数几个综合指标。 在统计学中,主成分分析(principal components analysis,PCA)就是一种简化数据集的技术。它就是一个线性变换。这个变换把数据变换到一个新的坐标系统中,使得任何数据投影的第一大方差在第一个坐标(称为第一主成分)上,第二大方差在第二个坐标(第二主成分)上,依次类推。主成分分析经常用减少数据集的维数,同时保持数据集的对方差贡献最大的特征。这就是通过保留低阶主成分,忽略高阶主成分做到的。这样低阶成分往往能够保留住数据的最重要方面。但就是,这也不就是一定的,要视具体应用而定。 [编辑] 主成分分析的基本思想

在实证问题研究中,为了全面、系统地分析问题,我们必须考虑众多影响因素。这些涉及的因素一般称为指标,在多元统计分析中也称为变量。因为每个变量都在不同程度上反映了所研究问题的某些信息,并且指标之间彼此有一定的相关性,因而所得的统计数据反映的信息在一定程度上有重叠。在用统计方法研究多变量问题时,变量太多会增加计算量与增加分析问题的复杂性,人们希望在进行定量分析的过程中,涉及的变量较少,得到的信息量较多。主成分分析正就是适应这一要求产生的,就是解决这类题的理想工具。 同样,在科普效果评估的过程中也存在着这样的问题。科普效果就是很难具体量化的。在实际评估工作中,我们常常会选用几个有代表性的综合指标,采用打分的方法来进行评估,故综合指标的选取就是个重点与难点。如上所述,主成分分析法正就是解决这一问题的理想工具。因为评估所涉及的众多变量之间既然有一定的相关性,就必然存在着起支配作用的因素。根据这一点,通过对原始变量相关矩阵内部结构的关系研究,找出影响科普效果某一要素的几个综合指标,使综合指标为原来变量的线性拟合。这样,综合指标不仅保留了原始变量的主要信息,且彼此间不相关,又比原始变量具有某些更优越的性质,就使我们在研究复杂的科普效果评估问题时,容易抓住主要矛盾。上述想法可进一步概述为:设某科普效果评估要素涉及个指标,这指标构成的维随机向量为。对作正交变换,令,其中为正交阵,的各分量就是不相关的,使得的各分量在某个评估要素中的作用容易解释,这就使得我们有可能从主分量中选择主要成分,削除对这一要素影响微弱的部分,通过对主分量的重点分析,达到对原始变量进行分析的目的。的各分量就是原始变量线性组合,不同的分量表示原始变量之间不同的影响关系。由于这些基本关系很可能与特定的作用过程相联系,主成分分析使我们能从错综复杂的科普评估要素的众多指标中,找出一些主要成分,以便有效地利用大量统计数据,进行科普效果评估分析,使我们在研究科普效果评估问题中,可能得到深层次的一些启发,把科普效果评估研究引向深入。 例如,在对科普产品开发与利用这一要素的评估中,涉及科普创作人数百万人、科普作品发行量百万人、科普产业化(科普示范基地数百万人)等多项指标。经过主成分分析计算,最后确定个或个主成分作为综合评价科普产品利用与开发的综合指标,变量数减少,并达到一定的可信度,就容易进行科普效果的评估。 [编辑] 主成分分析法的基本原理 主成分分析法就是一种降维的统计方法,它借助于一个正交变换,将其分量相关的原随机向量转化成其分量不相关的新随机向量,这在代数上表现为将原随机向量的协方差阵变换成对角形阵,在几何上表现为将原坐标系变换成新的正交坐标系,使之指向样本点散布最开的p 个正交方向,然后对多维变量系统进行降维处理,使之能以一个较高的精度转换成低维变量系统,再通过构造适当的价值函数,进一步把低维系统转化成一维系统。 [编辑] 主成分分析的主要作用

