(完整word版)初等数论练习题一(含答案)
《初等数论》期末练习二
一、单项选择题
1、=),0(b （ ）.
A b
B b -
C b
D 0
2、如果1),(=b a ，则),(b a ab +=（ ）.
A a
B b
C 1
D b a +
3、小于30的素数的个数（ ）.
A 10
B 9
C 8
D 7
4、如果)(mod m b a ≡,c 是任意整数,则
A )(mod m bc ac ≡
B b a =
C (mod )ac bc m ≡/
D b a ≠
5、不定方程210231525=+y x （ ）.
A 有解
B 无解
C 有正数解
D 有负数解
6、整数5874192能被( )整除.
A 3
B 3与9
C 9
D 3或9
7、如果a b ，b a ，则( ).
A b a =
B b a -=
C b a ≥
D b a ±=
8、公因数是最大公因数的（ ）.
A 因数
B 倍数
C 相等
D 不确定
9、大于20且小于40的素数有（ ）.
A 4个
B 5个
C 2个
D 3个
10、模7的最小非负完全剩余系是( ).
A -3，-2,-1,0,1,2，3
B -6，-5,-4,-3,-2,-1
C 1,2,3,4,5，6
D 0,1,2,3,4，5，6
11、因为( ),所以不定方程71512=+y x 没有解.
A [12，15]不整除7
B （12，15）不整除7
C 7不整除（12，15）
D 7不整除[12，15]
12、同余式)593(mod 4382≡x （ ）.
A 有解
B 无解
C 无法确定
D 有无限个解
二、填空题
1、有理数
b
a ，0,(,)1a
b a b <<=，能写成循环小数的条件是（ ）. 2、同余式)45(mod 01512≡+x 有解，而且解的个数为( ). 3、不大于545而为13的倍数的正整数的个数为( ).
4、设n 是一正整数，Euler 函数)(n ?表示所有( )n ，而且与n （ ）的正整数的个数.
5、设b a ,整数，则),(b a （ ）=ab .
6、一个整数能被3整除的充分必要条件是它的（ ）数码的和能被3整除.
7、+=][x x （ ）.
8、同余式)321(mod 75111≡x 有解,而且解的个数( ).
9、在176与545之间有( )是17的倍数.
10、如果0 ab ,则),](,[b a b a =( ).
11、b a ,的最小公倍数是它们公倍数的( ).
12、如果1),(=b a ,那么),(b a ab +=( ).
三、计算题
1、求24871与3468的最小公倍数?
2、求解不定方程2537107=+y x .（8分）
3、求??
? ??563429,其中563是素数. （8分） 4、解同余式)321(mod 75111≡x .（8分）
5、求[525,231]=?
6、求解不定方程18116=-y x .
7、判断同余式)1847(mod 3652≡x 是否有解？
8、求11的平方剩余与平方非剩余.
四、证明题
1、任意一个n 位数121a a a a n n -与其按逆字码排列得到的数n n a a a a 121- 的差必是9的倍数.（11分）
2、证明当n 是奇数时，有)12(3+n .（10分）
3、一个能表成两个平方数和的数与一个平方数的乘积,仍然是两个平方数的和;两个能表成两个平方数和的数的乘积,也是一个两个平方数和的数.（11分）
4、如果整数a 的个位数是5,则该数是5的倍数.
5、如果b a ,是两个整数,0 b ,则存在唯一的整数对r q ,,使得r bq a +=,其中b r ≤0.
《初等数论》期末练习二答案
一、单项选择题
1、C
2、C
3、A
4、A
5、A
6、B
7、D
8、A
9、A 10、D 11、B 12、B
二、填空题
1、有理数
b
a ，1),(,0=
b a b a ，能写成循环小数的条件是（ 1)10,(=b ）. 2、同余式)45(mod 01512≡+x 有解，而且解的个数为( 3 ). 3、不大于545而为13的倍数的正整数的个数为( 41 ).
4、设n 是一正整数，Euler 函数)(n ?表示所有( 不大于 )n ，而且与n （ 互素 ）的正整数的个数.
5、设b a ,整数，则),(b a （ ],[b a ）=ab .
6、一个整数能被3整除的充分必要条件是它的（ 十进位 ）数码的和能被3整除.
7、+=][x x （ }{x ）.
8、同余式)321(mod 75111≡x 有解,而且解的个数( 3 ).
9、在176与545之间有( 12 )是17的倍数.
10、如果0 ab ,则),](,[b a b a =( ab ).
11、b a ,的最小公倍数是它们公倍数的( 因数 ).
12、如果1),(=b a ,那么),(b a ab +=( 1 ).
三、计算题
1、求24871与3468的最小公倍数?
解：因为（24871,3468）=17
所以[24871,3468]= 17
346824871?=5073684 所以24871与3468的最小公倍数是5073684。
2、求解不定方程2537107=+y x .（8分）
解：因为（107，37）=125，所以有解；
考虑137107=+y x ，有26,9-==y x ，
所以，原方程特解为259?=x =225，2526?-=y =-650，
所以通解为t y t x 107650,37225--=+=
3、求??
? ??563429,其中563是素数. （8分） 解 把??
? ??563429看成Jacobi 符号,我们有 ??? ??=??? ??--=??? ??-=??? ??-=??? ??--=??
? ??-=----27672767)1(67276742967429)1(429672167.212721429.2167
11311327)1(27132113.2127=??
? ??=??? ??-=??? ??=--, 即429是563的平方剩余.
4、解同余式)321(mod 75111≡x .（8分）
解 因为(111,321)=3|75,所以同余式有3个解.
将同余式化简为等价的同余方程 )107(mod 2537≡x .
我们再解不定方程2510737=+y x , 得到一解(-8,3).
于是定理4.1中的80-=x .
因此同余式的3个解为
)321(mod 8-≡x ,
)321(mod 99)321(mod 3
3218≡+-≡x , )321(mod 206)321(mod 3
32128≡?+-≡x .
5、求[525,231]=?
解：解：因为（525,231）=21
所以 [525,231]= 17
231525?=5775
6、求解不定方程18116=-y x .
解：因为（6，11）18，所以有解；
考虑1116=+y x ，有1,2-==y x 。
所以，特解为18,36==y x ，
通解为t y t x 618,1136-=-=。
7、判断同余式)1847(mod 3652≡x 是否有解？（8分）
解 我们容易知道1847是素数,所以只需求??
? ??1847365的值. 如果其值是1,则所给的同余式有解,否则无解.
