截长补短与倍长中线模型的应用小结教学案精编
倍长中线与截长补短
题型一：倍长中线
【例1】 已知ABC △中，AD 平分BAC ∠，且BD CD =，求证：AB AC =．
【例2】 ⑴如下左图，已知ABC △中，AB AC =，CE 是AB 边上的中线，延长AB 到D ，使
BD AB =．
给出下列结论：①AD =2AC ；②CD =2CE ；③∠ACE =∠BCD ；④CB 平分∠DCE ，则以上结论正确的是 ．
⑵如下右图，在△ABC 中，点D 、E 为边BC 的三等分点，给出下列结论：①BD =DE =EC ；②AB +AE ＞2AD ；③AD +AC ＞2AE ；④AB +AC ＞AD +AE ，则以上结论正确的是 ．
A B C
E
D
C
B
A
E
D B
E
D C
B
A
【例3】 如图，已知在ABC △中，AD 是BC 边上的中线，E 是AD 上一点，延长BE 交AC 于F ，
AF EF =，求证：AC BE =．
【例4】 在正方形ABCD 中，PQ ⊥BD 于P ，M 为QD 的中点，试探究MP 与MC 的关系．
A
B
Q
P
M
D
C B
A
题型二：截长补短
F
E D C
B A
D C
B A 【例5】 在AB
C △中，A ∠的平分线交BC 于
D ，AB AC CD =+，40B ∠=?，求C ∠的大小．
D C
B A
【例6】 如图，在ABC △中，2B C ∠=∠，BAC ∠的平分线AD 交BC 于点D ．
求证：AB BD AC +=．
【例7】 已知：在ABC △中，AB CD BD =-，AD BC ⊥，求证：2B C ∠=∠．
【例8】 ⑴正方形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于O ，点E 在BD 上，AE 平分∠DAC ，求证：
2
AC
AD EO =-； ⑵正方形ABCD 中，M 在CD 上，N 在DA 延长线上，CM =AN ，点E 在BD 上，NE 平分∠DNM ，EF ⊥MN ，请问MN 、AD 、EF 有什么数量关系？
M
F
E
D
C
B
A
N
O E
D
C
B
A
D
C B A
训练1. 如图所示，90BAC DAE ∠=∠=?，M 是BE 的中点，AB AC =，AD AE =，求证AM CD ⊥．
M
E
C
B
A
训练2. ABC △中，AB AC >，AD 、AE 分别是BC 边上的中线和A ∠的平分线，则AD 和AE 的
大小关系是AD ______AE ．（填“>”、 “<”或“=”）
训练3. 已知：如图，BDE △是等边三角形，A 在BE 延长线上，C 在BD 的延长线上，且AD AC =，
求证：DE DC AE +=．
训练4. 已知等腰ABC △，100A ∠=?，ABC ∠的平分线交AC 于D ，求证：BD AD BC +=．
D C B A
E B
A
题型一 倍长中线 课后演练
【演练1】 在ABC △中，59AB AC ==，
，则BC 边上的中线AD 的长的取值范围是什么？
【演练2】 在Rt ABC △中，F 是斜边AB 的中点，D 、E 分别在边CA 、CB 上，满足
90DFE ∠=?．若3AD =，4BE =，则线段DE 的长度为_________．
F
E
D
C
B
A
题型二 截长补短 课后演练
【演练3】 如图，点M 为正三角形ABD 的边AB 所在直线上的任意一点(点B 除外)，作
60DMN ∠=?，射线MN 与DBA ∠外角的平分线交于点N ，DM 与MN 有怎样的数量关系?(提示：过点M 作MG BD ∥交AD 于点G )
N
E
B M A D
【演练4】 如图所示，已知ABC △中，A C B C =，90C ∠=?，AD 平分BAC ∠，求证：
AC CD AB +=．
D
C
B
A
【演练5】 已知：如图，ABCD 是正方形，∠F AD =∠F AE . 求证：BE +DF =AE .