主成分分析在STATA中的实现以及理论介绍

第十二章 主成分分析 主成分分分析也称作主分量分析，是霍特林(Hotelling)在1933年首先提出。主成分分析是利用降维的思想，在损失较少信息的前提下把多个指标转化为较少的综合指标。转化生成的综合指标即称为主成分，其中每个主成分都是原始变量的线性组合，且各个主成分互不相关。Stata 对主成分分析的主要内容包括：主成分估计、主成分分析的恰当性（包括负偏协方差矩阵和负偏相关系数矩阵、KMO(Kaiser-Meyer-Olkin)抽样充分性、复相关系数、共同度等指标测度）、主成分的旋转、预测、各种检验、碎石图、得分图、载荷图等。 p j n i b a y ij j i ij ,,2,1,,2,1,' ==+=ε 主成分的模型表达式为： p p j i i i i diag v v v v i p V V C λλλλλλλ≥≥≥=∧='' ==∧=∑ 2121),,,,(0 1 其中，a 称为得分，b 称为载荷。主成分分析主要的分析方法是对相关系数矩阵（或协方差矩阵）进行特征值分析。 Stata 中可以通过负偏相关系数矩阵、负相关系数平方和KMO 值对主成分分析的恰当性进行分析。负偏相关系数矩阵即变量之间两两偏相关系数的负数。非对角线元素则为负的偏相关系数。如果变量之间存在较强的共性，则偏相关系数比较低。因此，如果矩阵中偏相关系数较高的个数比较多，说明某一些变量与另外一些变量的相关性比较低，主成分模型可能不适用。这时，主成分分析不能得到很好的数据约化效果。 Kaiser-Meyer-Olkin 抽样充分性测度也是用于测量变量之间相关关系的强弱的重要指标，是通过比较两个变量的相关系数与偏相关系数得到的。KMO 介于0于1之间。KMO 越高，表明变量的共性越强。如果偏相关系数相对于相关系数比较高，则KMO 比较低，主成分分析不能起到很好的数据约化效果。根据Kaiser （1974），一般的判断标准如下：0.00-0.49,不能接受（unacceptable ）;0.50-0.59,非常差（miserable ）；0.60-0.69，勉强接受（mediocre ）；0.70-0.79,可以接受（middling ）；0.80-0.89，比较好（meritorious ）；0.90-1.00,非常好（marvelous ）。 SMC 即一个变量与其他所有变量的复相关系数的平方，也就是复回归方程的可决系数。SMC 比较高表明变量的线性关系越强，共性越强，主成分分析就越合适。 成分载荷、KMO 、SMC 等指标都可以通过extat 命令进行分析。 多元方差分析是方差分析在多元中的扩展，即模型含有多个响应变量。本章介绍多元（协）方差分析以及霍特林（Hotelling)均值向量T 检验。 12.1 主成分估计 Stata 可以通过变量进行主成分分析，也可以直接通过相关系数矩阵或协方差矩阵进行。 （1）sysuse auto,clear pca trunk weight length headroom pca trunk weight length headroom, comp(2) covariance

一、主成分分析基本原理

一、主成分分析基本原理 概念：主成分分析是把原来多个变量划为少数几个综合指标的一种统计分析方法。从数学角度来看，这是一种降维处理技术。 思路：一个研究对象，往往是多要素的复杂系统。变量太多无疑会增加分析问题的难度和复杂性，利用原变量之间的相关关系，用较少的新变量代替原来较多的变量，并使这些少数变量尽可能多的保留原来较多的变量所反应的信息，这样问题就简单化了。 原理：假定有n个样本，每个样本共有p个变量，构成一个n×p阶的数据矩阵， 记原变量指标为x 1，x 2 ，…，x p ，设它们降维处理后的综合指标，即新变量 为 z 1，z 2 ，z 3 ，…，z m (m≤p)，则 系数l ij 的确定原则： ①z i 与z j （i≠j；i，j=1，2，…，m）相互无关； ②z 1是x 1 ，x 2 ，…，x P 的一切线性组合中方差最大者，z 2 是与z 1 不相关的x 1 ，x 2 ，…， x P 的所有线性组合中方差最大者； z m 是与z 1 ，z 2 ，……，z m－1 都不相关的x 1 ， x 2， (x) P ，的所有线性组合中方差最大者。 新变量指标z 1 ，z 2 ，…，z m 分别称为原变量指标x 1 ，x 2 ，…，x P 的第1，第2，…， 第m主成分。 从以上的分析可以看出，主成分分析的实质就是确定原来变量x j （j=1， 2 ，…， p）在诸主成分z i （i=1，2，…，m）上的荷载 l ij （ i=1，2，…，m； j=1，2 ，…，p）。 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? = np n n p p x x x x x x x x x X Λ M M M Λ Λ 2 1 2 22 21 1 12 11 ? ? ? ? ? ? ? + + + = + + + = + + + = p mp m m m p p p p x l x l x l z x l x l x l z x l x l x l z Λ Λ Λ 2 2 1 1 2 2 22 1 21 2 1 2 12 1 11 1 .. ..........