2019湖北圆中考数学题解析

2019湖北圆中考数学题解析

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xxxx湖北圆中考数学题解析

一、选择题

1.如图所示，扇形AoB的圆心角为120°，半径为2，则图中阴影部分的面积为【】

【答案】A。

【考点】扇形面积的计算，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，垂径定理，勾股定理。

【分析】过点o作oD⊥AB，

∵∠AoB=120°，oA=2，

∴。

∴oD=oA=×2=1，。

∴，

∴。故选A。

2.如图所示，直线cD与线段AB为直径的圆相切于点D，并交BA 的延长线于

点c，且AB=2，AD=1，P点在切线cD上移动.当∠APB的度数最大时，则∠ABP的度数为【】

A.°

B.°c.°D.°

【答案】B。

【考点】切线的性质，三角形的外角性质，圆周角定理，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值。

【分析】连接BD，

∵直线cD与以线段AB为直径的圆相切于点D，∴∠ADB=90°。

∵当∠APB的度数最大时，点P和D重合，∴∠APB=90°。

∵AB=2，AD=1，∴。∴∠ABP=30°。

∴当∠APB的度数最大时，∠ABP的度数为30°。故选B。

3.如图，在Rt△ABc中，∠c=90°，∠A=30°，Ac=6cm，cD⊥AB 于D，以c为圆心，cD为半径画弧，交Bc于E，则图中阴影部分的面积为【】

【答案】A。

【考点】扇形面积的计算，解直角三角形。

【分析】∵∠A=30°，Ac=6cm，cD⊥AB，

∴∠B=60°，∠BcD=30°，cD=3cm，BD=cm，

∴。

∴阴影部分的面积为：cm2。故选A。

4.已知⊙o的半径为5，圆心o到直线l的距离为3，则反映直线l与⊙o的位置关系的图形是【】

【答案】B。

【考点】直线与圆的位置关系。1419956

【分析】根据直线与圆的位置关系来判定：①直线l和⊙o相交?d

线l和⊙o相离?d>r。因此，

∵⊙o的半径为5，圆心o到直线l的距离为3，

∵5>3，即：d

5.如图，两个同心圆的半径分别为4cm和5cm，大圆的一条弦AB 与小圆相切，则弦AB的长为【】

【答案】c。

【考点】切线的性质，勾股定理，垂径定理。

【分析】如图，连接oc，Ao，

∵大圆的一条弦AB与小圆相切，∴oc⊥AB。∴Ac=Bc=AB

∵oA=5cm，oc=4cm，

∴在Rt△Aoc中，。

∴AB=2Ac=6。故选c。

6.如图，⊙o的外切正六边形ABcDEF的边长为2，则图中阴影部分的面积为【】.

A.ππ3c.ππ3

【答案】A。

【考点】正多边形和圆，多边形内角和定理，等边三角形的判定

和性质，切线的性质，锐角三角函数，特殊角的三角函数值，扇形面积。

【分析】∵六边形ABcDEF是正六边形，∴∠AoB=60°。

又∵oA0oB，∴△oAB是等边三角形，oA=oB=AB=2。

设点G为AB与⊙o的切点，连接oG，则oG⊥AB，

∴oG=oA?sin60°=2×。

∴。故选A。

7.如图，AB为⊙o的直径，弦cD⊥AB于E，已知cD=12，则⊙o 的直径为【】

【答案】D.

【考点】垂径定理，勾股定理。

【分析】连接oc，根据题意，cE=cD=6，BE=2.

在Rt△oEc中，设oc=x，则oE=x-2，∴2+62=x2，解得：x=10。

∴直径AB=20。故选D.

