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泛函分析复习题2012
1．在实数轴R 上，令p
y x y x d ||),(-=，当p 为何值时，R 是度量
空间，p 为何值时，R 是赋范空间。
解：若R 是度量空间，所以R z y x ∈?,,，必须有：
),(),(),(z y d y x d z x d +≤成立
即p
p
p
z y y x z x ||||||-+-≤-，取1,0,1-===z y x ， 有2112=+≤p
p p ，所以，1≤p
若R 是赋范空间，p
x x x d ||||||)0,(==，所以R k x ∈?,， 必须有：||||||||||x k kx ?=成立，即p
p
x k kx ||||||=，1=p ， 当1≤p 时，若R 是度量空间，1=p 时，若R 是赋范空间。
2．若),(d X 是度量空间，则)1,m in(1d d =，d
d
d +=12也是使X 成为度量空间。
解：由于),(d X 是度量空间，所以X z y x ∈?,,有： 1）0),(≥y x d ，因此0)1),,(m in(),(1≥=y x d y x d
和0)
,(1)
,(),(2≥+=
y x d y x d y x d
且当y x =时0),(=y x d ，
于是0)1),,(m in(),(1==y x d y x d 和0)
,(1)
,(),(2=+=y x d y x d y x d
以及若
0)1),,(m in(),(1==y x d y x d 或0)
,(1)
,(),(2=+=
y x d y x d y x d
均有0),(=y x d 成立，于是y x =成立 2）),(),(y x d x y d =，
因此),()1),,(m in()1),,(m in(),(11y x d y x d x y d x y d === 和),()
,(1)
,(),(1),(),(22y x d y x d y x d x y d x y d x y d =+=+=
3）),(),(),(z y d y x d z x d +≤，因此
}1),,(),(m in{)1),,(m in(),(1z y d y x d z x d z x d +≤= ),(),()1),,(m in()1),,(m in(11z y d y x d z y d y x d +=+≤
以及设x
x
x f +=
1)(，0)1(1)(2
>+='x x f ，所以)(x f 单增， 所以)
,(),(1),(),(),(1),(),(2z y d y x d z y d y x d z x d z x d z x d +++≤+=
),(),(1)
,(),(),(1),(z y d y x d z y d z y d y x d y x d +++++=
),(),()
,(1)
,(),(1),(22z y d y x d z y d z y d y x d y x d +=+++≤
综上所述)1,m in(1d d =和d
d
d +=
12均满足度量空间的三条件， 故),(1y x d 和),(2y x d 均使X 成为度量空间。
3．设H 是内积空间，H y y x x n n ∈,,,，则当x x n →，y y n →时，
),(),(y x y x n n →，即内积关于两变元连续。
解：H 是内积空间，设||||?是由其内积导出的范数，由于x x n →，
y y n →，
所以0>?ε，0n ?使得当0n n >时均有ε<-||||x x n 和
ε<-||||y y n
同时由于y y n →，故知n y 有界，H x ∈所以||||x 有限。因此可取
||)||||,(||sup 1n n y x M ∞
≤≤=
因此|),(),(),(),(||),(),(|y x y x y x y x y x y x n n n n n n -+-=-
|
),(||),(||),(),(||),(),(|y y x y x x y x y x y x y x n n n n n n n -+-=-+-≤
ε
M y y M x x M y y x y x x n n n n n 2||||||||||||||||||||||||≤-+-≤-?+?-≤
故0)},(),(lim{=-∞
→y x y x n n n ，即),(),(y x y x n n →
4．设Y X ,是线性赋范空间，Y X T →:是线性算子，则T 不是连续的，当且仅当X x n ∈?，使得0→n x ，但∞→||||n Tx
解：设T 不是连续的，则T 在X 上的每一点0x 都不是连续的，因此在点00=x 也不是连续的。则T 在包含X 上0点的任何有界邻域内
均无界，
取X O S ?=)2
1,0(1，则T 在1S 上无界，因此11S x ∈?， 使得1||||1>Tx 成立。 取X O S ?=)2
1
,
0(22，则T 在2S 上无界，因此22S x ∈?， 使得2||||2>Tx 成立。 类似地过程一直进行，直到 取X O S n n ?=)2
1
,
0(，则T 在n S 上无界，因此n n S x ∈?， 使得n Tx n >||||成立。
因此，X x n ∈?，使得0→n x ，但∞→||||n Tx
另外，如果有X x n ∈，当0→n x ，有∞→||||n Tx
由于在Y 上不能找到一点Y y ∈，使得∞=||||Ty ，因此对所有的点Y y ∈，均无法使得∞=||||Ty 成立，因此，在条件0→n x 下，对于所有的点Y y ∈，Ty Tx n →||||均不成立。所以T 在X 上的0点不是连续的，故T 不是连续的。
5．对于每个有界序列)(n α，定义线性算子p
p l l T →:，
),,(|),,(221121ΛΛx x x x αα→
求?||||=T
解：由于)(n α有界，所以有0>M ，使得||sup n n
M α=
对于p
l x x x ∈=?),,(21Λ，∞<=
∑∞
=1
||||||i p i
p p
x
x ，
从而
p n i p i
x
ε<∑∞
+=1
||
∞<=≤=∑∑∞
=∞
=p
p p i p i p
i p
i i p p
x M x M
x Tx ||||||||||||1
1
α ||||||||x M Tx ≤，从而M T ≤||||
另外，有)(n α有界序列，设||sup n n
M α=，
则对0>?ε，有0n ，使得0||0>->εαM n 可取p n
n n l snga x
∈=),,,0,0(0)
(Λ443
4421Λ，所以1||||)(=n x
p n i p i i p p
n x Tx
||||||||01
)
(αα==∑∞
=，因此εα-==M Tx n p n ||||||0)(
ε->M T ||||，由于ε的任意性，于是有M T ≥||||成立
综上所述有||sup ||||n n
M T α==
6．我们知道有命题：对于算子序列n T ，若0||||→-T T n ，则X x ∈?，
0||||→-Tx x T n 。此命题的逆命题不成立。
试考虑算子序列2
2:l l T n →，
),0,,,,(),,,,,(21121ΛΛΛΛn n n n x x x x x x x T =+。
解：2
)(l x x n ∈=?，∞<=∑∞
=2
11
2
)||(
||||n n
x
x ，
所以0)||(
2
12
→∑∞
=n n n
x
（∞→0n ）
取x Tx =，),,,0,,0,0(21ΛΛ++=-n n n x x x T Tx
，
我们有0)||(
||||2
11
2→=-∑∞
+=n k k
n x
Tx x T （∞→n ）
另外，对每个固定的n ，我们都可以找到一个元素
211
),0,1,0,,0,0(l e n n ∈=++Λ48
476Λ，
有1||||1=+n e ，但111+++=-n n n n e e T Te ，
1||||||||111==-+++n n n n e e T Te
因此1||||≥-T T n ，n ?，故0||||→-T T n 不成立。
7．设Y X ,是线性赋范空间，Y X T →:是线性算子，则)(T G 闭，当且仅当X x n ∈?，使得0→n x ，y Tx y n n →=时，有0=y 。
解：)(T G 闭，即有X x n ∈?，0→n x ，则Y T y ∈==?00，使得0=→=y Tx y n n
另外，当X x n ∈?，0→n x ，使得0→=n n Tx y 因此对于X x n ∈?，X x x n ∈→，取X x x z n n ∈-=?， 有0→-=x x z n n ，
于是有0)(→-=-=Tx Tx x x T Tz n n n ，即Tx Tx n →， 所以)(T G 闭
8．证明1*0l c =，其中*0c f ∈时有序列1
)(l n ∈η使得
n n n x x f ∑∞
==1
)(η，0)(c x x n ∈=?
