电磁场与电磁波理论(第二版)(徐立勤-曹伟)第3章习题解答
第3章习题解答
3.1 对于下列各种电位分布，分别求其对应的电场强度和体电荷密度：
(1)()2,,x y z Ax Bx C Φ=++； (2)(),,x y z Axyz Φ=；
(3)()2,,sin z A B z Φρ?ρ?ρ=+； (4)()2,,sin cos r Ar Φθ?θ?=。
解：已知空间的电位分布，由E Φ=-?r r 和2
0/Φρε?=-可以分别计算出电场强度和体电荷密度。
(1) ()2x E e Ax B Φ=-?=-+r r r
0202εερA -=Φ?-=
(2) ()x y z E A e yz e xz e xy Φ=-?=-++r r r r r
020=Φ?-=ερ
(3) (2sin )cos z E e A Bz e A e B ρ?Φρ?ρ?ρ??=-?=-+++??r r r r
20004sin sin 3sin Bz Bz A A A ρεΦε??ε?ρρ????
=-?=-+-=-+ ? ????
?
(4) ()2sin cos cos cos sin r E e Ar e Ar e Ar θ?Φθ?θ??=-?=-+-r r r r r
200cos 2cos cos 6sin cos sin sin A A A θ??ρεΦεθ?θθ??
=-?=-+
- ??
?
3.5 如题3.5图所示上下不对称的鼓形封闭曲面，其上均匀分布着密度为0S ρ的面电荷。
试求球心处的电位。 解：上顶面在球心产生的电位为
22001111100
()()22S S d R d R d ρρ
Φεε=
+-=- 下顶面在球心产生的电位为
22
002222200
()()22S S d R d R d ρρΦεε=
+-=- 侧面在球心产生的电位为
030
014π4πS S S
S
R
R
ρρΦεε=
=
?
式中2
12124π2π()2π()2π()S R R R d R R d R d d =----=+。因此球心总电位为
1230
S R ρΦΦΦΦε=++=
3.6有02εε=和05εε=的两种介质分别分布在0z >和0z <的半无限大空间。已知0z >时，
201050x y z E e e e =-+r r r r
V /m 。试求0z <时的D r 。
解：由电场切向分量连续的边界条件可得
1t 2t
E E =? 000520510x y z D D εε<=?=-? 代入电场法向方向分量满足的边界条件可得 1n 2n
D D =? 050z z D <=
于是有
0001005050x y z z D e e e εε<=-+r r r r
3.9 如题 3.9图所示，有一厚度为2d 的无限大平面层，其中充满了密度为
()0πcos x
x d
ρρ=的体电荷。若选择坐标原点为零电位参考点，试求平面层
之内以及平面层以外各区域的电位和电场强度。
解：由对称性可知
0y z
ΦΦ??==??，即22222
2222d d x y z x ΦΦΦΦΦ????=++=???。设各区域中的电位和电场强度分别为1Φ，2Φ，3Φ和1E ρ，2E ρ
，3E ρ。由电位所满足的微分方程
2012d πcos d x x d ρΦε??
=- ???
222
d 0d x Φ= 232d 0d x Φ= 解得
011d πsin d πd x C x d ρΦε??
=-+ ??? 22d d C x
Φ=
33d d C x Φ= 201112πcos πd x C x D d ρΦε??=++ ???
222C x D Φ=+ 333C x D Φ=+
由于理想介质分界面没有面电荷，所以边界条件为
d x =时 12ΦΦ= 12
d d d d x x
ΦΦε
ε= d x -=时 13ΦΦ= 31
0d d d d x x
ΦΦε
ε= 又根据对称性可知，在0=x 的平面上，电场强度是为零的，即0=x 时，1
d 0d x
Φ=。最后再选择零电位参考点使得0=x 时，()100Φ=。联立解得
0321===C C C 2
012
π
d D ρε=- 202322πd D D ρε==-。 只要利用d d x E
e x
Φ
=-?Φ=-r r r 就可以得到
d x -<时， 2032
2πd ρΦε=- 3
3d 0d x E e x
Φ=-=r r d x d ≤≤-时 2200122
πcos ππd x d d ρρΦεε??=- ??? 011d πsin d πx x d x E e e x d ρΦε??=-= ???
r r r d x >时， 2
022
2πd ρΦε=- 22d 0d x E e x
Φ=-=r r ? 选择不同的零电位参考点，得到的电位不同，但电场强度仍是相同的。 ? 根据对称性只需求出0>x 的解，即1Φ和23ΦΦ=。
3.10 位于0x =和x d =处的两个无限大导电平面间充满了()01x d ρρ=+的体电荷。若将0x =处的导电平
板接地，而将x d =处的导电平板加上电压0U 。试求板间的电位分布及电场强度为零的位置。
解：由于无限大导体极板之间电荷分布是只与x 有关，忽略边缘效应，可以认为电位分布也只与x 有关，且满足
一维泊松方程
202
0d (1)d x x d
ρΦε=-+ 其通解为
32
001200
()62x x x C x C d ρρΦεε=-
-++ 由(0)0Φ= ? 02=C 而由0()d U Φ= ? 0
00132ερd
d U C +
= 因此板间电位分布为
3200000002()623U d x x x x d d
ρρρΦεεε??
=-
-++ ??? 板间电场强度为
200000002()23x U d E e x x d
d ρ
ρρΦεεε??=-?=+-+????r r r
从该式可以求出电场强度为零的位置为
20000022
0000
000000024()23224 1()3U d
d d U d b b ac x d d d d d
ρρρρεεεεερρρεε-±++-±-===-±++
由于我们是讨论极板内电场强度，因此零点位置为
)32(210
0000ερρεd
d U d d d x ++
+-= 3.11 如题3.11图所示的平板电容器中，分别以两种不同的方式填充两种不同的介质1ε和2ε。当两极板之间外
加电压0U 时，试求电容器中电位和电场的分布以及电容器的电容。
解：对于图a ：忽略边缘效应，可以认为电位分布也只与x 有关，均满足一维拉普拉斯方程。且由介质分界面的
边界条件可知，两种介质中的电位分布是相同的，其通解为
Cx D Φ=+
根据已知条件00x Φ==和02x d U Φ==，解得0D =和
2U C d
=
，即平板电容器中的电位分布为 02U x d
Φ=
根据E Φ=-?r r
，可以得到平板电容器中的电场分布为
0d d 2x x U E e e x d
ΦΦ=-?=-=-r r r r
对0=x 平板上n x e e =r r
，面电荷密度分别为 ()
01n n 02 2 2S U y S d
e D e E U y S d ερεε?-∈??=?=?=??-∈??
r r r r 上下
总电量为
()001
2120222U U S
Q S S U d d d
εεεε=-?-=-+ 电容器的电容为
()
120
2Q S
C U d
εε=
=+
对于图b ：忽略边缘效应，可以认为电位分布也只与x 有关，均满足一维拉普拉斯方程。两种介质中的电位分布的通解可以分别设为
111C x D Φ=+ 和 222C x D Φ=+
根据已知条件100x Φ==和202x d
U Φ==，以及分界面处的边界条件12x d x d ΦΦ===和
12x d
x d
x
x
ΦΦ==??=
??可
以解得
20112U x d εΦεε=
+ 和 20
2012U x d
U d
εΦεε-=++ 根据E Φ=-?r r
，可以得到平板电容器中两种介质中的电场分布为
0121112d d x x U E e e x d ΦεΦεε=-?=-=-+r r r r 和 0212212d d x x U E e e x d
ΦεΦεε=-?=-=-+r r r r
对0=x 平板上n x e e =r r
，面电荷密度为
()
12n n 112 S x U e D e E e d εερεεε=?=?=-+r r r r r
总电量为 12
01222S S
Q S U d
εερεε=?=-+ 电容器的电容为 120
122Q S
C U d
εεεε=
=
+
3.12 已知在半径为a 的无限长圆柱形体内均匀分布着电荷密度为0ρ的体电荷。圆柱体内外的介电常数分别为ε和0ε。若取圆柱体的表面为零电位的参考面，试利用直接积分法求出圆柱体内外的电位和电场强度。 解：取定圆柱坐标系，使z 轴与圆柱体的中心轴线相重合，由电位和电场的对称性可知Φ与?和z 无关。圆柱
体内外的电位1Φ和2Φ分别满足
01d 1d d d ρΦρρρρε??=- ??? 和 020
d 1d d d ρΦρρρρε??=- ?
?? 它们的通解可以分别表示式为
()2
0111ln 4C D ρΦρρρε
=-
++ 和 222ln C D Φρ=+ 由轴线上的电位应为有限值可得10C =。而由圆柱体的表面电位为零可得
2
0104a D ρε
-
+= 和 22ln 0C a D += 即 2
014D a ρε= 和 22ln D C a =-
于是有 ()()22
014a ρΦρρε=-- 和 22ln C a
ρΦ=
代入圆柱体表面电位的法向导数的边界条件1
2
r a
r a
r
r
ΦΦε
ε==??=??得到0202a
C a ρε=-，即2
0202a C ρε=-。最后得到圆柱体内外的电位分别为
()()22
014a ρΦρρε=- 和 2020ln 2a a
ρρΦε=-
而圆柱体内外的电场强度分别为
01110d d 2E e e ρρρρΦΦρε=-?=-=r r r r 和 2
02220d d 2a E e e ρρ
ρΦΦρερ
=-?=-=r r r r
3.13 如题3.13图所示，半径为a 的无限长导体圆柱，单位长度的带电量为l ρ。其
一半埋于介电常数为ε的介质中，一半露在空气中。试求各处的电位和电场强度。 解：根据题意，空间中电位分布与?和z 无关，均满足一维的拉普拉斯方程，即
()()
211222d 1d 0d d d 1d 0d d r r ΦΦρρρΦΦρρρ??