8.如图，AB是⊙o的直径，若∠BAc=350，则么∠ADc=【】

【答案】B。

【考点】圆周角定理，直角三角形两锐角的关系。

【分析】∵AB是⊙o的直径，∴∠AcB=90°。

∵∠BAc=35°，∴∠B=90°-∠BAc=90°-35°=55°

∵∠B与∠ADc是所对的圆周角，

∴∠ADc=∠B=55°。故选B。

9.△ABc为⊙o的内接三角形，若∠Aoc=160°，则∠ABc的度数是【】

°°°°或100°

【答案】D。

【考点】圆周角定理。1028458

【分析】根据题意画出图形，由圆周角定理即可求得答案∠ABc 的度数，又由圆的内接四边四边形性质，即可求得∠AB′c的度数：如图，∵∠Aoc=160°，∴∠ABc=∠Aoc=×160°=80°。

∵∠ABc+∠AB′c=180°，∴∠AB′c=180°﹣∠ABc=180°﹣80°=100°。

∴∠ABc的度数是：80°或100°。故选D。

如下图oA=oB=oc且∠AcB=30°，则∠AoB的大小是【】

°°°°

【答案】c。

【考点】圆周角定理。

【分析】∵oA=oB=oc，∴A、B、c在以o为圆心oA为半径的圆上。

作⊙o。

∵∠AcB和∠AoB是同弧所对的圆周角和圆心角，且∠AcB=30°，∴根据同弧所对的圆周角是圆心角的一半的性质，得&ang

;AoB=60°。故选c。

二、填空题

1.如图，在直角坐标系中，四边形oABc是直角梯形，Bc∥oA，⊙P分别与oA、oc、Bc相切于点E、D、B，与AB交于点F.已知A，B，则tan∠FDE= ▲.

【答案】。

【考点】切线的性质，锐角三角函数的定义，圆周角定理。

【分析】连接PB、PE.

∵⊙P分别与oA、Bc相切于点E、B，∴PB⊥Bc，PE⊥oA。

∵Bc∥oA，∴B、P、E在一条直线上。

∵A，B，∴AE=1，BE=2。∴。

∵∠EDF=∠ABE，∴tan∠FDE=。

2.平面直角坐标系中，⊙m的圆心坐标为，半径为1，点N在x 轴的正半轴上，如果以点N为圆心，半径为4的⊙N与⊙m相切，则圆心N的坐标为▲.

【答案】或。

【考点】相切两圆的性质，坐标与图形性质，勾股定理。

【分析】分别从⊙m与⊙N内切或外切去分析：

①⊙m与⊙N外切，mN=4+1=5，，

∴圆心N的坐标为。

②⊙m与⊙N内切，mN=4﹣1=3，，

∴圆心N的坐标为。

综上所述，圆心N的坐标为或。

3.如图，量角器的直径与直角三角板ABc的斜边AB重合，其中量角器0刻度

线的端点N与点A重合，射线cP从cA处出发沿顺时针方向以每秒2度的速度旋转，cP与量角器的半

圆弧交于点E，第35秒时，点E在量角器上对应的读数是▲度.

【答案】140。

【考点】圆周角定理。

【分析】连接oE，

∵∠AcB=90°，∴点c在以AB为直径的圆上，即点c在⊙o上。

∴∠EoA=2∠EcA。

∵∠EcA=2×35°=70°，

∴∠AoE=2∠EcA=2×70°=140°，即点E在量角器上对应的读数是140°。

4.把如图所示的长方体材料切割成一个体积最大的圆柱，则这个圆柱的体积是

▲.

【答案】3000π。

【考点】圆柱的计算。

【分析】∵底面是边长为20cm的正方形，∴其内切圆的半径为10cm。

∴这个圆柱底面积为100πcm2。∴这个圆柱体积为100π×30=3000π。

5..如图，从一个直径为4dm的圆形铁皮中剪出一个圆心角为60°的扇形ABc，

并将剪下来的扇形围成一个圆锥，则圆锥的底面半径为▲dm.

【答案】1。

【考点】圆锥的计算，垂径定理，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值，圆锥的侧面展开图弧长与圆锥的底面周长的关系。1028458

【分析】如图，作oD⊥Ac于点D，连接oA，

∴∠oAD=30°，Ac=2AD，∴Ac=2oA×cos30°=6。

∴。

∴根据圆锥的侧面展开图弧长等于圆锥的底面周长得，圆锥的底面圆的半径=2π÷=1。

三、解答题

1.在锐角△ABc中，Bc=5，sinA=45.