解：0c 是所有极限为0的序列全体的集合，范数||sup ||||i i
x x =，
在0c 中取基元集
},2,1),,0,1,0,,0,0(|{ΛΛ434
21Λ===n e e F n
n n
则对021),,,,(c x x x x n ∈=?ΛΛ，有i n
i i n e x x ∑=∞
→=1
lim
设*
0c f ∈，记Λ,2,1),(==i e f i i η，所以有
i
i i i n i i n i n i i n i n
i i n i n i i n x x e f x e x f e x f x f ηη∑∑∑∑∑∞
==∞
→=∞
→=∞
→=∞
→=====1
1
1
1
1
lim )(lim )
(lim )lim ()(
取),0,,,,(21)
(ΛΛn i i i n e e e x θθθ---=，其中i i ηθarg =， 则0)
(c x
n ∈
且1||||)
(=n x
，∑∑==-==n
i i i n
i i n i
e
x
f 1
1
)
(||)(ηηθ，所以
|||||||||||||)(|||)()(1
f x f x f n n n
i i
≤?≤≤∑=η
令∞→n ，即得1
21),,,,(l n ∈=ΛΛηηηη，
且||||||||||1
f i i
≤=
∑∞
=η
η
再证反向不等式。对021),,,,(c x x x x n ∈=?ΛΛ，
对每个1
21),,,,(l n ∈=ΛΛηηηη
定义i
i i x x f η∑∞
==
1
)(，则f 是0
c
上的线性泛函，且有
||||||||||||sup |||)(|1
1
ηηη?=?≤=∑∑∞
=∞
=x x x x f i i i i
i i i
所以*
0c f ∈，且||||||||η≤f 。综合两个不等式得||||||||η=f
映射
)
,,,,()),(,),(),((,
:21211*0ΛΛΛΛn n e f e f e f f l c T ηηη=→→
使得021),,,,(c x x x x n ∈=?ΛΛ，有i
i i x x f η∑∞
==
1
)(成立
则T 线性保距同构映射，因此1
*0l c =
9．设H 是Hilbert 空间，{}n x 是H 中正交集，则以下三条等价； 1）
∑∞
=1
n n
x
收敛，2）H y ∈?，
),(1
y x
n n
∑∞
=收敛，3）21
||||∑∞
=n n x 收敛
解：)2)1?，已知
∑∞
=1
n n
x
收敛，取∑==
m
n n
m x
s 1
，则m s 收敛，
||||m s 收敛于有限数。
则，H y ∈?，|||||||||),(||),(||),(|
1
1
y s y s y x y x
m m m
n n m
n n
?≤==∑∑==
所以
),(1
y x
n n
∑∞
=收敛。
)3)2?，已知H y ∈?，),(1
y x n n ∑∞
=收敛，即H y ∈?，
标量列),(1
y x
m
n n
m ∑==
α收敛，
取∑==
m
n n
x
y 1
，
此时∑∑∑∑=======
m
n n n m
n n
m i i
m n n
m x x x
x x 1
21
1
1
||||),(),(α
由标量列m α收敛，从而
21
||||∑∞
=n n
x
收敛。
)1)3?若2
1
||||∑∞
=n n x 收敛，则标量列21
||||∑==m
n n m x α收敛
设∑==
m
n n
m x
s 1
，则
m
m
n n m
n n m n n m
n n m n n m n n m x x x x x x s α=====∑∑∑∑∑∑======211
1
1
12
12
||||),()
,(||||||||
由标量列m α收敛，得m s 收敛，即∑∞
=1
n n
x
收敛。
10．设1||<λ，考虑]1,0[C 上的积分方程)()(sin )(1
0s y dt t x s x +=?
λ
其中]1,0[C y ∈，证明此方程存在唯一连续解。
解：由于]1,0[C 是完备的，映射]1,0[]1,0[:C C T →，
)()(sin )(1
s y dt t x s Tx +=?λ，所以
???-=-=-1
2110
210
121)](sin )([sin )(sin )(sin )()(dt t x t x dt t x dt t x s Tx s Tx λλλ
??-≤-?=-1
2110
2121|)(sin )(sin ||||)](sin )([sin |||||dt t x t x dt t x t x Tx Tx λλ
|||||||)()(|||211
21x x dt t x t x -?≤-≤?λλ
因为1||<λ，所以映射]1,0[]1,0[:C C T →是压缩映射 由不动点原理，]1,0[C y ∈，存在唯一的一个]1,0[*
C x ∈， 使得)()(sin )(1
*
*
s y dt t x s x +=?
λ
11．考虑],[b a C 上的非线性积分方程
)())(,,()(s dt t x s t K s x b
a
?λ+=?
其中],[b a C ∈?，))(,,(s s t K ω是R b a b a ??],[],[的连续函数，满足
|||||))(,,())(,,(|2121ωωωω-≤-k s s t K s s t K
证明当||λ足够小时，此方程存在唯一解],[0b a C x ∈。 解：由于],[b a C 是完备的，
映射],[],[:b a C b a C T →，)())(,,()(s dt t x s t K s Tx b
a
?λ+=?
所以??
-=-b a
b
a
dt t x s t K dt t x s t K s Tx s Tx ))(,,())(,,()()(2121λλ
||)(||))](,,())(,,([|||||212121x x a b k dt t x s t K t x s t K Tx Tx b
a
--≤-?=-?λλ
所以，当1)(||<-a b k λ时，映射],[],[:b a C b a C T →是压缩映射
由不动点原理，],[b a C ∈??，存在唯一的一个],[*
b a C x ∈， 使得)())(,,()(**
s dt t x s t K s x b
a
?λ+=?