F E
D
C
B A
倍长中线法、截长补短法
倍长中线（线段）造全等 1. 已知：AB=4，AC=2，D是BC中点，AD是整数，求 AD 证明：延长AD到E,使DE=AD, 则△ ADC≌△ EBD ∴ BE=AC=2 在△ ABE 中,AB-BE 专题2：倍长中线法和截长补短法 例1：如图，AD 为△ABC 中BC 边上的中线（AB ＞AC ） （1）求证：AB ﹣AC ＜2AD ＜AB +AC ； （2）若AB=8cm ，AC=5cm ，求AD 的取值范围． 针对训练：1、在△ABC 中，AC=5，中线AD=7，则BC 边的取值范围是________________． 2、如图，AD 为△ABC 的中线，∠ADB 和∠ADC 的平分线分别交AB 、AC 于点E 、F ． 求证：BE +CF ＞EF ． 3．如图，点D 、E 三等分△ABC 的BC 边，求怔：AB +AC ＞AD +AE ． 例2：已知在△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，E 是AD 上一点，且BE=AC ，延长BE 交AC 于F ，求证：AF=EF 针对训练：1.已知：如图，?ABC 中，∠C=90?，CM ⊥AB 于M ，AT 平分∠BAC 交CM 于D ，交BC 于T ，过D 作 DE//AB B 交BC 于E ，求证：CT=BE. 2、如图，已知CD=AB ，∠BDA=∠BAD ，AE 是△ABD 的中线，求证：（1）AC=2AE （2）∠C=∠BAE 3、已知△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，分别以AB 边、AC 边为直角边各向外作等腰直角三角形，求证：EF=2AD 例3、在△ABC 中，∠B=2∠C ，AD 是∠BAC 的平分线．求证：AC=AB +BD ． 针对训练： 1、如图，在△ABC 中，∠B=2∠C ，且AC=AB +BD ．求证：AD 是∠BAC 的平分线． D A B C M T E 角平分线类 1如图，在 ABC 中，.B =2. C , BAC 的平分线 AD 交BC 与D .求证: AB BD = AC . 2如图，在 ABC 中，AB B^AC , BAC 的平分线 AD 交BC 与D .求证: .B =2. C . 3 女口图，ABC 中, AB=2AC ，AD 平分 BAC ，且 AD=BD ，求证：CD!AC 4如图，在四边形ABCD 中，BC > BA,AD = CD ，BD 平分.ABC ，求证: AC =180° 5 已知 ABC 中，/A =6°， BD 、CE 分别平分 ^ABC 和三ACB ， BD 、 CE 交于点0，试判断BE 、CD 、BC 的数量关系，并加以证明 . C C 6 如图，在 ABC 中，.B =60 , AD 、CE 分别平分.BAC 、. BCA ，且 AD 7 如图，已知在 L ABC 内，.BAC =60° , ■ C = 40° , P , Q 分别在 BC , AP ，BQ 分别是? BAC ，■ ABC 的角平分线。求证: BQ+AQ=AB+BP 8在 ABC 中，AB AC ，AD 是.BAC 的平分线.P 是AD 上任意一点.求 证：AB - AC PB -PC . 9如图，P 是ABC 的外角? EAC 的平分线AD 上的点（不与A 重合）求 证：PB PC AB AC 与CE 的交点为F .求证: FE =FD . CA 上，并且 C 10.如图，在Rt ABC中，AD是斜边BC上的高，BE是.ABC的平分线，AD 交BE 于O，EF _AD 于F，求证：AF =0D . 11.已知在ABC中，.A =90，B的平分线交AC于E，交BC边上的高AH 于D，过D作DF // BC交AC于F，求证：AE =FC . 12已知在△ABC中，AB=AC，D在AB 上, E在AC的延长线上，DE交 BC 于F，且DF=EF，求证：BD=CE 1.截长补短法证明三角形全等 例1已知：AC平分∠BAD，CE⊥AB，∠B+∠D=180°，求证： AE=AD+BE 练习1如图，四边形ABCD中，AB∥DC，BE、CE分别平分∠ABC、∠BCD，且点E在AD上。求证：BC=AB+DC。 AC-AB=2BE 2.已知∠ABC=3∠C，∠1=∠2，BE⊥AE，求证： 3如图，已知AD∥BC，∠P AB的平分线与∠CBA的平分线相交于E，CE的连线交AP于D．求 证：AD+BC=AB． P C E D B A 4在△ABC 中，?=∠90ACB ，BC AC =，直线MN 经过点C ，且MN AD ⊥于D ， MN BE ⊥于E .(1)当直线MN 绕点C 旋转到图1的位置时， 求证： ①ADC ?≌CEB ?；②BE AD DE +=； (2)当直线MN 绕点C 旋转到图2的位置时，（1）中的结论还成立吗？若成立，请给出证明；若不成立，说明理由. 6.如图,已知AC ∥BD ，EA 、EB 分别平分∠CAB 和∠DBA ，CD 过点E ，则AB 与AC+BD 相等吗？请说明理由 例2已知，如图1-1，在四边形ABCD 中，BC ＞AB ，AD =DC ，BD 平分∠ABC . 求证：∠BAD +∠BCD =180°. 例1. 练习已知，如图3-1，∠1=∠2，P 为BN 上一点，且PD ⊥BC 于点D ，AB +BC =2BD . 求证：∠BAP +∠BCP =180°. A B C D 图1-1 A P 1 2 N 2、倍长中线法证三角形全等 例1 、求证：三角形一边上的中线小于其他两边和的一半。 练习 1：△ABC 中，AB=5，AC=3，求中线AD 的取值范围 例2.已知在△ABC 中，AB=AC ，D 在AB 上，E 在AC 的延长线上，DE 交BC 于F ，且DF=EF ，求证：BD=CE 练习2已知在△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，E 是AD 上一点，且BE=AC ，延长BE 交AC 于F ，求证：AF=EF 例3已知：如图，在ABC ?