重庆市南岸区2019-2020学年九年级上学期期末教学质量监测数学试题解析版
2019-2020学年重庆市南岸区九年级（上）期末数学试卷
一．选择题（共12小题）
1．sin45°的值是（）
A．B．C．D．
2．如图，将图形用放大镜放大，应该属于（）
A．平移变换B．相似变换C．旋转变换D．对称变换
3．如图，空心圆柱的俯视图是（）
A．B．C．D．
4．已知△ABC∽△A'B'C，AB＝8，A'B'＝6，则△ABC与△A'B'C的周长之比为（）A．B．C．D．
5．x＝1是关于x的一元二次方程x2+ax﹣2b＝0的解，则2a﹣4b的值为（）A．﹣2B．﹣1C．1D．2
6．矩形不具备的性质是（）
A．是轴对称图形B．是中心对称图形
C．对角线相等D．对角线互相垂直
7．如图，在平面直角坐标系内，四边形ABCD为菱形，点A，B的坐标分别为（﹣2，0），（0，﹣1），点C，D分别在坐标轴上，则菱形ABCD的周长等于（）
A．B．4C．4D．20
8．如图，点D，E分别在△ABC的边AB，AC上，且DE∥BC，若AD＝2，DB＝1，AC＝6，则AE等于（）
A．2B．3C．4D．5
9．已知点A（﹣3，y1）、B（﹣2，y2）、C（1，y3）都在函数的图象上，则y1、y2、y3的大小关系是（）
A．y2＞y1＞y3B．y1＞y2＞y3C．y1＞y3＞y2D．y3＞y1＞y2 10．《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，成书于约一千五百年前，其中有首歌谣：今有竿不知其长，量得影长一丈五尺，立一标杆，长一尺五寸，影长五寸，问竿长几何？
意即：有一根竹竿不知道有多长，量出它在太阳下的影子长一丈五尺，同时立一根一尺五寸的小标杆，它的影长五寸（提示：1丈＝10尺，1尺＝10寸），则竹竿的长为（）
A．五丈B．四丈五尺C．一丈D．五尺
11．如图，在一块斜边长60cm的直角三角形木板（Rt△ACB）上截取一个正方形CDEF，点D在边BC上，点E在斜边AB上，点F在边AC上，若CD：CB＝1：3，则这块木板截取正方形CDEF后，剩余部分的面积为（）
A．202.5cm2B．320cm2C．400cm2D．405cm2
12．如图，在平面直角坐标系内，正方形OABC的顶点A，B在第一象限内，且点A，B在反比例函数y＝（k≠0）的图象上，点C在第四象限内．其中，点A的纵坐标为2，则k的值为（）
A．2﹣2B．2﹣2C．4﹣4D．4﹣4
二．填空题（共6小题）
13．一元二次方程（x﹣3）（x﹣2）＝0的根是．
14．抛物线y＝（x+2）2+1的顶点坐标为．
15．如图，有一斜坡AB，坡顶B离地面的高度BC为30m，斜坡的倾斜角是∠BAC，若tan ∠BAC＝，则此斜坡的AC为m．
16．如图，某校教学楼AC与实验楼BD的水平间距CD＝30m，在教学楼AC的底部C点测实验楼顶部B点的仰角为α，且sinα＝，在实验楼顶部B点测得教学楼顶部A点的仰角是30°，则教学楼AC的高度是m（结果保留根号）．
17．如图，在直角坐标系中，正方形ABCD的边BC在x轴上，其中点A的坐标为（1，2），
正方形EFGH的边FG在x轴上，且H的坐标为（9，4），则正方形ABCD与正方形EFGH 的位似中心的坐标是．
18．将矩形ABCD按如图所示的方式折叠，BE，EG，FG为折痕，若顶点A，C，D都落在点O处，且点B，O，G在同一条直线上，同时点E，O，F在另一条直线上，若AD＝4，则四边形BEGF的面积为．