12．验证：（1）开球}),(;{),(00r x x d X x r x O <∈=是开集；
（2）闭球}),(;{),(00r x x d X x r x S ≤∈=是闭集。 解：（1）),(0r x O y ∈?，则r a x y d <=),(0， 所以，),()2
,
(0r x O a
r y O ?-， 即),(0r x O 是开集，故，开球),(0r x O 是开集。 （2）),(0r x S y ∈?，则r a x y d >=),(0， 所以，C r x S r
a y O )),(()2
,
(0?-， 即C r x S )),((0是开集，故，闭球),(0r x S 是闭集。
13．证明：有界数列集合组成的空间∞l 是完备的。
解：取}{n x 是空间∞l 中的基本点列，),,,()
(3)(2)(1
Λn n n n x x x x =，空间∞l 的度量取
||sup ),(i i i
y x y x -=ρ，∞∈=?l x x i )(，∞∈=l y y i )(
由于取}{n x 是空间∞l 中的基本点列，所以0,0>?>?N ε，当
N n m >,时，有
ερ<-=||sup ),()()(n i m i i
n m x x x x
对每个固定的i ，当N n m >,时，有ε<-||)()(n i m i x x （1） 所以，数列),,,,()4()3()2()1(Λi i i i x x x x 是C 中的收敛列，即当∞→m 时，C x x i m i ∈→)(
由此得，),,,,(4321Λx x x x x =
由（1）中，令∞→n ，则当N m >时，有ε≤-||)(i m i x x 。 又因为∞∈=l x x m i m }{)(，故存在实数m k ，对所有的i ， 满足m m i k x ≤||)( 从而对每个i 有
m m i m i i i k x x x x +≤+-≤ε||||||)()(
即}{i x 是有界数列，∞∈=l x x i }{，又ε≤-||)(i m i x x 有ερ≤-=||sup ),()(i m i i
m x x x x
故当当∞→m 时，x x i →，所以∞l 是完备的度量空间。
14．证明：)1(∞<≤p l p 是可分空间。
解：考虑集合}1,);,0,,,,{(21>∈=n Q r r r r B i n ΛΛ，即B 是由至多有限个坐标不为0，且坐标都是有理数的元素构成。因此，B 是可数集。
对于p
i l x x ∈=?)(，有∞<∑∞
=)||1
i p i x ，所以0,0>?>?N ε，当
N n >时，
p n i p i x )2()||1
ε
<∑∞
+=，有有理数的稠密性，可取得n r r r ,,,21Λ，
使得p n
i p i i r x )2()||1
ε
<-∑=
令p n l B r r r y ?∈=),0,,,,(21ΛΛ。且
ε
ε
<<+-=+
-=-=-∑∑∑∑∑∞
+==∞
+==∞
=p p p n i p i p n
i p i i p
n i p i
n
i p
i i p
i p i i x r x x
r x y x y x /1/11
/11/11
1
/11
))2(2()||()||()||||()
||(||||
即B 在)1(∞<≤p l p 中稠密。依定义知)1(∞<≤p l p 是可分的。
15．举例说明：在完备度量空间上的压缩映射具有唯一的不动点的结论中，若将压缩映射改为满足),(),(y x d Ty Tx d <的映射时，其结论不成立。
解：例如，R R T →:，x x Tx arctan 2
-+
=π
，
于是由微分中值定理得：在x 和y 之间存在ξ使得
x
y x y x
x y y Tx Ty arctan arctan arctan 2
arctan 2
+--=+-
--+
=-π
π
2
2
21)(11)()(ξ
ξξ+-=+---=x y x y x y 因此),(||||),(y x d x y Tx Ty Ty Tx d =-<-=成立，但其不存在不
动点，否则若有不动点，那么必有x Tx =成立，即x arctan 2
=π
成立，
这个显然是不正确的。
故若将压缩映射改为满足),(),(y x d Ty Tx d <的映射时，其结论不成立。
16．证明1
*l c =，其中*
c f ∈时有序列1
)(l n ∈α和Φ∈k 使得
n n n n n x x k x f ∑∞
=∞
→+=1
lim )(α，c x x n ∈=?)(
解：c 是所有收敛序列全体的集合，范数||sup ||||i i
x x =，在c 中
取基元集
},2,1),,0,1,0,,0,0(|{ΛΛ434
21Λ===n e e F n
n n ，
c e ∈=),1,,1,1(0ΛΛ
对c x x x x n ∈=?),,,,(21ΛΛ，有i
n
i i n e
x x ∑=∞
→=1
lim
且n x 收敛于
0x ，即n n x x ∞
→=lim 0，
取c x x x x ∈=),,,,(000ΛΛ， 则0c x x ∈-
设*
c f ∈，记Λ,2,1),(==i e f i i η， 对Φ∈k 所以有
i i i i n
i i n x kx e f x kx x f η∑∑∞
==∞
→+=+=1
010)(lim )(
取),0,,,,(2
1)
(ΛΛn i i i n e e
e x
θθθ---=，其中i i ηθarg =，则
c c x n ?∈0)(
且1||||)
(=n x
，∑∑==-==n
i i i n
i i n i
e
x
f 1
1
)
(||)(ηηθ，所以
|||||||||||||)(|||)()(1
f x f x f n n n
i i
=?≤=∑=η
令
∞
→n ，
即
得
1
21),,,,(l n ∈=ΛΛηηηη，且
||||||||||1
f i i ≤=∑∞
=ηη
再证反向不等式。对c x x x x n ∈=?),,,,(21ΛΛ，对每个
121),,,,(l n ∈=ΛΛηηηη
定义i
i i n n x x k x f η∑∞
=∞
→+
=1
lim )(，则f 是c 上的线性泛函，且有
0c x x ∈-
i i x kx x f η∑∞
=+=1
00)(
|||lim ||lim ||)(|1
1
i i i n n i i i n n x x k x x k x f ηη∑∑∞
=∞
→∞=∞
→+≤+=
||)|||(||||||)||(|||sup 1
ηη+?=+?≤∑∞
=k x k x i i i i
所以*
0c f ∈，且||||||||η≤f 。综合两个不等式得||||||||η=f
映射),,,,()),(,),(),((,:21211*
0ΛΛΛΛn n e f e f e f f l c T ηηη=→→
使得021),,,,(c x x x x n ∈=?ΛΛ，有i
i i x x f η∑∞
==
1
)(成立
则T 线性保距同构映射，因此1
*0l c =
17．求空间]1,1[-C 上的线性泛函??-=-1
1
)()()(dt t x dt t x x f 的范数。
解：空间]1,1[-C 上的范数为|))((|max ||||1
1t x x t ≤≤-=，所以
]1,1[)(-∈?C t x 有
|||
||2|)(|max )(|)(||)(||)()(||)(|1
1
101
1
1
1
1
x t x dt dt dt
t x dt t x dt t x dt t x x f t ≤+≤+≤-=??????≤≤----
可知f 是有界线性泛函，且2||||≤f ，
另一方面，取
??
?
??∈--∈---∈=]1,/1(1]/1,/1[)/1,1[1
)(n t n n t nt n t t x n ，知]1,1[)(-∈C t x n ，且1||)(||=t x n
于是
2
/12)()()(1
/1/10
0/1/11
1
1
→-=++-=-=??
??
??----n dt ntdt ntdt dt dt
t x dt t x x f n
n
n
n
n n n
从而2||||=f
18．设H 是可分的Hilbert 空间，证明是H 中任一规范正交基至多是可列的。
证明：有题设知H 是可分的，故必有H 的开列子集{}n x ，且{}n x 在H 中稠密，
设}|{Λ∈=λλe F 是H 中的一组规范正交基，考察以一切λe 为球心，
2/1为半径的球簇，则若F 不是可列的，球簇也不是可列的。于是
至少某两个球簇含有同一个k x ，即有}{n k x x ∈F ∈'λλ,使得
2/1||||<-λe x k ，2/1||||<-'λe x k
于是≤-'||||λλe e +-||||λe x k 2||||<-'λe x k
另一方面由勾股定理得
211||||||||||||222=+=+=-''λλλλe e e e
这样导出矛盾，故F 是可列的。
19．设}|{Λ∈=λλe F 是内积空间H 中的一组规范正交基，证明：
H x ∈?，
x 关于F 的Fourier 系数}|),{(Λ∈λλe x 中至多只有可列多个不为零。
证明：依照Bessel 不定式，H x ∈?，在F 中任取n 个元素n e e e ,,,21Λ，则有
2
1
2|||||
),(|∑=≤n
i i
x e x
于是在F 中使得n x e x i /|||||),(|≥的i e 只有有限个。 记}/|||||),(||{n x e x e F i n ≥Λ∈=，且λλ，显然有Y ∞
==
1
n n
F
E ，则
E 显然是可列集，
且当)(E F e -∈λ时，0),(=λe x ，即在x 关于F 的Fourier 系数中非零项至多可列个。
(完整版)泛函分析复习与总结,推荐文档
《泛函分析》复习与总结 (2014年6月26日星期四 10:20--- 11:50) 第一部分 空间及其性质 泛函分析的主要内容分为空间和算子两大部分. 空间包括泛函 分析所学过的各种抽象空间, 函数空间, 向量空间等, 也包括空间的 性质, 例如完备性, 紧性, 线性性质, 空间中集合的各种性质等等。 以下几点是对第一部分内容的归纳和总结。 一．空间 （1）距离空间 （集合+距离）！验证距离的三个条件：称为是距离空间，如果对于 (,)X ρ,,x y z X ∈(i) 【非负性】，并且当且仅当 (,)0x y ρ≥(,)0x y ρ=【正定性】； x y =(ii) 【对称性】； (,)(,)x y y x ρρ=(iii) 【三角不等式】。 (,)(,)(,)x y x y y z ρρρ≤+距离空间的典型代表：空间、空间、所有的赋范线性空间、 s S 所有的内积空间。 （2）赋范线性空间 （线性空间 + 范数） ！验证范数的三个条件：称为是赋范线性空间，如果 (,||||)X ?是数域（或）上的线性空间，对于和 X K =?K =￡a K ∈，成立 ,x y X ∈(i) 【非负性】，并且当且仅当【正定性】 ||||0x ≥||||0x =0x =； (ii) 【齐次性】； ||||||||||ax a x =?
