新北师大版,数学八下易错题(含答案),精品系列
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第一章 三角形的证明
1.已知等腰三角形的两边长分别为5㎝、2㎝，则该等腰三角形的周长是（D ） A ．7㎝ B ．9㎝ C ．12㎝或者9㎝ D ．12㎝
考查知识点：三角形的基本知识及等腰三角形边的关系：任意两边之和大于第三边，等腰三角形两腰相等，
因此只能是：5cm ，5cm,2cm.
2.一个等腰三角形的一个角是40°，则它的底角是（D ） A ．40° B ．50° C ．60° D ．40°或70° 考查知识点：三角形的内角和及等腰三角形两底角相等：①当40°是顶角时，底角就是70°；②40°就是一个底角.
3.已知△ABC 的三边长分别是6cm 、8cm 、10cm ，则最长边上的高是（D ）
A.2.4cm
B.3cm
C.4cm
D. 4.8cm
提示：设最长边上的高为h,由题意可得△ABC 是直角三角形，利用面积相等求，即
h .10.2
1
8.6.21 解得h=4.8
4.等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为300
，腰长为6，则其底边上的高是3或33.
解：①三角形是钝角三角形时，如图1，∵∠ABD=30° ∴AD=
21AB=2
1
×6=3， ∵AB=AC ， ∴∠ABC=∠ACB=
21∠BAD=2
1
(90°-30°)=30°， ∴∠ABD=∠ABC ，
∴底边上的高AE=AD=3；
②三角形是锐角三角形时，如图2，∵∠ABD=30° ∴∠A=90°-30°=60°， ∴△ABC 是等边三角形， ∴底边上的高为
2
3
×6=33 综上所述，底边上的高是3或33
5.到三角形三个顶点的距离相等的点是三角形（B ）的交点.
A.三个内角平分线
B.三边垂直平分线
C.三条中线
D.三条高
考查的知识点：三角形三边垂直平分线的交点到到三角形三个顶点的距离相等【归纳为：点
到点距离相等，为垂直平分线上的点】还有一个：三角形三个内角平分线的交点到三角形三边的距离相等【归纳为：点到线的距离相等，为角平分线的交点，此时的距离有“垂直”】 6.如图，在△ABC 中，AB=5，AC=3，BC 的垂直平分线交AB 于D ，交BC 于E ，则△ADC 的周长等于8
考查的知识点：垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等
7. 用反证法证明：一个三角形中至少有一个内角小于或等于60°.
答案：已知：△ABC , 求证：△ABC 中至少有一个内角小于或等于60° 证明：假设△ABC 中没有一个内角小于或等于60°，即每一内角都大于60° 则∠A>60°,∠B>60°,∠C>60°∴∠A+∠B+∠C>60°+60°+60°=180° 即∠A+∠B+∠C>180°，这与三角形的内角和为180度矛盾．假设不成立． ∴△ABC 中至少有一个内角小于或等于60°
考查知识：反证法，用反证法进行证明时先写出已知、求证，再假设求证的反面成立，推出与题设、定理等相矛盾的结论，从而肯定原结论成立【注意：反证法一般很少用到，除非是题目要求用反证法证明，否则一般不考虑该方法】 8. 如图所示，∠AOB=30°，OC 平分∠AOB，P 为OC 上任意一点，PD∥OA 交OB 于点D ，PE⊥OA 于点E ，若PE=2cm ，则PD=_________cm ．
解：过点P 作PF ⊥OB 于F ， ∵∠AOB=30°，OC 平分∠AOB ， ∴∠AOC=∠BOC=15°， ∵PD ∥OA ，
∴∠DPO=∠AOP=15°， ∴∠DPO=∠AOP=15°， ∴∠BOC=∠DPO ， ∴PD=OD=4cm ，
∵∠AOB=30°，PD ∥OA ， ∴∠BDP=30°， ∴在Rt △PDF 中，PF=
2
1
PD=2cm ， ∵OC 为角平分线，PE ⊥OA ，PF ⊥OB, ∴PE=PF ，∴PE=PF=2cm
9.如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线交于点E，过点E作MN∥BC交AB于M，交AC 于N，若BM+CN=9，则线段MN的长为（） A.6 B.7 C.8 D.9
解：∵∠ABC、∠ACB的平分线相交于点E，
∴∠MBE=∠EBC，∠ECN=∠ECB，
∵MN∥BC，
∴∠EBC=∠EBC，∠ECN=∠ECB，
∴BM=ME，EN=CN，
∴MN=BM+CN，
∵BM+CN=9，
∴MN=9
A. B. C. D.
为
2
3.