?== ?????
?=
= ???
介质中空气中
将上述两方程分别直接积分两次，得出通解为
111ln C D Φρ=-+ 和 222ln C D Φρ=-+
根据不同介质分界面电位的连续性可知12C C C ==和12D D D ==，即
12ln C D ΦΦΦρ===+
若设无限长导体圆柱上电位为0，也即()0a Φ=，可得ln D C a =-，即
ln C a
ρ
Φ=
导体圆柱的面电荷密度为
()()
0S C
C
εΦρε
ερ?-??=-=?-???介质中空气中
单位长度导体圆柱的电量为
0ππl C a C a ρεε=--
即
0π()
l
C ρεε=-
+
于是得到导体圆柱外的电位和电场强度分别为
0ln
π()
l
a
ρΦεερ
=
+ 和 0π()l
E e ρ
ρΦεερ
=-?=+r r
3.14 如题3.14图所示同轴电容器，其中部分填充了介质ε，其余是空气。当外加电压0U 时，试求电容器中的电位和电场强度的分布以及单位长度的电容。 解：根据题意，空间中电位分布与?和z 无关，均满足一维的拉普拉斯方程，即
()
()
211222d 1d 0d d d 1d 0d d r r ΦΦρρρΦΦρρρ??
?== ?????
?=
= ???
介质中空气中
将上述两方程分别直接积分两次，得出通解为
111ln C D Φρ=-+ 和 222ln C D Φρ=-+
根据不同介质分界面电位的连续性可知12C C C ==和12D D D ==，即
12ln C D ΦΦΦρ===+
由0a
ρΦ
==和0b
U ρΦ
==可得到
ln D C a =- 和 0ln U C b D =+
可以解得
0/ln b C U a ??= ??? 和 0ln /ln b D U a a ??
=- ???
因此电容器内电位和电场强度的分布分别为
0ln ln U a b a ρΦ?? ?
??=?? ??? 和 0d 1d ln U E e e b a ρ
ρΦΦρρ=-?=-=-??? ?
??
r r r r 利用n S e D ρ=?r
r
可以计算出电容器内面电荷密度分布为
()00
1
ln S U b b a ερ?θ=
???? ??? 和 ()01 ln S U b b a ερ?θ=?∈?? ?
??
那么单位长度总电荷为
()00000(2π)111
2πln ln ln U U U Q b b b b b b
a a a θεθεεθεθ-=
?+?=?-+?????????? ? ? ???????
因此单位长度的电容为
()00
11
2πln Q
C b U b a εθεθ=
=?-+?????? ???
3.15在介电常数为ε的无限大介质中，均匀分布体密度为0ρ的电荷。若在该介质中挖了一个半径为0R 的球形
空腔（腔中的介电常数可视为0ε）。利用直接积分法求出各处的电位分布Φ和电场强度E r
。（以球面为零电
位参考点） 解：根据场的对称性可知
0=??=???ΦθΦ，即2221d d d d r r r r ΦΦ??
?= ???
。设球形空腔内外的电位分别为1Φ和2Φ。 解
212d 1d 0d d r r r r Φ??= ???和2022d 1d d d r r r r ρΦε
??
=- ???得 11
1D r
C +-=Φ 和 222026
D r C r +--=ερΦ 考虑到0→r 时，场应是有界的，即01=C 。再利用边界连续条件0R r =时，21ΦΦ=，12
0d d d d r r
ΦΦεε
=以及给定的零电位参考点，即0R r =时，021＝ΦΦ=，联立解得
011=D C ＝,ερ33
002R C =和ε
ρ22
002R D = 由此可得
01=Φ，ε
ρερερΦ2362
003
00202R r R r +--= 011=?-=ΦρρE ，???? ??-=-=?-=230
0022233r R r e dr d e E r r ερε
ρΦΦρρρρ 3.16 顶端夹角为02θ的带电导体圆锥垂直于无限大的接地导体平面，但两者之间有一缝隙。当圆锥所加电压为
0U 时，试求圆锥体与导体平面之间的电位分布及电场强度。
解：由于圆锥体与导体平面之间的电位分布均仅为坐标θ的函数，满足一维的拉普拉斯方程
21sin 0sin r Φ
θθθθ
????
=
?????
即
sin 0Φθθ
θ????= ?????
将上述方程分别直接积分两次，得出通解为
ln tan 2
C D θΦ?
?=+ ??
?
利用边界条件()00U Φθ=和()π/20Φ=解得
00ln tan 2U C θ=
?
?
?
?
? 和 0D =
由此可得圆锥体与导体平面之间的电位和电场强度的分布分别为
0ln tan 2ln tan 2U θΦθ?
?= ????? ??? 和 0011sin ln tan 2U E e e r r θθΦΦθθθ?=-?==??? ?
?
?r r r r
3.17如题3.17图所示，由两块形状相同的不相连矩形导体槽构成的无限长的矩
形管，内填空气，但两者之间有一缝隙。当外加电压0U 时，利用直角坐标系分离变量法求出矩形管内的电位分布。 解：定解问题为02
=?Φ，00
==y Φ
，0y b
U Φ
==以及
00
/20
0/2
x U
d y d y d Φ
=<
0/2
x a
U d y d y d Φ
=<
设0
01212U y b
ΦΦΦΦΦΦ=++=
++，其中1Φ和2Φ的满足的定解问题分别为 012=?Φ，001==y Φ，10y b Φ==，100x Φ==和0010/20/2x a U U y b y b
b
U y y b b Φ=?-<
?-<
220Φ?=，200y Φ==，20y b Φ==，20x a Φ==和00200/20/2
x U U y b y b
b
U y y b b Φ=?-<
?-<
由定解问题的边界条件100y Φ==和10y b Φ==很容易得到
1111πππsinh
cosh sin n n x n x n y
A B b b b
Φ∞
=??=+ ??
?∑ 由100x Φ==，则20A =，因此上式变成
11
ππsinh
sin n n n x n y
A b b
Φ∞
==∑
代入边界条件001
0/20/2x a
U U y b y b b U y y b b Φ=?-<
，则得到
0010/2ππsinh sin 0/2
n n U U y b y b n a n y b A U b b y y b b ∞
=?-<
∑ 利用正弦函数的正交性可以得到
/200
00/2π2ππsinh
sin d sin d b b n b U U n a n y
n y A U y y y y b b b b b b ??
?
???=-+-?? ? ???????
??
积分得到 ()/2
021ππsinh
n n U A n a
n b
=
-
由定解问题2
20Φ?=，2
0y Φ==，2
0y b Φ==，20x a Φ==可知
()21
ππsinh sin n n n a x n y
C b b Φ∞
=-=∑
代入边界条件002
0/20/2x U U y b y b b U y y b b Φ=?
-<
，则得到 ()/2
021ππsinh
n n U C n a
n b
=- 最后得到电位分布为
()
/2
2,4,6,πsinh 12πππcosh 1cosh sin ππ
sinh n n n x U y n x n a n y b U n a d n
b b b b Φ∞
=?
???-??=++-?? ?
???
??
?∑
L
3.18 求题3.18图所示矩形空间区域内的电位分布，已知边界条件为：
（1）10U Φ=，2340ΦΦΦ===；
（2）20U Φ=，1
0n Φ?=?，340ΦΦ==； （3）303ππsin cos y y
U b b
Φ=，1240ΦΦΦ===； （4）2
0E y Φ?-
=?，140ΦΦ==，30n
Φ?=?。 解：（1）根据给定的边界条件可以将通解直接选为
()()()1212,sinh cosh sin cos y y y y x y C k x C k x D k y D k y Φ=++
由边界条件240ΦΦ==可以得到
20D = 和 π
1,2,3,y n k n b
=
=L
即
()112πππ,sin
sinh cosh n y n x n x x y D C C b b b Φ??
=+ ???
为了求解方便可以将上式改写为
()()()112πππ,sin
sinh cosh n a x n a x n y x y D C C b b b Φ--??=+????
如此一来，由边界条件30Φ=可以直接得到20C =，于是有
()()ππ,sin
sinh
n n a x n y
x y E b b
Φ-= 式中，11D C E n =。将上式对n 求和，可将此边值问题的解写成
()1,2,3,ππsin
sinh
n n n a x n y
E b b
Φ=-=
∑
L
最后，将边界条件10U Φ= 代入上式，得
01,2,3,ππsin
sinh n n n y n a
U E b b
==
∑
L
利用三角函数的正交性可以得到
00041,3,5,π2ππsinh sin d πsinh
02,4,6,b n U n n a U n y n E y n a b b b n b ?=??==??=??
?L
L
最后得到电位分布为
()0
1,3,5,π4πsin sinh ππsinh n n a x U n y
n a b b n b
Φ=-=
∑
L
（2）根据给定的边界条件可以将通解直接选为
()()()1212,sin cos sinh cosh x x x x x y C k x C k x D k y D k y Φ=++
由边界条件
1
0n
Φ?=?和30Φ=可以得到 ()212πππ,cos
sinh cosh 222n x n y n y x y C D D a a a Φ??
=+ ???
1,2,3,n =L
由边界条件40Φ=可以得到
()ππ,cos
sinh 22n n x n y
x y E a a
Φ=1,2,3,n =L
式中，11D C E n =。将上式对n 求和，可将此边值问题的解写成
()1,2,3,ππ,cos
sinh
22n n n x n y
x y E a a
Φ==
∑
L
最后，将边界条件20U Φ= 代入上式，得
01,2,3,ππcos
sinh
22n n n x n y
U E a a
==
∑
L
利用三角函数的正交性可以得到
()1
0200411,3,5,2ππsinh sin d π2sinh
02,4,6,2n a n U n n b U n x n E x n b a a b n a π-?-=??