(iii) 【三角不等式】。 ||||||||||||x y x y +≤+赋范线性空间的典型代表：空间（）、空间（n ?1,2,3,n =L n ￡） 、空间（）、空间（1,2,3,n =L p l 1p ≤≤∞([,])p L a b ）、空间、空间、Banach 空间、所有的1p ≤≤∞[,]C a b [,]k C a b 内积空间（范数是由内积导出的范数）。 （3）内积空间 （线性空间 + 内积） ！验证内积的四个条件：称为是内积空间，如果 (,(,))X ??是数域（或）上的线性空间，对于和 X K =?K =￡a K ∈，成立 ,,x y z X ∈(i) 【非负性】，并且当且仅当【正 (,)0x x ≥(,)0x x =0x =定性】； (ii) 【第一变元可加性】； (,)(,)(,)x y z x z x z +=+(iii) 【第一变元齐次性】； (,)(,)ax z a x z =(iv) 【共轭对称性】。 (,)(,)x z z x =内积空间的典型代表：空间（）、空间（n ?1,2,3,n =L n ￡） 、空间、空间。1,2,3,n =L 2l 2([,])L a b 注. 1) 从概念的外延来理解, 有如下的关系: {内积空间}{赋范线性空间}{距离空间}. ??2) 内积可导出范数, 范数可导出距离, 反之未必. 例如在赋范 线性空间中, 如果范数满足平行四边形公式, 则由范数可以定义内 积. 3) 在距离空间中，，当 0k x x ρ??→?0(,)0k x x ρ→； k →∞赋范线性空间中，，当；|||| 0k x x ???→?0||||0k x x -→k →∞
数值分析试题及答案汇总
数值分析试题 一、 填空题（2 0×2′） 1. ?? ????-=? ?????-=32,1223X A 设x =是精确值x *=的近似值，则x 有 2 位 有效数字。 2. 若f (x )=x 7－x 3＋1，则f [20,21,22,23,24,25,26,27]= 1 ， f [20,21,22,23,24,25,26,27,28]= 0 。 3. 设，‖A ‖∞＝___5 ____，‖X ‖∞＝__ 3_____， ‖AX ‖∞≤_15_ __。 4. 非线性方程f (x )=0的迭代函数x =?(x )在有解区间满足 |?’(x )| <1 ，则使用该迭代 函数的迭代解法一定是局部收敛的。 5. 区间[a ,b ]上的三次样条插值函数S (x )在[a ,b ]上具有直到 2 阶的连续导数。 6. 当插值节点为等距分布时，若所求节点靠近首节点，应该选用等距节点下牛顿差商 公式的 前插公式 ，若所求节点靠近尾节点，应该选用等距节点下牛顿差商公式的 后插公式 ；如果要估计结果的舍入误差，应该选用插值公式中的 拉格朗日插值公式 。 7. 拉格朗日插值公式中f (x i )的系数a i (x )的特点是：=∑=n i i x a 0)( 1 ；所以当 系数a i (x )满足 a i (x )>1 ，计算时不会放大f (x i )的误差。 8. 要使 20的近似值的相对误差小于%，至少要取 4 位有效数字。 9. 对任意初始向量X (0)及任意向量g ，线性方程组的迭代公式x (k +1)=Bx (k )+g (k =0,1,…)收 敛于方程组的精确解x *的充分必要条件是 ?(B)<1 。 10. 由下列数据所确定的插值多项式的次数最高是 5 。 11. 牛顿下山法的下山条件为 |f(xn+1)|<|f(xn)| 。 12. 线性方程组的松弛迭代法是通过逐渐减少残差r i (i =0,1,…,n )来实现的，其中的残差 r i ＝ (b i -a i1x 1-a i2x 2-…-a in x n )/a ii ，(i =0,1,…,n )。 13. 在非线性方程f (x )=0使用各种切线法迭代求解时，若在迭代区间存在唯一解，且f (x )
《实变函数与泛函分析基础》试卷和答案
试卷一： 一、单项选择题（3分×5=15分） 1、1、下列各式正确的是（ ） （A ）1lim n k n n k n A A ∞ ∞ →∞ ===??; （B ）1lim n k n k n n A A ∞ ∞ ==→∞ =??; （C ）1lim n k n n k n A A ∞ ∞ →∞ ===??; （D ）1lim n k n k n n A A ∞ ∞ ==→∞ =??; 2、设P 为Cantor 集，则下列各式不成立的是（ ） （A ）=P c (B) 0mP = (C) P P =' (D) P P = 3、下列说法不正确的是（ ） (A) 凡外侧度为零的集合都可测（B ）可测集的任何子集都可测 (C) 开集和闭集都是波雷耳集 （D ）波雷耳集都可测 4、设{}()n f x 是E 上的..a e 有限的可测函数列,则下面不成立的是( ) （A ）若()()n f x f x ?, 则()()n f x f x → (B) {}sup ()n n f x 是可测函数 （C ）{}inf ()n n f x 是可测函数;（D ）若()()n f x f x ?,则()f x 可测 5、设f(x)是],[b a 上有界变差函数，则下面不成立的是（ ） (A) )(x f 在],[b a 上有界 (B) )(x f 在],[b a 上几乎处处存在导数 （C ）)(' x f 在],[b a 上L 可积 (D) ? -=b a a f b f dx x f )()()(' 二. 填空题(3分×5=15分) 1、()(())s s C A C B A A B ??--=_________
泛函分析复习提要
泛函分析复习提要 一、填空 1. 设X 是度量空间，E 和M 是X 中两个子集，如果 ，则称集M 在集E 中 稠密。如果X 有一个可数的稠密子集，则称X 是 空间。 2. 设X 是度量空间， M 是X 中子集，若 ，则称M 是第一纲集。 3. 设T 为复Hilbert 空间X 上的有界线性算子，若对任何x X ∈，有*Tx T x =， 则T 为 算子。 ( Hilbert 空间H 上的有界线性算子T 是正常算子的充要条件是 。) 4. 若复Hilbert 空间X 上有界线性算子T 满足对一切x X ∈，,Tx x <>是实数，则 T 为 算子。 ( Hilbert 空间H 上的有界线性算子T 是自伴算子的充要条件是 。) 5.设X 是赋范线性空间，X '是X 的共轭空间，泛函列(1,2,)n f X n '∈= ，如果 存在f X '∈，使得对任意的x X ∈，都有 ，则称{}n f 弱*收敛于f 。 6. 设,X Y 是赋范线性空间，(,)n T B X Y ∈，1,2,n = ，若存在(,)T B X Y ∈使得对任意的x X ∈，有 ，则称{}n T 强收敛于T 。 7. 完备的赋范线性空间称为 空间，完备的内积空间称为 空间 8. 赋范线性空间X 到赋范线性空间Y 上的有界线性算子T 的范数T = 9. 设X 是内积空间，则称 是由内积导出的范数。 10.设X 是赋范空间，X 的范数是由内积引出的充要条件是 。 11. 设Y 是Hilbert 空间的闭子空间，则Y 与Y ⊥⊥满足 。 12.设X 是赋范空间，:()T D T X X ?→的线性算子，当T 满足 时， 则T 是闭算子。 二、叙述下列定义及定理 1. 里斯（Riesz ）定理； 2. 实空间上的汉恩-巴拿赫泛函延拓定理；
数值分析学期期末考试试题与答案(A)
期末考试试卷（A 卷） 2007学年第二学期 考试科目： 数值分析 考试时间：120 分钟 学号 姓名 年级专业 一、判断题（每小题2分，共10分） 1. 用计算机求 1000 1000 1 1 n n =∑时，应按照n 从小到大的顺序相加。 （ ） 2. 为了减少误差,进行计算。 （ ） 3. 用数值微分公式中求导数值时，步长越小计算就越精确。 （ ） 4. 采用龙格－库塔法求解常微分方程的初值问题时，公式阶数越高，数值解越精确。（ ） 5. 用迭代法解线性方程组时，迭代能否收敛与初始向量的选择、系数矩阵及其演变方式有 关，与常数项无关。 （ ） 二、填空题（每空2分，共36分） 1. 已知数a 的有效数为0.01，则它的绝对误差限为________，相对误差限为_________. 2. 设1010021,5,1301A x -????????=-=-????????-???? 则1A =_____，2x =______，Ax ∞ =_____. 3. 已知5 3 ()245,f x x x x =+-则[1,1,0]f -= ,[3,2,1,1,2,3]f ---= . 4. 为使求积公式 1 1231 ()()(0)33 f x dx A f A f A f -≈- ++? 的代数精度尽量高，应使1A = ，2A = ，3A = ，此时公式具有 次的代数精度。 5. n 阶方阵A 的谱半径()A ρ与它的任意一种范数A 的关系是 . 6. 用迭代法解线性方程组AX B =时，使迭代公式(1) ()(0,1,2,)k k X MX N k +=+=产 生的向量序列{ }() k X 收敛的充分必要条件是 . 7. 使用消元法解线性方程组AX B =时，系数矩阵A 可以分解为下三角矩阵L 和上三角矩
