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(完整版)初中数学代数知识大全

初中数学代数知识大全

一、有理数的运算

1、相反数：::0:0a a

a a --的相反数为的相反数为的相反数为

2、绝对值：

3、倒数：1ab =，.a b 和互为倒数或 1a b

4、有理数的加法：(||||)a b a b ++=++ ()(||||)a b a b -+-=-+

(||||)a b a b -+=-- ()(||||)(||||)a b a b a b +-=+->

5、有理数的减法：()a b a b -=+-

6、有理数的乘法：||||a b a b ?=+? ||||a b a b -?=-? (0,0)a b ≥≥

7、有理数的除法：||||a b a b ÷=+÷ ||||a b a b -÷=-÷ (0,0)a b ≥≥

8、有理数的乘方：

()n

a a a a n a a

=????L 个

22()

a a =-

()

n n a a

++=-- (0)a ≥

二、整式的运算

1、整式的加减：

（1）非同类项的整式相加减：ab mn ab mn ±=±（不能合并！）

（2）同类项的整式相加减：()ab an b n a ±=±（合并同类项，只把系数相加减） 2、整式的乘除：

（1）幂的八种计算

（a ）同底数幂相乘：m

n m n

a a a

+?=

（b ）同底数幂相除：(0)m

m n

a a

-÷=≠

（c ）零指数：0

1(0)a a

=≠

（d ）负指数：

(0)p

a a

≠

（e ）积的乘方：

()

ab a b =?

（f ）幂的乘方：

()

a a =

（g ）同指数的幂相乘：

()m

ab a

b ?=

（h ）同指数的幂相除：(0)()m

b a a b b

÷=≠

（2）整式的乘法：

（a ）单项式乘单项式：ma nb mnab ?=

（b ）单项式乘多项式：()m a b c ma mb mc ++=++ （c ）多项式乘多项式：()()a b m n am an bm bn ++=+++ （3）乘法公式：

（a ）平方差公式：2

()()a b a b a

b +-=-

（b ）完全平方公式：

2()

ab a b a b =+±±

（c ）三数和的完全平方公式：2

2222()()ab bc ac a b c a b c =+++++++ （d ）立方和公式：2

233

()()a b ab a

b a b +-+=+ （e ）立方差公式：2233

()()a b ab a

b a b -++=-

（f ）完全立方公式：

3223

33()

b a a b a a b b =±+±±

（g ）三数和的完全立方公式：3

3333()()abc a b c a b c a b c =+++++++ （4）整式的除法：

（a ）单项式除以单项式：(

)()m

ma nb a b n

÷=÷ （b ）多项式除以单项式：()ma mb mc m ma m mb m mc m a b c ++÷=÷+÷+÷=++

三、因式分解的运算

1、提取公因式法：()ma mb mc m a b c ++=++

2、公式法：

()()a b a b a

b -=+-

2()ab a b a

b ±+=±

3、十字相乘法：2

()()()m n a mn a m a n a

+++=++

四、分式的运算

1、分式的通分：

(0,0)m mb a b a ab

=≠≠ 2、分式的化简（约分）：(0,0)mb mb b m

a b ab ab b a

÷==≠≠÷

3、分式的加减：

（1）同分母的分式相加减：(0)m n m n a a a a ±±=≠ （2）异分母的分式相加减：(0,0)m n mb na

a b a b ab

±±=≠≠

4、分式的乘除：

（1）分式的乘法：

(0,0)m n mn a b a b ab

?=≠≠ （2）分式的除法：(0,0,0)m n m b mb

a b n a b a n an

÷=?=≠≠≠

五、根式的运算

1、

根式的加减：(m n =± （同类根式才能相加减） 2、

根式的乘除：(mn =

(

(0,0)m n b n =≠≠ （同次根式才能相乘除）

3、

根式的乘方：2

(0)a a =≥

4、

(0)m a a ==>

a b

==- 六、方程的运算

1、一元一次方程

步骤：去分母，去括号，移项，合并同类项，化未知数的系数为1。

注意：移项时，此项前的符号要变号；去括号时，括号前是“－”时，括号内的每一项都要变号。

2、关于x 的一元一次方程ax b =的解的三种情况

（1） 0a =，0b ≠，方程无解

（2） 0a =，0b =，方程无数多个解（3） 0a ≠，方程只有一个解 3、二次一次方程（组）

（1）二元一次方程的正整数解（不定方程）

（a ）不定方程的概念：一个方程，两个未知数。

（b ）不定方程的解：有无数组解，这些解有一定的规律。一般只讨论正整数解。（c ）不定方程的一般解法（选学内容******）对于不定方程3490x y +=来说：