==??=??
?L
L
最后得到电位分布为
()
1
02
1,3,5,4ππ1cos sinh
22πsinh 2n n U n x n y
n b a a n a
Φπ-==
-∑L
（3）根据给定的边界条件可以将通解直接选为
()()()1212,sinh cosh sin cos y y y y x y C k x C k x D k y D k y Φ=++
由边界条件240ΦΦ==可以得到
()112πππ,sin
sinh cosh n y n x n x x y D C C b b b Φ??
=+ ???
1,2,3,n =L
由边界条件10Φ=可以得到
()ππ,sinh
sin n n x n y
x y E b b
Φ=1,2,3,n =L
式中，11D C E n =。将上式对n 求和，可将此边值问题的解写成
()1,2,3,ππ,sinh
sin
n n n x n y
x y E b b
Φ==
∑
L
最后，将边界条件0303ππ2π4πsin
cos sin sin 2U y y y y U b b b b Φ??
==+ ???
代入上式，得 01,2,3,2π4πππsin sin sinh
sin 2n n U y y n x n y
E b b b b
=??+= ???∑L 比较系数可以得到
0212π2sinh U E a b =
和 041
4π2sinh U E a b
= 其余的系数均为零。最后得到电位分布为
04π4π2π2πsinh sin sinh sin 4π2π2sinh sinh
x y x y U b b b b a a b b Φ????=+??????
（4）根据给定的边界条件可以将通解直接选为
()()()1212,sin cos sinh cosh x x x x x y C k x C k x D k y D k y Φ=++
由边界条件10Φ=和
3
0n
Φ?=?可以得到 ()112πππ,sin
sinh cosh 222n x n y n y x y C D D a a a Φ??
=+ ???
1,2,3,n =L
由边界条件40Φ=可以得到
()ππ,sin
sinh 22n n x n y
x y E a a
Φ=1,2,3,n =L
式中，11D C E n =。将上式对n 求和，可将此边值问题的解写成
()1,2,3,ππ,sin
sinh
22n n n x n y
x y E a a
Φ==
∑
L
最后，将边界条件2
0E y
Φ?-
=? 代入上式，得 01,2,3,πππsin cosh
222n
n n n x n y
E E a a a
=-=
∑
L
利用三角函数的正交性可以得到
0220081,3,5,2ππcosh sin d ππcosh
02,4,6,22a n aE n n b E n x n E x n n b a a b n a a π?
-=??=-=??=??
?L
L
最后得到电位分布为
0221,3,5,8ππsin sinh 22πcosh
n aE n x n y n b a a n a Φπ=??
??=
-??????
∑
L
3．21两平行的无限大导体平板，距离为d ，其间有一薄片，如题3.21图所示。
当上板电位为0U ，下板电位为零，薄片电位为()01/U y d +时，利用直角坐标系中的分离变量法求板间0x >区域的电位分布。 解：定解问题为02
=?Φ，00
==y Φ
，0y b
U Φ
==以及()00
1/x U y d Φ
==+
设0
1U y d
ΦΦ=+
，则其中1Φ的满足的定解问题为012=?Φ，00
1
==y Φ0 1==b y Φ 100x U Φ==
由定解问题的边界条件1
0y Φ==和10y b Φ==很容易得到
ππ1111πe e sin n x n x
d d
n n y A B d Φ∞
-=??=+ ???
∑
由1x Φ→∞=有限，则10A =，因此上式变成
π111
πe
sin
n x
d
n n y
B d
Φ∞
-
==∑ 代入边界条件100x U Φ==，则得到
01
πsin
n n n y
U B d
∞
==∑ 利用正弦函数的正交性可以得到
41,3,5,2πsin d π
2,4,6,d
n U n U n y E y n d
b n ?=?=
=??=??
L L
最后得到电位分布为
π001,3,5,4πe sin
πn x d n U y n y
U d n d
Φ∞
-==+∑L 3.22 如题 3.22图所示，已知矩形导体盒子顶面的电位分布为
()02π3π,sin
sin
x y U x y U a b
=，其余的面上电位均为零。试求盒内的电位分布。 解：根据盒子的边界条件，利用分离变量法及边界条件可以求出
()πsin
n x X x a =，()πsin m y
Y y b
=，()z k B z k A z Z z z |||ch |sh += 式中2
2
??
?
??+??? ??=b m a n k z ππ。由于(,,0)0x y Φ=，因此0=B ，于是问题的解为
22
,ππππ(,,)sin sin sh nm n m
n x m y n m x y z A z a b a b Φ∞
????
=+ ? ?????∑
由02π3π(,,)sin sin
x y
x y c U a a
Φ=的边界条件，也即 22
0,2π3πππππsin sin sin sin sh nm n m
x y n x m y n m U A c a a a b a b ∞????=+ ? ?????∑
比较系数法得到2=n ，3=m ，0
2322
2π3πsh A c
a b =????+ ? ?????
，因此问题的解为
22
2
2
2π3π2π3π(,,)sin sin sh 2π3πsh x y x y z z a b a b c
a b Φ????=
+ ? ?????
????+ ? ?????
3.23 半径为a 的无限长圆柱面上分布着密度为0cos S S ρρ?=的面电荷。试求圆柱面内、外的电位分布。 解：取定圆柱坐标系，使z 轴与圆柱体的轴相重合。在此坐标系下，诸场量均与z 坐标无关，圆柱内部电位1Φ和
圆柱外部电位2Φ均满足二维的拉普拉斯方程，其通解表示式可分别写为
()()()1121,ln sin cos sin cos n n
n n n n n P P A n B n C n D n Φρ?ρρ??ρ??∞
-=??=+++++??∑
()()()2121,ln sin cos sin cos n n
n n n n n P P A n B n C n D n Φρ?ρρ??ρ??∞
-=''''''??=+++++??∑
上列两式的待定系数可以利用下列的边界条件来确定： （1）在圆柱体的轴线上，电位为有限值，即
10ρΦ=<∞
（2）圆柱体表面的电荷在ρ→∞的地方所建立的电场已减弱至零，故ρ→∞时的电位边界条件为
20ρΦ→∞=
（3）在介质圆柱体的表面上满足电位边界条件，即
12a a ρρΦΦ=== 和 120
0cos S a
a
ρρΦΦεερ?ρ
ρ
==??-=??
由于边界条件（1）和（2）可得
20P =，0n C =，0n D = 和 10P '=，20P '=，0n A '=，0n B '= 即
()()111,sin cos n
n n n P A n B n Φρ?ρ??∞
==++∑
()()21
,sin cos n n
n n C n D n Φρ?ρ??∞
-=''=+∑ 代入边界条件（3）得到
()()11
1
sin cos sin cos n
n n n n n n n P a
A n
B n a
C n
D n ????∞
∞
-==''++=+∑∑
和
()()21
2101
1
cos sin cos sin cos n n S n n n n n n n a
A n
B n n a
C n
D n ρ?
????ε∞
∞
---==''+++=
∑∑ n n n n
a A a C -'=，n n n n a B a D -'= 和 首先比较上两式中常数项以及cos ?和sin ?项对应的系数，得出
10P =，111aA a C -'=，111aB a D -'=，2
0110
S A a C ρε-'+=
，2
11
0B a C -'+= 将这些式子联立求解，得到
10P =，0102S A ρε=
，2
010
2S a C ρε'=，10B =，10D '=。 再比较cos n ?和sin n ?(2,3,4,n =L )各项的系数，得出
n n n n
a A a C -'=，n n n n a B a D -'=，20n n A a C -'+=，20n n B a C -'+= 将这些式子联立求解，得到
01n n n
n A B C D n ''====≠
最后得到圆柱内外的电位分布函数分别为
010cos 2S ρΦρ?ε= 和 2020cos 2S a ρΦ?ερ
=
3.24 如题3.24图所示半径为a 、长为l 的圆柱形空间，其内的场是轴对称的，
试求该空间的电位分布，已知其边界条件为：
（1）10U Φ=，230ΦΦ==； （2）20U Φ=，130ΦΦ==； （3）202πsin
z
U l
Φ=，130ΦΦ==。 解：(1)问题的解与?无关，因此，定解问题为
20
(,0)0(,)(,)0l U a z ΦΦρΦρΦ?====，
解法一：首先把上下边界齐次化，也即令0
1U z l
ΦΦ=+
，其中的1Φ满足定解问题为 2011110
(,0)0(,)0(,)U
l a z z l
ΦΦρΦρΦ?====，
由分离变量法可得
1001πππ(
)()sin n n n n n n z A I B K l l l Φρρ∞
=??=+???
?
∑ 由于0→ρ，1Φ为有限的，那么0=n B 。则上式变成
101
ππ(
)sin n n n n z
A I l l
Φρ∞
==∑ 由侧面的边界条件可得
001
ππ()sin n n U n n z z A I a l l l ∞
==∑ 由三角函数的正交性可得
00000
221πsin cos πππ(π/)
()l n U U n z
A z dz n n a l l l n I n a l I l
=??=-?