中，AC AB ≠，D 、E 在BC 上，且DE=EC ，过D 作BA DF //交 F E C A B D F E D A B C 数学倍长中线法集团档案编码：[YTTR-YTPT28-YTNTL98-UYTYNN08] 倍长中线法 1.如图，在正方形ABCD 中，E 为AB 边的中点，G 、F 分别为AD ，BC 边上的点，若AG=1，BF=2，∠GEF=90°，求GF 的长 2.如图，CB 、CD 分别是钝角△AEC 和锐角△ABC 的中线，且AC=AB ．求证：①CE=2CD ．②CB 平分∠DCE ． 3.如图已知△ABC，AD 是BC 边上的中线，分别以AB 边、AC 边为直角边各向形外作等腰直角三角形，求证EF ＝2AD. 4.如图，在△ABC 中，D 是BC 边的中点，E 是AD 上一点，BE ＝AC ，BE 的延长线交AC 于点F ，求证：∠AEF=∠EAF 5..如图，在△ABC 中，AD 交BC 于点D ，点E 是BC 中点，EF ∥AD 交CA 的延长线于点F ，交EF 于点G ，若BG=CF ，求证：AD 为△ABC 的角平分线. 6..如图，△ABC 中，BD=DC=AC,E 是DC 的中点，求证，AD 平分∠BAE. 7.：已知在△ABC 中，AB=AC ，D 在AB 上，E 在AC 的延长线上，DE 交BC 于F ，且DF=EF ，求证：BD=CE 9.在四边形ABCD 中，AB ∥DC ，E 为BC 边的中点，∠BAE=∠EAF ，AF 与DC 的延长线相交于点F 。试探究线段AB 与AF 、CF 之间的数量关系，并证明你的结论 10.已知：如图，ABC 中，C=90，CMAB 于M ，AT 平分BAC 交CM 于D ，交 BC 于T ，过D 作DE//AB 交BC 于E ，求证：CT=BE. 12. 13.四边形ABCD 是矩形，将ABE 沿着直线AE 翻折，点A 落在点F 处，直线AF 与直线CD 交于点G, 如图1，若E 为BC 的中点，请探究线段AB 、AG 、DG 之间的关系 F E C A B D E A B C 手拉手模型 要点一：手拉手模型 特点：由两个等顶角的等腰三角形所组成，并且顶角的 顶点为公共顶点 结论：（1）△ABD ≌△AEC （2）∠α+∠BOC=180° （3）OA平分∠BOC 变形： 例1.如图在直线ABC的同一侧作两个等边三角形ABD ?，连结AE与CD，?与BCE 证明 （1）DBC ? ? ABE? (2)AE与DC之间的夹角为? 60 (3)BH平分AHC ∠ 变式精练1：如图两个等边三角形ABD ?，连结 ?与BCE AE与CD， 证明（1）DBC ? ABE? ? （2）AE与DC之间的夹角为? 60 （3）AE 与DC 的交点设为H ,BH 平分AHC ∠ 变式精练2：如图两个等边三角形ABD ?与BCE ?，连结AE 与CD ， 证明（1）DBC ABE ??? (2）AE 与DC 之间的夹角为?60 (3）AE 与DC 的交点设为H ,BH 平分AHC ∠ 例2：如图，两个正方形ABCD 与DEFG ,连结CE AG ,,二者相交于点H 问：（1）CDE ADG ???是否成立 （2）AG 是否与CE 相等 （3）AG 与CE 之间的夹角为多少度 （4）HD 是否平分AHE ∠ 例3：如图两个等腰直角三角形ADC 与EDG ，连结CE AG ,,二者相交于点H 问：（1）CDE ADG ???是否成立 （2）AG 是否与CE 相等 （3）AG 与CE 之间的夹角为多少度 （4）HD 是否平分AHE ∠ 例4：两个等腰三角形ABD ?与BCE ?，其中 BD AB =,,EB CB =α=∠=∠CBE ABD ,连结AE 与CD ， 全等三角形的类型题 常见辅助线的作法有以下几种： 1)遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变换中的“对折”． 2)遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的 “旋转”． 3)遇到角平分线，可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的思维模式是三角形全等变换中的“对折”， 所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理． 4)过图形上某一点作特定的平分线，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“平移”或“翻转折叠” 5)截长法与补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，是之与特定线 段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明．这种作法，适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目．特殊方法：在求有关三角形的定值一类的问题时，常把某点到原三角形各顶点的线段连接起来，利用三角形面积的知识解答． 倍长中线法 1.已知：AB=4，AC=2，D是BC中点，AD是整数，求AD 2、已知：D是AB中点，∠ACB=90°，求证： 1 2 CD AB 3、已知：∠1=∠2，CD=DE，EF//AB，求证：EF=AC 4、已知，E是AB中点，AF=BD，BD=5，AC=7，求DC A D B C D A B C B A C D F 2 1 E 截长补短法 1、已知：AD 平分∠BAC ，AC=AB+BD ，求证：∠B=2∠C 2、如图，四边形ABCD 中，AB ∥DC ，BE 、CE 分别平分∠ABC 、∠BCD ，且点E 在AD 上。求证：BC=AB+DC 。 3、如图，已知AD ∥BC ，∠P AB 的平分线与∠CBA 的平分线相交于E ，CE 的连线交AP 于D ．求证：AD +BC =AB ． 4、已知∠ABC=3∠C ，∠1=∠2，BE ⊥AE ，求证：AC-AB=2BE 边加减的问题 1、已知：点A 、F 、E 、C 在同一条直线上， AF ＝CE ，BE ∥DF ，BE ＝DF ．