如图1，求△ABc外接圆的直径;

如图2，点I为△ABc的内心，BA=Bc，求AI的长。

【答案】解：作△ABc的外接圆的直径cD，连接BD。

则∠cBD=900，∠D=∠A。

∴。

∵Bc=5，∴。

∴△ABc外接圆的直径为。

连接BI并延长交Ac于点H，作IE⊥AB于点E。

∵BA=Bc，∴BH⊥Ac。∴IH=IE。

在Rt△ABH中，BH=AB?sin∠BDH=4，。

∵，∴，即。

∵IH=IE，∴。

在Rt△AIH中，。

【考点】三角形外心和内心的性质，圆周角定理，锐角三角函数定义，等腰三角形的性质，角平分线的判定和性质，勾股定理。

【分析】作△ABc的外接圆的直径cD，连接BD，由直径所对圆周角是直角的性质得∠cBD=900，由同圆中同弧所对圆周角相等得∠D=∠A，从而由已知，根据锐角三角函数定义即可求得△ABc外接圆的直径。

连接BI并延长交Ac于点H，作IE⊥AB于点E，由三角形内心的性质和角平分线的判定

和性质，知IH=IE。在Rt△ABH中，根据锐角三角函数定义和勾股定理可求出BH=4和AH=3，从而由求得。在Rt△AIH中，应用勾股定理求得AI的长。

2.如图所示为圆柱形大型储油罐固定在U型槽上的横截面图.已知图中ABcD为等腰梯形，支点A与B相距8m，罐底最低点到地面cD 距离为1m.设油罐横截面圆心为o，半径为5m，∠D=56°，求：U型槽的横截面的面积.

【答案】解：如图，连接Ao、Bo.过点A作AE⊥Dc于点E，过点

o作oN⊥Dc于点N，oN交⊙o于点m，交AB于点F.则oF⊥AB.

∵oA=oB=5m，AB=8m，

∴AF=BF=AB=4，∠AoB=2∠AoF，

在Rt△AoF中，，

∴∠AoF=53°，∴∠AoB=106°。

∵，由题意得：mN=1m，∴FN=om-oF+mN=3。

∵四边形ABcD是等腰梯形，AE⊥Dc，FN⊥AB，∴AE=FN=3m，Dc=AB+2DE。

在Rt△ADE中，，∴DE=2m，Dc=12m。

∴。

答：U型槽的横截面积约为20m2。

【考点】解直角三角形的应用，垂径定理，勾股定理，等腰梯形的性质，锐角三角函数定义。

【分析】连接Ao、Bo.过点A作AE⊥Dc于点E，过点o作oN⊥Dc于点N，oN交⊙o于点m，交AB于点F，则oF⊥AB。根据垂径定理求出AF，再在Rt△AoF中利用锐角三角函数的定义求出∠AoB，由勾股定理求出oF，根据四边形ABcD是等腰梯形求出AE的长，再由即可得出结果。

3.如图，AB是⊙o的直径，Ac和BD是它的两条切线，co平分∠AcD.

求证：cD是⊙o的切线;若Ac=2，Bc=3，求AB的长.

【答案】证明：过o点作oE⊥cD，垂足为E，

∵Ac是切线，∴oA⊥Ac。

∵co平分∠AcD，oE⊥cD，∴&an

g;Aco=∠Eco，∠cAo=∠cEo，

又∵oc=oc，∴△Aco≌△Eco。∴oA=oE。

∴cD是⊙o的切线。

解：过c点作cF⊥BD，垂足为F，

∵Ac，cD，BD都是切线，∴Ac=cE=2，BD=DE=3。

∴cD=cE+DE=5。

∵∠cAB=∠ABD=∠cFB=90°，∴四边形ABFc是矩形。

∴BF=Ac=2，DF=BD﹣BF=1。

在Rt△cDF中，cF2=cD2﹣DF2=52﹣12=24，∴AB=cF=2。

【考点】切线的判定与性质，全等三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，勾股定理。

【分析】过o点作oE⊥cD于点E，通过角平分线的性质得出oE=oA 即可证得结论。

过点D作DF⊥Bc于点F，根据切线的性质可得出Dc的长度，从而在Rt△DFc中利用勾股定理可得出DF的长，可得出AB的长度。

4.如图，△ABc和△ABD都是⊙o的内接三角形，圆心o在边AB 上，边AD分别与Bc，oc交于E，F两点，点c为的中点.