即
000102ππcos π()sin π(π/)
n U U n n z z n I l n I n a l l l Φρ∞
==-∑
解法二：直接由侧面的边界条件将电位的通解写成
[][]001
()()sinh cosh n z n z n z n z n A J k B N k C k z D k z Φρρ∞
==++∑
由于0→ρ，Φ为有限的，那么0=n B ，则上式变成
[]01
sinh cosh ()n z n z z n C k z D k z J k Φρ∞
==+∑。
由底面的边界条件可得
01
()sinh n z z n C J k k z Φρ∞
==∑
而由侧面的边界条件，可得
()a
k a k a k J n
z n z z 000 0μμ=
?=?=
式中n 0μ为零阶Bessel 函数第n 个零点值。因此
0001
(
)sinh
n n n n z
C J a
a
μρ
μΦ∞
==∑
利用顶面的边界条件可得
00001
(
)sinh
n n n n l
U C J a
a
μρ
μ∞
==∑
两边同乘ρρ
μ)(
00a
J m ，并对),0(a 积分，那么
000000000
1
(
)d sinh
(
)(
)d a
a
m n n m n n l
U J C J J a
a
a
a
μρ
μμρ
μρ
ρρρρ∞
==∑?
?
式中
000022
00 ()()d 1[()] 2
a
n m m m n
J J a a a J m n μρμρ
ρρμ≠??
=?'=???
于是得到
[]0000
0000
222000
000
00
1010220000
00100
001022
(
)d ()d()
[()]sinh [()]sinh 22()()
[()]sinh [()]sinh
2()sinh
m
m
a
m m m m m m m m m m m m m m m m m m U C U J J x x x l l a
a J J a
a
U U xJ x J l
l J J a
a
U l J a
μμμρρρμμμμμμμμμμμμμμμμ=
=
''=
=
'=
?
?
由此可得空间的电位分布为
()
000001010J sinh 2J sinh n n n n n n z U a a l a
μρμΦμμμ∞
=??
???=∑
(2)问题的解与?无关，根据边界条件可将通解选为
001πππ(
)()sin n n n n n n z A I B K l l l Φρρ∞
=?
?=+???
?
∑ 由于0→ρ，Φ为有限的，那么0=n B 。则上式变成
01
ππ(
)sin n n n n z
A I l l
Φρ∞
==∑ 由侧面的边界条件可得
001
2πππsin ()sin n n z n n z
U A I a l l l ∞==∑
利用三角函数的正交性可得
00000
41,3,5,π21ππsin π()02,4,6,l n U n n a U n z n I A dz n a l l l I l n ?
=???
?=?= ?
?????=?
?L
L
由此可得
001,3,5,0π4πsin ππn n I U n z l n a n l I l ρΦ=??
???=
??
???
∑
L
(3)问题的解与?无关，根据边界条件可将通解选为
001πππ(
)()sin n n n n n n z A I B K l l l Φρρ∞
=??=+???
?
∑ 由于0→ρ，Φ为有限的，那么0=n B 。则上式变成
01
ππ(
)sin n n n n z
A I l l Φρ∞
==∑ 由侧面的边界条件可得
001
ππ(
)sin n n n n z U A I a l l
∞
==∑ 由三角函数的正交性可得
002
2π02
n U n a I A l n ?=????= ?
?????≠?
由此可得
0002π2πsin 2πI z l U a l I l ρΦ?? ???=?? ???
3.25 如题3.25图所示横截面为扇形的柱形空间，场沿轴线方向不变。已知
00??βΦΦ====，0a
U ρΦ
==-，0b
U ρΦ
==，试求此扇形区域内的
电位分布。 解：定解问题为
0002
U U b
a
=-====?====ρρβ??Φ
Φ
ΦΦΦ。
解法一：由于问题解与z 无关，则02=z
k ，则问题的通解可以选为 1111(,)()(sin cos )k
k A B C k D k ??
??Φρ?ρρ
??-=++
由0
0?Φ
==得到01=D ，则
11(,)()sin k
k A B k ??
?Φρ?ρρ
?-=+
由0?βΦ==得到sin 0k ?β=，即
π
n k ?β
=
，Λ,2,1=n
于是有
π
π
1
π(,)()sin
n n n n n n A B ββ
?
Φρ?ρρ
β
∞
-
==+∑
由0a
U ρΦ
==-和0 b
U ρΦ
==分别得到下列
ππ01πsin n n n n n n A a B a U ββ?β∞
-=??+=- ? ???∑ ππ01πsin n n n n n n A b B b U ββ
?β∞-=??+= ? ???
∑ 利用正弦函数的正交性可以得到系数n A 和n B 。
解法二：根据场的叠加性，可设12ΦΦΦ=+，其中的1Φ和2Φ满足的定解问题分别为
211111000
00 a b U ??βρρΦΦΦΦΦ====?=====
和
222220200
0 0 a b U ??βρρΦΦΦΦΦ====?====-=
1Φ的通解可以选为
11111(,)(sinh cosh )(sin cos )A k B k C k D k ????Φρ?ρρ??=++
由100?Φ==得到01=D ，则
11(,)(sinh cosh )sin A k B k k ???Φρ?ρρ?=+
由10?βΦ==得到sin 0k ?β=，即
π
n k ?β
=
，Λ,2,1=n
于是有
1111
πππ(,)(sinh
cosh
)sin
n n n n A B ρ
ρ
?
Φρ?β
β
β
∞
==+∑
由10a ρΦ==得到10B =，即
11
ππ(,)sinh
sin
n n n n E ρ
?
Φρ?β
β
∞
==∑
最后利用三角函数的正交性，由0b
U ρΦ
==得到
011,3,5,4ππ(,)sinh
sin
ππsinh
n U n n n a
n ρ
?
Φρ?β
β
β
==
∑
L
类似地，可以得到
()()021,3,5,π4π(,)sinh sin
ππsinh
n n b U n n b a n ρ?
Φρ?βββ
=-=-
-∑
L
即
()()12
001,3,5,1,3,5,π44πππsinh
sin
sinh sin
πππsinh
πsinh
n n n b U U n n n n a
n b a n n ΦΦΦρρ
?
?β
β
βββ
β
===+-=
-
-∑
∑
L
L
3.34如题3.34图所示，在由无限大平面和突起的半球构成的接地导体上方距离平面为d 处有一个点电荷0q ，利用镜像法求导体以外的电位分布。 解：由导体平面和导体球面的镜像法可知，为了满足所有的边界 条件，需
要有三个镜像电荷10q q =-，20a q q d =-
和30a
q q d
=+。
它们分别位于()0,0,d -，20,0,a d ?? ??
?和20,0,a d ??
- ???。于是所要求的电位分布为
0123
00012311114πq a a R R d R d R ΦΦΦΦΦε=+++??=--+ ???
其中
()()()()()()2
222202
222212
2
2
2
2
2
2
2
22
222222232cos 2cos 2cos 2cos R x y z d r d rd R x y z d r d rd R x y z a d r a d r a d R x y z a d r a d r a d θθ
θ
θ
=++-=+-=+++=++=++-=+-=+++=++
哈工大电磁场与电磁波实验报告
电磁场与电磁波实验报告 班级： 学号： 姓名： 同组人：
实验一电磁波的反射实验 1.实验目的： 任何波动现象（无论是机械波、光波、无线电波），在波前进的过程中如遇到障碍物，波就要发生反射。本实验就是要研究微波在金属平板上发生反射时所遵守的波的反射定律。 2.实验原理： 电磁波从某一入射角i射到两种不同介质的分界面上时，其反射波总是按照反射角等于入射角的规律反射回来。 如图（1-2）所示，微波由发射喇叭发出，以入射角i设到金属板M M',在反射方向的位置上，置一接收喇叭B，只有当B处在反射角i'约等于入射角i时，接收到的微波功率最大，这就证明了反射定律的正确性。 3.实验仪器： 本实验仪器包括三厘米固态信号发生器，微波分度计，反射金属铝制平板，微安表头。 4.实验步骤： 1）将发射喇叭的衰减器沿顺时针方向旋转，使它处于最大衰减位置； 2）打开信号源的开关，工作状态置于“等幅”旋转衰减器看微安表是否有显示，若有显示，则有微波发射； 3）将金属反射板置于分度计的水平台上，开始它的平面是与两喇叭的平面平行。 4）旋转分度计上的小平台，使金属反射板的法线方向与发射喇叭成任意角度i，然后将接收喇叭转到反射角等于入射角的位置，缓慢的调节衰减器，使微 μ）。 安表显示有足够大的示数（50A
5）熟悉入射角与反射角的读取方法，然后分别以入射角等于30、40、50、60、70度，测得相应的反射角的大小。 6）在反射板的另一侧，测出相应的反射角。 5.数据的记录预处理 记下相应的反射角，并取平均值，平均值为最后的结果。 5.实验结论：?的平均值与入射角0?大致相等，入射角等于反射角，验证了波的反射定律的成立。 6.问题讨论： 1.为什么要在反射板的左右两侧进行测量然后用其相应的反射角来求平均值？ 答：主要是为了消除离轴误差，圆盘上有360°的刻度，且外部包围圆盘的基座上相隔180°的两处有两个游标。，不可能使圆盘和基座严格同轴。 在两者略有不同轴的情况下，只读取一个游标的读数，应该引入离轴误差加以考虑——不同轴的时候，读取的角度差不完全等于实际角度差，圆盘半径偏小