泛函分析试题B
泛函分析试题B PTU院期末考试试卷 (B)卷 2010 ——2011 学年第 1 学期课程名称: 泛函分析适用年级/专业 07 数学试卷类别:开卷(?)闭卷( ) 学历层次: 本科考试用时: 120 分钟 《考生注意:答案要全部抄到答题纸上，做在试卷上不给分》(((((((((((((((((((((((((((一、填空题(每小题3分，共15分) (,)Xdx1.设=是度量空间，是中点列，如果____________________________, XX,,n x则称是中的收敛点列。 X,,n ffNf2. 设是赋范线性空间，是上线性泛函，那么的零空间是中的闭子空XXX，，间的充要条件为_____________________________。 3. 为赋范线性空间到赋范线性空间中的线性算子，如果_________________, TXY 则称T是同构映射。 xyX,,4. 设是实Hilbert空间，对中任何两个向量满足的极化恒等式公式 为:XX ___________________________________________。 ,,5. 设是赋范线性空间，是的共轭空间，泛函列，如果XXXfXn,,(1,2,)Ln ff_______________________________________________,则称点列强收敛 于。 ,,n二、计算题(共20分) ppl叙述空间的定义，并求的共轭空间。 lp(1),,，, 三、证明题(共65分) p1、(12分)叙述并证明空间中的Holder不等式。 lp(1),
,,MM,2、(15分)设是Hilbert空间的闭子空间，证明。 MX 试卷第 1 页共 2 页 3、(14分)Hilbert空间是可分的，证明任何规范正交系至多为可数集。 XX 4、(12分) 证明Banach空间自反的充要条件是的共轭空间自反。 XX ,,ll5、(12分)叙述空间的定义，并证明空间是不可分的。 试卷第 2 页共 2 页
数值分析试题
《计算机数学基础(下)》数值分析试题 2000、8 之六(2002、7已用) 一、单项选择题(每小题3分，共15分) 1.数值x *的近似值x =0.1215×10－ 2，若满足≤-*x x ( )，则称x 有4位有效数字. (A) 21×10－3 (B) 21×10－4 (C) 21×10－5 (D) 2 1×10－6 2. 设矩阵A ＝?? ?? ? ?????------52111021210，那么以A 为系数矩阵的线性方程组A X ＝b 的雅可比迭代矩阵为( ) (A)??????????04.02.01.002.01.02.00 (B) ???? ? ?? ???14.02 .01.012.01.02.01 (C) ??????????------04.02.01.002.01.02.00 (D) ???? ??????021 102120 3. 已知y =f (x )的均差f (x 0,x 1,x 2)=314，f (x 1,x 2,x 3)=315，f (x 2,x 3,x 4)=15 91，f (x 0,x 2,x 3)=318 , 那么均差f (x 4,x 2,x 3)=( ) (A) 315 (B) 318 (C) 1591 (D) 3 14 4. 已知n =4时牛顿－科茨求积公式的科茨系数,15 2,4516,907)4(2)4(1) 4(0===C C C 那么 )4(3C ＝( ) 90 39 152********)D (152)C (4516)B (907)A (=--- 5.用简单迭代法求方程的近似根，下列迭代格式不收敛的是( ) (A) e x －x －1＝0，[1,1.5]，令x k +1=1e -k x (B) x 3－x 2－1=0，[1.4,1.5], 令211 1k k x x +=+ (C) x 3－x 2－1=0，[1.4,1.5], 令32 11k k x x +=+ (D) 4－2x =x ，[1,2], 令)4(log 21x x k -=+ 二、填空题(每小题3分，共15分) 6.sin1有2位有效数字的近似值0.84的相对误差限是 . 7.设矩阵A 是对称正定矩阵，则用 迭代法解线性方程组A X =b ，其迭代解数列一定收敛. 8. 已知f (1)=1,f (2)=3,那么y =f (x )以x =1，2为节点的拉格朗日线性插值多项式为 . 9. 用二次多项式2210)(x a x a a x ++=?,其中a 0, a 1, a 2是待定参数，拟合点(x 1,y 1),(x 2,y 2),…,(x n ,y n ). 那么参数a 0, a 1, a 2是使误差平方和 取最小值的解. 10. 设求积公式 ∑?=≈n k k k b a x f A x x f 0 )(d )(，若对 的多项式积分公式
最新泛函分析考试题集与答案
泛函分析复习题2012 1．在实数轴R 上，令p y x y x d ||),(-=，当p 为何值时，R 是度量 空间，p 为何值时，R 是赋范空间。 解：若R 是度量空间，所以R z y x ∈?,,，必须有： ),(),(),(z y d y x d z x d +≤成立 即p p p z y y x z x ||||||-+-≤-，取1,0,1-===z y x ， 有2112=+≤p p p ，所以，1≤p 若R 是赋范空间，p x x x d ||||||)0,(==，所以R k x ∈?,， 必须有：||||||||||x k kx ?=成立，即p p x k kx ||||||=，1=p ， 当1≤p 时，若R 是度量空间，1=p 时，若R 是赋范空间。 2．若),(d X 是度量空间，则)1,m in(1d d =，d d d +=12也是使X 成为度量空间。 解：由于),(d X 是度量空间，所以X z y x ∈?,,有： 1）0),(≥y x d ，因此0)1),,(m in(),(1≥=y x d y x d 和0) ,(1) ,(),(2≥+= y x d y x d y x d 且当y x =时0),(=y x d ， 于是0)1),,(m in(),(1==y x d y x d 和0) ,(1) ,(),(2=+=y x d y x d y x d 以及若
0)1),,(m in(),(1==y x d y x d 或0) ,(1) ,(),(2=+= y x d y x d y x d 均有0),(=y x d 成立，于是y x =成立 2）),(),(y x d x y d =， 因此),()1),,(m in()1),,(m in(),(11y x d y x d x y d x y d === 和),() ,(1) ,(),(1),(),(22y x d y x d y x d x y d x y d x y d =+=+= 3）),(),(),(z y d y x d z x d +≤，因此 }1),,(),(m in{)1),,(m in(),(1z y d y x d z x d z x d +≤= ),(),()1),,(m in()1),,(m in(11z y d y x d z y d y x d +=+≤ 以及设x x x f += 1)(，0)1(1)(2 >+='x x f ，所以)(x f 单增， 所以) ,(),(1),(),(),(1),(),(2z y d y x d z y d y x d z x d z x d z x d +++≤+= ),(),(1) ,(),(),(1),(z y d y x d z y d z y d y x d y x d +++++= ),(),() ,(1) ,(),(1),(22z y d y x d z y d z y d y x d y x d +=+++≤ 综上所述)1,m in(1d d =和d d d += 12均满足度量空间的三条件， 故),(1y x d 和),(2y x d 均使X 成为度量空间。