因为735365?=,所以
??
? ????? ??=??? ??184773184751847365. 再)4(mod 173),4(mod 15≡≡,所以
1525184718475-=??
? ??=??? ??=??? ??,
.17471111711731 73117327322731847184773-=??
? ??-=??? ??-=??? ??=??? ???=??? ????? ??=??? ??=??? ??=??? ?? 所以, ??
? ??1847365=1. 于是所给的同余式有解.
8、求11的平方剩余与平方非剩余.
解 因为
52111=-,所以平方剩余与平方非剩余各有5个. 又因为
112≡,422≡,932≡,542≡,352≡,
所以,1，3，4，5，9是素数11的5个平方剩余.其它的8个数，2，6，7，8，10是素数11的平方非剩余.
四、证明题
1、任意一个n 位数121a a a a n n -与其按逆字码排列得到的数n n a a a a 121- 的差必是9的倍数.（11分）
证明 因为
=-121a a a a n n 12211101010a a a a n n n n +?++?+?--- ,
n n a a a a 121- =n n n n a a a a +?++?+?---10101012211 ,
所以,121a a a a n n --n n a a a a 121- =
).101()101(10)110(10)110(1132311------+-?++-?+-?n n n n n n a a a a
而上面等式右边的每一项均是9的倍数,
于是所证明的结论成立.
2、证明当n 是奇数时，有)12(3+n .（10分）
证明 因为)3(mod 12-≡,所以
)3(m od 1)1(12+-≡+n n .
于是,当n 是奇数时,我们可以令12+=k n .
从而有)3(m od 01)1(1212≡+-≡++k n , 即)12(3+n .
3、一个能表成两个平方数和的数与一个平方数的乘积,仍然是两个平方数的和;两个能表成两个平方数和的数的乘积,也是一个两个平方数和的数.（11分）
证明 （1）设22b a m +=,则显然2
22)()(rb ra m r +=. （2）如果2
2d c n +=,那么 222222222222))((d b c b d a c a d c b a mn +++=++=
=)2()2(2
2222222abcd c b d a abcd d b c a -++++
=22)()(bc ad bd ac -++.
4、如果整数a 的个位数是5,则该数是5的倍数.(11分)
证明 设a 是一正整数,并将a 写成10进位数的形式: a =1101010n n n n a a a --+++,010i a ≤.
因为10≡0(mod5),
所以我们得到
)5(mod 0a a ≡
所以整数a 的个位数是5,则该数是5的倍数.
5、如果b a ,是两个整数,0 b ,则存在唯一的整数对r q ,,使得r bq a +=,其中b r ≤0.
证明 首先证明唯一性.设q ',r '是满足条件的另外整数对,即
r q b a '+'=,b r '≤0.
所以r bq r q b +='+',即()r r q q b '-=-',r r q q b '-=-'.又由于b r ≤0,b r '≤0,所以b r r '-.如果q q '≠,则等式r r q q b '-=-'不可能成立. 因此q q '=,r r '=.
其次证明存在性.我们考虑整数的有序列
……,,3,2,,0,,2,3b b b b b b ---……
则整数a 应介于上面有序列的某两数之间,即存在一整数q 使
()b q a qb 1+≤ .
我们设qb a r -=,则有r bq a +=,b r ≤0.
初等数论练习题及答案
初等数论练习题一 一、填空题 1、τ(2420)=27；?(2420)=_880_ 2、设a ，n 是大于1的整数，若a n -1是质数，则a=_2. 3、模9的绝对最小完全剩余系是_{-4，-3，-2，-1，0，1，2，3，4}. 4、同余方程9x+12≡0(mod 37)的解是x ≡11(mod 37)。 5、不定方程18x-23y=100的通解是x=900+23t ，y=700+18t t ∈Z 。. 6、分母是正整数m 的既约真分数的个数为_?(m )_。 7 8、??? ??10365 =-1。 9、若p 是素数，则同余方程x p - 1 ≡1(mod p )的解数为二、计算题 1、解同余方程：3x 2+11x -20≡0 (mod 105)。 解：因105 = 3?5?7， 同余方程3x 2+11x -20≡0 (mod 3)的解为x ≡1 (mod 3)， 同余方程3x 2+11x -38 ≡0 (mod 5)的解为x ≡0，3 (mod 5)， 同余方程3x 2+11x -20≡0 (mod 7)的解为x ≡2，6 (mod 7)， 故原同余方程有4解。 作同余方程组：x ≡b 1 (mod 3)，x ≡b 2 (mod 5)，x ≡b 3 (mod 7)， 其中b 1 = 1，b 2 = 0，3，b 3 = 2，6， 由孙子定理得原同余方程的解为x ≡13，55，58，100 (mod 105)。 2、判断同余方程x 2≡42(mod 107)是否有解？ 11074217 271071107713231071107311072107 710731072107732107422110721721107213)(=∴-=-=-==-=-=-==??≡-?--?-）（）（）（）（），（）（）（）（），（）（））（）（（ ）（解： 故同余方程x 2≡42(mod 107)有解。 3、求（127156+34）28除以111的最小非负余数。
2013年春_西南大学《初等数论》作业及答案(共4次_已整理)
2013年春西南大学《初等数论》作业及答案(共4次,已整理) 第一次作业 1、设n，m为整数，如果3整除n，3整除m，则9（）mn。 A：整除 B：不整除 C：等于 D：小于 正确答案：A 得分：10 2、整数6的正约数的个数是（）。 A：1 B：2 C：3 D：4 正确答案：D 得分：10 3、如果5|n ，7|n，则35（）n 。 A：不整除 B：等于 C：不一定 D：整除 正确答案：D 得分：10 4、如果a|b，b|a ，则（）。 A：a=b B：a=-b C：a=b或a=-b D：a，b的关系无法确定 正确答案：C 得分：10 5、360与200的最大公约数是（）。 A：10 B：20 C：30 D：40 正确答案：D 得分：10 6、如果a|b，b|c，则（）。 A：a=c B：a=-c C：a|c D：c|a