电磁场与电磁波理论 概念归纳
A．电磁场理论B基本概念 1．什么是等值面？什么是矢量线？ 等值面——所有具有相同数值的点组成的面 ★空间中所有的点均有等值面通过； ★所有的等值面均互不相交； ★同一个常数值可以有多个互不相交的等值面。 矢量线（通量线）---- 一系列有方向的曲线。 线上每一点的切线方向代表该点矢量场方向， 而横向的矢量线密度代表该点矢量场大小。 例如，电场中的电力线、磁场中的磁力线。 2．什么是右手法则或右手螺旋法则？本课程中的应用有哪些？（图） 右手定则是指当食指指向矢量A的方向，中指指向矢量B的方向，则大拇指的指向就是矢量积C=A*B的方向。 右手法则又叫右手螺旋法则，即矢量积C=A*B的方向就是在右手螺旋从矢量A转到矢量B的前进方向。 本课程中的应用： ★无限长直的恒定线电流的方向与其所产生的磁场的方向。 ★平面电磁波的电场方向、磁场方向和传播方向。 3．什么是电偶极子？电偶极矩矢量是如何定义的？电偶极子的电磁场分布是怎样的？ 电偶极子——电介质中的分子在电场的作用下所形成的一对等值异号的点电荷。 电偶极矩矢量——大小等于点电荷的电量和间距的乘积，方向由负电荷指向正电荷。
4.麦克斯韦积分和微分方程组的瞬时形式和复数形式； 积分形式： 微分方式： （1）安培环路定律 （2）电磁感应定律 （3）磁通连续性定律 （4）高斯定律 5.结构方程
6.什么是电磁场边界条件？它们是如何得到的？（图） 边界条件——由麦克斯韦方程组的积分形式出发，得到的到场量在不同媒质交界面上应满足的关系式（近似式）。 边界条件是在无限大平面的情况得到的，但是它们适用于曲率半径足够大的光滑曲面。 7.不同媒质分界面上以及理想导体表面上电磁场边界条件及其物理意义； （1）导电媒质分界面的边界条件 ★ 导电媒质分界面上不存在传导面电流，但可以有面电荷。 在不同媒质分界面上，电场强度的切向分量、磁场强度的切向分量和磁感应强度的法向分量永远是连续的 （2）理想导体表面的边界条件 ★ 理想导体内部，时变电磁场处处为零。导体表面可以存在时变的面电流和面电荷。
电磁场与电磁波习题及答案
. 1 麦克斯韦方程组的微分形式 是：.D H J t ???=+?u v u u v u v ,B E t ???=-?u v u v ,0B ?=u v g ,D ρ?=u v g 2静电场的基本方程积分形式为： 0C E dl =? u v u u v g ? S D ds ρ =?u v u u v g ? 3理想导体（设为媒质2）与空气（设为媒质1）分界面上，电磁场的边界条件为： 3.00n S n n n S e e e e J ρ??=??=???=???=?D B E H r r r r r r r r r 4线性且各向同性媒质的本构关系方程是： 4.D E ε=u v u v ,B H μ=u v u u v ,J E σ=u v u v 5电流连续性方程的微分形式为： 5. J t ρ??=- ?r g 6电位满足的泊松方程为 2ρ?ε?=- ； 在两种完纯介质分界面上电位满足的边界 。 12??= 1212n n εεεε??=?? 7应用镜像法和其它间接方法解静态场边值问题的理 论依据是: 唯一性定理。 8.电场强度E ?的单位是V/m ，电位移D ? 的单位是C/m2 。 9．静电场的两个基本方程的微分形式为 0E ??= ρ?=g D ； 10.一个直流电流回路除受到另一个直流电流回路的库仑力作用外还将受到安培力作用 1.在分析恒定磁场时，引入矢量磁位A u v ，并令 B A =??u v u v 的依据是（ 0B ?=u v g ） 2. “某处的电位0=?，则该处的电场强度0=E ? ” 的说法是（错误的 ）。 3. 自由空间中的平行双线传输线，导线半径为a , 线间距为D ，则传输线单位长度的电容为（ )ln( 1 a a D C -= πε ）。 4. 点电荷产生的电场强度随距离变化的规律为（1/r2 ）。 5. N 个导体组成的系统的能量∑==N i i i q W 1 21φ，其中i φ是（除i 个导体外的其他导体）产生的电位。 6.为了描述电荷分布在空间流动的状态，定义体积电流密度J ，其国际单位为（a/m2 ） 7. 应用高斯定理求解静电场要求电场具有（对称性）分布。 8. 如果某一点的电场强度为零，则该点电位的（不一定为零 ）。 8. 真空中一个电流元在某点产生的磁感应强度dB 随该点到电流元距离变化的规律为（1/r2 ）。 10. 半径为a 的球形电荷分布产生的电场的能量储存于 （整个空间 ）。 三、海水的电导率为4S/m ，相对介电常数为81，求频率为1MHz 时，位幅与导幅比值？ 三、解：设电场随时间作正弦变化，表示为： cos x m E e E t ω=r r 则位移电流密度为：0sin d x r m D J e E t t ωεεω?==-?r r r 其振幅值为：3 04510.dm r m m J E E ωεε-==? 传导电流的振幅值为：4cm m m J E E σ== 因此： 3112510.dm cm J J -=? 四、自由空间中，有一半径为a 、带电荷量q 的导体球。试求：（1）空间的电场强度分布；（2）导体球的电容。（15分） 四、解：由高斯定理 D S u u v u u v g ?S d q =?得2 4q D r π= 24D e e u u v v v r r q D r π== 空间的电场分布2 04D E e u u v u u v v r q r επε== 导体球的电位 2 0044E l E r e r u u v u u v v u u v g g g r a a a q q U d d d r a πεπε∞∞∞====??? 导体球的电容04q C a U πε==
浙江大学-电磁场与电磁波实验(第二次).doc
本科实验报告 课程名称：电磁场与微波实验 姓名：wzh 学院：信息与电子工程学院 专业：信息工程 学号：xxxxxxxx 指导教师：王子立 选课时间：星期二9-10节 2017年 6月 17日 Copyright As one member of Information Science and Electronic Engineering Institute of Zhejiang University, I sincerely hope this will enable you to acquire more time to do whatever you like instead of struggling on useless homework. All the content you can use as you like. I wish you will have a meaningful journey on your college life. ——W z h 实验报告 课程名称：电磁场与微波实验指导老师：王子立成绩：__________________ 实验名称： CST仿真、喇叭天线辐射特性测量实验类型：仿真和测量 同组学生姓名： 矩形波导馈电角锥喇叭天线CST仿真 一、实验目的和要求 1. 了解矩形波导馈电角锥喇叭天线理论分析与增益理论值基本原理。 2．熟悉 CST 软件的基本使用方法。 3．利用 CST 软件进行矩形波导馈电角锥喇叭天线设计和仿真。 二、实验内容和原理 1. 喇叭天线概述 喇叭天线是一种应用广泛的微波天线,其优点是结构简单、频带宽、功率容量大、调整与使用方便。合理的选择喇叭尺寸,可以取得良好的辐射特性：相当尖锐的主瓣,较小副瓣和较高的增益。因此喇叭天线在军事和民用上应用都非常广泛,是一种常见的测试用天线。喇叭天线的基本形式是把矩形波导和圆波导的开口面逐渐扩展而形成的,由于是波导开口面的逐渐扩大,改善了波导与自由空间的匹配,使得波导中的反射系数小,即波导中传输的绝大部分能量由喇叭辐射出去,反
电磁场与电磁波理论基础自学指导书
电磁场与电磁波理论基础自学指导书 课程简介：电磁场理论是通信技术的理论基础，是通信专业本科学生必须具备的知识结构的重要组成部分之一。使学生掌握电磁场的有关定理、定律、麦克斯韦方程等的物理意义及数学表达式。使学生熟悉一些重要的电磁场问题的数学模型（如波动方程、拉氏方程等）的建立过程以及分析方法。培养学生正确的思维方法和分析问题的能力，使学生对"场"与"路"这两种既密切相关又相距甚远的理论有深刻的认识，并学会用"场"的观点去观察、分析和计算一些简单、典型的场的问题。为以后的学习和工作打下坚实的理论基础。 第一章矢量分析场论初步 1主要内容 本章从矢量分析入手，介绍了标量场和矢量场的基本概念，学习了矢量的通量、散度以及散度定理，矢量的环流、旋度以及斯托克斯定理，标量的梯度，以及上述的物理量在圆柱和球坐标系下的表达形式，最后介绍了亥姆霍兹定理，该定理说明了研究一个矢量场从它的散度和旋度两方面入手。通过本章的学习，使学生掌握场矢量的散度、旋度和标量的梯度的概念和数学计算为以后的电磁场分析打下基础。 2学习要求 深刻理解标量场和矢量场的概念；深刻理解散度、旋度和梯度的概念、物理意义及相关定理； 熟练使用直角坐标、圆柱坐标和球坐标进行矢量的微积分运算； 了解亥姆霍兹定理的内容。 3重点及难点 重点：在直角坐标、圆柱坐标和球坐标中计算矢量场的散度和旋度、标量场的梯度以及矢量的线积分、面积分和体积分。 难点：正确理解和掌握散度、旋度和梯度的概念及定理，可以借助流体的流量和涡旋等自然界中比较具体而形象的相似问题来理解。 4思考题合作业 1.4, 1.8, 1.9, 1.11, 1.14, 1.16, 1.24 第二章静电场 1主要内容 本章我们从点电荷的库仑定律发，推导出静电场的基本方程（微分表达及积分表达），该基本方程第一组与静电场的散度和通量有关（高斯定律），第二组有关静电场的环量和旋度，推导的过程运用了叠加原理。由静电场的基本方程中的环量和旋度的基本方程，我们引入了电位的概念，并给出了电场强度与电位之间的关系以及电位的计算公式。运用静电场的基本方程及电位可以解决静电场中的场源互求问题（已知源求场或已知场求源）。然后介绍了电偶极子的概念，推导了电偶极子的电场强度与电位的表达式。接着介绍了介质的极化，被极化的分子可等效为电偶极子，所以介质极化产生的电位就可以借用电偶极子的相关结论。由极化介质的电位公式我们推导了介质中的高斯定律，在该定律中引入了一个新的量—
