高等数学 课后习题答案第七章

习题七

1. 在空间直角坐标系中，定出下列各点的位置：

A (1,2,3);

B (-2,3,4);

C (2,-3,-4);

D (3,4,0);

E (0,4,3);

F (3,0,0).

解：点A 在第Ⅰ卦限；点B 在第Ⅱ卦限；点C 在第Ⅷ卦限；

点D 在xOy 面上；点E 在yOz 面上；点F 在x 轴上.

2. xOy 坐标面上的点的坐标有什么特点？yOz 面上的呢？zOx 面上的呢？ 答: 在xOy 面上的点，z =0;

在yOz 面上的点，x =0; 在zOx 面上的点，y =0.

3. x 轴上的点的坐标有什么特点？y 轴上的点呢？z 轴上的点呢？ 答：x 轴上的点，y =z =0;

y 轴上的点，x =z =0; z 轴上的点，x =y =0.

4. 求下列各对点之间的距离： （1） （0，0，0），（2，3，4）； （2） （0，0，0）， （2，-3，-4）； （3） （-2，3，-4），（1，0，3）； （4） （4，-2，3）， （-2，1，3）. 解：（1

）s =

(2) s ==

(3)

s ==

(4)

s ==5. 求点（4，-3，5）到坐标原点和各坐标轴间的距离.

解：点(4，-3，5)到x 轴，y 轴，z 轴的垂足分别为（4，0，0），（0，-3，0），（0，0，5）. 故

02

s =

x s ==

y s ==

5z s ==.

6. 在z 轴上，求与两点A （-4，1，7）和B （3，5，-2）等距离的点. 解：设此点为M （0，0，z ），则

222222(4)1(7)35(2)z z -++-=++--

解得

149z =

即所求点为M （0，0，14

9）.

7. 试证：以三点A （4，1，9），B （10，-1，6），C （2，4，3）为顶点的三角形是等腰直角三角形. 证明：因为|AB |=|AC |=7.且有 |AC |2+|AB |2=49+49=98=|BC |2. 故△ABC 为等腰直角三角形.

8. 验证：()()++=++a b c a b c . 证明：利用三角形法则得证.见图

7-1

图7-1

9. 设2, 3.u

v =-+=-+-a b c a b c 试用a , b , c 表示23.u v -

解：

232(2)3(3)

2243935117u v -=-+--+-=-++-+=-+a b c a b c a b c a b c

a b c

10. 把△ABC 的BC 边分成五等份，设分点依次为D 1，D 2，D 3，D 4，再把各分点与A 连接，试以

AB =c ，

BC =a 表示向量1D A ,2D A ,3D A 和4D A .

解：

111

5D A BA BD =-=--c a

222

5D A BA BD =-=--c a

333

5D A BA BD =-=--c a

444

.

5D A BA BD =-=--c a

11. 设向量OM 的模是4，它与投影轴的夹角是60°，求这向量在该轴上的投影. 解：设M 的投影为M '，则

1

Pr j cos604 2.

2u OM OM =?=?=

12. 一向量的终点为点B （2，-1，7），它在三坐标轴上的投影依次是4，-4和7，求这向量的起点A 的坐

标.

解：设此向量的起点A 的坐标A (x , y , z )，则

{4,4,7}{2,1,7}AB x y z =-=----

解得x =-2, y =3, z =0

故A 的坐标为A (-2, 3, 0).

13. 一向量的起点是P 1（4，0，5），终点是P 2（7，1，3），试求： （1） 12PP 在各坐标轴上的投影； （2） 12PP 的模；

（3）

12PP 的方向余弦； （4） 12PP 方向的单位向量.

解：（1）12Pr j 3,x x a PP == 12Pr j 1

,y y a PP ==

12Pr j 2.z z a PP ==-(2)

12(7PP =

=

(3)

12

cos 14

x a PP α=

=

12

cos 14

y a PP β

=

=

12

cos 14

z a PP γ=

=

(4)

12012

{

14PP PP =

==-e j .

14. 三个力F 1=(1,2,3), F 2=(-2,3,-4), F 3=(3,-4,5)同时作用于一点. 求合力R 的大小和方向余弦. 解：R =（1-2+3，2+3-4，3-4+5）=（2，1，4）

||==R

cos cos cos αβγ===

15. 求出向量a = i +j +k , b =2i -3j +5k 和c =-2i -j +2k 的模，并分别用单位向量,,a b c e e e 来表达向量a , b , c .

解：||=

=a

||==b

||3==c

, , 3. a b c ==a b c e

16. 设m =3i +5j +8k , n =2i -4j -7k , p =5i +j -4k ,求向量a =4m +3n -p 在x 轴上的投影及在y 轴上的分向量.

解：a =4(3i +5j +8k )+3(2i -4j -7k )-(5i +j -4k )=13i +7j +15k 在x 轴上的投影a x =13,在y 轴上分向量为7j .

17. 向量r 与三坐标轴交成相等的锐角，求这向量的单位向量e r . 解：因α

βγ

==,故2

3cos

1 α=

,

cos , cos 33αα=

=-（舍去）

则

{cos ,cos ,cos })r αβγ===++e i j k .

18. 已知两点M 1（2，5，-3），M 2（3，-2，5），点M 在线段M 1M 2上，且123M M

MM =，求向径OM

的坐标.

解：设向径OM ={x , y , z }

12{2,5,3}{3,2,5}M M x y z MM x y z =--+=----

因为，123M M

MM =

所以，114

23(3)153(2) 433(5)3

x x x y y y z z z ?=?-=-??

??

-=--?=-??

??

+=-?=???

故OM ={111,,3

4

4-}. 19. 已知点P 到点A （0，0，12）的距离是7，OP 的方向余弦是236

,,

777，求点P 的坐标.

解：设P 的坐标为（x , y , z ）,

2222

||(12)49PA x y z =++-= 得2

229524x

y z z ++=-+

126570cos 6, 749

z z γ=

=

?==

又

122190cos 2, 749

x x α=

=

?==

123285cos 3, 749

y y β=

=

?==

故点P 的坐标为P （2，3，6）或P （

190285570

,,494949）. 20. 已知a , b 的夹角

2π3?=

，且3,4a b ==，计算： (1) a ·b ; (2) (3a -2b )·(a + 2b ).

解：（1）a ·b =2π1

cos ||||cos

3434632???=??=-??=-a b

(2) (32)(2)3624-?+=?+?-?-?a b a b a a a b b a b b

22

23||44||334(6)41661.=+?-=?+?--?=-a a b b

21. 已知a =(4,-2, 4), b =(6,-3, 2),计算：

（1）a ·b ; (2) (2a -3b )·(a + b )； （3）2

||-a b 解：（1）46(2)(3)4238?=?+-?-+?=a b (2)

(23)()2233-?+=?+?-?-?a b a b a a a b a b b b

22

2222222||3||2[4(2)4]383[6(3)2]23638349113=-?-=?+-+--+-+=?--?=-a a b b

(3) 222

||()()2||2||-=-?-=?-?+?=-?+a b a b a b a a a b b b a a b b

36238499=-?+=

22. 已知四点A （1，-2，3），B （4，-4，-3），C （2，4，3），D （8，6，6），求向量AB 在向量CD 上的

投影. 解：

AB ={3，-2，-6}，CD ={6，2，3}

Pr j CD AB CD AB CD

?

=

4.

7=

=-

23. 设重量为100kg 1M 2（1，4，2），计算重力所作的功（长度单位为m ）.

解：取重力方向为z 轴负方向， 依题意有

f ={0,0, -100×9.8}

s = 12M M ={-2, 3,-6}

故W = f ·s ={0, 0,-980}·{-2, 3,-6}=5880 (J)

24. 若向量a +3b 垂直于向量7a -5b ,向量a -4b 垂直于向量7a -2b ,求a 和b 的夹角. 解: (a +3b )·(7a -5b ) =2

27||1615||0+?-=a a b b ①

(a -4b )·(7a -2b ) =

227||308||0-?+=a a b b ②

由①及②可得：22

2221()1

||

||2||||4???==?=a b a b a b a b a b

又2

1||0

2?=>a b b ，所以

1cos ||||2θ?==a b a b , 故

1π

arccos 23θ==

. 25. 一动点与M 0(1,1,1)连成的向量与向量n =(2,3,-4)垂直，求动点的轨迹方程.

