2021年江苏新高考数学一轮复习分专题练习(共66个专题)
集合
建议用时：45分钟
一、选择题
1．(2019·全国卷Ⅲ)已知集合A ＝{－1,0,1,2}，B ＝{x |x 2≤1}，则A ∩B ＝( )
A ．{－1,0,1}
B ．{0,1}
C ．{－1,1}
D ．{0,1,2}
A [集合
B ＝{x |－1≤x ≤1}，又∵A ＝{－1,0,1,2}， ∴A ∩B ＝{－1,0,1}，故选A.]
2．(2019·天津高考)设集合A ＝{－1,1,2,3,5}，B ＝{2,3,4}，C ＝{x ∈R |1≤x ＜3}，则(A ∩C )∪B ＝( )
A ．{2}
B ．{2,3}
C ．{－1,2,3}
D ．{1,2,3,4}
D [由题意可知A ∩C ＝{1,2}，则(A ∩C )∪B ＝{1,2,3,4}，故选D.] 3．设集合M ＝{x |x ＝2k ＋1，k ∈Z }，N ＝{x |x ＝k ＋2，k ∈Z }，则( ) A ．M ＝N B ．M ?N C ．N ?M
D ．M ∩N ＝?
B [∵集合M ＝{x |x ＝2k ＋1，k ∈Z }＝{奇数}，N ＝{x |x ＝k ＋2，k ∈Z }＝{整数}，
∴M ?N .故选B.]
4．已知集合A ＝{(x ，y )|x 2＋y 2＝1}，B ＝{(x ，y )|y ＝2x ＋1}，则A ∩B 中元素的个数为( )
A ．3
B ．2
C ．1
D ．0 B [由??
?
x 2
＋y 2
＝1，y ＝2x ＋1，
解得??
?
x ＝0，y ＝1
或?
??
??
x ＝－4
5，y ＝－35，
故集合A ∩B 中有2个元素，故选B.]
5．已知集合A ＝{x |x 2－x －2＞0}，则?R A ＝( ) A ．{x |－1＜x ＜2} B ．{x |－1≤x ≤2} C ．{x |x ＜－1}∪{x |x ＞2} D ．{x |x ≤－1}∪{x |x ≥2}
B [法一：A ＝{x |(x －2)(x ＋1)＞0}＝{x |x ＜－1或x ＞2}，所以?R A ＝{x |－1≤x ≤2}，故选B.
法二：因为A ＝{x |x 2－x －2＞0}，所以?R A ＝{x |x 2－x －2≤0}＝{x |－1≤x ≤2}，故选B.]
6．已知集合A ＝{－1,0,1}，B ＝{x |x 2－3x ＋m ＝0}，若A ∩B ＝{0}，则B 的子集有( )
A ．2个
B ．4个
C ．8个
D ．16个 B [∵A ∩B ＝{0}， ∴0∈B ，
∴m ＝0，∴B ＝{x |x 2－3x ＝0}＝{0,3}． ∴B 的子集有22＝4个．故选B.]
7．已知集合A ＝{x |log 2 x ＜1}，B ＝{x |0＜x ＜c }，若A ∪B ＝B ，则c 的取值范围是( )
A ．(0,1]
B ．[1，＋∞)
C ．(0,2]
D ．[2，＋∞)
D [∵A ∪B ＝B ，∴A ?B .
又A ＝{x |log 2 x ＜1}＝{x |0＜x ＜2}，
B ＝{x |0＜x ＜c }， ∴c ≥2，
即c 的取值范围是[2，＋∞)．]
二、填空题
8．设集合A＝{x|x2－x－2≤0}，B＝{x|x＜1，且x∈Z}，则A∩B＝________.
{－1,0}[依题意得A＝{x|(x＋1)(x－2)≤0}＝{x|－1≤x≤2}，因此A∩B＝{x|－1≤x＜1，x∈Z}＝{－1,0}．]
9.已知集合U＝R，集合A＝[－5,2]，B＝(1,4)，则如图阴影部分所表示的集合为________．
{x|－5≤x≤1}[∵A＝[－5,2]，B＝(1,4)，
∴?U B＝{x|x≤1或x≥4}，
则题图中阴影部分所表示的集合为(?U B)∩A＝{x|－5≤x≤1}．]
10．已知集合A＝{1,3，a}，B＝{1，a2－a＋1}，若B?A，则实数a＝________.