电磁场与电磁波例题详解
电磁场与电磁波例题详解
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第1章 矢量分析 例1.1 求标量场z y x -+=2)(φ通过点M (1, 0, 1)的等值面方程。 解：点M 的坐标是1,0,1000===z y x ，则该点的标量场值为 0)(0200=-+=z y x φ。其等值面方程为 ： 0)(2=-+=z y x φ 或 2)(y x z += 例1.2 求矢量场222zy a y x a xy a A z y x ++=的矢量线方程。 解： 矢量线应满足的微分方程为 ： z y dz y x dy xy dx 222== 从而有 ???????==z y dz xy dx y x dy xy dx 2222 解之即得矢量方程???=-=2 2 21c y x x c z ，c 1和c 2是积分常数。 例1.3 求函数xyz z xy -+=22?在点（1，1，2）处沿方向角 3 ,4 ,3 π γπ βπ α= = = 的方向导数。 解：由于 1) 2,1,1(2) 2,1,1(-=-=??==M M yz y x ?, 02) 2,1,1() 2,1,1(=-=??==M M xz xy y ?, 32) 2,1,1() 2,1,1(=-=??==M M xy z z ?, 2 1cos ,22cos ,21cos === γβα 所以
1cos cos cos =??+??+??= ??γ?β?α??z y x l M 例1.4 求函数xyz =?在点)2,1,5(处沿着点)2,1,5(到点)19,4,9(的方向导数。 解：点)2,1,5(到点)19,4,9(的方向矢量为 1734)219()14()59(z y x z y x a a a a a a l ++=-+-+-= 其单位矢量 3147 31433144cos cos cos z y x z y x a a a a a a l ++=++=γβα 5, 10, 2) 2,1,5()2,1,5()2,1,5() 2,1,5() 2,1,5() 2,1,5(==??==??==??xy z xz y yz x ? ?? 所求方向导数 314 123 cos cos cos = ??=??+??+??=?? l z y x l M ?γ?β?α?? 例1.5 已知z y x xy z y x 62332222--++++=?，求在点)0,0,0(和点)1,1,1( 处的梯度。 解：由于)66()24()32(-+-++++=?z a x y a y x a z y x ? 所以 623) 0,0,0(z y x a a a ---=?? ，36) 1,1,1(y x a a +=?? 例1.6 运用散度定理计算下列积分： ??++-+=S z y x S d z y xy a z y x a xz a I )]2()([2322 S 是0=z 和2 2 22y x a z --=所围成的半球区域的外表面。 解：设：)2()(2322z y xy a z y x a xz a A z y x ++-+= 则由散度定理???=??τ τs S d A d A 可得
电磁场与电磁波点电荷模拟实验报告
重庆大学 电磁场与电磁波课程实践报告 题目：点电荷电场模拟实验 日期：2013 年12 月7 日 N=28
《电磁场与电磁波》课程实践 点电荷电场模拟实验 1.实验背景 电磁场与电磁波课程内容理论性强，概念抽象，较难理解。在电磁场教学中，各种点电荷的电场线成平面分布，等势面通常用等势线来表示。MATLAB 是一种广泛应用于工程、科研等计算和数值分析领域的高级计算机语言，以矩阵作为数据操作的基本单位，提供十分丰富的数值计算函数、符号计算功能和强大的绘图能力。为了更好地理解电场强度的概念，更直观更形象地理解电力线和等势线的物理意义，本实验将应用MATLAB 对点电荷的电场线和等势线进行模拟实验。 2.实验目的 应用MATLAB 模拟点电荷的电场线和等势线 3.实验原理 根据电磁场理论，若电荷在空间激发的电势分布为V ，则电场强度等于电势梯度的负值，即： E V =-? 真空中若以无穷远为电势零点，则在两个点电荷的电场中，空间的电势分布为： 1 212010244q q V V V R R πεπε=+=+ 本实验中，为便于数值计算，电势可取为
1212 q q V R R =+ 4.实验内容 应用MATLAB 计算并绘出以下电场线和等势线，其中q 1位于(-1,0,0)，q 2位于(1,0,0)，n 为个人在班级里的序号： (1) 电偶极子的电场线和等势线（等量异号点电荷对q 2:q 1 = 1，q 2为负电荷）； (2) 两个不等量异号电荷的电场线和等势线（q 2:q 1 = 1 + n /2，q 2为负电荷）； (3) 两个等量同号电荷的电场线和等势线； (4) 两个不等量同号电荷的电场线和等势线（q 2:q 1 = 1 + n /2）； (5) 三个电荷，q 1、q 2为(1)中的电偶极子，q 3为位于(0,0,0)的单位正电荷。、 n=28 （1） 电偶极子的电场线和等势线（等量异号点电荷对q 2:q 1 = 1，q 2为负电荷）； 程序1： clear all q=1; xm=2.5; ym=2; x=linspace(-xm,xm); y=linspace(-ym,ym); [X,Y]=meshgrid(x,y); R1=sqrt((X+1).^2+Y.^2); R2=sqrt((X-1).^2+Y.^2); U=1./R1-q./R2; u=-4:0.5:4; figure contour(X,Y,U,u,'--'); hold on plot(-1,0,'o','MarkerSize',12); plot(1,0,'o','MarkerSize',12); [Ex,Ey]=gradient(-U,x(2)-x(1),y(2)-y(1));
《电磁场与电磁波》经典例题
一、选择题 1、以下关于时变电磁场的叙述中，正确的是（ ） A 、电场是无旋场 B 、电场和磁场相互激发 C 、电场与磁场无关 2、区域V 全部用非导电媒质填充，当此区域中的电磁场能量减少时，一定是（ ） A 、能量流出了区域 B 、能量在区域中被消耗 C 、电磁场做了功 D 、同时选择A 、C 3、两个载流线圈之间存在互感，对互感没有影响的的是（ ） A 、线圈的尺寸 B 、两个线圈的相对位置 C 、线圈上的电流 D 、空间介质 4、导电介质中的恒定电场E 满足（ ） A 、0??=E B 、0??=E C 、??=E J 5、用镜像法求解电场边值问题时，判断镜像电荷的选取是否正确的根据是（ ） A 、镜像电荷是否对称 B 、电位方程和边界条件不改变 C 、同时选择A 和B 6、在静电场中，电场强度表达式为3(32)()y x z cy ε=+--+x y z E e e e ，试确定常数 ε的值是（ ） A 、ε=2 B 、ε=3 C 、ε=4 7、若矢量A 为磁感应强度B 的磁矢位，则下列表达式正确的是（ ） A 、=?B A B 、=??B A C 、=??B A D 、2=?B A 8、空气（介电常数10εε=）与电介质（介电常数204εε=）的分界面是0z =平面， 若已知空气中的电场强度124= +x z E e e 。则电介质中的电场强度应为（ ） A 、1216=+x z E e e B 、184=+x z E e e C 、12=+x z E e e 9、理想介质中的均匀平面波解是（ ） A 、TM 波 B 、TEM 波 C 、TE 波 10、以下关于导电媒质中传播的电磁波的叙述中，正确的是（ ） A 、不再是平面波 B 、电场和磁场不同相 C 、振幅不变 D 、以T E 波的形式传播 二、填空 1、一个半径为α的导体球作为电极深埋地下，土壤的电导率为 σ，略去地面的影响，则电极的接地电阻R = 2、 内外半径分别为a 、b 的无限长空心圆柱中均匀的分布着轴向电流I ，设空间离轴距离为()r r a <的某点处，B= 3、 自由空间中，某移动天线发射的电磁波的磁场强度
《电磁场与电磁波》 习题解答选
《电磁场与电磁波》（陈抗生）习题解答 第一章 引言——波与矢量分析 1．1 . ,,/)102102cos(102 6300p y v k f E m V x t y y E E 相速度相位常数度，频率波的传播方向，波的幅的方向，，求矢量设 解：m /V )x 102t 102cos(10y y E z E y E x E E 26300y 0z 0y 0 x 矢量E 的方向是沿Y 轴方向，波的传播方向是-x 方向； 波的幅度 m /V 10E E 3y 。 s /m 10102102k V ;102k ; MHZ 1HZ 1021022f 82 6 P 2 66 1．2 写出下列时谐变量的复数表示（如果可能的话） ) 6 sin()3 sin()()6(cos 1)()5() 2 120cos(6)()4(cos 2sin 3)()3(sin 8)()2() 4 cos(6)()1( t t t U t t D t t C t t t A t t I t t V （1）解： 4/)z (v j 23234 sin j 64cos 6e 6V 4 j （2）解：)2 t cos(8) t (I 2 )z (v j 8e 8I j 2