泛函分析试卷
泛函分析期末考试试卷（总分100分） 一、选择题（每个3分，共15分） 1、设X 是赋线性空间，X y x ∈,，T 是X 到X 中的压缩映射，则下列哪个式子成立（ ）. A ．10<<-≤-αα， y x Ty Tx B.1≥-≤-αα， y x Ty Tx C.10<<-≥-αα， y x Ty Tx D.1≥-≥-αα， y x Ty Tx 2、设X 是线性空间，X y x ∈,，实数x 称为x 的数,下列哪个条件不是应满足的条件：（ ）. A. 0等价于0且,0==≥x x x B.()数复为任意实,αααx x = C. y x y x +≤+ D. y x xy +≤ 3、下列关于度量空间中的点列的说法哪个是错误的（ ）. A ．收敛点列的极限是唯一的 B. 基本点列是收敛点列 C ．基本点列是有界点列 D.收敛点列是有界点列 4、巴拿赫空间X 的子集空间Y 为完备的充要条件是（ ）. A ．集X 是开的 B.集Y 是开的 C.集X 是闭的 D.集Y 是闭的 5、设(1)p l p <<+∞的共轭空间为q l ，则有1 1p q +的值为（ ）. A. 1- B. 12 C. 1 D. 12 - 二、填空题（每个3分，共15分） 1、度量空间中的每一个收敛点列都是（ ）。 2、任何赋线性空间的共轭空间是（ ）。 3、1l 的共轭空间是（ ）。
4、设X按积空间
2014-2015数值分析考试试题卷
太原科技大学硕士研究生 2014/2015学年第1学期《数值分析》课程试卷 一、填空题（每空4分，共32分） 1、设?????≤≤-++<≤+=2 1,1321 0,)(2 323x x bx x x x x x s 是以0,1,2为节点三次样条函数，则b=__-2___ 2、解线性方程组12312312388 92688 x x x x x x x x x -++=-?? -+=??-+-=? 的Jacobi 迭代格式（分量形式）为 ?? ???+--=++-=++=+++)(2)(1)1(3) (3)(1)1(2) (3)(2)1(1882/)96(88k k k k k k k k k x x x x x x x x x ，其相应的迭代矩阵为??????????-0812/102/9810。 3、方程03 =-a x 的牛顿法的迭代格式为__3 12 3k k k k x a x x x +-=-__________，其收敛的阶为 2 。 4、已知数x 的近似值0.937具有三位有效数字，则x 的相对误差限是310534.0-? 解：x 1≈0.937， 31102 1 )(-?≤ x ε 3 31111 10(x )2 (x )0.53410x 0.937 r εε--?=≤=? 5、用列主元高斯消去法解线性方程组 ??? ??=--=++=++2333220221 321321x x x x x x x x 作第1次消元后的第2，3个方程分别为? ? ?=+--=-5.35.125 .15.03232x x x x 6、设???? ??-=3211A ，则=∞)(A Cond __4____.
数值分析作业思考题汇总
￥ 数值分析思考题1 1、讨论绝对误差（限）、相对误差（限）与有效数字之间的关系。 2、相对误差在什么情况下可以用下式代替 3、查阅何谓问题的“病态性”，并区分与“数值稳定性”的不同点。 4、取 ，计算 ，下列方法中哪种最好为什么（1）(3 3-，（2）(2 7-，（3） ()3 1 3+ ，（4） ()6 1 1 ，（5）99- , 数值实验 数值实验综述：线性代数方程组的解法是一切科学计算的基础与核心问题。求解方法大致可分为直接法和迭代法两大类。直接法——指在没有舍入误差的情况下经过有限次运算可求得方程组的精确解的方法，因此也称为精确法。当系数矩阵是方的、稠密的、无任何特殊结构的中小规模线性方程组时，Gauss消去法是目前最基本和常用的方法。如若系数矩阵具有某种特殊形式，则为了尽可能地减少计算量与存储量，需采用其他专门的方法来求解。 Gauss消去等同于矩阵的三角分解，但它存在潜在的不稳定性，故需要选主元素。对正定对称矩阵，采用平方根方法无需选主元。方程组的性态与方程组的条件数有关，对于病态的方程组必须采用特殊的方法进行求解。 数值计算方法上机题目1 1、实验1. 病态问题 实验目的： 算法有“优”与“劣”之分，问题也有“好”和“坏”之别。所谓坏问题就是问题本身的解对数据变化的比较敏感，反之属于好问题。希望读者通过本实验对此有一个初步的体会。 数值分析的大部分研究课题中，如线性代数方程组、矩阵特征值问题、非线性方程及方程组等都存在病态的问题。病态问题要通过研究和构造特殊的算法来解决，当然一般要付出一些代价（如耗用更多的机器时间、占用更多的存储空间等）。 $ r e x x e x x ** * ** - == 141 . ≈)61
泛函分析试题一
泛函分析试题一 一、叙述问答题(第1小题18分，第小题20分，共38分) 1 叙述赋范线性空间的定义并回答下列问题. 设)||||,(11?E 和)||||,(22?E 是赋范线性空间, E 是1E 和2E 的直接和. 对任意E x ∈,定义 2211||||||||||||x x x +=, 其中),(21x x x =,11E x ∈, 22E x ∈. 验证||)||,(?E 为一个赋范线性空间. 2 叙述共鸣定理并回答下列问题. 设}{n T ),2,1( =n 是从Banach 空间E 到Banach 空间1E 上的有界线性算子列, 如果对E x ∈?, }{x T n 是1E 中的基本点列. 问: 是否存在),(1E E T β∈, 使得}{n T 按强算子拓扑收敛于T ? 如果存在, 给出证明, 如果不存在, 试举出反例. 二、证明题 (第1小题10分，第2小题15分,第3小题17分,共42分) 1． 设)(x f 是从距离空间X 到距离空间1X 中的连续映射，A 在X 中稠密，证明)(A f 在1X 中稠密. 2. 设),(ρX 为完备距离空间, A 是从X 到X 中的映射. 记 ),(),(sup 111 x x x A x A n n x x n ρρα≠=, 若级数+∞<∑+∞ =n n α1, 则A 在X 中存在唯一不动点. 3. 设H 是内积空间, H N M ?,, L 是M 和N 张成的线性子空间, 证明: ⊥⊥⊥=N M L . 三、应用题 （20分） 设),(t s K 在b s a b t a ≤≤≤≤,上连续, 试证明由ds t x s t K t Tx b a )(),())((?=定义的
最新泛函分析题目
川大2011年泛函分析模拟试题 一、 叙述题 1、 在度量空间(),X ρ中，列紧集、完全有界集的定义及二者之间的关系 列紧集：设A 是度量空间(),X ρ的一个子集，若{}n x A ??在X 中有一个收敛子列 {}k n x ，则称A 为列紧集； 完全有界集：M 是度量空间(),X ρ的一个子集，0ε?>，都存在M 的一个有穷ε网，则称M 为完全有界集。 关系：()A M ?列紧集一定是完全有界集，完全有界集不一定是列紧集：但在完备的度量空间中，列紧集与完全有界集等价（即A M ?） 2、 在欧式空间n R 中，有界集、完全有界集和列紧集三者之间的关系；紧集与有界闭 集的关系 在欧式空间n R 中，有界集?完全有界集?列紧集， 紧集?有界闭集 二、 证明题： 1、 线性算子T 在D 上连续?T 在D 上有界。 证 充分性：因为T 在D 上有界，故0, T M x D x M x ?>?∈≤成立 ，即 Tx T M x θθ -≤-，故T 在θ点连续，从而T 在D 上连续； 必要性：若T 在D 无界， 0,,..n n n n x D st Tx n x ?>?∈> 令 n n n x y n x = ， 则 10n n n x y n x n ==→，即0n y →。又因为T 连 续， 故0n n Ty T Ty θθ=?→→， 这与1n n n Tx Ty n x = > 矛 盾，故假设不成立，即T 在D 上有界。 2、 求证(),l X Y 为B 空间。（其中X 为* B 空间，Y 为B 空间） 证 显然(),l X Y 是一个线性空间，兹证T 是范数： ()0,000T T T x x X T ≥=?=?∈?=；
数值分析试题及答案