正确答案：C 得分：10 7、1到20之间的素数是（）。 A：1，2，3，5，7，11，13，17，19 B：2，3，5，7，11，13，17，19 C：1，2，4，5，10，20 D：2，3，5，7，12，13，15，17 正确答案：B 得分：10 8、若a，b均为偶数，则a + b为（）。 A：偶数 B：奇数 C：正整数 D：负整数 正确答案：A 得分：10 9、下面的（）是模12的一个简化剩余系。 A：0，1，5，11 B：25，27，13，-1 C：1，5，7，11 D：1，-1，2，-2 正确答案：C 得分：10 10、下面的（）是模4的一个完全剩余系。 A：9，17，-5，-1 B：25，27，13，-1 C：0，1，6，7 D：1，-1，2，-2 正确答案：C 得分：10 11、下面的（）是不定方程3x + 7y = 20的一个整数解。 A：x=0,y=3 B：x=2,y=1 C：x=4,y=2 D：x=2,y=2 正确答案：D 得分：10 12、设a,b,c,d是模5的一个简化剩余系，则a+b+c+d对模5同余于（）。 A：0 B：1 C：2 D：3 正确答案：A 得分：10 13、使3的n次方对模7同余于1的最小的正整数n等于（）。 A：6 B：2
初等数论 1 习题参考答案
附录1 习题参考答案 第一章习题一 1. (ⅰ) 由a b知b = aq，于是b = (a)(q)，b = a(q)及b = (a)q，即a b，a b及a b。反之，由a b，a b及a b 也可得a b； (ⅱ) 由a b，b c知b = aq1，c = bq2，于是c = a(q1q2)，即a c； (ⅲ) 由b a i知a i= bq i，于是a1x1a2x2a k x k = b(q1x1 q2x2q k x k)，即b a1x1a2x2a k x k；(ⅳ) 由b a知a = bq，于是ac = bcq，即bc ac； (ⅴ) 由b a知a = bq，于是|a| = |b||q|，再由a 0得|q| 1，从而|a| |b|，后半结论由前半结论可得。 2. 由恒等式mq np= (mn pq) (m p)(n q)及条件m p mn pq可知m p mq np。 3. 在给定的连续39个自然数的前20个数中，存在两个自然数，它们的个位数字是0，其中必有一个的十位数字不是9，记这个数为a，它的数字和为s，则a, a 1, , a 9, a 19的数字和为s, s 1, , s 9, s 10，其中必有一个能被11整除。 4. 设不然，n1= n2n3，n2p，n3p，于是n = pn2n3p3，即p3n，矛盾。 5. 存在无穷多个正整数k，使得2k1是合数，对于这样的k，(k1)2
不能表示为a2p的形式，事实上，若(k 1)2= a2p，则(k 1 a)( k 1 a) = p，得k 1 a = 1，k 1 a = p，即p = 2k 1，此与p为素数矛盾。 第一章习题二 1. 验证当n =0,1，2，… ,11时，12|f(n)。 2.写a = 3q1r1，b = 3q2r2，r1, r2 = 0, 1或2，由3a2b2 = 3Q r12r22知r1 = r2 = 0，即3a且3b。 3.记n=10q+r, (r=0,1,…,9)，则n k+4-n k被10除的余数和r k+4-r k=r k(r4-1)被10 除的余数相同。对r=0,1,…,9进行验证即可。 4. 对于任何整数n，m，等式n2 (n 1)2 = m2 2的左边被4除的余数为1，而右边被4除的余数为2或3，故它不可能成立。 5 因a4 3a2 9 = (a2 3a 3)( a2 3a 3)，当a = 1，2时，a2 3a 3 = 1，a4 3a2 9 = a2 3a 3 = 7，13，a4 3a2 9是素数；当a 3时，a2 3a 3 > 1，a2 3a 3 > 1，a4 3a2 9是合数。 6. 设给定的n个整数为a1, a2, , a n，作 s1 = a1，s2 = a1a2，，s n = a1a2a n， 如果s i中有一个被n整除，则结论已真，否则存在s i，s j，i < j，使得s i与s j 被n除的余数相等，于是n s j s i = a i + 1a j。
“4-6 初等数论初步”简介
“4-6 初等数论初步”简介 北京师范大学胡永建 初等数论是研究整数的性质和不定方程（组）的整数解的一门学问，它与几何学是最古老的两个数学分支。初等数论中至今仍有许多没有解决的问题，如哥德巴赫（Goldbach）问题，孪生素数猜想，奇完全数的存在性问题等，它们对人类智慧产生了极大挑战。人们在解决一些初等数论问题的过程中所作的贡献，对数论乃至整个数学的发展起了重要的推动作用，产生了一些直接与数学有关的新的重要数学分支。初等数论在计算机科学和信息工程中有许多重大的实际应用。在本专题中，同学们将通过具体的问题，学习初等数论的一些基本知识，如有关整数和整除的知识，用辗转相除法求解一次同余方程（组）和简单的一次不定方程等，初等数论中蕴含的一些思想方法，以及我国古代数学在初等数论的研究方面取得的一些重要成就。 一、内容与课程学习目标 本专题的学习初等数论的一些基本知识，具体包括：整数的整除、同余与同余方程、一次不定方程和数论在密码中的应用四部分内容。通过本专题的学习，要引导学生：1．通过实例，认识带余除法，理解同余和剩余类的概念及意义，探索剩余类的运算性质（加法和乘法），并且理解它的实际意义。体会剩余类运算与传统数的运算的异同（会出现零因子）。 2．理解整除、因数和素数的概念，了解确定素数的方法,如埃拉托斯特尼（Eratoshenes）筛法，知道素数有无穷多个。 3．了解十进制表示的整数的整除判别法，探索整数能被3，9，11，7等整除的判别法。会检查整数加法、乘法运算错误的一种方法,如弃九验算法。 4．通过实例，探索利用辗转相除法求两个整数的最大公约数的方法，理解互素的概念，并能用辗转相除法证明：若a能整除bc，且a,b互素，则a能整除c。探索公因数和公倍数的性质。了解算术基本定理。 5．通过实例，理解一次不定方程的模型，利用辗转相除法求解简单的一次不定方程。并尝试写出算法的程序框图，在条件允许的情况下上机实现。 6．通过实例（如物不知其数问题），理解一次同余方程组的模型。 7．理解大衍求一术和孙子定理的证明。 8．理解费马小定理（当m是素数时，a m-1≡1(mod m)）和欧拉定理（aφ(m)≡1(mod m),其中φ(m)是1，2，…，m-1中与m互素的数的个数）及其证明。 9．了解数论在密码中的应用——公开密钥。 二、内容安排 本专题共安排了四讲，其中最后一讲“数论在密码中的应用”可根据教学时间的实际情况机动安排，可由教师讲授，也可作为学生课后的阅读材料。本专题教学时间约需18课时，具体分配如下（仅供参考）： 第一讲整数的整除约5课时 一、整除的概念和性质约2课时 二、最大公因数与最小公倍数约2课时
初等数论练习册汇总
作业次数：学号姓名作业成绩 第0章序言及预备知识 第一节序言（1） 1、数论人物、资料查询：（每人物写600字左右的简介） （1）华罗庚 2、理论计算与证明： （1 是无理数。 （2）Show that there are infinitely many Ulam numbers 3、用Mathematica 数学软件实现 A Ulam number is a member of an which was devised by and published in in 1964. The standard Ulam sequence (the (1, 2-Ulam sequence starts with U 1=1 and U 2=2 being the first two Ulam numbers. Then for n > 2, U n is defined to be the smallest that is the sum of two distinct earlier terms in exactly one way 。 By the definition, 3=1+2 is an Ulam number; and 4=1+3 is an Ulam number (The sum 4=2+2 doesn't count because the previous terms must be distinct. The integer 5 is not an Ulam number because 5=1+4=2+3. The first few terms are 1, 2, 3, 4, 6, 8, 11, 13, 16, 18, 26, 28, 36, 38, 47, 48, 53, 57, 62, 69, 72, 77,