（3）解：） t cos 13 2t sin 13 3( 13)t (A j 32e 13A 2)z () 2t cos(13)t (A 13 3 cos ) 2 (j v 则则令 （4）解：)2 t 120cos(6) t (C j 6e 6C 2 j (5)(6)两个分量频率不同，不可用复数表示 1．3由以下复数写出相应的时谐变量] ) 8.0exp(4)2 exp(3)3() 8.0exp(4)2(1)1(j j C j C j C （1）解： t sin t cos j t sin j t cos )t sin j t )(cos j 1(e )j 1(t j t sin t cos )Ce (RE )t (C t j （2）解：)8.0t cos(4)e e 4(RE )Ce (RE ) t (C t j 8.0j t j （3）解：)8.0t (j ) 2t (j t j 8 .0j j t j e 4e 3e )e 4e 3(Ce 2 得：)t cos(3)8.0t cos(4)8.0t cos(4)2 t cos(3)Ce (RE )t (C t j 1．4 ] Re[, )21(,)21(000000 B A B A B A B A z j y j x B z j y j x A ，，，求：假定 解：1B A B A B A B A z z y y x x
电磁场与电磁波实验实验六布拉格衍射实验
邮电大学 电磁场与微波测量实验报告
实验六布拉格衍射实验 一、实验目的 1、观察微波通过晶体模型的衍射现象。 2、验证电磁波的布拉格方程。 二、实验设备与仪器 DH926B型微波分光仪，喇叭天线，DH1121B型三厘米固态信号源，计算机 三、实验原理 1、晶体结构与密勒指数 固体物质可分成晶体和非晶体两类。任何的真实晶体，都具有自然外形和各向异性的性质，这和晶体的离子、原子或分子在空间按一定的几何规律排列密切相关。 晶体的离子、原子或分子占据着点阵的结构，两相邻结点的距离叫晶体的晶 10ｍ，与X射线的波长数量级相当。因此，格常数。晶体格点距离的数量级是-8 对X射线来说，晶体实际上是起着衍射光栅的作用，因此可以利用X射线在晶体点阵上的衍射现象来研究晶体点阵的间距和相互位置的排列，以达到对晶体结构的了解。 图4.1 立方晶格最简单的晶格是立方体结构。 如图6.1这种晶格只要用一个边长为ａ的正立方体沿3个直角坐标轴方向重复即可得到整个空间点阵，ａ就称做点阵常数。通过任一格点，可以画出全同的晶面和某一晶面平行，构成一组晶面，所有的格点都在一族平行的晶面上而无遗漏。这样一族晶面不仅平行，而且等距，各晶面上格点分布情况相同。
为了区分晶体中无限多族的平行晶面的方位，人们采用密勒指数标记法。先找出晶面在ｘ、ｙ、ｚ3个坐标轴上以点阵常量为单位的截距值，再取3截距值的倒数比化为最小整数比（ｈ∶ｋ∶ｌ），这个晶面的密勒指数就是（ｈｋｌ）。当然与该面平行的平面密勒指数也是（ｈｋｌ）。利用密勒指数可以很方便地求出一族平行晶面的间距。对于立方晶格，密勒指数为（ｈｋｌ）的晶面族，其面 间距 hkl d可按下式计算：2 2 2l k h a d hkl + + = 图6.2立方晶格在ｘ—ｙ平面上的投影 如图6.2，实线表示（100）面与ｘ—ｙ平面的交线，虚线与点画线分别表示（110）面和（120）面与ｘ—ｙ平面的交线。由图不难看出 2、微波布拉格衍射 根据用X射线在晶体原子平面族的反射来解释X射线衍射效应的理论，如有一单色平行于X射线束以掠射角θ入射于晶格点阵中的某平面族，例如图4.2所示之（100）晶面族产生反射，相邻平面间的波程差为 θ sin 2 100 d QR PQ= +（6.1） 式（6.1）中 100 d是（100）平面族的面间距。若程差是波长的整数倍，则二反射波有相长干涉，即因满足
《电磁场与电磁波》习题参考答案
《电磁场与电磁波》知识点及参考答案 第1章 矢量分析 1、如果矢量场F 的散度处处为0，即0F ??≡，则矢量场是无散场，由旋涡源所 产生，通过任何闭合曲面S 的通量等于0。 2、如果矢量场F 的旋度处处为0，即0F ??≡，则矢量场是无旋场，由散度源所 产生，沿任何闭合路径C 的环流等于0。 3、矢量分析中的两个重要定理分别是散度定理（高斯定理）和斯托克斯定理, 它们的表达式分别是： 散度（高斯）定理：S V FdV F dS ??=?? ?和 斯托克斯定理： s C F dS F dl ???=??? 。 4、在有限空间V 中，矢量场的性质由其散度、旋度和V 边界上所满足的条件唯一的确定。（ √ ） 5、描绘物理状态空间分布的标量函数和矢量函数，在时间为一定值的情况下，它们是唯一的。（ √ ） 6、标量场的梯度运算和矢量场的旋度运算都是矢量。（ √ ） 7、梯度的方向是等值面的切线方向。（ × ） 8、标量场梯度的旋度恒等于0。（ √ ） 9、习题, 。
第2章 电磁场的基本规律 （电场部分） 1、静止电荷所产生的电场，称之为静电场；电场强度的方向与正电荷在电场中受力的方向相同。 2、在国际单位制中，电场强度的单位是V/m(伏特/米)。 3、静电系统在真空中的基本方程的积分形式是： V V s D dS dV Q ρ?==? ?和 0l E dl ?=?。 4、静电系统在真空中的基本方程的微分形式是：V D ρ??=和0E ??=。 5、电荷之间的相互作用力是通过电场发生的，电流与电流之间的相互作用力是通过磁场发生的。 6、在两种媒质分界面的两侧，电场→ E 的切向分量E 1t －E 2t ＝0；而磁场→ B 的法向分量 B 1n －B 2n ＝0。 7、在介电常数为 的均匀各向同性介质中，电位函数为 22 11522 x y z ?= +-,则电场强度E =5x y z xe ye e --+。 8、静电平衡状态下，导体内部电场强度、磁场强度等于零，导体表面为等位面；在导体表面只有电场的法向分量。 9、电荷只能在分子或原子范围内作微小位移的物质称为( D )。 A.导体 B.固体 C.液体 D.电介质 10、相同的场源条件下，真空中的电场强度是电介质中的( C )倍。 A.ε0εr B. 1/ε0εr C. εr D. 1/εr 11、导体电容的大小( C )。 A.与导体的电势有关 B.与导体所带电荷有关 C.与导体的电势无关 D.与导体间电位差有关 12、z ＞0半空间中为ε=2ε0的电介质，z ＜0半空间中为空气，在介质表面无自由电荷分布。
电磁场与电磁波实验报告电磁波反射和折射实验
电磁场与微波测量实验报告 学院： 班级： 组员： 撰写人： 学号： 序号：
实验一电磁波反射和折射实验 一、实验目的 1、熟悉S426型分光仪的使用方法 2、掌握分光仪验证电磁波反射定律的方法 3、掌握分光仪验证电磁波折射定律的方法 二、实验设备与仪器 S426型分光仪 三、实验原理 电磁波在传播过程中如遇到障碍物，必定要发生反射，本处以一块大的金属板作为障碍物来研究当电磁波以某一入射角投射到此金属板上所遵循的反射定律，即反射线在入射线和通过入射点的法线所决定的平面上，反射线和入射线分居在法线两侧，反射角等于入射角。 四、实验内容与步骤 1、熟悉分光仪的结构和调整方法。 2、连接仪器，调整系统。 仪器连接时，两喇叭口面应相互正对，它们各自的轴线应在一条直线上，指示 两喇叭的位置的指针分别指于工作平台的90刻度处，将支座放在工作平台上， 并利用平台上的定位销和刻线对正支座，拉起平台上的四个压紧螺钉旋转一个 角度后放下，即可压紧支座。 3、测量入射角和反射角 反射金属板放到支座上时，应使金属板平面与支座下面的小圆盘上的某一对刻 线一致。而把带支座的金属反射板放到小平台上时，应使圆盘上的这对与金属 板平面一致的刻线与小平台上相应90度的一对刻线一致。这是小平台上的0刻 度就与金属板的法线方向一致。 转动小平台，使固定臂指针指在某一角度处，这角度读书就是入射角， 五、实验结果及分析 记录实验测得数据，验证电磁波的反射定律 表格分析： （1）、从总体上看，入射角与反射角相差较小，可以近似认为相等，验证了电磁波的反射定律。 （2）、由于仪器产生的系统误差无法避免，并且在测量的时候产生的随机误差，所以入射角
电磁场与电磁波理论(第二版)(徐立勤,曹伟)第2章习题解答
第2章习题解答 2.2已知半径为a 、长为l 的圆柱体内分布着轴对称的体电荷，已知其电荷密度()0V a ρρρρ =， ()0a ρ≤≤。试求总电量Q 。 解：2π20000 2d d d d π3 l a V V Q V z la a ρρ ρρρ?ρ= ==? ? ?? 2.3 半径为0R 的球面上均匀分布着电荷，总电量为Q 。当球以角速度ω绕某一直径(z 轴)旋转时，试求 其表面上的面电流密度。 解：面电荷密度为 2 04πS Q R ρ= 面电流密度为 002 00 sin sin sin 4π4πS S S Q Q J v R R R R ωθ ρρωθωθ=?== = 2.4 均匀密绕的螺旋管可等效为圆柱形面电流0S S J e J ?=。已知导线的直径为d ，导线中的电流为0I ，试 求0S J 。 解：每根导线的体电流密度为 00 22 4π(/2)πI I J d d = = 由于导线是均匀密绕，则根据定义面电流密度为 04πS I J Jd d == 因此，等效面电流密度为 04πS I J e d ?= 2.6 两个带电量分别为0q 和02q 的点电荷相距为d ，另有一带电量为0q 的点电荷位于其间。为使中间的 点电荷处于平衡状态，试求其位置。当中间的点电荷带电量为-0q 时，结果又如何？ 解：设实验电荷0q 离02q 为x ，那么离0q 为x d -。由库仑定律，实验电荷受02q 的排斥力为 12 214πq F x ε= 实验电荷受0q 的排斥力为 022 1 4π()q F d x ε= - 要使实验电荷保持平衡，即21F F =，那么由0022 211 4π4π() q q x d x εε=-，可以解得 d d x 585.01 22=+= 如果实验电荷为0q -，那么平衡位置仍然为d d x 585.01 22=+=。只是这时实验电荷与0q 和02q 不 是排斥力，而是吸引力。 2.7 边长为a 的正方形的三个顶点上各放置带电量为0q 的点电荷，试求第四个顶点上的电场强度E 。 解：设点电荷的位置分别为()00,0,0q ，()0,0,0q a 和()00,,0q a ，由库仑定律可得点(),,0P a a 处的电 场为 ( ) ( 00 2 22 00001114π4π4π221x y y x x y q q q E e e e e a a q e e εεε? =+++ ?+=+