解：设动点为M (x , y , z )

0{1,1,1}M M x y z =---

因0M M n ⊥,故00M M n ?=. 即2(x -1)+3(y -1)-4(z -1)=0

整理得：2x +3y -4z -1=0即为动点M 的轨迹方程.

26. 设a =(-2,7,6),b =(4, -3, -8),证明：以a 与b 为邻边的平行四边形的两条对角线互相垂直. 证明：以a ,b 为邻边的平行四边形的两条对角线分别为a +b ,a －b ,且 a +b ={2,4, -2} a -b ={-6,10,14}

又(a +b )·(a -b )= 2×(-6)+4×10+(-2)×14=0 故(a +b )⊥(a -b ).

27. 已知a =3i +2j -k , b =i -j +2k ,求： (1) a ×b ; (2) 2a ×7b ; (3) 7b ×2a ; (4) a ×a .

解：（1） 211332

3751

2

2

1

11

--?=

+

+

=----a b i j k i j k

(2) 2714()429870?=?=--a b a b i j k

(3) 7214()14()429870?=?=-?=-++b a b a a b i j k

(4)

0?=a a .

28. 已知向量a 和b 互相垂直，且||3, ||4==a b .计算： (1) |(a ＋b )×(a －b )|； (2) |(3a ＋b )×(a －2b )|.

（1）|()()|||2()|+?-=?-?+?-?=-?a b a b a a a b b a b b a b

π

2||||sin

242=??=a b

(2) |(3)(2)||362||7()|+?-=?-?+?-?=?a b a b a a a b b a b b b a

π

734sin

842=???=

29. 求垂直于向量3i -4j -k 和2i -j +k 的单位向量，并求上述两向量夹角的正弦.

解：

4113345551

1

1

2

21

----?=

+

+

=--+--a b i j k i j k

与?a b

平行的单位向量

)||?=

=--+?a b e i j k a b

||sin ||||26θ?=

==

?a b a b .

30. 一平行四边形以向量a =(2,1,－1)和b =(1,－2,1)为邻边，求其对角线夹角的正弦. 解：两对角线向量为

13=+=-l a b i j ，232=-=+-l a b i j k

因为12

|||2610|?=++=l l i j k

12||||==l l 所以

1212||sin 1

||||θ?=

==l l l l .

即为所求对角线间夹角的正弦.

31. 已知三点A (2,-1,5), B (0,3,-2), C (-2,3,1)，点M ，N ，P 分别是AB ，BC ，CA 的中点，证明：

1

()

4MN MP AC BC ?=?.

证明：中点M ，N ，P 的坐标分别为

31

(1,1,), (1,3,), (0,1,3)

22M N P --

{2,2,2}MN =--

3

{1,0,}

2MP =-

{4,4,4}AC =--

{2,0,3}BC =-

2222

2

2

35233

10

01

22MN MP ----?=++=++--i j k i j k

44444

41220803322

AC BC ---?=++

=++--i j k i j k

故 1

()

4MN MP AC BC ?=?.

32. 求同时垂直于向量a =(2,3,4)和横轴的单位向量. 解：设横轴向量为b =(x ,0,0) 则同时垂直于a ，b 的向量为

34422300

00

x

x ?=

+

+

a b i j k

=4x j －3x k

故同时垂直于a ，b 的单位向量为

1

(43)||5?=±

=±-?a b e j k a b .

33. 四面体的顶点在(1,1,1),(1,2,3),(1,1,2)和(3,-

1,2)求四面体的表面积.

解：设四顶点依次取为A , B , C , D . {0,1,2}, {2,2,1}AB AD ==-

则由A ，B ，D 三点所确定三角形的面积为

1

11|||542|22

2S AB AD =

?=+-=

i j k .

同理可求其他三个三角形的面积依次为1

2故四面体的表面积

122S =

+.

34. 已知三点A (2,4,1), B (3,7,5), C (4,10,9)，证：此三点共线. 证明：{1,3,4}AB =,{2,6,8}AC =

显然

2AC AB =

则22()0AB AC AB AB AB AB ?=?=?= 故A ，B ，C 三点共线.

35. 求过点(4,1,-2)且与平面3x -2y +6z =11平行的平面方程. 解：所求平面与平面3x -2y +6z =11平行 故n ={3,-2,6}，又过点(4,1,-2)

故所求平面方程为：3(x -4)-2(y -1)+6(z +2)=0 即3x -2y +6z +2=0.

36. 求过点M 0(1,7,-3)，且与连接坐标原点到点M 0的线段OM 0垂直的平面方程.

解：所求平面的法向量可取为0{

1,7,3}OM ==-n 故平面方程为：x -1+7(y -7)-3(z +3)=0 即x +7y -3z -59=0

37. 设平面过点(1,2,-1)，而在x 轴和z 轴上的截距都等于在y 轴上的截距的两倍，求此平面方程. 解：设平面在y 轴上的截距为b

则平面方程可定为122x y z b b b ++=

又(1,2,-1)在平面上，则有

121

122b b b -++=

得b =2.

故所求平面方程为1424x y z

++=

38. 求过(1,1,-1),(-2,-2,2)和（1，-1，2）三点的平面方程.

解：由平面的三点式方程知

11121212131

31

31

0x x y y z z x x y y z z x x y y z z ------=---

代入三已知点，有111

2121210

11

1121

x y z --+----+=---+ 化简得x -3y -2z =0即为所求平面方程.

39. 指出下列各平面的特殊位置，并画出其图形： (1) y =0; (2) 3x -1=0; (3) 2x -3y -6=0; (4) x – y =0; (5) 2x -3y +4z =0.

解：(1) y =0表示xOz 坐标面（如图7-2） (2) 3x -1=0表示垂直于x 轴的平面.(如图

7-3)

图7-2 图7-3

(3) 2x -3y -6=0表示平行于z 轴且在x 轴及y 轴上的截距分别为x =3和y =-2的平面.(如图7-4) (4) x –y =0表示过z 轴的平面（如图7-5）

(5) 2x -3y +4z =0表示过原点的平面（如图7-6）.

图7-4 图7-5 图7-6 40. 通过两点（1，1，1，）和（2，2，2）作垂直于平面x+y-z=0的平面. 解：设平面方程为Ax+By+Cz+D=0

则其法向量为n={A,B,C}

已知平面法向量为n1={1,1,-1}

过已知两点的向量l={1,1,1}

由题知n·n1=0, n·l=0

即

0,.

A B C

C A B A B C

+-=

?

?==-?

++=

?

所求平面方程变为Ax-Ay+D=0

又点（1，1，1）在平面上，所以有D=0

故平面方程为x-y=0.

41. 决定参数k的值，使平面x+ky-2z=9适合下列条件：

（1）经过点（5，-4，6）；（2）与平面2x-3y+z=0成π

4的角.

解：（1）因平面过点（5，-4，6）故有5-4k-2×6=9

得k=-4.

（2）两平面的法向量分别为

n1={1,k,-2} n2={2,-3,1}

且

12

12

π

cos cos

||||42

θ

?

====

n n

n n

解得2

k=±

42. 确定下列方程中的l和m:

(1) 平面2x+ly+3z-5=0和平面mx-6y-z+2=0平行;

(2) 平面3x-5y+lz-3=0和平面x+3y+2z+5=0垂直.

解：（1）n1={2,l,3}, n2={m,-6,-1}

12

232

,18

613

l

m l

m

?==?=-=

--

n n

(2) n1={3, -5, l }, n2={1,3,2}

12

315320 6.

l l

⊥??-?+?=?=

n n

43. 通过点（1，-1，1）作垂直于两平面x-y+z-1=0和2x+y+z+1=0的平面. 解：设所求平面方程为Ax+By+Cz+D=0

其法向量n={A,B,C}

n1={1,-1,1}, n2={2,1,1}

1

2

2

03

20

3

A C

A B C

A B C C

B

?

=-

?

⊥?-+=?

??

⊥?++=?