－1或2 [因为B?A，所以必有a2－a＋1＝3或a2－a＋1＝a.
①若a2－a＋1＝3，
则a2－a－2＝0，
解得a＝－1或a＝2.
当a＝－1时，A＝{1,3，－1}，B＝{1,3}，满足条件；
当a＝2时，A＝{1,3,2}，B＝{1,3}，满足条件．
②若a2－a＋1＝a，
则a2－2a＋1＝0，
解得a＝1，
此时集合A＝{1,3,1}，不满足集合中元素的互异性，所以a＝1应舍去．综上，a＝－1或2.]
1．已知集合M＝{x|y＝lg(2－x)}，N＝{y|y＝1－x＋x－1}，则( ) A．M?N B．N?M
C．M＝N D．N∈M
B[∵集合M＝{x|y＝lg(2－x)}＝(－∞，2)，N＝{y|y＝1－x＋x－1}
＝{0}，
∴N ?M .故选B.] 2．设集合A ＝，B ＝{x |x ≤－3}，则集合{x |x ≥1}＝( )
A ．A ∩
B B ．A ∪B
C ．(?R A )∪(?R B )
D ．(?R A )∩(?R B )
D [集合A ＝
＝{x |(x ＋3)(x －1)＜0}＝{x |－3＜x ＜1}，B ＝
{x |x ≤－3}，A ∪B ＝{x |x ＜1}，则集合{x |x ≥1}＝(?R A )∩(?R B )，选D.]
3．对于a ，b ∈N ，规定a *b ＝??
?
a ＋
b ，a 与b 的奇偶性相同，
a ×
b ，a 与b 的奇偶性不同，
集合M ＝{(a ，
b )|a *b ＝36，a ，b ∈N *}，则M 中元素的个数为( )
A ．40
B ．41
C ．50
D ．51
B [由题意知，a *b ＝36，a ，b ∈N *.若a 和b 的奇偶性相同，则a ＋b ＝36，满足此条件的有1＋35,2＋34,3＋33，…，18＋18，共18组，此时点(a ，b )有35个；……[此处易错，18＋18只对应1个点(18,18)]
若a 和b 的奇偶性不同，则a ×b ＝36，满足此条件的有1×36,3×12,4×9，共3组，此时点(a ，b )有6个．
所以M 中元素的个数为41.故选B.]
4．集合A ＝{x |x ＜0}，B ＝{x |y ＝lg[x (x ＋1)]}．若A －B ＝{x |x ∈A ，且x ?B }，则A －B ＝________.
[－1,0) [由x (x ＋1)＞0， 得x ＜－1或x ＞0，
∴B ＝(－∞，－1)∪(0，＋∞)， ∴A －B ＝[－1,0)．]
1．非空数集A 满足：(1)0?A ；(2)若?x ∈A ，有1
x
∈A ，则称A 是“互倒
集”．给出以下数集：
其中“互倒集”的个数是( ) A ．①②④ B ．①③ C ．②④
D ．②③④
C [对于①，当－2＜a ＜2时为空集，所以①不是“互倒集”；对于②，{x |x 2
－4x ＋1＜0}＝{x |2－3＜x ＜2＋3}，所以
12＋3＜1x ＜1
2－3
，即2－3＜1
x ＜2＋3，所以②是“互倒集”；对于③，y ′＝
1－ln x
x 2
≥0，故函数y
＝ln x x 是增函数，当x ∈??
????1e ，1时，y ∈[－e,0)，当x ∈(1，e]时，y ∈?
?
???0，1e ， 所以③不是“互倒集”；
对于④，y ∈??????25，125∪???
???2，52＝??????25，52且1y ∈??????25，52，所以④是“互倒集”．故选C.]