电磁场与电磁波复习题(含答案)
电磁场与电磁波复习题 一、填空题 1、矢量的通量物理含义是矢量穿过曲面的矢量线总数，散度的物理意义矢量场中任意一点处通量对体积的变化率。散度与通量的关系是矢量场中任意一点处通量对体积的变化率。 2、 散度 在直角坐标系的表达式 z A y A x A z y x A A ?? ????++=??= div ； 散度在圆柱坐 标系下的表达 ； 3、矢量函数的环量定义矢量A 沿空间有向闭合曲线C 的线积分， 旋度的定义 过点P 作一微小曲面S,它的边界曲线记为L,面的法线方与曲线绕向成右手螺旋法则。当S 点P 时,存在极限环量密度。 二者的关系 n dS dC e A ?=rot ； 旋度的物理意义点P 的旋度的大小是该点环量密度的最大值；点P 的旋度的方向是该点最 大环量密度的方向。
4.矢量的旋度在直角坐标系下的表达式 。 5、梯度的物理意义标量场的梯度是一个矢量,是空间坐标点的函数。 梯度的大小为该点标量函数?的最大变化率，即该点最 大方向导数;梯度的方向为该点最大方向导数的方向,即与等值线（面）相垂直的方向，它指向函数的增加方向等值面、方向导数与梯度的关系是梯度的大小为该点标量函数?的最大变化率，即该点最 大方向导数;梯度的方向为该点最大方向导数的方向,即与等值线（面）相垂直的方向，它指向函数的增加方向.； 6、用方向余弦cos ,cos ,cos αβγ写出直角坐标系中单位矢量l e 的表达 式 ； 7、直角坐标系下方向导数 u l ??的数学表达式是cos cos cos l αβγ????????ｕｕｕｕ＝＋＋ｘｙｚ ，梯度的表达式x y z G e e e grad x y z φφφφφ???=++=?=???； 8、亥姆霍兹定理的表述在有限区域内，矢量场由它的散度、旋度及边界条件唯一地确定，说明的问题是矢量场的散度应满足的关系及旋度应满足的关系决定了矢量场的基本性质。
电磁场与电磁波(第三章)
第3章习题 习题3.3 解： （1） 由?-?=E 可得到 a <ρ时， 0=-?=?E a >ρ时， φρφρ?φρsin 1cos 12222??? ? ??-+???? ??+-=-?=a A e a A e E （2） 圆柱体为等位体且等于0，所以为导体制成，其电荷面密度为 φεεερρρρcos 2000A E e E e a a n s -=?=?=== 习题3.5 证： 根据高斯定律q S d D S =?? ，得 0R r <时。ρππ344312 r D r =，则0 01113,3εερεερr r r D E r D === 0R r >时。ρππ3443022 R D r =，则203002 223023,3r R D E r R D ερερ=== 则中心点的电位为 20 0200 203 020 13633)0(0 ερεερερεερ?R R dr r R dr r dr E dr E r R R R r R += +=+=?? ??∞ ∞ 习题3.8
解： 根据高斯定律q S d D S =?? ，得同轴线内、外导体间的电场强度为 περ ρ2)(l q E = 内、外导体间的电压为 a b q d q Ed U l b a b a l ln 22περπερ ρ= ==?? 则同轴线单位长度的电容为 ) /ln(2a b U q U Q C l πε = == 则同轴线单位长度的静电储能为 )/ln(422212122 2 a b q d q dV E W l b a l V e περπρπερεε=??? ? ??==?? 习题3.11 解： （1） 设同轴电缆中单位长度的径向电流为I ，电流密度 )(2c a I e J <<=ρπρ ρ 介质中的电场 )(21 1 1b a I e J E <<==ρπρσσρ )(22 2 2c b I e J E <<==ρπρσσρ 而 ? ?+= ?+?=b a b a b c I a b I d E d E U ln 2ln 221 210πσπσρρ ) /ln()/ln(2120 21b c a b U I σσσπσ+=
《电磁场与电磁波》仿真实验
《电磁场与电磁波》仿真实验 2016年11月 《电磁场与电磁波》仿真实验介绍 《电磁场与电磁波》课程属于电子信息工程专业基础课之一，仿真实验主要目的在于使学生更加深刻的理解电磁场理论的基本数学分析过程，通过仿真环节将课程中所学习到的理论加以应用。受目前实验室设备条件的限制，目前主要利用 MATLAB 仿真软件进行，通过仿真将理论分析与实际编程仿真相结合，以理论指导实践，提高学生的分析问题、解决问题等能力以及通过有目的的选择完成实验或示教项目，使学生进一步巩固理论基本知识，建立电磁场与电磁波理论完整的概念。 本课程仿真实验包含五个内容： 一、电磁场仿真软件——Matlab的使用入门 二、单电荷的场分布 三、点电荷电场线的图像 四、线电荷产生的电位 五、有限差分法处理电磁场问题 目录 一、电磁场仿真软件——Matlab的使用入门……………............................................... .4 二、单电荷的场分
布 (10) 三、点电荷电场线的图像 (12) 四、线电荷产生的电位 (14) 五、有限差分法处理电磁场问题 (17) 实验一电磁场仿真软件——Matlab的使用入门 一、实验目的 1. 掌握Matlab仿真的基本流程与步骤； 2. 掌握Matlab中帮助命令的使用。 二、实验原理 （一）MATLAB运算 1.算术运算 (1)．基本算术运算 MATLAB的基本算术运算有：＋(加)、－(减)、*(乘)、/(右除)、\(左除)、 ^(乘方)。
注意，运算是在矩阵意义下进行的，单个数据的算术运算只是 一种特例。 (2)．点运算 在MATLAB中，有一种特殊的运算，因为其运算符是在有关算术运算符前面加点，所以叫点运算。点运算符有.*、./、.\和.^。两矩阵进行点运算是指它们的对应元素进行相关运算，要求两矩阵的维参数相同。 例1：用简短命令计算并绘制在0≤x≦6范围内的sin(2x)、sinx2、sin2x。 程序：x=linspace(0,6) y1=sin(2*x),y2=sin(x.^2),y3=(sin(x)).^2; plot(x,y1,x, y2,x, y3) （二）几个绘图命令 1. doc命令：显示在线帮助主题 调用格式：doc 函数名 例如：doc plot，则调用在线帮助，显示plot函数的使用方法。 2. plot函数：用来绘制线形图形 plot(y),当y是实向量时，以该向量元素的下标为横坐标，元素值为纵坐标画出一条连续曲线，这实际上是绘制折线图。 plot(x,y),其中x和y为长度相同的向量，分别用于存储x坐标和y 坐标数据。 plot(x,y,s)
电磁场与电磁波理论(第二版)(徐立勤,曹伟)第1章习题解答
第1章习题解答 1.4 计算下列标量场u 的梯度u ? ： （1）234u x y z =； （2）u xy yz zx =++； （3）222323u x y z =-+。 解：（1） 34224233234x y z x y z u u u u e e e e xy z e x y z e x y z x y z ????=++=++??? （2）()()()x y z x y z u u u u e e e e y z e x z e y x x y z ????=++=+++++??? （3）646x y z x y z u u u u e e e e x e y e z x y z ????=++=-+??? 1.6 设()22,,1f x y z x y y z =++。试求在点()2,1,3A 处f 的方向导数最大的方向的单位矢量及其方向导 数。方向导数最小值是多少？它在什么方向？ 解： ()2222x y z x y z f f f f e e e e xy e x yz e y x y z ????=++=+++??? 因为410x y z x y z A f f f f e e e e e e x y z ????=++=++??? 所以 ( max 410l x y z f e e e e l ?==++? ( min 410l x y z f e e e e l ?==-++? 1.10 求下列矢量场在给定点的散度值： （1）()x y z A xyz e x e y e z =++ 在()1,3,2M 处； （2）242x y z A e x e xy e z =++ 在()1,1,3M 处； （3）())1222x y z A e x e y e z x y z =++++ 在()1,1,1M 处。 解：（1） 222636y x z M A A A A xyz xyz xyz xyz A x y z ?????=++=++=??=??? （2）42212y x z M A A A A x z A x y z ?????= ++=++??=??? （3）y x z A A A A x y z ?????=++ ??? ( )( )( ) 2222 2222 2222 3 3 3 x y z x x y z y x y z z ++-++-++ -= + + = M A ??=
电磁场与电磁波习题集
电磁场与电磁波 补充习题 1 若z y x a a a A -+=23，z y x a a a B 32+-=,求： 1 B A +；2 B A ?；3 B A ?；4 A 和B 所构成平面的单位法线；5 A 和B 之间较 小的夹角；6 B 在A 上的标投影和矢投影 2 证明矢量场z y x a xy a xz a yz E ++=是无散的，也是无旋的。 3 若z y x f 23=，求f ?，求在)5,3,2(P 的f 2?。 5 假设0