管理类联考初数《整除》详解
管理类联考初数（一）整除
1、数的整除
整除的定义：当整数a 除以非零整数b ，商正好是整数而余数为零时，则称a 能被b 整除，或b
能整除a ，记作b ∣a 。
当b ∣a 时，称a 是b 的倍数，b 是a 的约数（因数）。
0能被任何整数整除，1能整除任何整数。
整除的性质：
1、传递性：若a ∣b ，b ∣c ，则a ∣c
2、可加可减性：若a ∣b ，a ∣c ，则a ∣（b ±c ）
3、可乘性，若a ∣b ，则a ∣m ×b
4、可拆性：若ab ∣c ，则a ∣c ，b ∣c
5、★互质可除性：若a ∣mb ，且（a ，m ）=1，则a ∣b
（注：（a ，m ）即两数的最大公因数，（a ，m ）=1代表两数互质。关于最大公因数和互质的知识将在后面介绍，如果同学们已经遗忘可以翻到相应篇章进行学习。）
例1：若a ∣b ，b ∣c ，则当m =（ ）时，m ∣c 。
（A ）b a ?（B ）a
b （C ）b a +（D ）a b -（E ）ab 解析：令）,(,正整数∈===N M MNa Nb
c Ma b
例2：14
n 是一个整数。 （1）n 是一个整数，且
314
n 也是一个整数； （2）n 是一个整数，且7n 也是一个整数。 解析：利用整除性质做题
条件（一）
314
n 是一个整数，14∣3n ，由于（14，3）=1，所以14∣n 条件（二）7n 是一个整数，n ∣7，根据整除性质无法推出n ∣14。
所以选（A ）
整除的特征（用处：快速判别某数能否被常用数整除或快速分解质因数）
能被2/5整除的数：个位能被2/5整除；
能被3/9整除的数：各数位数字之和必能被3/9整除；
能被4/25整除的数：末两位（个位和十位）数字必能被4/25整除；
能被11整除的数：奇数位之和与偶数位之和的差能被11整除。
能被7、11、13整除的数（末三位法）：将后三位与前几位做差（大减小），判断差能否能被7/11/13整除。
例3：数A 能被11整除。
（1）A 是形如abcabc 的数（a 是1~9的整数，b 、c 均为0~9的整数）；
（2）A=132323232
10
个 解析：直接利用整除特征做题
条件（1），利用末三位法，abc －abc =0，11∣0，所以abcabc 是11的倍数；
条件（2）利用奇偶数位和做差法，奇数位之和：3×10+1=31，偶数位之和2×10=20，差为31－20=11，是11的倍数，所以（2）也充分
答案选（D ）
例4：一个班的同学围成一圈，每位同学的一侧是一位同性同学，而另一侧是两位异性同学，则
这班的人数 （）
（A ）一定是4的倍数 （B ）不一定是4的倍数 （C ） 一定不是4的倍数
（D ） 一定是2的倍数，不一定是4的倍数 （E ）以上均不正确
解析：通过分析具体的情境判断数的性质
设有同学A 1，和他（她）同性的仍记为A 2，异性的记为B ，则A 两侧的排列应该是A 2A 1B 1B 2，说明在这些同学中，任取相邻的四个人都是两男两女，所以必是四的倍数。选A 。
连续n 个数乘积可被n 整除原则。连续n 个正整数之积一定是n 的倍数。
推广：连续n 个数乘积一定是n ！的倍数。
例5：若n 是一个大于100的整数，则n n -3一定有约数 （）
（A ）5 （B ）6 （C ）7 （D ）8 （E ）以上均不正确
解析：利用连续n 个数乘积可被n ！整除原则。
n n -3=()()11n n n -+，有定理：连续k 个数的乘积一定能被k 整除。所以()()11n n n -+既能被2整除，又能被3整除，故选B 。
练习题：
1.从1到120的自然数中，能被3整除或被5整除的数的个数是（ ）个。
（A ）64 （B ）48 （C ）56 （D ）46 （E ）55
2.如果m 2是3的倍数，m 3是2的倍数，那么m 必然是（ ）的倍数。
（A ）4 （B ）5 （C ）6 （D ）7 （E ）9
3.n m =。
（1）,|n m 且m n |；
（2）n m ≥且m n ≥。
4.一个三位数能被3整除，去掉它的末位数后，所得的两位数是17的倍数，这样的三位数中，最大的是（ ）