解法步骤为：（1）整理：用一个未知数表示另一个未知数。9044

3033

y x y -==- （2）求解：令1,2,3,4y =L ，求出x 的整数解。（3）设参数：∵4

303

x y =-

，且x 为整数。 ∴

y 显然是3的倍数。故3(1,2,3,4)y k k ==L

所以符合要求的解集为：

（2）二元一次方程组的解法（a ）代入消元法

要点：用含有一个未知数的代数式表示另一个未知数，代入方程求解。（b ）加减消元法

要点：通过加减消去一个未知数，求出另一个未知数，代入方程再求出消去的未知数。（3）三元一次方程组的解法主要是加减消元法

要点：先用①式与②式消成二元一次方程，再用②式与③式消成二元一次方程，然后组成新的二元一次方程组再求解。 4、分式方程

（1）步骤：方程两边同时乘最简公分母，去分母，化为整式方程求解，检验。（2）要点：增根的检验很必要，不然方程中分母为0，无意义！

（3）增根的检验：代入原方程的分母，看分母是否为0。为0则是增根，不为0则是原

方程的根

（4）拓展提高：已知增根，求分式方程中的参数的值。先公为整式方程，代入增根的值，

即可求出原方程中的参数的值。（注意，不能先代入，否则分母为0，无法计算。）

5、一元二次方程

（1）三种解法

（a ）配方法

步骤：一化（化二次项的系数为1）

二移（把常数项移到方程右边）

三配（方程两边同时加上一次项系数一半的平方）四整理（写成完全平方式，两边开方）

五写根（通过开方的两个答案，写出两个根）（b ）公式法

步骤：一、找系数

二、算2

4ac b

-的值

三、代公式2b x a

四、写出两根

（c ）因式分解法

步骤：一整理（方程整理成右边=0的形式）

二分解（把方程左边分解成两个整式之积）三求根（根据每一个整式为0，求出两根）

（2）求根公式的理解x =

（a ） a 不能为0。因为0a =，分母=0。式子无意义

（b ） 0b =，x ==

1x =

2x = 两根互为相反数。

（c ） 0c =，222b b b b

x a a a

-±-±-±===

102b b a x -+=

=，22b b b a a

x --==- 两根之中至少有一个根为0。（3）根的判别式 2

4ac b

（a ）当2

40ac b ?=->时，方程有两个不相等的实数根。（b ）当2

40ac b ?=-=时，方程有两个相等的实数根。（c ）当2

40ac b ?=-<时，方程元实数根。（d ）当2

40ac b

-≥时，方程有两个实数根。

（e ） a 、c 异号时，方程必有实数根。

（4）方程的特殊解与系数的关系

（a ）当方程有一个根为0时，0c =，另一根为b a

（b ）当方程有一个根为1时，0a b c ++=，另一根为

c a （c ）当方程有一个根为1-时，0a b c -+=，另一根为c a

- （5）根与系数的关系（韦达定理）

0a bx c x ++=的两个根为1x 和2x ，则1x 和2x 满足以下关系：

x ＋2

- ，1x 2

=c a

根据以上规律还可以得到以下关系：

22221212()()ac c c a a b b b x x x x x x a a

-+=-=-?=-=+-

a c c a x x

x x

==-+ 2

211

2212ac

x x x x a

x x

-+-+==

12||x x -==

222221212

12()x x x x x x +=-+ 2

1ac

x a

的分析如下：

∵

22112)()021

(b c b

a b c a a x x x x x a

+?+++= 即：2

2222120112b c b bc

a a a

b x x x x x a a

+++++=

2222122()()112ac b c bc a a b x x x x x x a a -=++++++

223

2()()121201ac ac b c b bc

a a a abc

abc

ac abc b b x x a a a

x x a

a a a

b b x x a a

--=++-++--=+-

--=++=

∴

21ac

abc b

x a

--+

七、不等式（组）的运算

1、不等式的三条性质

（1）若,a b a m b m >±>±则

（不等式两边同时加减相同的代数式，不等号方向不变）（2）若,0,a b a b m am bm m m >>>>则或