解：延长CF 交AB 于点G ， ∵AE 平分∠BAC ， ∴∠GAF=∠CAF ， ∵AF 垂直CG ， ∴∠AFG=∠AFC ， 在△AFG 和△AFC 中，
∴△AFG ≌△AFC （ASA ） ∴AC=AG ，GF=CF ， 又∵点D 是BC 的中点， ∴DF 是△CBG 的中位线， ∴DF=
21BG=21（AB-AG ）=21（AB-AC ）=2
3
点评：本题考查了三角形的中位线定理，解答本题的关键是作出辅助线，一般出现既是角平分线又是高的情况，我们就需要寻找等腰三角形．
14.如图，在△ABC 中，AD 为∠BAC 的平分线，FE 垂直平分AD ，交AD 于E ，交BC 的延长线于F.
求证：∠CAF=∠B.
解：∠B=∠CAF. ∵FE 垂直平分AD ， ∴FA=FD ， ∴∠FAD=∠ADF
∵AD 为∠BAC 的平分线， ∴∠CAD=∠BAD
又∵∠CAF=∠FAD=∠CAD ，∠B=∠ADF-∠BAD ， ∴∠B=∠CAF
点评：此题考查了线段垂直平分线的性质、角平分线的定义及三角形的外角等知识点. 15.如图，OA 、OB 表示两条相交的公路，点M 、N 是两个工厂，现在要在∠AOB 内建立一个货物中转站P ，使中转站到公路OA 、OB 的距离相等，并且到工厂M 、N 的距离也相等，用尺规作出货物中转站P 的位置．
解：①作∠AOB 的角平分线；
②连接MN ，作MN 的垂直平分线，交OM 于一点，交点就是所求货物中转站的位置．
16. 如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，交CB于点D，过点D作DE⊥AB于点E．（1）求证：△ACD≌△AED；
（2）若∠B=30°，CD=1，求BD的长．
(1)证明：∵AD平分∠CAB
∴∠CAD=∠EAD
∵DE⊥AB，∠C=90°，
∴∠ACD=∠AED=90°
又∵AD=AD，
∴△ACD≌△AED
（2）解：∵△ACD≌△AED
∴DE=CD=1
∵∠B=30°，∠DEB=90°，
∴BD=2DE=2
17.如图，△ABC中，AB=BC，BE⊥AC于点E，AD⊥BC于点D，∠BAD=45°，AD与BE交于点F，连接CF．
（1）求证：BF=2AE；
（2）若CD=，求AD的长．
（1）证明：
∵AD⊥BC，∠BAD=45°
∴∠ABD=∠45°=∠BAD
∴AD=BD
∵BE⊥AC
∴∠CAD+∠AFE=90°
∵AD⊥BC
∴∠FBD=∠BFD=90°
又∠AFE=∠BFD
∴∠CAD=∠FBD
又∠ADC=∠BDF=90°
∴△ADC≌△BDF
∴AC=BF
∵AB=BC，BE⊥AC
∴AC=2AE
∴BF=2AE
(2)解：设AD=x，则BD=x
∴AB=BC=2+x
∵△ABD是等腰直角三角形
∴AB=2AD
∴2+x=2x
解得x=2+2
即AD=2+2
18.如图，已知△ABC是等边三角形，D、E分别在BA、BC的延长线上，且AD=BE.
求证：DC=DE
证明：
延长BE至F，使EF=BC
∵△ABC是等边三角形
∴∠B=60°，AB=BC
∴AB=BC=EF
∵AD=BE，BD=AB+AD, BF=BE+EF
∴BD=BF
∴△BDF是等边三角形
∴∠F=60°，BD=FD
在△BCD和△FED中，
BC=EF
∠B=∠F=60°
BD=FD
∴△BCD≌△FED（SAS）
∴DC=DE
19.如图，在△ABC 中，AC=BC ，∠ACB=90°，D 是AC 上一点，AE ⊥BD 交BD 的延长线于E ，且AE=
2
1
BD ，求证：BD 是∠ABC 的角平分线.