（A ）858 （B ）855 （C ）852 （D ）849 （E ）868
5.28
9a 是整数。 （1）若q
p a =（p ，q 是互质的正整数），149a 是一个整数； （2）若q p a =
（p ，q 是互质的正整数），167a 是一个整数。 6、若)4)(2(--=n n n m ，则m （ ）
（A ）必然是2的倍数
（B ）必然是3的倍数
（C ）必然至少是6的倍数
（D ）必然不能被任何数整除
（E ）不一定是某个数的倍数
7、有（ ）个四位数满足下列条件：它的各位数字都是奇数；它的各位数字互不相同；它的各位数字都能整除它本身。
（A ）10 （B ）7 （C ）8 （D ）5 （E ）6
8、下面说法中有（ ）是正确的。
（1）0可以被任何整数整除；
（2）如果b a c b c a ≠,|,|则c ab |；
（3）一个数是4的倍数，必然是2的倍数；
（4）如果1078是7的倍数，3647也是7的倍数，那么n m 36471078+必然也是7的倍数。（n m ,是正整数）
（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）3 （E ）4
练习题讲评：
1、前120个正整数中，能被3整除的数有40个，能被5整除的数有24个，能同时被3和5整除的数（即能被15整除）有8个。
根据容斥原理（后文将有介绍），要求的应该是40+24－8=56个。选（C ）
2、显然m 必然是2和3的倍数，即是6的倍数。选（C ）。
3、两个数互为倍数，这两个数必然相等，条件（1）充分；条件（2）显然也充分，选（D ）
4、17的两位数倍数最大是85，个位最大是8时，组成的三位数能被3整除。选（A ）
5、条件（1），当14=a 时，显然结论不成立，条件（1）不充分；条件（2），当16=a 时，显然结论不成立。
条件（1）（2）联合起来，p 既是14的倍数，又是16的倍数，q 既是9的约数又是7的约数，可见q =1，p 是112的倍数。显然a 是28的倍数。选（C ）
6、显然当n 为奇数时，m 是个奇数，不能被2整除。再看一下能否被3整除，此时n 除以3的结果只有三种可能：整除、余1、余2，逐一验证发现三种情况下，m 都能被3整除，选（B ）。
7、奇数共有1、3、5、7、9五个，无论选哪四个，都必然会有3或9，说明这个四位数必然能被3整除，则这四个数之和必然能被3整除。这样的四个数可以是1、3、5、9（大家可以验证其它都不可以）。由于有5存在，个位必须是5。前三位共有6种排法。选（E ）
8、（1）显然当除数为0时不成立；（2）当12,6,3===c b a 时，显然不成立。所以整除的可拆
性不可逆。（3）根据整除的传递性，成立。（4）根据整除的可乘可加性，成立。选（C ）。
2.奇数和偶数
概念与知识点
偶数：能被2整除的整数叫做偶数（双数）。如－2，0，2，4，6，…
奇数：不能被2整除的整数叫做奇数（单数）。如－1，1，3，23，…
显然有：???奇数整数偶数
。
奇数与偶数的运算性质：
奇数±奇数=偶数，奇数±偶数=奇数，偶数±偶数=偶数；
奇数×奇数=奇数，奇数×偶数=偶数，偶数×偶数=偶数；
奇数个奇数之和还是奇数，奇数个偶数之和还是偶数，偶数个奇数之和是偶数，偶数个偶数之和还是偶数。
奇数的正整数次幂是奇数，偶数的正整数次幂是偶数； 在整数的加减运算中，加减号互变，结果的奇偶性不变。
一般设2n 是偶数，设（2n －1）或（2n +1）是奇数。（n ∈Z ）
两个相邻的数必定一奇一偶。
()
???-=-是奇数是偶数n x n x x n n n ,, n x ，当n 是奇数时，x 可以为任意实数；当n 是偶数时，x 只能是非负数。
体验奇偶数“交叉排列”的含义*。
基本做题思路：
例1：有偶数位来宾。 （根据12年第20题改编）
（1）聚会时所有来宾都被安排坐在一张圆桌周围，且每位来宾与其邻座性别不同。
（2）所有来宾坐成一排，每位来宾与其邻座性别不同。
例2：m 为偶数
（1）设n 为整数，m =n （n +1）