初等数论作业(3)答案
第三次作业答案： 一、选择题 1、整数5874192能被( B )整除. A 3 B 3与9 C 9 D 3或9 2、整数637693能被(C )整除. A 3 B 5 C 7 D 9 3、模5的最小非负完全剩余系是( D ). A -2,-1,0,1,2 B -5,-4,-3,-2,-1 C 1,2,3,4,5 D 0,1,2,3,4 4、如果)(mod m b a ≡,c 是任意整数,则（A ） A )(mod m bc ac ≡ B b a = C ac T )(m od m bc D b a ≠ 二、解同余式（组） （1）)132(mod 2145≡x . 解 因为(45,132)=3|21,所以同余式有3个解. 将同余式化简为等价的同余方程 )44(mod 715≡x . 我们再解不定方程 74415=-y x , 得到一解(21,7). 于是定理4.1中的210=x . 因此同余式的3个解为 )132(mod 21≡x , )132(mod 65)132(mod 3 13221≡+ ≡x , )132(mod 109)132(mod 3132221≡?+≡x . （2）)45(mod 01512≡+x 解 因为(12,45)=3|15,所以同余式有解,而且解的个数为3. 又同余式等价于)15(mod 054≡+x ,即y x 1554=+. 我们利用解不定方程的方法得到它的一个解是(10,3), 即定理4.1中的100=x . 因此同余式的3个解为 )45(mod 10≡x ,
)45(mod 25)45(mod 3 4510≡+≡x , )45(mod 40)45(mod 3 45210≡?+≡x . （3）)321 (m od 75111≡x . 解 因为(111,321)=3|75,所以同余式有3个解. 将同余式化简为等价的同余方程 )107(mod 2537≡x . 我们再解不定方程 2510737=+y x , 得到一解(-8,3). 于是定理4.1中的80-=x . 因此同余式的3个解为 )321(mod 8-≡x , )321(mod 99)321(mod 3 3218≡+-≡x , )321(mod 206)321(mod 3 32128≡?+-≡x . （4）?? ???≡≡≡)9(mod 3)8(mod 2)7(mod 1x x x . 解 因为(7,8,9)=1,所以可以利用定理5.1.我们先解同余式 )7(mod 172≡x ,)8(mod 163≡x ,)9(mod 156≡x , 得到)9(mod 4),8(mod 1),7(mod 4321-=-==x x x .于是所求的解为 ). 494(mod 478)494(mod 510 )494(mod 3)4(562)1(631472=-=?-?+?-?+??≡x （5）???????≡≡≡≡) 9(mod 5)7(mod 3)5(mod 2)2(mod 1x x x x . (参考上题)
初等数论c++
备注：纯手写代码，注释。 数论 1、素数 （1）暴力求解法 根据素数的概念，没有1和其本身没有其他正因数的数。所以只需枚举比这个数小的数，看能整除即可； C++代码： #include
//去掉了偶数的判断，效率提高一倍 /*如果number整除以i，那么会得到两个的因数， 而较小的那个因数不会超过number的二分之一次方； 所以只需判断到number的平方根向上取整即可；*/ if(number%i); else return false; return true; } int main() { int sum; cin>>sum; if(determine(sum)) cout<<"YES!"; else cout<<"NO!"; return 0; } 时间复杂度：o(sqrt(n)/2); 空间复杂度：几乎没有； （2）一般线性筛法： 因为任何一个合数都能分解成几个素数相乘的形式； 所以可以做一个表，首先把2设为质数，然后将2的倍数设为合数，剩下的数就是新得到的质数，然后重复这个过程，直到筛到合
适的范围即可； 但是这个算法有缺陷： 1、同一个数可能被筛多次，这就产生了多余的步骤。 2、占用空间很大，如果使用bool数组的话，只能筛到1e9； 3、从1-n筛，不能从m-n开始筛； C++代码： #include
(完整word版)初等数论练习题一(含答案)
《初等数论》期末练习二 一、单项选择题 1、=),0(b （ ）. A b B b - C b D 0 2、如果1),(=b a ，则),(b a ab +=（ ）. A a B b C 1 D b a + 3、小于30的素数的个数（ ）. A 10 B 9 C 8 D 7 4、如果)(mod m b a ≡,c 是任意整数,则 A )(mod m bc ac ≡ B b a = C (mod )ac bc m ≡/ D b a ≠ 5、不定方程210231525=+y x （ ）. A 有解 B 无解 C 有正数解 D 有负数解 6、整数5874192能被( )整除. A 3 B 3与9 C 9 D 3或9 7、如果a b ，b a ，则( ). A b a = B b a -= C b a ≥ D b a ±= 8、公因数是最大公因数的（ ）. A 因数 B 倍数 C 相等 D 不确定 9、大于20且小于40的素数有（ ）. A 4个 B 5个 C 2个 D 3个 10、模7的最小非负完全剩余系是( ). A -3，-2,-1,0,1,2，3 B -6，-5,-4,-3,-2,-1 C 1,2,3,4,5，6 D 0,1,2,3,4，5，6 11、因为( ),所以不定方程71512=+y x 没有解. A [12，15]不整除7 B （12，15）不整除7 C 7不整除（12，15） D 7不整除[12，15] 12、同余式)593(mod 4382≡x （ ）. A 有解 B 无解 C 无法确定 D 有无限个解 二、填空题 1、有理数 b a ，0,(,)1a b a b <<=，能写成循环小数的条件是（ ）. 2、同余式)45(mod 01512≡+x 有解，而且解的个数为( ). 3、不大于545而为13的倍数的正整数的个数为( ). 4、设n 是一正整数，Euler 函数)(n ?表示所有( )n ，而且与n （ ）的正整数的个数. 5、设b a ,整数，则),(b a （ ）=ab . 6、一个整数能被3整除的充分必要条件是它的（ ）数码的和能被3整除. 7、+=][x x （ ）. 8、同余式)321(mod 75111≡x 有解,而且解的个数( ). 9、在176与545之间有( )是17的倍数.