证明：
延长AE 、BC 交于点F ∵AE ⊥BE
∴∠BEF=90°，又∠ACF=∠ACB=90° ∴∠DBC+∠AFC=∠FAC+∠AFC=90° ∴∠DBC=∠FAC 在△ACF 和△BCD 中
∴△ACF ≌△BCD （ASA ） ∴AF=BD 又AE=
2
1BD ∴AE=EF,即点E 是AF 的中点 ∴AB=BF
∴BD 是∠ABC 的角平分线
20.如图，在△ABC 中，分别以AC 、AB 为边，向外作正△ACD ，正△ABE ，BD 与AE 相交于F ，连接AF ，求证：AF 平分∠DME
证明：
过点A 分别作AM ⊥BD,AN ⊥CE,分别交BD ，CE 于M ，N 两点 ∵△ABE 和△ACD 均为等边三角形， ∴∠EAB=∠CAD=60°，AD=AC ，AB=AE ∵∠EAC=∠BAD=60°+∠BAC ， ∴△EAC ≌△BAD ， ∴ AM BD S AN CE S BAD EAC .2
1
.21===
V V CE=BD ∴AN=AM
∴AF 平分∠DME （在角的内部到角两边距离相等的点在该角的平分线上）
21.如图，已知：AB=AC ，∠A=90°，AF=BE,BD=DC.求证：FD ⊥ED.
证明：连接AD. ∵∠A=90° AB=AC D 是BC 的中点 ∴AD ⊥BC ∠ADB=90° ∠B=45°=∠CAD AD=BD （直角三角形中，中线等于斜边的一半）且BE=AF
∴易证△BED ≌△AFD （SAS ）
∴∠BDE=∠ADF ∵∠ADE+∠EDB=∠ADB=90° ∴∠ADF+∠ADE=90° ∴ED ⊥FD
如图，在Rt △ABC 中，D ，E 为斜边AB 上的两点，且BD=BC ，AE=AC ，则∠DCE 的大小为_____°.
如图，在等腰△ABC 中，AB=AC ，∠BAC=50°，∠BAC 的平分线与AB 的中垂线交于点O ，点C 沿EF 折叠后与点O 重合，则∠OEC 的度数是_____.
第二章 不等式(组)
足题意就不取】 【自己做】（1）已知关于x 的方程3k －5x ＝－9的解是非负数，求k 的取值范围.
(2) 已知关于x 的不等式（1-a ）x ＞2的解集为x ＜a
-12
，则a 的取值范围是a ＞1. 提示：利用不等式的基本性质三：a-1＜0 （3）如果不等式组??
?<+>-0
b x a x 的解集是3 提示：解得不等式组的解集为：a ?> x x 8 无解,那么m 的取值范围是 （B ） A ．m ＞8 B.m ≥8 C.m ＜8 D.m ≤8 提示：不等式组无解的条件是：比大的还大，比小的还小；∴m ≥8【“=”一定要考虑，这个题取“=”就满足题意】 (5)如果不等式组? ? ?>-<+m x x x 148的解集是3>x ，则m 的取值范围是(A )． A ．m≤3 B ． m≥3 C ．m=3 D ．m ＜3 提示：不等式组解集：同大取大；解不等式组得 而该不等式组的解集是3>x ，∴m≤3【“=”一定要考虑，这个题取“=”就满足题意】 (6)关于x 的不等式组()?? ?? ?->-+--<-325251263x x a x x 有三个整数解，则a 的取值范围是65-＜a ≤32 -． 解：解该不等式组得 ∵有三个整数解 ∴2＜x ＜6a+10 ∴三个整数解应该是3,4,5 ∴5＜6a+10≤6 解得65- ＜a ≤3 2 - 【自己解答】(7) 若方程组?? ?+=++=+3 654, 2m y x m y x 的解x ，y 均为正数，求m 的取值范围. 提示：先将m 当作已知数，将x 、y 用含m 的式子表示出来，然后利用x ，y 均为正数，列出含m 的不等式组，解出m 的取值范围 【自己解】2.解不等式（组）【 】 （1）解不等式 12 13312+-≥+） （x x ，并将解集在数轴上表示出来； （2）解不等式组??? ??≤+--+<-12153 12)1(315x x x x ，并把它的解集表示在数轴上. 