（2）在1，2，3，……1988这1988个自然数中每相邻两个数之间任意添加一个加号或减号，设
这样组成的运算式的结果是m 。
例3：象棋中的“马”每次走棋总是沿“日”字的对角线 进行，那么经过n 次过后，“马”有可能跳回到最初的位置。
（1）n=3
（2）n=4
例4：如果有理数m <0，则（ ）
（A ）当n 为偶数时，()0112>?-+n n m
（B ）当n 为奇数时，()011>?-+n n m
（C ）当n 为任意自然数时，()0112>?-+n n m
（D ）当n 为任意自然数时，()011
2
练习题：
1.已知m ，n 是正整数，则m 是偶数。（12年第18题）
（1）3m +2n 是偶数。
（2）3m 2+2n 2是偶数。
2.m 为偶数。
（1）一个三位数依次减去构成这个数的三个数字所得的差为m 。
（2）一个两位数，颠倒次序后形成一个新的两位数，将这两个两位数相加，所得的和为n ，再将n 所有数位上的数字相加，得m 。
3.一个转盘被平分成20小格，指针停到偶数号格，就可以得大奖，则小明有可能得到大奖。（1）小明先用骰子随意掷出一个6以内的整数N，指针先指到N所在的位置，再继续向前转动2N格。
（2）小明先用骰子随意掷出一个6以内的整数N，指针先指到N所在的位置，再继续向前转动N格，再倒退一格。
4、m是偶数。
（1）若干个人相互各握手一次，每个人的握手次数之和为m；
（2）若干个人相互各握手一次，握手次数为奇数的人数为m。
3.质数和合数
概念与知识点
质数（素数）：如果一个大于1的正整数，只有1和它本身两个约数，那么这个正整数就叫做质数。
合数：除了1和本身之外还有其他约数的正整数叫做合数。
最小的质数是2，质数中为偶数的数是2，最小的合数是4。
100以内的质数（25个，记住30以内的）：
2、3、5、7、11、13、17、19、23、29
31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97
质数与合数判别法：
对于一个不很大的自然数N（N>1，N为非完全平方数），从质数2开始用不同的质数试除N，如果能被某质数整除，则说明N是合数，否则继续用下一个质数试除；如果试到质数P，发现P2>N 时，无需再试，N为质数。
例1：三名小孩中有一名学龄前儿童（年龄不足6岁），他们的年龄都是质数，且依次相差4岁，他们的年龄之和为（）
（A）21 B）27 （C）33 （D）39 （E）51
解析：考察30以内的具体质数
最小的质数小于6，可能是2、3或者5，如果是2或5的话都不符合题意，答案只能是3、7、11。选（C）。
例2：已知三个质数c b a ,,，满足36,=+=+c a c b a ，那么=++c b a （ ）
（A ）36（B ）38（C ）39（D ）40（E ）72
解析：利用质数的奇偶性做题。
如果a 、b 、c 全是奇数的话，原式不可能成立。所以这三个数中必有一个为2。验证后发现只有b 可以为2，所以原式=36+2=38。选（B ）。
例3：已知三个质数,,a b c 满足99a b c abc +++=，那么a b b c a c -+-+-的值等于（ ）。
（A ）30 （B ）31 （C ）32 （D ）33 （E ）34 解析：连续利用质数的奇偶性做题。
如果a 、b 、c 全是奇数的话，原式不可能等于奇数。所以这三个数至少有一个为2，不妨设是a =2。原式=2+b +c +2bc =99，可以看出b 、c 应该是一奇一偶，不妨设b =2，可以求出c =19。选（E ）。
例4：有几个质数（素数）的乘积为770，则他们的和为（ ）（14年第9题）
（A ）85 （B ）84 （C ）28 （D ）26 （E ）25
解析：利用分解质因数做题
将770分解质因数，得770=2×5×7×11，可知这几个数分别是2、5、7、11。
所以选E
例5：m 是质数，满足m=n 2+4n －5（n 为正整数），则m+ n=（ ）
（A ）7 （B ）9 （C ）10 （D ）11 （E ）15
解析：利用质数m 仅能表示成m=1×m 解题。
M=n 2+4n －5=（n －1）（n+5）