2．已知集合A ＝[1，＋∞)，B ＝
，若A ∩B ≠?，
则实数a 的取值范围是________；若A ∩B ＝B ，则实数a 的取值范围是________．
[1，＋∞) ?
?
???－∞，23∪[2，＋∞) [若A ∩B ≠?，
则???
2a －1≥1，
2a －1≥12a ，
解得a ≥1.
若A ∩B ＝B ，则B ?A . 当B ＝?时，1
2
a ＞2a －1，
即a ＜23
，
当B ≠?时，???
??
2a －1≥1
2
a ，12a ≥1，
解得a ≥2，
即a 的取值范围是?
?
???－∞，23∪[2，＋∞)．]
充分条件、必要条件
建议用时：45分钟
一、选择题
1．(2019·湖北五校联考)已知直线l 1：mx －2y ＋1＝0，l 2：x －(m －1)y －1＝0，则“m ＝2”是“l 1∥l 2”的( )
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
C [由直线l 1与直线l 2平行得－m (m －1)＝1×(－2)，得m ＝2或m ＝－1，经验证，当m ＝－1时，直线l 1与l 2重合，舍去，所以“m ＝2”是“l 1∥l 2”的充要条件，故选C.]
2．“a <0”是“函数f (x )＝|x －a |＋|x |在区间[0，＋∞)上为增函数”的( )
A ．充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C ．充要条件
D. 既不充分也不必要条件
A [当a <0时，x ≥0，f (x )＝x －a ＋x ＝2x －a ，其为增函数，此时充分性成立；
当a ＝0时，f (x )＝2|x |，其在区间[0，＋∞)上为增函数，所以必要性不成立．故选A.]
3．设x ∈R ，则“2－x ≥0”是“(x －1)2≤1”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
B [2－x ≥0，则x ≤2，(x －1)2≤1，则－1≤x －1≤1，即0≤x ≤2，据此可知：“2－x ≥0”是“(x －1)2≤1”的必要不充分条件．]
4．设x ∈R ，则“???
???x －12＜12”是“x 3＜1”的( )
A ．充分而不必要条件
B ．必要而不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件 A [由???
???x －12＜12，
得0＜x ＜1， 所以0＜x 3＜1； 由x 3＜1，得x ＜1，
不能推出0＜x ＜1.所以“???
???x －12＜12”是“x 3＜1”的充分而不必要条
件．故选A.]
5．如果x ，y 是实数，那么“x ≠y ”是“cos x ≠cos y ”的( ) A ．充要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件
D ．既不充分也不必要条件
C [法一：设集合A ＝{(x ，y )|x ≠y }，B ＝{(x ，y )|cos x ≠cos y }，则A 的补集C ＝{(x ，y )|x ＝y }，B 的补集
D ＝{(x ，y )|cos x ＝cos y }，显然C D ，所以B A ，于是“x ≠y ”是“cos x ≠cos y ”的必要不充分条件．
法二：(等价转化法)：因为x ＝y ?cos x ＝cos y ，而cos x ＝cos yD /?x ＝
y ，所以“cos x ＝cos y ”是“x ＝y ”的必要不充分条件，故“x ≠y ”是“cos x ≠cos y ”的必要不充分条件．]
6．函数f (x )＝???