3.一元一次不等式（组）与一次函数 利用一次函数解一元一次不等式（组）：实质就是比较两个函数y 值得大小，函数值（y ）越大，图像越高，函数值（y ）越小，图像越高低，这里一般是让求自变量x 的取值范围，找出与x 轴交点的横坐标（指一元一次不等式），看让求图像在x 轴以上的自变量的取值范围（还是图像在x 轴以下的自变量的取值范围）；或找出函数交点的横坐标，然后看在该交点以左满足题意还是交点以右满足题意. (1)函数y ＝kx ＋b （k 、b 为常数，k ≠0）的图象如图所示，则关于x 的不等 式kx+b>0的解集为（C ）． A ．x>0 B ．x<0 C ．x<2 D ．x>2 （2）直线b x k y l +=11:与直线x k y l 22:=在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则关于x 的不等式x k b x k 21>+的解为x<-1 4.一元一次不等式（组）应用题 ◆一件商品的进价是500元，标价为600元，打折销售后要保证获利不低于8%，则此商品最多打9折. 商品销售中需注意的地方：①“进价”也叫“成本”；“售价”也叫“标价”；②获利是在进价的基础上获利；打折是在售价基础上打折；③打几折就是给售价×10 x 解：设可以打x 折． 那么（600×10 x -500）÷500≥8% 解得x ≥9． 故答案为：9． ◆某商贩去菜摊买黄瓜，他上午买了30斤，价格为每斤x 元；下午，他又买了20斤．价格为 每斤y 元．后来他以每斤2 y x +元的价格卖完后，结果发现自己赔了钱，其原因是（B ） x < B ．x > C ．x ≤ D ．x ≥ ∴赔钱的原因是x＞y （1）某商场文具部的某种毛笔每支售价25元，书法练习本每本售价5元。该商场为促销制定了如下两种优惠方式： 第一种：买一支毛笔附赠一本书法练习本； 第二种：按购买金额打九折付款。 八年级（2）班的小明想为本班书法兴趣小组购买这种毛笔10支，书法练习本x（x≥10）本。试问小明应该选择哪一种优惠方式才更省钱？ （利用一次函数与不等式（组）的知识进行解答） 解：（1）y1=25×10+（x-10）×5=5x+200；y2=（25×10+5x）×0.9=4.5x+225．（2）①y1＞y2时， 即5x+200＞4.5x+225， 解得：x＞50； ②y1=y2时， 即5x+200=4.5x+225， 解得：x=50； ③y1＜y2时， 即5x+200＜4.5x+225， 解得x＜50． （3）甲方案：25×10+50×5=500元； 乙方案：（25×10+60×5）×0.9=495元； 两种方案买：25×10+50×5×0.9=475元， （2）甲、乙两家超市以相同的价格出售同样的商品，为了吸引顾客，各自推出不同的优惠方案：在甲超市累计购买商品超出300元之后，超出部分按原价8折优惠；在乙超市累计购买商品超出200元之后，超出部分按原价8.5折优惠．设顾客预计累计购物x元（x>300）．（1）请用含x的代数式分别表示顾客在两家超市购物所付的费用； （2）顾客到哪家超市购物更优惠？说明你的理由． 解：（1）设应付金额为y 则 在甲超市购物所付的费用是：y=300+0.8（x-300）=0.8x+60 在甲超市购物所付的费用是：y=200+0.85（x-200）=0.85x+30 (2)①当0.8x+60>0.85x+30时， 解得x＜600，而x＞300 ∴300＜x＜600 即顾客购物超过300元且不满600元时，到乙超市更优惠； ②当0.8x+60=0.85x+30时， 解得x=600 ∴当顾客购物600元时，到两家超市所付费用相同； ③当0.8x+60＜0.85x+30时， 解得x＞600 ∴当顾客购物超过600元时，到甲超市更优惠； （3）去年6月份广州市某果农收获荔枝30吨，香蕉13吨，现计划租用甲、乙两种货车共10辆将这批水果全部运往深圳，已知甲货车可装荔枝4吨和香蕉1吨。