=

??

n n

n n

又（1，－1，1）在所求平面上，故A－B+C+D=0，得D=0

故所求平面方程为

2033C

Cx y Cz -++=

即2x -y -3z =0

44. 求平行于平面3x -y +7z =5,且垂直于向量i -j +2k 的单位向量. 解：n 1={3,-1,7}, n 2={1,-1,2}.

12,⊥⊥n n n n

故

121773315212

21

11

--=?=

+

+

=+---n n n i j k i j k

则

2).n =+-e i j k

45. 求通过下列两已知点的直线方程： （1） （1，-2，1）， （3，1，-1）； （2） （3，-1，0），（1，0，-3）. 解：（1）两点所确立的一个向量为

s ={3-1，1+2，-1-1}={2，3，-2}

故直线的标准方程为：

121232x y z -+-==- 或 311232x y z --+==-

（2）直线方向向量可取为

s ={1-3，0+1，-3-0}={-2，1，-3}

故直线的标准方程为：

31213x y z -+==-- 或 13

213x y z -+==--

46. 求直线234035210x y z x y z +--=??

-++=?的标准式方程和参数方程.

解：所给直线的方向向量为

1231

12

23

719522335--=?=

+

+

=----s n n i j k i j k

另取x 0=0代入直线一般方程可解得y 0=7,z 0=17 于是直线过点（0，7，17），因此直线的标准方程为:

717

1719x y z --==--

且直线的参数方程为：

771719x t y t z t =??

=-??=-?

47. 求下列直线与平面的交点：

(1)

11126x y z -+==-, 2x +3y +z -1=0; (2)

213

232x y z +--==, x +2y -2z +6=0.

解：（1）直线参数方程为1126x t

y t z t

=+??

=--??=?

代入平面方程得t =1 故交点为（2，-3，6）.

（2） 直线参数方程为221332x t y t z t

=-+??

=+??=+?

代入平面方程解得t =0. 故交点为（-2，1，3）. 48. 求下列直线的夹角：

（1）533903210x y z x y z -+-=??

-+-=?和 2223038180x y z x y z +-+=??

++-=?；

（2）231

4

123x y z ---==- 和 38

1

21y z x --?=?

--??=?

解：（1）两直线的方向向量分别为：

s 1={5, -3,3}×{3, -2,1}=

533

321

i j k

--={3,4, -1}

s 2={2,2, -1}×{3,8,1}=

221

381i j k

-={10, -5,10}

由s 1·s 2=3×10+4×(-5)+( -1) ×10=0知s 1⊥s 2

从而两直线垂直，夹角为π2.

(2) 直线231

4

123x y z ---==-的方向向量为s 1={4, -12,3},直线38

1

21

y z x --?=?

--??=?

的方程可变为

22010y z x -+=??

-=?,可求得其方向向量s 2={0,2, -1}×{1,0,0}={0, -1, -2},于是

1212cos 0.2064

785θθ?==≈?'≈?s s s s

49. 求满足下列各组条件的直线方程： （1）经过点（2，-3，4），且与平面3x -y +2z -4=0垂直； （2）过点（0，2，4），且与两平面x +2z =1和y -3z =2平行；

（3）过点（-1，2，1），且与直线312

13x y z --==-平行. 解：（1）可取直线的方向向量为

s ={3，-1，2}

故过点（2，-3，4）的直线方程为

234

312x y z -+-==-

（2）所求直线平行两已知平面，且两平面的法向量n 1与n 2不平行，故所求直线平行于两平面的交线，于是直线方向向量

1210

2{2,3,1}

013

=?==--i j k

s n n

故过点（0，2，4）的直线方程为

24231x y z --==-

（3）所求直线与已知直线平行，故其方向向量可取为

s ={2，-1，3}

故过点（-1，2，1）的直线方程为

121213x y z +--==-.

50. 试定出下列各题中直线与平面间的位置关系：

（1）

34273x y z

++==--和4x -2y -2z =3; （2）3

27x y z ==

-和3x -2y +7z =8; （3）

223

314x y z -+-==-和x +y +z =3. 解：平行而不包含. 因为直线的方向向量为s ={-2，-7，3}

平面的法向量n ={4，-2，-2}，所以 (2)4(7)(2)3(2)0?=-?+-?-+?-=s n

于是直线与平面平行.

又因为直线上的点M 0（-3，-4，0）代入平面方程有4(3)2(4)2043?--?--?=-≠.故直线不在平面上.

(2) 因直线方向向量s 等于平面的法向量，故直线垂直于平面.

(3) 直线在平面上，因为3111(4)10?+?+-?=,而直线上的点（2，-2，3）在平面上. 51. 求过点（1，-2，1），且垂直于直线

230

30x y z x y z -+-=??

+-+=?

的平面方程.

解：直线的方向向量为

12

1231

1

1

-=++-i j k

i j k ,

取平面法向量为{1，2，3}，

故所求平面方程为1(1)2(2)3(1)0x y z ?-+++-= 即x +2y +3z =0.

52. 求过点（1，-2，3）和两平面2x -3y +z =3, x +3y +2z +1=0的交线的平面方程. 解：设过两平面的交线的平面束方程为233(321)0x y z x y z λ-+-++++= 其中λ为待定常数，又因为所求平面过点（1，-2，3）

故213(2)33(13(2)231)0λ?-?-+-++?-+?+= 解得λ=-4.

故所求平面方程为

2x +15y +7z +7=0

53. 求点（-1，2，0）在平面x +2y -z +1=0上的投影.

解：过点（-1，2，0）作垂直于已知平面的直线，则该直线的方向向量即为已知平面的法向量，即

s =n ={1，2，-1}

所以垂线的参数方程为

1

22 x t y t z t

=-+?

?

=+?

?=-

?

将其代入平面方程可得(-1+t)+2(2+2t)-(-t)+1=0

得

2

3 t=-

于是所求点（-1，2，0）到平面的投影就是此平面与垂线的交点

522 (,,)

333 -

54. 求点（1，2，1）到平面x+2y+2z-10=0距离.

解：过点（1，2，1）作垂直于已知平面的直线，直线的方向向量为s=n={1，2，2}

所以垂线的参数方程为

1

22

12 x t y t z t

=+?

?

=+?

?=+

?

将其代入平面方程得

1

3 t=

.

故垂足为

485

(,,)

333，且与点（1，2，1

）的距离为

1

d==

即为点到平面的距离.

55. 求点（3，-1，2）到直线

10

240

x y z

x y z

+-+=

?

?

-+-=

?的距离.

解：过点（3，-1，2）作垂直于已知直线的平面，平面的法向量可取为直线的方向向量

即

11133

211

==-=--

-

i j k

n s j k

故过已知点的平面方程为y+z=1.

联立方程组

10 240

1

x y z

x y z

y z

+-+=

?

?

-+-=?

?+=

?

解得

13 1,,.

22 x y z

==-=

即

13

(1,,)

22

-

为平面与直线的垂足

于是点到直线的距离为

2 d==

56. 建立以点（1，3，-2）为中心，且通过坐标原点的球面方程.

解：球的半径为

R==

设(x,y,z)为球面上任一点，则(x-1)2+(y-3)2+(z+2)2=14

即x2+y2+z2-2x-6y+4z=0为所求球面方程.

57. 一动点离点（2，0，-3）的距离与离点（4，-6，6）的距离之比为3，求此动点的轨迹方程.

解：设该动点为M (x ,y ,z )

3.

=

化简得：8x 2+8y 2+8z 2-68x +108y -114z +779=0 即为动点的轨迹方程.

58. 指出下列方程所表示的是什么曲面，并画出其图形：

（1）22

()()

22a a x y -+=; （2）22149x y -+=;

（3）22

194x z +=; （4）2

0y z -=;

（5）220x y -=; （6）

22

0x y +=. 解：（1）母线平行于z 轴的抛物柱面，如图7-7. （2）母线平行于z 轴的双曲柱面,如图

7-8.

图7-7 图7-8 （3）母线平行于y 轴的椭圆柱面，如图7-9. （4）母线平行于x 轴的抛物柱面，如图

7-10.