求证：oF∥BD;

若，且⊙o的半径R=6cm.

①求证：点F为线段oc的中点;

②求图中阴影部分的面积.

【答案】证明：∵oc为半径，点c为的中点，∴oc⊥AD。

∵AB为直径，∴∠BDA=90°，BD⊥AD。∴oF∥BD。

①证明：∵点o为AB的中点，点F为AD的中点，∴oF=BD。

∵Fc∥BD，∴∠FcE=∠DBE。

∵∠FEc=∠DEB，∴△EcF∽△EBD，

∴，∴Fc=BD。

∴Fc=Fo，即点F为线段oc的中点。

②解：∵Fc=Fo，oc⊥AD，∴Ac=Ao，

又∵Ao=co，∴△Aoc为等边三角形。

∴根据锐角三角函数定义，得△Aoc的高为。

∴。

答：图中阴影部分的面积为cm2。

【考点】圆心角、弧、弦的关系，垂径定理，圆周角定理，相似三角形的判定和性质，三角形中位线的性质，等边三角形的判定和性质，扇形面积的计算。

【分析】由垂径定理可知oc⊥AD，由圆周角定理可知BD⊥AD，从而证明oF∥BD。

①由oF∥BD可证△EcF∽△EBD，利用相似比证明BD=2cF，再证oF为△ABD的中位线，得出BD=2oF，即cF=oF，证明点F为线段oc 的中点;

②根据S阴=S扇形Aoc﹣S△Aoc，求面积。

5.如图，AB是⊙o的弦，D为oA半径的中点，过D作cD⊥oA交弦AB于点E，交⊙o于点F，且cE=cB.

求证：Bc是⊙o的切线;

连接AF，BF，求∠ABF的度数;

如果cD=15，BE=10，sinA=，求⊙o的半径.

【答案】解：证明：连接oB，

∵oB=oA，cE=cB，

∴∠A=∠oBA，∠cEB=∠ABc。

又∵cD⊥oA，

∴∠A+∠AED=∠A+∠cEB=90°。

∴∠oBA+∠ABc=90°。∴oB⊥Bc。

∴Bc是⊙o的切线。

连接oF，AF，BF，

∵DA=Do，cD⊥oA，

∴△oAF是等边三角形。

∴∠AoF=60°。

∴∠ABF=∠AoF=30°。

过点c作cG⊥BE于点G，由cE=cB，

∴EG=BE=5。

易证Rt△ADE∽Rt△cGE，

∴sin∠EcG=sin∠A=，

∴。

∴。

又∵cD=15，cE=13，∴DE=2，

由Rt△ADE∽Rt△cGE得，即，解得。

∴⊙o的半径为2AD=。

【考点】等腰三角形的性质，直角三角形两锐角的关系，切线的判定，圆周角定理，勾股定理，相似三角形的判定和性质，锐角三角函数定义。

【分析】连接oB，有圆的半径相等和已知条件证明∠oBc=90°即可证明Bc是⊙o的切线。

连接oF，AF，BF，首先证明△oAF是等边三角形，再利用圆周角定理：同弧所对的圆周角是所对圆心角的一半即可求出∠ABF的度数。

过点c作cG⊥BE于点G，由cE=cB，可求出EG=BE=5，由Rt△ADE ∽Rt△cGE和勾股定理求出DE=2，由Rt△ADE∽Rt△cGE求出AD的长，从而求出⊙o的半径。

6.如图，AB是⊙o的直径，点E是AB上的一点，cD是过E点的弦，过点B的切线交Ac的延长线于点F，BF∥cD，连接Bc.