log 2x ，x >0，
－2x
＋a ，x ≤0有且只有一个零点的充分不必要条件是
( )
A ．a <0
B ．0 2 C.1 2 A [因为函数f (x )的图象过点(1,0)，所以函数f (x )有且只有一个零点?函数y ＝－2x ＋a (x ≤0)没有零点?函数y ＝2x (x ≤0)的图象与直线y ＝a 无公共点．由数形结合，可得a ≤0或a >1.又因为{a |a <0}{a |a ≤0或a >1}，故选A.] 7．若x ＞2m 2－3是－1＜x ＜4的必要不充分条件，则实数m 的取值范围是( ) A ．[－3,3] B ．(－∞，－3]∪[3，＋∞) C ．(－∞，－1]∪[1，＋∞) D ．[－1,1] D [∵x ＞2m 2－3是－1＜x ＜4的必要不充分条件， ∴(－1,4) (2m 2－3，＋∞)，∴2m 2－3≤－1，解得－1≤m ≤1，故选D.] 二、填空题 8．在△ABC 中，“A ＝B ”是“tan A ＝tan B ”的________条件． 充要 [由A ＝B ，得tan A ＝tan B ，反之，若tan A ＝tan B ，则A ＝B ＋ k π，k ∈Z .∵0＜A ＜π，0＜B ＜π，∴A ＝B ，故“A ＝B ”是“tan A ＝tan B ”的充要条件．] 9．设p：实数x，y满足x＞1且y＞1，q：实数x，y满足x＋y＞2，则p 是q的________条件．(选填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”) 充分不必要[当x＞1，y＞1时，x＋y＞2一定成立，即p?q，当x＋y＞2时， 可令x＝－1，y＝4，即q?/p， 故p是q的充分不必要条件．] 10．直线x－y－k＝0与圆(x－1)2＋y2＝2有两个不同交点的充要条件是________． k∈(－1,3) [直线x－y－k＝0与圆(x－1)2＋y2＝2有两个不同交点等价于|1－0－k| ＜2， 2 解之得－1＜k＜3.] 1．设a，b均为单位向量，则“|a－3b|＝|3a＋b|”是“a⊥b”的( ) A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 C[由|a－3b|＝|3a＋b|， 得(a－3b)2＝(3a＋b)2， 即a2＋9b2－6a·b＝9a2＋b2＋6a·b. 因为a，b均为单位向量， 所以a2＝b2＝1， 所以a·b＝0，能推出a⊥b. 由a⊥b得|a－3b|＝10，|3a＋b|＝10， 能推出|a－3b|＝|3a＋b|， 所以“|a－3b|＝|3a＋b|”是“a⊥b”的充要条件．] 2．王昌龄《从军行》中两句诗为“黄沙百战穿金甲，不破楼兰终不还”，“攻破楼兰”是“返回家乡”的( ) A．充分条件B．必要条件 C．充要条件D．既不充分也不必要条件 B[“不破楼兰终不还”的逆否命题为：“若返回家乡，则攻破楼兰”，所以“攻破楼兰”是“返回家乡”的必要条件．] 3．函数f(x)在x＝x0处导数存在．若p：f′(x0)＝0；q：x＝x0是f(x)的极值点，则( ) A．p是q的充分必要条件 B．p是q的充分条件，但不是q的必要条件 C．p是q的必要条件，但不是q的充分条件 D．p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件 C[当函数在x＝x0处有导数且导数为0时，x＝x0未必是函数的极值点，还要看函数在这一点左右两边的导数的符号，若符号一致，则该点不是极值点．而若x＝x0为函数的极值点，则函数在x＝x0处的导数一定为0.所以p是q 的必要不充分条件．应选C.] 4．已知集合A＝，B＝{x|－1＜x＜m＋1，m∈R}，若x∈B成立的一个充分不必要条件是x∈A，则实数m的取值范围是________．(2，＋∞)[因为A＝＝{x|－1＜x＜3}，x∈B成立的一个充分不必要条件是x∈A，所以A B，所以m＋1＞3，即m＞2.] 1．下面四个条件中，使a＞b成立的充分而不必要的条件是( ) A．