三．解答题（共8小题）
19．解方程：
（1）2x（x﹣1）＝3（x﹣1）；
（2）x2﹣3x+1＝0．
20．箱子里有4瓶牛奶，其中有一瓶是过期的．现从这4瓶牛奶中不放回地任意抽取2瓶．（1）请用树状图或列表法把上述所有等可能的结果表示出来；
（2）求抽出的2瓶牛奶中恰好抽到过期牛奶的概率．
21．如图，在A港口的正东方向有一港口B．某巡逻艇从A港口沿着北偏东60°方向巡逻，到达C处时接到命令，立刻在C处沿东南方向以20海里/小时的速度行驶2小时到达港口B．求A，B两港之间的距离（结果保留根号）．
22．（1）已知二次函数y＝x2+bx+c的图象经过点（1，﹣2）与（4，1），求这个二次函数的
表达式；
（2）请更换第（1）题中的部分已知条件，重新设计一个求二次函数y＝x2+bx+c表达式的题目，使所得到的二次函数与（1）题得到的二次函数相同，并写出你的求解过程．23．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，直角顶点B位于x轴的负半轴，点A（0，﹣2），斜边AC交x轴于点D，BC与y轴交于点E，且tan∠OAD＝，y轴平分∠BAC，反比例函数y＝（x＞0）的图象经过点C．
（1）求点B，D坐标；
（2）求y＝（x＞0）的函数表达式．
24．如图，在矩形ABCD中，E是边CD的中点，点M是边AD上一点（与点A，D不重合），射线ME与BC的延长线交于点N．
（1）求证：△MDE≌△NCE；
（2）过点E作EF∥CB交BM于点F，当MB＝MN时，求证：AM＝EF．
25．空地上有一段长为am的旧墙MN，某人利用旧墙和木栏围成一个矩形菜园ABCD，已知木栏总长为120m．
（1）已知a＝30，矩形菜园的一边靠墙，另三边一共用了120m木栏，且围成的矩形菜园而积为1000m2．如图1，求所利用旧墙AD的长；
（2）已知0＜a＜60，且空地足够大，如图2．请你合理利用旧墙及所给木栏设计一个方案，使得所围成的矩形菜园ABCD的面积最大，并求面积的最大值．
26．数学兴趣小组对矩形面积为9，其周长m的范围进行了探究．兴趣小组的同学们已经能用“代数”的方法解决，以下是他们从“图形”的角度进行探究的部分过程，请把过程补充完整．
（1）建立函数模型．
设矩形相邻两边的长分别为x，y，由矩形的面积为9，得xy＝9，即y＝；由周长为m，得2（x+y）＝m，即y＝﹣x+．满足要求的（x，y）应是两个函数图象在第象限内交点的坐标．
（2）画出函数图象．
函数y＝（x＞0）的图象如图所示，而函数y＝﹣x+的图象可由直线y＝﹣x平移得到，请在同一直角坐标系中画出直线y＝﹣x．
（3）平移直线y＝﹣x，观察函数图象．
①当直线平移到与函数y＝（x＞0）的图象有唯一交点（3，3）时，周长m的值为；
②在直线平移过程中，直线与函数y＝（x＞0）的图象交点个数还有哪些情况？请写出交点个数及对应的周长m的取值范围．
（4）得出结论
面积为9的矩形，它的周长m的取值范围为．
参考答案与试题解析
一．选择题（共12小题）
1．sin45°的值是（）
A．B．C．D．
【分析】将特殊角的三角函数值代入求解．
【解答】解：sin45°＝．
故选：B．
2．如图，将图形用放大镜放大，应该属于（）
A．平移变换B．相似变换C．旋转变换D．对称变换