（不等式两边同时乘或除以一个正数，不等号方向不变）（3）若,0,a b a b m am bm m m

><<<则或

（不等式两边同时乘或除以一个负数，不等号方向改变）

2、不等式的解法

步骤：去分母，去括号，移项，合并同类项，化未知数的系数为1。注意：移项要变符号，两边同时乘或除以一个负数，不等号要改变。 3、不等式的解集在数轴上表示（1） “><和”，用空心圆圈（2） “≥≤和”，用实心圆圈 4、求符合不等式解集的特殊解

（1）正整数解（2）非负数解

（3）与一元二次方程的判别式相结合的求解集。(分0,0,0,0?>?=?

（1）两个都是大于：大大取较大。

,()x a x b a b >>> 解集为：x a >

（2）两个都是小于：小小取较小。

,()x a x b a b <<> 解集为：x b <

（3）大于小的，小于大的：大小小大中间找。

,()x a x b a b ><< 解集为：a x b << （a 、b 之间）

（4）大于大的，小于小的：大大小小没法找。

,()x a x b a b ><> 解集为：无解

6、用图像解不等式

（1）一次函数

分kx b +>0和<0两种，即横轴之上与横轴之下两种图象来考虑。刚好在x 轴上，即kx b +=0。

分三种情况来考虑：

① 图象与x 轴的交点：kx b +=0

② 图象在x 轴之上的部分：kx b +>0

③ 图象在x 轴之下的部分：kx b +<0

（2）一次函数与反比例函数

分k kx b x +>

k kx b x += k

kx b x

+< 三种情况考虑如图：交点坐标很重要。

每种情况都要分几个区域来考虑。

①直线在曲线之上：一次函数大于反比例函数

②直线在曲线之下：一次函数小于反比例函数

③直线与曲线的交点：一次函数等于于反比例函数

（3）二次函数

0a bx c x ++>

从开口方向、图象与x 轴交点坐标、图象在x 轴之上、与在x 轴之下几个因素来考虑

① 图象在x 轴上方的部分：2

0a bx c x

++>

② 图象在x 轴下方的部分：2

0a bx c x

++<

③ 图象与x 轴的相交处：2

bx c x

++=

④ 无交点时，整个图象在上与在下两种。

八、直角三角形边角关系（三角函数）的运算

1、四种三角函数的（直角三角形）定义

（1）正弦：（对边比斜边）sin a A c = （2）余弦：（邻边比斜边）s b

co A c =

（3）正切：（对边比邻边）tan a

A b =

（4）余切：（邻边比对边）cot b

A a

2、四种三角函数的（直角坐标）定义

（1）正弦：sin y c α= （2）余弦：s x

co c α=

（3）正切：tan y

α=

（4）余切：cot x y

α=

注意：（A ）当角α是锐角时，四种三角函数都是正数；（B ）当角α是钝角时，P 点转到第二象限，x 的值为负数，此时只有正弦为正数，其余的三种三角函数都是负数。（C ）由对称可知：

互补的两角的正弦相等，如：sin 60°=sin120°，sin30°=sin150° 互补的两角的其他三种三角函数互为相反数，

如：cos120°=cos60-°，tan150°=tan30-°cot135°=cot 45-°

口诀：正弦，余弦分分母2，分子根号1，2，3；正切余切分母3，分子根号3次方。

4、三角函数的关系

（1）倒数关系：tan cot 1A A ?= （两切相乘积为1）

（2）平方关系：2

1sin

cos A A += （两弦平方和为1）

（3）商数关系：

sin tan cos A A A = s t sin co A

co A A

= （两弦相除得到切）（4）互为余角的三角函数：

sin cos(90)a a =?- cos sin(90)a a =?-

tan cot(90)a a =?- cot tan(90)a a =?-

（5）互为补角的三角函数：

sin sin(180)a a =?- cos cos(180)a a =-?- tan tan(180)a a =-?- cot cot(180)a a =-?- 5、直角三角形的边角计算

（1）计算对边：sin a c A =? tan a b A =? cot b

a A

= （2）计算斜边：sin a c A =

cos b

c A = （3）计算邻边：tan a

b A

= cot b a A = cos b c A =?