a＞b＋1 B．a＞b－1 C．a2＞b2D．a3＞b3 A[a＞b＋1?a＞b，但反之未必成立，故选A.] 2．(2019·北京卷)设点A，B，C不共线，则“AB→与AC→的夹角为锐角”是“|AB→＋AC→|>|BC→|”的( ) A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 C [|AB →＋AC →|＞|BC →|?|AB →＋AC →|＞|AC →－AB →|?AB →2＋AC →2＋2AB →·AC →cos θ＞AB → 2＋AC →2－2AB →·AC →cos θ?AB →·AC →＞0， 由点A ，B ，C 不共线，得〈AB →，AC →〉∈? ? ???0，π2， 故AB →·AC →＞0?AB →，AC →的夹角为锐角．故选C.] 全称量词与存在量词 建议用时：45分钟 一、选择题 1．已知命题p ：?x 0∈R ，log 2(3x 0＋1)≤0，则( ) A ．p 是假命题；﹁p ：?x ∈R ，log 2(3x ＋1)≤0 B ．p 是假命题；﹁p ：?x ∈R ，log 2(3x ＋1)＞0 C ．p 是真命题；﹁p ：?x ∈R ，log 2(3x ＋1)≤0 D ．p 是真命题；﹁p ：?x ∈R ，log 2(3x ＋1)＞0 B [因为3x ＞0，所以3x ＋1＞1，则log 2(3x ＋1)＞0，所以p 是假命题，﹁ p ：?x ∈R ，log 2(3x ＋1)＞0.故应选B.] 2．已知命题p ：实数的平方是非负数，则下列结论正确的是( ) A ．命题﹁p 是真命题 B ．命题p 是存在性命题 C ．命题p 是全称命题 D ．命题p 既不是全称命题也不是存在性命题 C [该命题是全称命题且是真命题．故选C.] 3．(2019·辽宁五校协作体联考)已知命题“?x ∈R,4x 2＋(a －2)x ＋1 4 ≤0” 是假命题，则实数a 的取值范围为( ) A ．(－∞，0) B ．[0,4] C ．[4，＋∞) D ．(0,4) D [因为命题“?x ∈R,4x 2 ＋(a －2)x ＋1 4≤0”是假命题，所以其否定 “?x ∈R,4x 2 ＋(a －2)x ＋14>0”是真命题，则Δ＝(a －2)2 －4×4×14 ＝a 2－4a <0， 解得0 4．已知命题p ：“?x ∈[0,1]，a ≥e x ”，命题q ：“?x ∈R ，x 2＋4x ＋a ＝0”，若命题“p ∧q ”是真命题，则实数a 的取值范围是( ) A ．(4，＋∞) B ．[1,4] C ．(－∞，1] D ．[e,4] D [命题p 等价于ln a ≥x 对x ∈[0,1]恒成立，所以ln a ≥1，解得a ≥e；命题q 等价于关于x 的方程x 2＋4x ＋a ＝0有实根，则Δ＝16－4a ≥0，所以 a ≤4.因为命题“p ∧q ”是真命题，所以命题p 真，命题q 真，所以实数a 的取值范围是[e,4]，故选D.] 5．(2019·玉溪模拟)有四个关于三角函数的命题： P 1：?x ∈R ，sin x ＋cos x ＝2； P 2：?x ∈R ，sin 2x ＝sin x ； P 3：?x ∈??? ? ??－π2 ，π2， 1＋cos 2x 2 ＝cos x ； P 4：?x ∈(0，π)，sin x ＞cos x . 其中真命题是( ) A ．P 1，P 4 B ．P 2，P 3 C ．P 3，P 4 D ．P 2，P 4 B [因为sin x ＋cos x ＝2sin ? ????x ＋π4，所以sin x ＋cos x 的最大值为2，可得不存在x ∈R ，使sin x ＋cos x ＝2成立，得命题P 1是假命题； 因为存在x ＝k π(k ∈Z )，使sin 2x ＝sin x 成立，故命题P 2是真命题； 因为 1＋cos 2x 2 ＝cos 2x ，所以1＋cos 2x 2＝|cos x |，结合x ∈????? ? －π2 ，π2 得cos x ≥0，由此可得 1＋cos 2x 2 ＝cos x ，得命题P 3是真命题； 因为当x ＝π4时，sin x ＝cos x ＝2 2 ，不满足sin x ＞cos x ，所以存在 x ∈(0，π)，使sin x ＞cos x 不成立，故命题P 4是假命题．