图7-9 图7-10

（5）母线平行于z 轴的两平面，如图7-11. （6）z 轴，如图

7-12.

图7-11 图7-12 59. 指出下列方程表示怎样的曲面，并作出图形：

（1）22

2

149y z x ++=; （2）22

369436x y z +-=; （3）222

149y z x --=; （4）222

11

49y z x +-=;

（5）222

20x y z -+=; （6）2

2

2

09z x y +-=.

解：（1）半轴分别为1，2，3的椭球面，如图7-13. (2) 顶点在（0，0，-9）的椭圆抛物面，如图

7-14.

图7-13 图7-14

(3) 以x 轴为中心轴的双叶双曲面，如图7-15. (4) 单叶双曲面，如图

7-16.

图7-15 图7-16

(5) 顶点在坐标原点的椭圆锥面，其中心轴是y 轴，如图7-17. (6) 顶点在坐标原点的圆锥面，其中心轴是z 轴，如图

7-18.

图7-17 图7-18

60. 作出下列曲面所围成的立体的图形：

(1) x 2+y 2+z 2=a 2与z =0,z =2a

(a >0); (2) x +y +z =4,x =0,x =1,y =0,y =2及z =0;

(3) z =4-x 2, x =0, y =0, z =0及2x +y =4; (4) z =6-(x 2+y 2),x =0, y =0, z =0及x +y =1. 解：（1）（2）（3）（4）分别如图7-19，7-20，7-21，7-22所示

.

图7-19 图7-20

图7-21 图7-22

61. 求下列曲面和直线的交点：

(1)

222

1

81369

x y z

++=

与

342

364

x y z

--+

==

-;

(2)

222

1

1694

x y z

+-=

与

2

434

x y z+

==

-.

解：（1）直线的参数方程为

33

46

24

x t

y t

z t

=+

?

?

=-

?

?=-+

?

代入曲面方程解得t=0,t=1.

得交点坐标为（3，4，-2），（6，-2，2）.

(2) 直线的参数方程为

4

3

24

x t

y t

z t

=

?

?

=-

?

?=-+

?

代入曲面方程可解得t=1,

得交点坐标为（4，-3，2）.

62. 设有一圆，它的中心在z轴上，半径为3，且位于距离xOy平面5个单位的平面上，试建立这个圆的方程.

解：设（x，y，z）为圆上任一点，依题意有

229

5

x y

z

?+=

?

=±

?

即为所求圆的方程.

63. 建立曲线x2+y2=z, z=x+1在xOy平面上的投影方程.

解：以曲线为准线，母线平行于z轴的柱面方程为

x2+y2=x+1即

22

15

()

24

x y

-+=

.

故曲线在xOy平面上的投影方程为

22

15

()

24

x y

z

?

-+=

?

?

?=

?

64. 求曲线x2+y2+z2=a2, x2+y2=z2在xOy面上的投影曲线.

解：以曲线为准线，母线平行于z轴的柱面方程为

2

22

2

a

x y

+=

故曲线在xOy 面上的投影曲线方程为22220

a x y z ?+=

??

?

=?

65. 试考察曲面222

19254x y z -+=在下列各平面上的截痕的形状，并写出其方程.

(1) 平面x =2; (2) 平面y =0;

(3) 平面y =5; (4) 平面z =2.

解：（1

）截线方程为22

12x ?=????

?=?

其形状为x =2平面上的双曲线.

（2）截线方程为22

1940x z y ?+=???

=?

为xOz 面上的一个椭圆.

(3)

截线方程为22

15

y ?==?

为平面y =5上的一个椭圆.

(4) 截线方程为22

09252x y z ?-

=???

=?

为平面z =2上的两条直线.

66. 求单叶双曲面222

11645x y z +-=与平面x -2z +3=0的交线在xOy 平面，yOz 平面及xOz 平面上的投影

曲线.

解：以

3

2x z +=

代入曲面方程得

x 2+20y 2-24x -116=0.

故交线在xOy 平面上的投影为

22202411600x y x z ?+--=?=?

以x =2z -3代入曲面方程，得 20y 2+4z 2-60z -35=0.

故交线在yOz 平面上的投影为

22204603500y z z x ?+--=?

=?

交线在xOz 平面上的投影为230,0.x z y -+=??

=?

微积分课后题答案第九章习题详解

第9章 习题9-1 1． 判定下列级数的收敛性： (1) 11 5n n a ∞ =?∑（a ＞0）； (2) ∑∞ =-+1 )1(n n n ; (3) ∑∞ =+13 1 n n ; (4) ∑∞ =-+12)1(2n n n ; (5) ∑∞ =+11ln n n n ; (6) ∑∞ =-12)1(n n ; (7) ∑∞ =+11 n n n ; (8) 0(1)21n n n n ∞ =-?+∑． 解：（1）该级数为等比级数，公比为 1a ,且0a >,故当1 ||1a <,即1a >时，级数收敛，当1 | |1a ≥即01a <≤时，级数发散. （2） Q n S =+++L 1= lim n n S →∞ =∞ ∴ 1 n ∞ =∑发散. （3）113 n n ∞ =+∑是调和级数11n n ∞=∑去掉前3项得到的级数，而调和级数11 n n ∞ =∑发散，故原 级数 11 3 n n ∞ =+∑发散. （4）Q 1112(1)1(1)22 2n n n n n n n ∞ ∞-==?? +--=+ ???∑∑ 而11 12n n ∞ -=∑,1(1)2m n n ∞ =-∑是公比分别为1 2的收敛的等比级数，所以由数项级数的基本性质

知111(1)2 2n n n n ∞ -=??-+ ???∑收敛，即原级数收敛. （5）Q ln ln ln(1)1 n n n n =-++ 于是(ln1ln 2)(ln 2ln 3)[ln ln(1)]n S n n =-+-+-+L ln1ln(1)ln(1)n n =-+=-+ 故lim n n S →∞ =-∞,所以级数 1 ln 1 n n n ∞ =+∑发散. （6）Q 2210,2n n S S +==- ∴ lim n n S →∞ 不存在，从而级数 1 (1) 2n n ∞ =-∑发散. （7）Q 1 lim lim 10n n n n U n →∞ →∞+==≠ ∴ 级数 1 1 n n n ∞ =+∑发散. （8）Q (1)(1)1 , lim 21212 n n n n n n U n n →∞--==++ ∴ lim 0n x U →∞≠，故级数1 (1)21n n n n ∞ =-+∑发散. 2． 判别下列级数的收敛性，若收敛则求其和： (1) ∑∞ =??? ??+13121n n n ； (2) ※ ∑∞ =++1)2)(1(1n n n n ; (3) ∑∞ =?1 2sin n n n π ; (4) 0πcos 2n n ∞ =∑． 解：Q （1）1111, 23n n n n ∞ ∞==∑∑都收敛，且其和分别为1和12，则1112 3n n n ∞ =?? + ???∑收敛，且其 和为1+ 12=3 2 . （2）Q 11121(1)(2)212n n n n n n ?? =-+ ?++++??