求证：△ABE ≌△CDF ． 2、如图：DF=CE ，AD=BC ，∠D=∠C 。求证：△AED ≌△BFC 。 C D B F A E D C B A F E D C P E D C B A D C B A 角平分线类 1如图，在ABC ?中，2B C ∠=∠，BAC ∠的平分线AD 交BC 与D ．求证： AB BD AC +=． D C B A 2如图，在ABC ?中，AB BD AC +=，BAC ∠的平分线AD 交BC 与D ．求证： 2B C ∠=∠． D C B A 3如图，ABC ?中，AB=2AC ，AD 平分BAC ∠，且AD=BD ，求证：CD ⊥AC 4如图，在四边形ABCD 中，BC ＞BA,AD ＝CD ，BD 平分ABC ∠，求证： 0180=∠+∠C A 5已知ABC ?中，60A ∠=，BD 、CE 分别平分ABC ∠和ACB ∠，BD 、 CE 交于点O ，试判断BE 、CD 、BC 的数量关系，并加以证明． C D B A 2 P Q C B A O E D C B A 6如图，在ABC ?中，60B ∠=?，AD 、CE 分别平分BAC ∠、BCA ∠，且AD 与CE 的交点为F ．求证：FE FD =． F B E D C A 7如图，已知在ABC 内，0 60BAC ∠=，040C ∠=，P ，Q 分别在BC ，CA 上，并且AP ，BQ 分别是BAC ∠，ABC ∠的角平分线。求证：BQ+AQ=AB+BP 8在ABC ?中，AB AC >，AD 是BAC ∠的平分线．P 是AD 上任意一点．求 证：AB AC PB PC ->-． C D B P A 9如图，P 是ABC ?的外角EAC ∠的平分线AD 上的点（不与A 重合）求证：PB PC AB AC +>+ P E D C B A 10.如图，在Rt ABC ?中，AD 是斜边BC 上的高，BE 是ABC ∠的平分线，AD 交BE 于O ，EF AD ⊥于F ，求证：AF OD =． B A Q F E D C O 21 11.已知在ABC ?中，90A ∠=?，B ∠的平分线交AC 于E ，交BC 边上的高AH 于D ，过D 作DF BC ∥交AC 于F ，求证：AE FC =． H F D C B A E 12已知在△ABC 中，AB=AC ，D 在AB 上，E 在AC 的延长线上，DE 交BC 于F ，且DF=EF ，求证：BD=CE F E C A B D 一、手拉手模型 要点一：手拉手模型 特点：由两个等顶角的等腰三角形所组成，并且顶角的 顶点为公共顶点 结论：（1）△ABD ≌△AEC （2）∠α+∠BOC=180° （3）OA 平分∠BOC 变形： 例 1.如图在直线ABC 的同一侧作两个等边三角形ABD ?与BCE ?，连结AE 与CD ，证明 （1）DBC ABE ??? (2)DC AE = (3)AE 与DC 之间的夹角为? 60 (4)DFB AGB ??? (5)CFB EGB ??? (6)BH 平分AHC ∠ (7)AC GF // 变式精练1：如图两个等边三角形ABD ?与BCE ?，连结AE 与 CD ， 证明（1）DBC ABE ??? （2）DC AE = （3）AE 与DC 之间的夹角为? 60 （4）AE 与DC 的交点设为H ,BH 平分AHC ∠ 变式精练2：如图两个等边三角形ABD ?与BCE ?，连结AE 与CD ， 证明（1）DBC ABE ??? (2）DC AE = (3）AE 与DC 之间的夹角为?60 (4）AE 与DC 的交点设为H ,BH 平分AHC ∠ 例2：如图，两个正方形ABCD 与DEFG ,连结 CE AG ,,二者相交于点H 问：（1）CDE ADG ???是否成立？ （2）AG 是否与CE 相等？ （3）AG 与CE 之间的夹角为多少度？ （4）HD 是否平分AHE ∠？ 例3：如图两个等腰直角三角形ADC 与EDG ，连结CE AG ,,二者相交于点H 问：（1）CDE ADG ???是否成立？ （2）AG 是否与CE 相等？ （3）AG 与CE 之间的夹角为多少度？ （4）HD 是否平分AHE ∠？ 例4：两个等腰三角形ABD ?与BCE ?，其中BD AB =,,EB CB =α=∠=∠CBE ABD ,连结AE 与CD ， 问：（1）DBC ABE ???是否成立？ （2）AE 是否与CD 相等？ （3）AE 与CD 之间的夹角为多少度？ （4）HB 是否平分AHC ∠？ 二、倍长与中点有关的线段 倍长中线类 ?考点说明：凡是出现中线或类似中线的线段，都可以考虑倍长中线，倍长中线的目的是可以旋转等长度的线段，从而达到将条件进行转化的目的。 【例1】 已知：ABC ?中，AM 是中线．求证：1 ()2 AM AB AC <+． 几何证明中常用辅助线 (一)中线倍长法: 例1 、求证：三角形一边上的中线小于其他两边和的一半。 已知：如图，△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，求证：AD ﹤2 1 (AB+AC) 分析：要证明AD ﹤ 2 1 (AB+AC)，就是证明AB+AC>2AD ，也就是证明两条线段之和大于第三条线段，而我们只能用“三角形两边之和大于第三边”，但题中的三条线段共点，没有构成一个三角形，不能用三角形三边关系定理，因此应该进行转化。待证结论AB+AC>2AD 中，出现了2AD ，即中线AD 应该加倍。 证明：延长AD 至E ，使DE=AD ，连CE ，则AE=2AD 。 在△ADB 和△EDC 中， ???? ? AD =DE ∠ADB =∠EDC BD =DC ∴△ADB ≌△EDC(SAS) ∴AB=CE 又 在△ACE 中， AC+CE ＞AE ∴AC+AB ＞2AD ，即AD ﹤ 2 1 (AB+AC) 小结：(1)涉及三角形中线问题时，常采用延长中线一倍的办法，即中线倍长法。它可以将分居中线两旁的两条边AB 、AC 和两个角∠BAD 和∠CAD 集中于同一个三角形中，以利于问题的获解。 