乙种货车可装荔枝、香蕉各2吨： ①该果农安排甲、乙两种货车时有几种方案？请你帮助设计出来； ②若甲种货车每辆要付出运输费2000元。乙种货车每辆要付出运输费1300元，则该果农应选择哪种方案使运费最少？最少是多少？ 解：（1）设安排甲种货车x辆，则安排乙种货车10-x辆，由题意得 解得5≤x≤7 ∵x是整数 ∴x取5、6、7 因此，安排甲、乙两种货车有三种方案： 方案1：甲种货车5辆，乙种货车5辆； 方案2：甲种货车6辆，乙种货车4辆； 方案3：甲种货车7辆，乙种货车3辆. (2)方案1需要运费：2000×5+1300×5=16500（元） 方案2需要运费：2000×6+1300×4=17200（元） 方案3需要运费：2000×7+1300×3=17900（元） ∴该果农应选择方案1运费最少，最少运费是16500元. （4）某工厂计划为震区生产A，B两种型号的学生桌椅500套，以解决1250名学生的学习问题，一套A型桌椅（一桌两椅）需木料0．5m3，一套B型桌椅（一桌三椅）需木料0．7m3，工厂现有库存木料302m3． ①有多少种生产方案? ②现要把生产的全部桌椅运往震区，已知每套A型桌椅的生产成本为100元，运费2元；每套B型桌椅的生产成本为120元，运费4元，求总费用y（元）与生产A型桌椅x（套）之间的关系式，并确定总费用最少的方案和最少的总费用．（总费用=生产成本+运费） ③按②的方案计算，有没有剩余木料?如果有，请直接写出用剩余木料再生产以上两种型号的桌椅，最多还可以为多少名学生提供桌椅；如果没有，请说明理由． 解：（1）设生产A型桌椅x套，则生产B型桌椅（500-x）套，由题意得 解得240≤x≤250 ∵x是整数， ∴有11种生产方案 (2) 由题意得y=（100+2）x+（120+4）×（500-x）= -22x+62000(240≤x≤250) ∵-22＜0， ∴y随x的增大而减小 ∴当x=250时，y有最小值 ∴当生产A型桌椅250套、B型桌椅250套时，总费用最少，为-22×250+62000=56500元（3）有剩余木料， [302-(05+0.7)×250]÷0.5×2=8 或302-(05+0.7)×250=2＜3 ∴有以下几种方案： ①全部做A型可做4套， ②全部做B型可做2套， ③一部分做A型一部分做B型最多3套， 比较可知，应选第①中方案，故最大值应为8 ∴最多还可以为8名学生提供桌椅. （5）本学期我校开展了课外兴趣小组活动，有很多同学参加了书法兴趣小组。小刚代表兴趣小组的同学去文具店购买毛笔。一个批发兼零售的文具店规定：凡一次购买毛笔100枝以上（包括100枝），可以按批发价付款；购买100枝以下（不包括100枝）只能按零售价付款。小刚来到该店购买毛笔，如果给兴趣小组的同学每人购买一枝，那么只能按零售价付款，需270元；如果多购买10枝，那么可以按批发价付款，同样需270元。 ①请问参加书法兴趣小组的同学人数在什么范围内？（3分） ②若按批发价购买10枝与按零售价购买9枝的款相同，那么参加书法兴趣小组的同学有多少人？ 解： ①设有x人则由题意可得： ∴90≤x＜100且x为整数 ②设批发价为m元，零售价为n元则得到10m=9n 还有条件得 ∴xm=(x+10)n ∴ 10 9 10==+m n x x 解得 x=90 （6）若干名学生，若干间宿舍，若每间住4人将有20人无法安排住处；若每间住8人，则有一间宿舍的人不空也不满，问学生有多少人？宿舍有几间？ 解：设宿舍有x 间，则学生有4x+20人，由题意可得： 解得：5＜x ＜7 ∵x 为整数， ∴x=6 ∴学生有4×6+20=44（人） 答：学生有44人，宿舍有6间. （7）某工厂用如图甲所示的长方形和正方形纸板，做成如图乙所示的竖式与横式两种长方体形状的无盖纸盒．(1)现有正方形纸板162张，长方形纸板340张．若要做两种纸盒共l00个，按两种纸盒的生产个数来分，有哪几种生产方案?