初等数论第2版习题答案
第一章 §1 1 证明：n a a a ,,21 都是m 的倍数。 ∴存在n 个整数n p p p ,,21使 n n n m p a m p a m p a ===,,,222111 又n q q q ,,,21 是任意n 个整数 m p q p q q p a q a q a q n n n n )(22112211+++=+++∴ 即n n a q a q a q +++ 2211是m 的整数 2 证： )12)(1()12)(1(-+++=++n n n n n n n )1()1()2)(1(+-+++=n n n n n n )1()1/(6),2)(1(/6+-++n n n n n n )1()1()2)(1(/6+-+++∴n n n n n n 从而可知 )12)(1(/6++n n n 3 证： b a , 不全为0 ∴在整数集合{}Z y x by ax S ∈+=,|中存在正整数，因而 有形如by ax +的最小整数00by ax + Z y x ∈?,，由带余除法有00000,)(by ax r r q by ax by ax +<≤++=+ 则 S b q y y a q x x r ∈-+-=)()(00，由00by ax +是S 中的最小整数知0=r by ax by ax ++∴/00 下证8P 第二题 by ax by ax ++/00 （y x ,为任意整数） b by ax a by ax /,/0000++∴ ).,/(00b a by ax +∴ 又有b b a a b a /),(,/),( 00/),(by ax b a +∴ 故),(00b a by ax =+ 4 证：作序列 ,2 3, ,2 , 0,2 ,,2 3,b b b b b b - -- 则a 必在此序列的某两项之间
初等数论
问题一：数学教育专业分为专业基础课：高等代数，数学分析，空间解析几何以及专业课：实变函数论，点集拓扑，复变函数论，微分几何，概率与数理统计，数学建模，初等数论，数学教学论。数学主要的学科首要产生于商业上计算的需要、了解数与数之间的关系、测量土地及预测天文事件。这四种需要大致地与数量、结构、空间及变化(即算术、代数、几何及分析)等数学上广泛的领域相关连著。除了上述主要的关注之外，亦有用来探索由数学核心至其他领域上之间的连结的子领域：至逻辑、至集合论(基础)、至不同科学的经验上的数学(应用数学)、及较近代的至不确定性的严格学习。 一、李永乐：李永乐老师毕业于北京大学数学系，后来在清华大学数学系任教， 他还是前二李全书的代数执笔者，李永乐全书和660题的主编，可以说是考研数学界的权威代表。他的研究方向是线性代数。 二、汤家凤：汤老师是南京大学数学系博士，南京工业大学副教授。他的研究方 向为高等代数。 三、李林：李林老师毕业于北师大数学系，大连理工大学数学科学学院数学研究 所教师，职称为讲师，研究方向为常微分方程。 四、武忠祥：西安交通大学数学系教授，从事高等数学教学和考研辅导23年， 国家高等数学试题库骨干专家。 五、王式安：王式安本人毕业于复旦大学数学系，后来任教于北京理工大学。王 式安老师是前考研命题组的老师，主要是讲概率。 六、方复全：首都师范大学特聘教授，教育部长江学者特聘教授。主要研究方向 为微分几何、微分拓扑学。 七、曹一鸣：北京师范大学数学学科学院教授，博士生导师，贵州师范大学特聘 教授。主要从事数学课程与教学、数学史与数学教育研究。 八、戎小春：首都师范大学数学系硕士毕业，后留校任教。现为美国Rutgers大 学教授。他的研究方向主要为微分几何理论。 九、王贵君：天津师范大学数学学院教授。研究方向：模糊测度与积分,模糊神 经网络,模糊系统逼近。 十、汪晓勤：中国科学院科学技术史博士专业，获哲学博士学位。现任华东师范 大学数学系教授，学科教育（数学）专业博士生导师。研究方向为数学史与数学教育。 问题二：数论的发展史及现状 数论早期称为算术。到20世纪初，才开始使用数论的名称，而算术一词则表示“基本运算”，不过在20世纪的后半，有部份数学家仍会用“算术”一词来表示数论。1952年时数学家Harold Davenport仍用“高等算术”一词来表示数论，戈弗雷·哈罗德·哈代和爱德华·梅特兰·赖特在1938年写《数论介绍》简介时曾提到“我们曾考虑过将书名改为《算术介绍》，某方面而言是更合适的书名，但也容易让读者误会其中的内容”。古希腊数学家——欧几里得 公元前300年，古希腊数学家欧几里德证明了有无穷多个素数，公元前250年古希腊数学家埃拉托塞尼发明了一种寻找素数的埃拉托斯特尼筛法。寻找一个表示所有素数的素数通项公式，或者叫素数普遍公式，是古典数论最主要的问题之一。数论从早期到中期跨越了1000—2000年，在接近2000年时间，数论几乎是空白。中期主要指15-16世纪到19世纪，是由费马，梅森、欧拉、高斯、勒让德、黎曼、希尔伯特、Heegner等人发展的。
初等数论试卷和答案
初等数论考试试卷1 一、单项选择题(每题3分，共18分) 1、如果a b ，b a ，则( ). A b a = B b a -= C b a ≤ D b a ±= 2、如果n 3，n 5，则15（ ）n . A 整除 B 不整除 C 等于 D 不一定 3、在整数中正素数的个数（ ）. A 有1个 B 有限多 C 无限多 D 不一定 4、如果)(mod m b a ≡,c 是任意整数,则 A )(mod m bc ac ≡ B b a = C ac T )(m od m bc D b a ≠ 5、如果( ),则不定方程c by ax =+有解. A c b a ),( B ),(b a c C c a D a b a ),( 6、整数5874192能被( )整除. A 3 B 3与9 C 9 D 3或9 二、填空题(每题3分，共18分) 1、素数写成两个平方数和的方法是（ ）. 2、同余式)(m od 0m b ax ≡+有解的充分必要条件是( ). 3、如果b a ,是两个正整数,则不大于a 而为b 的倍数的正整数的个数为 ( ). 4、如果p 是素数,a 是任意一个整数,则a 被p 整除或者( ). 5、b a ,的公倍数是它们最小公倍数的( ).