高等数学 课后习题答案第九章

习题九 1. 求函数u =xy 2+z 3-xyz 在点（1，1,2）处沿方向角为 πππ ,,343αβγ=== 的方向导数。 解： (1,1,2)(1,1,2) (1,1,2)cos cos cos u u u u y l x z αβγ ????=++???? 22(1,1,2)(1,1,2)(1,1,2)πππ cos cos cos 5.(2)()(3)343xy xz y yz z xy =++=--- 2. 求函数u =xyz 在点（5,1,2）处沿从点A （5,1,2）到B （9，4，14）的方向导数。 解：{4,3,12},13.AB AB == u u u r u u u r AB u u u r 的方向余弦为 4312 cos ,cos ,cos 131313αβγ=== (5,1,2)(5,1,2)(5,1,2)(5,1,2)(5,1,2)(5,1,2)2105u yz x u xz y u xy z ?==??==??==? 故4312982105. 13131313u l ?=?+?+?=? 3. 求函数22221x y z a b ??=-+ ??? 在点处沿曲线22 2 21x y a b +=在这点的内法线方向的方向导 数。 解：设x 轴正向到椭圆内法线方向l 的转角为φ，它是第三象限的角，因为 2222220,x y b x y y a b a y ''+==- 所以在点 处切线斜率为 2.b y a a ' ==- 法线斜率为 cos a b ?= . 于是 tan sin ??==

∵ 22 22 ,, z z x y x a y b ?? =-=- ?? ∴ 22 22 z l a b ? ? =--= ?? 4.研究下列函数的极值： (1)z=x3+y3－3(x2+y2); (2)z=e2x(x+y2+2y); (3)z=(6x－x2)(4y－y2); (4)z=(x2+y2) 22 () e x y -+ ; (5)z=xy(a－x－y),a≠0. 解：（1）解方程组 2 2 360 360 x y z x x z y y ?=-=? ? =-=?? 得驻点为（0,0）,(0,2),(2,0),(2,2). z xx=6x－6, z xy=0, z yy=6y－6 在点（0，0）处，A=－6，B=0，C=-6，B2－AC=－36<0，且A<0,所以函数有极大值z(0,0)=0. 在点（0，2）处，A=－6，B=0，C=6，B2－AC=36>0，所以(0,2)点不是极值点. 在点（2，0）处，A=6，B=0，C=－6，B2－AC=36>0，所以(2,0)点不是极值点. 在点（2，2）处，A=6，B=0，C=6，B2－AC=－36<0，且A>0,所以函数有极小值z(2,2)=-8. (2)解方程组 22 2 e(2241)0 2e(1)0 x x x y z x y y z y ?=+++=? ? =+= ?? 得驻点为 1 ,1 2 ?? - ? ??. 22 2 2 4e(21) 4e(1) 2e x xx x xy x yy z x y y z y z =+++ =+ = 在点 1 ,1 2 ?? - ? ??处,A=2e,B=0,C=2e,B2-AC=-4e2<0,又A>0,所以函数有极小值 e 1 ,1 2 2 z??=- - ? ??. (3) 解方程组 2 2 (62)(4)0 (6)(42)0 x y z x y y z x x y ?=--=? ? =--=?? 得驻点为（3,2）,(0,0),(0,4),(6,0),(6,4). Z xx=－2(4y-y2), Z xy=4(3－x)(2－y) Z yy=－2(6x－x2) 在点（3，2）处，A=－8，B=0，C=－18，B2－AC=－8×18<0,且A<0，所以函数有极大值z(3,2)=36. 在点（0，0）处，A=0，B=24，C=0，B2－AC>0，所以(0,0)点不是极值点. 在点（0，4）处，A=0，B=-24，C=0，B2－AC>0，所以(0,4)不是极值点. 在点（6，0）处，A=0，B=-24，C=0，B2－AC>0，所以(6,0)不是极值点. 在点（6，4）处，A=0，B=24，C=0，B2－AC>0，所以(6,4)不是极值点. (4)解方程组 22 22 ()22 ()22 2e(1)0 2e(1)0 x y x y x x y y x y -+ -+ ?--=? ? --=?? 得驻点P0(0,0),及P(x0,y0),其中x02+y02=1， 在点P0处有z=0，而当（x,y）≠(0,0)时，恒有z>0，故函数z在点P0处取得极小值z=0. 再讨论函数z=u e-u

郑州大学高等数学下课后习题答案解析

习题7.7 3.指出下列方程所表示的曲线. （1）???==++;3, 25222x z y x （2）???==++;1,3694222y z y x （3）???-==+-;3, 254222x z y x （4）???==+-+.4,08422y x z y 【解】 （1）表示平面3=x 上的圆周曲线1622=+z y ； （2）表示平面1=y 上的椭圆19 32322 2=+z x ； （3）表示平面3-=x 上的双曲线14 162 2=-y z ； （4）表示平面4=y 上的抛物线642-=x z . 4.求() () ?????=++=++Γ2, 21, :2 22 2 222Rz z y x R z y x 在三个坐标面上的投影曲线. 【解】 （一）（1）、（2）联立消去z 得 2224 3R y x = + 所以，Γ在xoy 面上的投影曲线为 ?????==+.0, 4 322 2z R y x （二）（1）、（2）联立消去y 得 R z 2 1 = 所以，Γ在zox 面上的投影曲线为 .23.0,21R x y R z ≤ ?? ? ??==

（三）（1）、（2）联立消去x 得 R z 21 = 所以，Γ在yoz 面上的投影曲线为 .23.0, 21R y x R z ≤ ????? == 6.求由球面224y x z --= ①和锥面() 223y x z += ②所围成的立体在xoy 面上的投影区域. 【解】联立①、②消去z 得 122=+y x 故Γ在xoy 面上的投影曲线为 ? ??==+.0, 122z y x 所以，球面和锥面所围成的立体在xoy 面上的投影区域为(){}1|,22≤+=y x y x D . 习题7.8 2.设空间曲线C 的向量函数为(){} t t t t t r 62,34,122--+=，R t ∈.求曲线C 在与 20=t 相应的点处的单位切向量. 【解】因(){}64,4,2-=t t t r ，故C 相应20=t 的点处的切向量为 (){}2,4,42='r . C 相应20=t 的点处的单位切向量为 (){}.31,32,322,4,4612? ?????±=± =' 3.求曲线32,,:t z t y t x ===Γ在点)1,1,1(0M 处的切线方程和法平面方程. 【解】0M 对应参数1=t .Γ在0M 点处的切线方向为

高等数学课后习题与解答

高等数学课后习题及解答 1. 设u=a-b+2c，v=-a+3b-c.试用a，b，c 表示2u-3v. 解2u-3v=2（a-b+2c）-3（-a+3b-c） =5a-11b+7c. 2. 如果平面上一个四边形的对角线互相平分，试用向量证明它是平 行四边形. 证如图8-1 ，设四边形ABCD中AC 与BD 交于M ，已知AM = MC ，DM 故 MB . AB AM MB MC DM DC . 即AB // DC 且|AB |=| DC | ，因此四边形ABCD是平行四边形. 3. 把△ABC的BC边五等分，设分点依次为D1，D2，D3，D4，再把各 分点与点 A 连接.试以AB=c, BC=a 表向量 证如图8-2 ，根据题意知 1 D 1 A, 1 D 2 A, D 3 A, D A. 4 1 D3 D4 BD1 1 a, 5 a, D1D2 a, 5 5 1 D 2 D 3 a, 5 故D1 A=- （AB BD1）=- a- c 5

D 2 A =- （ AB D A =- （ AB BD 2 BD ）=- ）=- 2 a- c 5 3 a- c 3 =- （ AB 3 BD 4 ）=- 5 4a- c. 5 4. 已知两点 M 1（0，1，2）和 M 2（1，-1，0） .试用坐标表示式表示 向量 M 1M 2 及-2 M 1M 2 . 解 M 1M 2 =（1-0， -1-1， 0-2）=（ 1， -2， -2） . -2 M 1M 2 =-2（ 1，-2，-2） =（-2， 4，4）. 5. 求平行于向量 a =（6， 7， -6）的单位向量 . a 解 向量 a 的单位向量 为 ，故平行向量 a 的单位向量为 a a 1 = （ 6，7， -6）= 6 , 7 , 6 ， a 11 11 11 11 其 中 a 6 2 72 ( 6)2 11. 6. 在空间直角坐标系中，指出下列各点在哪个卦限？ A （1，-2，3）， B （ 2， 3，-4）， C （2，-3，-4）， D （-2， -3， 1）. 解 A 点在第四卦限， B 点在第五卦限， C 点在第八卦限， D 点在第三卦限 . 7. 在坐标面上和在坐标轴上的点的坐标各有什么特征？指出下列各点的位置： A （ 3， 4， 0）， B （ 0， 4，3）， C （ 3，0，0）， D （ 0， D A 4

高等数学课后习题答案第六章 (1)