【分析】根据放大镜成像的特点，结合各变换的特点即可得出答案．
【解答】解：根据相似图形的定义知，用放大镜将图形放大，属于图形的形状相同，大小不相同，所以属于相似变换．
故选：B．
3．如图，空心圆柱的俯视图是（）
A．B．C．D．
【分析】根据从上边看得到的图形是俯视图，可得答案．
【解答】解：从上边看是三个水平边较短的矩形，中间矩形的左右两边是虚线，
故选：D．
4．已知△ABC∽△A'B'C，AB＝8，A'B'＝6，则△ABC与△A'B'C的周长之比为（）
A．B．C．D．
【分析】直接利用相似三角形的性质周长比等于相似比，进而得出答案．
【解答】解：∵△ABC∽△A'B'C，AB＝8，A'B'＝6，
∴△ABC与△A'B'C的周长之比为：8：6＝4：3．
故选：C．
5．x＝1是关于x的一元二次方程x2+ax﹣2b＝0的解，则2a﹣4b的值为（）A．﹣2B．﹣1C．1D．2
【分析】将x＝﹣1代入原方程即可求出答案．
【解答】解：将x＝1代入原方程可得：1+a﹣2b＝0，
∴a﹣2b＝﹣1，
∴原式＝2（a﹣2b）
＝﹣2，
故选：A．
6．矩形不具备的性质是（）
A．是轴对称图形B．是中心对称图形
C．对角线相等D．对角线互相垂直
【分析】依据矩形的性质进行判断即可．
【解答】解：矩形不具备的性质是对角线互相垂直，
故选：D．
7．如图，在平面直角坐标系内，四边形ABCD为菱形，点A，B的坐标分别为（﹣2，0），（0，﹣1），点C，D分别在坐标轴上，则菱形ABCD的周长等于（）
A．B．4C．4D．20
【分析】根据题意和勾股定理可得AB长，再根据菱形的四条边都相等，即可求出菱形的周长．
【解答】解：∵点A，B的坐标分别为（﹣2，0），（0，﹣1），
∴OA＝2，OB＝1，
∴AB＝＝，
∴菱形ABCD的周长等于4AB＝4．
故选：C．
8．如图，点D，E分别在△ABC的边AB，AC上，且DE∥BC，若AD＝2，DB＝1，AC＝6，则AE等于（）
A．2B．3C．4D．5
【分析】根据平行线分线段成比例定理，列出比例式求解，即可得到AE的长．
【解答】解：∵DE∥BC
∴AE：AC＝AD：AB，
∵AD＝2，DB＝1，AC＝6，
∴，
∴AE＝4，
故选：C．
9．已知点A（﹣3，y1）、B（﹣2，y2）、C（1，y3）都在函数的图象上，则y1、y2、y3的大小关系是（）
A．y2＞y1＞y3B．y1＞y2＞y3C．y1＞y3＞y2D．y3＞y1＞y2
【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征，将点A（﹣3，y1）、B（﹣2，y2）、C（1，y3）分别代入函数，求得y1、y2、y3的，然后比较它们的大小．
【解答】解：根据题意，得
y1＝1，y2＝，y3＝﹣3，
∵＞1＞﹣3，
∴y2＞y1＞y3
故选：A．
10．《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，成书于约一千五百年前，其中有首歌谣：今
有竿不知其长，量得影长一丈五尺，立一标杆，长一尺五寸，影长五寸，问竿长几何？
意即：有一根竹竿不知道有多长，量出它在太阳下的影子长一丈五尺，同时立一根一尺五寸的小标杆，它的影长五寸（提示：1丈＝10尺，1尺＝10寸），则竹竿的长为（）
A．五丈B．四丈五尺C．一丈D．五尺
【分析】根据同一时刻物高与影长成正比可得出结论．