故选B.] 6．命题p ：?x ∈R ，ax 2＋ax ＋1≥0，若﹁p 是真命题，则实数a 的取值范围是( ) A ．(0,4] B ．[0,4] C ．(－∞，0]∪[4，＋∞) D ．(－∞，0)∪(4，＋∞) D [当a ＝0时，不等式恒成立；当a ≠0时，要使不等式恒成立，则有?? ? a >0， Δ≤0， 即??? a >0，a 2 －4a ≤0， 解得0 0≤a ≤4，则﹁p ：a <0或a >4.] 7．(2019·福建三校联考)若命题“?x 0∈R ，使得3x 20＋2ax 0＋1＜0”是假命题，则实数a 的取值范围是( ) A ．[－3，3] B ．(－∞，－3]∪[3，＋∞) C ．(－∞，－3] D ．[3，＋∞) A [命题“?x 0∈R ，使得3x 20＋2ax 0＋1＜0”是假命题， 即“?x ∈R,3x 2＋2ax ＋1≥0”是真命题， 故Δ＝4a 2－12≤0，解得－3≤a ≤ 3.] 二、填空题 8．已知函数f (x )的定义域为(a ，b )，若“?x 0∈(a ，b )，f (x 0)＋f (－ x 0)≠0”是假命题，则f (a ＋b )＝________. 0 [若“?x 0∈(a ，b )，f (x 0)＋f (－x 0)≠0”是假命题，则“?x ∈(a ，b )， f (x )＋f (－x )＝0”是真命题，即f (－x )＝－f (x )，则函数f (x )是奇函数，则a ＋b ＝0，即f (a ＋b )＝f (0)＝0.] 9．以下四个命题： ①?x ∈R ，x 2－3x ＋2＞0恒成立；②?x 0∈Q ，x 20＝2；③?x 0∈R ，x 20＋1＝0； ④?x ∈R,4x 2＞2x －1＋3x 2.其中真命题的个数为________． 0 [∵x 2－3x ＋2＝0的判别式Δ＝(－3)2－4×2＞0， ∴当x ＞2或x ＜1时，x 2－3x ＋2＞0才成立， ∴①为假命题； 当且仅当x ＝±2时，x 2＝2， ∴不存在x 0∈Q ，使得x 20＝2，∴②为假命题； 对?x ∈R ，x 2＋1≠0，∴③为假命题； 4x 2－(2x －1＋3x 2)＝x 2－2x ＋1＝(x －1)2≥0， 即当x ＝1时，4x 2 ＝2x －1＋3x 2 成立， ∴④为假命题， ∴①②③④均为假命题． 故真命题的个数为0.] 10．已知命题p ：?x 0∈R ，(m ＋1)(x 20＋1)≤0，命题q ：?x ∈R ，x 2＋mx ＋1 ＞0恒成立．若p ∧q 为假命题，则实数m 的取值范围为________． (－∞，－2]∪(－1，＋∞) [由命题p ：?x 0∈R ，(m ＋1)(x 20＋1)≤0，可得m ≤－1；由命题q ：?x ∈R ，x 2＋mx ＋1＞0恒成立，可得－2＜m ＜2，因为 p ∧q 为假命题，所以m ≤－2或m ＞－1.] 1. 已知命题p ：任意x ∈R ，log 2(x 2＋x ＋a )>0恒成立，命题q ：存在 x 0∈[－2,2]，2a ≤2x 0，若命题p ，q 都为真命题，则实数a 的取值范围为________． ? ???? 54，2 [由题知，命题p ：任意x ∈R ，log 2(x 2＋x ＋a )>0恒成立，即x 2＋x ＋a －1>0恒成立，所以Δ＝1－4(a －1)<0，解得a >5 4 ；命题q ：存在x 0∈[－ 2,2]，使得2a ≤2x 0 ，则a ≤2.当p 且q 为真命题时，须满足??? a >54， a ≤2， 故实数 a 的取值范围为? ?? ?? 54，2.] 2．已知函数f (x )＝x ＋4x ，g (x )＝2x ＋a ，若对任意x 1∈???? ??12，1，存在 x 2∈[2,3]，使得f (x 1)≤g (x 2)，则实数a 的取值范围是________． ?????? 