习题六 1. 指出下列各微分方程的阶数： (1)一阶 (2)二阶 (3)三阶 (4)一阶 2. 指出下列各题中的函数是否为所给微分方程的解： 2(1)2,5xy y y x '==; 解：由25y x =得10y x '=代入方程得 故是方程的解. (2)0,3sin 4cos y y y x x ''+==-; 解：3cos 4sin ;3sin 4cos y x x y x x '''=+=-+ 代入方程得 3sin 4cos 3sin 4cos 0x x x x -++-=. 故是方程的解. 2(3)20,e x y y y y x '''-+== ; 解：2222e e (2)e ,(24)e x x x x y x x x x y x x '''=+=+=++ 代入方程得 2e 0x ≠. 故不是方程的解. 解：12122211221122e e ,e e x x x x y C C y C C λλλλλλλλ'''=+=+ 代入方程得 故是方程的解. 3. 在下列各题中，验证所给二元方程为所给微分方程的解： 证：方程22 x xy y C -+=两端对x 求导： 得 22x y y x y -'= - 代入微分方程，等式恒成立.故是微分方程的解. 证：方程ln()y xy =两端对x 求导： 11y y x y ''= + (*) 得 (1)y y x y '=-. (*)式两端对x 再求导得 将,y y '''代入到微分方程，等式恒成立，故是微分方程的解. 4. 从下列各题中的曲线族里，找出满足所给的初始条件的曲线： 解：当0x =时，y = 5.故C =-25 故所求曲线为：22 25y x -= 解： 2212(22)e x y C C C x '=++ 当x =0时，y =0故有1 0C =. 又当x =0时，1y '=.故有21C =. 故所求曲线为：2e x y x =. 5. 求下列各微分方程的通解： (1)ln 0xy y y '-=;

高等数学第六版(同济大学)上册课后习题答案解析

高等数学第六版上册课后习题答案及解析 第一章 习题1-1 1. 设A =(-∞, -5)?(5, +∞), B =[-10, 3), 写出A ?B , A ?B , A \B 及A \(A \B )的表达式. 解 A ?B =(-∞, 3)?(5, +∞), A ? B =[-10, -5), A \ B =(-∞, -10)?(5, +∞), A \(A \B )=[-10, -5). 2. 设A 、B 是任意两个集合, 证明对偶律: (A ?B )C =A C ?B C . 证明 因为 x ∈(A ?B )C ?x ?A ?B ? x ?A 或x ?B ? x ∈A C 或x ∈B C ? x ∈A C ?B C , 所以 (A ?B )C =A C ?B C . 3. 设映射f : X →Y , A ?X , B ?X . 证明 (1)f (A ?B )=f (A )?f (B ); (2)f (A ?B )?f (A )?f (B ). 证明 因为 y ∈f (A ?B )??x ∈A ?B , 使f (x )=y ?(因为x ∈A 或x ∈B ) y ∈f (A )或y ∈f (B ) ? y ∈f (A )?f (B ), 所以 f (A ?B )=f (A )?f (B ). (2)因为 y ∈f (A ?B )??x ∈A ?B , 使f (x )=y ?(因为x ∈A 且x ∈B ) y ∈f (A )且y ∈f (B )? y ∈ f (A )?f (B ), 所以 f (A ?B )?f (A )?f (B ). 4. 设映射f : X →Y , 若存在一个映射g : Y →X , 使X I f g =ο, Y I g f =ο, 其中I X 、 I Y 分别是X 、Y 上的恒等映射, 即对于每一个x ∈X , 有I X x =x ; 对于每一个y ∈Y , 有I Y y =y . 证明: f 是双射, 且g 是f 的逆映射: g =f -1. 证明 因为对于任意的y ∈Y , 有x =g (y )∈X , 且f (x )=f [g (y )]=I y y =y , 即Y 中

高等数学练习题库及答案

高等数学练习题库及答 案 Company number：【0089WT-8898YT-W8CCB-BUUT-202108】

《高等数学》练习测试题库及答案 一．选择题 1.函数y= 1 1 2 +x 是（ ） A.偶函数 B.奇函数 C 单调函数 D 无界函数 2.设f(sin 2 x )=cosx+1,则f(x)为（ ） A 2x 2－2 B 2－2x 2 C 1＋x 2 D 1－x 2 3．下列数列为单调递增数列的有（ ） A ． ，，， B ． 23 ，32，45，54 C ．{f(n)},其中f(n)=?????-+为偶数，为奇数n n n n n n 1,1 D. {n n 21 2+} 4.数列有界是数列收敛的（ ） A ．充分条件 B. 必要条件 C.充要条件 D 既非充分也非必要 5．下列命题正确的是（ ） A ．发散数列必无界 B ．两无界数列之和必无界 C ．两发散数列之和必发散 D ．两收敛数列之和必收敛 6．=--→1 ) 1sin(lim 21x x x （ ） .0 C 2 7．设=+∞→x x x k )1(lim e 6 则k=( ) .2 C 6 8.当x →1时，下列与无穷小（x-1）等价的无穷小是（ ） 2 B. x 3-1 C.(x-1)2 (x-1) (x)在点x=x 0处有定义是f(x)在x=x 0处连续的（ ）

A.必要条件 B.充分条件 C.充分必要条件 D.无关条件 10、当|x|<1时，y= （） A、是连续的 B、无界函数 C、有最大值与最小值 D、无最小值 11、设函数f（x）=（1-x）cotx要使f（x）在点：x=0连续，则应补充定义f（0）为（） A、B、e C、-e D、-e-1 12、下列有跳跃间断点x=0的函数为（） A、 xarctan1/x B、arctan1/x C、tan1/x D、cos1/x 13、设f(x)在点x 0连续，g(x)在点x 不连续，则下列结论成立是（） A、f(x)+g(x)在点x 必不连续 B、f(x)×g(x)在点x 必不连续须有 C、复合函数f[g(x)]在点x 必不连续 D、在点x0必不连续 f(x)= 在区间(- ∞,+ ∞)上连续，且f(x)=0，则a,b 14、设 满足（） A、a＞0,b＞0 B、a＞0,b＜0 C、a＜0,b＞0 D、a＜0,b＜0 15、若函数f(x)在点x 0连续，则下列复合函数在x 也连续的有（） A、 B、

中国人民大学出版社第四版高等数学一第6章课后习题详解

高等数学一第6章课后习题详解 课后习题全解 习题6-2 ★ 1．求由曲线 x y =与直线 x y =所围图形的面积。 知识点：平面图形的面积 思路：由于所围图形无论表达为X-型还是Y-型，解法都较简单，所以选其一做即可 解： 见图6-2-1 ∵所围区域D 表达为X-型：?? ?<<<

∵所围区域D 表达为X-型：?????<<< <1 sin 2 0y x x π， （或D 表达为Y-型：???<<<

∴所围区域D 表达为Y-型：?? ?-<<<<-2 2 422y x y y ， ∴23 16 )32 4()4(2 2 32 222= -=--=- - ? y y dy y y S D （由于图形关于X 轴对称，所以也可以解为： 2316 )324(2)4(22 32 22=-=--=? y y dy y y S D ） ★★4．求由曲线 2x y =、24x y =、及直线1=y 所围图形的面积 知识点：平面图形面积 思路：所围图形关于Y 轴对称，而且在第一象限内的图形表达为Y-型时，解法较简单 解：见图6-2-4 ∵第一象限所围区域1D 表达为Y-型：? ??<<<

高数课后习题及答案 第二章 2.3

2．2）1 ()3,0 x f x x ==； 解： 11 lim 11 lim lim ()lim 3330 lim ()lim 333 x x x x x x x x x x f x f x - →--+ →++-∞ →→+∞ →→========+∞ 因为0 lim ()lim ()x x f x f x - + →→≠，所以3 lim ()x f x →-不存在。 3）2 11(),02x f x x - ?? == ? ?? ； 解： 2 10000 11lim ()lim ()lim ()lim 22x x x x x f x f x f x -+- -∞ →→→→?? ??=====+∞ ? ??? ?? 所以3 lim ()x f x →-不存在。 4）3,3 9)(2 -=+-= x x x x f ； 解：63 ) 3)(3(lim )(lim )(lim 3 3 3 -=+-+==+ + - -→-→-→x x x x f x f x x x 故极限6)(lim 3 -=-→x f x 2 2 2 2 2 5).lim ()224,lim ()3215, lim ()lim (),lim ()x x x x x f x f x f x f x f x -+-+→→→→→=?==?-=≠解：因为所以不存在。 ()0 6.lim ()lim 21,lim ()lim cos 12,lim ()lim (),lim ()x x x x x x x x f x f x x f x f x f x --++-+→→→→→→→===+=≠）解：因为所以不存在。 7）1()arctan ,0f x x x ==；