5,1+-n n 两个式子中，必有一个为1，另一个为m ，显然只能是1-n 为1，则9,7,2=+==n m m n ，选B 。
练习题：
1.在20以内的质数中挑出6个数，使其两个一组分成三组，且每组两个数之和相等。则这6个数
之和为（ ）
（A ）42 （B ）51 （C ）66 （D ）72 （E ）81
2.三个质数之积恰好等于它们和的5倍，则这三个质数之和为（ ）
（A ）11 （B ）12 （C ）13 （D ）14 （E ）15
3.用10以内的质数组成一个三位数，使它能同时被3、5整除，这个数最小是m ，最大是n ，则n －m 等于（ ）
（A ）360 （B ）345 （C ）330 （D ）375 （E ）390
4.如果两数和为64，两数积可以整除4875，那么这两数的差为（ ）
（A ）12 （B ）13 （C ）14 （D ）15 （E ）17
5.有一个两位质数，其个位数、十位数都是质数，且前后颠倒后仍是个两位质数，则这两个两位质数的和是（ ）
（A ）55 （B ）88 （C ）66 （D ）99 （E ）110
6.A 是一个质数，而且A+6，A+8，A+12，A+14都是质数，满足要求最小的质数A 的值为m ，则m 2+m +1为（ ）
（A ）55 （B ）13 （C ）21 （D ）43 （E ）31 7.甲乙两人的岁数之和是一个两位数，这个两位数是一个质数，这个质数的各个数位数字之和是13，甲比乙也刚好大13岁，那么甲乙两人的岁数之积是（ ）
（A ） 900 （B ）1000 （C ）1080 （D ）1280 （E ）1500
8.把60拆成10个质数之和，要求最大的质数尽可能地小，那么最大的质数是m 。
（1）大于3
13 的负整数有m 个；
（2）m =7。
9.三个人的年龄之积为1771，他们中最小的也已经上了小学。那么三人年龄和是（ ）
（A ）41 （B ）51 （C ）61 （D ）71 （E ）81
10.若x ，y 是质数，则1000x +4y =2012。
（1）xy 是偶数；
（2）xy 是6的倍数。
11、有些三位数，它的各位数字之积为质数，这样的三位数中最大的与最小的之差为（ ）。
（A ）101 （B ）599 （C ）367 （D ）891 （E ）921
练习题讲评：
1.前20以内的质数有8个：2、3、5、7、11、13、17、19，找出其中和相等的三组分别为5+19,7+17,11+14。则和为72，选（D ）。
2.)(5c b a abc ++=，显然三个数中有一个为5，不妨设5=a ，原式可化为c b bc ++=5， 6)1)(1(=--c b ，显然只有c b ,为2,7时才能成立。选（D ）
3.显然这个三位数个位是5，另两位是2、3、7中的两个。要保证能被3整除，剩下的两个必须是3和7。所以最大的三位数是735，最小的是375，差了360，选（A ）。
4.先将4875分解质因数：4875=5×5×5×3×13，其中小于64的约数有1、3、5、13、15、25、39，其中相加为64的是25和39，差为14，选（C ）。
5.显然这样的两位数可以是37和73。选（E ）
6.尝试可知A 最小是5。选（E ）
7.将数位之和为13的两位数都列出来，其中满足是质数的只有67，再通过甲比乙大13岁，求出甲、乙分别是40和27岁。选（C ）。
8.首先对结论进行分析，求出m 的具体值。既然要求最大的质数尽可能小，则这十个质数应该尽可能地接近。根据平均数为6可知最小的应为5，最大的应为7，此时60=5+5+5+5+5+7+7+7+7+7，所以m=7。条件（1）符合条件的只有1,2,3---三个，不充分。条件（2）显然充分。选（B ）
9.将1771分解质因数：1771=11×7×23，根据最小的已经上了小学，所以三人年龄只能是7岁、11岁、23岁。选（A ）
10.条件（1）说明y x ,中至少有一个为2，不充分；条件（2）说明y x ,一个为2，另一个为3，也不充分。联合起来等同于条件（2）。选（E ）
11.显然这三个数字必有两个为1，一个为质数。这样的三位数最大为711，最小为112。选（B ）