12，＋∞ [依题意知f (x )max ≤g (x )max .∵f (x )＝x ＋4x 在??????12，1上是减函数， ∴f (x )max ＝f ? ????12＝17 2 . 又g (x )＝2x ＋a 在[2,3]上是增函数，∴g (x )max ＝8＋a ，因此17 2 ≤8＋a ，则 a ≥12 .] 3．若?x 0∈?????? 12，2，使得2x 20－λx 0＋1＜0成立是假命题，则实数λ的取值 范围是________． (－∞，22] [因为?x 0∈?????? 12，2，使得2x 20－λx 0＋1＜0成立是假命题， 所以?x ∈??????12，2，使得2x 2－λx ＋1≥0恒成立是真命题，即?x ∈???? ?? 12，2，使得 λ≤2x ＋1x 恒成立是真命题，令f (x )＝2x ＋1x ，则f ′(x )＝2－1 x 2，当 x ∈?????? 12，22时，f ′(x )＜0，当x ∈? ????22，2时，f ′(x )＞0，所以f (x )≥f ? ????22＝22，则λ≤2 2.] 4．已知命题p ：x 2＋2x －3＞0；命题q ：1 3－x ＞1，若“(﹁q )∧p ”为真，则x 的取值范围是________． (－∞，－3)∪(1,2]∪[3，＋∞) [因为“(﹁q )∧p ”为真，即q 假p 真，而q 为真命题时， x －2 x －3 ＜0，即2＜x ＜3，所以q 为假命题时，有x ≥3或x ≤2；p 为真命题时，由x 2 ＋2x －3＞0，解得x ＞1或x ＜－3，由?? ? x ＞1或x ＜－3， x ≥3或x ≤2， 得x ≥3或1＜x ≤2或x ＜－3， 所以x 的取值范围是(－∞，－3)∪(1,2]∪[3，＋∞)．] 1．(2019·黄冈模拟)下列四个命题： ①若x ＞0，则x ＞sin x 恒成立； ②命题“若x －sin x ＝0，则x ＝0”的逆否命题为“若x ≠0，则x －sin x ≠0”； ③“命题p ∧q 为真”是“命题p ∨q 为真”的充分不必要条件； ④命题“?x ∈R ，x －ln x ＞0”的否定是“?x 0∈R ，x 0－ln x 0＜0”． 其中正确命题的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 C [对于①，令y ＝x －sin x ，则y ′＝1－cos x ≥0，则函数y ＝x －sin x 在R 上递增，即当x ＞0时，x －sin x ＞0－0＝0，则当x ＞0时，x ＞sin x 恒成立，故①正确； 对于②，命题“若x －sin x ＝0，则x ＝0”的逆否命题为“若x ≠0，则x －sin x ≠0”，故②正确； 对于③，命题p ∨q 为真即p ，q 中至少有一个为真，p ∧q 为真即p ，q 都为真，可知“p ∧q 为真”是“p ∨q 为真”的充分不必要条件，故③正确； 对于④，命题“?x ∈R ，x －ln x ＞0”的否定是“?x 0∈R ，x 0－ln x 0≤0”，故④错误． 综上，正确命题的个数为3，故选C.] 2．已知函数f (x )＝x 3＋(1－a )x 2－a (a ＋2)x ，g (x )＝ 196x －1 3 ，若对任意x 1∈[－1,1]，总存在x 2∈[0,2]，使得f ′(x 1)＋2ax 1＝g (x 2)成立，求实数a 的取值范围． [解] 由题意知，g (x )在[0,2]上的值域为???? ?? －13，6. 令h (x )＝f ′(x )＋2ax ＝3x 2＋2x －a (a ＋2)，则h ′(x )＝6x ＋2，由h ′(x )＝0得x ＝－1 3 . 当x ∈? ?? ???－1，－13时，h ′(x )<0； 当x ∈? ???? －13，1 时，h ′(x )>0， 所以h (x )min ＝h ? ?? ?? －13＝－a 2－2a －13. 