已知AB=18，Bc=6，求弦cD的长;

连接BD，如果四边形BDcF为平行四边形，则点E位于AB的什么位置?试说明理由.

【答案】解：∵BF与⊙o相切，∴BF⊥AB。

又∵BF∥cD，∴cD⊥AB。

又∵AB是直径，∴cE=ED。

连接co，设oE=x，则BE=9-x。

由勾股定理得：，

即，解得。

∴。

∵四边形BDcF为平行四边形，∴BF=cD。

而，∴。

∵BF∥cD，∴△AEc∽△ABF。∴。∴点E是AB的中点。

【考点】切线的性质，垂径定理，勾股定理，平行四边形的性质。相似三角形的判定和性质。

【分析】由BF与⊙o相切，根据切线的性质，可得BF⊥AB，又由BF∥cD，易得cD⊥AB，由垂径定理即可求得cE=DE，然后连接co，设oE=x，则BE=9-x，由勾股定理即可求得oE的长，从而求得cD的长。

由四边形BDcF为平行四边形，根据平行四边形的性质，即可cD=BF，又由△AEc∽△ABF，即可求得点E是AB的中点。

7.如图所示为圆柱形大型储油罐固定在U型槽上的横截面图.已知图中ABcD为等腰梯形，支点A与B相距8m，罐底最低点到地面cD 距离为1m.设油罐横截面圆心为o，半径为5m，∠D=56°，求：U型槽的横截面的面积.

【答案】解：如图，连接Ao、Bo.过点A作AE⊥Dc于点E，过点o作oN⊥Dc于点N，oN交⊙o于点m，交AB于点F.则oF⊥AB.

∵oA=oB=5m，AB=8m，

∴AF=BF=AB=4，∠AoB=2

∠AoF，

在Rt△AoF中，，

∴∠AoF=53°，∴∠AoB=106°。

∵，由题意得：mN=1m，∴FN=om-oF+mN=3。

∵四边形ABcD是等腰梯形，AE⊥Dc，FN⊥AB，∴AE=FN=3m，Dc=AB+2DE。

在Rt△ADE中，，∴DE=2m，Dc=12m。

∴。

答：U型槽的横截面积约为20m2。

【考点】解直角三角形的应用，垂径定理，勾股定理，等腰梯形的性质，锐角三角函数定义。

【分析】连接Ao、Bo.过点A作AE⊥Dc于点E，过点o作oN⊥Dc于点N，oN交⊙o于点m，交AB于点F，则oF⊥AB。根据垂径定理求出AF，再在Rt△AoF中利用锐角三角函数的定义求出∠AoB，由勾股定理求出oF，根据四边形ABcD是等腰梯形求出AE的长，再由即可得出结果。

8.如图甲，四边形oABc的边oA、oc分别在x轴、y轴的正半轴上，顶点在B点的抛物线交x轴于点A、D，交y轴于点E，连接AB、AE、BE.已知tan∠cBE=，A，D，E.

求抛物线的解析式及顶点B的坐标;

求证：cB是△ABE外接圆的切线;

试探究坐标轴上是否存在一点P，使以D、E、P为顶点的三角形与△ABE相似，若存在，直接写出点P的坐标;若不存在，请说明理由;

设△AoE沿x轴正方向平移t个单位长度∵抛物线经过点A，D，∴设抛物线解析式为y=a。

将E代入上式，解得：a=﹣1。

∴抛物线的解析式为y=-，即y=﹣x2+2x+3。

又∵y=-x2+2x+3=-2+4，∴点B。

证明：如图1，过点B作Bm⊥y于点m，则m.

在Rt△AoE中，oA=oE=3，

∴∠1=∠2=45°，。

在Rt△EmB中，Em=om﹣oE=1=Bm，

∴∠mEB=∠mBE=45°，。

∴∠BEA=180°﹣∠1﹣∠mEB=90°。

∴AB是△ABE外接圆的直径。

在Rt△ABE中，，∴∠BAE=∠cBE。

在Rt△ABE中，∠BAE+∠3=90°，∴∠cBE+∠3=90°。∴∠cBA=90°，即cB⊥AB。

∴cB是△ABE外接圆的切线。

存在。点P的坐标为或或。

设直线AB的解析式为y=kx+b.