6、如果b a ,是两个正整数,则存在( )整数r q ,,使r bq a +=,b r ≤0. 三、计算题(每题8分，共32分) 1、求[136,221,391]=? 2、求解不定方程144219=+y x . 3、解同余式)45(mod 01512≡+x . 4、求 ??? ??563429,其中563是素数. （8分） 四、证明题(第1小题10分，第2小题11分，第3小题11分，共32 分) 1、证明对于任意整数n ,数6233 2n n n ++是整数. 2、证明相邻两个整数的立方之差不能被5整除. 3、证明形如14-n 的整数不能写成两个平方数的和.
[VIP专享]“初等数论初步”简介
“初等数论初步”简介 初等数论是研究整数的性质和不定方程（组）的整数解的一门学问，它与几何学是最 古老的两个数学分支。初等数论中至今仍有许多没有解决的问题，如哥德巴赫 （Goldbach）问题，孪生素数猜想，奇完全数的存在性问题等，它们对人类智慧产生了极 大挑战。人们在解决一些初等数论问题的过程中所作的贡献，对数论乃至整个数学的发展 起了重要的推动作用，产生了一些直接与数学有关的新的重要数学分支。初等数论在计算 机科学和信息工程中有许多重大的实际应用。在本专题中，同学们将通过具体的问题，学 习初等数论的一些基本知识，如有关整数和整除的知识，用辗转相除法求解一次同余方程（组）和简单的一次不定方程等，初等数论中蕴含的一些思想方法，以及我国古代数学在 初等数论的研究方面取得的一些重要成就。 一、内容与课程学习目标 本专题的学习初等数论的一些基本知识，具体包括：整数的整除、同余与同余方程、 一次不定方程和数论在密码中的应用四部分内容。通过本专题的学习，要引导学生： 1．通过实例，认识带余除法，理解同余和剩余类的概念及意义，探索剩余类的运算 性质（加法和乘法），并且理解它的实际意义。体会剩余类运算与传统数的运算的异同 （会出现零因子）。 2．理解整除、因数和素数的概念，了解确定素数的方法,如埃拉托斯特尼（Eratoshenes）筛法，知道素数有无穷多个。 3．了解十进制表示的整数的整除判别法，探索整数能被3，9，11，7等整除的判别 法。会检查整数加法、乘法运算错误的一种方法,如弃九验算法。 4．通过实例，探索利用辗转相除法求两个整数的最大公约数的方法，理解互素的概 念，并能用辗转相除法证明：若a能整除bc，且a,b互素，则a能整除c。探索公因数和 公倍数的性质。了解算术基本定理。 5．通过实例，理解一次不定方程的模型，利用辗转相除法求解简单的一次不定方程。 并尝试写出算法的程序框图，在条件允许的情况下上机实现。 6．通过实例（如物不知其数问题），理解一次同余方程组的模型。 7．理解大衍求一术和孙子定理的证明。 8．理解费马小定理（当m是素数时，a m-1≡1(mod m)）和欧拉定理（aφ(m)≡1(mod m),其中φ(m)是1，2，…，m-1中与m互素的数的个数）及其证明。 9．了解数论在密码中的应用——公开密钥。 二、内容安排
(0346)《初等数论》网上作业题及答案
（0346）《初等数论》网上作业题及答案1：第一次作业 2：第二次作业 3：第三次作业 4：第四次作业 5：第五次作业 1：[论述题]数论第一次作业 参考答案：数论第一次作业答案 2：[单选题]如果a|b，b|c，则（）。 A：a=c B：a=-c C：a|c D：c|a 参考答案：C 马克思主义哲学是我们时代的思想智慧。作为时代的思想智慧，马克思主义哲学主要具有反思功能、概括功能、批判功能和预测功能。 （1）“反思”是哲学思维的基本特征，是以思想的本身为内容，力求思想自觉其为思想。通过不断的反思，揭示自己时代的本质和规律，达到对事物本质和规律性的认识。 （2）概括是马克思主义哲学的重要功能，是马克思主义哲学把握人与世界总体性关系的基本思维方式。 （3）马克思主义哲学的批判功能主要是指对现存世界的积极否定。 （4）马克思主义哲学的预测功能在于预见现存世界的发展趋势。 3：[单选题]360与200的最大公约数是（）。 A：10 B：20 C：30 D：40 参考答案：D数论第一次作业答案 4：[单选题]如果a|b，b|a ，则（）。 A：a=b B：a=-b
C：a=b或a=-b D：a，b的关系无法确定 参考答案：C数论第一次作业答案 5：[单选题]-4除-39的余数是（）。 A：3 B：2 C：1 D：0 参考答案：C数论第一次作业答案 6：[单选题]设n，m为整数，如果3整除n，3整除m，则9（）mn。A：整除 B：不整除 C：等于 D：小于 参考答案：A数论第一次作业答案 7：[单选题]整数6的正约数的个数是（）。 A：1 B：2 C：3 D：4 参考答案：D数论第一次作业答案 8：[单选题]如果5|n ，7|n，则35（）n 。 A：不整除 B：等于 C：不一定 D：整除
数学各个研究方向简介
数学各个研究方向 数论 人类从学会计数开始就一直和自然数打交道了，后来由于实践的需要，数的概念进一步扩充，自然数被叫做正整数，而把它们的相反数叫做负整数，介于正整数和负整数中间的中性数叫做0。它们和起来叫做整数。 对于整数可以施行加、减、乘、除四种运算，叫做四则运算。其中加法、减法和乘法这三种运算，在整数范围内可以毫无阻碍地进行。也就是说，任意两个或两个以上的整数相加、相减、相乘的时候，它们的和、差、积仍然是一个整数。但整数之间的除法在整数范围内并不一定能够无阻碍地进行。 人们在对整数进行运算的应用和研究中，逐步熟悉了整数的特性。比如，整数可分为两大类—奇数和偶数（通常被称为单数、双数）等。利用整数的一些基本性质，可以进一步探索许多有趣和复杂的数学规律，正是这些特性的魅力，吸引了古往今来许多的数学家不断地研究和探索。