【解答】解：设竹竿的长度为x尺，
∵竹竿的影长＝一丈五尺＝15尺，标杆长＝一尺五寸＝1.5尺，影长五寸＝0.5尺，∴，解得x＝45（尺）．
故选：B．
11．如图，在一块斜边长60cm的直角三角形木板（Rt△ACB）上截取一个正方形CDEF，点D在边BC上，点E在斜边AB上，点F在边AC上，若CD：CB＝1：3，则这块木板截取正方形CDEF后，剩余部分的面积为（）
A．202.5cm2B．320cm2C．400cm2D．405cm2
【分析】设AF＝x，根据正方形的性质用x表示出EF、CF，证明△AEF∽△ABC，根据相似三角形的性质求出BC，根据勾股定理列式求出x，根据三角形的面积公式、正方形的面积公式计算即可．
【解答】解：
∵四边形CDEF为正方形，
∴EF∥BC，
∴△AEF∽△ABC，
∵CD：CB＝1：3，
∴＝＝，
设AF＝x，则AC＝3x，EF＝CF＝2x，
∴BC＝6x，
在Rt△ABC中，AB2＝AC2+BC2，即602＝（3x）2+（6x）2，
解得，x＝4，
∴AC＝12，BC＝24，
∴剩余部分的面积＝×24×12﹣8×8＝400（cm2），
故选：C．
12．如图，在平面直角坐标系内，正方形OABC的顶点A，B在第一象限内，且点A，B在反比例函数y＝（k≠0）的图象上，点C在第四象限内．其中，点A的纵坐标为2，则k的值为（）
A．2﹣2B．2﹣2C．4﹣4D．4﹣4
【分析】作AE⊥x轴于E，BF∥x轴，交AE于F，根据图象上点的坐标特征得出A（，2），证得△AOE≌△BAF（AAS），得出OE＝AF，AE＝BF，即可得到B（+2，2﹣），根据系数k的几何意义得到k＝（+2）（2﹣），解得即可．
【解答】解：作AE⊥x轴于E，BF∥x轴，交AE于F，
∵∠OAE+∠BAF＝90°＝∠OAE+∠AOE，
∴∠BAF＝∠AOE，
在△AOE和△BAF中
∴△AOE≌△BAF（AAS），
∴OE＝AF，AE＝BF，
∵点A，B在反比例函数y＝（k≠0）的图象上，点A的纵坐标为2，
∴A（，2），
∴B（+2，2﹣），
∴k＝（+2）（2﹣），
解得k＝﹣2±2（负数舍去），
∴k＝2﹣2，
故选：B．
二．填空题（共6小题）
13．一元二次方程（x﹣3）（x﹣2）＝0的根是x1＝3，x2＝2．
【分析】利用因式分解法把方程化为x﹣3＝0或x﹣2＝0，然后解两个一次方程即可．【解答】解：x﹣3＝0或x﹣2＝0，
所以x1＝3，x2＝2．
故答案为x1＝3，x2＝2．
14．抛物线y＝（x+2）2+1的顶点坐标为（﹣2，1）．
【分析】已知抛物线的顶点式可直接写出顶点坐标．
【解答】解：由抛物线的顶点坐标可知，抛物线y＝（x+2）2+1的顶点坐标是（﹣2，1）．故答案为：（﹣2，1）．
15．如图，有一斜坡AB，坡顶B离地面的高度BC为30m，斜坡的倾斜角是∠BAC，若tan ∠BAC＝，则此斜坡的AC为75m．
【分析】由三角函数定义即可得出答案．
【解答】解：∵∠ACB＝90°，tan∠BAC＝＝，
∴AC＝BC＝×30＝75（m）；
故答案为：75．
16．如图，某校教学楼AC与实验楼BD的水平间距CD＝30m，在教学楼AC的底部C点测实验楼顶部B点的仰角为α，且sinα＝，在实验楼顶部B点测得教学楼顶部A点的仰角是30°，则教学楼AC的高度是（10+40）m（结果保留根号）．
【分析】首先分析图形：根据题意构造直角三角形．本题涉及到两个直角三角形△BEC、△ABE，进而可解即可求出答案．