又由题意可知，h (x )的值域是???? ?? －13，6的子集， 所以????? h (－1)≤6，－a 2 －2a －13≥－13 ， h (1)≤6， 解得实数a 的取值范围是[－2,0]． 不等式的性质与一元二次不等式 建议用时：45分钟 一、选择题 1．已知R 是实数集，集合A ＝{x |x 2－x －2≤0}，B ＝ ，则 A ∩(?R B )＝( ) A ．(1,6) B ．[－1,2] C.???? ??12，2 D.? ?? ??12，2 C [由x 2－x －2≤0可得A ＝{x |－1≤x ≤2}．由x －6 2x －1 ≥0得?? ? (x －6)(2x －1)≥0，2x －1≠0， 所以B＝，所以?R B＝，所以A∩(?R B)＝.故选C.] 2．(2019·吉林模拟)若a，b，c为实数，且a＜b＜0，则下列命题中正确的是( ) A．ac2＜bc2B．a2＞ab＞b2 C.1 a ＜ 1 b D. b a ＞ a b B[法一：(直接法)A选项，若c＝0，则ac2＝bc2，故不正确；B选项，∵a＜b＜0，∴a2＞ab，且ab＞b2， ∴a2＞ab＞b2，故B正确；C选项，∵a＜b＜0，∴1 a － 1 b ＝ b－a ab ＞0，∴ 1 a ＞ 1 b ， 故错误；D选项，∵a＜b＜0，∴b a － a b ＝ b2－a2 ab ＝ (a＋b)(b－a) ab ＜0，∴ b a ＜ a b ，故 错误．故选B. 法二：(特值排除法)取a＝－2，b＝－1，c＝0易知A、C、D全错误，故选B.] 3．不等式2x2－4x＞22ax＋a对一切实数x都成立，则实数a的取值范围是( ) A．(1,4) B．(－4，－1) C．(－∞，－4)∪(－1，＋∞) D．(－∞，1)∪(4，＋∞) B[∵不等式2x2－4x＞22ax＋a对一切实数x都成立， ∴x2－4x>2ax＋a对一切实数x都成立，即x2－(4＋2a)x－a>0对一切实数x都成立． ∴Δ＝(4＋2a)2－4×(－a)<0，即a2＋5a＋4<0. ∴－4 ∴实数a的取值范围是(－4，－1)．] 4．设函数f(x)＝ax2－2x＋2，对任意的x∈(1,4)都有f(x)>0，则实数a的 取值范围是( ) A ．[1，＋∞) B.? ???? 12，1 C.???? ??12，＋∞ D.? ?? ??12，＋∞ D [∵对任意的x ∈(1,4)，都有f (x )＝ax 2－2x ＋2>0恒成立，∴a >2(x －1) x 2 ＝2??????14－? ????1x －122，对任意的x ∈(1,4)恒成立，∵14<1x <1，∴2????? ?14－? ????1x －122∈? ? ???0，12， ∴实数a 的取值范围是? ?? ??12，＋∞.] 5．(2019·辽宁师大附中模拟)若不等式x 2－(a ＋1)x ＋a ≤0的解集是[－4,3]的子集，则a 的取值范围是( ) A ．[－4,1] B ．[－4,3] C ．[1,3] D ．[－1,3] B [原不等式为(x －a )(x －1)≤0，当a <1时，不等式的解集为[a,1]，此时只要a ≥－4即可，即－4≤a <1；当a ＝1时，不等式的解集为{1}，此时符合要求；当a >1时，不等式的解集为[1，a ]，此时只要a ≤3即可， 即1 综上可得－4≤a ≤3.] 二、填空题 6．(2020·苏州模拟)若a ＝ln 33，b ＝ln 44，c ＝ln 5 5，则a ，b ，c 的大 小关系是________． c x (x >e)，y ′＝ 1－ln x x 2 ，易知当 x >e 时，函数f (x )单调递减． 因为e<3<4<5，所以f (3)>f (4)>f (5)，即c b a ＝3ln 44ln 3＝log 8164<1， 所以a >b ；b c ＝ 5ln 4 4ln 5 ＝log 6251 024>1， 所以b >c .即c 7．已知1 b 的取值范围为________． (－7,2) ? ???? 18，2 [因为1
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