一、单项选择题（每小题3分，共15分） 1. 3.142和3.141分别作为π的近似数具有（ ）和（ ）位有效数字. A ．4和3 B ．3和2 C ．3和4 D ．4和4 2. 已知求积公式 ()()2 1 121 1()(2)636f x dx f Af f ≈ ++? ，则A ＝（ ） A ． 16 B ．13 C ．12 D ．2 3 3. 通过点 ()()0011,,,x y x y 的拉格朗日插值基函数()()01,l x l x 满足（ ） A ． ()00l x ＝0， ()110l x = B ． ()00l x ＝0， ()111l x = C ．() 00l x ＝1，()111 l x = D ． () 00l x ＝1，()111 l x = 4. 设求方程 ()0 f x =的根的牛顿法收敛，则它具有（ ）敛速。 A ．超线性 B ．平方 C ．线性 D ．三次 5. 用列主元消元法解线性方程组 1231231 220223332 x x x x x x x x ++=?? ++=??--=? 作第一次消元后得到的第3个方程（ ）. A ． 232 x x -+= B ．232 1.5 3.5 x x -+= C ． 2323 x x -+= D ． 230.5 1.5 x x -=- 单项选择题答案 1.A 2.D 3.D 4.C 5.B 得 分 评卷人 二、填空题（每小题3分，共15分）
1. 设T X )4,3,2(-=, 则=1||||X ，2||||X = . 2. 一阶均差 ()01,f x x = 3. 已知3n =时，科茨系数()()() 33301213,88C C C ===，那么 () 33C = 4. 因为方程()420 x f x x =-+=在区间 []1,2上满足 ，所以()0f x =在区间 内有根。 5. 取步长0.1h =，用欧拉法解初值问题 ()211y y y x y ?'=+?? ?=? 的计算公式 . 填空题答案 1. 9和29 2. ()() 0101 f x f x x x -- 3. 1 8 4. ()()120 f f < 5. ()12 00.1 1.1,0,1,210.11k k y y k k y +???? ?=+? ?=+???? =??L 得 分 评卷人 三、计算题（每题15分，共60分） 1. 已知函数 21 1y x = +的一组数据： 求分 段线性插值函数，并计算 () 1.5f 的近似值. 计算题1.答案 1. 解 []0,1x ∈， ()1010.510.50110x x L x x --=?+?=---% []1,2x ∈，()210.50.20.30.81221x x L x x --=?+?=-+--%
泛函分析考试题
某某大学考试题 课程名称：泛函分析 队别： 班次： 姓名： 第1页共2页 1、 写出下面定义或结论（每个5分）： a ）两个集合具有相同基数的定义； b ）度量空间Cauchy 序列的定义； c ）泛函序列弱*收敛的定义； d ）开映射定理. 2、 定义2:R f →，使得 1()n n n f x x α∞ ==∑ 其中2α∈。证明：f 是有界的并计算f 的范数f . 3、 X 是赋范线性空间，,x y X ∈是两个给定向量。证明：如果对任意有界线性泛函*f X ∈都有()()f x f y =，则 x y =. 4、 在[,]C a b 中定义范数 [,]||||m a x |()| t a b x x t ∈= 证明：如序列{}[,]n x C a b ?弱收敛到[,]x C a b ∈，即w n x x ??→，n →∞，则序列{}n x 在 [,]a b 上处处收敛到x ，即对任意[,]t a b ∈， l i m ()(n n x t x t →∞ =。 5、 在2中定义线性算子序列{}n T ，22:n T →：对()212,,,,n x ξζξ=∈， ()12(),,, ,n n n n T x ξξζ++= 证明： a ）n T 强收敛到零算子； b ）n T 不一致收敛到零算子. 6、 证明：在实内积空间中，x y ⊥当且仅当对任意实数α，都有 ||||||x y x α+≥. 7、 设M 是内积空间X 中的非空子集，证明：M 的正交补是X 的闭子空间。 8、 证明Bessel 不等式：设{}123,,,e e e 是Hilbert 空间的规范正交集，证明，对任意x X ∈， 221 |,|.n n x e x ∞=<>≤∑ 9、 X 是Banach 空间，{}n f X *?是有界泛函序列。如果对任意的x X ∈都有1()n n f x ∞=<∞∑，证
数值分析历年考题
数值分析A 试题 2007.1 第一部分：填空题10?5 1.设3112A ?? = ??? ,则A ∞=___________ 2()cond A =___________ 2.将4111A ??= ??? 分解成T A LL =，则对角元为正的下三角阵L =___________ ,请用线性最小二乘拟合方法确定拟合函数()bx f x ae =中的参数：a = ___________ b =___________ 4.方程13 cos 2044x x π--=在[0,1]上有 个根，若初值取00.95x =，迭代方法 113 cos 244 k k x x π+=-的收敛阶是 5.解方程2 210x x -+=的Newton 迭代方法为___________，其收敛阶为___________ 6.设()s x = 323 2 323,[0,1]31,[1,2] ax x x x x x bx x +-+∈--+∈为三次样条函数，则a = ___________ b =___________ 7.要想求积公式： 1 121 ()(()f x dx A f f x -≈+? 的代数精度尽可能高，参数1A = ___________ 2x =___________此时其代数精度为：___________ 8.用线性多步法2121(0.50.5)n n n n n y y h f f f ++++-=-+来求解初值问题 00'(,),(),y f x y y x y ==其中(,)n n n f f x y =，该方法的局部截断误差为___________，设 ,0,f y μμ=?其绝对稳定性空间是___________ 9.用线性多步法 2121()n n n n n y ay by h f f ++++-+=-来求解初值问题 00'(,),(),y f x y y x y ==其中(,)n n n f f x y =，希望该方法的阶尽可能高，那么a = ___________ b =___________，此时该方法是几阶的：___________
《数值计算方法》精彩试题集及问题详解1-6 2
《计算方法》期中复习试题 一、填空题： 1、已知3.1)3(,2.1)2(,0.1)1(===f f f ，则用辛普生（辛卜生）公式计算求得 ?≈3 1 _________ )(dx x f ,用三点式求得≈')1(f 。 答案：2.367，0.25 2、1)3(,2)2(,1)1(==-=f f f ，则过这三点的二次插值多项式中2 x 的系数为 ， 拉格朗日插值多项式为 。 答案：-1， )2)(1(21 )3)(1(2)3)(2(21)(2--------= x x x x x x x L 3、近似值*0.231x =关于真值229.0=x 有( 2 )位有效数字； 4、设)(x f 可微,求方程)(x f x =的牛顿迭代格式是( )； 答案 )(1)(1n n n n n x f x f x x x '--- =+ 5、对1)(3 ++=x x x f ,差商=]3,2,1,0[f ( 1 ),=]4,3,2,1,0[f ( 0 )； 6、计算方法主要研究( 截断 )误差和( 舍入 )误差； 7、用二分法求非线性方程f (x )=0在区间(a ,b )内的根时，二分n 次后的误差限为 ( 1 2+-n a b )； 8、已知f (1)＝2，f (2)＝3，f (4)＝5.9，则二次Newton 插值多项式中x 2系数为 ( 0.15 )； 11、 两点式高斯型求积公式?1 0d )(x x f ≈(?++-≈1 )] 321 3()3213([21d )(f f x x f )，代数精 度为( 5 )； 12、 为了使计算 32)1(6 )1(41310-- -+-+ =x x x y 的乘除法次数尽量地少，应将该表 达式改写为 11 ,))64(3(10-= -++=x t t t t y ，为了减少舍入误差，应将表达式
泛函分析试卷(优选.)