数论这门学科最初是从研究整数开始的，所以叫做整数论。后来整数论又进一步发展，就叫做数论了。确切的说，数论就是一门研究整数性质的学科。 数论的发展简况 自古以来，数学家对于整数性质的研究一直十分重视，但是直到十九世纪，这些研究成果还只是孤立地记载在各个时期的算术著作中，也就是说还没有形成完整统一的学科。 自我国古代，许多著名的数学著作中都关于数论内容的论述，比如求最大公约数、勾股数组、某些不定方程整数解的问题等等。在国外，古希腊时代的数学家对于数论中一个最基本的问题——整除性问题就有系统的研究，关于质数、和数、约数、倍数等一系列概念也已经被提出来应用了。后来的各个时代的数学家也都对整数性质的研究做出过重大的贡献，使数论的基本理论逐步得到完善。 在整数性质的研究中，人们发现质数是构成正整数的基本“材料”，要深入研究整数的性质就必须研究质数的性质。因此关于质数性质的有关问题，一直受到数学家的关注。 到了十八世纪末，历代数学家积累的关于整数性质零散的知识已经十分丰富了，把它们整理加工成为一门系统的学科的条件已经完全成熟了。德国数学家高斯集中前人的大成，写了一本书叫做《算术探讨》，1800年寄给了法国科学院，但是法国科学院拒绝了高
初等数论 论文
突出师范特色改革初等数论教学 [摘要]本文介绍了初等数论课程教学中，不断进行教学内容和教学方法的改革，加强对高师生师德、授课能力、创新精神和实践能力培养的一些做法和体会。 [关键词]初等数论教学创新精神和实践能力高师生授课能力作为培养未来中小学教师的高等师范院校，在课堂教学中突出师范特色，加强对高师生进行师德教育，培养学生的授课能力，加强学生创新精神和实践能力的培养显得尤为重要。 一、改革初等数论教学内容，加强高师生的教师素养培养 1．结合初等数论教学，对高师生进行师德教育我国数学家对数论这门学科的发展有过重大的贡献，结合初等数论课程的有关内容，介绍我国数学家在数论领域的伟大成就，能增强民族自豪感，激发学生的爱国主义思想感情。同时，结合初等数论的教学对学生进行辩证唯物主义教育、科学求实精神的教育。如在讲不定方程这一节时，介绍世界上最早提出不定方程的是我国的《九章算术》，比欧洲早200多年。在讲同余方程这一节时，介绍世界上最早提出同余方程组的是我国的《孙子算经》中的孙子定理(即中国剩余定理)。在讲数论与中学教学的联系时，介绍我国中学生在国际数学奥林匹克竞赛(IMO)上屡获佳绩，多次获得团体总分第一名的优异成绩。还介绍华罗庚在数论中的伟大成就，如“华氏定理”、“华氏不等式”。在介绍华罗庚、闵嗣鹤等数论学者甘为人梯，举办数论讨论班，指导年轻数学家(如王元、陈景润、潘承洞等)摘取“数学王冠上的宝石”的高贵品质，对学生进行师德教育。在讲到高次不定方程时，介绍费马大定理，1637年前后由法国数学家费马提出，一代又一代数学家历经350多年的不懈努力，到1993年由英国数学家怀尔斯最后证明，来激发学生勇于探索，科学求实的学习风气。 2．结合中学数学教学，改革初等数论的教学内客。作为一个高等师范院校，数学与应用数学专业的培养目标是德、智、体、美等全面发展的合格中学数学师资及其他数学专门人才，我们数学系的大多数毕业生要从事中学数学教学，因此，我们的教学要注重与中学数学教学结合起来。如整除、素数和合数、约数和倍数、奇数和偶数、平方数、同余、不定方程、[x]、数的非十进制、欧拉函数等内容与中学联系比较紧密，而且是中学数学奥林匹克竞赛的常客。据统计，被誉为“世界青年智能大赛”的国际数学奥林匹克竞赛(IMO)的试题中主要用于数论知识来解的约占30％，因此也有人把数论称为是锻炼人思维的体操。对这些知识我们要重点进行讲解，并补充一些中学数学竞赛的题目给他们分析讲解，提高学生的解题能力。同时我们开设了选修课《竞赛数学》，为提高学生以后从事辅导中学生数学奥林匹克创造了一定条件。原根与指标也是初等数论中的重要内容，但与中学内容联系比较少，我们采取简单介绍的方法进行讲解。 二、改革初等数论教学方法，加强学生创新精神和实践能力培养 1．加强实践环节，提高数学系高师生的授课能力。初等数论课中的部分内容，如整除、素数与合数、奇数与偶数、同余等概念，在其他课程中已有涉及，只是没有初等数论中讲得详细、系统，因而学生已有了一定的了解。对于这部分内容我们采取让学生讲、分组讨论，由学生对这节课教学内容、教学方法进行评论，提出自己的建议，并对如何上这节课进行阐述，最后由老师进行总结、点
初等数论习题与答案、及测试卷
1 证明：n a a a ,,21 都是m 的倍数。 ∴存在n 个整数n p p p ,,21使 n n n m p a m p a m p a ===,,,222111 又n q q q ,,,21 是任意n 个整数 m p q p q q p a q a q a q n n n n )(22112211+++=+++∴ 即n n a q a q a q +++ 2211是m 的整数 2 证： )12)(1()12)(1(-+++=++n n n n n n n )1()1()2)(1(+-+++=n n n n n n )1()1/(6),2)(1(/6+-++n n n n n n 1()1()2)(1(/6+-+++∴n n n n n n 从而可知 12)(1(/6++n n n 3 证： b a , 不全为0 ∴在整数集合{}Z y x by ax S ∈+=,|中存在正整数，因而 有形如by ax +的最小整数00by ax + Z y x ∈?,，由带余除法有00000,)(by ax r r q by ax by ax +<≤++=+ 则b q y y a q x x r ∈-+-=)()(00，由00by ax +是S 中的最小整数知0=r ax by ax + +∴/00 下证8P 第二题 by ax by ax ++/00 （y x ,为任意整数） b by ax a by ax /,/0000++∴ ,/(00b a by ax +∴ 又有b b a a b a /),(,/),( 0/),(by ax b a +∴ 故),(00b a by ax =+ 4 证：作序列 ,2 3, ,2 , 0,2 ,,2 3,b b b b b b - -- 则a 必在此序列的某两项之间
高中数学竞赛资料-数论部分