【解答】解：过点B作BE⊥AB于点E，
在Rt△BEC中，∠CBE＝α，BE＝CD＝30；可得CE＝BE×tanα，
∵sinα＝，
∴tanα＝，
∴CE＝30×＝40．
在Rt△ABE中，∠ABE＝30°，BE＝30，可得AE＝BE×tan30°＝10．
故教学楼AC的高度是AC＝（10+40）m．
答：教学楼AC的高度是＝（10+40）m，
故答案为：（10+40）m．
17．如图，在直角坐标系中，正方形ABCD的边BC在x轴上，其中点A的坐标为（1，2），正方形EFGH的边FG在x轴上，且H的坐标为（9，4），则正方形ABCD与正方形EFGH 的位似中心的坐标是（﹣3，0）或（，）．
【分析】连接HD并延长交x轴于点P，根据正方形的性质求出点D的坐标为（3，2），证明△PCD∽△PGH，根据相似三角形的性质求出OP，另一种情况，连接CE、DF交于点P，根据待定系数法分别求出直线DF解析式和直线CE解析式，求出两直线交点，得到答案．
【解答】解：连接HD并延长交x轴于点P，则点P为位似中心，
∵四边形ABCD为正方形，点A的坐标为（1，2），
∴点D的坐标为（3，2），
∵DC∥HG，
∴△PCD∽△PGH，
∴＝，即＝，
解得，OP＝3，
∴正方形ABCD与正方形EFGH的位似中心的坐标是（﹣3，0），
连接CE、DF交于点P，
由题意得C（3，0），E（5，4），D（3，2），F（5，0），
求出直线DF解析式为：y＝﹣x+5，直线CE解析式为：y＝2x﹣6，
，
解得，，
直线DF，CE的交点P为（，），
所以正方形ABCD与正方形EFGH的位似中心的坐标是（，），
故答案为：（﹣3，0）或（，）．
18．将矩形ABCD按如图所示的方式折叠，BE，EG，FG为折痕，若顶点A，C，D都落在点O处，且点B，O，G在同一条直线上，同时点E，O，F在另一条直线上，若AD＝4，则四边形BEGF的面积为．
【分析】设DG＝CG＝a，则AB＝2a＝OB，DG＝OG＝CG＝a，BG＝3a，BC＝AD＝4，由勾股定理得出a2+42＝（3a）2，解得a＝，证明△EDG∽△GCF，得出比例线段
，求出CF．则可求出EF．由四边形面积公式可求出答案．【解答】解：由折叠可得，AE＝OE＝DE，CG＝OG＝DG，
∴E，G分别为AD，CD的中点，
设DG＝CG＝a，则AB＝2a＝OB，DG＝OG＝CG＝a，BG＝3a，BC＝AD＝4，∵∠C＝90°，
∴Rt△BCG中，CG2+BC2＝BG2，
∴a2+42＝（3a）2，
∴a＝，
∴DG＝CG＝，
∴BG＝OB+OG＝2+＝3，
由折叠可得∠EGD＝∠EGO，∠OGF＝∠FGC，
∴∠EGF＝90°，
∴∠EGD+∠FGC＝90°，
∵∠EGD+∠DEG＝90°，
∴∠FGC＝∠DEG，
∵∠EDG＝∠GCF＝90°，
∴△EDG∽△GCF，
∴，
∴．
∴CF＝1，
∴FO＝1，
∴EF＝3，
∵点B，O，G在同一条直线上，
∴EF⊥BG，
∴S四边形EBFG＝×BG×EF＝×3＝．
故答案为：．
三．解答题（共8小题）
19．解方程：
（1）2x（x﹣1）＝3（x﹣1）；
（2）x2﹣3x+1＝0．
【分析】（1）利用因式分解法求解可得；
（2）利用公式法求解可得．
【解答】解：（1）∵2x（x﹣1）＝3（x﹣1），
∴2x（x﹣1）﹣3（x﹣1）＝0，