最新文件---------------- 仅供参考--------------------已改成-----------word 文本 --------------------- 方便更改 赠人玫瑰，手留余香。 泛函分析期末考试试卷（总分100分） 一、选择题（每个3分，共15分） 1、设X 是赋范线性空间，X y x ∈,，T 是X 到X 中的压缩映射，则下列哪个式子成立（ ）. A ．10<<-≤-αα， y x Ty Tx B.1≥-≤-αα， y x Ty Tx C.10<<-≥-αα， y x Ty Tx D.1≥-≥-αα， y x Ty Tx 2、设X 是线性空间，X y x ∈,，实数x 称为x 的范数,下列哪个条件不是应满足的条件：（ ）. A. 0等价于0且,0==≥x x x B.()数复为任意实,αααx x = C. y x y x +≤+ D. y x xy +≤ 3、下列关于度量空间中的点列的说法哪个是错误的（ ）. A ．收敛点列的极限是唯一的 B. 基本点列是收敛点列 C ．基本点列是有界点列 D.收敛点列是有界点列 4、巴拿赫空间X 的子集空间Y 为完备的充要条件是（ ）. A ．集X 是开的 B.集Y 是开的
C.集X是闭的 D.集Y是闭的 5、设(1) p l p <<+∞的共轭空间为q l，则有11 p q +的值为（）. A. 1- B.1 2 C. 1 D. 1 2 - 二、填空题（每个3分，共15分） 1、度量空间中的每一个收敛点列都是（）。 2、任何赋范线性空间的共轭空间是（）。 3、1l的共轭空间是（）。 4、设X按内积空间
数值分析试题A卷10.1
中国石油大学（北京）2009--2010学年第一学期 研究生期末考试试题A (闭卷考试) 课程名称：数值分析 注：计算题取小数点后四位 一、填空题（共30分，每空3分） 1、 已知x =是由准确数a 经四舍五入得到的近似值，则x 的绝对误差 界为_______________。 2、数值微分公式()() '()i i i f x h f x f x h +-≈ 的截断误差为 。 3、已知向量T x =，求Householder 变换阵H ，使(2,0)T Hx =-。 H = 。 4、利用三点高斯求积公式 1 1 ()0.5556(0.7746)0.8889(0)0.5556(0.7746)f x dx f f f -≈-++? 导出求积分 4 0()f x dx ?的三点高斯求积公式 。 5、4 2 ()523,[0.1,0.2,0.3,0.4,0.5]_____.f x x x f =+-= 若则 6、以n + 1个互异节点x k ( k =0,1,…,n ),（n >1）为插值节点的 Lagrange 插值基函数为l k (x)( k =0,1,…,n )，则 (0)(1)__________.n k k k l x =+=∑ 7、已知3()P x 是用极小化插值法得到的cos x 在[0,4]上的三次插值多项式，则3()P x 的 截断误差上界为3()cos ()R x x P x =-≤_________.
8、已知向量(3,2,5)T x =-，求Gauss 变换阵L ，使(3,0,0)T Lx =。L =_________. 9、设3 2 ()(7)f x x =-, 给出求方程()0f x =根的二阶收敛的迭代格式_________。 10、下面M 文件是用来求解什么数学问题的________________________. function [x,k]=dd （x0） for k=1:1000 x=cos (x0); if abs(x-x0)<, break end x0=x; end 二、（15分）已知矛盾方程组Ax=b ，其中11120,1211A b ???? ????==???????????? ， （1）用施密特正交化方法求矩阵A 的正交分解，即A=QR 。 （2）用此正交分解求矛盾方程组Ax=b 的最小二乘解。 三、（10分）已知求解线性方程组Ax=b 的分量迭代格式 1 (1) (1) ()1 +1 /, 121,,i n k k k i i ij j ij j ii j j i x b a x a x a i n n -++===-- =-∑∑（），， （1）试导出其矩阵迭代格式及迭代矩阵； （2）若11a A a ?? = ??? ，推导上述迭代格式收敛的充分必要条件。 四、（15分）（1）证明对任何初值0x R ∈，由迭代公式11 1sin ,0,1,2, (2) k k x x k +=+ = 所产生的序列{}0k k x ∞ =都收敛于方程1 1sin 2 x x =+ 的根。 （2）迭代公式11 21sin ,0,1,2, (2) k k k x x x k +=-- =是否收敛。 五、（15分）用最小二乘法确定一条经过原点(0,0)的二次曲线，使之拟合下列数据
数值分析试题及答案
数值分析试题及答案 一、单项选择题（每小题3分，共15分） 1. 3.142和3.141分别作为的近似数具有（）和（）位有效数字. A．4和3 B．3和2 C．3和4 D．4和4 2. 已知求积公式，则＝（） A． B．C．D． 3. 通过点的拉格朗日插值基函数满足（） A．＝0，B．＝0， C．＝1，D．＝1， 4. 设求方程的根的牛顿法收敛，则它具有（）敛速。 A．超线性B．平方C．线性D．三次 5. 用列主元消元法解线性方程组作第一次消元后得到的第3个方程（）. A．B． C．D． 单项选择题答案 1.A 2.D 3.D 4.C 5.B 得分评卷 人 二、填空题（每小题3分，共15分） 1. 设, 则， . 2. 一阶均差 3. 已知时，科茨系数，那么 4. 因为方程在区间上满足，所以在区间内有根。 5. 取步长，用欧拉法解初值问题的计算公式.填空题答案
1. 9和 2. 3. 4. 5. 得分评卷 人 三、计算题（每题15分，共60分） 1. 已知函数的一组数据：求分段线性插值函数，并计算的近似值. 计算题1.答案 1. 解， ， 所以分段线性插值函数为 2. 已知线性方程组 （1）写出雅可比迭代公式、高斯－塞德尔迭代公式； （2）对于初始值，应用雅可比迭代公式、高斯－塞德尔迭代公式分别计算（保留小数点后五位数字）. 计算题2.答案 1.解原方程组同解变形为 雅可比迭代公式为 高斯－塞德尔迭代法公式 用雅可比迭代公式得 用高斯－塞德尔迭代公式得 3. 用牛顿法求方程在之间的近似根 （1）请指出为什么初值应取2？ （2）请用牛顿法求出近似根，精确到0.0001. 计算题3.答案