高等数学习题集及答案

第一章 函数 一、选择题 1. 下列函数中，【 】不是奇函数 A. x x y +=tan B. y x = C. )1()1(-?+=x x y D. x x y 2sin 2 ?= 2. 下列各组中，函数)(x f 与)(x g 一样的是【 】 A. 3 3)(,)(x x g x x f = = B.x x x g x f 22tan sec )(,1)(-== C. 1 1 )(,1)(2+-=-=x x x g x x f D. 2ln )(,ln 2)(x x g x x f == 3. 下列函数中，在定义域内是单调增加、有界的函数是【 】 A. +arctan y x x = B. cos y x = C. arcsin y x = D. sin y x x =? 4. 下列函数中，定义域是[,+]-∞∞,且是单调递增的是【 】 A. arcsin y x = B. arccos y x = C. arctan y x = D. arccot y x = 5. 函数arctan y x =的定义域是【 】 A. (0,)π B. (,)22ππ - C. [,]22ππ - D. (,+)-∞∞ 6. 下列函数中，定义域为[1,1]-，且是单调减少的函数是【 】 A. arcsin y x = B. arccos y x = C. arctan y x = D. arccot y x = 7. 已知函数arcsin(1)y x =+，则函数的定义域是【 】 A. (,)-∞+∞ B. [1,1]- C. (,)ππ- D. [2,0]- 8. 已知函数arcsin(1)y x =+，则函数的定义域是【 】 A. (,)-∞+∞ B. [1,1]- C. (,)ππ- D. [2,0]- 9. 下列各组函数中，【 】是相同的函数 A. 2()ln f x x =和 ()2ln g x x = B. ()f x x =和()g x = C. ()f x x =和()2g x = D. ()sin f x x =和()arcsin g x x = 10. 设下列函数在其定义域内是增函数的是【 】 A. ()cos f x x = B. ()arccos f x x = C. ()tan f x x = D. ()arctan f x x = 11. 反正切函数arctan y x =的定义域是【 】 A. (,)22 ππ - B. (0,)π C. (,)-∞+∞ D. [1,1]- 12. 下列函数是奇函数的是【 】

高等数学上复旦第三版 课后习题答案

283 高等数学上（修订版）（复旦出版社） 习题六 无穷数级 答案详解 1．写出下列级数的一般项： (1)111135 7 ++++ ； (2)2 2242462468x x x x x ++++?????? ； (3)3579 3579 a a a a -+-+ ； 解：(1)1 21 n U n =-； (2)()2 !! 2n n x U n = ； (3)() 21 1 121 n n n a U n ++=-+； 2．求下列级数的和： (1)()()() 11 11n x n x n x n ∞ =+-+++∑ ； (2) ( )1 221n n n n ∞ =+-++∑； (3)23 111 5 55+ ++ ； 解：(1)()()() ()()()()1 11111211n u x n x n x n x n x n x n x n = +-+++?? -= ?+-++++??

284 从而()()()()()()() ()()()()()()()1111 1211212231111111211n S x x x x x x x x x n x n x n x n x x x n x n ?-+-= +++++++?? ++ - ?+-++++? ?? -= ?++++?? 因此() 1lim 21n n S x x →∞ =+，故级数的和为 () 121x x + (2)因为()()211n U n n n n =-+-++- 从而()()()() ()()()()3243322154432112112 1 12 21 n S n n n n n n n n =-+-----+-++---+-++-=+-++-=+-+++ 所以lim 12n n S →∞ =-，即级数的和为12-． (3)因为2111 5551115511511145n n n n S =+ ++????-?? ???? ?=-????=-?? ????? 从而1lim 4 n n S →∞ =，即级数的和为14 ． 3．判定下列级数的敛散性： (1) ( )1 1n n n ∞ =+-∑； (2) ()() 11111661111165451n n +++++???-+ ； (3) ()23133222213333 n n n --+-++- ；

(完整版)高等数学试题及答案

《高等数学》试题30 考试日期：2004年7月14日 星期三 考试时间：120 分钟 一.选择题 1. 当0→x 时，)1ln(x y +=与下列那个函数不是等价的 （ ） A)、x y = B)、x y sin = C)、x y cos 1-= D)、1-=x e y 2. 函数f(x)在点x 0极限存在是函数在该点连续的（ ） A )、必要条件 B )、充分条件 C )、充要条件 D )、无关条件 3. 下列各组函数中，)(x f 和)(x g 不是同一函数的原函数的有（ ）. A)、()()() 222 1 ,21)(x x x x e e x g e e x f ---=-= B) 、(( )) ()ln ,ln f x x g x x ==- C)、()()x x g x x f --=-=1arcsin 23,12arcsin )( D)、()2 tan ,sec csc )(x x g x x x f =+= 4. 下列各式正确的是（ ） A ）、2ln 2x x x dx C =+? B ）、sin cos tdt t C =-+? C ）、 2arctan 1dx dx x x =+? D ）、2 11 ()dx C x x -=-+? 5. 下列等式不正确的是（ ）. A ）、 ()()x f dx x f dx d b a =??????? B ）、()()()[]()x b x b f dt x f dx d x b a '=??????? C ）、()()x f dx x f dx d x a =??????? D ）、()()x F dt t F dx d x a '=???? ??'? 6. 0 ln(1)lim x x t dt x →+=?（ ） A ）、0 B ）、1 C ）、2 D ）、4 7. 设bx x f sin )(=，则=''?dx x f x )(（ ） A ）、 C bx bx b x +-sin cos B ） 、C bx bx b x +-cos cos C ）、C bx bx bx +-sin cos D ）、C bx b bx bx +-cos sin

高等数学课后习题答案第六章

习题62 1 求图621 中各画斜线部分的面积 (1) 解 画斜线部分在x 轴上的投影区间为[0 1] 所求的面积为 6 1 ]2132[)(102231 0=-=-=?x x dx x x A . (2) 解法一 画斜线部分在x 轴上的投影区间为[0 1] 所求的面积为 1 |)()(101 0=-=-=?x x e ex dx e e A 解法二 画斜线部分在y 轴上的投影区间为[1 e ] 所求的面积为 1)1(|ln ln 1 11=--=-==??e e dy y y ydy A e e e (3) 解 画斜线部分在x 轴上的投影区间为[3 1] 所求的面积为 3 32]2)3[(1 32= --=?-dx x x A (4) 解 画斜线部分在x 轴上的投影区间为[ 1 3] 所求的面积为 3 32 |)313()32(3132312=-+=-+=--?x x x dx x x A 2. 求由下列各曲线所围成的图形的面积 (1) 22 1 x y =与x 2y 28(两部分都要计算) 解 3 8 8282)218(220220*********--=--=--=????dx x dx x dx x dx x x A

34 238cos 16402+=-=?ππ tdt 3 4 6)22(122- =-=ππS A (2)x y 1 =与直线y x 及x 2 解 所求的面积为 ?-=-= 2 12ln 2 3)1(dx x x A (3) y e x y e x 与直线x 1 解 所求的面积为 ?-+=-=-102 1 )(e e dx e e A x x (4)y =ln x , y 轴与直线y =ln a , y =ln b (b >a >0). 解 所求的面积为 a b e dy e A b a y b a y -===?ln ln ln ln 3 求抛物线y x 24x 3及其在点(0 3)和(3 0)处的切线所围成的图形的面积 解 y 2 x 4 过点(0, 3)处的切线的斜率为4 切线方程为y 4(x 3) 过点(3, 0)处的切线的斜率为2 切线方程为y 2x 6