（4）规律：不必死记硬背，只记定义变形。先写相关定义，再作乘除变形。

如：sin a A c = 可以推出：sin a c A =? 和 sin a c A

6、三角形中重要的三角函数公式

（1）三角形的面积公式：

111

sin sin sin 222

ABC AB AC A AB BC B AC BC C S ?=???=???=???

三角形的面积=夹角的正弦与这两边乘积的一半。

（2）正弦定理：

2sin sin sin a b c

R A B C

=== （R 为△ABC 的外接圆的半径）

三角形中任一边与这边的对角的正弦比值相等。

（3）余弦定理：

2cos bc A a

b c =+-

2cos ac B b a c

=+-

2cos ab C c

a b =+-

三角形中任一边的平方=另两边的平方和减去这两边与夹角的余弦的两倍。

（4）规律与用途

A 、用两边夹一角计算三角形的面积。

不知道高时，使用这种方法可使计算简便。尤其适用夹角是特殊角时。

在求夹角是60°、30°、120°、150°等三角形的面积时，可以直接使用这种公式计算，不需要作高来分析。

如：

sin 602

a a S

=???°

122

a =

B 、已知两角及其中一个对边，求另一条对边。

用正弦定理列出比例式计算。知道两角夹一边也可以转化为正弦定理解。

当α和β是特殊角时计算尤为简便。

C 、已知两边夹一角计算第三边。

用余弦定理计算。夹角一般要特殊角才好计算。

当α是特殊角时，计算很简便。特别是60α=°和120α=°时可以直接使用

（5）典型例题

① 非直角三角形求解

如图：已知∠B=60°，∠C=45°，BC=6，求

ABC

方法1：作高

作高AD ，设AD=x ，

则在Rt △ACD 中DC=x ；

在Rt △ABD 中x ∵BC=6 即

x x += 解得 9x ===-∴

6(92722

ABC BC AD S ?=

?=??-=-方法2：正弦定理

由正弦定理得：

sin sin BC AB A C = 即6sin 75sin 45

从而求出AB 的值。再利用：

1sin 2ABC AB BC B S ?=???求出三角形ABC 的面积。

（说明：只是此题中75°不是特殊角）

② 两仰角求高（分同侧与异侧）

如图：已知∠A=60°，∠CBD=45°，AB=6，求CD

方法1：分两Rt △分析

在Rt △ACD 中，tan ∠A CD

= ∴tan CD

AD A

在Rt △BCD 中，tan ∠CBD CD

∴tan CD

BD B

∵AD BD AB -= 即：

6tan 30tan 45CD CD

∴6cot 30cot 45CD =

∵1)3CD ==

方法2：直接用公式

注意到上面的推导过程，可得以下公式：设CD h =，∠A=α，∠CBD=β，AB s =

则有以下公式：cot cot s

h αβ

=-（同侧）

cot cot s

h αβ

+ （异侧）

这个公式是利用两仰角测量物体的高的经典公式，α是第一个仰角，β是第二个仰角（αβ<）；s 表示向前走的一段距离。

这种方法在实际生活中有着广泛的应用，特别适合不能直接到达物体底部的测量。比如测量河对岸的塔高（有河水阻隔，不能直接到达塔底）用这种方法非常简便。

③ 特殊三角形

如图：已知AB=20，在∠CBD=60°，∠CAE=30°，求

CD 和BD

分析：关注题中的△ABC ，通过角度的计算，知道 ∠ABC=30°，∠ACB=30°得到△ABC 是特殊的三角形，即AB=AC ，从而在Rt △AEC 中求出CE 。 CD 和BD 就好计算了。

可见分析出△ABC是等腰三角形是解决此题的关键！

因此，对于一些特殊三角形的分析是解题的重要思考方向。