将A，B代入，得，解得。

∴直线AB的解析式为y=﹣2x+6。

过点E作射线EF∥x轴交AB于点F，当y=3时，得x=，∴F。

情况一：如图2，当0

则oN=AD=t，过点H作Lk⊥x轴于点k，交EF于点L.

由△AHD∽△FHm，得，即，解得Hk=2t。

∴

=×3×3﹣2﹣t?2t=﹣t2+3t。

情况二：如图3，当

由△IQA∽△IPF，得.即，

解得IQ=2。

∴

=××2﹣2=2=t2﹣3t+。

综上所述：。

【考点】二次函数综合题，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，二次函数性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，锐角三角函数定义，圆的切线的判定，相似三角形的性质，平移的性质。

【分析】已知A、D、E三点的坐标，利用待定系数法可确定抛物线的解析式，从而能得到顶点B的坐标。

过B作Bm⊥y轴于m，由A、B、E三点坐标，可判断出△BmE、△AoE都为等腰直角三角形，易证得∠BEA=90°，即△ABE是直角三角形，而AB是△ABE外接圆的直径，因此只需证明AB与cB垂直即

可.BE、AE长易得，能求出tan∠BAE的值，结合tan∠cBE的值，可得到∠cBE=∠BAE，由此证得∠cBA=∠cBE+∠ABE=∠BAE+∠ABE=90°，从而得证。

在Rt△ABE中，∠AEB=90°，tan∠BAE=，sin∠BAE=，cos∠BAE=。

若以D、E、P为顶点的三角形与△ABE相似，则△DEP必为直角三角形。

①DE为斜边时，P1在x轴上，此时P1与o重合。

由D、E，得oD=1、oE=3，

即tan∠DEo==tan∠BAE，

即∠DEo=∠BAE，满足△DEo∽△BAE的条件。

因此o点是符合条件的P1点，坐标为。

②DE为短直角边时，P2在x轴上。

若以D、E、P为顶点的三角形与△ABE相似∠DEP2=∠AEB=90°sin∠DP2E=sin∠BAE=。

而DE=，则DP2=DE÷sin∠DP2E=÷=10，oP2=DP2﹣oD=9。

即P2。

③DE为长直角边时，点P3在y轴上。

若以D、E、P为顶点的三角形与△ABE相似，

则∠EDP3=∠AEB=90°cos∠DEP3=cos∠BAE=。

则EP3=DE÷cos∠DEP3=÷，oP3=EP3﹣oE=。即P3。

综上所述，得：P1，P2，P3。

过E作EF∥x轴交AB于F，当E点运动在EF之间时，△AoE与

△ABE重叠部分是个五边形;当E点运动到F点右侧时，△AoE与△ABE 重叠部分是个三角形.按上述两种情况按图形之间的和差关系进行求解。

9.如图，在△ABc中，BA=Bc，以AB为直径作半圆⊙o，交Ac于点D.连结DB，

过点D作DE⊥Bc，垂足为点E.

求证：DE为⊙o的切线;

求证：DB2=AB?BE.

【答案】证明：连接oD、BD，则∠ADB=90°，

∵BA=Bc，∴cD=AD。

又∵Ao=Bo，∴oD是△ABc的中位线。

∴oD∥Bc。

∵∠DEB=90°，∴∠oDE=90°，即oD⊥DE。

∴DE为⊙o的切线。

∵∠BED=∠BDc=900，∠EBD=∠DBc，

∴△BED∽△BDc，∴。

又∵AB=Bc，∴。∴BD2=AB?BE。

【考点】切线

的判定和性质，圆周角定理，等腰三角形的性质，三角形中位线的性质，相似三角形的判定和性质。

【分析】连接oD、BD，根据圆周角定理可得∠ADB=90°，从而得出点D是Ac中点，判断出oD是△ABc的中位线，利用中位线的性