高等数学典型习题及参考答案

第八章典型习题 一、 填空题、选择题 1、点)3,1,4(M -到y 轴的距离就是 2、平行于向量}1,2,1{a -=? 的单位向量为 3、().0431,2,0垂直的直线为 且与平面过点=--+-z y x 4、.xoz y z y x :面上的投影柱面方程是在曲线?? ?==++Γ2 10222 5、()==-=+=+=-δ λ δλ则平行与设直线,z y x :l z y x : l 1111212121 ()23A ()12B ()32C ()21 D 6、已知k 2j i 2a ????+-=,k 5j 4i 3b ? ???-+=,则与b a 3??-平行的单位向量为 ( ) (A )}11,7,3{(B )}11,7,3{- (C )}11,7,3{1291-± (D )}11,7,3{179 1-± 7、曲线???==++2 z 9 z y x 222在xoy 平面上投影曲线的方程为( ) (A )???==+2z 5y x 22 (B )???==++0z 9z y x 222(C )???==+0 z 5y x 22 (D )5y x 22=+ 8、设平面的一般式方程为0A =+++D Cz By x ,当0==D A 时,该平面必( ) (A)平行于y 轴 (B) 垂直于z 轴 (C) 垂直于y 轴 (D) 通过x 轴 9 、 设 空 间 三 直 线 的 方 程 分 别 为 251214: 1+=+=+z y x L ,67313:2+=+=z y x L ,4 1312:3-=+=z y x L 则必有 ( ) (A) 31//L L (B) 21L L ⊥ (C) 32L L ⊥ (D) 21//L L 10、设平面的一般式方程为0=+++D Cz By Ax ,当0==B A 时,该平面必 ( ) (A) 垂直于x 轴 (B) 垂直于y 轴 (C) 垂直于xoy 面 (D) 平行于xoy 面 11、方程05 z 3y 3x 2 22=-+所表示的曲面就是( ) (A )椭圆抛物面 (B )椭球面 (C )旋转曲面 (D )单叶双曲面 二、解答题

微积分课后题答案习题详解

微积分课后题答案习题 详解 IMB standardization office【IMB 5AB- IMBK 08- IMB 2C】

第二章 习题2-1 1. 试利用本节定义5后面的注（3）证明：若lim n →∞ x n =a ,则对任何自然数k ，有lim n →∞ x n +k =a . 证：由lim n n x a →∞ =，知0ε?>，1N ?，当1n N >时，有 取1N N k =-，有0ε?>，N ?，设n N >时（此时1n k N +>）有 由数列极限的定义得 lim n k x x a +→∞ =. 2. 试利用不等式A B A B -≤-说明：若lim n →∞ x n =a ,则lim n →∞ ∣x n ∣=|a|.考察数列x n =(-1)n ，说明 上述结论反之不成立. 证： 而 n n x a x a -≤- 于是0ε?>，,使当时，有N n N ?> n n x a x a ε-≤-< 即 n x a ε-< 由数列极限的定义得 lim n n x a →∞ = 考察数列 (1)n n x =-，知lim n n x →∞不存在，而1n x =，lim 1n n x →∞ =， 所以前面所证结论反之不成立。 3. 利用夹逼定理证明： (1) lim n →∞ 2 22111(1) (2)n n n ??+++ ?+?? =0； (2) lim n →∞2!n n =0. 证：（1）因为 222 222111 112(1)(2)n n n n n n n n n n ++≤+++ ≤≤=+ 而且 21lim 0n n →∞=， 2lim 0n n →∞=， 所以由夹逼定理，得 22211 1lim 0(1)(2)n n n n →∞?? +++ = ?+? ? . （2）因为22222240!123 1n n n n n < =<-，而且4 lim 0n n →∞=，

同济版高等数学课后习题解析

书后部分习题解答 P21页 3．（3）n n n b b b a a a ++++++++∞→ΛΛ2211lim （1,1<x ，)(211n n n x a x x += + 证：由题意，0>n x ，a x a x x a x x n n n n n =??≥+= +221)(211（数列有下界） 又02)(212 1≤-=-+=-+n n n n n n n x x a x x a x x x （因a x n ≥+1） （数列单调减少） 由单调有界定理，此数列收敛；记b x n n =∞ →lim ，对)(211n n n x a x x += +两边取极限，得)(21b a b b +=，解得a b =（负的舍去），故此数列的极限为a . P35页4.（8）极限=-++-+→211)1()1(lim x n x n x n x 211) 1()1()]1(1[lim -++--++→x n x n x n x 21 221111)1()1()1()1()1(1lim -++--+-+-+=+++→x n x n x x C x C n n n x 2 ) 1(21+= =+n n C n (若以后学了洛必达法则（00型未定型），则211) 1()1(lim -++-+→x n x n x n x 2 ) 1(2)1(lim )1(2)1())1(lim 111+=+=-+-+=-→→n n nx n x n x n n x n x ） 书后部分习题解答2 P36页 8.已知当0→x 时，1cos ~1)1(3 12 --+x ax ，求常数a .

高等数学试题及答案

《高等数学》 一.选择题 1. 当0→x 时，)1ln(x y +=与下列那个函数不是等价的 （ ） A)、x y = B)、x y sin = C)、x y cos 1-= D)、1-=x e y 2. 函数f(x)在点x 0极限存在是函数在该点连续的（ ） A )、必要条件 B )、充分条件 C )、充要条件 D )、无关条件 3. 下列各组函数中，)(x f 和)(x g 不是同一函数的原函数的有（ ）. A)、()()() 222 1 ,21)(x x x x e e x g e e x f ---=-= B) 、(( )) ()ln ,ln f x x g x x ==- C)、()()x x g x x f --=-=1arcsin 23,12arcsin )( D)、()2 tan ,sec csc )(x x g x x x f =+= 4. 下列各式正确的是（ ） A ）、2l n 2x x x dx C =+? B ）、s i n c o s t d t t C =-+ ? C ）、 2a r c t a n 1dx dx x x =+? D ）、211 ()dx C x x - =-+? 5. 下列等式不正确的是（ ）. A ）、 ()()x f dx x f dx d b a =??????? B ）、()()()[]()x b x b f dt x f dx d x b a '=????? ?? C ）、()()x f dx x f dx d x a =??????? D ）、()()x F dt t F dx d x a '=???? ??'? 6. 0 ln(1)lim x x t dt x →+=?（ ） A ）、0 B ）、1 C ）、2 D ）、4 7. 设bx x f sin )(=，则=''?dx x f x )(（ ） A ）、 C bx bx b x +-sin cos B ）、C bx bx b x +-cos cos C ）、C bx bx bx +-sin cos D ）、C bx b bx bx +-cos sin

大学《高等数学A》课后复习题及解析答案

大学数学A （1）课后复习题 第一章 一、选择题 1.下列各组函数中相等的是. …….. ……..…………………………………………………………………………………….（ ） A .2 ln )(,ln 2)(x x g x x f == B .0 )(,1)(x x g x f == C .1)(,11)(2-=-?+= x x g x x x f D .2)(|,|)(x x g x x f == 2.下列函数中为奇函数的是. ……. …….. …………………………………………………………………………………….（ ）. A .)1ln()(2++=x x x f B .| |)(x e x f = C .x x f cos )(= D .1 sin )1()(2--= x x x x f 3.极限??? ? ?+++∞→22221lim n n n n n 的值为………………………………………………………………………..…….（ ） A ．0 B ．1 C ．2 1 D ．∞ 4.极限x x x x sin lim +∞→的值为.. …….. ……..……………………………………………………………………………...…….（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．∞ 5.当0→x 时，下列各项中与 2 3 x 为等价无穷小的是…………………………………………………….（ ） A ．)1(3-x e x B ．x cos 1- C ．x x sin tan - D ．)1ln(x + 6.设12)(-=x x f ，则当0→x 时，有…………………………………………………………………………..…….（ ）. A ．)(x f 与x 是等价无穷小 B ．)(x f 与x 同阶但非等价无穷小 C ．)(x f 是比x 高阶的无穷小 D ．)(x f 是比x 低阶的无穷小 7.函数)(x f 在点x 0可导是)(x f 在点x 0连续的____________条件. ………...………………....…..（ ） A .充分不必要 B .必要不充分 C .充要 D .既不充分也不必要 8.设函数?? ? ??<≤--<≤≤≤-=01,110, 21,2)(2x x x x x x x f ，则下述结论正确的是……………………………………….（ ）