4.最小公倍数、最大公约数
最大公约数：几个数公有的约数，叫这几个数的公约数；其中最大的一个，叫这几个数的最大公约数，整数a 、b 的最大公约数用符号表示为（a ，b ）。
最小公倍数：几个数公有的倍数，叫这几个数的公倍数，其中最小的一个，叫这几个数的最小公倍数，整数a 、b 的最小公倍数用符号表示为[a ，b ]。
互质数：公约数只有1的两个数称为互质数。
两个相邻的正整数必定互质（n 和n +1互质）。
求最大公约数/最小公倍数的方法：
A 、依次分别写出a 、b 的约数/倍数，从两组数中找出最大/最小的相同的数，即是最大公约数/最小公倍数。
B 、将a 、b 分别因式分解，最大公约数是取每个质因数在所有数中出现的最低次后，再把这些最低次质因数相乘求积。最小公倍数是取每个质因数在所有数中出现的最高次后，再把这些最高次质因数相乘所得的积。
如：23232232),(732],[732,32?=??=??=?=b a ，b a b a ，则
C 、辗转相除法
求两数的最大公约数时，可以保留其中较小数，将大数去掉，改成大数除以小数的余数，此时求出来的最大公约数不变。如此可以反复辗转相除，直到一数是另一数的倍数。（适用于数比较大时）
如：（72，84）=（72，12）=12
（24，34）=（24，10）=（4，10）=（4，2）=2
求出最大公约数后，再利用后面所讲的公式求出最小公倍数。
说明：实际做题过程中，往往是“看”出来的。比如求（180，108） ，一眼看出两数有公因数9，则（180，108）=9×（20，12）；又看出来20和12有公因数4，此时原式=9×4×（5，3），而5和3显然是互质的，所以（180，108）=9×4=36。
性质：
A 、两个自然数分别除以它们的最大公约数，所得的商是互质数；
两个自然数的最小公倍数分别除以这两个数，所得的商是互质数。
B 、两个数的公约数一定是它们最大公约数的约数；
两个数的公倍数一定是它们最小公倍数的倍数。
C 、两个数的和或差是它们最大公因数的倍数。
D 、两个数如果有倍数关系，则它们的最小公倍数为较大数，最大公约数为较小数。
E 、重要公式：（a ，b ）×[a ，b]=a ×b
比较：集合公式：A ∪B=A+B-A ∩B
重要方法：对于两个数a，b，如果设（a，b）=p的话，那么可设a=m×p，b=n×p，（m，n互质），则[a，b]=m×n×p
基本做题思路
例1：已知两个自然数的和为165，它们的最大公约数为15，符合条件的两个数有（）组。（A）1 （B）2 （C）3 （D）4 （E）5
解析：利用重要方法解题。
设两个数分别为15m，15n，（m，n）=1，则15m+15n=165，m+n=11
显然，满足要求的只有（1，10）（2，9）（3，8）（4，7）（5，6）五组。
选（E）
例2：有4个不同的自然数，它们的和是1111，它们的最大公约数最大能是k，则k的各个数位上的数之和为（）
（A）2 （B）3 （C）4 （D）5 （E）6
解析：利用重要方法做题
选（A）
例3：今有语文课本42册，数学课本112册，自然课本70册，平均分成若干堆。每堆中这三种课本的数量分别相同，那么最多可以分（）堆。
（A）10 （B）12 （C）14 （D）15 （E）20
解析：利用最大公约数解题。
如果分成了x堆，显然42、112、70都是x的倍数，x是这三个数的公约数，要想让x最大，即是求三个数的最大公约数。
选（C）。
例4：今天小明、小玲和小红同时来到图书馆看书，其实三个人的看书时间非常有规律，小明是每12天去一次图书錧，小玲每15天去一次，小红每20天一次。那么，下次三个人再同时出现在图书馆应该是再过（）天。
（A）30 （B）40 （C）50 （D）60 （E）180
解析：利用最小倍数做题。
假设再过x 天三人同时来到图书馆，显然x 必须是12、15、20的倍数，“最近一次”即求三者的最小公倍数。选（D ）
练习题
1.教师节到了，校工会买了320个苹果，240个桔子、200个香蕉来慰问退休老职工，请问：用这些水果最多可以分成多少份同样的礼物？