则（x﹣1）（2x﹣3）＝0，
∴x﹣1＝0或2x﹣3＝0，
解得x＝1或x＝1.5；
（2）∵a＝1，b＝﹣3，c＝1，
∴△＝（﹣3）2﹣4×1×1＝5＞0，
则x＝．
20．箱子里有4瓶牛奶，其中有一瓶是过期的．现从这4瓶牛奶中不放回地任意抽取2瓶．（1）请用树状图或列表法把上述所有等可能的结果表示出来；
（2）求抽出的2瓶牛奶中恰好抽到过期牛奶的概率．
【分析】（1）设这四瓶牛奶分别记为A、B、C、D，其中过期牛奶为A，画树状图可得所有等可能结果；
（2）从所有等可能结果中找到抽出的2瓶牛奶中恰好抽到过期牛奶的结果数，再根据概率公式计算可得．
【解答】解：（1）设这四瓶牛奶分别记为A、B、C、D，其中过期牛奶为A，
画树状图如图所示，
由图可知，共有12种等可能结果；
（2）由树状图知，所抽取的12种等可能结果中，抽出的2瓶牛奶中恰好抽到过期牛奶的有6种结果，
所以抽出的2瓶牛奶中恰好抽到过期牛奶的概率为＝．
21．如图，在A港口的正东方向有一港口B．某巡逻艇从A港口沿着北偏东60°方向巡逻，到达C处时接到命令，立刻在C处沿东南方向以20海里/小时的速度行驶2小时到达港口B．求A，B两港之间的距离（结果保留根号）．
【分析】过点C作CD⊥AB于点D，根据题意可得，∠ACD＝60°，∠BCD＝45°，BC ＝20×2＝40，然后根据锐角三角函数即可求出A，B间的距离．
【解答】解：如图，过点C作CD⊥AB于点D，
根据题意可知：
∠ACD＝60°，∠BCD＝45°，BC＝20×2＝40，
∴在Rt△BCD中，CD＝BD＝BC＝20，
在Rt△ACD中，AD＝CD?tan60°＝20，
∴AB＝AD+BD＝20+20（海里）．
答：A，B间的距离为（20+20）海里．
22．（1）已知二次函数y＝x2+bx+c的图象经过点（1，﹣2）与（4，1），求这个二次函数的表达式；
（2）请更换第（1）题中的部分已知条件，重新设计一个求二次函数y＝x2+bx+c表达式的题目，使所得到的二次函数与（1）题得到的二次函数相同，并写出你的求解过程．【分析】（1）把已知点的坐标代入y＝x2+bx+c中得到b、c的方程组，然后解方程组即可；
（2）写出把（4，1）换成它关于直线x＝2的对称点（0，1），只有利用待定系数法求出抛物线的解析式与（1）中的解析式相同．
【解答】（1）解：根据题意得，解得，
∴抛物线解析式为y＝x2﹣4x+1；
（2）题目：已知二次函数y＝x2+bx+c的图象经过点（1，﹣2）与（0，1），求这个二次函数的表达式；
解：根据题意得，解得，
∴抛物线解析式为y＝x2﹣4x+1．
23．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，直角顶点B位于x轴的负半轴，点A（0，﹣2），斜边AC交x轴于点D，BC与y轴交于点E，且tan∠OAD＝，y轴平分∠BAC，反比例函数y＝（x＞0）的图象经过点C．
（1）求点B，D坐标；
（2）求y＝（x＞0）的函数表达式．
【分析】（1）根据三角函数的定义得到OD＝1，根据角平分线的定义得到∠BAO＝∠DAO，根据全等三角形的性质即可得到结论；
（2）过C作CH⊥x轴于H，得到∠CHD＝90°，根据余角的性质得到∠DCH＝∠CBH，根据三角函数的定义得到＝＝，设DH＝x，则CH＝2x，BH＝4x，列方程即可得到结论．
【解答】解：（1）∵点A（0，﹣2），
∴OA＝2，