课题练习:ABC ?中，AD 是BAC ∠的平分线，且BD=CD ，求证AB=AC C 例2:中线一倍辅助线作法 △ABC中 方式1：延长AD到 E，AD是BC边中线 使DE=AD， 连接BE 方式2：间接倍长 作CF⊥AD于F，延长MD到N， 作BE⊥AD的延长线于使DN=MD， 连接BE 连接CD 例3：△ABC中，AB=5，AC=3，求中线AD的取值范围 例4：已知在△ABC中，AB=AC，D在AB上，E在AC的延长线上，DE交BC于F，且DF=EF，求证：BD=CE 课堂练习：已知在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上一点，且BE=AC，延长BE交AC于例5：已知：如图，在ABC ?中，AC AB≠， D、E在BC上，且DE=EC，过D作BA DF//交AE于点F， DF=AC. 求证：AE平分BAC ∠ 第 1 题图 倍长中线法 1. 如图，在正方形ABCD中，E为AB边的中点，G、F分别为AD，BC边上的点，若AG=1，BF=2，∠GEF=90°，求GF的长 | 2.如图，CB、CD分别是钝角△AEC和锐角△ABC的中线，且AC=AB．求证：①CE=2CD．②CB平分∠DCE． 、 3.如图已知△ABC，AD是BC边上的中线，分别以AB边、AC边为直角边各向形外作等腰直角三角形，求证EF＝2AD. 4.如图，在△ABC中，D是BC边的中点，E是AD上一点，BE＝AC，BE的延长线交AC 于点F，求证：∠AEF=∠EAF ？ 5..如图，在△ABC中，AD交BC于点D，点E是BC中点，EF∥AD交CA的延长线于点F，交EF于点G，若BG=CF，求证：AD为△ABC的角平分线. ) 6..如图，△ABC中，BD=DC=AC,E是DC的中点，求证，AD平分∠BAE. 7.：已知在△ABC中，AB=AC，D在AB上，E在AC的延长线上，DE交BC于F，且DF=EF，求证：BD=CE … ￥ 、 9.在四边形ABCD 中，AB ∥DC ，E 为BC 边的中点，∠BAE=∠EAF ，AF 与DC 的延长线相交于点F 。试探究线段AB 与AF 、CF 之间的数量关系，并证明你的结论 ' 10.已知：如图， ABC 中， C=90 ，CM AB 于M ，AT 平分 BAC 交CM 于D ，交BC 于T ，过D 作DE//AB 交BC 于E ，求证：CT=BE. E A B C D A B M 第 1 题图 A B F D E C ! ： ^ 12. { G C A D E 倍长中线巧解题 中线是三角形中的重要线段之一，在利用中线解决几何问题时，常常采用“倍长中线法”添加辅助线?所谓倍长中线法，就是将三角形的中线延长一倍，以便构造出全等三角形，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法?丁面举例说明. 一、证明线段不等 例1如图1,在△/!腮中，力〃为腮边上的中线.求证：AB^AO2AD 变式1：如图，点D、E三等分AABC的BC边，求证：AB^AOAD-AE 二、证明线段相等 例2如图2,在中，AH>AC9 E为必边的中点，?仏为ABAC的平分线，过E作月〃的平行线，交AB于F、交以的延长线于G.求证：BWCG. 图2 变式2：如图，D为线段AB的中点，在AB上取异于D的点C,分别以AC、BC为斜边在AB同侧作等腰直角三角形ACE与BCF,连结DE. DF、EF,求证：ADEF为等腫直角三角形 三、求线段的长 例3如图3, △/应中，ZJ=90° , 〃为斜边必的中点，E、F分别为化上的点，且DE1DF,若BES CF4,试求胪的长.（超前班选作） 四、证明线段倍分 例4 如图4, CB、C9分别是钝角△胚C和锐角的中线，且AOAB.求证：CB2CD. 图4 五、证明两直线垂直 例5：如图，ZXABC 中，D 为BC 中点，AB二5, AD二6, AC二13。求证：AB丄AD。 变式：如图5,分别以的边初，胚为一边在三角形外作正方形丽胪和ACGH, H为刖的中点.求证:MA丄BC. “截长补短法”在几何证明问题中的运用 例1?已知，如图1T,在四边形/仿09中，BQAB、AD-DC.劭平分ZABC. 求证：Z创仍Z〃O180°? 例2?如图2-1, AD//BC.点￡在线段/矽上，ZADE二乙CDE、乙DC氐乙ECB. 求证：CD-AD^BC. 例3. 已知，如图3-1, Z1 = Z2, P为鈕'上一点，且PDLBC于点2检BO2BD. 求证：ZBA丹ZBCPX80。. 例4. 已知：如图4-1,在△川％中，乙C=2乙B、Z1 = Z2. 求证：AB-A&CD. 练习： 1、已知，如右图：RtAABC 中，ZC=90° , AC=BC, AD 平分ZBAC.求证:AC+ CD =AB 图1」 图2 全等之倍长中线和截长补短 定 义 示例剖析 倍长中线：即延长三角形的中线，使得延长后的线段是原中线的两倍． 其目的是构造一对对顶的全等三角形； 其本质是转移边和角． E D A B C 其中BD CD =，延长AD 使得DE AD =，则BDE CDA △≌△． 【例1】 已知ABC △中，AD 平分BAC ∠，且BD CD =，求证：AB AC =． 知识互联网 思路导航 例题精讲 题型一：倍长中线 A B C D 【例2】 ⑴如下左图，已知ABC △中，AB AC =，CE 是AB 边上的中线，延长AB 到D ， 使BD AB =．给出下列结论：①AD =2AC ；②CD =2CE ；③∠ACE =∠BCD ；④CB 平分∠DCE ，则以上结论正确的是 ． ⑵如下右图，在△ABC 中，点D 、E 为边BC 的三等分点，给出下列结论：①BD =DE =EC ；②AB +AE ＞2AD ；③AD +AC ＞2AE ；④AB +AC ＞AD +AE ，则以上结论正确的是 ． 【例3】 如图，已知在ABC △中，AD 是BC 边上的中线，E 是AD 上一点，延长BE 交AC 于F ，AF EF =，求证：AC BE =． 