（A ）10 （B ）15 （C ）18 （D ）20 （E ）40
1.显然是求三个数的最大公约数。选（E ）
2.（m ，n ）=23
（1）m －n =23，且23|n ；
（2）[m ，n ]=138，且m ，n 都是两位数。
2.条件（1）可知，23),23(),(==n n m ，充分；条件（2）可知，138|,138|n m ，由于138=2×3×23，所以两数只能是23、2×23、3×23，其中最小公倍数为138的只能是2×23和3×23，显然二者的最大公约数为23，充分。选（D ）
3.已知甲、乙两个自然数的最大公约数是6，两数之和为372，满足上述条件的数一共有多少组（不考虑次序）？
（A ）12 （B ）15 （C ）20 （D ）30 （E ）31
3.利用重要方法，设两个数分别为A 、B ，且n m n B m A ,(6,6==互质），则62,372)(666=+=+=+n m n m n m ，由于62=2×31，所以，n m ,不能是2或31的倍数（否则就不互质）。将1到31中去掉偶数，去掉31，还剩下15个数。选（B ）
4.加工某种零件时，要经过三道工序，第一道工序每个工人每小时可完成3个零件；第二道工序每个工人每小时可完成10个，第三道工序每个工人每小时可完成5个零件。要使三道工序生产均衡，三道工序总共最少分配（ ）名工人。
（A ）15 （B ）16 （C ）19 （D ）20 （E ）25
4.要使生产均衡，各道工序生产的零件总数应该相等，并分别是3、10、5的倍数。要使工人最少，则是求零件总数的最小公倍数[3,10,5]=30，则第一道工序需要10名工人，第二道工序需要3名工人，第三道工序需要6名工人。共需要19名，选（C ）
5.两个正整数中，甲数和乙数的最大公约数是6，最小公倍数是90。如果甲数是18，那么乙数是
m ，则m 的各个数位之和为（ ）
（A ）2 （B ）3 （C ）4 （D ）5 （E ）6
5.利用重要公式求出3018690],[),(=÷?=÷?=B B A B A A 。选（B ）
6.两个正数的最大公约数是6，最小公倍数是90，满足条件的两个正整数组成的大数在前的数对共有（ ）
（A ）0对 （B ）1对 （C ）2对 （D ）3对 （E ）4对
6.利用重要方法设,6,6n B m A ==则15,906==mn mn ，又因为n m ,互质，所以只能是1和15、3和5。选（C ）
7.某赛车跑道上，A 车一分钟可跑2圈，B 车一分钟可跑3圈，C 车一分钟可跑4圈，现在三车从同一地点出发，则（ ）分钟后， 三车第一次并排出现在起跑线上。
（A ）1/2 （B ）1 （C ）6 （D ）12 （E ）16
6.此题要注意是“一分钟跑2圈”，而不是“2分钟跑一圈”，谨防误求2、3、4的最小公倍数。实际求的是6
1,31,21的最小公倍数。对于分数的最小公倍数我们没有专门讲解，可以按照最基本的思路分别将三个数的2倍、3倍、4倍、……列出来，找到大家公有最小的倍数即为最小公倍数。此题比较简单，可以直接看出来是一分钟。选（B ）
8.已知两个自然数的差为48，它们的最小公倍数为60，则这两个数的最大公约数为（ ）
（A ）10 （B ）12 （C ）15 （D ）20 （E ）30
8.设两个数分别是,,an am 其中n m ,互质且n m >，a 为两个数的最大公约数。则5
4,48)(,60=-=-=mn n m n m a amn ，尝试中得1,5==n m ，此时12=a 。选（B ） 9.9.已知两个正整数的和不超过50，差为30，它们的最小公倍数与最大公约数的差也为
30，符合
条件的两个数有（ ）组。
（A ）4 （B ）5 （C ）6 （D ）7 （E ）8
10.已知两个自然数的最大公约数是4，最小公倍数是120，则这两个数之和为m 。
（1）绝对值不大于11.1的整数有m 个；
（2）绝对值不大于21.1的整数有m 个。
5.余数与同余
余数：x 除以A 余r ，记作：x ÷A=m …r
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