初等数论简介 绪言：在各种数学竞赛中大量出现数论题，题目的内容几乎涉及到初等数论的所有专题。 1． 请看下面的例子： （1） 证明：对于同样的整数x 和y ，表达式2x+3y 和9x+5y 能同时被整除。(1894年首届匈牙利 数学 竞赛第一题) （2） ①设n Z ∈，证明213 1n -是168的倍数。 ②具有什么性质的自然数n ，能使123n ++++能整除123n ???？（1956年上海首届数学竞赛 第一题） （3） 证明：3 231 122 n n n + +-对于任何正整数n 都是整数，且用3除时余2。（1956年北京、天津市首届数学竞赛第一题） （4） 证明：对任何自然数n ，分数214 143 n n ++不可约简。（1956年首届国际数学奥林匹克竞赛第一题） （5） 令(,, ,)a b g 和[,, ,]a b g 分别表示正整数,, ,a b g 的最大公因数和最小公倍数，试证： [][][][]()()()() 2 2 ,,,,,,,,,,a b c a b c a b b c c a a b b c c a =??（1972年美国首届奥林匹克数学竞赛第一题） 这些例子说明历来数论题在命题者心目中首当其冲。 2.再看以下统计数字： （1）世界上历史最悠久的匈牙利数学竞赛，从1894~1974年的222个试题中，数论题有41题，占 18.5%。 （2）世界上规模最大、规格最高的IMO （国际数学奥林匹克竞赛）的前20届120道试题中有数论13题，占10.8% 。 这说明：数论题在命题者心目中总是占有一定的分量。如果将有一定“数论味”的计数型题目统计在内，那么比例还会高很多。 3.请看近年来国内外重大竞赛中出现的数论题： (1)方程3 2 3 652x x x y y ++=-+的整数解(,)x y 的个数是（ ） A 、 0 B 、1 C 、3 D 、无穷多 （2007全国初中联赛5） （2）已知,a b 都是正整数，试问关于x 的方程()2 1 02 x abx a b -++=是否有两个整数解？ 如果有，请把它们求出来；如果没有，请给出证明。 （2007全国初中联赛12）
初等数论复习题题库及答案
《初等数论》本科 一 填空题（每空2分） 1.写出30以内的所有素数 2,3,5,7,11,13,17,19,23,29 . 2.,( ,)(,)(,) a b a b a b a b =设是任意两个不为零的整数,则 1 . 3.若,a b 是非零整数,则a 与b 互素的充要条件是存在整数,x y ,适1ax by += 4.写出180的标准分解式是 22235?? ,其正约数个数有 (2+1)(2+1)(1+1)=18个. 5.,1,2,,a b a b L 设与是正整数则在中能被整除的整数恰有 []a b 个. 6.设,a b 是非零整数,c 是整数,方程ax by c +=有整数解(,x y )的充要条件是 (,)|a b c 7. 若整数集合A 是模m 的完全剩余系,则A 中含有 m 个整数. 8.?(3)= 2 ;?(4)= 2 . 9.当p 素数时,(1)()p ?= 1p - ;(2)()k p ?= 1k k p p -- . 10.(),(,)1,1m m a m a ?=-≡设是正整数则 0 (mod ).m 11.,,p p a a a -≡设是素数则对于任意的整数有 0 (mod ).p 12.已知235(mod7)x +≡,则x ≡ 1 (mod7). 13.同余方程22(mod 7)x ≡的解是 4(mod7) . 14.同余方程2310120(mod 9)x x ++≡的解是 .X=6. . 15.(,)1n p =若,n p 是模的二次剩余的充要条件是 -121(mod ).p n p ≡ . 16.(,)1n p =若,n p 是模的二次非剩余的充要条件是 -12 1(mod ).p n p ≡- . 17.3()=5 -1 ; 4 ()=5 1 . 18.,p 设是奇素数则2 ()p = 218(1).p -- . 19.,p 设是奇素数则1()p = 1 ;-1 ()p = -1 2(-1).p . 20. 5()=9 1 ; 2 ()=45 -1 . 二 判断题(判断下列结论是否成立，每题2分). 1. ||,|a b a c x y Z a bx cy ?∈+且对任意的有.成立 2. (,)(,),[,][,]a b a c a b a c ==若则.不成立
高中数学竞赛资料-数论部分
初等数论简介 绪言：在各种数学竞赛量出现数论题，题目的容几乎涉及到初等数论的所有专题。 1． 请看下面的例子： （1） 证明：对于同样的整数x 和y ，表达式2x+3y 和9x+5y 能同时被整除。(1894年首届匈牙利 数学 竞赛第一题) （2） ①设n Z ∈，证明213 1n -是168的倍数。 ②具有什么性质的自然数n ，能使123n ++++能整除123n ???？（1956年首届数学竞赛第 一题） （3） 证明：3 231 122 n n n + +-对于任何正整数n 都是整数，且用3除时余2。 （1956年、市首届数学竞赛第一题） （4） 证明：对任何自然数n ，分数214 143 n n ++不可约简。（1956年首届国际数学奥林匹克竞赛第一题） （5） 令(,, ,)a b g 和[,, ,]a b g 分别表示正整数,, ,a b g 的最大公因数和最小公倍数，试证： [][][][]()()()() 2 2 ,,,,,,,,,,a b c a b c a b b c c a a b b c c a =??（1972年美国首届奥林匹克数学竞赛第一题） 这些例子说明历来数论题在命题者心目中首当其冲。 2.再看以下统计数字： （1）世界上历史最悠久的匈牙利数学竞赛，从1894~1974年的222个试题中，数论题有41题，占18.5%。 （2）世界上规模最大、规格最高的IMO （国际数学奥林匹克竞赛）的前20届120道试题中有数论13题，占10.8% 。 这说明：数论题在命题者心目中总是占有一定的分量。如果将有一定“数论味”的计数型题目统计在，那么比例还会高很多。 3.请看近年来国外重大竞赛中出现的数论题： (1)方程3 2 3 652x x x y y ++=-+的整数解(,)x y 的个数是（ ） A 、 0 B 、1 C 、3 D 、无穷多 （2007全国初中联赛5） （2）已知,a b 都是正整数，试问关于x 的方程()2 1 02 x abx a b -++=是否有两个整数解？ 如果有，请把它们求出来；如果没有，请给出证明。 （2007全国初中联赛12）
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