【例4】 在正方形ABCD 中，PQ ⊥BD 于P ，M 为QD 的中点，试探究MP 与MC 的关系． A B P Q P M D C B A 典题精练 E D C B A F E D C B A M E D B E D C B A 定 义 示例剖析 截长：即在一条较长的线段上截取一段较短的线段 D C B A 在线段AB 上截取AD AC = 补短：即在较短的线段上补一段线段使其和较长的线段相等 A B C D 延长AC ，使得AD AB = 【例5】 在ABC △中，A ∠的平分线交BC 于D ，AB AC CD =+，40B ∠=?，求C ∠的大 小． D C B A 【例6】 如图，在ABC △中，2B C ∠=∠，BAC ∠的平分线AD 交BC 于点D ． 思路导航 例题精讲 典题精练 题型二：截长补短 几何证明中常用辅助线 (一)中线倍长法: 例1 、求证：三角形一边上的中线小于其他两边和的一半。 已知：如图，△ABC中，AD是BC边上的中线，求证：AD ﹤ 2 1 (AB+ AC) 小结：涉及三角形中线问题时，常采用延长中线一倍的办法，即中线倍长法。它可以将分居中线两旁的两条边AB、AC和两个角∠BAD和∠CAD集中于同一个三角形中，以利于问题的获解。 例2、中线一倍辅助线作法 △ABC中 方式1：延长AD到E，AD是BC边中线 使DE=AD， 连接BE 方式2：间接倍长 AD于F，延长MD到N， 作BE⊥AD的延长线于E 使DN=MD， 连接BE 连接CD 例3、△ABC中，AB=5，AC=3，求中线AD的取值范围 例4、已知在△ABC中，AB=AC，D在AB上，E在AC的延长线上，DE交 BC于F，且DF=EF，求证：BD=CE 课堂练习：已知CD=AB，∠BDA=∠BAD，AE是△ABD的中线， 求证：∠C=∠BAE C 作业： 1、在四边形ABCD 中，AB ∥DC ，E 为BC 边的中点，∠BAE=∠EAF ，AF 与DC 的延长线相交于点F 。试探究线段AB 与AF 、CF 之间的数量关系，并证明你的结论 2、已知：如图，?ABC 中，∠C=90?，CM ⊥AB 于M ，AT 平分∠BAC 交CM 于D ，交BC 于T ，过D 作DE//AB 交BC 于E ，求证：CT=BE. 3：已知在△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，E 是AD 上一点，且BE=AC ，延长BE 交AC 于 F ，求证：AF=EF （二）截长补短法 教八年级上册课本中，在全等三角形部分介绍了角的平分线的性质，这一性质在许多问题里都有着广泛的应用.而“截长补短法”又是解决这一类问题的一种特殊方法，在无法进行直接证明的情形下，利用此种方法常可使思路豁然开朗.请看几例. 例1. 已知，如图1-1，在四边形ABCD 中，BC ＞AB ，AD =DC ，BD 平分∠ABC .求证：∠BAD +∠BCD =180°. 分析：因为平角等于180°，因而应考虑把两个不在一起的通过全等转化成为平角，图中缺少全等的三角形，因而解题的关键在于构造直角三角形，可通过“截长补短法”来实现. 证明：过点D 作DE 垂直BA 的延长线于点E ，作DF ⊥BC 于点F ，如图1-2 ∵BD 平分∠ABC ，∴DE =DF ， 在Rt △ADE 与Rt △CDF 中， ? ? ?==CD AD DF DE ∴Rt △ADE ≌Rt △CDF (HL ),∴∠DAE =∠DCF . 又∠BAD +∠DAE =180°，∴∠BAD +∠DCF =180°， 即∠BAD +∠BCD =180°. 例2. 如图2-1，AD ∥BC ，点E 在线段AB 上，∠ADE =∠CDE ，∠DCE =∠ECB . D A B C M T E A B C D 图1-1 F E D C B A 图 1-2 倍长中线法Prepared on 21 November 2021 全等三角形的类型题常见辅助线的作法有以下几种： 1)遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变换中的 “对折”． 2)遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的思维模式 是全等变换中的“旋转”． 3)遇到角平分线，可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的思维模式是三角形全等变 换中的“对折”，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理． 4)过图形上某一点作特定的平分线，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“平移”或 “翻转折叠” 5)截长法与补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延 长，是之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明．这种作法，适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目． 特殊方法：在求有关三角形的定值一类的问题时，常把某点到原三角形各顶点的线段连接起来，利用三角形面积的知识解答． 倍长中线法 1.已知：AB=4，AC=2，D是BC中点，AD是整数，求AD 2、已知：D是AB中点，∠ACB=90°，求证： 1 2 CD AB 3、已知：∠1=∠2，CD=DE，EF//AB，求证：EF=AC C A D B C D C B A E 4、已知，E 是A B 中点，AF=BD ，BD=5，AC=7，求DC 截长补短法 1、已知：AD 平分∠BAC ，AC=AB+BD ，求证：∠B=2∠C 2、如图，四边形ABCD 中，AB ∥DC ，BE 、CE 分别平分∠ABC 、∠BCD ，且点E 在AD 上。求证： BC=AB+DC 。 3、如图，已知AD ∥BC ，∠PAB 的平分线与∠CBA 的平分线相交于E ，CE 的连线交AP 于D ．求证：AD +BC =AB ． 4、已知∠ABC=3∠C ，∠1=∠2，BE ⊥AE ，求证：AC-AB=2BE 边加减的问题 1、已知：点A 、F 、E 、C 在同一条直线上， AF ＝CE ，BE∥DF，BE ＝DF ．求证：△ABE≌△CDF． 2、如图：DF=CE ，AD=BC ，∠D=∠C 。求证：△AED ≌△BFC 。 3、如图：AB=CD ，AE=DF ，CE=FB 。求证：AF=DE 。 4、已知AB ∥DE ，BC ∥EF ，D ，C 在AF 上，且AD ＝CF ，求证：△ABC ≌△DEF ． 角加减的问题 1、如图所示，已知AE ⊥AB ，AF ⊥AC ，AE=AB ，AF=AC 。求证：（1）EC=BF ；（2）EC ⊥BF 多个垂直问题 1、已知：如图, AC ⊥BC 于C , DE ⊥AC 于E , AD ⊥AB 于A , BC =AE ．若AB = 5 ,求AD 的长？ 2、如图：BE ⊥AC ，CF ⊥AB ，BM=AC ，CN=AB 。求证：（1）AM=AN ；（2）AM ⊥AN 。 3、在△ABC 中，?=∠90ACB ，BC AC =，直线MN 经过点C ，且MN AD ⊥于D ，MN BE ⊥ 于E . (1)当直线MN 绕点C 旋转到图1的位置时，求证： ①ADC ?≌?BE AD DE +=； C D B F A E D C B B A C D F 2 1 E A F E D C B A F E D B A A E B M C F 1 / 2 1、截长补短法证明三角形全等 例1已知：AC 平分∠BAD ，CE ⊥AB ，∠B+∠D=180°，求证：AE=AD+BE 练习1如图，四边形ABCD 中，AB ∥DC ，BE 、CE 分别平分∠ABC 、∠BCD ，且点E 在AD 上。求证：BC=AB+DC 。 2.已知∠ABC=3∠C ，∠1=∠2，BE ⊥AE ，求证：AC-AB=2BE 3如图，已知AD ∥BC ，∠PAB 的平分线与∠CBA 的平分线相交于E ， CE 的连线交AP 于D ．求证：AD +BC =AB ． 4在△ABC 中，?=∠90ACB ，BC AC =，直线MN 经过点C ，且MN AD ⊥于D ，MN BE ⊥于E .(1)当直线MN 绕点C 旋转到图1的位置时，求证： ①ADC ?≌CEB ?；② BE AD DE +=； (2)当直线MN 绕点C 旋转到图2的位置时，（1）中的结论还成立吗？若成立，请给出证明；若不成立，说明理由. 6.如图,已知AC ∥BD ，EA 、EB 分别平分∠CAB 和∠DBA ，CD 过点E ，则AB 与AC+BD 相等 吗？请说明理由 例2已知，如图1-1，在四边形ABCD 中，BC ＞AB ，AD =DC ，BD 平分∠ABC . 求证：∠BAD +∠BCD =180°. 例1. 练习已知，如图3-1，∠1=∠2，P 为BN 上一点，且PD ⊥BC 于点D ，AB +BC =2BD . 求证：∠BAP +∠BCP =180°. 2、倍长中线法证三角形全等 例1 、求证：三角形一边上的中线小于其他两边和的一半。 练习 1：△ABC 中，AB=5，AC=3，求中线AD 的取值范围 例2.已知在△ABC 中，AB=AC ，D 在AB 上，E 在AC 的延长线上，DE 交BC 于F ，且DF=EF ，求证：BD=CE 练习2已知在△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，E 是AD 上一点，且BE=AC ，延长BE 交AC 于F ，求证：AF=EF 例3已知：如图，在ABC ?中，AC AB ≠，D 、E 在BC 上，且DE=EC ，过D 作BA DF //交AE 于点F ，DF=AC. P E D C B A F E C A B D F E D A B C 第 1 题图 A B F A B C D 图1-1 A B C D P 1 2 N 图3-1 倍长中线法 知识网络详解： 中线是三角形中的重要线段之一，在利用中线解决几何问题时，常常采用“倍长中线法”添加辅助线． 所谓倍长中线法，就是将三角形的中线延长一倍，以便构造出全等三角形，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法． 倍长中线法的过程：延长某某到某点，使某某等于某某，使什么等于什么（延长的那一条），用SAS证全等（对顶角） 倍长中线最重要的一点，延长中线一倍，完成SAS全等三角形模型的构造。 【方法精讲】常用辅助线添加方法——倍长中线 △ABC中 方式1：延长AD 到E，AD是BC边中线 使DE=AD， 连接BE 方式2：间接倍长 作CF⊥AD于F，延长MD到N， 作BE⊥AD的延长线于使DN=MD， 连接BE 连接CN 经典例题讲解： 例1：△ABC中，AB=5，AC=3，求中线AD的取值范围 例2：已知在△ABC 中，AB=AC ，D 在AB 上，E 在AC 的延长线上，DE 交BC 于F ，且DF=EF ，求证：BD=CE 例3：已知在△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，E 是AD 上一点，且BE=AC ，延长BE 交AC 于F ，求证：AF=EF 例4：已知：如图，在ABC ?中，AC AB ≠，D 、E 在BC 上，且DE=EC ，过D 作BA DF //交AE 于点F ，DF=AC. 求证：AE 平分BAC ∠ B A B F D E C 例5：已知CD=AB，∠BDA=∠BAD，AE是△ABD的中线，求证：∠C=∠BAE 自检自测： 1、如图，△ABC中，BD=DC=AC,E是DC的中点，求证，AD平分∠BAE. 2、在四边形ABCD中，AB∥DC，E为BC边的中点，∠BAE=∠EAF，AF与DC的延长线相交于点F。试探究线段AB与AF、CF之间的数量关系，并证明你的结论. A B F E A B C 全等三角形的类型题常见辅助线的作法有以下几种： 1)遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变换中的“对折”． 2)遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“旋 转”． 3)遇到角平分线，可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的思维模式是三角形全等变换中的“对折”，所 考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理． 4)过图形上某一点作特定的平分线，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“平移”或“翻转折叠” 5)截长法与补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，是之与特定线段相 等，再利用三角形全等的有关性质加以说明．这种作法，适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目． 特殊方法：在求有关三角形的定值一类的问题时，常把某点到原三角形各顶点的线段连接起来，利用三角形面积的知识解答． 倍长中线法 1.已知：AB=4，AC=2，D是BC中点，AD是整数，求AD 2、已知：D是AB中点，∠ACB=90°，求证： 1 2 CD AB A D B C D C B A E 3、已知：∠1=∠2，CD=DE ，EF ⊥⊥⊥?=∠90ACB BC AC =MN C MN AD ⊥D MN BE ⊥E (1)当直线 MN 绕点C 旋转到图1的位置时，求证： ①ADC ?≌CEB ?；②BE AD DE +=； (2)当直线MN 绕点C 旋转到图2的位置时，（1）中的结论还成立吗？若成立，请给出证明；若不成立，说明理由. 角平分线的逆定理 1、如图，在△ABC 中，AD 为∠BAC 的平分线，DE ⊥AB 于E ，DF ⊥AC 于F 。求证：DE =DF ． 2、如图，OM 平分∠POQ ，MA ⊥OP ,MB ⊥OQ ，A 、B 为垂足，AB 交OM 于点N ．求证：∠OAB =∠OBA 3、已知：AC 平分∠BAD ，CE ⊥AB ，∠B+∠D=180°，求证：AE=AD+BE C D B F A E D C B B A C D F 2 1 E A F E D C B A F E D C B A A E B F A E B M C F 完美WORD 格式 专业 知识分享 D C B A 角平分线类 1如图，在ABC ?中，2B C ∠=∠，BAC ∠的平分线AD 交BC 与D ．求证： AB BD AC +=． D C B A 2如图，在ABC ?中，AB BD AC +=，BAC ∠的平分线AD 交BC 与D ．求证： 2B C ∠=∠． D C B A 3如图，ABC ?中，AB=2AC ，AD 平分BAC ∠，且AD=BD ，求证：CD ⊥AC 4如图，在四边形ABCD 中，BC ＞BA,AD ＝CD ，BD 平分ABC ∠，求证： 0180=∠+∠C A 5已知ABC ?中，60A ∠=，BD 、CE 分别平分ABC ∠和ACB ∠，BD 、 CE 交于点O ，试判断BE 、CD 、BC 的数量关系，并加以证明． C D B A 2 P Q C B A O E D C B A 6如图，在ABC ?中，60B ∠=?，AD 、CE 分别平分BAC ∠、BCA ∠，且AD 与CE 的交点为F ．求证：FE FD =． F B E D C A 7如图，已知在ABC 内，0 60BAC ∠=，040C ∠=，P ，Q 分别在BC ，CA 上，并且AP ，BQ 分别是BAC ∠，ABC ∠的角平分线。求证：BQ+AQ=AB+BP 8在ABC ?中，AB AC >，AD 是BAC ∠的平分线．P 是AD 上任意一点．求 证：AB AC PB PC ->-． C D B P A 9如图，P 是ABC ?的外角EAC ∠的平分线AD 上的点（不与A 重合）求证：PB PC AB AC +>+ 精锐教育学科教师辅导讲义 年 级：初二 科 目：数学 课时数：3 课 题 几何证明 教学目的 能够灵活运用本节课复习的两种解题方法更好的解决证明题. 教学内容 【例题讲解】 题型一：截长补短法 【例1】已知：如图，在△ABC 中，2ABC ACB ∠=∠，AD 是BAC ∠的平分线.求证：AB BD AC +=.（根据图中添加的辅助线用两种方法证明） 【提示】截长补短，2种方法‘ 方法一： 方法二： 【例2】已知：如图，在△ABC 中，2AB BC =，∠B =60°.求证：∠ACB =90°. 【提示】截长补短（两种方法） 方法一： 方法二： 【方法总结】当已知（或求证）“一条线段的长度是另一条线段长度的n 倍”或“一条线段的长度等于两条线段长度的和”时，通常用截长补短法. 题型二：倍长中线法 【例3】已知三角形的两边长分别为7和9，求第三边上中线长的取值范围. 【提示】倍长中线 【方法总结】当已知“三角形一边中线”通常运用“倍长中线法“解决问题（注：有时倍长的并不一定是中线）.可以倍长过中点的任意一条线段. 【借题发挥】 1． 已知：如图，DA ⊥AC ，FC ⊥AC ，ADB BDF ∠=∠，CFB DFB ∠=∠.求证：DF AD CF =+. 【提示】截长补短，2种方法 方法一： 方法二： 2．已知：如图，在正方形ABCD中，M是BC的中点，点P在DC边上，且AP AB CP =+.求证：2 BAP BAM ∠=∠. A D C B M P 【提示】截长补短，2种方法 方法一： 方法二： =.求证：AC=BF. 3．已知：如图，AD为△ABC的中线，BE交AC于点E，交AD于点F，且AE EF 【提示】倍长中线法，2种方法 方法一： 方法二： +=. 4．已知：如图，△ABC是等边三角形，BD是AC边上的高，作DH⊥BC于点H.求证：DC CH BH 【提示】截长补短法，两种方法人教版初中数学全等三角形倍长中线法和截长补短法
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